高中数学一到五整体复习考纲必修一必修二必修三必修四必修五及选修整体复习资料

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高中数学(高一至高三)知识点汇总

高中数学第一部分必备知识点第二部分学习难点必修1知识点重难点高考考点第一章：集合与函数1.1.1、集合1.1.2、集合间的基本关系1.1.3、集合间的基本运算1.2.1、函数的概念1.2.2、函数的表示法1.3.1、单调性与最大（小）值1.3.2、奇偶性重点：1、集合的交、并、补等运算。

2、函数定义域的求法3、函数性质难点：函数的性质1、集合的交、并、补等运算。

2、集合间的基本关系3、函数的概念、三要素及表示方法4、分段函数5、奇偶性、单调性和周期性第二章：基本初等函数（Ⅰ）2.1.1、指数与指数幂的运算2.1.2、指数函数及其性质2.2.1、对数与对数运算2..2.2、对数函数及其性质2.3、幂函数重点：1、指数函数的图像与性质2、对数函数的图像与性质3、特殊的幂函数的图像与性质4、指数、对数的运算难点：1、指数函数与对数函数相结合2、指数对数与不等式、导数、三角函数等结合1、指数函数的图像与性质2、对数函数的图像与性质3、特殊的幂函数的图像与性质4、指数、对数的运算5、数值大小的比较6、习惯与不等式、导数、三角函数等结合，难度较大第三章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点3.1.2、用二分法求方程的近似解3.2.1、几类不同增长的函数模型3.2.2、函数模型的应用举例重点：1、零点的概念2、二分法求方程近似解的方法难点：1、函数模型2、函数零点与导数，含有字母的参数相结合1、零点的概念2、二分法必修2知识点重难点高考考点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积与体积重点：1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征2、几何体的三视图和直观图3、会利用公式求一些简单几何体的表面积和体积难点：空间想象能力1、几何体的三视图和直观图2、空间几何体的表面积与体积第二章：点、直线、平面之间的位置关系（重点）1、空间点、直线、平面之间的位置关系2、直线、平面平行的判定及其性质3、直线、平面垂直的判定及其性质重点：1、线面平行、面面平行的有关性质和判定定理2、证明线面垂直3、点到平面的距离难点：1、线面垂直2、点到平面的距离1、以选择填空的形式考查线与面、面与面的平行关系，考查线面位置的关系2、以解答的形式考查线与面、面与面的位置3、证明线面垂直4、点到平面的距离第三章：直线与方程1、直线的倾斜角与斜率2、直线方程3、直线的交点坐标与距离公式重点：1、初步建立代数方法解决几何问题的观念2、正确将几何条件与代数表示进行转化3、掌握直线方程并会用于定理地研究点与直线、直线与直线的位置关系。

高中数学复习资料(必修一至必修五)

高中数学复习资料第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系 A 组1．已知A ＝{1,2}，B ＝{x|x ∈A}，则集合A 与B 的关系为________．解析：由集合B ＝{x|x ∈A}知，B ＝{1,2}．答案：A ＝B 2．若∅,x|x2≤a ，a ∈R}，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，x2≤a 有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A ＝{y|y ＝x2－2x －1，x ∈R}，集合B ＝{x|－2≤x<8-，则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝,y|y≥－2}，∴B A.答案：BA4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x|x2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{x|x>5}，集合B ＝{x|x>a}，若命题“x ∈A”是命题“x ∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A”是命题“x ∈B” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a<5.答案：a<56．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x|x ＝2a ，a ∈Z}，B ＝{x|x ＝2a ＋1，a ∈Z}，又C ＝{x|x ＝4a ＋1，a ∈Z}，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a1，a1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a2＋1，a2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z ，∴m ＋n ∈B. B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a|＋b |b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y ＝3或y ＝－1.答案：{3，－1} 2．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析：∵B ⊆A ，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1.答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0,2,5；b ＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8 4．已知集合M ＝{x|x2＝1}，集合N ＝{x|ax ＝1}，若N ⊆M ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x|x ＝1或x ＝－1}，N ⊆M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a≠0时，x ＝1a ＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x|x ＝a ＋16，a ∈Z}，B ＝{x|x ＝b 2－13，b ∈Z}，C ＝{x|x ＝c 2＋16，c ∈Z}，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB ＝C7．集合A ＝,x||x|≤4，x ∈R}，B ＝{x|x<a}，则“A ⊆B”是“a>5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a≥4，故“A ⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m|m ＝2n ，n ∈N ，且m<500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n<500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：5119．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy)}，B ＝{0，|x|，y}，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A ＝B 得lg(xy)＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x|，1x }．于是必有|x|＝1，1x ＝x≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1. 11．已知集合A ＝{x|x2－3x －10≤0-，(1)若B ⊆A ，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x|m －6≤x≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x|m －6≤x≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x|x2－3x －10≤0-，得A ＝{x|－2≤x≤5-， (1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m<2，此时满足B ⊆A. ②若B≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m>－5，m≤4，m≥3.故3≤m≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B.12．已知集合A ＝{x|x2－3x ＋2≤0-，B ＝{x|x2－(a ＋1)x ＋a≤0-．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x≤2，故A ＝,x|1≤x≤2-，而集合B ＝{x|(x －1)(x －a)≤0-，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝,x|1≤x ≤ a-，故a>2. (2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a≤2.(3)若A=B ，则必有a=2 第二节集合的基本运算 A 组1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{x|x>0}，B ＝{x|x>1}，则A ∩∁UB ＝____. 解析：∁UB ＝,x|x≤1-，∴A ∩∁UB ＝,x|0<x≤1-．答案：,x|0<x≤1-2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U(A ∩B)中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4,7,9}，A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A ∩B)＝{3,5,8}．答案：3 3．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x|x ＝2a ，a ∈M}，则集合M ∩N ＝________. 解析：由题意知，N ＝{0,2,4}，故M ∩N ＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}，已知A ＝,x|0≤x≤2-，B ＝,y|y≥0-，则A ⓐB ＝________. 解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ⓐB ＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12 6．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x|x>1}，集合B ＝,x|m≤x≤m ＋3}． (1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ； (2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x|－1≤x≤2-，∴A ∩B ＝,x|1<x≤2-，A ∪B ＝,x|x≥－1}．(2)若B ⊆A ，则m>1，即m 的取值范围为(1，＋∞) B 组1．若集合M ＝{x ∈R|－3<x<1}，N ＝{x ∈Z|－1≤x≤2-，则M ∩N ＝________. 解析：因为集合N ＝{－1,0,1,2}，所以M ∩N ＝{－1,0}．答案：{－1,0} 2．已知全集U ＝{－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，则(∁UA)∩B ＝________. 解析：∁UA ＝{0,1}，故(∁UA)∩B ＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x|－2≤x≤2-，N ＝{x|x2－3x≤0-，则M ∩(∁UN)＝________. 解析：根据已知得M ∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2-∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0-．答案：{x|－2≤x<0- 4．集合A ＝{3，log2a}，B ＝{a ，b}，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由A ∩B ＝{2}得log2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A ∩B)中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n 6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n|n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U|n 是奇数}，B ＝{n ∈U|n 是3的倍数}，则∁U(A ∪B)＝________.解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}，得∁U(A ∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A ⊗B ＝{z|z ＝xy ＋xy ，x ∈A ，y ∈B}．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B)⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B)中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B)⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：18 8．若集合{(x ，y)|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}⊆{(x ，y)|y ＝3x ＋b}，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2. 9．设全集I ＝{2,3，a2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁IA ＝{5}，M ＝{x|x ＝log2|a|}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁IA)＝I ，∴{2,3，a2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x|x2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x2＋2(a ＋1)x ＋(a2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}． (1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x|x2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3. (2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ①当Δ<0，即a<－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a≤－3.11．已知函数f(x)＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g(x)＝lg(－x2＋2x ＋m)的定义域为集合B. (1)当m ＝3时，求A ∩(∁RB)； (2)若A ∩B ＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．解：A ＝{x|－1<x≤5-．(1)当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}，则∁RB ＝,x|x≤－1或x≥3-， ∴A ∩(∁RB)＝,x|3≤x≤5-． (2)∵A ＝{x|－1<x≤5-，A ∩B ＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意． 12．已知集合A ＝{x ∈R|ax2－3x ＋2＝0}． (1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R|A≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a≠0，要方程ax2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>98. 综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a>98.(2)当a ＝0时，方程ax2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}． (3)当a ＝0时，A ＝{23-≠∅.当a≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a≥0，即a≤98.综上可知，a 的取值范围是a≤98，即M ＝{a ∈R|A≠∅}＝,a|a≤98}第二章函数第一节函数的单调性 A 组 1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是________． ①f(x)＝1x ②f(x)＝(x －1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．答案：① 2．函数f(x)(x ∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________．解析：∵0<a<1，y ＝logax 为减函数，∴logax ∈[0，12]时，g(x)为减函数．由0≤logax≤12a ≤x≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．已知函数f(x)＝|ex ＋aex |(a ∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a<0，且ex ＋a ex ≥0时，只需满足e0＋ae0≥0即可，则－1≤a<0；当a ＝0时，f(x)＝|ex|＝ex 符合题意；当a>0时，f(x)＝ex ＋a ex ，则满足f ′(x)＝ex －aex ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤(e2x)min 成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1. 答案：－1≤a≤1 4．(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x ，都有f(x)≥M(M 为常数)，称M 为f(x)的下界，下界M 中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________． ①f(x)＝sinx ；②f(x)＝lgx ；③f(x)＝ex ；④f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x>0)0 (x ＝0)－1 (x<－1)解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx 的下确界为－1，即f(x)＝sinx 是有下确界的函数；∵f(x)＝lgx 的值域为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx 没有下确界；∴f(x)＝ex 的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ex 的下确界为0，即f(x)＝ex 是有下确界的函数； ∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x>0)0 (x ＝0)－1 (x<－1)的下确界为－1.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x>0)0 (x ＝0)－1 (x<－1)是有下确界的函数．答案：①③④B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________． ①y ＝－1x ②y ＝－(x －1) ③y ＝x2－2 ④y ＝－|x|解析：由函数y ＝－|x|的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f(x)＝log2(x2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g(x)＝x2－ax ＋3a ，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a>0，∴－4<a≤4.答案：－4<a≤4 3．若函数f(x)＝x ＋a x (a>0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f(x)＝x ＋a x (a>0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a≤916. 答案：(0，916]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，则下列结论正确的是________． ①f(3)<f(－2)<f(1) ②f(1)<f(－2)<f(3) ③f(－2)<f(1)<f(3) ④f(3)<f(1)<f(－2)解析：由已知f(x2)－f(x1)x2－x1<0，得f(x)在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(2)＝f(－2)，即f(3)<f(－2)<f(1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax (x<0)，(a －3)x ＋4a (x≥0)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f(x)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，a －3<0，a0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a≤14.6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g(x)＝f(x)·(x －1)，则函数g(x)的最大值为________．解析：g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x －1) (0≤x<1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x≤3)，当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f(x)的值域为[－2,0]，则函数y ＝f(cos x)的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f(x)的值域为[－2,0]，∴y ＝f(cos x)的值域为[－2,0]．答案：[－2,0] 8．已知f(x)＝log3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤9，1≤x2≤9，∴x ∈[1,3]，令log3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，ymax ＝13.答案：139．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，12)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f(x)>0恒成立，∴0<a<1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－12.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则x1x2>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f(x1x2)<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)得f(93)＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. 由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f(|x|)<f(9)，得|x|>9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．11．已知：f(x)＝log3x2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f(x)最小，log31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x1＜x2≤1，则f(x1)＞f(x2)．即x12＋ax1＋b x1＞x22＋ax2＋b x2恒成立．由此得(x1－x2)(x1x2－b)x1x2＞0恒成立．又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b ＜0恒成立，∴b≥1.设1≤x3＜x4，则f(x3)＜f(x4)恒成立．∴(x3－x4)(x3x4－b)x3x4＜0恒成立． ∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b 恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f(x)同时满足三个条件．第二节函数的性质 A 组1．设偶函数f(x)＝loga|x －b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a ＋1)与f(b ＋2)的大小关系为________．解析：由f(x)为偶函数，知b ＝0，∴f(x)＝loga|x|，又f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以0<a<1,1<a ＋1<2，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a ＋1)>f(b ＋2)．答案：f(a ＋1)>f(b ＋2) 2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．解析：f(x)为奇函数，且x ∈R ，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x ＋2)＝f(x)，令x ＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：0 3．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．解析：因为f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，所以f(x －8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R 上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x －4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)<f(80)<f(11)．答案：f(－25)<f(80)<f(11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x －1)<f(13)的x 取值范围是________．解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，由f(|2x －1|)<f(13)，再根据f(x)的单调性得|2x －1|<13，解得13<x<23.答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f(x)是偶函数，对x ∈R ，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f(x)是偶函数，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x －2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：－2 B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋1)与f(x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________． ①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)＝f(x ＋2) ④f(x ＋3)是奇函数解析：∵f(x ＋1)与f(x －1)都是奇函数，∴f(－x ＋1)＝－f(x ＋1)，f(－x －1)＝－f(x －1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(x)是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x －1＋4)＝－f(x －1＋4)，f(－x ＋3)＝－f(x ＋3)，即f(x ＋3)是奇函数．答案：④ 2．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x ＋32)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝________.解析：f(x)＝－f(x ＋32)⇒f(x ＋3)＝f(x)，即周期为3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1)＝1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________.解析：f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x ＋2)＝－f(x)，所以周期为4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：04．(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，且当x ∈[0,2)时，f(x)＝log2(x ＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0时f(x ＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：15．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f(x ＋2)＝－1f(x)，若当2<x<3时，f(x)＝x ，则f(2009.5)＝________.解析：由f(x ＋2)＝－1f(x)，可得f(x ＋4)＝f(x)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(x)是偶函数，∴f(2009.5)＝f(2.5)＝52.答案：526．已知函数f(x)为R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x ＋1)．若f(a)＝－2，则实数a ＝________.解析：当x≥0时，f(x)＝x(x ＋1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－17．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f(x －4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f(0)＝0.由f(x －4)＝－f(x)知f(x －8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8. 答案：-88．已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x>0时，－x<0，由已知f(－x)＝xlg(2＋x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x) (x>0)．∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－xlg(2－x) (x<0)，－xlg(2＋x) (x≥0).即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x ∈R)．9．已知函数f(x)，当x ，y ∈R 时，恒有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f(x)<0，并且f(1)＝－12，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，令y ＝－x ，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x ＝y ＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x ＋y)－f(x)＝f(y)．∵x ∈R ＋，f(x)<0，∴f(x ＋y)－f(x)<0，∴f(x ＋y)<f(x)．∵x ＋y>x ，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 法二：设x1<x2，且x1，x2∈R.则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R 上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 第三章指数函数和对数函数第一节指数函数 A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>1，b<0，且ab ＋a －b ＝22，则ab －a －b 的值等于________．解析：∵a>1，b<0，∴0<ab<1，a －b>1.又∵(ab ＋a －b)2＝a2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a2b ＋a －2b ＝6，∴(ab －a －b)2＝a2b ＋a －2b －2＝4，∴ab －a －b ＝－2.答案：－22．已知f(x)＝ax ＋b 的图象如图所示，则f(3)＝________.－3＝0，∴a ＝3，则f(3)＝(3)3－3解析：由图象知f(0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f(2)＝a2＝33－3. 答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x2的值域是________．解析：∵2x －x2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x2≥12.答案：[12，＋∞)4．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax －x －a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y ＝ax 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有惟一交点，故a>1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f(x)＝ax －1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a<1a2－1＝0a0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a>1a0－1＝0a2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 36．已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f(x)在R 上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0⇔f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是R 上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.法二：由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t2－2t ＋12t2－2t ＋1＋2＋－22t2－k ＋122t2－k ＋1＋2<0即(22t2－k ＋1＋2)(－2t2－2t ＋1)＋(2t2－2t ＋1＋2)(－22t2－k ＋1)<0整理得23t2－2t －k>1，因底数2>1，故3t2－2t －k>0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.B 组1．如果函数f(x)＝ax ＋b －1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________． ①0<a<1且b>0 ②0<a<1且0<b<1 ③a>1且b<0 ④a>1且b>0解析：当0<a<1时，把指数函数f(x)＝ax 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b<1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f(x)＝－x2＋2ax 与g(x)＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f(x)＝－x2＋2ax ＝－(x －a)2＋a2，所以f(x)在[a ，＋∞)上为减函数，又f(x)，g(x)都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧a≤1a ＋1>1⇒0<a≤1.答案：(0,1]3．已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x)＝ax·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若f(1)g(1)＋f(－1)g(－1)＝52，则a等于________．解析：由f(x)＝ax·g(x)得f(x)g(x)＝ax ，所以f(1)g(1)＋f(－1)g(－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，其反函数为f －1(x)．若f(2)＝9，则f －1(13)＋f(1)的值是________．解析：因为f(2)＝a2＝9，且a>0，∴a ＝3，则f(x)＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f(1)＝3，所以f －1(13)＋f(1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝(13)x ，若f(x)的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．解析：设y ＝g(x)上任意一点P(x ，y)，P(x ，y)关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y)在f(x)＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R)6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝ex ＋e －x ex －e －x的图象大致为________．解析：∵f(－x)＝e －x ＋ex e －x －ex ＝－ex ＋e －xex －e －x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④.又∵y ＝ex ＋e －x ex －e －x ＝e2x ＋1e2x －1＝e2x －1＋2e2x －1＝1＋2e2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝(12)x ；当x<4时，f(x)＝f(x ＋1)，则f(2＋log23)＝________. 解析：∵2<3<4＝22，∴1<log23<2.∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23) ＝f(3＋log23)＝f(log224)＝(12)log224＝2－log224＝2log2124＝124.答案：1248．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝a2x ＋2ax －1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a 的值．解：f(x)＝a2x ＋2ax －1＝(ax ＋1)2－2，∵x ∈[－1,1]， (1)当0<a<1时，a≤ax≤1a ，∴当ax ＝1a 时，f(x)取得最大值． ∴(1a ＋1)2－2＝14，∴1a ＝3，∴a ＝13.(2)当a>1时，1a ≤ax≤a ，∴当ax ＝a 时，f(x)取得最大值． ∴(a ＋1)2－2＝14，∴a ＝3.综上可知，实数a 的值为13或3. 第二节对数函数 A 组1．(2009年高考广东卷改编)若函数y ＝f(x)是函数y ＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a)，则f(x)＝________.解析：由题意f(x)＝logax ，∴a ＝logaa 12＝12，∴f(x)＝log 12x.答案：log 12x2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a ＝log3π，b ＝log23，c ＝log32，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：a ＝log3π>1，b ＝log23＝12log23∈(12，1)，c ＝log32＝12log32∈(0，12)，故有a>b>c.答案：a>b>c3．若函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛]1,0[,4)0,1[,41x x xx，则f(log43)＝________. 解析：0<log43<1，∴f(log43)＝4log43＝3.答案：34．如图所示，若函数f(x)＝ax －1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga 1x ＋1的图象是________．解析：由已知将点(4,2)代入y ＝ax －1，∴2＝a4－1，即a ＝213>1. 又1x ＋1是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ 5．(原创题)已知函数f(x)＝alog2x ＋blog3x ＋2，且f(12010)＝4，则f(2010)的值为_．解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x ＋blog3x ，则F(1x )＝alog21x ＋blog31x ＝－(alog2x ＋blog3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F(12010)＝－[f(12010)－2]＝－2，即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0.答案：0 B 组1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lgx 的图象上所有的点________．解析：∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴将y ＝lgx 的图象上的点向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再将y ＝lg(x ＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f(x)＝lgx 定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③f(x1)－f(x2)x1－x2>0；④f(x1＋x22)<f(x1)＋f(x2)2.上述结论中正确结论的序号是________．解析：由运算律f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝f(x1x2)，所以②对；因为f(x)是定义域内的增函数，所以③正确；f(x1＋x22)＝lg x1＋x22，f(x1)＋f(x2)2＝lgx1＋lgx22＝lg x1x2，∵x1＋x22≥x1x2，且x1≠x2，∴lg x1＋x22>lg x1x2，所以④错误．答案：②③3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≤b )b(a>b)，则函数f(x)＝log 12(3x －2)*log2x 的值域为________．解析：在同一直角坐标系中画出y ＝log 12(3x －2)和y ＝log2x 两个函数的图象，由图象可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x (0<x≤1)log 12(3x －2) (x>1)，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]4．已知函数y ＝f(x)与y ＝ex 互为反函数，函数y ＝g(x)的图象与y ＝f(x)的图象关于x 轴对称，若g(a)＝1，则实数a 的值为________．解析：由y ＝f(x)与y ＝ex 互为反函数，得f(x)＝lnx ，因为y ＝g(x)的图象与y ＝f(x)的图象关于x 轴对称，故有g(x)＝－lnx ，g(a)＝1⇒lna ＝－1，所以a ＝1e . 答案：1e5．(2009年高考辽宁卷改编)若x1满足2x ＋2x ＝5，x2满足2x ＋2log2(x －1)＝5，则x1＋x2＝________. 解析：由题意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即2x1＝2log2(5－2x1)．令2x1＝7－2t ，代入上式得7－2t ＝2log2(2t －2)＝2＋2log2(t －1)，∴5－2t ＝2log2(t －1)与②式比较得t ＝x2，于是2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝T 2.答案：726．(2010年天津和平质检)已知f(x)＝loga 1＋x1－x (a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)>0的x 的取值范围．解：(1)由1＋x1－x>0 ，解得x ∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga 1－x1＋x＝－f(x)，且x ∈(－1,1)，∴函数y ＝f(x)是奇函数．(3)若a>1，f(x)>0，则1＋x 1－x >1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，则0<1＋x1－x <1，解得－1<x<0.7．已知函数f(x)满足f(logax)＝aa2－1(x －x －1)，其中a>0且a≠1.(1)对于函数f(x)，当x ∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m 的集合； (2)x ∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a 的取值范围．解：令logax ＝t(t ∈R)，则x ＝at ，∴f(t)＝aa2－1(at －a －t)，∴f(x)＝a a2－1(ax －a －x)．∵f(－x)＝aa2－1(a －x －ax)＝－f(x)，∴f(x)是R 上的奇函数．当a>1时，aa2－1>0，ax 是增函数，－a －x 是增函数，∴f(x)是R 上的增函数；当0<a<1，aa2－1<0，ax 是减函数，－a －x 是减函数，∴f(x)是R 上的增函数．综上所述，a>0且a≠1时，f(x)是R 上的增函数．(1)由f(1－m)＋f(1－m2)<0有f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m<m2－1，－1<1－m<1，－1<m2－1<1.解得m ∈(1，2)． (2)∵f(x)是R 上的增函数，∴f(x)－4也是R 上的增函数，由x<2，得f(x)<f(2)， ∴f(x)－4<f(2)－4，要使f(x)－4的值恒为负数，只需f(2)－4≤0，即a a2－1(a2－a －2)－4≤0，解得2－3≤a≤2＋3， ∴a 的取值范围是2－3≤a≤2＋3且a≠1. 版权所有：高考资源网(www.k s 5 )第三节幂函数与二次函数的性质 A 组1．若a>1且0<b<1，则不等式alogb(x －3)>1的解集为________．解析：∵a>1,0<b<1，∴alogb(x －3)>1⇔logb(x －3)>0⇔logb(x －3)>logb1⇔0<x －3<1⇔3<x<4.答案：{x|3<x<4} 2．(2010年广东广州质检)下列图象中，表示y ＝x 32的是________．解析：y ＝x 32＝3x2是偶函数，∴排除②、③，当x>1时，32x x＝x 31>1，∴x>x 32，∴排除①.答案：④ 3．(2010年江苏海门质检)若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是__________． ①2x>x 21>lgx ②2x>lgx>x 21 ③x 21>2x>lgx ④lgx>x 21>2x 解析：∵x ∈(0,1)，∴2>2x>1,0<x 21<1，lgx<0.答案：① 4．(2010年东北三省模拟)函数f(x)＝|4x －x2|－a 恰有三个零点，则a ＝__________.解析：先画出f(x)＝4x －x2的图象，再将x 轴下方的图象翻转到x 轴的上方，如图，y ＝a 过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a 的值为4.答案：4 5．(原创题)方程x 12＝logsin1x 的实根个数是__________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y1＝x 21 和y2＝logsin1x 的图象，可知只有惟一一个交点．答案：16．(2009年高考江苏卷)设a 为实数，函数f(x)＝2x2＋(x －a)·|x －a|. (1)若f(0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．解：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0.由a2≥1知a≤－1.因此，a 的取值范围为(－∞，－1]． (2)记f(x)的最小值为g(a)．则有f(x)＝2x2＋(x －a)|x －a| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(x －a 3)2＋2a23，x>a ， ①(x ＋a)2－2a2，x≤a ， ②(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2. (ⅱ)当a<0时，f(a 3)＝23a2.若x>a ，则由①知f(x)≥23a2；若x≤a ，则x ＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>23a2.此时g(a)＝23a2. 综上，得g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a2， a≥0，2a23， a<0.(3)(ⅰ)当a ∈(－∞，－62]∪[22，＋∞)时，解集为(a ，＋∞)； (ⅱ)当a ∈[－22，22)时，解集为[a ＋3－2a23，＋∞)； (ⅲ)当a ∈(－62，－22)时，解集为(a ，a －3－2a23]∪[a ＋3－2a23，＋∞)． B 组1．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y ＝f(x)的图象经过点(－2，－18)，则满足f(x)＝27的x 的值是__________．解析：设幂函数为y ＝xα，图象经过点(－2，－18)，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∵x －3＝27，∴x ＝13.答案：13 2．(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f(x)＝xα则不等式f(|x|)≤2的解集是__________．解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f(x)＝x 12.∴(|x|)12≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 答案：{x|－4≤x≤4-3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x>0)，x2＋bx ＋c (x≤0)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为__________．解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x≤0，x2＋4x ＋4≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0.答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}4．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x ， x≥0，4x －x2， x<0.若f(2－a2)>f(a)，则实数a 的取值范围是__________．解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x ，x≥0，4x －x2，x<0，的图象如图．知f(x)在R 上为增函数．∵f(2－a2)>f(a)，即2－a2>a. 解得－2<a<1. 答案：－2<a<1版权所有：高考资源网(www.k s 5 )第四节函数的图像特征 A 组1．命题甲：已知函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x ＝1对称．命题乙：函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________．解析：可举实例说明如f(x)＝2x ，依次作出函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象判断．答案：甲 2．(2010年济南市高三模拟考试)函数y ＝x|x|·ax(a>1)的图象的基本形状是_____．⎩⎪⎨⎪⎧ax(x>0)－ax(x<0)，解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y ＝由指数函数图象易知①正确．答案：①3．已知函数f(x)＝(15)x －log3x ，若x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值为__________(正负情况)．解析：分别作y ＝(15)x 与y ＝log3x 的图象，如图可知，当0<x1<x0时，(15)x1>log3x1， ∴f(x1)>0.答案：正值4．(2009年高考安徽卷改编)设a<b ，函数y ＝(x －a)2(x －b)的图象可能是_____解析：∵x>b 时，y>0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③5．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧．(2,5]∈，3－，1,2]－[∈，－32x x x x(1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间．解：(1)函数f(x)的图象如图所示．,(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]． B 组6.(2010年合肥市高三质检)函数f(x)＝ln 1－x1＋x的图象只可能是__________．解析：本题中f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，从而排除②③选项．又由于u(x)＝－1＋21＋x 在定义域{x|－1<x<1}内是减函数，而g(x)＝lnx 在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f(x)＝ln 1－x 1＋x ＝ln(－1＋21＋x)在定义域{x|－1<x<1}是减函数．答案：①7．已知函数f(x)＝4－x2，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x ，则函数y ＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．解析：f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)·g(x)为奇函数，图象关于原点对称，当x→＋∞时，f(x)→－∞，g(x)→＋∞，所以f(x)·g(x)→－∞答案：② 8．已知函数y ＝f(x)(x ∈R)满足f(x ＋2)＝f(x)，且x ∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则y ＝f(x)与y ＝log7x 的交点的个数为__________．解析：由f(x ＋2)＝f(x)知函数y ＝f(x)为周期为2的周期函数，作图．答案：69．(2009年高考福建卷改编)定义在R 上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是 ①y ＝x2＋1②y ＝|x|＋1③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x≥0x3＋1，x<0④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ex ，x≥0e －x ，x<0解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，而y ＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数．答案：③ 第四章函数应用 A 组1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x(x ＋4)，x<0，x(x －4)，x≥0.则函数f(x)的零点个数为________．解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x 轴有三个交点，即函数的零点有3个．答案：32．根据表格中的数据，可以判定方程ex －x －2＝0的一个根所在的区间为___．解析：据题意令f(x)＝ex －x －24>0，故函数在区间(1,2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．答案：(1,2)3．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a ，a]内根的个数是__________．解析：由题意函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，根据零点存在定理知：在区间[0，a]内函数f(x)一定存在惟一零点且f(0)≠0，又函数f(x)是偶函数，故其在[－a,0]也惟一存在一个零点，所以方程f(x)＝0在区间[－a ，a]内根的个数为2.答案：2千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．答案：148.45．(原创题)已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．解析：作f(x)的图象，如图，g(x)=f(x)-a=0，即f(x)=a，当a=1时，g(x)有无数个零点；当a>1时，g(x)有2个零点；∴a的最小值为1.答案：16．(2009年高考上海卷)有时可用函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln a a－x，x≤6，x－4.4x－4，x＞6，描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．解：(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝0.4(x－3)(x－4).而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故f(x＋1)－f(x)单调递减．∴当x≥7，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．(2)由题意可知0.1＋15lnaa－6＝0.85，整理得aa－6＝e0.05，解得a＝e0.05e0.05－1·6≈20.50×6＝123.0，123．0∈(121,127]．由此可知，该学科是乙学科．B组1．(2010年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：________ ①y ＝2x －2 ②y ＝(12)x ③y ＝log2x ④y ＝12(x2－1)解析：代入点(2,1.5)，(3,4)检验．答案：④2．(2010年安徽省江南十校模拟)函数f(x)＝2x ＋x －7的零点所在的区间是____． ①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4)解析：因为f(0)＝－6<0，f(1)＝2＋1－7＝－4<0，f(2)＝22＋2－7＝－1<0，f(3)＝23＋3－7＝4>0，所以函数的零点在区间(2,3)内．答案：③ 3．已知函数f(x)＝x ＋log2x ，则f(x)在[12，2]内的零点的个数是______．解析：易知g(x)＝x 与h(x)＝log2x 均为增函数，故函数f(x)为增函数，且f(2)·f(12)<0，故函数有且只有一个零点．答案：1 4．(2010年珠海质检))与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t 最接近于________分钟．解析：由表格中所给数据可以得出n 与t 的函数关系为n ＝2t 20，令n ＝1000，得2t20＝1000，又210＝1024，所以时刻t 最接近200分钟．答案：2005．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n)＝12n(n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：由题知第一年产量为a1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an ＝f(n)－f(n －1)＝12n·(n ＋1)(2n ＋1)－12n·(n －1)(2n －1)＝3n2(n ∈N*)，令3n2≤150，得1≤n≤52⇒1≤n≤7，故生产期限最长为7年．答案：7 6．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得：f(x) ＝)，(8∈，2.85×8)－(＋2.15×5＋9(3,8]∈，2.15×3)－(＋9(0,3]∈，1＋8∞＋x x x x x令f(x)＝22.6，解得x ＝9.答案：97.(2010年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A 、B 、C 、D 为圆心，以b(0<b≤32)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意实线部分的总长度为l ＝4(3－2b)＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 关于b 的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l 关于b 的函数单调递减，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图。

2024年高二数学必修一到五知识点总结范本(二篇)

2024年高二数学必修一到五知识点总结范本高二数学必修一到五是中学数学的基础部分，涵盖了数学的各个方面，包括代数、几何、函数与方程、概率与统计等。

下面将对高二数学必修一到五的知识点进行总结，供您参考。

必修一：代数基础1. 实数- 理解实数的定义和性质，包括有理数和无理数。

- 利用实数的性质进行加减乘除、开方等运算。

2. 平方根与立方根- 理解平方根和立方根的意义。

- 计算整数、分数和小数的平方根和立方根。

3. 整式与多项式运算- 理解整式的定义和概念。

- 进行多项式的加减乘除运算，包括分配律、合并同类项等操作。

4. 因式分解- 理解因式分解的定义和原理。

- 进行一元多项式的因式分解，包括公因式提取法、提取平方根法等方法。

5. 一次、二次根式与分式方程- 理解根式的定义和性质。

- 解一次、二次根式方程和分式方程。

必修二：函数与方程1. 幂函数与指数函数- 理解幂函数和指数函数的定义和性质。

- 描述幂函数和指数函数的图像和性质。

2. 对数函数- 理解对数函数的定义和性质。

- 描述对数函数的图像和性质。

3. 三角函数- 理解三角函数的定义和性质。

- 了解正弦、余弦、正切函数及它们的反函数。

- 利用三角函数求解问题。

4. 一次函数和二次函数- 理解一次函数和二次函数的定义和性质。

- 描述一次函数和二次函数的图像和性质。

- 掌握一次函数和二次函数的相关计算方法。

5. 方程与不等式- 解线性方程和一元二次方程。

- 解简单的一元二次不等式和一元二次方程组。

必修三：解析几何与向量1. 向量- 理解向量的定义和性质。

- 进行向量的运算，包括向量加减、数量乘法、点乘和叉乘。

2. 平面与空间- 理解平面和空间的概念和性质。

- 确定平面和空间的方程，包括点法式、一般式等。

3. 直线和圆- 理解直线和圆的概念和性质。

- 计算直线和圆的方程和位置关系，包括直线与直线的关系、圆与直线的关系等。

4. 曲线与椭圆- 理解曲线和椭圆的概念和性质。

高中数学复习全册知识总结,必修1-5重点归纳,赶快背

高中数学复习全册知识总结，必修1-5重点
归纳，赶快背
高中数学必修1-5重点归纳如下：
一、必修一：函数与导数
1、定义域，值域；函数的分类以及函数的性质判断；
2、延拓函数定义及延拓函数的图象；
3、定义导数，求解一次函数的导数，包括指数函数和对数函数的导数；
4、求极限，利用极限的运算求导数；
5、求多变量函数的偏导数，梯度和方向导数；
二、必修二：应用类函数几何
1、单调函数，偶函数，周期函数及其变换；
2、指数函数，对数函数及其变换；
3、不定积分，定积分，面积函数及其在定义域上的性质；
4、反函数及其图象；
三、必修三：统计与概率
1、实践统计，频率表；
2、概率的定义及其分类，概率的计算；
3、随机事件的相互独立性，正、多项式分布，正态分布；
四、必修四：空间初步
1、定义空间中的点，直线，平面；
2、平行线，平行平面，非平行线，空间的顶点；
3、空间的距离，空间的弦长，空间的体积；
4、垂心线，平面斜率，直线斜率，平面及直线的相交；
五、必修五：曲面与向量
1、曲线求法，勒让德定理；
2、向量的定义，向量的运算；
3、平行四边形，平行四边形内角和；
4、向量积，叉积及其共面与垂直；。

高中数学总复习资料汇总(必修1-5),精品系列

2
n 个元素时，有
2n 个子集，有 2n-1 个真子集，有
例 1 正解：
y
已知
∵ y
A
2
y y
x
4x
3， x
2
2
R
，
1
B
y y
x
2x
2， x
R
，求A
B．
x
2
4x
3
(x
2)
2
y
2
(x
1)
3≤ 3 ，
∴ A
1
，
B
y y≤ 3
，
∴ A
B
y
1≤ y ≤ 3
．，均是 y ，所以要求出两个集合中 y 的
例如，通常用
N ， Z， Q， B， Q+ 分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理来表示。集合分有限集和无限集两种。
数集，不含任何元素的集合称为空集，用
集合的表示方法有列举法：
将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集
合的方法，如 {1 ， 2， 3} ；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如 { 有理数 } ，定义 2 {xx 0} 分别表示有理数集和正实数集。 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B ，例如 N B 中的元素， A是
子集：对于两个集合 A
则 A 叫做 B 的子集，记为
Z 。规定空集是任何集合的子集，如果
B 的子集， B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A ，则 A 叫 B 的真子集。便于理解： A B 包含两个意思：① A A A x R, a B B {x x {x x A且 x A或 x {xx b} A 与 B 相等、② A 是 B 的真子集 B }. B }. I ,且 x A}

高中数学必修一到必修三知识点复习大全

高中数学必修一到必修三知识点复习大全
一、必修一知识点复
1. 函数与方程
- 函数的概念和常见类型
- 一次函数和二次函数的图像
- 方程的解和方程组的解法
- 利用函数和方程解决实际问题
2. 数列与数学归纳法
- 等差数列和等比数列的概念和性质
- 数学归纳法的基本思想和应用
3. 三角函数与解三角形
- 三角函数的定义和基本性质
- 三角函数在三角形中的应用
- 解三角形的方法和技巧
二、必修二知识点复
1. 平面向量
- 向量的概念和基本运算
- 向量的数量积和向量积
- 向量在几何中的应用
2. 二次函数与一元二次方程
- 二次函数的图像和性质
- 一元二次方程的解法和应用
3. 概率
- 概率的定义和基本运算
- 事件的独立性和互斥性
- 概率在实际问题中的应用
三、必修三知识点复
1. 平面解析几何
- 平面直角坐标系和向量的运算- 点、直线和圆的方程
- 几何形体的性质和证明
2. 立体几何
- 空间坐标系和向量的运算
- 空间图形的投影和旋转
- 空间几何体的性质和计算
3. 统计与数理统计
- 随机变量和概率分布
- 参数估计和假设检验
- 数据分析和解读
以上是高中数学必修一到必修三的知识点复大全。

希望对你的研究有所帮助！。

高中数学知识点考点梳理汇总(必修1-5,选修系列)

高中数学知识点考点汇编必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，或表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是，或者，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合空真子集. A有个元素，则它有2n个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集1（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确）叫做集合定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B 的对应法则f2A到B的一个函数，记作．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设a,b是两个实数，且，满足的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足的实，或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记的x实数b数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足做[a,b)，(a,b]；满足的集合分别记做．注意：对于集合与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①③f(x)是整式时，定义域是全体实数．f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知等式的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程，则在时，由于x,y为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．3⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它）叫做集合A到B的映射，记作．对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f②给定一个集合A到集合B的映射，且．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法③为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，u为减，则为减；若为减，为增，则为减．（2）打“√”函数a的图象与性质xf(x)分别在、)上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有是函数；．（2）存在，使得②一般地，设函数．那么，我们称Mf(x) 的最大值，记作的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的，都有（2）；存在，使得．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数f(x)为奇函数，且在处有定义，则．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．5①平移变换左移h个单位上移k个单位右移|h|个单位下移|k|个单位②伸缩变换伸缩缩伸③对称变换y轴x轴直线原点去掉y轴左边图象保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果x，且，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用的n次n是偶数时，正数a的正的nn次方根用符号0方根是0；负数a没有n次方根．这里n叫做根指数，当n为奇数时，当n为偶数时，．a叫做被开方数．a为任意实数；③根式的性质：（2）分数指数幂的概念；当n；当n为偶数时，．mn①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．mn②正数的负分数指数幂的意义是：且．0a的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①②6③(ab)r【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若ax且，则x叫做以a为底N的对数，记作x，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：x（2）几个重要的对数恒等式．，，．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中）．7（4）对数的运算性质如果①加法：loga，那么②减法：④MN③数乘：nloga⑤logablogbNn且⑥换底公式：logbab【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数的定义域为A，值域为C，从式子中解出x，得式子．如果对于y在C，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示x是y的函中的任何一个值，通过式子x8数，函数x叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将x中反解出；改写成1(x)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数与反函数的图象关于直线对称．的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．的图象上，则P’(b,a)在反函数的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在y轴．上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q（其中p,q互质，p和），p是偶函数，若若则p为奇数q为奇数时，则是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则为偶数q为奇数时，p是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数在直线，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（3）二次函数图象的性质①二次函数f(x)更方便．的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是2a．2a4a10②当时，抛物线开口向上，函数在bbb]上递减，在上递增，当2a2a2a时，4a时，；当时，抛物线开口向下，函数在bbb在当上递增，上递减，2a2a2a4a．③二次函数当0时，图象与x轴有两个交点．|a|（4）一元二次方程ax2根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要设一元二次方程ax2的两实根为x1,x2，且．令，从以下四个b2a③判别式：④端点函数值符号．方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x①k＜x1≤x2②x1≤x2＜③x1＜k＜＜011④k1＜x1≤x2＜⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数设在闭区间[p,q]上的最值，最小值为m，令x0f(x)在区间[p,q]上的最大值为M（Ⅰ）当a1． 2时（开口向上）①若bbbb，则②若，则③若，则2a2a2a2axxx12①若，则②，则x(Ⅱ)当时(开口向下) ①若①若bbbb，则②若，则③若，则2a2a2a2axxxff，则②，则．2a2axfx一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数的零点。

2024年高二数学必修一到五知识点总结

2024年高二数学必修一到五知识点总结第一章算法与方程1.算式的计算规则（加减乘除）。

2.带括号的算式的计算。

3.一次方程的解法（倒数法、交换法、消元法）。

4.含有单变元一次方程组的解法。

5.二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）。

第二章函数与图像1.函数的概念及表示方法。

2.函数的性质（奇偶性、周期性）。

3.函数的平移、伸缩、翻折及其对图像的影响。

4.简单函数的图像绘制。

5.函数与方程的关系。

第三章三角函数1.角度与弧度的转换及相关公式。

2.常用角的正弦、余弦、正切关系。

3.三角函数的周期性及图像特点。

4.三角函数的性质及相关公式。

5.简单三角方程的解法。

第四章指数与对数1.指数的性质及相关公式。

2.对数的概念及表示方法。

3.反函数的概念及性质。

4.指数与对数的基本运算。

5.常用指数与对数函数的图像绘制。

第五章排列与组合1.排列与组合的概念及表示方法。

2.排列与组合的性质及相关公式。

3.简单的排列与组合问题的解法。

4.二项式定理及其应用。

5.容斥原理的概念及应用。

第六章统计与概率1.统计学的基本概念及方法。

2.频数分布表及其应用。

3.描述性统计量（均值、中位数、众数、标准差）的计算及应用。

4.概率的概念及计算方法。

5.事件的互斥与独立性。

第七章线性函数1.函数的定义及性质。

2.线性函数的概念及表示方法。

3.线性函数与方程的关系。

4.线性函数的性质及相关公式。

5.简单线性方程组的解法。

第八章二次函数1.二次函数的定义及表示方法。

2.二次函数的图像特点及其与一次函数的比较。

3.二次函数图像的平移、伸缩、翻折及其对图像的影响。

4.二次函数的性质及相关公式。

5.简单二次方程的解法。

第九章平面向量1.向量的定义及表示方法。

2.向量的加减法及数量积、向量积的计算方法。

3.向量的线性相关与线性无关的概念及判定条件。

4.向量在平面几何中的应用。

5.平面向量和空间向量的相互转化及应用。

第十章立体几何1.立体几何的基本概念（点、线、面、体）及表示方法。

高中数学必修一至必修五知识点总结(最新最全）

必修1第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA二、集合间的基本关系任何一个集合是它本身的子集。

AA②真子集:如果AB,且BA那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合）四、函数的有关概念定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

知识点汇总(高中数学必修一至必修五基础)

必修1—必修5基础知识点总结必修一（一）集合 1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性.（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用ϕ表示.（3）我们约定用N 表示自然数集，用N *表示正整数集，用Z 表示整数集，用Q 表示有理数集，用R 表示实数集.（4）集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn 图).2.集合间的基本关系（1）集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系，有属于“∈”和不属于“∉”两种情形.（2）集合与集合之间的关系集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A 中有n 个元素，集合A 的子集个数为2n ，非空子集的个数为21n-，真子集的个数为21n -，非空真子集的个数为22n-. 3.集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算. 4.集合运算中两组常用的结论（1）①()()() U UU A B A B =痧?； ②()()()U U U A B A B = 痧?. （2）①A B A B A ⊆⇔= ；②A B A B B ⊆⇔= . （二）函数的概念（1）函数的定义设A ，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的值域.值域是集合B 的子集.③·映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一. （2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数. 2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（三）函数单调性 1.增函数、减函数设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.单调性、单调区间如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间. 3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤： ①设出自变量；②作差（商）；③判号；④写出结论. 2．函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值，即图像的最高点或最低点. 3．函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x 值.4.判断函数单调性的常见方法①定义法；②图象法；③导数法. ④ 5.求函数最值或值域的方法①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.5.一些重要函数的单调性1y x x=+的单调区间：增区间(,1),(1,)-∞-+∞；减区间(1,0),(0,1)-. ()0,0by ax a b x=+>>的单调区间：增区间（四）函数奇偶性1.奇偶性(1)奇函数、偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数.如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=-f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数. (2)奇偶性如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么就说函数()f x 具有奇偶性.(3)奇函数、偶函数的性质 ①奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）； ②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；③若奇函数()f x 在x =0处有定义，那么一定有(0)0f =.④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数.⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.（五）基本函数：一次二次函数1.函数(0)y kx b k =+≠叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R2.一次函数性质①当k >0时，为增函数，当k <0时，为减函数；②当b =0时，函数(0)y kx k =≠为正比例函数；③直线y =kx +b 与x 轴的交点为(,0)(0)bk k-≠与y 轴的交点为(0,)b .3.二次函数的解析式的三种形式：①一般式c bx ax x f ++=2)(； ②顶点式k h x a x f +-=2)()(； ③零点式))(()(21x x x x a x f --=； 4.二次函数的图象与性质①()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭(0)a ≠的图象是一条抛物线，顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴方程为2bx a =-，当0a >时开口向上, 当0a <时开口向下；②()2400,0b ac ∆=->∆=∆<时，抛物线与x 轴有2个（1个、无）交点.③单调性：当0a >时，()f x 在(,]2ba-∞-减函数；在(,)2ba-+∞上是增函数.0a <，相反. ④奇偶性：()0当时，为b f x =偶函数；()0当时，b f x ≠既不是奇函数也不是偶函数；（六）指数函数 1.幂的有关概念正整数指数幂：n a a a a =g g g L g 14444244443个na ；零指数幂：0a =1(0a ≠) ；负整数指数幂：pa -=1p a(0,a p N +≠∈)；正分数指数幂：m na 0,1a m n N n +>∈>、且);负分数指数幂：m na-=1m na(0,1a m n N n +>∈>、且);0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.2.幂的运算法则（0,0,a b r s Q >>∈、）r s a a =r s a +；()r s a =rs a ；()r ab =r r a b4.指数函数()xf x a =具有性质：()()()(),1(0,1)f x y f x f y f a a a +==>≠（七）对数函数1.定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是ba N =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 称对数的底，N 称真数. ①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，②以无理数( 2.71828)e e =为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln2.基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）， ②log 10a =，③log 1a a =， ④对数恒等式：log a NaN =.3.运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则 ①log ()log log a a a MN M N =+； ②log log log aa a MM N N=-； ③log log n aa M n M =.4.换底公式：log log log m a m NN a=(0,1,0,1,0),a a m m N >≠>≠>①log log 1a b b a ⋅=，②log log mna a nb b m=. 5.对数函数的图像与性质（八）幂函数：,y x =2y x =3,y x =1y x=12y x =的图像1.当0a >时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，随x 的增大而增大； (3)在第一象限内，1α>时图像下凸,01α<<时图像上凸.(4)在第一象限内，过()1,1点后，图像向右上方无限伸展.2.当0<α时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图像是向下凸的；(3)在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近；(4)在第一象限内，过()1,1点后，α越大，图像下落的速度越快. （九）函数图像变换 1．平移变换⑴水平平移：()()0y f x a a =±> 的图象，可由()y f x = 的图象向左()+ 或向右()- 平移a 个单位而得到；⑵竖直平移：()()0y f x b b =±> 的图象可由()y f x = 的图象向上()+ 或向下()- 平移b 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减. 2．对称变换⑴()y f x =- 与()y f x = 的图象关于y 轴对称;⑵()y f x =- 与()y f x = 的图象关于x 轴对称; ⑶()y f x =-- 与()y f x = 的图象关于原点对称;⑷()1y f x -= 与()y f x = 的图象关于直线y=x 对称;⑸()y f x = 的图象可将()y f x = 的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变;⑹()y f x = 的图象可将()y f x = ，()0x ≥ 的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴对称，作出0x < 的部分.3.伸缩变换⑴()()0y Af x A => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到;⑵()()0y f ax a => 的图象，可将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的1a，纵坐标不变而得到.（十）函数的应用1．函数零点的定义：对于函数()()(),0y f x x D f x =∈=使成立的_实数x _叫做函数()()y f x x D =∈的零点 .2.二分法定义：对于区间[],a b 上连续，且()()0f a f b < 的函数()y f x =,通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近似解. 3．解函数应用题，一般可按以下四步进行． (1)阅读理解，认真审题．(2)引进数学符号，建立数学模型．(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果．(4)转译成具体问题做出回答．必修二（一）多面体和旋转体 1．多面体和旋转体的概念（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱．（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．（6）圆台：①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②圆台还可以看成是以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.（7）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．2．多面体和旋转体的面积和体积公式（1）圆柱的侧面积：S=2πrl ；（2）圆锥的侧面积：S=πrl ；（3）圆台的侧面积：S =π（r+ r ′）l ；（4）球的表面积：24πV R =；（5）柱体的体积：V=Sh ；（6）锥体的体积：13V Sh =；（7）台体的体积：1()3V S S h '=；（8）球的体积：24π3V R =.（二）画法1．我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点．2．我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．3．光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图叫做几何体的俯视图；几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．一般地，一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样．一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．4．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于点O ．画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴交于点O '，且使x O y '''∠=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段．（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．（三）点线面位置关系1．四个公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；用符号表示为：A lB l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，且，；公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；用符号表示为：P P l αβαβ∈∈⇒= ，且；公理4 平行于一条直线的两条直线互相平行；用符号表示为：m l n l m n ⇒∥，且∥∥； 2．异面直线（1）我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（2）空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩ 直　线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线直　线：同一平面内，没有公共点；直　线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（3）已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面之间的位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点；（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行——没有公共点；直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．4．平面与平面之间的位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线．（四）平行问题1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线l 与平面α平面，记作l ∥α；2．直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；用符号表示：a b a b a αβα⊄⊂⇒，，且∥∥．2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；用符号表示：a ab a b αβαβ⊂=⇒ ∥，，∥．3．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；用符号表示：a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒ ，，，∥，∥∥．几个结论：①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行； ③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；4．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；且符号表示：a b a b αβαγβγ==⇒ ∥，，∥．5．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：a b a b αα⊥⊥⇒，∥．（五）垂直问题1．定义：如果直线l 和平面α内的所有直线都垂直，那么直线l 和平面α垂直，记作l ⊥α．直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足．2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：l a b a b A a αααα⊥⊂⊂=⇒⊥ ，，，且．3．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：a b a b αα⊥⊥⇒，∥． 4．平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；用符号表示：a a αβαβ⊂⊥⇒⊥，． 5．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示：l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥ ，，，．几个结论：①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．（六）角问题1．已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．两异面直线所成角范围02π⎛⎤⎥⎝⎦，．2．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．直线和平面所成角范围02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来衡量．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角范围[0]π，．（七）直线的概念与方程1、直线倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴为基准, x 轴的正方向与直线l 向上的方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.并规定:直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0.直线的倾斜角的取值范围是[)180,0.2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示.直线倾斜角α与斜率k 的关系式为αtan =k .当k=0时,直线平行于x 轴或者与x 轴重合;当k>0时,直线的倾斜角为锐角;当k<0时,直线的倾斜角为钝角;倾斜角为90的直线没有斜率.3、两点斜率公式：直线上两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),当1x =2x 时,直线的斜率不存在,当1x ≠2x 时,直线的斜率为1212x x y y k --=.4、直线方程的点斜式:设直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k ,则方程)(00x x k y y -=-称为直线方程的点斜式.当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示,直线方程此时为0x x =.5、直线方程的斜截式：直线方程b kx y +=由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定,所以方程b kx y +=被称为直线方程的斜截式.斜率不存在时,直线方程斜截式不存在.6、直线方程的两点式：已知经过两点),)(,(),,(2121222111y y x x y x P y x P ≠≠的直线方程为121121x x x x y y y y --=--称为直线方程为直线方程的两点式.直线两点式方程的前提是直线的斜率存在且斜率不为0.7、直线方程的截距式直线在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则直线方程1=+bya x 称为直线方程的截距式.应用截距式的前提有斜率存在且不为0,还要求直线不能过原点.8、直线方程的一般式：二元一次方程0Ax By C ++=（,A B 不同时为0）为表示的直线方程称为直线方程的一般形式.当0≠B 时,可变形为BC x B A y --=,它表示一条斜率为B A-且在y轴上截距为CB-的直线; （八）直线的关系和距离1、直线平行的条件：两条不重合的直线21l l 、，根据两条直线平行的定义及性质可知1l //212αα=⇔l ,再由k 与α的关系可知:21//l l 时21k k =或者21k k 、均不存在；反之21k k =或者21k k 、均不存在时两条直线平行。

高中生高中数学“必修1~必修5”,难点学渣保命看这里

高中生高中数学“必修1~必修5”，难点学渣保命看这里必修一第一章：集合和函数的基本概念错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。

次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。

高三生在一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。

第二章：基本初等函数指数、对数和幂函数的运算性质和图像。

函数的几大要素及相关考点基本都体现在函数图像中，比如单调性、增减性、极值、零点等等。

关于这三个函数的运算公式，多记多用，多做习题，基本没问题。

函数形象是本章最难的一点，形象问题不是靠记忆就能解决的。

你必须理解并熟练绘制函数图像，比如定义域、值域、零点等等。

对于幂函数，还需要了解指数幂大于1小于1时，图像的差分与函数值的关系，这也是常犯的错误点。

另外，指数函数和对数函数的对立以及如何转化也要搞清楚。

第三章：函数的应用主要就是函数与方程的结合。

其实就是方程的实根，即函数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。

这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间的灵活转化，以求能最简单的解决问题。

关于证明零点的方法，这是这一章的难点，几种证明方法都要记得，多练习强化。

二次函数的零点的Δ判别法，这个倒不算难。

私信我，回复“1”，我为大家准备了高中9大科思维导图及《满分攻略》，帮助大家快速提高成绩，高考冲刺如虎添翼！必修二第一章：空间几何画三观和直视并不难。

但是从三视图中恢复实物并计算出来，需要很强的空间感。

要能从三个平面图中慢慢画出脑海中的实物。

这就需要同学们，尤其是空间感比较弱的同学们，多看看书上的插图，把实体图和平面图结合起来，熟练地先往前推，再慢慢往后推。

做题的时候要结合素描，不能光凭想象。

记住后面圆锥圆柱的表面积和体积的公式，问题不大。

高中数学必修1-5选修123全套知识点-附加练习答案--高考数学全攻略史上最完整的高中数学知识点总结.资料

高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

数学必修一到必修五知识点总结

数学必修一到必修五知识点总结数学是一门抽象而又实用的学科，它的运算规则和逻辑思维有助于我们理解和解决实际生活中的问题。

在我国的中学教育中，数学是必修科目，从必修一到必修五，涵盖了广泛的数学知识点。

在这篇文章中，我将总结数学必修一到必修五的重要知识点。

必修一：代数基础与函数在必修一的代数基础中，我们学习了数学中的符号和代数运算法则。

这包括了正数、负数、绝对值、有理数等的概念和运算规则。

我们也学习了一次函数和二次函数的表达与应用，如何画出它们的图像，并求解方程和不等式。

必修二：平面几何与立体几何在必修二的平面几何中，我们学习了点、线、面等基本几何概念，并研究了它们之间的关系。

我们学习了如何证明几何定理，如直线与平面的交点问题，三角形的性质等。

在立体几何中，我们学习了立体图形的性质，如正方体、长方体、圆锥、圆柱等的表面积与体积的计算。

必修三：数列与三角函数在必修三的数列部分，我们学习了等差数列和等比数列的性质与应用，如何求出数列的通项公式和前n项和。

三角函数部分，我们学习了正弦函数、余弦函数、正切函数等的基本性质和图像，以及相关的计算方法。

必修四：概率与统计在必修四的概率部分，我们学习了事件的概念、概率的计算方法、样本空间和事件的关系等内容。

统计学部分，我们学习了收集数据和整理数据的方法，如何运用频率表、频率分布、直方图等来描述和分析数据，并掌握了如何计算均值、中位数、众数等统计指标。

必修五：函数与导数在必修五的函数部分，我们学习了一些新的函数，如指数函数、对数函数、幂函数等，以及它们的性质和图像。

我们还学习了复合函数和反函数的概念，掌握了如何求解函数的零点和极值等。

在导数部分，我们学习了导数的定义和性质，掌握了如何求解函数的导数以及相关的应用，如曲线的切线方程、函数的单调性等。

通过对数学必修一到必修五知识点的总结，我们可以看到数学的体系在逐步完善和深化。

从代数基础到几何，再到三角函数、概率统计和函数与导数，每个学科都有自己的重要概念和方法，而它们又有着内在的联系和应用。