2014高考数学一轮课时专练(人教A版理科通用)：函数的奇偶性与周期性(1)

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高考数学人教A(理)一轮复习【配套文档】：第二篇函数的奇偶性与周期性

第 3 讲函数的奇偶性与周期性A 级基础操练(时间：30分钟满分：55分>一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 >1．f(x>是定义在R 上的奇函数，且知足f(x＋2>＝ f(x>，又当 x∈(0,1>时， f(x>＝ 2x－1，则 f(log错误! 6>等于 (>．b5E2RGbCAPA．－ 5 B．－ 6 C．－错误! D．－错误!解读 f(log错误! 6>＝－ f(log26>＝－ f(log26－2>．∵log2 6－ 2＝ log2错误!∈(0,1>，∴ f错误!＝错误!，p1EanqFDPw∴f(log错误! 6>＝－错误! .答案 D2．(2018 ·安徽 >设 f(x>是定义在R上的奇函数，当x≤0 时， f(x>＝2x2－x，则f(1>等于 (>．DXDiTa9E3dA．－ 3 B．－ 1 C．1 D．3解读∵f(x>是定义在R 上的奇函数，且x≤0 时， f(x>＝ 2x2－ x，∴ f(1>＝－f(－1>＝－ 2×(－1>2＋(－1>＝－ 3.RTCrpUDGiT答案 A3．定义在R 上的函数f(x>知足 f(x>＝f(x＋2>，当 x∈ [3,5] 时， f(x>＝2－ |x－4|，则以下不等式必定建立的是(>．5PCzVD7HxAA．f 错误! >f错误! B．f(sin 1><f(cos 1>jLBHrnAILgC．f错误! <f错误! D．f(cos 2>>f(sin 2>xHAQX74J0X解读当 x∈ [－1,1]时， x＋4∈[3,5] ，由 f(x>＝f(x＋ 2>＝f(x＋4>＝ 2－ |x＋ 4－ 4|＝2－ |x|，LDAYtRyKfE明显当 x∈[ －1,0]时， f(x>为增函数；当 x∈[0,1] 时， f(x>为减函数， cos错误!＝－错误 ! ，sin错误 ! ＝错误 ! >错误 ! ，又f错误!＝ f错误! >f错误!，所以 f错误! >f 错误 ! .Zzz6ZB2Ltk答案 A4．(2018 ·连云港一模 >已知函数 f(x>＝错误!则该函数是 (>．dvzfvkwMI1 A．偶函数，且单一递加B．偶函数，且单一递减C．奇函数，且单一递加D．奇函数，且单一递减解读当 x>0 时， f(－ x>＝2－x－1＝－ f(x>；当 x<0 时， f(－ x>＝1－2－(－x>＝1－2x＝－ f(x>．当 x＝0 时， f(0>＝0，故 f(x>为奇函数，且 f(x>＝1－2－x在[0，＋∞>上为增函数，f(x>＝2x－1 在(－∞，0>上为增函数，又x≥0 时1－2－x≥0，x<0 时 2x－1<0，故 f(x>为R上的增函数．rqyn14ZNXI答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 >．(2018·浙江>若函数＝2－|x＋a|为偶函数，则实数 a＝________.5f(x>x解读由题意知，函数 f(x>＝x2－|x＋a|为偶函数，则 f(1>＝f(－1>，∴ 1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴ a＝0.EmxvxOtOco答案 0．(2018·上海>已知y＝ f(x>＋x2 是奇函数，且f(1>＝1.若 g(x>＝ f(x>＋2，则6g(－ 1>＝________.SixE2yXPq5解读由于 y＝f(x>＋x2是奇函数，且x＝1 时， y＝2，所以当 x＝－ 1 时， y＝－2，即 f(－ 1>＋(－1>2＝－ 2，得 f(－ 1>＝－ 3，所以 g(－1>＝f(－1>＋ 2＝－1.6ewMyirQFL答案－1三、解答题 (共 25 分>7．(12 分 >已知 f(x>是定义在R上的不恒为零的函数，且对随意x，y，f(x>都满足 f(xy>＝yf(x>＋xf(y>．kavU42VRUs(1>求 f(1>，f(－1>的值；(2>判断函数 f(x>的奇偶性．解 (1>由于对定义域内随意 x， y，f(x>知足 f(xy>＝ yf(x>＋ xf(y>，所以令 x＝y ＝1，得 f(1>＝ 0，令 x＝y＝－ 1，得 f(－1>＝ 0.y6v3ALoS89(2>令 y＝－ 1，有 f(－x>＝－ f(x>＋xf(－ 1>，代入 f(－ 1>＝0 得 f(－ x>＝－f(x>，所以 f(x>是(－∞，＋∞ >上的奇函数．M2ub6vSTnP8．(13 分>设定义在 [ － 2,2]上的偶函数f(x>在区间 [ －2,0]上单一递减，若 f(1－m><f(m>，务实数 m 的取值范围．0YujCfmUCw解由偶函数性质知f(x>在[0,2] 上单一递加，且f(1－ m>＝ f(|1－ m|>，f(m>＝f(|m|>，eUts8ZQVRd所以 f(1－m><f(m>等价于错误!sQsAEJkW5T解得：错误 ! <m≤2.所以实数 m 的取值范围是错误! .GMsIasNXkAB 级能力打破(时间：30分钟满分：45分>一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 >1．函数 f(x>的定义域为R，若 f(x＋ 1>与 f(x－ 1>都是奇函数，则 (>．A．f(x>是偶函数B． f(x>是奇函数C．f(x>＝f(x＋ 2> D．f(x＋ 3>是奇函数解读由已知条件，得f(－ x＋1>＝－ f(x＋1>，f(－x－1>＝－ f(x－ 1>．由 f(－x ＋1>＝－ f(x＋1>，得 f(－ x＋ 2>＝－ f(x>；由 f(－x－1>＝－ f(x－ 1>，得 f(－x －2>＝－ f(x>．则 f(－x＋ 2>＝f(－ x－2>，即 f(x＋ 2>＝f(x－2>，由此可得 f(x ＋ 4>＝f(x>，即函数 f(x>是以 4 为周期的周期函数，所以f(x＋ 3>＝f(x－1>，即函数 f(x＋3>也是奇函数．TIrRGchYzg答案 D2．(2018 ·福建 >设函数 D(x>＝错误!则以下结论错误的选项是 (>．7EqZcWLZNX A．D(x>的值域为 {0,1} B ．D(x>是偶函数C．D(x>不是周期函数D．D(x>不是单一函数解读明显 D(x>不但一，且 D(x>的值域为 {0,1} ，所以选项 A 、D 正确．若 x 是无理数，－ x，x＋1 是无理数；若 x 是有理数，－ x， x＋ 1 也是有理数．∴D(－x>＝ D(x>， D(x＋1>＝ D(x>．则 D(x>是偶函数， D(x>为周期函数， B 正确， C 错误．lzq7IGf02E答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 >3．f(x>＝ 2x＋ sin x 为定义在 (－ 1,1>上的函数，则不等式f(1－ a>＋ f(1－2a><0的解集是 ________.zvpgeqJ1hk解读f(x>在( － 1,1>上是增函数，且f(x>为奇函数．于是原不等式为f(1－a><f(2a－1>等价于错误!NrpoJac3v1解得错误 ! <a<1.答案错误!4．若定义域为R 的奇函数f(x>知足f(1＋x>＝－f(x>，则以下结论：①f(x>的图象对于点错误! 对称；②f(x>的图象对于直线x＝错误! 对称；③f(x>是周期函数，且 2 是它的一个周期；④ f(x>在区间 (－ 1,1>上是单一函数．此中全部正确的序号是 ________．1nowfTG4KI解读由函数为奇函数且知足f(1＋x>＝－ f(x>，得 f(x＋2>＝f(x>，又 f错误!＝－ f错误!，f错误!＝ f错误!，所以②③正确．fjnFLDa5Zo答案②③三、解答题 (共 25 分>5．(12 分 >已知函数 f(x>＝x2＋错误! (x≠0，常数 a∈R>．(1>议论函数 f(x>的奇偶性，并说明原因；(2>若函数 f(x>在 x∈[2，＋∞ >上为增函数．务实数 a 的取值范围．解(1>函数f(x>的定义域为{ x|x≠0} ，当 a＝0 时， f(x>＝x2，(x≠ 0>明显为偶函数；当 a≠0 时， f(1>＝1＋a，f(－1>＝1－ a，所以 f(1>≠ f(－1>，且 f(－1>≠－ f(1>，所以函数 f(x>＝x2＋错误!既不是奇函数，也不是偶函数．(2>f′ (x>＝2x－错误!＝错误!，当 a≤0 时， f′(x>>0，则 f(x>在 [2 ，＋∞ >上是增函数，当 a>0 时，由 f′(x>＝错误! >0，解得 x> 错误!，由 f(x>在[2，＋∞ >上是增函数，可知错误 ! ≤2.解得0<a≤16.综上可知实数 a 的取值范围是 (－∞， 16]．6．(13 分 >已知函数 f(x>的定义域为R，且知足 f(x＋2>＝－ f(x>．(1>求证： f(x>是周期函数；(2>若 f(x>为奇函数，且当0≤ x≤ 1 时， f(x>＝错误! x，求使 f(x>＝－错误!在[0,2 014]上的全部 x 的个数．tfnNhnE6e5(1>证明∵f(x＋ 2>＝－ f(x>，∴f(x＋4>＝－ f(x＋2>＝－ [－ f(x>]＝ f(x>，∴ f(x>是以 4 为周期的周期函数．(2>解当 0≤x≤1 时， f(x>＝错误! x，设－ 1≤x≤ 0，则 0≤－ x≤ 1，∴f(－ x>＝错误! (－x>＝－错误! x.∵f(x>是奇函数，∴ f(－ x>＝－ f(x>，∴－f(x>＝－错误! x，即 f(x>＝错误! x.故f(x>＝错误!x(－1≤x≤1>．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2>＝错误! (x－2>．又∵ f(x>是以 4 为周期的周期函数∴f(x－2>＝f(x＋ 2>＝－ f(x>，∴－ f(x>＝错误! (x－2>，∴f(x>＝－错误! (x－ 2>(1<x<3>．∴f(x>＝错误!HbmVN777sL由 f(x>＝－错误!，解得 x＝－ 1.∵ f(x>是以 4 为周期的周期函数，∴f(x>＝－错误!的全部x＝4n－1(n∈Z>．令0≤4n－1≤2 014，则错误!≤n≤错误! .又∵ n∈Z，∴ 1≤n≤503(n∈Z>，∴在 [0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x>＝－错误! .特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.声明：全部资料为自己采集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2014届高考数学一轮复习名师首选第2章6《函数的奇偶性与周期性》学案

学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义设函数y ＝f (x )的定义域为A .如果对于任意的x ∈A ，都有__________，则称f (x )为奇函数；如果对于任意的x ∈A 都有__________，则称f (x )为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____； f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝______，则称f (x )为______函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________．(2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T2)．②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x 或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值为________． 2．如果定义域为[3－a,5]的函数f (x )为奇函数，那么实数a 的值为________．3．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)＝________.4．设函数f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，则a ＝________.5．若函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，且f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围为___________．探究点一函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x ；(2)f (x )＝x (12x －1＋12)；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ，x >0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－x 3；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．变式迁移2 已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．探究点三函数性质的综合应用例3 已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.变式迁移3 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则下列说法中正确的是________(填序号)．①在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数； ②在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数； ③在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数； ④在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数．转化与化归思想例 (14分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答题模板】解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分] (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.[4分]令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．[6分] (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，[8分] ∵f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．[10分]∵f (x )为偶函数，∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[11分] 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )的定义域为D . ∴0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.[13分]∴x 的取值范围为{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[14分]【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x ))≤f (a )的形式，但思维障碍在于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，g (x )是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x )是偶函数的结论，则有f (g (x ))＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x )的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0<|g (x )|≤a ，解之得x 的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x )，若有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 为常数且a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a .课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为________． 2．已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f xx<0的解集为________________． 3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.4．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.5．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)大小关系为____________________．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，a ， x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，则a ＋b ＝________.7．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围为________________． 8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的表达式．10．(14分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)， (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．11．(14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．答案自主梳理1．f (－x )＝－f (x ) f (－x )＝f (x ) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f (x ) 周期最小正周期 (2)③2a自我检测 1．2解析因为f (x )为偶函数，所以奇次项系数为0，即m －2＝0，所以m ＝2. 2．8 3．1解析 f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.4．－1解析 ∵f (－1)＝0，∴f (1)＝2(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.代入检验f (x )＝x 2－1x是奇函数，故a ＝－1.5．a ≤－2或a ≥2解析由f (x )是R 上的偶函数知，f (x )在[0，＋∞)上是减函数．因为f (a )≤f (2)等价于f (|a |)≤f (2)．所以|a |≥2，解得a ≥2或a ≤－2. 课堂活动区例1 解题导引判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f (x )的图象关于原点对称，则f (x )为奇函数；f (x )的图象关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．(3)基本函数法：把f (x )变形为g (x )与h (x )的和、差、积、商的形式，通过g (x )与h (x )的奇偶性判定出f (x )的奇偶性．解 (1)定义域要求1－x1＋x≥0且x ≠－1，∴－1<x ≤1，∴f (x )定义域不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝－x (12－x －1＋12)＝－x (2x 1－2x ＋12)＝x (2x 2x－1－12) ＝x (12x －1＋12)＝f (x )．∴f (x )是偶函数． (3)函数定义域为R .∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )．故f (x )为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f (－1)＝2，f (1)＝0，f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，从而函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|≠3得，f (x )定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称，又f (x )＝4－x 2x ，f (－x )＝－4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2 解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增，且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12，xx －12，即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.若f [x (x －12)]<0＝f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12，xx －12－1，由x (x －12)<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是 {x |12<x <1＋174或1－174<x <0}．变式迁移2 (－2，23)解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0，等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，此时应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h －h 即可，解得x ∈(－2，23)．例3 解题导引解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．答案－8解析因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.变式迁移3 ②解析 ∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x ＋1)＝f (1－x )． ∴x ＝1为函数f (x )的一条对称轴．又f (x ＋2)＝f [2－(x ＋2)] ＝f (－x )＝f (x )，∴2是函数f (x )的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．课后练习区 1.13解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2ab ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．(－3,0)∪(3，＋∞)解析由已知条件，可得函数f (x )的图象大致为下图，故f xx<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．3．－0.5解析由f (x ＋2)＝－1f x ，得f (x ＋4)＝－1f x ＋＝f (x )，那么f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，则f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴f (1.5)＝－0.5.综上知，f (6.5)＝－0.5. 4．－3解析因为奇函数f (x )在x ＝0有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.所以f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝3，从而f (－1)＝－f (1)＝－3. 5．f (－1)>f (2)解析由y ＝f (x ＋1)是偶函数，得到y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)．又f (x )在[1，＋∞)上为单调增函数， ∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)． 6．1解析 ∵f (x )是奇函数，且x ∈R ，∴f (0)＝0，即a ＝0.又f (－1)＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1)＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1.7．(－1，23)解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)． ∵f (x )为奇函数，且f (1)>1，∴f (－1)＝－f (1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1.解得：－1<m <23.8．2解析由g (x )＝f (x －1)，得g (－x )＝f (－x －1)，又g (x )为R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )， ∴f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (x －1)＝－f (－x －1)，用x ＋1替换x ，得f (x )＝－f (－x －2)．又f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )＝－f (x ＋2)． ∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4. ∴f (2 010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.9．解由题意，当3≤x ≤6时，设f (x )＝a (x －5)2＋3，∵f (6)＝2，∴2＝a (6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f (x )＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．………………………………………………………(4分)∴f (3)＝－(3－5)2＋3＝－1. 又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f (x )＝－13x (0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(8分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f (－x )＝－13(－x )＝13x .又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－13x .∴f (x )＝－13x (－3≤x ≤3)．……………………………………………………………(10分)当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f (－x )＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3. 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝(x ＋5)2－3.………………………………………………………………………(13分)∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－3，－6≤x ≤－3，－13x －3<x <3，………………………………………分－x －2＋3， 3≤x ≤6.10．解 (1)f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．………………………………………………………(3分)(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－2， x ≥0，x ＋2－2， x <0. 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………………………………………………………………(7分) (3)由(2)中函数图象可知，函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]． f (x )在[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．………………(10分)(4)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2；当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2；故函数f (x )的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(14分)11．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )，若x ＝±1时，则f (－1)＋f (1)＝2≠0； ∴f (－1)≠－f (1)，又f (－1)≠f (1)， ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a＝0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，……………………………………………………………(10分)要使f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)<0恒成立．∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分) 又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a的取值范围为(－∞，16]．………………………………………………………(14分)。

【三维设计】2014高考数学一轮复习课时跟踪检测(七)函数的奇偶性及周期性理新人教A版

课时跟踪检测(七) 函数的奇偶性及周期性1．(2011·广东高考)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数2．(2012·揭阳统考)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( ) A ．－12B ．－14C.14D.123．(2012·北京海淀区期末)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)4．(2012·珠海摸底考试)f (x )是奇函数，则①|f (x )|一定是偶函数；②f (x )·f (－x )一定是偶函数；③f (x )·f (－x )≥0；④f (－x )＋|f (x )|＝0，其中错误的有( )A ．1个B ．2个C ．4个D ．0个5．(2013·梅州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．36．若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．17．(2013·江门模拟)已知f (x )是偶函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，f (x )＝________.8.(2012·“江南十校”联考)定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．9．(2012·中山模拟)若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．10．(2012·茂名期中)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．12．(2013·河源月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．1．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0，或x >3}B ．{x |x <－3，或0<x <3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}2．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．3．(2012·湛江模拟)已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )， (1)求f (1)；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.答案课时跟踪检测(七)A 级1．选A 设F (x )＝f (x )＋|g (x )|，由f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，得F (－x )＝f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|g (x )|＝F (x )，∴f (x )＋|g (x )|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．2．选A 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 3．选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．4．选B 由奇偶性的定义易知①②是正确的；③错，因为f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0；④错，因为f (－x )＋|f (x )|＝－f (x )＋|f (x )|，而f (x )的正负不确定，故原结论不一定成立，故正确命题只有①②.5．选A 函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 6．选A ∵f (x )＝x2x ＋1x －a是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， ∴－1－2＋1－1－a＝－12＋11－a，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.7．解析：x >0，－x <0，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ，故x >0时，f (x )＝x 2－x .答案：x 2－x8．解析：依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象，如图所示，注意到y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和－23，－23，结合图象可知，f (x )>x 的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 9．解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0. ∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.答案：－110．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2. 故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数． 11．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．解：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，又f (0)＝0，故x ∈[－1,0]时， f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.B 级1．选D 由x ·f (x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x <0，而f (－3)＝0，f (3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x >f－3或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x <f3，所以x ·f (x )<0的解集是{x |－3<x <0，或0<x <3}．2．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－103．解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0.(2)f (－x )＋f (3－x )≥－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0＝f (1)，f ⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋f ⎝⎛⎭⎪⎫3－x 2≥f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·3－x 2≥f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，3－x >0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0.故不等式的解集为[－1,0)．。

2014届高考数学总复习第2章第3讲函数的奇偶性与周期性课件理新人教A版

(4)由
2x－1≥0 1－2x≥0
得函数定义域为{
1 2
}，不关于原点对
称，函数是非奇非偶函数．
(5)当x>0时，－x<0，f(x)＝x2＋2，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－x2－2＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(x)＝－x2－2，

f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－f(x)；
当x＝0时，f(－x)＝0＝－f(x)，
课前自主导学
1. 函数的奇偶性
奇函数
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，
定义都有________，那么都有________，那么
函数f(x)是偶函数
函数f(x)是奇函数
图象特点
关于______对称
关于______轴对称
奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？
x2＋2x>0
(5)f(x)＝0x＝0
；
－x2－2x<0
(6)f(x)＝|xlg2－1－2|－x22.
[审题视点] 先求出函数的定义域，若定义域关于原点对称，再根据定义研究f(－x)与f(x)的关系，必要时需对解析式进行化简，分段函数则要分段判断．
[解] (1)定义域是{x|x∈R，且x≠0}，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3－－1x＝－x3＋1x＝－f(x)，故f(x)是奇函数．
A. y＝cos2x，x∈R C. y＝ex－2e－x，x∈R
B. y＝log2|x|，x∈R且x≠0 D. y＝x3＋1，x∈R
[审题视点] 分析四个函数在(1,2)上不具有单调性，或为奇函数、非奇非偶函数的情况，利用排除法求解．

2014版高考数学一轮总复习第6讲函数的性质(二)奇偶性、周期性、对称性课件理新人教A版

【分析】 (1)用赋值法； (2)依题设构造 f(－x)与 f(x)的关系； (3)存在型问题，可由存在入手推导相关结论．
【解析】 (1)证明：令 x＝y＝0，则 2f(0)＝2f2(0)．又 f(0)≠0，所以 f(0)＝1. (2)令 x＝0，则 f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以 f(y)＝f(－y)，即 f(x)＝f(－x)，又 x∈R，所以 f(x)为偶函数．
二
函数奇偶性的应用
【例 2】 f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3 在(0，若＋∞)上的
最大值是 8，求 f(x)在(－∞，0)上的最小值．
【分析】注意到 g(x)＝x5＋ax3＋bx 是奇函数，则 g(－x)＋g(x)＝0.
【解析】当 x>0 时，f(x)≤8，则当 x<0 时，－x>0， f(－x)≤8，设 x∈(－∞，0)，则 f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3 ＝－[(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＋3]＋6 ＝－f(－x)＋6≥－8＋6＝－2. 所以 f(x)在(－∞，0)上的最小值是－2.
(4)当 x>0 时，－x<0，则 f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当 x＝0 时，f(x)＝0＝－f(－x)．综上有，对一切实数 x，f(－x)＝－f(x)恒成立，
C C (3)①证明：用 x＋ 2 ， 2 (C>0)替换 x，y， C C C C C C 则 f(x＋ 2 ＋ 2 )＋f(x＋ 2 － 2 )＝2f(x＋ 2 )· 2 )． f( C 又 f( 2 )＝0，所以 f(x＋C)＋f(x)＝0，即 f(x＋C)＝－f(x)； ② 由 ① 的结论知 f(x ＋ 2C) ＝－ f(x ＋ C) ＝ f(x)(C>0)，所以 f(x)是周期函数，2C 就是它的一个周期．

2014高考数学一轮复习限时集训(七)函数的奇偶性与周期性理新人教A版

限时集训(七) 函数的奇偶性与周期性(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x | 2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．33．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f x ＋f －x x >0的解集为( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2) 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减 5．(2013·广州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)6．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.8．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．9．(2013·徐州模拟)设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1a ＋1，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0的解集． 11.已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．12．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间．答案限时集训(七) 函数的奇偶性与周期性1．D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C7.130 8.－1 9．(－∞，－1)∪(0，＋∞)10．解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0.又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<1，即0<x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 <0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 <－1.∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是x 12<x <1＋174或1－174<x <0. 11．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．故f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．故函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f (x 1)－f (x 2)<0恒成立，∵x 1－x 2<0，∴x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0，即x 1x 2(x 1＋x 2)>a 恒成立．又∵x 1＋x 2>4，x 1x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16.∴a 的取值范围是(－∞，16]．12．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时f (x )＝x ，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．。

人教A版高考数学一轮总复习课后习题课时规范练10 函数的奇偶性、周期性与对称性 (2)

课时规范练10 函数的奇偶性、周期性与对称性基础巩固练1.下列函数中,为偶函数的是( )A.f(x)=xx-1B.f(x)=√x2C.f(x)=√1-x+√x-1D.f(x)=x+1x2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log3x,则f(-3)=( )A.-1B.0C.1D.23.若f(x)=x(x+1)(x+a)(a∈R)为奇函数,则a的值为( )A.-1B.0C.1D.-1或14.(四川绵阳模拟)设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,已知当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式为( )A.x+4B.2-xC.3-|x+1|D.2+|x+1|5.(浙江9+1高中联盟期中)若奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=3x+x3+2,则f(1)+g(0)=( )A.73B.83C.193D.1636.若函数f(x)=πx-π-x+2 023x,则不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0的解集为( )A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.(0,1]D.[-1,1]7.(浙江嘉兴模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且函数f(x+1)的图象关于原点对称,若f(0)=1,则f(-1)+f(2)的值为( )A.0B.-1C.1D.28.(多选题)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),在区间(0,1)上,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)的图象关于点(2,0)对称B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称C.在区间(2,3)上,f(x)单调递减D.f-72>f239.(江西吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x ∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(49)= .10.(全国甲,理13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+π2)为偶函数,则a= .11.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,若函数f(x+1)为偶函数,且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为.综合提升练12.已知函数f(x)=lg(√x2+1+x),则不等式f(2x)>f(x-2)的解集为( )A.(-2,+∞)B.(-∞,-2)C.(0,+∞)D.(-∞,0)13.设函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=0,当0≤x<1时,f(x)=21-x,则f(log0.58)=( )A.-2B.-12C.12D.214.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且函数y=f(x-1)为奇函数,则下列说法一定正确的是( )A.f(x)是周期函数B.f(x)的图象关于点(2 023,0)对称C.f(x)是R上的偶函数D.f(x)是R上的奇函数15.(多选题)(浙江强基联盟联考)已知定义在R上的函数f(2x-2)的图象关于直线x=1对称,函数f12x+1的图象关于点(2,0)中心对称,则下列说法正确的是( )A.f(x)=f(-x)B.8是函数f(x)的一个周期C.f(2)=0D.f(1+x)+f(1-x)=016.已知函数f(x)的定义域为R,f(1-2x)为偶函数,f(2+x)为奇函数,则f(0)= .创新应用练17.(新高考Ⅱ,8)若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则∑k=122f(k)=( ) A.-3 B.-2 C.0 D.118.(多选题)(江苏盐城模拟)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,f(x)+f(x+6)=0,且对任意的x 1,x 2∈[-3,0],当x 1≠x 2时,都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)<x 1f(x 2)+x 2f(x 1),则以下判断正确的是( )A.函数f(x)是偶函数B.函数f(x)在[-9,-6]上单调递增C.x=2是函数f(x+1)的对称轴D.函数f(x)的最小正周期是12课时规范练10 函数的奇偶性、周期性与对称性1.B 解析选项A 中,函数定义域是{x|x≠1},不关于原点对称,是非奇非偶函数;选项B 中,函数定义域是(-∞,+∞),f(-x)=√(-x )2=√x 2=f(x),是偶函数;选项C 中,函数定义域是{1},不关于原点对称,是非奇非偶函数;选项D 中,函数定义域是{x|x≠0},f(-x)=-x-1x =-f(x),是奇函数,故选B. 2.A 解析因为f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log 3x,所以f(-3)=-f(3)=-log 33=-1,故选A.3.A 解析由题得f(-1)+f(1)=0,故a=-1,故选A.4.C 解析当x ∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],f(x)=f(x+4)=x+4=3+(x+1),当x ∈[-1,0]时,2-x ∈[2,3].因为f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-(x+1).综上,当x ∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|,故选C.5.D 解析由f(x)+g(x)=3x +x 3+2,用-x 代替x,可得f(-x)+g(-x)=3-x -x 3+2. 因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以-f(x)+g(x)=3-x -x 3+2,联立{f (x )+g (x )=3x +x 3+2,-f (x )+g (x )=3-x -x 3+2,解得f(x)=3x -3-x 2+x 3,g(x)=3x +3-x 2+2,所以f(1)=73,g(0)=3,则f(1)+g(0)=163. 6.A 解析f(x)的定义域为R,因为f(-x)=π-x -πx -x=-(πx -π-x +x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0可化为f(x+1)≥f(4-2x),因为y=πx,y=-π-x,y=x在R上均单调递增,所以f(x)在R上单调递增,所以x+1≥4-2x,解得x≥1,故选A.7.B 解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x).又因为函数f(x+1)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,即-f(x)=f(2-x).令x=1,则-f(1)=f(1),即f(-1)=f(1)=0,令x=2,则f(2)=-f(0)=-1,所以f(-1)+f(2)=0-1=-1.8.AC 解析f(4-x)=f[2-(x-2)]=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x),即f(4-x)+f(x)=0,故f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,A正确;∵f(2-x)=f(x),则f(x)的图象关于直线x=1成轴对称,B错误;根据题意可得,f(x)在区间(0,1)上单调递增,∵f(x)图象关于直线x=1成轴对称,关于(2,0)中心对称,则f(x)在区间(2,3)上单调递减,C正确;又f(x)=f(2-x)=-f(x-2),则f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期为4,则f-72=f12<f23,D错误,故选AC.9.1 解析由题知,函数f(x)的周期为4,所以f(49)=f(4×12+1)=f(1)=log2(1+1)=1.10.2 解析由题意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cosx+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2+(2-a)x+cosx+1.∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cosx+1=x2+(2-a)x+cosx+1,解得a=2.11.(-1,3) 解析因为f(x)定义域为R,且f(x+1)为偶函数,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,因为f(3)=0,则f(-1)=f(3)=0,因为f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,则f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,当x≤1时,由f(x)>0=f(-1)可得-1<x≤1;当x>1时,由f(x)>0=f(3)可得1<x<3.综上,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).12.A 解析函数f(x)的定义域为R,又f(x)+f(-x)=lg(√x2+1+x)+lg(√x2+1-x)=0,故f(x)为奇函数.当x≥0时,f(x)=lg(√x2+1+x)单调递增,由f(x)为奇函数,可得f(x)在R上单调递增,故不等式f(2x)>f(x-2)等价于2x>x-2,解得x>-2,故选A.13.A 解析因为f(x+1)+f(x)=0,所以f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),故f(x)的周期为2,又log0.58=-3,所以f(log0.58)=f(-3)=f(-3+2+2)=f(1)=-f(0)=-21-0=-2,故选A.14.ABC 解析对于A,由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,故A正确;对于B,由y=f(x-1)为奇函数得f(x-1)=-f(-x-1),所以f(x)的图象关于点(-1,0)对称,又因为f(x)的周期是4,且=506×4-1,所以f(x)的图象关于点(,0)对称,故B正确;对于C,因为f(x+2)=-f(x),所以f(-x+2)=-f(-x),又f(x)的图象关于点(-1,0)对称,所以有f(x-2)=-f(-x),因此f(-x+2)=f(x-2),即f(-x)=f(x),又f(x)的定义域为R,故f(x)是偶函数,故C 正确,D 错误,故选ABC.15.ABC 解析因为定义在R 上的函数f(2x-2)的图象关于直线x=1对称,所以f(2x-2)=f[2(2-x)-2]=f(4-2x-2)=f(2-2x),故f(x)=f(-x),A 正确;又函数f 12x+1的图象关于点(2,0)中心对称,即f 12x+1+f 3-12x =0,即f(x+1)+f(3-x)=0,故f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,则f(2)=0,C 正确;由f(x+1)+f(3-x)=0可得f(x+4)+f(-x)=0,即f(x+4)=-f(-x)=-f(x),故f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即8是函数f(x)的一个周期,B 正确;若f(1+x)+f(1-x)=0,则f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,因为f(x)为偶函数,其图象关于y 轴对称,则f(x)的图象也将关于直线x=2对称,与f(x)的图象关于点(2,0)中心对称矛盾,D 错误.故选ABC.16.0 解析因为函数f(x)的定义域为R,且f(1-2x)为偶函数,则f(1-2x)=f(1+2x),即f(1-t)=f(1+t),又因为f(2+x)为奇函数,则f(2-x)=-f(2+x),所以f(2)=-f(2),可得f(2)=0,在等式f(1-t)=f(1+t)中,令t=1,可得f(0)=f(2)=0.17.A 解析令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).从而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,∑k=122f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3.即∑k=122f(k)=-3,故选A. 18.BCD 解析因为定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),故函数f(x)是奇函数,故A 错误;因为f(x)+f(x+6)=0,故f(x+6)=-f(x),而f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=f(-x),即f(x)的图象关于直线x=3对称,则直线x=2是函数f(x+1)图象的对称轴,故C 正确;因为f(x+6)=-f(x),所以f(x+12)=-f(x+6)=f(x),故12是函数f(x)的周期;因为对任意的x 1,x 2∈[-3,0],当x 1≠x 2时,都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)<x 1f(x 2)+x 2f(x 1),即(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0,故x ∈[-3,0]时,f(x)单调递减,又因为f(x)为奇函数,所以x∈[0,3]时,f(x)单调递减,又因为f(x)的图象关于直线x=3对称,故x∈[3,6]时,f(x)单调递增,因为12是函数f(x)的周期,故函数f(x)在[-9,-6]的单调性与x∈[3,6]时的单调性相同,故函数f(x)在[-9,-6]上单调递增,故B正确,作出函数f(x)的大致图象如图,结合图象可知12是函数f(x)的最小正周期,D正确,故选BCD.。

【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训《函数的奇偶性与周期性》1Word版含解析

A 函数的奇偶性与周期性(时间：35分钟分值：80分)基础热身 1．[2013·东北师大附中模拟] 奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上f (x )的函数解析式是( )A ．f (x )＝－x (1－x )B ．f (x )＝x (1＋x )C ．f (x )＝－x (1＋x )D ．f (x )＝x (x －1)2．函数f (x )＝a 2x －1ax (a >0，a ≠1)的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 3．[2013·哈尔滨师大附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 4．[2013·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－134＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 6．[2013·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图象关于原点对称，则f a2＝( )A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )是一个减函数，且x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上都有可能 9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10．[2013·青岛二中月考] 已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________．11．[2013·南京三模] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．12．(13分)[2013·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈Z )是奇函数，又f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c的值．B 函数的奇偶性与周期性(时间：35分钟分值：80分)基础热身 1．[2013·佛山质检] 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －x D ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性 4．[2013·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．能力提升5．[2013·郑州模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0 7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1 8．[2013·忻州一中月考] 命题p ： ∀x ∈R ，使得3x >x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( ) A ．p ∨q 真 B ．p ∧q 真 C ．綈p 真 D ．綈q 假9．[2013·山东师大附中期中] 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (2 013)＝________．10．[2013·枣庄二模] 已知定义在R 上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出三个结论：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称；③f (x )是偶函数．其中正确结论的个数为________．11．设定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在[0，2]上单调递减，若f (3－m )≤f (2m 2)，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)[2013·吉林一模] 已知函数f (x )＝lg 1＋x1－x.(1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．A【基础热身】 1．B [解析] 当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，由于函数f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )＝x (1＋x )．2．A [解析] 因为f (－x )＝a －x －1a－x ＝－(a x －a －x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称．故选A.3．A [解析] 依题意当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(2x 2＋x )，所以f (1)＝－3.故选A. 4．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数．已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1， ∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 【能力提升】5．A [解析] 依题意f －134＝f －54＝f 34＝32.故选A.6．A [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，根据f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，所以f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0，所以f (3)－f (4)＝－1.故选A.7．A [解析] 函数f (x )定义域为{x |－2<x <2}，依题意函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝－2，所以f a 2＝f (－1)＝|－1－2|－24－1＝33.故选A.8．A [解析] 由x 1＋x 2＜0，得x 1＜－x 2. 又f (x )为减函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)，又f (x )为R 上的奇函数，所以f (x 1)＞－f (x 2)．所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.同理f (x 2)＋f (x 3)＞0，f (x 1)＋f (x 3)＞0，所以f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0.故选A.9．1.5 [解析] 由f (x ＋1)＋f (x )＝3得f (x )＋f (x －1)＝3，两式相减得f (x ＋1)＝f (x －1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (－2 005.5)＝f (－1.5)＝f (－2＋0.5)＝f (0.5)＝1.5.10．－1 [解析] 由已知必有m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，x ∈[－6，6]，∴f (x )在x ＝0处无意义，故舍去；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3，此时x ∈[－2，2]，∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1.11．(－1－3，＋∞) [解析] 由函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )＝x 2－ax ，所以a ＝－2.当x ≥0时，f (x )>a 即x 2－2x >－2恒有x 2－2x ＋2>0；当x <0时，f (x )>a 即－x 2－2x >－2⇒x 2＋2x －2<0，解得－1－3<x <0.综上，满足f (x )>a 的x 的取值范围是(－1－3，＋∞)．12．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72，所以m ＝1.(2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝－x －2－x＝－x －2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)1＋2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，1＋2x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．(或用求导数的方法)【难点突破】13．解：由f (x )是奇函数，知f (－x )＝－f (x )，从而a （－x ）2＋1b （－x ）＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c，即－bx ＋c ＝－(bx ＋c )，c ＝－c ，∴c ＝0.又由f (1)＝2，知a ·12＋1b ·1＋c ＝2，得a ＋1＝2b ①，而由f (2)<3，知a ·22＋1b ·2＋c<3，得4a ＋12b <3②，由①②可解得－1<a <2.又a ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1.若a ＝0，则b ＝12∉Z ，应舍去；若a ＝1，则b ＝1∈Z .∴a ＝b ＝1，c ＝0.B【基础热身】1．B [解析] 由题中选项可知，y ＝|x |，y ＝e x ＋e －x 为偶函数，排除A ，C ；而y ＝－x 3在R 上递减，故选B.2．B [解析] 因为函数f (x )＝ax 2＋bx 在[a －1，2a ]上为偶函数，所以b ＝0，且a －1＋2a＝0，即b ＝0，a ＝13.所以a ＋b ＝13.3．A [解析] 若x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )＋1＝x 2＋x ＋1＝－f (x )．若x >0，则－x <0，所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )－1＝－x 2＋x －1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．4.32[解析] 函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )为奇函数，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，即g (x )＝－2－x ，所以g (3)＝－2－3＝－18.故选D.6．D [解析] 因为x 1<0，x 2>0，|x 1|<|x 2|，所以0<－x 1<x 2.又f (x )是(0，＋∞)上的增函数，所以f (－x 1)<f (x 2)．又f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x 1)－f (x 2)<0.选D.7．A [解析] 由已知f (x )是偶函数且是周期为2的周期函数，则f (－2 012)＝f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，f (2 011)＝f (1)＝log 22＝1，所以f (－2 012)＋f (2 011)＝0＋1＝1，故选择A.8．A [解析] 命题p 是真命题．对于命题q ，函数y ＝f (x －1)为奇函数，将其图象向左平移1个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，该图象的对称中心为(－1，0)，而得不到对称中心为(1，0)，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 是真命题．故选A.9．－13 [解析] 因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，f (2 013)＝f (1)＝－1f （3）＝－13.10．A [解析] 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，可得3是函数f (x )的一个周期，故结论①正确；由于函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，其图象关于坐标原点对称，把这个函数图象向左平移34个单位即得函数y ＝f (x )的图象，此时坐标原点移到点⎝⎛⎭⎫－34，0，故f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，结论②正确；由于函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，故－f ⎝⎛⎭⎫x －34＝f ⎝⎛⎭⎫－x －34，以x ＋34代换x 得－f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－x －32，又f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f ⎝⎛⎭⎫－x －32，以x －32代换x 得f (x )＝f (－x )，故f (x )是偶函数，结论③正确．11．{1} [解析] 因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且在[0，2]上单调递减，所以f (x )在[－2，2]上单调递减，所以f (3－m )≤f (2m 2)等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤3－m ≤2，－2≤2m 2≤2，3－m ≥2m 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤5，－1≤m ≤1，－32≤m ≤1，即m ＝1，所以m 的取值范围是{1}．12．解：函数的定义域为{x |－1<x <1}＝(－1，1)．(1)证明：∀a ，b ∈(－1，1)，f (a )＋f (b )＝lg 1＋a 1－a ＋lg 1＋b 1－b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ），f a ＋b 1＋ab ＝lg 1＋a ＋b 1＋ab 1－a ＋b 1＋ab＝lg 1＋ab ＋a ＋b 1＋ab －a －b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ），所以f (a )＋f (b )＝f a ＋b1＋ab.(2)∀x ∈(－1，1)，f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x 1－x ＝lg （1－x ）（1＋x ）（1＋x ）（1－x ）＝lg1＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．【难点突破】13．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，又f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．(*) 方法一：因为f (x )为偶函数，所以f (|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f (64)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.所以x 的取值范围为x ⎪⎪－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5. 方法二：因为f (x )在 (0，＋∞)上是增函数，所以(*)等价于不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）>0，（3x ＋1）（2x －6）≤64，或⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）<0，－（3x ＋1）（2x －6）≤64， ⎩⎨⎧x >3或x <－13，－73≤x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－13<x <3，x ∈R .所以3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.所以x 的取值范围为x 错误!－错误!≤x <－错误!，或－错误!<x <3，或3<x ≤5.。

【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训《函数的奇偶性与周期性》Word版含解析

函数的奇偶性与周期性一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·济南模拟)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )(A)y ＝－x 2＋5(x∈R) (B)y ＝－x 3＋x(x∈R)(C)y ＝x 3(x∈R) (D)y ＝－1x(x∈R，x≠0) 2.( 2011·山东高考)已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)93.(2012·沈阳模拟)已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x ＋1)＝1＋f(x)1－f(x)，则 f(2 012)等于( )(A)2 (B)－12 (C)－3 (D)13 4.函数y ＝lg(21＋x－1)的图象关于( ) (A)x 轴成轴对称图形(B)y 轴成轴对称图形(C)直线y ＝x 成轴对称图形(D)原点成中心对称图形5.(预测题)已知定义在R 上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x ＋8)＝f(x)＋f(4)成立，若函数f(x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f(2 012)＝( )(A)0 (B)1 006 (C)8 (D)2 0126.已知函数f(x)是R 上的偶函数，g(x)是R 上的奇函数，且g(x)＝f(x －1)，若f(1)＝2，则f(2 013)的值为( )(A)2 (B)0 (C)－2 (D)±2二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2011·广东高考)设函数f(x)＝x 3cosx ＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝ .8.(2012·长春模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x ＋2)＝－f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为 .①f(4)＝0；②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图象关于x＝1对称；④f(x)的图象关于x＝2对称.9.函数f(x)＝(|x|－1)(x＋a)为奇函数，则f(x)的增区间为.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.11.已知函数f(x)＝a－1|2x－b|是偶函数，a为实常数.(1)求b的值；(2)当a＝1时，是否存在n>m>0，使得函数y＝f(x)在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由.(3)若在函数定义域内总存在区间[m，n](m<n)，使得y＝f(x)在区间[m， n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围.【探究创新】(16分)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.(1)如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的m高调函数，求实数m的取值范围.(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选C.对于选项A，函数y＝－x2＋5(x∈R)是偶函数，对于选项B、D，函数在其定义域内不是增函数，故选C.2.【解析】选B.令f(x)＝x3－x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，所以x＝0,1，－1，因为0≤x<2，所以此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为2.因为f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，所以2≤x<4,4≤x<6上也分别有两个零点，由f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，知f(6)也是函数的零点，所以函数y ＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.3.【解析】选D.∵f(x ＋1)＝1＋f(x)1－f(x)， ∴f(x ＋2)＝1＋f(x ＋1)1－f(x ＋1)＝1＋1＋f(x)1－f(x)1－1＋f(x)1－f(x)＝－1f(x)， ∴f(x ＋4)＝－1f(x ＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的函数，∴f(2 012)＝f(503×4＋0)＝f(0)，令x ＝0则原式为：f(0＋1)＝1＋f(0)1－f(0)＝2，则f(0)＝13，即f(2 012)＝13. 4.【解题指南】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性，从而利用奇偶性判断其图象的对称性.【解析】选D.函数y ＝f(x)＝lg(21＋x －1)＝lg 1－x 1＋x， ∴函数y ＝f(x)的定义域为(－1,1)，又∵f(－x)＝lg 1＋x 1－x＝－lg 1－x 1＋x＝－f(x)， ∴y ＝lg(21＋x－1)为奇函数. ∴其图象关于原点成中心对称图形.5.【解析】选A.∵f(x ＋8)＝f(x)＋f(4)，∴f(4)＝f(－4)＋f(4)，∴f(－4)＝0.又由题意知函数f(x)是偶函数，∴f(4)＝f(－4)＝0，∴f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)是周期为8的函数，∴f(2 012)＝f(4)＝0.6.【解题指南】解答本题可以先用已知条件探究出函数f(x)的周期性，再用周期性求f(2 013)的值.【解析】选A.由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)为R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x).∴f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(x－1)＝－f(－x－1).用x＋1替换x，得f(x)＝－f(－x－2)，又f(x)是R上的偶函数，∴f(x)＝－f(x＋2).∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4.∴f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)＝2.7.【解析】令g(x)＝x3cosx，则f(x)＝g(x)＋1且g(x)为奇函数，所以g(－a)＝－g(a).由f(a)＝11得g(a)＋1＝11，所以g(a)＝10，f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－10＋1＝－9.答案：－98.【解析】∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋2)＝－(－f(x＋2＋2))＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4，②正确.∴f(4)＝f (0)＝0(∵f(x)为奇函数)，即①正确.又∵f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴③正确，又∵f(1)＝－f(3)，当f(1)≠0时，显然f(x)的图象不关于x＝2对称，∴④错误.答案：①②③9.【解析】由f(－x)＝－f(x)知(|x|－1)(－x＋a)＝－(|x|－1)(x＋a)，∴a＝0，∴f (x)＝(|x|－1)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0－x 2－x ，x<0 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2－14，x ≥0－(x ＋12)2＋14，x<0 ∴当x ∈[12，＋∞)和x ∈(－∞，－12]时，函数f(x)是增函数. 答案：(－∞，－12]，[12，＋∞) 10.【解析】由f(m)＋f(m －1)>0，得f(m)>－f(m －1)，即f(1－m)<f(m).又∵f(x)在[0,2]上单调递减且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2－2≤m ≤21－m>m，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m ≤3－2≤m ≤2m<12，解得－1≤m<12. 【误区警示】本题易忽视m,1－m ∈[－2,2]而致误.11.【解析】(1)由已知，可得f(x)＝a －1|2x －b|的定义域为D ＝(－∞，b 2)∪ (b 2，＋∞). 又y ＝f(x)是偶函数，故定义域D 关于原点对称.于是，b ＝0(否则，当b ≠0时，有－b 2∈D 且b 2D ，即D 必不关于原点对称). 又对任意x ∈D ，有f(x)＝f(－x)，可得b ＝0.因此所求实数b ＝0.(2)由(1)，可知f(x)＝a －12|x|(D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)).观察函数f(x)＝a －12|x|的图象，可知：f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，又n>m>0， ∴y ＝f(x)在区间[m ，n]上是增函数.因y ＝f(x)在区间[m ，n]上的函数值组成的集合也是[m ，n].∴有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－12m ＝m 1－12n ＝n ，即方程1－12x＝x ，也就是2x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的正根. ∵Δ＝4－8<0，∴此方程无解.故不存在正实数m ，n 满足题意.(3)由(1)，可知f(x)＝a －12|x|(D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)). 观察函数f(x)＝a －12|x|的图象，可知：f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，f(x)在区间(－∞， 0)上是减函数.因y ＝f(x)在区间[m ， n]上的函数值组成的集合也是[m ，n]，故必有m 、n 同号.①当0<m<n 时，f(x)在区间[m ，n]上是增函数，有⎩⎪⎨⎪⎧ a －12m ＝m a －12n ＝n ，即方程x ＝a －12x，也就是2x 2－2ax ＋1＝0有两个不相等的正实数根，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a>0Δ＝4a 2－8>0，解得a>2(此时，m 、n(m<n)取方程2x 2－2ax ＋1＝0的两根即可).②当m<n<0时，f(x)在区间[m ，n]上是减函数，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12m ＝n a ＋12n ＝m ，化简得(m －n)a ＝0，解得a ＝0(此时，m 、n(m<n)的取值满足mn ＝12，且m<n<0即可). 综上所述，所求实数a 的取值范围是a ＝0或a> 2.【变式备选】已知函数f(x)＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵f(x)＝e x －(1e)x ，且y ＝e x 是增函数， y ＝－(1e)x 是增函数，所以f(x)是增函数. 由于f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝e －x －e x ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立⇔f(x 2－t 2)≥f(t －x)对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔(t ＋12)2≤(x ＋12)min 2 ⇔(t ＋12)2≤0⇔t ＝－12. 即存在实数t ＝－12，使不等式f(x －t)＋f(x 2－t 2)≥0对一切x 都成立.【探究创新】【解析】(1)f(x)＝x 2(x ≥－1)的图象如图(1)所示，要使得f(－1＋m)≥f(－1)，有m ≥2；x ≥－1时，恒有f(x ＋2)≥f(x)，故m ≥2即可.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)；(2)由f(x)为奇函数及x ≥0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示，∵f(3a 2)＝a 2＝f(－a 2)，由f(－a 2＋4)≥f(－a 2)＝a 2＝f(3a 2)，故－a 2＋4≥3a 2，从而a 2≤1，又a 2≤1时，恒有f(x ＋4)≥f(x)，故a 2≤1即可.所以实数a 的取值范围为[－1,1].。

山东省2014届高考数学一轮复习试题选编4 函数的奇偶性与周期性、对称性理新人教A版

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编4：函数的奇偶性与周期性、对称性（教师版）一、选择题1 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知函数()f x 是R 上的奇函数,若对于0x ≥,都有()2()f x f x +=, [)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时,()()20132012f f -+的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】由()2()f x f x +=知,函数()f x 的周期为2,所以()()20132012f f -+ .1)0()1()0()121006()21006()2013(-=+-=++⨯-=⨯+-=f f f f f f2 ．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称,则(2013)f =（） A ．10 B ．5- C ．5 D ．0【答案】D3 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+,且(1)f x +为偶函数,则实数a 的值可以是（） A ．23 B ．2 C ．4 D ．6【答案】B 因为函数(1)f x +为偶函数,所以(1)(1)f x f x -+=+,即函数()f x 关于1x =对称,所以区间(32,1)a a -+关于1x =对称,所以32112a a -++=,即2a =,所以选 B ．4 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当x >0时,()12xf x -=-,则不等式()f x <12-的解集是（） A ．(),1-∞- B ．(],1-∞- C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】因为()111122f -=-=,又因为函数为奇函数,所以1(1)(1)2f f -=-=-,所以不等式1()2f x <-等价于()(1)f x f <-,当0x >时,()1121()2x x f x -=-=-单调递增,且0()1f x <<,所以在(,0)-∞上函数也单调递增,由()(1)f x f <-得1x <-,即不等式的解集为(),1-∞-,选（）A ．5 ．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,2()21,(log 12)x f x f =-则= A.13 B ．43 C ．2 D ．11【答案】A6 ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））奇函数)(x f y =满足1)3(=f ,且)3()()4(f x f x f -=-,则)2(f 等于（） A ．0 B ．1 C ．21－ D ．21 【答案】 D ．7 ．（2011年高考（山东理））对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】解析:若()y f x =是奇函数,则()y f x =的图象关于y 轴对称;反之不成立,比如偶函数()y f x =,满足()y f x =的图象关于y 轴对称,但不一定是奇函数,答案应选 B ．8 ．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知定义在R 上的函数()f x ,对任意x R ∈,都有()()()63f x f x f +=+成立,若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称,则()2013f =（） A ．0B ．2013C ．3D ．2013-【答案】A 【解析】函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称,则()f x 关于y 轴对称,即函数()f x 为偶函数.令3x =-,得()()()3633f f f -+=-+,即(3)2(3)f f =,所以(3)0f =,所以()()6f x f x +=,即函数()f x 的周期为6.所以()2013(33563)(3)0f f f =⨯+==,选（）A ． 9 ．（2011年高考（山东理））已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（） A ．6 B ．7C ．8D ．9 【答案】解析:当02x <≤时32()(1)f x x x x x =-=-,则(0)(1)0f f ==,而()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,则(2)(4)(6)(0)0f f f f ====,(3)(5)(1)0f f f ===,答案应选 B ．10．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是（）A ．3x y =B ．1||+=x yC ．12+-=x yD ．||2x y -= 【答案】B 【解析】函数3x y =为奇函数,排除（） A ．当0x >时,函数12+-=x y 和||2x y -=为减函数,排除C,D,选 B ．11．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是（）A ．x x f 1)(=B ．x x f -=)(C ．x x x f 22)(-=-D ．x x f tan )(-=【答案】C 【解析】xx f 1)(=在定义域上是奇函数,但不单调.x x f -=)(为非奇非偶函数.x x f tan )(-=在定义域上是奇函数,但不单调.所以选C ． 12．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）定义在R 上的偶函数()f x 满足:对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠都有2121()()0f x f x x x -<-,则有（）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A 13．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知)(x f 为奇函数,在[]3,6上是增函数,[]3,6上的最大值为8,最小值为1-,则2(6)(3)f f -+-等于（） A ．15- B ．13-C ．5-D ．5【答案】A 【解析】因为函数在[]3,6上是增函数,所以(6)8f =,(3)1f =-,又因为函数为奇函数,所以2(6)(3)2(6)(3)28115f f f f -+-=--=-⨯+=-,选（）A ．14．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为( ) （）A ．3-B ．3C ．8-D ．8 【答案】解:本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用.依题当满足3()()4x f x f x +=+时,即34x x x +=+时,得2330x x +-=,此时12 3.x x +=-又()f x 是连续的偶函数,∴()()f x f x -=,∴另一种情形是3()()4x f x f x +-=+,即34x x x +-=+,得2530x x ++=,∴34 5.x x +=-∴满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为3(5)8.-+-=-15．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知函数()f x 是R 上的偶函数,若对于0≥x ,都有)()2(x f x f =+,且当)2,0[∈x 时,)1(log )(2+=x x f ,则)2012()2011(f f +-的值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】由函数()f x 是R 上的偶函数及0x ≥时(2()f x f x +=）得 .11log 2log )0()1()0()2011()2012()2011(22=+=+=+=+-f f f f f f 故选C16．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）设奇函数()(0,)x +∞在上是增函数,且(1)0f =,则不等式[()()]0x f x f x --<的解集为（） A ．{|10,1}x x x -<<>或 B ．{|1,01}x x x <-<<或C ．{|1,1}x x x <->或D ．{|10,01}x x x -<<<<或【答案】 D 【解析】∵奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数,()()f x f x -=-,[()()]0x f x f x --<,∴()0xf x <,又(1)0f =,∴(1)0f -=,从而有函数()f x 的图象如图则有不等式[()()]0x f x f x --<的解集为解集为{|10x x -<<或01}x <<,选D ． 17．（2010年高考（山东理））设f(x)为定义在R 上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x +2x+b(b 为常数),则f(-1)=（）A ．3B ．1C ．-1D ．-3【答案】答案D解析:因为()f x 为定义在R 上的奇函数,所以有0(0)2200f b =+⨯+=,解得1b =-,所以当0x ≥时,()221x f x x =+-,则有()1(1)1(2211)3f f -=-=-+⨯-=-,故选D 命题意图:本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键.18．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）若对任意的R x ∈,函数)(x f 满足)2011()2012(+-=+x f x f ,且2012)2012(-=f ,则=-)1(f（） A ．1 B ．-1 C ．2012 D ．-2012【答案】C 【解析】由(2012)(2011)f x f x +=-+,得(20111)(2011)f x f x ++=-+,即(1)()f t f t +=-,所以(2)()f t f t +=,即函数的周期是 2.所以令0x =得,(2012)(2011)2012f f =-=-,即(2011)2012f =,又(2011)(1)(1)f f f ==-,所以(1)2012f -=,选 C ．19．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时()3xf x m =+(m 为常数),则f(-1og 35)的值为（）A ．4B ．-4C ．6D ．-6【答案】B【解析】因为函数在R 上是奇函数,所以(0)0f =,即(0)10f m =+=,所以1m =-,所以0x ≥时()31x f x =-.所以3log 533(log 5)(log 5)(31)514f f -=-=--=-+=-,选B ． 20．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知()f x 是定义在R 上的奇函数,若对于x ≥0,都有(2)()f x f x +=,且当[0,2]x ∈时,()=-1x f x e ,则(2013)+(-2014)f f = （）A ．1-eB ．e-1 .C ．-l-eD ．e+l【答案】B【解析】由(2)()f x f x +=可知函数的周期是2.所以(2013)(1)1f f e ==-,(2014)(0)0f f -==,所以(2013)+(2014)1f f e -=-,选 B ．21．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）已知定义在R 上的函数f(x ),对任意x ∈R ,都有f (x +6)=f (x )+f (3)成立,若函数(1)y f x =+的图象关于直线x =-1对称,则f (201 3)= （）A ．0B ．201 3C ．3D ．—201 3【答案】A22．（2009高考(山东理)）定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C ．答案: C ． 23．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知非零向量a 、b ,满足a b ⊥,则函数2()()f x ax b =+(R)x ∈是（）A ．既是奇函数又是偶函数B ．非奇非偶函数C ．偶函数D ．奇函数【答案】C24．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且,若()2012g a =,则()2012f -= （）A ．2B ．2012201222--C ．2012201222--D ．2a 【答案】B 25．（2013山东高考数学（理））已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x =+,则(1)f -= （）A ．2-B ．0C ．1D ．2 【答案】A 【解析】因为函数为奇函数,所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-,选（） A ．26．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数()2x f x =,则如图所示的函数图象对应的函数是（）A ．()||y f x =B ．()||y f x =-C ．()||y f x =--D ．()||y f x =- 【答案】C【解析】因为当0x =时,1y =-,所以排除A, D ．又因为函数的图象关于y 轴对称,所以函数为偶函数,所以排除B,选 C ．27．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）定义在R 上的函数()f x 在(-∞,2)上是增函数,且(2)f x +的图象关于y 轴对称,则（）A ．(1)(3)f f -<B ．(0)(3)f f >C ．(1)(3)f f -=D ．(0)(3)f f =【答案】A 【解析】函数(2)f x +的图象关于y 轴对称,则()f x 关于直线2x =对称,函数()f x 在(,2)-∞上是增函数,所以在(2,)+∞上是减函数,所以(1)(5)(4)(3)f f f f -=<<,选（）A ．二、填空题28．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当[0,1]x ∈时,()1f x x =+,则()2013.5f =_______________.【答案】1.5 【解析】因为函数的周期为2,所以()2013.5(0.5)(0.5)0.51 1.5f f f =-==+=29．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）()y f x =是定义在R 上的偶函数且在[)0,+∞上递增,不等式112x f f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的解集为_____________ 【答案】1(,1)3- 【解析】因为()y f x =是定义在R 上的偶函数且在[)0,+∞上递增,所以112x f f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭等价为11()()()122x f f f x <-=+,所以112x x <+,即21x x <+,平方得22421x x x <++,所以23210x x --<,解得113x -<<,即不等式的解集为1(,1)3-. 30．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）已知奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+,且当)1,0(∈x 时,x x f 2)(=,则)27(f 的值为______________【答案】2- 【解析】由)()2(x f x f -=+得(4)()f x f x +=,所以)(x f 周期是4,所以7711()(4)()()2222f f f f =-=-=-,又当)1,0(∈x 时,x x f 2)(=,所以121()222f ==,所以7()22f =-。

2014届高考数学一轮复习第2章《函数的奇偶性与周期性》名师首选学案新人教A版

学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义设函数y ＝f (x )的定义域为A .如果对于任意的x ∈A ，都有__________，则称f (x )为奇函数；如果对于任意的x ∈A 都有__________，则称f (x )为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____；f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝______，则称f (x )为______函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________．(2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T2)．②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值为________． 2．如果定义域为[3－a,5]的函数f (x )为奇函数，那么实数a 的值为________． 3．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)＝________.4．设函数f (x )＝x ＋1x ＋ax为奇函数，则a ＝________.5．若函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，且f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围为___________．探究点一函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝x (12x －1＋12)；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ，x >0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 2－x 3；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．变式迁移2 已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．探究点三函数性质的综合应用例3 已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.变式迁移3 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则下列说法中正确的是________(填序号)．①在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数； ②在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数； ③在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数； ④在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数．转化与化归思想例 (14分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答题模板】解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分] (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.[4分]令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．[6分] (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，[8分]∵f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．[10分]∵f (x )为偶函数，∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[11分]又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )的定义域为D . ∴0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.[13分]∴x 的取值范围为{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[14分]【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x ))≤f (a )的形式，但思维障碍在于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，g (x )是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x )是偶函数的结论，则有f (g (x ))＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x )的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0<|g (x )|≤a ，解之得x 的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x )，若有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 为常数且a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a .课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为________． 2．已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f xx<0的解集为________________． 3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.4．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.5．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)大小关系为____________________．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，a ， x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，则a ＋b ＝________.7．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围为________________． 8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的表达式．10．(14分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)， (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．11．(14分)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．答案自主梳理1．f (－x )＝－f (x ) f (－x )＝f (x ) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f (x ) 周期最小正周期(2)③2a自我检测 1．2解析因为f (x )为偶函数，所以奇次项系数为0，即m －2＝0，所以m ＝2. 2．8 3．1解析 f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.4．－1解析 ∵f (－1)＝0，∴f (1)＝2(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.代入检验f (x )＝x 2－1x是奇函数，故a ＝－1.5．a ≤－2或a ≥2解析由f (x )是R 上的偶函数知，f (x )在[0，＋∞)上是减函数．因为f (a )≤f (2)等价于f (|a |)≤f (2)．所以|a |≥2，解得a ≥2或a ≤－2. 课堂活动区例1 解题导引判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f (x )的图象关于原点对称，则f (x )为奇函数；f (x )的图象关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．(3)基本函数法：把f (x )变形为g (x )与h (x )的和、差、积、商的形式，通过g (x )与h (x )的奇偶性判定出f (x )的奇偶性．解 (1)定义域要求1－x1＋x ≥0且x ≠－1，∴－1<x ≤1，∴f (x )定义域不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f (－x )＝－x (12－x －1＋12)＝－x (2x 1－2x ＋12)＝x (2x2x－1－12) ＝x (12x －1＋12)＝f (x )．∴f (x )是偶函数． (3)函数定义域为R .∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1) ＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )．故f (x )为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f (－1)＝2，f (1)＝0，f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，从而函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|≠3得，f (x )定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称，又f (x )＝4－x2x，f (－x )＝－4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2 解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增，且由f (1)＝0得f (－1)＝0. 若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12>0，xx －12<1，即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.若f [x (x －12)]<0＝f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12<0，xx －12<－1，由x (x －12)<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是{x |12<x <1＋174或1－174<x <0}．变式迁移2 (－2，23)解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0，等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，此时应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h －2<0h2<0即可，解得x ∈(－2，23)．例3 解题导引解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．答案－8解析因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.变式迁移3 ②解析 ∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x ＋1)＝f (1－x )． ∴x ＝1为函数f (x )的一条对称轴．又f (x ＋2)＝f [2－(x ＋2)] ＝f (－x )＝f (x )，∴2是函数f (x )的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．课后练习区 1.13解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2ab ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．(－3,0)∪(3，＋∞)解析由已知条件，可得函数f (x )的图象大致为下图，故f x x<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．3．－0.5解析由f (x ＋2)＝－1f x，得f (x ＋4)＝－1fx ＋2＝f (x )，那么f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，则f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴f (1.5)＝－0.5.综上知，f (6.5)＝－0.5. 4．－3解析因为奇函数f (x )在x ＝0有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1. 所以f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝3，从而f (－1)＝－f (1)＝－3. 5．f (－1)>f (2)解析由y ＝f (x ＋1)是偶函数，得到y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)．又f (x )在[1，＋∞)上为单调增函数， ∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)． 6．1解析 ∵f (x )是奇函数，且x ∈R ，∴f (0)＝0，即a ＝0.又f (－1)＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1)＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1.7．(－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)．∵f (x )为奇函数，且f (1)>1，∴f (－1)＝－f (1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1. 解得：－1<m <23. 8．2解析由g (x )＝f (x －1)，得g (－x )＝f (－x －1)，又g (x )为R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，∴f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (x －1)＝－f (－x －1)，用x ＋1替换x ，得f (x )＝－f (－x －2)．又f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )＝－f (x ＋2)．∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4.∴f (2 010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.9．解由题意，当3≤x ≤6时，设f (x )＝a (x －5)2＋3，∵f (6)＝2，∴2＝a (6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f (x )＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．………………………………………………………(4分)∴f (3)＝－(3－5)2＋3＝－1.又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f (x )＝－13x (0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(8分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f (－x )＝－13(－x )＝13x . 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－13x .∴f (x )＝－13x (－3≤x ≤3)．……………………………………………………………(10分)当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f (－x )＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3.又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝(x ＋5)2－3.………………………………………………………………………(13分)∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋52－3，－6≤x ≤－3，－13x －3<x <3，……………………………………………14分－x －52＋3， 3≤x ≤6.10．解 (1)f (－x )＝(－x )2－2|－x |－ 1 ＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．………………………………………………………(3分)(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －12－2， x ≥0，x ＋12－2， x <0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………………………………………………………………(7分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]． f (x )在[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．………………(10分)(4)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2；当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2；故函数f (x )的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(14分)11．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )，若x ＝±1时，则f (－1)＋f (1)＝2≠0；∴f (－1)≠－f (1)，又f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a ＝0时，f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋ax 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，……………………………………………………………(10分) 要使f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4，即a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．………………………………………(12分)又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，∴a 的取值范围为(－∞，16]．………………………………………………………(14分)。

高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课时闯关

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课时闯关理（含解析）人教版一、选择题1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D.由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．2．(2011·高考广东卷)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析：选A.由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．3．(2011·高考湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154C.174D ．a 2 解析：选B.∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝154. 4．(2013·宁波模拟)已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f (9819)，b ＝f (10117)，c ＝f (10615)的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <aC ．a <c <bD ．a <b <c解析：选A.由已知得f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)．从而得f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝0.∴f (9819)＝－f (1619)，f (10117)＝－f (117)，f (10615)＝f (1415)． ∵0≤x ≤1时都有f ′(x )≥0，∴f (x )在[0,1]上递增，且在[0,1)上都有f (x )<0.∴f (1415)<0，f (117)<f (1619)<0.∴f (10615)<f (9819)<f (10117)，即c <a <b .5．已知定义域为R 的函数y ＝f (x )，则下列命题：①若f (x －1)＝f (1－x )恒成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称；②若f (x ＋1)＋f (1－x )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )的图象关于(1,0)点对称； ③函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于y 轴对称；④函数y ＝－f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于原点对称；⑤若f (1＋x )＋f (x －1)＝0恒成立，则函数y ＝f (x )以4为周期．其中真命题有( )A ．①④B ．②③C ．②⑤D ．③⑤解析：选C.由f (x －1)＝f (1－x )知y ＝f (x )图象关于x ＝0对称，故①错；由f (1＋x )＋f (1－x )＝0知y ＝f (x )图象关于(1,0)点对称，②正确；函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )图象关于x ＝1对称，故③错；函数y ＝－f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于(1,0)点对称，故④错；若f (1＋x )＋f (x －1)＝0，则f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，函数y ＝f (x )以4为周期，⑤正确．综上，②⑤正确，故选C.二、填空题6．(2011·高考浙江卷)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.答案：07．(2012·高考课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝x 2＋2x ＋1＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，考察函数g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，显然函数g (x )为奇函数，所以g (x )的最大值与最小值的和为0，所以函数f (x )的最大值与最小值的和为2.答案：28．若f (x )是R 上的奇函数，则函数y ＝f (x －12)＋1的图象必过点________．解析：y ＝f (x －12)＋1由y ＝f (x )向右平移12个单位再向上平移1个单位．(0,0)→(12，1)．答案：(12，1) 三、解答题9．设a >0，f (x )＝e x a ＋a ex 是R 上的偶函数，求实数a 的值并求f (x )的值域．解：∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )在R 上恒成立．即e －x a ＋a e －x ＝e x a ＋a e x ，即(a 2－1)e 2x ＋1－a 2＝0，对任意的x 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a >0，解得a ＝1. ∴f (x )＝e x ＋1e x . 当x ∈R 时，e x >0，∴f (x )＝e x ＋1e x ≥2e x ·1ex ＝2. 当且仅当x ＝0时，取“＝”．∴f (x )的值域为[2，＋∞)．10．已知奇函数f (x )在定义域[－2,2]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3，①又f (x )为奇函数，在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，∴1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.11．(探究选做)是否存在实数a ，使得函数f (x )＝log 2(x ＋x 2＋2)－a 为奇函数，同时使函数g (x )＝x ·(1a x －1＋a )为偶函数？证明你的结论．解：假设存在a 满足题目要求，则⎩⎪⎨⎪⎧ f －x ＝－f x g －x ＝g x ，令x ＝0，由f (0)＝0得a ＝12，此时g (x )＝x ·(12－x －1＋12)， ∴g (－x )＝－x ·(12x －1＋12)＝x ·(11－2x －12) ＝x ·1＋2x 21－2x . 而g (x )＝x (12－x －1＋12)＝x ·1＋2x 21－2x ， ∴g (－x )＝g (x )，∴a ＝12时，g (x )为偶函数．因此，存在a ＝12满足题目条件．。

[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第二篇第3讲函数的奇偶性与周期性

第3讲函数的奇偶性与周期性A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，又当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x－1，则f (log 126)等于( )．A ．－5B ．－6C ．－56 D ．－12解析 f (log 126)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)． ∵log 26－2＝log 232∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝12，∴f (log 126)＝－12. 答案 D2．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3. 答案 A3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A4．(2013·连云港一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是 ( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 06．(2012·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案－1 三、解答题(共25分)7．(12分)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意x ，y ，f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )． (1)求f (1)，f (－1)的值； (2)判断函数f (x )的奇偶性．解 (1)因为对定义域内任意x ，y ，f (x )满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )，所以令x ＝y＝1，得f (1)＝0，令x ＝y ＝－1，得f (－1)＝0.(2)令y ＝－1，有f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)，代入f (－1)＝0得f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数．8．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2.因此实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则 ( )．A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数解析由已知条件，得f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)．由f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，得f (－x ＋2)＝－f (x )；由f (－x －1)＝－f (x －1)，得f (－x －2)＝－f (x )．则f (－x ＋2)＝f (－x －2)，即f (x ＋2)＝f (x －2)，由此可得f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (x ＋3)＝f (x －1)，即函数f (x ＋3)也是奇函数．答案 D2．(2012·福建)设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．f (x )＝2x ＋sin x 为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f (1－a )＋f (1－2a )<0的解集是 ________.解析 f (x )在(－1,1)上是增函数，且f (x )为奇函数．于是原不等式为f (1－a )<f (2a－1)等价于⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a <2a －1.解得23<a <1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14．若定义域为R 的奇函数f (x )满足f (1＋x )＝－f (x )，则下列结论：①f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称；②f (x )的图象关于直线x ＝12对称；③f (x )是周期函数，且2是它的一个周期；④f (x )在区间(－1,1)上是单调函数．其中所有正确的序号是________．解析由函数为奇函数且满足f (1＋x )＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以②③正确．答案 ②③ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数．求实数a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当a ＝0时，f (x )＝x 2，(x ≠0)显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)＝x2＋ax既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数，当a>0时，由f′(x)＝2x3－ax2>0，解得x> 3a2，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知3a2≤2.解得0<a≤16.综上可知实数a的取值范围是(－∞，16]．6．(13分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x )是以4为周期的周期函数∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)， ∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154. 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

2014高考数学一轮复习精品习题附解析第二章第3讲函数的奇偶性与周期性

第3讲函数的奇偶性与周期性分层训练A 级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·苏北四市调研)若函数f (x )＝22x ＋1＋m 为奇函数，则实数m ＝________. 解析由题意，得f (0)＝0，所以220＋1＋m ＝0，即m ＝－1. 答案－12．(2012·无锡调研)设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2 011)＝________解析因为f (－x )＝－f (x )，f (x ＋3)＝f (x )，f (－1)＝－1，所以f (1)＝1，f (2 011)＝f (3×670＋1)＝f (1)＝1.答案 13．(2013·苏锡常镇扬调研)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (－9)＝________.解析由题意，得f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (－4－x )，所以f (－9)＝f (－4＋9)＝f (5)＝－f (－5)＝－f (1)＝－2.答案－24．(2012·盐城市检测)设函数f (x )是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是________．解析因为f (x ＋3)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，所以2a －3a ＋1＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＜－1，即2a －3a ＋1＋1＜0，3a －2a ＋1＜0，解得－1＜a ＜23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，235．(2013·扬州市冲刺)已知函数f (x )是奇函数，且在[－1,1]上是单调增函数，又f (－1)＝－1，则满足f (x )≤t 2＋2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]及a ∈[－1,1]都成立的t 的取值范围是________．解析由题意，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1，所以t 2＋2at ＋1≥1，即t 2＋2at ≥0对a ∈[－1,1]恒成立，t ＝0时，显然成立；t ≥0时，由t ≥－2a 恒成立，得t ≥2；t ＜0时，由t ≤－2a 恒成立，得t ≤－2.综上，得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. 答案 (－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)6．(2013·南通、无锡调研)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为________．解析因为f (－x )＝－f (x )，所以由f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x ＜0，得⎩⎨⎧ x ＞0，f (x )＜0或⎩⎨⎧x ＜0，f (x )＞0.因为f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，所以由f (x )＜f (1)，得0＜x ＜1.又f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且f (x )在(－∞，0)上为增函数，所以由f (x )＞f (－1)，得－1＜x ＜0.综上所述，－1＜x ＜0或0＜x ＜1.答案 (－1,0)∪(0,1)二、解答题(每小题15分，共30分)7．设f (x )＝e x ＋a e －x (a ∈R ，x ∈R )．(1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；(2)若g (x )是偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )．解 (1)a ＝1时，f (x )＝e x ＋e －x 是偶函数，所以g (x )＝xf (x )是奇函数；a ＝－1时，f (x )＝e x －e －x 是奇函数，所以g (x )＝xf (x )是偶函数．a ≠±1，由f (x )既不是奇函数又不是偶函数，得g (x )＝xf (x )是非奇非偶函数．(2)当g(x)是偶函数时，a＝－1，f(x)＝e x－e－x是R上的单调递增函数，于是由f(x2－2)≤f(x)得x2－2≤x，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.8.已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.分层训练B级创新能力提升1．(2012·深圳调研)给出四个函数：①f(x)＝x＋1x；②g(x)＝3x＋3－x；③u(x)＝x3；④v(x)＝sin x，其中满足条件：对任意实数x和任意正数m，有f(－x)＋f(x)＝0及f(x＋m)>f(x)的函数为________．解析可知满足条件的函数是奇函数，且在R上单调递增，所以仅u(x)＝x3符合题意．答案u(x)＝x32．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确的序号是________．解析 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋1＋1)＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的函数，①正确．又∵f (x ＋2)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )＝f (2－x )，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，②正确．又∵f (x )为偶函数且在[－1,0]上是增函数，∴f (x )在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x ＝1，∴f (x )在[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)，故③④错误，⑤正确．答案 ①②⑤3．(2013·南通调研三)已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的x 0的取值范围为________．解析 f ′(x )＝2x ＋sin x ，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2内f ′(x )>0， ∴f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2内单调递增，此时由f (x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3得x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2，易证f (x )是偶函数，∴x 0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，－π3也符合题意．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －π2≤x ＜－π3或π3＜x ≤π2 4．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以①正确．②由y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，得f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0对称，所以②不正确．③由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，得f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x )是偶函数，③正确．由③正确知④不正确．答案 ①③5．(2012·盐城市检测)已知函数f (x )＝1＋ax 2x ＋b(a ≠0)是奇函数，并且函数f (x )的图象经过点(1,3)．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的值域．解 (1)因为函数f (x )＝1＋ax 2x ＋b是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以1＋a (－x )2－x ＋b ＝－1＋ax 2x ＋b. 因为a ≠0，所以－x ＋b ＝－x －b ，所以b ＝0.又函数f (x )的图象经过点(1,3)，所以f (1)＝3.所以1＋a 1＋b＝3.因为b ＝0，故a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1＋2x 2x ＝2x ＋1x (x ≠0)．当x ＞0时，2x ＋1x ≥22x ·1x ＝22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号．当x ＜0时，(－2x )＋1－x≥2 (－2x )·1－x ＝2 2. 所以2x ＋1x ≤－2 2.当且仅当－2x ＝1－x ，即x ＝－22时取等号．综上可知，函数f (x )的值域为(－∞，－22]∪[22，＋∞)．6．(2012·启东重点中学调研)设f (x )＝log a1－mx x －1为奇函数，g (x )＝f (x )＋log a [(x －1)(ax ＋1)](a ＞1，且m ≠1)．(1)求m 的值；(2)求g (x )的定义域；(3)若g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32上恒正，求a 的取值范围．解 (1)f (x )是奇函数，f (x )＝－f (－x )， log a 1－mxx －1＝－log a 1＋mx －x －1＝log a －x －11＋mx ， ∴1－mx x －1＝－x －11＋mx ，x 2－1＝(mx )2－1， ∴(m 2－1)x 2＝0，又m ≠1，∴m ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝log a x ＋1x －1，g (x )＝log a x ＋1x －1＋log a [(x －1)·(ax ＋1)]， x 必须满足⎩⎨⎧ (x －1)(ax ＋1)＞0，(x ＋1)(x －1)＞0.又a ＞1，∴x ＜－1或x ＞1，∴g (x )的定义域为{x |x ＜－1或x ＞1}．(3)∵a ＞1，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32上恒正，∴(x ＋1)(ax ＋1)＞1⇒ax ＋1＜1x ＋1⇒ax ＜－xx ＋1⇒a ＞－1x ＋1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32，∴－1x ＋1≤－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝2，∴a ＞2，∴a 的取值范围是(2，＋∞).。

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.2014高考数学一轮课时专练（人教A 版理科通用）：
[第6讲函数的奇偶性与周期性] (时间：35分钟分值：80分)
基础热身 1．[2013·东北师大附中模拟] 奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上f (x )的函数解析式是( )
A ．f (x )＝－x (1－x )
B ．f (x )＝x (1＋x )
C ．f (x )＝－x (1＋x )
D ．f (x )＝x (x －1)
2．函数f (x )＝a 2x －1
a
x (a >0，a ≠1)的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝x 对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称 3．[2013·哈尔滨师大附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3 4．[2013·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．
能力提升
5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )
＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－13
4＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 6．[2013·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
7．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a
4－x 2
的图象关
于原点对称，则f （a
2
）＝( )
A.33 B ．－33 C ．1 D ．－1
8．已知定义在R 上的奇函数f (x )是一个减函数，且x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．以上都有可能 9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．
10．[2013·青岛二中月考] 已知函数f (x )＝x 2－
m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________．
11．[2013·南京三模] 若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，
－x 2
＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．
12．(13分)[2013·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72
. (1)求m 的值；
(2)判定f (x )的奇偶性；
(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
难点突破
13．[2013·吉林一模] 已知函数f (x )＝lg 1＋x
1－x
.
(1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，
都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a ＋b 1＋ab ；
(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．。