第一章 计量经济学的数理统计学基础

计量经济学的数理统计学基础一、随机变量的概率分布 1．随机变量随机变量是指取值具有随机性的变量。

随机变量有两种：离散随机变量和连续随机变量。

2．离散随机变量的概率分布（1）概率函数通常用一个二维表格直观描述离散随机变量X 的概率分布：其中11=∑=ni i p ，10≤≤i p（2）分布函数 累计分布概率：∑≤=≤=xx ii p x X P x F }{)(3．连续随机变量的概率分布（1）概率函数 用概率密度函数)(x f 描述，它满足以下性质：x x f ∀≥,0)(；1)(=⎰+∞∞-dx x f ；⎰=<<badxx f b X a P )()(（2）分布函数累计分布函数⎰∞-=≤=xdxx f x X P x F )(}{)(；另有：)()()()(b x a P a F b F dx x f ba<<=-=⎰二、随机变量的数字特征（分布参数） 1．数学期望数学期望 记为EX 或X μ对于离散变量，∑==ni ii x p EX 1； 对于连续变量，⎰=xdxx f EX )(性质：互相独立和X X )()()()()(2121212121EXEX X X E EX EX X X E X E C X C E CC E ⋅=⋅±=±⋅=⋅=2．方差方差 记为DX 或2Xσ222)()()(EX X E EX X E DX -=-=性质：0)(=C D ；.DXC CXD 2)(=互相独立和212121)(X X DXDX X X D ±=±3．标准差（均方差）标准差 DXX=σ4．矩矩)(nX E 称为变量X 的n 阶矩，1=n 时就是X 的期望。

5．协方差协方差用于度量两个变量的线性相关程度，记为xyσ或),cov(Y X ；)])([(),cov(EY Y EX X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=.>xyσ意味着两个变量同方向变动，称之为正相关；0<xyσ称之为负相关； 0=xyσ称之为不相关。

相关系数yx xyσσσρ=；1||<ρ.如果Y X ,独立，那么0,0==ρσxy，三、样本统计量 1．总体和样本所谓总体就是一个随机变量X ，X 的分布函数通常记为);(θx F ，其中θ就是待估计的参数。

在进行n 次重复独立实验后，得到总体X 的n 个观察值n x x x ,...,,21，而在实验之前，n x x x ,...,,21实际上是相互独立均与总体X 同分布的n个随机变量nX X X ,...,,21。

称n X X X ,...,,21为总体X 的容量为n的简单随机样本，简称样本；称nx x x ,...,,21为样本的一个观察值，简称样本值。

2．常见的样本统计量统计量的概念设nX X X,...,,21是来自总体X 的一个样本，若随机变量nX X X ,...,,21的函数),...,,(21n X X X g 中不含有任何未知参数，则称),...,,(21n X X X g 为一个统计量。

注意：统计量本身是一个随机变量；其值可由样本值计算出来。

最常见的统计量有：样本均值 ∑==ni iX nX 11； 样本方差212)(11∑=--=ni iX X n S；样本标准差21)(11∑=--=ni i X X n S ；样本k 阶原点矩 ∑==ni kikX nM11； 样本k 阶中心矩 kni i kX X nM)(11'∑=-=。

假设),(i iY X，n i ,...,1=，是某个X 和Y 联合分布的样本，那么 样本协方差))((111Y Y X X n S i ni iXY ---=∑=样本相关系数YX XY XY S S S =ρ四、抽样分布 1．几个常用分布●正态分布定义：如果随机变量X 的密度函数为])(21exp[21)(22μσπσ--=x x f则称X 服从参数为μ、σ的正态分布，通常记为X ~N (μ,σ2)。

令σμ/)(-=x z ，那么z 服从标准正态分布N (0,1)，]21exp[21)(2z z f -=π●卡方分布假设n 维向量X ~N(0,n I )，那么)(~)...(222221'n X XXX X nχ+++=；t-分布假设两个独立的随机变量Z ~N(0,1)， Y ~)(2n χ ，那么)(~n t n Y ZF-分布假设1Y )(~12n χ和2Y )(~22n χ是两个独立的卡方分布，那么),(~//212211n n F n Yn Y2．样本均值的分布总体X ~ N (μ,σ2) 样本nX X X ,...,,21~ N (μ,σ2)则：X ~ N (μ,σ2/n)3．样本方差的分布22)1(σSn -~)1(2-n χ4．样本均方差的分布nS X μ-~)1(-n t四、区间估计临界值的概念 设X的分布函数为F，αx 满足1(){},0F x P Xx αααα-=>=<<，则称αx 为F 的α临界值。

对称分布~(0,1)UN 的临界值非对称分布22~(1)n χχ-的临界值区间估计对于参数θ，如果有两个统计量),,,(ˆˆ2111n X X X θθ=,),,,(ˆˆ2122n X X X θθ=，满足对给定的)1,0(∈α，有αθθθ-=≤≤1}ˆˆ{21P则称区间[1ˆθ，2ˆθ]是θ的一个区间估计或置信区间，1ˆθ、2ˆθ分别称作置信下限、置信上限，α-1称为置信水平。

置信水平为1-α，在实际上可以这样理解:如取%951=-α，就是说若对某一参数θ取100个容量为n 的样本，用相同方法做100个置信区间。

[)(1ˆk θ，)(2ˆk θ]，k =1,2,…,100,那么其中有95个区间包含了真参数θ．因此,当实际上只做一次区间估计时，我们有理由认为它包含了真参数。

这样判断当然也可能犯错误，但犯错误的概率只有5%。

寻找置信区间的通常方法是从已知抽样分布的统计量，如上文提到的U ，X 和T 入手，由于分布和概率已知，只要确定临界值就可以了。

单个正态总体参数的区间估计 设nX X X ,,,21 为),(2σμN 的样本，对给定的置信水平α-1，10<<α，求参数μ和方差2σ的区间估计。

情况1（2σ已知）由于)1,0(~/N nX U σμ-=，所以容易找到临界值2/αU ，使得ασμαα-=≤-≤-1}/{2/2/U nX U P ，那么μ的区间估计是：],[2/2/n U X n U X σσαα+-。

情况2（2σ未知）情况3（2σ的区间估计）五、假设检验● 假设检验的基本思想在数理统计中，假设检验是这样一个过程：对未知总体，先作出某种假设，然后利用样本提供的信息，对这一假设的合理性进行检验，从而确定接受或拒绝这一假设。

在进行假设检验时，有两点值得注意： ① 反证法思想。

②“小概率事件”在一次实验中不会发生。

● 假设检验的步骤 第一步，建立假设00:μμ=H ； 01:μμ≠H这里0H称为原假设，1H 称为备择假设。

注意：在假设检验中，原假设0H 与备选假设1H 的地位是不对等的。

一般来说α是较小的，因而检验推断是“偏向”原假设，而“歧视”备选假设的。

既然0H 是受保护的，则对于0H 的肯定相对来说是较缺乏说服力的，充其量不过是原假设与试验结果没有明显矛盾；反之，对于0H 的否定则是有力的，且α越小，小概率事件越难于发生，一旦发生了，这种否定就越有力，也就越能说明问题。

在应用中，如果要用假设检验说明某个结论成立，那么最好设0H 为该结论不成立。

第二步，构造统计量，求出统计量的样本分布以及由样本观察值算出其具体值。

统计量n SX t μ-=)1(~-n t在H 成立的条件下，对应的具体值记为tˆ。

第三步，根据备择假设构造出对0H 不利的小概率事件——在给定显著性水平α下，确定临界值，构造出拒绝域。

在一个问题中，通常指定一个正数α（01α<<），认为概率不超过α的事件是在一次试验中几乎不会发生的事件，α称为显著性水平。

α=0.05，算出临界值(1)t n α-。

{(1)}V t t n α=>-，这里V 是拒绝域，它是使得这一小概率事件发生的样本空间的点的全体。

第四步，得出结论方法1：根据计算出来的t 值，看样本是否落在V 内，若落在V 内，则拒绝0H，否则,不能拒绝0H。

如果>tˆ)1(-n t α，则称能以α的显著性水平拒绝零假设；否则，不能拒绝零假设；方法2：比较p 值和α。

p 值定义为拒绝零假设的最大的显著性水平；}ˆ{t t P >，也就是在t-分布中大于统计量tˆ的概率。

比较p 值和预先设定的显著性水平。

如果p 值<α，则称能以α的显著性水平拒绝零假设；否则，不能拒绝零假设。