仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用

Y
Y
P
X
P 1' P2
X
B
图３ 椭圆仿射变换图
C 1
P
A
图2 圆及外切三角形示意图
3
有关椭圆某部分面积的问题 对于求有关圆的扇形面积是较容易办到 的，但对于椭圆来说，要求其面积很不方便， 通过仿射变换将椭圆变成圆再来解决问题则简 捷很多。 例:求椭圆 x + y = 1 两点 P1 ( 3 2, 5 2) ，
得出 cosθ，sinθ为：
图1 仿射变换求椭圆图
解：设在笛式直角坐标系下椭圆的方程为
.
70
.
电大理工
总第 230 期
x2 y2 + = 1 对其进行仿射变换 a2 b2 x 1 ⎧ 0 ⎪ x' = a ⎪ a Δ= ≠ 0 则椭圆的仿射对应图 ⎨ 1 y ⎪ y' = 0 ⎪ b b ⎩
形为圆 x2+y2=1 由于仿射变换保持两个封闭凸曲线的面积 的比不变，且等于变换系数行列式的绝对值， 即：
p2 (
3 5 2 ,− 2 ) 和中心的连线以及椭圆弧 P1P2 2 2
所围成的面积 Soppo。
x' = x 解：如图 3 仿射变换 ⎪ ⎪ 3 ⎧ 4
⎨ ⎪ y' = 4 y ⎪ 5 ⎩
把椭圆
x2 y2 2 2 + 2 = 1 变圆 x’ +y’ =16 2 a b
2 2
2 2
S' 1 （S’为圆的面积，S 为椭圆的 = Δ = S ab
2007 年 3 月
电大理工 Dianda Ligong
第 1 期 总第 230 期
仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
谭长明 汝春雷 鞍山师范学院 （ 鞍山 114007）
摘
要
仿射变换是几何中一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。灵活地运用仿射
变换，能使一些初等几何问题由繁到简。论文中，应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质 的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中。 关键词 仿射变换 不变性 不变量 椭圆
⎧ x' = a11 x + a12 y + a13 则由仿射变换成： ⎨ ⎩ y ' = a 21 x + a 22 y + a 23
知此圆的象的参数方程为：
L
⎧ x'−a13 = r (a11 cos θ + a12 sin θ ) ⎨ ⎩ y '−a 23 = r (a 21 cosθ + a 22 sin θ )
cos θ =
sin θ =
1 [a 22 ( x'− a13 ) − a12 ( y '− a 23 )] r (a11 a 22 − a12 a 21 )
1 [ a11 ( y '− a 23 ) − a 21 ( x '−a13 )] r ( a11 a 22 − a12 a 21 )
将以上二式平方相加得圆的象的方程为： (x1’-a13’)(a212+a222)-2(x’-a13)(y’-a23)(a11a21+ a12a22)+(y’-a232)(a112+a122)=r2(a11a22-a21a12)2 可以证明这是一个椭圆的方程，因此得知 圆的仿射对应图形是椭圆。 由于圆的仿射对应图形是椭圆，所以可以 从圆的性质推导出椭圆的一些性质：已知三角 形 ABC 的顶点与其内切圆的切点的连线共点， 因为圆的仿射对应图形是椭圆，三角形的仿射 对应图形也是三角形，且仿射对应图形保持结 合性不变，所以圆的切线的仿射对应图形是椭 圆的切线，因此图 1 的仿射对应图形是图 2。 解决有关椭圆的问题就可以简化为解决圆 的问题，主要应用如下： (1)求椭圆的面积 利用仿射变换求椭圆的面积见图 1：
圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆 比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有 关的定理举不胜举，但椭圆则不然，因其本身 的定义要比圆复杂， 椭圆的性质和定理就很少， 解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆 有关的相应的问题困难得多。在初等几何中， 有很多有关椭圆的问题，只能通过解析几何的 方法来解决， 这就给我们解题带来了不少麻烦。 因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有 关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而 由仿射变换性质可知：椭圆通过适当的仿射变 换可变成圆。因此，只要考虑的有关椭圆的问 题纯属仿射性质的问题，就可以先转化为有关 圆相应的问题来解决，再把所得的结果推广到 椭圆中去，即可达到我们解题的目的。 为实现上述目的，我们还应该明确，为什 么椭圆通过适当的仿射变换可变成圆？ 命题 圆的仿射对应图形是椭圆 y=rsinθ 证明：设有以原点为中心，r 为半径的一 个圆，它的参数方程为：x =rcosθ
sin α =
2 R
=
2 2 2 = 4 2
∴α =
π
4
圆 O’中的扇形面积
S oppo =
S O 'P1 'P2 'O ' S OP1P2 0
1 π × 2α × R 2 = × 16 = 4π 2 4
=
而
15 5 4 4 16 ∴ S S O ' P1 ' P2 'O ' = π × = OP1 P2 O = 16 4 3 5 15
9 25
2 2
2 2
通过以上例题可以看出，我们不但能够求 出圆的扇形面积，也能求出椭圆的扇形面积， 只要给出椭圆上的两点即可，这个结论在初等 几何中是没有的。综上，椭圆的有关仿射性质 的问题可转化为圆的问题来解决，为解题或证 明带来极大的方便。
参考文献 [1]梅向明,刘增贤,王汇淳等.高等几何.北京:高等教 育出版社,1983. [2] 朱 德 祥 . 初 等 几 何 研 究 . 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,1985.
3 5 3 5 相应的点 P 2, 2) ，p 2 ( 2 ,− 2) 分 1(
面积） ∴
π
s
=
1 ，即：椭圆的面积 S=πab。 ab
别变为 p1 ' ( 2 2 ,2 2 ) ， p2 ' (2 2 ,−2 2 ) 在 O’中，
P1 ' P2 ' = 4 2 ，又因为：
P1 ' P2 '
(2)有关椭圆内接三角形和外切三角形的 问题 例：在椭圆的内接三角形的顶点作切线构 成外切三角形，如果这两个三角形有两对对应 边平行，则第三对对应边也平行。 证明：因为命题的条件和结论都是仿射性 质的，故可证明命题对圆成立。 （即：仿射变换 保持结合性、直线的平行性）所以命题对椭圆 也成立。 设△ABC 是圆的内接三角形，以其顶点作 圆的切线所构成外切三角形为△ A1B1C1 ， 且 AB//A1B1，BC//B1C1 如图 2。 ∵ BC//B1C1 ∴ ∠1=∠3 ຫໍສະໝຸດ Baidu ∵ AB//A1B1 ∴∠2=∠4 而∠3=∠4 , ∠2=∠5 故 AC//A1C1 A