用函数的特征式判断函数的周期性及其周期

由函数特征式判断函数的周期性及周期

李圣平

(宜昌市体育运动学校，湖北宜昌 443000)

摘要探讨利用函数的特征式研判函数的周期性和周期，让学生掌握研究和判断的方法很有必要，在此给出了用函数特征式研究和判断函数周期性及周期的一般方法，研究了几种具体情形供师生参考。

关键词函数；特征式；判断；周期函数；周期

函数的周期性是高中数学的一个重要知识点，用函数的特征式判断函数的周期性和周期具有抽象性，可以考察学生的抽象思维能力和想象能力，此类问题在高考题中多年涉及，学生掌握一些类型的研究方法及其结论十分必要，本文做出了一些相关探讨。

1 函数的周期性与周期

1. 1 周期函数及其周期的几何定义

从图象上看，函数的图象能够划分为无数段向左右两边无限重复延伸的全等图象段，分点若为函数图象上的点，则为相邻图象段的公共点，将每一段图象称为重复段，将任一重复段向左右无限重复延伸就得到整个函数的图象，这样的函数称为周期函数。周期函数的任一重复段夹在某两条直线x=a和x=b之间（a ＜b﹚，在左或右要么与直线相交，要么可以与直线无限趋近，将这个重复段向左平移b-a个单位或者向右平移b-a个单位得到与其左右紧邻的重复段，将b-a 称为该函数的一个正周期，a-b称为该函数的一个负周期，每一个重复段称为该函数的一个周期内的图象。如果重复段不能再划分为可重复的小重复段，则把周期b-a称为该函数的最小正周期。

1. 2 周期函数及其周期的代数定义

对于函数f（x），如果存在非零常数k，使f（x+k）=f（x）成立，称函数f （x）为周期函数，把k称为该函数的一个周期。如果k为正数，该函数不存在比k小的正周期，则把k称为该函数的最小正周期。把等式f（x+k）=f（x）称为函数f（x）的一个特征式。

2 用函数的特征式判断函数的周期性和周期

定理1 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值，都有：f（x+a）=f（x+b）或f（a-x）=f（b-x），其中a、b是常数，且a≠b，则函数f（x）是周期函数，且a-b是f（x）的一个周期。

证明：若f（x+a）=f（x+b），（a≠b），则用此关系有：f（x）=f（（x-b）+b）=f（（x-b）+a）=f（x+（a-b）），根据周期函数的定义，函数f（x）是周期函数，且a-b是f（x）的一个周期。若f（a-x）=f（b-x），（a≠b），则用此关系有：f（x）=f（b-（b-x））=f（a-（b-x））=f（x+（a-b）），表明函数f（x）是周期函数，且a-b是函数f（x）的一个周期。

定理2 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值，满足下列条件之一，则函数f（x）是周期函数，且2（a-b）是函数f（x）的一个周期，这里a≠b。

条件1：f（x+a）= -f（x+b）或 f（a-x）= -f（b-x）；

条件2：f（x+a）=1／f（x+b）或f（a-x）=1／f（b-x），（f（x）≠0）；

条件3：f（x+a）= -1／f（x+b）或 f（a-x）=- 1／f（b-x），（f（x）≠0）。

这里只对满足条件3的函数f（x）是周期为2（b-a）的周期函数作证明，其余的用类似的方法（变形法）证明。

证明：若f（x+a）=－1／f（x+b），则f（x+b）= -1／f（x+a），用此关系有：f（x+a）=f（（x+a-b）+b）= -1／f（（x+a-b）+a）= -1／f（x+2a-b） = -1／f（（x+2a-2b）+b）= -1／（-1／f（（x+2a-2b）+a））=f（x+3a-2b），由定理1知，函数f（x）是周期函数，且3a-2b－a=2（a-b）是f（x）的一个周期。若f（a-x）= -1／f（b-x），（f（x）≠0），则f（b-x）=- 1／f（a-x），据此有：f（x）=f（b-（b-x））=- 1／f（a-（b-x））=- 1／f（a-b+x） =-1／f（b-（2b-a-x））=-1／（-1／f（a-（2b-a-x）））=f（x+2（a-b））,∴ f（x）是周期函数，2（a-b）是f（x）的一个周期。

注意：不难发现，f（x+a）与f（x+b）（或者f（a-x）与f（b-x））互为相反数、互为倒数或者互为负倒数，则函数f（x）是周期函数，且2（a-b）=2（（x+a）-（x+b））=2（（a-x）-（b-x））是函数的周期。

定理3 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值，满足下列条件之一，则函数f（x）是周期函数，且2a是函数f（x）的一个周期。

条件1：f（x+a）=f（x-a），（a≠0）：

条件2：f（x+a）=-f（x），（a≠0）；

条件3：f（x+a）=1／f（x），（a≠0；f（x）≠0）；

条件4：f（x+a）=-1／f（x），（a≠0；f（x）≠0）。

推论1可用上面的证明方法证明，也可用定理1中b=-a，定理2中b=0得到。由条件2、条件3、条件4都可得到条件1关系式，如：f（x+a）=-f（x），则f（x）= - f（x+a），据此有：f（x-a）=-f（（x-a）+a）=-f（x），故 f（x+a）=f（x-a）。

定理4 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值,都有：f（x）=f（x+a）+f（x-a），（a≠0），则f（x）是周期函数，6a是f（x）的一个周期。

证明:∵f（x）=f（x+a）+f（x-a），用此关系有：f（x+a）=f（（x+a）+a）+f（（x+a）-a），即f（x+a）=f（x+2a）+f（x）（1）

即f（x）=f（x+a）- f（x+2a），用此关系有：f（x+a）=f（（x+a）+a）-f（（x+a）+2a），即f（x+a）=f（x+2a）-f（x+3a）（2）

由（1）和（2）得：f（x）=-f（x+3a），由定理3（满足条件2）知，函数f（x）是周期函数，且6a是f（x）的一个周期。

定理5 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值，都有：f（x+a）=f（x+b）+f（x+c），（a是b与c的等差中项，a≠b≠c），则函数f（x）是周期函数，且6（a-b）是f（x）的一个周期。

证明：∵a是b和c的等差中项，∴b，a，c成等差数列，设公差为d，则d=c-a=a-b，有 b=a-d，c=a+d，所以f（x+a）=f（x+b）+f（x+c）可化为f（x+a）=f（x+a-d）+f（x+a+d），用此关系有：f（x）=f（（x-a）+a）=f（（x-a）+a-d）+f（（x-a）+a+d），即f（x）=f（x-d）+f（x+d），由定理4知，函数f（x）是周期函数，且6（a-b）是f（x）的一个周期。

【参考文献】：

[1] 李胜编.黄冈高考兵法.数学.第一轮（M）.西安：陕西师范大学出版社.2001.第38页.