高考数学知识点复习题48

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高三数学高考知识点相等函数复习题(最新整理)

A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①②
4．下列哪组中的两个函数是同一函数（）
2
A. y x 与 y x
3
B. y 3 x 与 y x
2
2
C. y x 与 y x
D.
y
3
x
3
与y
x2
x
5．下列函数中哪个与函数 y x 相等
2
A. y x
B. y= 3 x3
2
x 的定义域不同，故不是同一函数；对于 D ，
y 3 x3 与 y x2 的
x
定义域不同，故不是同一函数，故选 B.
【方法点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数，主要考查函数的定义域、值域以及对
应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单
元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、
都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.
7．A
【解析】 B 选项 f x 定义域为 R ， g x 定义域 x 1 ，故不是相同函数. C 选项值域
不同， D 选项定义域不同，故选 A .
8．C 【解析】分析：由题意结合函数的定义考查函数的定义域和对应关系即可求得最终结果. 详解：逐一考查所给的选项：
对于 C：
，定义域为{x|x≥0}，它们定义域不相同，∴不是同一函数；
对于 D：
，定义域为 R，对于关系也相同，∴是同一函数；
故选：D．
点睛：本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于
中档题. 判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常

高考数学互斥事件专题复习训练(含答案)

2019-2019年高考数学互斥事件专题复习训练（含答案）事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，下面是互斥事件专题复习训练，请考生练习。

一、选择题1.如果事件A与B是互斥事件，则()A.A+B是必然事件B.与一定互斥C.与一定不互斥D.+是必然事件[答案] D[解析] 特例检验：在掷一粒骰子的试验中，上面出现点数1与上面出现点数2分别记作A与B，则A与B是互斥而不对立的事件，A+B不是必然事件，与也不互斥，A、B选项错误，+是必然事件，还可举例验证C不正确.2.从1,2,3，，9这9个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A. B.C. D.[答案] C[解析] 可根据互斥和对立事件的定义分析事件，中至少有一个是奇数即两个奇数或一奇一偶，而从1～9中任取两数共有3个事件：两个奇数一奇一偶两个偶数，故至少有一个是奇数与两个偶数是对立事件.3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为()A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96[答案] D[解析] 设抽得正品为事件A，则P(A)=1-0.03-0.01=0.96.4.抽查10件产品，设至少抽到2件次品为事件A，则为()A.至多2件次品B.至多2件正品C.至少2件正品D.至多1件次品[答案] D[解析] 至少2件次品与至多1件次品不能同时发生，且必有一个发生.5.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8[答案] B[解析] 设身高低于160 cm为事件M，身高在[160,175] cm为事件N，身高超过175 cm为事件Q，则事件M、N、Q两两互斥，且M+N与Q是对立事件，则该同学的身高超过175 cm 的概率为P(Q)=1-P(M+N)=1-P(M)-P(N)=1-0.2-0.5=0.3. 6.如果事件A与B是互斥事件，且事件A+B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为() A.0.2 B.0.4C.0.6D.0.8[答案] C[解析] 由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8，P(A)=3P(B)，解组成的方程组知P(A)=0.6.互斥事件专题复习训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。

加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：48专题不等式含答案

训练目标(1)了解不等式概念及应用方法；(2)掌握不等式的性质，提高综合应用能力. 训练题型 (1)利用比较法判断不等关系；(2)运用不等式的性质判断不等关系；(3)将不等式概念及性质与函数知识结合判断不等关系.解题策略(1)作差比较；(2)作商比较；(3)利用不等式的性质化简变形，合理放大或缩小；(4)借助基本函数单调性比较大小. 1．(2015·金华十校联考)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的________条件． 2．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是________．①1x 2＋1>1y 2＋1；②ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)；③sin x >sin y ；④x 3>y 3. 3．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是________． 4．设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与AB 的大小关系为________． 5．已知a >0，b >0，记M ＝a 2b ＋b 2a，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为________． 6.(2015·江西南昌八中上学期第三次月考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b＋1c，则T 与0的大小关系是________． 7．若存在x 使不等式x －m ex >x 成立，则实数m 的取值范围为________． 8．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．9．已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋b a≥2； ③若a >b >0，n ∈N *，则a n >b n ；④若log a b <0(a >0，a ≠1)，则(a －1)(b －1)<0.其中真命题的个数为________．10．已知0<a 0；②2a －b <12；③log 2a ＋log 2b <－2；④2a b ＋b a <12. 11．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________．12．如下图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为__________________．13．设a>0且a≠1，则log a(a3＋1)与log a(a2＋1)的大小关系为____________________．14．已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，c n与a n＋b n的大小关系为________．答案解析1．充分不必要解析方法一因为a ＋1a －(b ＋1b )＝(a －b )(ab －1)ab，所以若a >b >1，显然a ＋1a －(b ＋1b )＝(a －b )(ab －1)ab>0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．方法二令函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x 2，可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的充分不必要条件． 2．④解析因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，①中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，①不成立；②中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，②不成立；③中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，③不成立；④中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，④成立．3．M >N解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0， ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab (1＋a )(1＋b )>0，∴M >N . 4．d ≤AB5．M ≥N解析 a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab≥0.故M ≥N . 6.T <0解析由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＝ab ＋c (b ＋a )abc ＝ab －c 2abc. ∵ab <0，－c 2<0，abc >0，∴T <0.7．(－∞，0)解析由x －m e x >x 得：－m >e x ×x －x (x >0)，令f (x )＝e x ×x －x (x >0)，则－m >f (x )min .f ′(x )＝e x ×x ＋e x ×12x－1≥2×e x －1>0(x >0)，所以f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，－m >0，m <0.8．[－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5.∴－1≤a －b ≤6.9．2解析当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，所以①为假命题；当a 与b 异号时，a b <0，b a<0，所以②为假命题； ③为真命题；若log a b <0(a >0，a ≠1)，则有可能a >1,01，即(a －1)(b －1)<0，所以④是真命题．综上，真命题有2个．10．③解析若0<a <1，此时log 2a <0，①错误；a －b <0，此时2a －b <1，②错误；由a b ＋b a >2a b ·b a ＝2,2a b ＋b a>22＝4，④错误；由a ＋b ＝1>2ab ，即ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2.故③正确． 11．a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.12.12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b ) 解析图(1)所示广告牌的面积为12(a 2＋b 2)，图(2)所示广告牌的面积为ab ，显然不等式可表示为12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b )． 13．log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)解析 (a 3＋1)－(a 2＋1)＝a 2(a －1)，①当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；②当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．14．c n >a n ＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0.而a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c)n . ∵a 2＋b 2＝c 2，则(a c )2＋(b c)2＝1， ∴0<a c <1,02， ∴(a c )n <(a c )2，(b c )n <(b c)2. ∴a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c )n <a 2＋b 2c 2＝1. ∴a n ＋b n <c n .。

高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)

高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。

高考数学复习知识点专题强化训练47 直线与圆、圆与圆的位置关系

高考数学复习知识点专题强化训练专题(四十七) 直线与圆、圆与圆的位置关系A级——夯基保分练1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能解析：选C 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．2．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0解析：选B 由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.3．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选D 由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.4．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )A．3 B．4C．2 3 D．8解析：选B 连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝55，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝25×55＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B.5．(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )A. 6B.5C．－ 6 D．－5解析：选BD 因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝±5，故选B 、D.6．(多选)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．10解析：选AD 圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72的圆心C 的坐标为(3,3)，半径r ＝62，因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为22，则有d ＝|6－m |1＋1＝22，解得m ＝2或10，故选A 、D.7．(2020·湖南长沙月考)设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，C 为圆心，且△ABC 的面积等于4，则实数m ＝________.解析：设CA ，CB 的夹角为θ，圆的半径为r .所以S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，得θ＝π2.易知圆心C 到直线l 的距离为2，所以|4m －1|m －12＋2m ＋12＝2，解得m＝－12或－72.答案：－12或－728．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是__________________．解析：依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P (0,1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C (1,0)，半径为r ＝2.则易知定点P (0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC ⊥l 时，直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝09．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心坐标为(a,0)(a >0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以3＋0＋m ＝0，解得m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝010．(一题两空)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，则此时切线l 的方程为____________； (2)满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程为____________．解析：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，当l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0. 答案：(1)x ＝1或3x ＋4y －15＝0 (2)2x －4y ＋1＝011．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ―→·ON ―→＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1.解得4－73＜k ＜4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k 2＋8.由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.12．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ，∴半径r ＝|OC |.∵|OC |2＝t 2＋4t2，∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2.令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t,0)．令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t .∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.B 级——提能综合练13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选AB 圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，则圆心为C (2,0)，半径R ＝2.设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PACB 为正方形，故有PC ＝2R ＝22，∴圆心到直线y ＝k (x ＋1)的距离小于或等于PC ＝22，即|2k －0＋k |k 2＋1≤22，解得k 2≤8，可得－22≤k ≤22， ∴实数k 的取值可以是1,2.故选A 、B.14．(2020·河南洛阳二模)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD ―→＝5DB ―→，则r ＝________.解析：如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE |＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE |＝|EB |，不妨令|AD |＝5m (m >0)，由3AD ―→＝5DB ―→可得 |BD |＝3 m ，|AB |＝8m ，则|DE |＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2，①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m )2，②联立①②，解得r ＝10.答案：1015．已知圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，174，B ⎝⎛⎭⎪⎫－318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .(1)求圆C 的方程； (2)求直线l 的方程．解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－b 2，即716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334b ＋b 2，解得b ＝4. 则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－42＝12，所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝12.(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±22，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则OP ―→·OQ ―→＝0，所以OP ⊥OQ ，满足题意．当直线l 的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线l 的方程与圆C 1的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，则Δ＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－1)＝4(k 2－m 2＋1)＞0，即1＋k 2＞m 2，则x 1＋x 2＝－2km 1＋k 2，x 1x 2＝m 2－11＋k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2m 2－11＋k 2－2k 2m 21＋k2＋m 2＝m 2－k 21＋k 2，又OP ⊥OQ ，所以OP ―→·OQ ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－11＋k 2＋m 2－k 21＋k 2＝0，故2m 2＝1＋k 2，满足Δ＞0，符合题意．因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝12相切，所以圆心C (0,4)到直线l 的距离d ＝|m －4|1＋k 2＝22，即m 2－8m ＋16＝1＋k22，故m 2－8m ＋16＝m 2，得m ＝2，故1＋k 2＝8，得k ＝±7.故直线l 的方程为y ＝±7x ＋2.综上，直线l 的方程为x ＝±22或y ＝±7x ＋2. C 级——拔高创新练16．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a ＞－52.则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，亦即2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。

高三数学高考知识点函数的定义域复习题

高三数学高考知识点函数的定义域复习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则为（） A. B. C. D.2．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（） A. B. C. 或 D. 或 3．函数的定义域是（）A. B. C. D.4．已知集合{}|A x y ==， {}| B x x a =≥，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( )A. (],3-∞-B. (),3-∞-C. (],0-∞D. [)3,+∞ 5．函数的定义域为（）A. B. C. D. 6．函数的定义域为（）A.B.C.D.7．函数()()lg 1f x x =+的定义域为（）A. ()(]1,00,1-⋃B. (]1,1-C. (]4,1--D. ()(]4,00,1-⋃ 8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝的定义域是 ( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,1)∪(1,4]D. (0,1)9．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（） A. B. C. D.10．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A. (－1,1)B.C. (－1,0)D.二、填空题11．函数的定义域为________． 12．函数的定义域为_____________． 13．函数的定义域为__________．14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．三、解答题15合B .（1）若4B ∈，求实数a 的取值范围；（2）求满足B A ⊆的实数a 的取值范围. 16．已知函数是奇函数．(1)求a 的值和函数f(x)的定义域； (2)解不等式f(－m 2＋2m －1)＋f(m 2＋3)＜0.17．已知二次函数 ,且满足 . (1)求函数的解析式;(2)若函数的定义域为 ,求的值域. 18．已知函数()()()22log 1log 1f x x x =--+. （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）方程()1f x x =+是否有实根？如果有实根0x ，的区间(),a b ，使()0,x a b ∈；如果没有，请说明理由（注：区间(),a b 的长度b a -）19．已知是定义在上的增函数，且满足， . （1）求的值，（2）求不等式的解集.20．(1)已知函数f(x)的定义域是[1，5]，求函数f(x 2＋1)的定义域. (2)已知函数f(2x 2－1)的定义域是[1，5]，求f(x)的定义域.参考答案1．C【解析】分析：通过解二次不等式求得集合A ，利用根式函数的定义域求得集合B ，然后再根据交集运算求．详解：由题意得， ∴ ．故选C ．点睛：本题考查交集运算、二次不等式的解法和根式函数的定义域，主要考查学生的转化能力和计算求解能力． 2．B【解析】分析：先根据真数大于零得 >0恒成立，再根据二次型系数是否为零讨论，最后结合二次函数图像得实数的取值范围.详解：因为函数的定义域为，所以 >0恒成立，因为成立，所以若，则由得，因此，选B.点睛：研究形如恒成立问题，注意先讨论的情况，再研究时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果. 3．D【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列方程组，解方程组得定义域. 详解：因为，所以所以定义域为，选D.点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等. 4．A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ⋂=，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A. 5．A【解析】分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域. 详解：由函数，可得函数满足，解得 ,即函数的定义域为，故选A.点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 6．D【解析】要使函数有意义，需满足，解得，即函数的定义域为，故选D. 7．A【解析】由题意，函数()f x =满足2340{10 11x x x x --+≥+>+≠ ，解得11x -<≤且0x ≠，所以函数()f x 的定义域为()(]1,00,1-⋃，故选A. 8．D【解析】∵f (x )的定义域为[0,2]，∴要使f (2x )有意义，必有0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，∴要使g (x )有意义，应有∴0<x <1，故选D ．9．B【解析】分析：由题意知＞在上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分和两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后求并集即可．详解：∵函数的定义域为， ∴ ＞在上恒成立，①当时，有＞在上恒成立，故符合条件； ②当时，由＞＝＜，解得＜＜，综上，实数的取值范围是．故选B.点睛：本题的考点是对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分类讨论，易漏二次项系数为零这种情况，当二次项系数不为零时利用二次函数的性质列出等价条件求解． 10．B【解析】解析：对于()211210f x x <<＋，－＋，即函数()21f x ＋11．[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为 . 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 12．【解析】由题意，根据对数函数的概念及其定义域可得，，即，由指数函数与的图象可知，如图所示，当时，恒成立，所以正确答案为， .13．【解析】分析：由题得，解不等式组即得函数的定义域.详解：由题得，解之得故答案为： . 点睛：（1）本题主要考查函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)求函数的定义域时，考虑问题要全面，不要遗漏,本题不要遗漏了 14．[－1,2]【解析】分析：要求函数的定义域，需求函数中的范围。

2020年高考数学一轮复习考点48圆的方程必刷题理(含解析)

考点48 圆的方程1．（广东省2019届高考适应性考试理）若向量a ，b ，c 满足a b ≠，0c ≠，且()()0c a c b -⋅-=，则a b a bc++-的最小值是（）AB ．C ．2D ．32【答案】C 【解析】设向量a OA =，b OB =，c OC =,则由()()0c a c b -⋅-=得0AC BC ⋅=,即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 中点M ，半径为1||2AB ，因此11||||||(||)||22c OC OM r OA OB AB =≤+=++ 1111(||)(||)(||)(||)2222OA OB OA OB a b a b =++-=++- 从而2a b a bc++-≥，选C.2．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）设是圆上的点，直线与双曲线：的一条斜率为负的渐近线平行，若点到直线距离的最大值为8，则（）A ．9B ．C ．9或D ．9或【答案】C 【解析】因为双曲线的一条斜率为负的渐近线的斜率为，所以，解得. 圆的圆心坐标是，半径为，因为圆心到直线距离为，所以点到直线距离的最大值为，解得或.当时，；当时，.综上，或.故选.3．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，可得．当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选：．4．（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）已知点A 在圆22(2)1x y -+=上，点B 在抛物线28y x =上，则||AB 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】由题得圆()2221x y -+=的圆心为（2,0），半径为1. 设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆()2221x y -+=的圆心，由题得|AB|≥|BF|-|AF|=|BF|-1, 设点B 的坐标为(x,y),所以|AB|≥x -(-2)-1=x+1,因为x≥0，所以|AB|≥1，所以|AB|的最小值为1. 故选：A5．（新疆2019届高三第三次诊断性测试数学理）若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆221x y +=的位置关系是（）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能【答案】B 【解析】解：因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，。

考点48 基本不等式——2021年高考数学专题复习真题附解析

考点48 基本不等式(练习)【题组一直接型】1．若a ，b 都是正数，且2a b +=，则()()11a b ++的最大值为。

【答案】4【解析】由题意，可知：2211(1)(1)421122a b a b +++⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++，当且仅当11a b +=+即1a b ==时取等号；2．已知数列{}n a 是等差数列，且0n a >，若12100500a a a ++⋯+=，则5051a a ⋅的最大值_____. 【答案】25 【解析】()505112100505110050010,2a a a a a a a +++⋯+==⇒+=0n a >，∴2505110252a a ⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当50515a a ==时取等号.故答案为：25.3．若102a <<，则()12a a -的最大值是。

【答案】1 8【解析】102a <<，故120a ->，则()()()()221211112212?2228a a a a a a ⎛⎫+--=-≤= ⎪⎝⎭，当14a =时取“=”【题组二换1型】1．正实数,x y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为_____. 【答案】9【解析】()21212225559y x x y xy x y x y +=++=++⎛⎫≥+≥+ ⎝⎭=⎪，当且仅当13x y == 时取等号．故答案为：9． 2．已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为_______________；【解析】采用常数1的替换，()1121213332222b a a b a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当2b a a b =即a b == 3.若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是________．【答案】 3【解析】 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋c ＋1＝3，且a ＋1>0，b ＋c >0.∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立． 4．已知1,0,2a b a b >>+=，则1112a b+-的最小值为。

高考数学复习考点知识专题讲解课件48---抛物线

＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
答案：B
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3．若抛物线 y2＝4x 的准线为 l，P 是抛物线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离与
P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值是( )
A．2
B．153
C．154
D．3
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题型二抛物线的几何性质例 3 (1)(2020·兰州双基过关考试)抛物线 y2＝2px(p＞0)上横坐标为 6 的点到此抛
物线焦点的距离为 10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．4
B．8
C．16
D．32
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解析：设抛物线的准线方程为 x＝－p2(p＞0)，则根据抛物线的性质有|PF|＝p2＋6 ＝10，解得 p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为 8. 答案：B
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6．已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C
的方程是( )
A．y2＝±2 2x
B．y2＝±2x
C．y2＝±4x
D．y2＝±4 2x
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解析：由已知可知双曲线的焦点为(－ 2，0)，( 2，0)．设抛物线方程为 y2＝±2px(p>0)，则p2＝ 2，所以 p＝2 2，所以抛物线方程为 y2＝±4 2x.故选 D.
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【思维升华】 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径． (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

高考数学一轮复习考点知识专题讲解48---基本不等式的综合应用

高考数学一轮复习考点知识专题讲解基本不等式的综合应用题型一基本不等式与其他知识交汇的最值问题例1(1)(2022·成都模拟)已知直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切，则log 2a ＋log 2b 的最大值为() A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案D解析因为直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切，所以1a 2＋b2＝2，即a 2＋b 2＝14，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤18(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，所以log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 218＝－3，所以log 2a ＋log 2b 的最大值为－3.(2)(2022·合肥质检)若△ABC 的内角满足sin B ＋sin C ＝2sin A ，则() A ．A 的最大值为π3B ．A 的最大值为2π3C ．A 的最小值为π3D ．A 的最小值为π6答案A解析∵sin B ＋sin C ＝2sin A . ∴b ＋c ＝2a . 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝b 2＋c 2－(b ＋c )242bc＝3(b 2＋c 2)－2bc 8bc ≥6bc －2bc 8bc ＝12，当且仅当b ＝c 时取等号．又A ∈(0，π)，∴0<A ≤π3，即A 的最大值为π3.教师备选已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2.若椭圆上有一点P ，使PF 1⊥PF 2，则ba 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案B解析设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，∴2mn ＝4a 2－4c 2＝4b 2，又2mn ≤2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即4b 2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22，∴2b 2≤a 2，∴00，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则1a ＋4b的最小值等于()A ．2 B.32 C.12 D ．1答案B解析∵函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值， ∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，又a >0，b >0.∴1a ＋4b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b ) ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥56＋16×2b a ·4a b ＝32，当且仅当2a ＝b ＝4时，等号成立．此时满足在x ＝1处有极值． ∴1a ＋4b 的最小值等于32. (2)已知数列{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8＝－8，则a 9＋9a 1的最大值为________．答案－12解析∵a 2a 5a 8＝－8， ∴a 35＝－8， ∴a 5＝－2， ∴a 1<0，a 9<0， a 9＋9a 1＝－(－a 9－9a 1) ≤－2(－a 9)(－9a 1) ＝－29a 1a 9 ＝－29·a 25 ＝－12，当且仅当－a 9＝－9a 1时取等号．题型二求参数值或取值范围例2(1)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a 等于() A ．6 B ．8 C ．16 D ．36 答案D解析因为f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)，故4x ＋a x≥24x ·a x＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a 2时取等号，故a 2＝3，a ＝36.(2)已知x ，y 属于正实数，若不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，9]B ．(－∞，16]C ．(－∞，25]D ．(－∞，36] 答案C解析因为x ，y 属于正实数，所以不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，即m ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )min ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y≥13＋24yx·9xy＝25，当且仅当4y x ＝9xy，即3x ＝2y 时，等号成立，所以m ≤25.教师备选(2022·沙坪坝模拟)已知函数f (x )＝2x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围为() A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43C ．(－∞，－2)D ．(－2，－2) 答案C解析∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－2x 3－3x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，且f (x )在R 上单调递增，则不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0等价于f (2m ＋mt 2)<－f (4t )＝f (－4t )， ∴2m ＋mt 2<－4t ，即m <－4tt 2＋2对t ≥1恒成立， ∵－4t t 2＋2＝－4t ＋2t≥－42t ·2t＝－2，当且仅当t ＝2t，即t ＝2时等号成立，∴m <－ 2.思维升华求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点．利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．跟踪训练2(1)(2022·杭州模拟)已知k ∈R ，则“对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ”是“k≤2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为对任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，而对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab，所以－2≤k≤2，因为[－2,2]是(－∞，2]的真子集，所以“对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab”是“k≤2”的充分不必要条件．(2)(2022·济宁质检)命题p：∃x∈(0，＋∞)，x2－λx＋1＝0，当p是真命题时，则λ的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析依题意，方程x2－λx＋1＝0有正解，即λ＝x＋1x有正解，又x>0时，x＋1x≥2，∴λ≥2.题型三基本不等式的实际应用例3小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解(1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)，由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x ≤10. 因为2<10－52<3，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以二手车出售后，小王的年平均利润为y ＋(25－x )x ＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－225＝9，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________cm 2.答案72600解析设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，由题意可得3ab ＝60000，所以ab ＝20000，即b ＝20000a，所以该海报的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋10×2＋5×2)cm，即(3b ＋30)cm ，所以整个矩形海报面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)＝3ab ＋30a ＋60b ＋600 ＝30(a ＋2b )＋60600＝30⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋40000a ＋60600 ≥30×2a ·40000a＋60600＝30×400＋60600＝72600，当且仅当a ＝40000a，即a ＝200时等号成立，所以当广告栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72600cm 2.思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．答案37.5解析由题意知t＝23－x－1(1<x<3)，设该公司的月利润为y万元，则y＝⎝⎛⎭⎪⎫32×150%＋t2xx－32x－3－t＝16x－t2－3＝16x－13－x＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(3－x)＋13－x≤45.5－216＝37.5，当且仅当x＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．课时精练1．(2022·苏州模拟)设直线l与曲线y＝x3－2x＋1相切，则l斜率的最小值为()A. 6 B．4 C．2 6 D．3 2 答案C解析因为x ≠0，所以x 2>0，因为y ′＝3x 2＋2x 2≥26⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3x 2＝2x 2，等号成立，所以l 斜率的最小值为2 6.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6 答案C解析由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立． 3．(2022·北京人大附中模拟)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q >1，且a 5＝b 5，则() A ．a 3＋a 7>b 4＋b 6B ．a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 71，所以a 3＋a 7<b 4＋b 6.4．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为()A ．2B ．4C ．6D ．8 答案B解析已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.5．(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是() A ．第一种方案更划算 B ．第二种方案更划算 C ．两种方案一样 D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则方案一：两次加油平均价格为 40x ＋40y 80＝x ＋y2>xy ，方案二：两次加油平均价格为 400200x ＋200y＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．6．已知p ：存在实数x ，使4x ＋2x ·m ＋1＝0成立，若綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞) 答案A解析∵綈p 为假命题，∴p 为真命题，即关于x 的方程4x ＋2x ·m ＋1＝0有解．由4x ＋2x ·m ＋1＝0，得m ＝－2x－12x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x≤－22x·12x ＝－2，当且仅当2x ＝12x ，即x ＝0时，取等号．∴m 的取值范围为(－∞，－2]．7．(2022·焦作质检)若数列{a n }满足a 2＝9，a n －1＋n ＝a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a nn的最小A.72B.185C.113D.92答案A解析因为数列{a n}满足a2＝9，a n－1＋n＝a n＋1(n≥2且n∈N*)，所以a1＋2＝a2＋1，解得a1＝8，所以a n＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋a n－a n－1＋a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＋8＝n2－n＋162，则ann＝n2－n＋162n＝12⎝⎛⎭⎪⎫n＋16n－1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n·16n－1＝72，当且仅当n＝16n，即n＝4时，等号成立，所以ann的最小值为72.8.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为(单位：cm2)()A．8 B．10 C．16 D．20解析连接OC ，如图，设BC ＝x ，则OB ＝16－x 2，所以AB ＝216－x 2，所以矩形ABCD 的面积S ＝2x 16－x 2，x ∈(0,4)， S ＝2x 16－x 2＝2x 2(16－x 2) ≤x 2＋16－x 2＝16，当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝22时取等号，此时S max ＝16.9．已知向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y －12(x >0，y >0)，若m ⊥n ，则xy 的最大值为________．答案124解析因为向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，y －12，且m ⊥n ，所以3x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12＝0，即3x ＋2y ＝1.因为x >0，y >0，所以1＝3x ＋2y ≥23x ×2y ，即xy ≤124，当且仅当3x ＝2y ＝12，即x ＝16，y ＝14时取等号．10．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为________．答案52＋5解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝25.因为(a ＋b )2＝25＋2ab ≤25＋2×(a ＋b )24，所以(a ＋b )2≤50，所以5<a ＋b ≤52，当且仅当a ＝b ＝522时，等号成立．故这个直角三角形周长的最大值为52＋5.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．答案9解析因为圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，所以两圆相内切，其中C 1(－2a ,0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝4a 2＋b 2，由题设可知4a 2＋b 2＝2－1⇒4a 2＋b 2＝1，所以(4a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝4a 2b2＋b2a 2＋5≥24a 2b 2·b 2a 2＋5＝9，当且仅当b 2＝2a 2时等号成立．12．(2022·北京朝阳区模拟)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m (单位：万件)与广告费用x (单位：万元)符合函数模型m ＝3－2x ＋1.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入________万元．答案3解析设李明获得的利润为f (x )万元，则x ≥0，则f (x )＝8m －x ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x ＋1－x ＝24－16x ＋1－x ＝25－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16x ＋1＋(x ＋1) ≤25－216x ＋1(x ＋1)＝25－8＝17，当且仅当x ＋1＝16x ＋1，因为x ≥0，即当x ＝3时，等号成立．13．(2022·柳州模拟)已知△ABC 中，a 2＋b 2－c 2＝ab ≥c 2，则△ABC 一定是() A ．等边三角形B ．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形答案A解析由a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又因为0°<C<180°，所以C＝60°，因为a2＋b2－c2≥2ab－c2，当且仅当a＝b时取等号，即ab≥2ab－c2，解得ab≤c2，又因为ab≥c2，所以ab＝c2，且a＝b时取等号，因为C＝60°，所以△ABC一定是等边三角形．14．(2022·武汉模拟)已知平面向量OA→，OB→，OC→为三个单位向量，且〈OA→，OB→〉＝120°，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的取值范围为________．答案[－2,2]解析由OC→＝xOA→＋yOB→，两边同时平方得OC→2＝(xOA→＋yOB→)2，即OC→2＝x2OA→2＋y2OB→2＋2xyOA→·OB→，∵平面向量OA→，OB→，OC→为三个单位向量，且〈OA→，OB→〉＝120°，∴x2＋y2－xy＝1，∴(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，即－2≤x ＋y ≤2.15．(2022·大庆模拟)设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a N >Q B ．M >Q >N C ．N >Q >M D ．N >M >Q 答案B解析∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2 ＝1a ＋1a＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2，又a 2＋b 28>ab 4＝14， ∴a 2＋b 28>14， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2，又∵Q ＝ln 1e2＝－2，∴M >Q >N .16．设0<t <12，若1t ＋21－2t ≥k 2＋2k 恒成立，则k 的取值范围为()A ．[－4,2]B ．[－2,4]C ．[－4,0)∪(0,2]D ．[－2,0)∪(0,4] 答案A解析依题意k 2＋2k ≤1t＋21－2t 对∀t ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，所以k 2＋2k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋21－2t min ，因为t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以1－2t >0，所以1t ＋21－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋21－2t (2t ＋1－2t ) ＝2＋2＋1－2tt＋4t 1－2t ≥4＋21－2tt·4t1－2t＝8，当且仅当1－2t t ＝4t1－2t 时取“＝”，即t ＝14时取得最小值，所以k 2＋2k ≤8，所以(k －2)(k ＋4)≤0，解得－4≤k ≤2，即k ∈[－4,2]．。

高考数学复习知识点讲解教案第48讲两直线的位置关系

所以是的既不充分也不必要条件.故选D.
（2）
[2023·北京东城区二模] 已知三条直线1 : − 2 + 2 = 0，2 : − 2 = 0，
3 : + = 0将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有(
A.1个
B.2个
C.3个
C
)
D.无数个
− 2 + 2 = 0,
解：当 = −6时，直线1 的方程为−3 + 5 = 23，2 的方程为 = 4，
显然两直线相交；当 ≠
+3
−6时，由
2
≠
5
，解得
+6
综上，当 ≠ −1且 ≠ −8时，直线1 与2 相交.
≠ −1， ≠ −8.
（2）
平行；
解：由（1）知当 = −6时，直线1 与2 相交.
直线1 ： = 1 + 1 ,2 ： = 2 + 2 ,3 ：1 + 1 + 1 = 0,
4 ：2 + 2 + 2 = 0的位置关系如下表：
位置关系
1 ,2 满足的条件
3 ,4 满足的条件
1 2 − 2 1 = 0且1 2 − 2 1 ，
高考数学复习知识点讲解教案
第48讲两直线的位置关系
课前基础巩固
课堂考点探究教师备用习题
作业手册
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线
间的距离.
◆ 知识聚焦 ◆
1.两条直线的位置关系
能表示2 )表示过1 和2 的交点的直线系方程.

高考数学极限与导数知识点复习卷

高考数学极限与导数知识点复习卷一、极限（一）数列的极限1、定义：对于数列｛an}，如果当 n 无限增大时，数列的项 an 无限趋近于一个常数 A，那么就称 A 为数列｛an} 的极限，记作limn→∞ an ＝ A 。

2、运算法则：如果limn→∞ an ＝ A ，limn→∞ bn ＝ B ，那么（1）limn→∞ （an ± bn) ＝limn→∞ an ± limn→∞ bn ＝ A ± B ；（2）limn→∞ （an · bn) ＝limn→∞ an · limn→∞ bn ＝ A · B ；（3）limn→∞ （an ／ bn) ＝limn→∞ an ／limn→∞ bn ＝ A ／ B （B ≠ 0 ）。

（二）函数的极限1、当x → x0 时函数 f(x) 的极限（1）定义：当自变量 x 无限趋近于 x0 （但x ≠ x0 ）时，如果函数f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限是 A，记作limx→x0 f(x) ＝ A 。

（2）左极限：当 x 从 x0 的左侧（即 x ＜ x0 ）无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说 A 是函数 f(x) 在点 x0 处的左极限，记作limx→x0- f(x) ＝ A 。

（3）右极限：当 x 从 x0 的右侧（即 x ＞ x0 ）无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说 A 是函数 f(x) 在点 x0 处的右极限，记作limx→x0+ f(x) ＝ A 。

函数 f(x) 在点 x0 处的极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即limx→x0 f(x) 存在⇔ limx→x0- f(x) ＝limx→x0+ f(x) 。

2、当x → ∞ 时函数 f(x) 的极限（1）定义：当自变量 x 无限增大时，如果函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋向于无穷大时，函数 f(x) 的极限是 A，记作limx→∞ f(x) ＝ A 。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解48---隐圆(阿波罗尼斯圆)问题

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第48讲隐圆(阿波罗尼斯圆)问题隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”．考点一利用圆的定义、方程确定隐形圆例1 (1)(2022·滁州模拟)已知A ，B 为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若∠ACB ＝90°，则点P 的轨迹方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝14B ．(x －1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝14D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1 答案 B解析圆C 即(x －1)2＋(y －2)2＝2，半径r ＝2，因为CA ⊥CB ，所以|AB |＝2r ＝2，又P 是AB 的中点，所以|CP |＝12|AB |＝1，所以点P 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1.(2)(2022·茂名模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，若向量c 满足|a ＋b －2c |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[1，5－1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，3＋12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－12，5＋12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12，52答案 C解析 |a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，以a 为y 轴，b 为x 轴，建立平面直角坐标系，设OA →＝a ＝(0,1)，OB →＝b ＝(2,0)， OC →＝c ＝(x ，y )，所以a ＋b －2c ＝(2－2x ，1－2y )，由|a ＋b －2c |＝1，可得(2－2x )2＋(1－2y )2＝1，化简可得(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝⎝⎛⎭⎫122，所以点C 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫1，12为圆心，以r ＝12为半径的圆，原点(0,0)到⎝⎛⎭⎫1，12的距离为d ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，所以|c |＝x 2＋y 2的取值范围是[d －r ，d ＋r ]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－12，5＋12.规律方法对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹．跟踪演练1 (2022·平顶山模拟)已知M ，N 为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0上两点，且|MN |＝4，点P 在直线l ：x －y ＋3＝0上，则|PM →＋PN →|的最小值为( )A ．22－2B ．2 2C ．22＋2D ．22－ 5 答案 A解析设线段MN 的中点为D ，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心为C (1,2)，半径为 5.则圆心C 到直线MN 的距离为(5)2－⎝⎛⎭⎫422＝1，所以|CD |＝1，故点D 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的圆，设点D 的轨迹为圆D ，圆D 上的点到直线l 的最短距离为t ＝|1－2＋3|2－1＝2－1.所以|PM →＋PN →|＝|2PD →|＝2|PD →|≥2t ＝22－2.考点二由圆周角的性质确定隐形圆例2 (1)已知点P (2，t )，Q (2，－t )(t >0)，若圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1上存在点M ，使得∠PMQ ＝90°，则实数t 的取值范围是( ) A ．[4,6] B ．(4,6)C ．(0,4]∪[6，＋∞)D ．(0,4)∪(6，＋∞) 答案 A解析由题意知，点P (2，t )，Q (2，－t )(t >0)，可得以PQ 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝t 2，则圆心C 1(2,0)，半径R ＝t ，又由圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，可得圆心C (－2,3)，半径r ＝1，两圆的圆心距为|CC 1|＝(2＋2)2＋(0－3)2＝5，要使得圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1上存在点M ，使得∠PMQ ＝90°，即两圆存在公共点，则满足⎩⎪⎨⎪⎧R ＋r ≥5，R －r ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≥5，t －1≤5，解得4≤t ≤6，所以实数t 的取值范围是[4,6]．(2)(2022·长沙雅礼中学质检)已知直线l ：x －y ＋4＝0上动点P ，过P 点作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为C ，D ，记M 是CD 的中点，则直线CD 过定点________，点M 的轨迹方程为______________________________．答案 (－1,1) ⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12 解析如图，连接PO ，CO ，DO ，因为PD ⊥DO ，PC ⊥CO ，所以P ，D ，O ，C 在以PO 为直径的圆上，设P (x 0，x 0＋4)，则以OP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －x 0＋422＝x 20＋(x 0＋4)24，化简得x 2－x 0x －(x 0＋4)y ＋y 2＝0，与x 2＋y 2＝4联立，可得CD 所在直线的方程为x 0x ＋(x 0＋4)y ＝4⇒x 0(x ＋y )＝4(1－y )⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 1－y ＝0，x ＋y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＝－1，直线CD 过定点Q (－1,1)，又OM ⊥CD ，所以OM ⊥MQ ，所以点M 在以OQ 为直径的圆上，所以点M 的轨迹为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 规律方法利用圆的性质，圆周角为直角，即可得到：若P A ⊥PB 或∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆．注意轨迹中要删除不满足条件的点．跟踪演练2 (2022·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，|AB |＝22，若CA ⊥CB ，则当k ，m 变化时，点C 到点(1,1)的距离的最大值为( ) A ．4 2 B ．3 2 C ．2 2 D. 2 答案 B解析由y ＝kx ＋m (k ≠0)得A ⎝⎛⎭⎫－mk ，0，B (0，m )，因为CA ⊥CB ，所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，其方程为⎝⎛⎭⎫x ＋m 2k 2＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝m 24k 2＋m24，设该动圆的圆心为(x ′，y ′)，则x ′＝－m 2k ，y ′＝m2，整理得k ＝－y ′x ′，m ＝2y ′，代入到⎝⎛⎭⎫－mk 2＋m 2＝8中，得x ′2＋y ′2＝2，即点C 轨迹的圆心在圆x ′2＋y ′2＝2上，故点(1,1)与该圆上的点(－1，－1)的连线的距离加上圆的半径即为点C 到点(1,1)的距离的最大值，最大值为[1－(－1)]2＋[1－(－1)]2＋2＝3 2.考点三阿波罗尼斯圆例3(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A ，B 为平面上相异的两点，则所有满足：|P A ||PB |＝λ(λ>0，且λ≠1)的点P 的轨迹是圆，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，A (－2,0)，B (4,0)，若λ＝12，则下列关于动点P 的结论正确的是( )A ．点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＋8x ＝0B ．△APB 面积的最大值为6C ．在x 轴上必存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |＝12D ．若点Q (－3,1)，则2|P A |＋|PQ |的最小值为5 2 答案 ACD解析对于选项A ，设P (x ，y )，因为P 满足|P A ||PB |＝12，所以(x ＋2)2＋y 2(x －4)2＋y 2＝12，化简得x 2＋y 2＋8x ＝0，故A 正确；对于选项B ，由选项A 可知，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，即(x ＋4)2＋y 2＝16，所以点P 的轨迹是以(－4,0)为圆心，4为半径的圆，又|AB |＝6，且点A ，B 在直径所在直线上，故当点P 到圆的直径所在直线的距离最大时，△P AB 的面积取得最大值，因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即△P AB 的高的最大值为4，所以△P AB 面积的最大值为12×6×4＝12，故B 错误；对于选项C ，假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |＝12，设M (m ，0)，N (n ，0)，故(x －m )2＋y 2(x －n )2＋y 2＝12，即(x －n )2＋y 2＝2(x －m )2＋y 2，化简可得x 2＋y 2－8m －2n 3x ＋4m 2－n 23＝0,又点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，可得⎩⎨⎧－8m －2n3＝8，4m 2－n23＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－6，n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝4(舍去)，故存在异于A ，B 的两定点M (－6,0)，N (－12,0)，使得|PM ||PN |＝12，故C 正确；对于选项D ，因为|P A ||PB |＝12，所以2|P A |＝|PB |，所以2|P A |＋|PQ |＝|PB |＋|PQ |，又点P 在圆x 2＋8x ＋y 2＝0上，如图所示，所以当P ，Q ，B 三点共线时2|P A |＋|PQ |取得最小值，此时(2|P A |＋|PQ |)min ＝|BQ | ＝[4－(－3)]2＋(0－1)2＝52，故D 正确．规律方法 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A (－a ，0)，B (a ，0)(a >0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋1λ2－1a ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪2aλλ2－1为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．跟踪演练3 若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则|P A |2＋|PB |2的最大值为( )A ．16＋83B ．8＋4 3C ．7＋43D ．3＋ 3 答案 A解析由题意，设A (－1,0)，B (1,0)，P (x ，y )，因为|P A ||PB |＝3，所以(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2＝3，即(x －2)2＋y 2＝3，所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为3的圆，因为|P A |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝2(x 2＋y 2＋1)，其中x 2＋y 2可看作圆(x －2)2＋y 2＝3上的点(x ，y )到原点(0,0)的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，所以[2(x 2＋y 2＋1)]max ＝16＋83，即|P A |2＋|PB |2的最大值为16＋8 3.专题强化练1．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得P A ⊥PB ，则实数a 的取值范围为( ) A ．[0，2] B ．[－52，1] C ．[－2，2] D ．[－2,2] 答案 D解析由题意可知四边形P AOB 为正方形， |OP |＝2，∴点P 在以O 为圆心，以2为半径的圆上，其方程为x 2＋y 2＝2，若圆M 上存在这样的点P ，则圆M 与x 2＋y 2＝2有公共点，则有2－2≤a 2＋4≤2＋2，解得－2≤a ≤2.2．已知点A (－5，－5)在动直线mx ＋ny －m －3n ＝0上的射影为点B ，若点C (5，－1)，那么|BC |的最大值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案 C解析由动直线方程化为m (x －1)＋n (y －3)＝0，可知其恒过定点Q (1,3)．又∵点A (－5，－5)在动直线mx ＋ny －m －3n ＝0上的射影为点B ， ∴∠ABQ ＝90°，则点B 的轨迹是以AQ 为直径的圆， ∴圆心为AQ 的中点M (－2，－1)，圆的半径r ＝12|AQ |＝5.又|MC |＝(5＋2)2＋(－1＋1)2＝7>r ＝5，∴点C (5，－1)在圆M 外，故|BC |的最大值为r ＋|MC |＝7＋5＝12.3．(2022·武汉模拟)已知O 为坐标原点，点A (cos α，sin α)，B ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3，以OA ，OB 为邻边作平行四边形AOBP ，Q (－2,0)，则∠PQO 的最大值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 C解析已知圆O ：x 2＋y 2＝1，A ，B 是圆O 上两动点，且∠AOB ＝π3，所以△AOB 为等边三角形，又|AB |＝|OA |＝1，取AB 的中点M ，则|OM |＝32，所以|OP |＝3，所以点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3，当PQ 与x 2＋y 2＝3相切时，∠PQO 最大，此时sin ∠PQO ＝32，则∠PQO ＝π3.4．已知△ABC 是等边三角形，E ，F 分别是AB 和AC 的中点，P 是△ABC 边上一动点，则满足PE →·PF →＝BE →·CF →的点P 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析以BC 的中点O 为坐标原点，BC ，OA 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设△ABC 的边长为4，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，E (－1，3)， F (1，3)，BE →＝(1，3)，CF →＝(－1，3)，设P (x ，y )，则PE →＝(－1－x ，3－y )， PF →＝(1－x ，3－y )，由PE →·PF →＝BE →·CF →得，(－1－x ，3－y )·(1－x ，3－y ) ＝(1，3)·(－1，3)，所以x 2＋(y －3)2＝3，即点P 的轨迹是以(0，3)为圆心，3为半径的圆，也就是以AO 为直径的圆，易知该圆与△ABC 的三边有4个公共点．5．(多选)已知AB 为圆O ：x 2＋y 2＝49的弦，且点M (4,3)为AB 的中点，点C 为平面内一动点，若AC 2＋BC 2＝66，则( ) A ．点C 构成的图象是一条直线 B ．点C 构成的图象是一个圆 C ．OC 的最小值为2 D ．OC 的最小值为3 答案 BC解析 ∵点M (4,3)为AB 的中点，∴OM ⊥AB ，|OM |＝42＋32＝5，∴|AM |＝|BM |＝49－52＝26，∵AC 2＋BC 2＝66，∴AC →2＋BC →2＝66，则(AM →＋MC →)2＋(BM →＋MC →)2＝66，即AM →2＋2AM →·MC →＋MC →2＋BM →2＋2BM →·MC →＋MC →2＝66，∵AM →＝－BM →，则可得2AM →2＋2MC →2＝66，可解得|MC |＝3，∴点C 构成的图象是以M 为圆心，3为半径的圆，故A 错误，B 正确；∴可得OC 的最小值为|OM |－3＝5－3＝2，故C 正确，D 错误．6．(多选)(2022·福州模拟)已知A (－3,0)，B (3,0)，动点C 满足|CA |＝2|CB |，记C 的轨迹为Γ.过A 的直线与Γ交于P ，Q 两点，直线BP 与Γ的另一个交点为M ，则( )A ．Q ，M 关于x 轴对称B ．△P AB 的面积的最大值为6 3C ．当∠PMQ ＝45°时，|PQ |＝4 2D ．直线AC 的斜率的范围为[－3，3]答案 AC解析设C (x ，y )，由|CA |＝2|CB |得，(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，整理得Γ的方程为(x －5)2＋y 2＝16，其轨迹是以D (5,0)为圆心，半径r ＝4的圆．由图可知，由于AB ＝6，所以当DP 垂直于x 轴时，△P AB 的面积有最大值，所以(S △P AB )max ＝12|AB |·r ＝12×6×4＝12，选项B 错误；因为|P A |＝2|PB |，|MA |＝2|MB |，所以|P A ||MA |＝|PB ||MB |，所以∠P AB ＝∠MAB ，又C 的轨迹Γ关于x 轴对称，所以Q ，M 关于x 轴对称，选项A 正确；当∠PMQ ＝45°时，∠PDQ ＝45°×2＝90°，则△DPQ 为等腰直角三角形，|PQ |＝2r ＝42，选项C 正确；当直线AC 与圆D 相切时，CD ⊥AC ，此时|AD |＝8＝2r＝2|CD |，所以sin ∠DAC ＝12，所以切线AC 的倾斜角为30°和150°，由图可知，直线AC 的斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤－33，33，选项D 错误．7．已知等边△ABC 的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足P A →·PB →－2λ＋1＝0的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是______________．答案⎝⎛⎦⎤38，12解析如图，以AB 的中点O 为坐标原点，AB ，OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设P (x ，y )．则P A →·PB →－2λ＋1＝0，即为(－1－x )(1－x )＋y 2－2λ＋1＝0，化简得x 2＋y 2＝2λ(λ>0)，故所有满足P A →·PB →－2λ＋1＝0的点P 在以O 为圆心，2λ为半径的圆上．过点O 作OM ⊥AC ，垂足为点M ，由题意知，线段AC 与圆x 2＋y 2＝2λ有两个交点，所以|OM |<2λ≤|OA |，即32<2λ≤1，解得38<λ≤12. 8．已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |取得最小值时，直线AB 的方程为________________．答案 2x ＋y ＋1＝0解析 ⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，①则圆心M (1,1)，⊙M 的半径为2.如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形P AMB ＝12|PM |·|AB | ＝|P A |·|AM |＝2|P A |，∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l .故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， ∴P (－1,0)．依题意知P ，A ，M ，B 四点共圆，且PM 为圆的直径，∴该圆方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54，② 由①－②整理得2x ＋y ＋1＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。

高考数学重点复习题

高考数学重点复习题一、函数与导数1. 函数的基本性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性。

2. 复合函数、反函数、分段函数的理解和应用。

3. 导数的定义、几何意义、物理意义以及基本导数公式。

4. 导数的运算法则：和差、积、商、链式法则。

5. 利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题。

6. 导数在实际问题中的应用，如最优化问题。

二、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义、图像和性质。

2. 三角恒等变换，包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。

3. 解三角形的基本方法：正弦定理、余弦定理。

4. 三角函数在实际问题中的应用，如测量、物理等领域。

三、立体几何1. 空间几何体的表面积和体积的计算。

2. 空间直线与平面的位置关系。

3. 空间向量在立体几何中的应用。

4. 空间几何体的组合与分解。

四、解析几何1. 直线与圆的方程及其性质。

2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质。

3. 直线与圆锥曲线的位置关系。

4. 圆锥曲线的参数方程和极坐标方程。

五、数列1. 等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式。

2. 数列的单调性、有界性。

3. 数列的极限概念及其性质。

4. 数列在实际问题中的应用。

六、概率与统计1. 随机事件的概率计算，包括古典概型和几何概型。

2. 条件概率和事件的独立性。

3. 随机变量及其分布，包括离散型和连续型随机变量。

4. 统计量的计算，如均值、方差、标准差等。

5. 抽样分布和假设检验。

七、综合应用题1. 函数、导数、三角函数、解析几何等知识点的综合运用。

2. 解决实际问题，如经济、物理、工程等领域的问题。

3. 培养数学建模和数学思维能力。

结束语：数学是一门需要不断练习和思考的学科，希望以上的复习题能够帮助同学们巩固知识点，提高解题能力。

在高考中取得优异的成绩。

高中数学高考三角函数复习专题

高中数学高考三角函数复习专题三角函数复专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质：y=sinx y=cosx y=tanx图象定义域 R R R\{kπ+π/2|k∈Z}值域 [-1,1] [-1,1] R最值y_max=1 (when x=2kπ) y_max=1 (when x=2kπ+π/2) 无最大值y_min=-1 (when x=2kπ-π) y_min=-1 (when x=2kπ) 无最小值周期性2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)上是增函数；在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)上是减函数。

在[kπ,kπ+π](k∈Z)上是减函数。

在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)上是增函数；在[kπ+π/2,kπ+3π/2](k∈Z)上是减函数。

对称中心(kπ,0)(k∈Z) 对称中心(kπ+π/2,0)(k∈Z) 无对称中心对称性奇对称偶对称无对称轴对称轴x=kπ+π/2 (k∈Z) 对称轴x=kπ (k∈Z) 无对称轴2.正、余弦定理：在△ABC中有：①正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为△ABC外接圆半径）注意变形应用：sinA=2R/asinB=2R/bsinC=2R/c②面积公式：S△ABC=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA ③余弦定理：b²=c²+a²-2accosBc²=a²+b²-2abcosCa²=b²+c²-2bccosA三、例题集锦：考点一：三角函数的概念1.如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP=π/6，∠AOQ=α，α∈[0,π)。

若Q(√3/2,y)，求cos(α-π/6)。

2025届高考数学二轮复习微专题作业48数列中常见的求和问题含解析

微专题48 数列中常见的求和问题1.已知幂函数f(x)＝x α的图象过点(4，2)，a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 019＝________．2．已知等差数列{a n }满意(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋…＋(a n ＋a n ＋1)＝2n(n ＋1)，n ∈N *.设b n ＝1a n ·a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为S n＝________.3．(2024·石景山一模)在数列{a n }中，前n 项和S n 满意S n ＝n 2＋n.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ＋b n 是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{b n }的前n 项和T n 为________．4．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对随意n∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n＋1－b n )恒成立．若对随意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1<13成立，则正实数b 1的取值范围是________．5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋c(c为常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 5成公比不等于1的等比数列，设b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n ＝________．6．已知函数f(x)＝x3x ＋1，数列{a n }满意a 1＝1，a n ＋1＝f(a n )(n∈N *)．记S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…a n a n ＋1，证明：S n <13.7.已知数列{a n }，{b n }分别是等差，等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 4＝b 3≠b 4. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和R n ； (3)设C n ＝a nb n S n ＋1(n∈N *)，T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ，求T n .8．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋r (r∈R ，n ∈N *)．(1)求r 的值及数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n a n(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为Tn .①当n ∈N *时，λ<T 2n －T n 恒成立，求实数λ的取值范围；②求证：存在关于n 的整式g (n )，使得∑i ＝1n －1(T λ＋1)＝T n ·g (n )－1对一切n ≥2，n ∈N *都成立．微专题481．答案： 2 020－1.解析：由题意得f (x )＝x ，所以a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，所以S 2 019＝ 2 019＋1－1＝ 2 020－1.2．答案：n2n ＋1.解析：由题意得a n ＝2n －1，所以b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n －1)，所以S n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝n 2n ＋1. 3．答案：2n－2n ＋1n ＋1.解析：由题意得a n ＝2n ，所以1S n＋b n ＝1×2n －1＝2n －1.所以b n ＝2n －1－1n （n ＋1）＝2n －1－(1n －1n ＋1)．所以T n ＝(20＋21＋…＋2n －1)－[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝1－2n1－2－(1－1n ＋1)＝2n－2n ＋1n ＋1. 4．答案：[3，＋∞)．解析：由题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2b n ＋1－2b n ，所以b n ＋1b n＝2，即数列{b n }是首项为b 1，公比为2的等比数列，所以a n ＝B n ＝b 1（1－2n ）1－2＝b 1(2n－1)，所以b n ＋1a n ·a n ＋1＝2nb 1（2n－1）（2n ＋1－1）＝ b 1·2n b 1（2n －1）·b 1（2n ＋1－1）＝1b 1(12n －1－12n ＋1－1)，所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1(121－1－12n ＋1－1)，所以1b 1(121－1－12n ＋1－1)<13恒成立，即b 1>3(1－12n ＋1－1)，所以b 1≥3. 5．答案：n2n ＋1.解析：因为a n ＋1＝a n ＋c ，a 1＝1，c 为常数，所以a n ＝1＋(n －1)c .所以a 2＝1＋c ，a 5＝1＋4c .又a 1，a 2，a 5成等比数列，所以(1＋c )2＝1＋4c ，解得c ＝0或c ＝2. 当c ＝0，a n ＋1＝a n 不合题意，舍去．所以c ＝2.故a n ＝2n －1.所以b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)．所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 6．证明：因为1a n ＋1－1a n ＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，从而得a n ＝13n －2.所以a n ·a n ＋1＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13(13n －2－13n ＋1)，所以S n ＝11×4＋14×7＋…＋1（3n －2）（3n ＋1）＝13(1－13n ＋1)<13. 7．答案：(1)a n ＝n ，b n ＝2n －1；(2)R n ＝2nn ＋1； (3)T n ＝2n ＋1n ＋2－1.解析：(1)设公差为d ，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，1＋3d ＝q 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1； (2)因为S n ＝n （n ＋1）2，所以1S n＝2n （n ＋1）＝2(1n －1n ＋1)，所以R n ＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1；(3)因为C n ＝n ·2n －1（n ＋1）（n ＋2）2＝n ·2n （n ＋1）（n ＋2）＝2n ＋1n ＋2－2n n ＋1，所以T n ＝2n ＋1n ＋2－1.8．答案：(1)r ＝23，a n ＝n (n ＋1)(n ≥1)；(2)①λ<13，②略．解析：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1(13＋r )，所以r ＝23.所以S n ＝a n (n 3＋23)．当n ≥2时，S n －1＝a n －1(n －13＋23)．两式相减，得a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.所以a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)．所以a 2a 1·a 3a 2·…a n a n －1＝31×42×53×…n n －2×n ＋1n －1即a n a 1＝n （n ＋1）1×2.所以a n ＝n (n ＋1)(n ≥2)又a 1＝2符合上式，所以a n ＝n (n ＋1)(n ≥1)．(2)①因为a n ＝n (n ＋1)，所以b n ＝1n ＋1，所以T n ＝12＋13＋…＋1n ＋1.所以T 2n ＝12＋13＋…＋12n ＋1，所以T 2n －T n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1.令B n ＝T 2n －T n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1，则B n ＋1＝1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋3.所以B n＋1－B n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝3n ＋4（2n ＋2）（2n ＋3）（n ＋2）>0.所以B n ＋1>B n ，所以B n 单调递增．所以{B n }的最小值为B 1＝13，1 3.所以λ<。

高中数学高考总复习充分必要条件习题及详解

高中数学高考总复习充分必要条件习题及详解一、选择题1．(文)已知a、b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] D[解析]a2>b2不能推出a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b不能推出a2>b2，例：1>－2，但12<(－2)2，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件．(理)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]由|x－1|<2得－2<x－1<2，∴－1<x<3；由x(x－3)<0得0<x<3.因此“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分条件．2．(2010·福建文)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]当x＝4时，|a|＝42＋32＝5当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．3．(文)已知数列{a n}，“对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝3x＋2上”是“{a n}为等差数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2010·南充市)等比数列{a n }中，“a 1<a 3”是“a 5<a 7”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件[答案] C[解析] 在等比数列中，q ≠0，∴q 4>0，∴a 1<a 3⇔a 1q 4<a 3q 4⇔a 5<a 7.4．(09·陕西)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 由m >n >0可以得方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．故选C.5．(文)设集合A ＝{x |x x －1<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵A ＝{x |0<x <1}，∴A B ，故“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件，选A. (理)(2010·杭州学军中学)已知m ，n ∈R ，则“m ≠0或n ≠0”是“mn ≠0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵mn ≠0⇔m ≠0且n ≠0，故选A.6．(文)(2010·北京东城区)“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( ) A ．充分不必要条件高考总复习含详解答案B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] x ＝π4时，y ＝sin2x 取最大值，但y ＝sin2x 取最大值时，2x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，不一定有x ＝π4. (理)“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解法1：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件；又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法2：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，∴sin θ＝0或cos θ＝－12， ∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ，显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A. 7．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0即m ＝12或m ＝－2，∴m ＝12是两直线相互垂直的充分而不必要条件． 8．(2010·浙江宁波统考)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A ．l 1⊥m ，l 1⊥nB ．m ⊥l 1，m ⊥l 2C ．m ⊥l 1，n ⊥l 2D ．m ∥n ，l 1⊥n[答案] B[解析] 当m ⊥l 1，m ⊥l 2时，∵l 1与l 2是β内两条相交直线，∴m ⊥β，∵m ⊂α，∴α⊥β，但α⊥β时，未必有m ⊥l 1，m ⊥l 2.9．(2010·黑龙江哈三中)命题甲：⎝⎛⎭⎫12x,21－x,2x 2成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由条件知甲：(21－x )2＝⎝⎛⎭⎫12x ·2x 2， ∴2(1－x )＝－x ＋x 2，解得x ＝1或－2；命题乙：2lg(x ＋1)＝lg x ＋lg(x ＋3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＝x (x ＋3)x ＋1>0x >0x ＋3>0，∴x ＝1，∴甲是乙的必要不充分条件．10．(2010·辽宁文，4)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)高考总复习含详解答案C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)[答案] C[解析] ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，又2ax 0＋b ＝0，∴有f ′(x 0)＝0故f (x )在点x 0处切线斜率为0∵a ＞0 f (x )＝ax 2＋bx ＋c∴f (x 0)为f (x )的图象顶点的函数值∴f (x )≥f (x 0)恒成立故C 选项为假命题，选C.[点评] 可以用作差法比较．二、填空题11．给出以下四个命题：①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题．②命题“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”的逆命题．③设a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件．④命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题，其中真命题的序号是________．[答案] ②③④[解析] ①∵p ∨q 为真，∴p 真或q 真，故p ∧q 不一定为真命题，故①假．②逆命题：若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ，∵A ∪B ＝B ，A ⊆B ，∴A ∩B ＝A ，故②真．③由条件得，b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°，或B ＝120°.故③真； ④否命题：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数，这是一个真命题，假若f (－x )为奇函数，则f [－(－x )]＝－f (－x )，即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，与条件矛盾．12．(文)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域．有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集；其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ①④[解析] 结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．(理)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] ①整数a ＝2，b ＝4，a b不是整数； ②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．13．(2010·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p ：不等式⎝⎛⎭⎫13x ＋4>m >2x －x 2对一切实数x 恒成立；q ：f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数，如果p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] ∵⎝⎛⎭⎫13x ＝4>4,2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴要使⎝⎛⎭⎫13x ＋4>m >2x －x 2对一切x ∈R 都成立，应有1<m ≤4；由f (x )＝－(7－2m )x 在R上是单调减函数得，7－2m >1，∴m <3，∵p 且q 为真命题，∴p 真且q 真，∴1<m <3.高考总复习含详解答案14．(2010·福建理)已知定义域为(0，＋∞)的函数f (x )满足：(1)对任意x ∈(0，＋∞)，恒有f (2x )＝2f (x )成立；(2)当x ∈(1,2]时，f (x )＝2－x .给出如下结论：①对任意m ∈Z ，有f (2m )＝0；②函数f (x )的值域为[0，＋∞)；③存在n ∈Z ，使得f (2n ＋1)＝9；④“函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得(a ，b )⊆(2k,2k ＋1)．其中所有正确结论的序号是________．[答案] ①②④[解析] 对于①，f (2)＝0，又f (2)＝2f (1)＝0，∴f (1)＝0，同理f (4)＝2f (2)＝0，f (8)＝0……f (1)＝2f (12)＝0， ∴f (12)＝0，f (14)＝0…… 归纳可得，正确．对于②④当1<x ≤2时，f (2x )＝4－2x ，而2<2x ≤4，∴当2<x ≤4时，f (x )＝4－x同理，当4<x ≤8时，f (x )＝8－x ……∴当2m －1<x ≤2m 时，f (x )＝2m －x ，故②正确，④也正确．而③中，若f (2n ＋1)＝9，∵2n <2n ＋1≤2n ＋1∴f (x )＝2n ＋1－x ，∴f (2n ＋1)＝2n ＋1－2n －1＝9，∴2n ＝10，∴n ∉Z ，故错误．三、解答题15．已知c >0.设命题P ：函数y ＝log c x 为减函数．命题Q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，求c 的取值范围．[解析] 由y ＝log c x 为减函数得0<c <1当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，因为f ′(x )＝1－1x 2，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，在(1,2]上为增函数．∴f (x )＝x ＋1x在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值为f (1)＝2 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，由函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．得2>1c ，解得c >12如果P 真，且Q 假，则0<c ≤12如果P 假，且Q 真，则c ≥1所以c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)． 16．给出下列命题：(1)p ：x －2＝0，q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(3)已知四边形M ，p ：M 是矩形；q ：M 的对角线相等．试分别指出p 是q 的什么条件．[解析] (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0⇒/ x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形．∴q ⇒/ p .∴p 是q 的充分不必要条件．17．(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且q ≠1)，求数列{a n }成等比数列的充要条件．[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1，由于p ≠0，q ≠1，高考总复习含详解答案∴当n ≥2时，{a n }为公比为p 的等比数列．要使{a n }是等比数列(当n ∈N *时)，则a 2a 1＝p . 又a 2＝(p －1)p ，∴(p －1)p p ＋q＝p ，∴p 2－p ＝p 2＋pq ，∴q ＝－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0，且p ≠1，且q ＝－1.再证充分性：当p ≠0，且p ≠1，且q ＝－1时，S n ＝p n －1.当n ＝1时，S 1＝a 1＝p －1≠0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1.显然当n ＝1时也满足上式，∴a n ＝(p －1)p n －1，n ∈N *，∴a n a n －1＝p (n ≥2)，∴{a n }是等比数列．综上可知，数列{a n }成等比数列的充要条件是p ≠0，p ≠1，且q ＝－1.(理)(2010·哈三中模拟)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋ln x －ax ＋a . (1)若x ＝2为函数极值点，求a 的值；(2)若x ∈(1,3)时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)＋1x －a ，由f ′(2)＝0得，a ＝32； (2)当a ≤1时，∵x ∈(1,3)，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x －(1＋a )≥2－2＝0成立，所以函数y ＝f (x )在(1,3)上为增函数，对任意的x ∈(1,3)，f (x )>f (1)＝0，所以a ≤1时命题成立；当a >1时，令f ′(x )＝(x －1)＋1x －a ＝0得，x ＝(a ＋1)±(a ＋1)2－42，则函数在 (0，(a ＋1)－(a ＋1)2－42)上为增函数，在((a ＋1)－(a ＋1)2－42，(a ＋1)＋(a ＋1)2－42)上为减函数，在((a ＋1)＋(a ＋1)2－42，＋∞)上为增函数，当a ≤73时，1≤(a ＋1)＋(a ＋1)2－42≤3，则f (1)>f ((a ＋1)＋(a ＋1)2－42)，不合题意，舍去．当a >73时，函数在(1,3)上是减函数，f (x )<f (3)<0，不合题意，舍去．综上，a ≤1.。

高中数学高考总复习函数概念习题及详解

高中数学高考总复习函数概念习题及详解一、选择题1．(文)(2010·浙江文)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意知，f (a )＝log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2， ∴a ＝1.(理)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ∈(－∞，2]log 2x x ∈(2，＋∞)，则满足f (x )＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16[答案] C[解析] 当f (x )＝2x 时.2x ＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.2．(文)(2010·湖北文，3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x >02x x ≤0，则f (f (19))＝( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14[答案] B[解析] ∵f (19)＝log 319＝－2<0∴f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－1 (x <1)lg x (x ≥1)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<121－x 0－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1lg x 0>1⇒x 0<0或x 0>10.3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个[答案] C[解析] 由x 2＝1得x ＝±1，由x 2＝4得x ＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C.4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f (x )＝1－2x1＋x ，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则g (1)等于( )A ．－32B ．－1C ．－12D ．0[答案] D[解析] 设g (1)＝a ，由已知条件知，f (x )与g (x )互为反函数，∴f (a )＝1，即1－2a1＋a ＝1，∴a ＝0.5．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( )[答案] A[解析] 解法1：y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位得y ＝f (1－x )的图象，故选A.解法2：由f (0)＝0知，y ＝f (1－x )的图象应过(1,0)点，排除B 、C ；由x ＝1不在y ＝f (x )的定义域内知，y ＝f (1－x )的定义域应不包括x ＝0，排除D ，故选A.高考总复习含详解答案6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表，填写下列g (f (x ))的表格，其三个数依次为( )A.3,1,2 C ．1,2,3D ．3,2,1[答案] D[解析] 由表格可知，f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝1，g (1)＝1，g (2)＝3，g (3)＝2， ∴g (f (1))＝g (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2，g (f (3))＝g (1)＝1， ∴三个数依次为3,2,1，故选D.(理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g [f (x )]＝x 的解集为( ) A ．{1} B ．{2} C ．{3}D ．∅[答案] C[解析] g [f (1)]＝g (2)＝2，g [f (2)]＝g (3)＝1； g [f (3)]＝g (1)＝3，故选C.7．若函数f (x )＝log a (x ＋1) (a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) A.13B. 2C.22D ．2[答案] D[解析] ∵0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2，又∵0≤log a (x ＋1)≤1，故a >1，且log a 2＝1，∴a ＝2.8．(文)(2010·天津文)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) [答案] D[解析] 由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2 x <－1或x >2x 2－x －2 －1≤x ≤21°当x <－1或x >2时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74 由函数的图可得f (x )∈(2，＋∞)．2°当－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94，故当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－94，当x ＝－1时，f (x )max ＝f (－1)＝0， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－94，0. 综上所述，该分段函数的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)． (理)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x ) (x ≤0)f (x －1)－f (x －2) (x >0)，则f (2010)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[答案] B[解析] f (2010)＝f (2009)－f (2008)＝(f (2008)－f (2007))－f (2008)＝－f (2007)，同理f (2007)＝－f (2004)，∴f (2010)＝f (2004)，∴当x >0时，f (x )以6为周期进行循环， ∴f (2010)＝f (0)＝log 21＝0.9．(文)对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ；b ，若a >b函数f (x )＝log 12(3x高考总复习含详解答案－2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[答案] C[解析] ∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ，b ，若a >b .而函数f (x )＝log 12(3x －2)与log 2x 的大致图象如右图所示，∴f (x )的值域为(－∞，0]．(理)定义max{a 、b 、c }表示a 、b 、c 三个数中的最大值，f (x )＝max{⎝⎛⎭⎫12x，x －2，log 2x (x >0)}，则f (x )的最小值所在范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,3)[答案] C[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝x －2与y ＝log 2x 的图象，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 2x 图象的交点为A (x 1，y 1)，y ＝x －2与y ＝log 2x 图象的交点为B (x 2，y 2)，则由f (x )的定义知，当x ≤x 1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，当x 1<x <x 2时，f (x )＝log 2x ，当x ≥x 2时，f (x )＝x －2，∴f (x )的最小值在A 点取得，∵0<y 1<1，故选C.10．(文)(2010·江西吉安一中)如图，已知四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1,2y )作用下的象集为四边形A 1B 1C 1D 1，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12，则四边形ABCD 的面积是()A ．9B ．6C ．6 3D ．12[答案] B[解析] 本题考察阅读理解能力，由映射f 的定义知，在f 作用下点(x ，y )变为(x ＋1,2y )，∴在f 作用下|A 1C 1|＝|AC |，|B 1D 1|＝2|BD |，且A 1、C 1仍在x 轴上，B 1、D 1仍在y 轴上，故S ABCD ＝12|AC |·|BD |＝12|A 1C 1|·12|B 1D 1|＝12SA 1B 1C 1D 1＝6，故选B.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02 x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 解法1：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c (－2)2＋b ·(－2)＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 x ≤02 x >0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x 得，x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．解法2：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2可得，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图如图所示．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．二、填空题11．(文)(2010·北京东城区)函数y ＝x ＋1＋lg(2－x )的定义域是________． [答案] [－1,2)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x >0得，－1≤x <2.(理)函数f (x )＝x ＋4－x 的最大值与最小值的比值为________． [答案]2[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ≥04－x ≥0，∴0≤x ≤4，f 2(x )＝4＋2x (4－x )≤4＋[x ＋(4－x )]＝8，且f高考总复习含详解答案2(x )≥4，∵f (x )≥0，∴2≤f (x )≤22，故所求比值为 2.[点评] (1)可用导数求解；(2)∵0≤x ≤4，∴0≤x 4≤1，故可令x 4＝sin 2θ(0≤θ≤π2)转化为三角函数求解．12．函数y ＝cos x －1sin x －2 x ∈[0，π]的值域为________．[答案] ⎣⎡⎦⎤0，43 [解析] 函数表示点(sin α，cos α)与点(2,1)连线斜率．而点(sin α，cos α)α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知y ∈[0，43]．13．(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数，有下列函数①f (x )＝sin2x ②g (x )＝x 3 ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是________．(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④[解析] 其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1)，(1,1)，(2,8)等，③过(0,1)，(－1,3)等．14．(文)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝________.[答案] 2011[解析] 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝1，∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝2011. (理)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有的正确命题的序号为________． [答案] ①②[解析] ①f (x )＝x |x |＋c＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋c ，x ≥0－x 2＋c ，x <0，如右图与x 轴只有一个交点．所以方程f (x )＝0只有一个实数根正确． ②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx 显然是奇函数．③当c ＝0，b <0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ，x ≥0－x 2＋bx ，x <0如右图方程f (x )＝0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②. 三、解答题15．(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张．(理)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围内？ (2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体形建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)高考总复习含详解答案[解析] (1)依题意得三角形NDC 与三角形NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD20，AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为S ＝20x －23x 2 (0<x <30)，要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，即20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18. 所以AB 长度应在[12,18]内．(2)仓库体积为V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，V ′＝40x －2x 2＝0得x ＝0或x ＝20，当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时V ′<0，所以x ＝20时，V 取最大值80003m 3，即AB 长度为20米时仓库的库容最大．16．(2010·皖南八校联考)对定义域分别是Df ，Dg 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，规定：函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )，当x ∈Df 且x ∈Dg ，f (x )，当x ∈Df 且x ∉Dg ，g (x )，当x ∈Dg 且x ∉Df .(1)若函数f (x )＝1x －1，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式；(2)求问题(1)中函数h (x )的值域；(3)若g (x )＝f (x ＋α)，其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y ＝f (x )，及一个α的值，使得h (x )＝cos4x ，并予以证明．[解析] (1)由定义知，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，1，x ＝1.(2)由(1)知，当x ≠1时，h (x )＝x －1＋1x －1＋2，则当x >1时，有h (x )≥4(当且仅当x ＝2时，取“＝”)；当x <1时，有h (x )≤0(当且仅当x ＝0时，取“＝”)．则函数h (x )的值域是(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．(3)可取f (x )＝sin2x ＋cos2x ，α＝π4，则g (x )＝f (x ＋α)＝cos2x －sin2x ，于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x .(或取f (x )＝1＋2sin2x ，α＝π2，则g (x )＝f (x ＋α)＝1－2sin2x .于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x )．[点评] 本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂h (x )的定义，第(3)问是一个开放性问题，乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x ＝cos 22x －sin 22x ＝(cos2x ＋sin2x )(cos2x －sin2x )积式的一个因式取作f (x )，只要能够找到α，使f (x ＋α)等于另一个因式也就找到了f (x )和g (x )．17．(文)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如表所示：(1)(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *) (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *) (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *)高考总复习含详解答案＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *) 若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125.由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大． (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192·(60－x )万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元) 前5年的利润和为7958×5＝39758(万元) 设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x )×5＝－5(x －30)2＋4950. 当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)． ∵39758＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值．。