导热微分方程的推导_by Jacob

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高等传热学基本方程推导

方程推导

1.导热微分方程

x 方向导入微元体的热流量为dydz x

T x ∂∂-=λ

φ x+dx 方向导出微元体的热流量为： dx dydz x

T x dx x x x x dx x )(∂∂-∂∂+=∂∂+=+λφφφφ 同理可得y 、z 方向的导入、导出热流量。

根据能量守恒：导入微元体的总热流量+微元体内的生

成热=导出微元体的总热流量+微元体内能的增加微元体内能的增加：dxdydz T c

dU ∂τ∂ρ= 微元体内的生成热：dxdydz q ⋅ 经整理有：⋅

+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z y T y x T x T c ∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ 该式可在（1）导热系数为常数；（2）导热系数为常数，无内热源（3）导热系数为常数、稳态（4）导热系数为常数、无内热源、稳态等情况下简化圆柱坐标系：⋅

+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z T r r T r r r T c ∂∂λ∂∂∂φ∂λ∂φ∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ211 球坐标系：⋅

+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q T r T r r T r r r T c ∂φ∂λ∂φ∂θ∂θ∂θλ∂φ∂θ∂∂λ∂∂∂τ∂ρ22222sin 1sin sin 11 2.连续性方程对于微平行六面体，从左边流入的质量为：τρρdydzd dx x u u dx x x x )2

)(2(∂∂-∂∂-，从右边流出的质量为τρρdydzd dx x u u dx x x x )2

传热学导热微分方程推导

摘要：

一、传热学的基本概念

二、导热微分方程的推导过程

1.傅立叶定律

2.边界条件

3.圆柱坐标系下的导热微分方程推导

三、导热微分方程的应用

1.稳态传热过程和非稳态传热过程

2.内热源生成热及内能的增量

正文：

传热学是研究热量传递规律的学科，热量传递过程根据物体温度与时间的关系，可分为稳态传热过程和非稳态传热过程。在传热学中，导热微分方程是一个关键的概念，它描述了物体内部热量传递的过程。本文将从传热学的基本概念入手，详细介绍导热微分方程的推导过程及其应用。

首先，我们来了解传热学的基本概念。传热学研究的是热量在物体间的传递规律，热量从物体的高温部分传向低温部分，物体之间存在温差，热量就会自发地从高温物体传向低温物体。根据热量传递的方式，传热过程可以分为传导、对流和辐射三种方式。

接下来，我们将介绍导热微分方程的推导过程。为了更好地理解导热微分方程，我们先从傅立叶定律入手。傅立叶定律给出了热量在物体内部的分布规

律，即热量在各个方向上的分布与距离的平方成反比。在推导导热微分方程时，我们需要考虑物体内部的热流密度，即单位时间内通过单位面积的热量。根据傅立叶定律，我们可以列出热量在各个方向上的导入与导出的微分方程。

在推导过程中，我们还需要考虑边界条件。边界条件是指物体表面的热传递规律，根据物体表面的热流密度与表面温度的关系，我们可以将边界条件分为三类。在实际应用中，我们可以根据问题的具体情况选择不同的边界条件。

此外，我们还需要了解圆柱坐标系下的导热微分方程推导。与直角坐标系相比，圆柱坐标系更适用于描述圆柱形物体的热量传递。在圆柱坐标系下，我们可以根据傅立叶定律列出r、j、z 方向上的导入与导出的热量的六个微分方程；然后根据能量守恒定律列出热平衡式，经整理即可得。这样，不论稳态与否、有无内热源，我们都可以根据内热源生成热及内能的增量列出方程，很易理解。

球坐标系导热微分方程式

在物理学和工程学中，导热微分方程是一种描述热传导现象的方程。其中一个

常见的形式是球坐标系导热微分方程式，它用于描述球坐标系下的热传导过程。本文将介绍球坐标系导热微分方程式的推导和应用，以及一些解决该方程式的常见方法。

方程式推导

球坐标系是一种在三维空间中描述位置的坐标系。它使用径向、极角和方位角

来表示一个点的位置。在球坐标系中，我们假设物质的导热性质均匀，没有内部热源，并采用稳态假设。根据热传导的基本原理，我们得到球坐标系导热微分方程式的推导过程如下：

首先，考虑一个球形区域内的热传导过程。我们将球形区域划分为一系列薄层，并考虑其中一层的热传导。假设这一层的厚度为Δr，内外半径分别为 r 和r+Δr。

由于稳态假设，我们可以忽略在时间上的变化。

根据热传导定律，热流量在球坐标系中的径向分量可以表示为：

q_r = -k \frac{dT}{dr}

其中，q_r 是热流量，k 是热导率，dT/dr 是温度关于径向坐标 r 的变化率。

考虑球坐标系下的体积元 dV，我们可以得到热传导率扩散方程：

\frac{dq_r}{dV} = \rho C\frac{dT}{dt}

其中，\rho 是密度，C 是比热容，dt 是时间变化量。

将热流量 q_r 替换为其在球坐标系中的导数形式，我们得到：

\frac{d}{dr} \left( -k \frac{dT}{dr} \right) = \rho C\frac{dT}{dt}

通过对上述方程进行整理和简化，我们可以得到球坐标系导热微分方程式：

传热学导热微分方程推导

摘要：

一、传热学简介

1.传热学基本概念

2.热量传递过程的分类

二、导热微分方程的推导

1.稳态传热过程的微分方程

2.非稳态传热过程的微分方程

三、圆柱坐标系下的导热微分方程推导

1.圆柱坐标系的建立

2.傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用

3.能量守恒定律的应用

正文：

传热学是一门研究热量传递规律的学科，它涉及到物体内和物体之间的热量传递过程。根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为稳态传热过程和非稳态传热过程。

导热微分方程是传热学中的一个重要概念，用于描述热量在物体中的传递过程。我们可以通过推导来了解其背后的原理。首先，我们来看稳态传热过程的微分方程。在稳态传热过程中，物体内部的温度分布不随时间变化，因此可以得到一个关于温度分布的微分方程。

接下来，我们来看非稳态传热过程的微分方程。在非稳态传热过程中，物

体内部的温度分布随时间变化，因此需要引入时间的变量。通过一定的推导，我们可以得到一个关于温度分布和时间的微分方程。

此外，我们还可以通过圆柱坐标系来推导导热微分方程。首先，我们需要建立圆柱坐标系，然后根据傅立叶定律在圆柱坐标系中的应用，我们可以得到关于温度分布的微分方程。最后，根据能量守恒定律，我们可以得到一个关于热量传递过程的微分方程。

总之，传热学导热微分方程的推导是一个复杂的过程，需要我们掌握稳态传热过程和非稳态传热过程的微分方程，以及圆柱坐标系下的导热微分方程推导方法。

圆柱体导热微分方程的推导

在热传导领域，导热微分方程是一个重要的方程，它描述了热量在固体中的传递过程。本文将推导圆柱体导热微分方程，以理解圆柱体的热传导特性。

我们考虑一个理想的圆柱体，假设圆柱体材料均匀且导热性能不随温度变化。设圆柱体的半径为 R，高度为 H。我们希望推导出圆柱体内部的温度分布满足的微分方程。

首先，我们假设圆柱体内部的温度分布是关于时间 t 和半径 r 的函数，即 T(t, r)。

根据热传导的基本定律，热量沿着温度梯度的方向传播，传播速度与温度梯度成正比。在平衡状态下，热量传导的速度与热量的损失相等。因此，我们可以得到以下方程：

\[ \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = -\alpha \cdot \frac{{\partial^2 T}}{{\partial r^2}} \]

其中，$\alpha$ 是材料的热导率。

继续推导，我们可以应用圆柱坐标系下的拉普拉斯算子 \(

abla^2\)，它可以表示为：

abla^2 = \frac{1}{{r}} \cdot \frac{{\partial}}{{\partial r}} \left( r \cdot

\frac{{\partial}}{{\partial r}} \right) + \frac{{\partial^2}}{{\partial z^2}} \] 将这个算子应用于 T(t,r)，我们有：

\[ \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = -\alpha \cdot \left[ \frac{1}{{r}} \cdot

第十六讲-导热微分方程及有内热源的导热问题

t
=
−
Φ 2λ
x2
+
C1x
+
C2
4
2013/12/12
利用两个边界条件
x = 0, t = t1
c2 = t1
x = δ , t = t2
c1
=
(t2
− t1)
/δ
+
Φ 2λ
δ
t1
t2
Φ
0δ
x
将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分
布如下
t
=
t1
−
t1
− t2 δ
x+
Φ 2λ
x(δ
−
x)
t = f (x, y, z,τ )
理论：导热微分方程式建立的基础是：
热力学第一定律+傅里叶定律
方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间的关系式。
一、导热微分方程的推导
1.物理问题描述三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外其它形
式的热量，如化学反应能、电能等）。
qw
傅里叶定律：
qw = −λ(∂t / ∂n)
例：右图中
0
x =δ,
− λ ∂t ∂x
x =δ
=
h(tw
−tf
)

导热微分方程的推导

导热微分方程是描述物质内部热传导过程的一种数学模型。在物理学中，热传导是指热量从高温区传递到低温区的过程。导热微分方程通过考虑热量的传导方向和速率，可以描述物体内部温度的变化规律。本文将从导热微分方程的推导开始，逐步介绍相关的基本概念和推导过程。

我们考虑一个一维热传导问题，即在一根长为L的杆中，热量从一端传递到另一端。我们假设杆的横截面积为A，杆的导热系数为k。为了简化问题，我们假设热量只在杆的长度方向上传递，不考虑杆的横截面上的热量传递。

根据热力学第一定律，单位时间内通过杆的一段长度dx传递的热量dQ等于该段长度上的温度变化量dT乘以单位时间传递的热量密度q。根据热传导的基本规律，热量的传递方向是从高温区到低温区，因此q的方向与温度梯度-dT/dx的方向相反。

根据以上分析，我们可以得到热量传递的微分方程：

dQ = -q dA dt = -q A dx dt = -k A dT dx dt

根据热力学第二定律，热量传递的速率与温度梯度之间存在线性关系。根据这个关系，我们可以得到热传导速率q与温度梯度-dT/dx 之间的关系：

q = -k A (dT/dx)

将上述关系代入热量传递的微分方程中，可以得到：

dQ = k A (dT/dx) dx dt

通过对上述微分方程进行积分，可以得到：

Q = k A (dT/dx) x t

其中，Q表示通过杆的热量，t表示时间。上述方程描述了热传导过程中热量随时间和空间的变化规律。

根据以上推导，我们可以得到一维热传导的导热微分方程：

∂T/∂t = k (∂^2T/∂x^2)

10-4 导热微分方程

Βιβλιοθήκη Baidu
c t
1 r
r
r
t r
1 r2
t
z
t z
Φ
8
Thank You！
9
物体内具有内热源；强度
[W/m3];
dx
单位体积的导热体在单位时间内放出的热量。
dz+dz dy
dy+dy dz
dx+dx
x
y
导入微元体的总热流量+内热源的生成热 =导出微元体的总热流量+内能的增量
3
导热微分方程推导
dΦin dQ dΦout dU 导入微元体的总热流量为：
dΦin dΦx dΦy dΦz
导热微分方程
导热微分方程（Heat Diffusion Equation）
意义：确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务。建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐标和时间变化的内在联系。
理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒方程
2
导热微分方程建模
假设：
z
所研究物体是各向同性的连续介质；
热导率、比热容和密度均为已知；
导出微元体的总热流量为：
dΦout dΦxdx dΦydy dΦzdz
微元体内热源的生成热为：
dQ Φdxdydz
单位时间内能增量为： dU c t dxdydz

导热微分方程的推导_byJacob

导热微分方程的推导

Jacob

〇．傅立叶定律

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⋅-=k j i z T y T x T gradT q λλ 其中，i ，j ，k 分别为x ，y ，z 坐标轴上的单位矢量。λ为导热率（单位

K m W ⋅）。其含义表示，单位时间内，通过某单位截面上的热流q （单位

W ），与该处的温度梯度gradT 成正比，但方向相反。

一．导热微分方程的推导依据

1．依据

根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表

达式，即导热微分方程；

A E Q +∆=

Q ，物体在单位时间内获得的热量；

E ∆，物体在单位时间内内能的增加；

A ，物体对外界所做的功。

对于固体来说，温度改变导致体积变化对环境所做的功A 可忽略不计，上式变

为：

E Q ∆=

2．一般性假设

(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；

(2) 热导率、比热容和密度均为已知；

(3) 物体内具有内热源，强度V q （单位

m W ），表示单位体积、单位时间内放出的热量

二．直角坐标系下导热微分方程的推导

考察dt 时间内微元体中：

[导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]

1. 导入与导出微元体的净热量

（1）dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴的热量导入表面导入的热量：

dydzdt q dQ x x ⋅= (单位J )

同理，dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴的热量导出表面导出的热量：

dydzdt q dQ dx x dx x ++= (单位J )

x q ，dx x q +分别为热量导入面和导出面上的热流密度，单位2

圆柱坐标系的导热微分方程推导过程

引言

在热传导领域中，导热微分方程（heat conduction equation）是用来描述物体

内部温度分布随时间变化的方程。圆柱坐标系是一种常用的坐标系，用来描述具有圆柱体形状的物体。本文将对圆柱坐标系下的导热微分方程进行推导。

圆柱坐标系的基本概念

在圆柱坐标系下，我们用三个坐标参数来描述空间中的点，即：

•r：径向距离，表示点到坐标原点的距离

•θ：极角，表示从坐标轴x轴正向逆时针旋转的角度

•z：高度，表示点在坐标轴z方向上的位置

圆柱坐标系下的温度场

在圆柱坐标系下，假设热传导介质的温度分布为T(r, θ, z, t)，其中t表示时间。我们将温度T分解为平均温度和扰动温度的和：

T(r, θ, z, t) = T0(r, θ, z) + T1(r, θ, z, t)

其中T0是平均温度，T1是扰动温度。

圆柱坐标系中的热传导模型

根据热传导理论，热传导过程可以用热传导方程描述。在圆柱坐标系下，考虑

热传导方程的径向、周向和轴向三个方向的贡献。

径向热传导

在径向方向上，热传导导数可以表示为：∂²T/∂r²。

周向热传导

在周向方向上，圆柱坐标系的角度θ是变化的，因此需要考虑周向热传导的导数。根据链式法则，周向热传导导数可以表示为：1/r ∂/∂θ (r ∂T/∂θ)。

轴向热传导

在轴向方向上，热传导导数可以表示为：∂²T/∂z²。

综合考虑这三个方向的热传导导数，热传导方程可以表示为：

∂T/∂t = α[1/r ∂/∂θ (r ∂T/∂θ) + ∂²T/∂r² + ∂²T/∂z²]

第2章-导热微分方程推导ppt课件

• 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。 a木材=1.5×10−7 m2/s , a铝= 9.45×10−5 m2/s ， a铝 / a木材 ≈600 a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量
t t t t c ( ) ( ) ( ) q v 简化该式： x x y y z z
dτ 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量： dτ 时间内、沿y 轴方向导入与导出微元体净热量： q y [J] dQ dQ dxdydz d y y dy y dτ 时间内、沿z 轴方向导入与导出微元体净热量：
q x dQ dQ dxdydz d [J] x x dx x
导入与导出净热量内热源发热量热力学能的增加dxdydzmcdt导入与导出净热量内热源发热量热力学能的增加导入与导出净热量内热源发热量热力学能的增加笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式
第2章-导热微分方程推导 PPT
第二章导热的基本定律及稳态导热
§2-1 导热的基本概念和定律
§2-2 导热微分方程
22

v
三、导热微分方程的适用范围
1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。 3 ）若属极低温度（ -273 ℃ ）时的导热不适用。

导热微分方程圆柱坐标推导

引言

导热是物质内部的热传导现象，可以用导热微分方程来描述。在不同的坐标系下，导热微分方程的形式会有所不同。本文将以圆柱坐标系为例，推导导热微分方程在圆柱坐标系下的表达式。

圆柱坐标系简介

圆柱坐标系是一种常见的三维坐标系，使用的坐标轴分别是径向(r)、纵向(z)和角向(φ)。观察一段圆柱体，可以看到其中有一点P，其坐标为(r,φ,z)。下面将分别讨论各个方向上的变化率。

径向变化率推导

在圆柱坐标系下，径向变化率表达为d/dr。考虑一段圆柱体内部的热量传导。假设该段圆柱体的半径为r，密度为ρ, 热传导系数为k。在无外力作用下，圆柱体内部的热量传导只发生在径向上。根据能量平衡定律，该段圆柱体内的热量扩散速率可以表示为：

Q = -k ∂T/∂r

其中Q是单位时间内通过单位面积的热量传导速率，T是温度，∂T/∂r 是温度对径向变化的梯度。

根据定义，热量扩散速率与温度梯度成正比，系数为导热系数k。负号表示热量传导的方向与温度梯度的方向相反。

经过简单计算可以得到：

dQ/dr = -k d(∂T/∂r)/dr

根据定义，d(∂T/∂r)/dr 表示了温度梯度在径向上的变化率，即径向变化率。

所以，径向变化率推导为：

d/dr = -kd(∂T/∂r)/dr

纵向变化率推导

在圆柱坐标系下，纵向变化率表达为d/dz。与径向变化率推导类似，我们可以得到纵向变化率的表达式：

d/dz = -kd(∂T/∂z)/dz

其中，∂T/∂z表示温度梯度在纵向上的变化率。

角向变化率推导

在圆柱坐标系下，角向变化率表达为(1/r) d/dφ。我们需要注意到，在圆柱坐标系中，角度的单位是弧度，而不是度。同样地，我们可以得到角向变化率的表达式：

导热微分方程推导

x
t ) (
x y
t ) y
z
(
t z
)

qv
导热微分方程式
c t

(
x
t ) x
(
y
t ) y
z
(
t z ) qv
非稳态项
扩散项
源项
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。
dQx
dQxdx

qx x
dxdydz d
[J]
dτ 时间内、沿y 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy
dQydy

q y y
dxdydz d
[J]
dτ 时间内、沿z 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz

dQz dz

qz z
dxdydz d
[J]
dτ 时间内、沿x 轴方向、经x+dx 表面导出的热量：
dQx+dx= qx+dx dydz ∙dτ [J]
qxdx

qx

qx x
dx
dτ 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx

qx x
dxdydz d

柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析

柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析柱坐标和球坐标是常见的坐标系，导热微分方程（heat conduction equation）描述了物体内部的温度分布随时间的演化规律。本文将介绍柱

坐标和球坐标下导热微分方程的推导及分析。

1.柱坐标下的导热微分方程推导：

在柱坐标系下，空间点由径向坐标$r$、轴向坐标$z$和角度坐标

$\theta$表示。设物体的温度分布为$u(r,z,t)$，其中$t$为时间。

首先考虑物体内部的导热传导，可以利用热传导定律得到：

$$\mathbf{q} = -k\nabla u$$

其中，$\mathbf{q}$为热流密度矢量，$k$为导热系数。

将柱坐标系下的梯度算子运算展开，并考虑到$u$仅与$r$和$z$有关，导热传导方程可以表示为：

$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial

r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{k}\frac{\partial u}{\partial t}$$

2.球坐标下的导热微分方程推导：

在球坐标系下，空间点由径向坐标$r$、极角坐标$\theta$和方位角

坐标$\phi$表示。设物体的温度分布为$v(r,\theta,\phi,t)$。

同样考虑物体内部的导热传导，应用热传导定律可得：

$$\mathbf{q} = -k\nabla u$$

展开梯度算子运算后可得：

圆柱体导热微分方程式的推导公式是什么

圆柱体导热微分方程式的推导公式

1. 引言

导热微分方程是研究物体内部温度变化规律的重要方程之一。在热力学和热传导领域，导热微分方程常被用于描述热传导过程中温度的变化。圆柱体是一种常见的几何形状，在实际应用中经常会遇到。本文将推导出圆柱体导热微分方程的具体推导公式。

2. 圆柱体导热微分方程

为了推导圆柱体导热微分方程，我们需要定义一些符号和假设。假设圆柱体具有均匀的热导率，且热传导只在圆柱体内部发生，与表面之间的热传导忽略不计。此外，我们假设圆柱体的热传导是一维的，并且只发生在圆柱体的径向方向。

首先，我们需要定义圆柱体的物理属性： - r：圆柱体的半径； - L：圆柱体的长度； - T(r,t)：圆柱体内部的温度，其中r和t分别表示径向和时间变量。

根据热传导定律，我们知道热传导速率正比于温度梯度。考虑圆柱体内部的热传导，可以得到以下关系式：

$$ \\frac{\\partial T}{\\partial t} = k \\cdot \\frac{1}{r} \\cdot

\\frac{\\partial}{\\partial r} \\left(r \\cdot \\frac{\\partial T}{\\partial r}\\right) $$

其中，k表示圆柱体的热传导系数。

3. 推导过程

为了推导上述方程，我们将分别对时间和径向变量进行求导。首先，对时间变量进行求导：

$$ \\frac{\\partial T}{\\partial t} $$

接下来，对径向变量进行求导：

$$ \\frac{\\partial T}{\\partial r} $$

导热微分方程在柱坐标下的推导

引言

导热微分方程是描述热传导现象的重要方程之一。它可以用于分析固体、液体

和气体等物质中的热传导过程。在柱坐标系下，导热微分方程的推导与直角坐标系有所不同。本文将介绍导热微分方程在柱坐标下的推导过程。

一、导热微分方程的基本概念

导热微分方程描述了热量在物质中的传递方式。在柱坐标系中，我们考虑一个

无限长的圆柱体，其中热量只在径向方向上传导。我们假设圆柱体的体积元素为dV，含有的热量为dQ，单位时间内通过侧面传导出的热量为Q。根据能量守恒定律，可以得到热传导方程：

\[ \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \alpha \left(\frac{{\partial^2 u}}{{\partial

r^2}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial u}}{{\partial r}}\right) \]

其中，u(r,t)表示圆柱体内某点的温度，$\\alpha$为热扩散系数。

二、推导过程

为了推导出导热微分方程，我们需要考虑热传导的基本物理规律。首先，根据

傅里叶热传导定律，热传导的速率与温度梯度成正比。其次，我们需要考虑柱坐标系下径向距离的变化。

根据傅里叶热传导定律，我们可以得到表达式：

\[ \vec{q} = -\lambda

abla T \]

其中，$\\vec{q}$为热流密度矢量，$\\lambda$为热导率，ablaT为温度梯度。在柱坐标系下，温度梯度可以表示为：

abla T = \frac{\partial T}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial