复习课二函数及其基本性质

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高中数学讲义第二章函数A (超级详细)

分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．
（1）解： y x2 4x 2 (x 2)2 2 ， x [0,3) ，函数的值域为[2, 2] ；
（2）
解法一：由
y
x2 x2 1
1
x
1 2
1
，
0
1 x2 1
1 ，则 1
1 x2 1
0
， 0
y
1，故函
数值域为[0,1) ．
解法二：由
求函数的值域应注意新元的取值范围．
第 3页【辅导专用】共 16页
【反馈演练】
1．函数 f(x)＝ 1 2 x 的定义域是__(____,_0_]___．
2．函数
f
(x)
1 log 2 (x 2
4x
3)
的定义域为___(_1_, _2_)___(_2_, _3_)___．
3.
函数
y
1 1 x2
它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．
例 2.求下列函数的定义域：① y 1 x 2 1 ； 2 x
② f (x)
x
；
log 1 (2 x)
2
解：（1）①
2 由题意得：
x
0, 解得 x 1且 x
2 或 x
1且 x
2，
x2 1 0,
1．设有函数组：① y x ，y
x2 ；② y x ，y 3 x3 ；③ y
x ，y
x x
；④
y
1 1
(x 0),
，
(x 0),
y x ；⑤ y lg x 1 ， y lg x ．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．

人教版高中数学《函数的基本性质》优质教案

2.1函数的基本性质一、教学目标1．结合具体函数，了解函数单调性的含义；2．会运用函数奇偶性的定义和函数的图象理解研究函数的奇偶性；3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.二、教学重点1．回顾和理解函数的三大性质单调性、奇偶性以及周期性基础知识，掌握其概念的应用，一般是判断单调性、求参数或求值；2．掌握运用基础知识处理函数性质的综合应用题的解题思路. 其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．三、教学难点掌握周期性与抽象函数结合类的题型.高考对函数周期性的考查，常与抽象函数结合，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题.四、教学过程（一）考情解读设计意图：对2016年广东开始高考卷之后的全国卷类型题进行整合，以表格形式呈现，一目了然，分析可得函数的基本性质是高考的常考内容，题型一般为选择填空，占分一般为5-10分.紧接着分析考点内容，明确复习方向.（二）知识梳理设计意图：对函数的单调性、奇偶性、周期性的定义、图像特点等进行梳理，把重点内容标红，并进行相应讲解，为后面的题型讲解奠定知识基础.1.单调函数的定义及几何意义2.函数的最值3.函数的奇偶性4.周期性（三）典例分析题型一：函数的单调性设计意图：精选了两道单调性的题目作为例题，例1为简单地应用单调性定义及函数图像特征判断单调性的题目，通过此题老师可带领学生总结判断函数单调性的方法：定义法、图像法等；例2为已知分段函数单调性求参数范围的题目，通过此题巩固应用单调性求参数、不等式等题型.【例1】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x 【例2】已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 题型二：函数的奇偶性设计意图：精选了两道奇偶性的题目作为例题，例1为简单地应用奇偶性定义求参数的题目，通过此题老师可带领学生巩固奇偶性的定义及图像特征；例2为奇偶性与分段函数结合的题目，但只要把握奇偶性的定义，可很快解决，通过此题再次强化奇偶性相关知识.【例1】（2021·全国Ⅰ卷）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【例2】（2019·全国Ⅰ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+题型三：函数的周期性设计意图：由于周期性一般与抽象函数及奇偶性相结合，题目比较综合.这里选取了一道直接利用周期性定义进行求值的题目，教师通过此题引导学生回顾求值由内到外的原则及分段函数求值的相关知识，巩固周期性的定义，为下一题型综合题奠定基础.【例1】（2018·江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________．题型四：函数性质的综合应用设计意图：精选了两道函数性质的综合应用的题型.例1为单调性与奇偶性相结合解不等式的相关问题，教师可引导学生将此类已知单调性和奇偶性的抽象函数问题具体化画图来思考，紧紧扣住定义解题.例2为奇偶性与周期性相结合求值的题，通过此题再次巩固奇偶性和周期性的定义，将题目已知条件转化为熟悉的定义再去解题.()2017(,)(1)11(2)1A.[2,2] B.[1,1] C.[0,4] D.[1,3]f x f f x x ⋅-∞+∞ =- -- --【例1】（全国Ⅰ卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）≤≤ ()(,)(1)(1).(1)2(1)(2)(3)(502018A.50 B.0 C.2 D.0)5f x f x f f f f f f x -∞+∞ -=+=++++= ⋅-若，则…（【例2】（全国Ⅱ卷）已知是定义域为的奇函数，满足）（四）巩固练习设计意图：精选了三道题作为练习题.第一题考查单调性的判断和奇偶性定义，再次巩固函数基本性质的概念，为基础题.第二题为单调性与奇偶性相结合解不等式的相关问题，巩固数形结合思想.第三题为奇偶性和周期性相结合求值的题，为自编题，难度系数不高，巩固学生对周期性和奇偶性的概念理解，提高信心.1.（2020·全国Ⅰ卷）设函数()331f x x x =-，则()f x （）A ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增B ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减C ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增D ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减2．(2014·全国Ⅰ卷)已知偶函数f x ()在[0,)+∞单调递减，f (2)0=．若f x >(-1)0，则x 的取值范围是__________．()()()()()3R ,R,4,22,2022=A.2022 B.2 C.2022 D.2f x x f x f x f f ∈ +=-= --.已知函数是上的奇函数对任意都有若则（）（五）总结提升设计意图：制作了本节课的思维导图，引导同学们再次巩固函数基本性质高考重点考查的题型及其对应方法.五、作业设计设计意图：作业选取了两道单选题，一道多选题，四道填空题.题一考查单调性判断和奇偶性定义；题二考查奇偶性的定义，深化概念；题三考查单调性解不等式，为单调性的应用类题；题四考查奇偶性应用求解析式；题五考查偶函数的定义，跟2021出现的题目非常相像，说明研究高考题的重要性，值得深思；题六考查周期性的定义，为周期性和奇偶性的简单综合题；题七需要将题目所给等式经过化简才能变为周期性的定义的模式，进一步深化周期性与奇偶性的概念及其应用.。

2023年高考理数第二章《函数》复习知识PPT讲义

15
二、教材改编 1．若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝ {y|0≤y≤2}，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
A
B
C
D
B [由函数定义可知，选项 B 正确．]
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2．函数 y＝ 2x－3＋x－1 3的定义域为(
)
A.32，＋∞
B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
[－1,2] [因为 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，所以 x∈[－ 3， 3]，x2－1∈[－1,2]，所以 y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]
30
函数 f(g(x))的定义域指的是自变量 x 的取值范围，而不是 g(x)的取值范围．(如本例[逆向问题])
31
1.函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是(
A，B
映射设 A，B 是非空的集合
8
如果按照某种确定的对应关如果按某一个确定的对应关对应关
系 f，使对于集合 A 中的任意系 f，使对于集合 A 中的任意系 f：
一个数 x，在集合 B 中都有一个元素 x，在集合 B 中都有 A→B
唯一确定的数 f(x)和它对应唯一确定的元素 y 与之对应
a＝1，
解得b＝－5， c＝9，
所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
39
法二：(换元法) 令 2x＋1＝t(t∈R)，则 x＝t－2 1，所以 f(t)＝4t－2 12－6·t－2 1＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
40
法三：(配凑法) 因为 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． (2)(解方程组法) 由 f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得 f(x)＋2f(－x)＝2－x，②

二次函数图像和性质教学设计(3篇)

二次函数图像和性质教学设计（3篇）二次函数的图像和性质3教学设计篇一22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。

学情分析学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。

之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。

重点难点教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。

教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。

4教学过程一、复习导入新课师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。

观察y＝－x2、y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。

（指名学生回答）。

师：同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生：向左平移一个单位，再向下平移一个单位。

师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。

（板书课题）二、探究探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．x y＝－(x＋1)2－1 函数… …－4－3－2－10 1 2 ……开口方向顶点对称轴最值增减性y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________．通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。

二次函数知识点总结八

二次函数知识点总结八篇13：九年级数学二次函数知识点九年级数学二次函数知识点1什么是二次函数二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

它的定义是一个二次多项式(或单项式)。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

2二次函数的表达式一般式：y=ax²+bx+c (a≠0)顶点式：y=a(x-h)²+k 顶点坐标为(h,k)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) 函数与图像交于(x₁，0)和(x₂，0)3二次函数顶点式及推导过程二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)4二次函数的图像1.二次函数图像是轴对称图形，对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点p。

a,b同号，对称轴在y轴左侧; a,b异号，对称轴在y轴右侧。

2.二次函数图像有一个顶点p，坐标为p(h,k)。

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图象向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

4.二次函数图像与y轴交于(0,c)点注意：顶点坐标为(h,k)，与y轴交于(0,c)。

5二次函数的平移规律口诀加左减右，加上减下。

y=a(x+b)²+c，只要将y=ax²的函数图像按以下规律平移。

二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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二次函数复习课教学设计

•二次函数y=ax2+bx+c的图象（复习课）教学设计一、单元教学重难点分析xy-1 1 O12、二次函数 y=-x 2-8x+12图象的开口向 ,对称轴是，顶点坐标为。

3、二次函数的图象可以由函数的图象（平移）得到，当x= 时函数有最值为。

当x 时，y 随x 的增大而增大。

4、抛物线的函数值恒为正的条件是a 0,Δ 0; 恒为负的条件是a 0,Δ 0。

问题4：灵活运用，小试牛刀5、已知函数y=(k-3)x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A. B. C. 且 D. 且 6、二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（）。

7、如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac>0；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。

你认为其中错误的有：（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个问题5：综合运用，巩固提高8、2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买I 型、II 型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.I 型 II 型投资金额x （万元）x5 x2 4 补贴金额y （万元） y 1=kx(k ≠0)2y 2=ax 2+bx(a ≠0)2.43.2（1）分别求y 1和y 2的函数解析式；（2）有一农户同时对I 型、II 型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额. 问题6：课堂小结，巩固升华 1、本节课你学到什么？ 2、你还有那些困惑？3、在学习的过程中应注意什么？5)1(32+--=x y 23x y -=c bx ax y ++=24<k 4≤k 3≠k 4<k 3≠k 4≤k 2y ax bx c =++a y x =y bx c =+2y ax bx c =++《二次函数》复习指南学号：姓名：【要点检索】1.通过回顾反思，能用自己的方式建构知识网略图；2.通过建立二次函数的相关概念和相关性质会做简单和综合的应用。

《二次函数》的复习教学设计

《二次函数》的复习教学设计数学《二次函数》优秀教案篇一一、教材分析本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的基础上对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质进行研究。

主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，体会知识之间在内的联系。

在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a0和a0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质。

二、学情分析本节课前，学生已经探究过二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质，面对一般式向顶点式的转化，让学上体会化归思想，分析这两个式子的区别。

三、教学目标（一）知识与能力目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程；2、能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、顶点坐标和对称轴。

（二）过程与方法目标通过思考、探究、化归、尝试等过程，让学生从中体会探索新知的方式和方法。

（三）情感态度与价值观目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程，渗透配方和化归的思想方法；2、在运用二次函数的知识解决问题的过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功的体验。

四、教学重难点1、重点通过配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。

2、难点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的性质。

五、教学策略与设计说明本节课主要渗透类比、化归数学思想。

对比一般式和顶点式的区别和联系；体会式子的恒等变形的重要意义。

六、教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）（一)提出问题(约1分钟）教师活动：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？那么对于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标和对称轴又怎样呢？图像又如何？学生活动：学生快速回答出第一个问题，第二个问题引起学生的思考。

2函数与基本初等函数

C2[例3] (1)求函数f(x)＝lg x2－9－x2的定义域．(2)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求下列函数的定义域：①f(x2)；②f(x －1)． (3)已知函数f [lg(x ＋1)]的定义域是[0,9]，求函数f(2x)的定义域．[解析] (1)要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <0，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3.故函数的定义域是(－3,0)∪(2,3)． (2)①∵f (x )的定义域是[0,1]，∴要使f (x 2)有意义，则必有0≤x 2≤1，解得－1≤x ≤1.∴f (x 2)的定义域为[－1,1]． ②由0≤x －1≤1，得1≤x ≤2. ∴1≤x ≤4.(x ≥0时，x 才有意义) ∴函数f (x －1)的定义域为[1,4]． (3)∵f [lg(x ＋1)]的定义域为[0,9]， ∴0≤x ≤9,1≤x ＋1≤10，∴0≤lg(x ＋1)≤1， ∴f (x )的定义域为[0,1]．由0≤2x≤1，得x ≤0.∴f (2x)的定义域为(－∞，0]．跟踪练习3：求下列函数的定义域． (1)y ＝12－|x |＋x 2－1； (2)y ＝x 2x ＋＋(5x －4)0；(3)设函数f (x )＝ln1＋x 1－x ，求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的定义域． [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≤－1或x ≥1.∴函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3>0，4x ＋3≠1，5x －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－34，且x ≠－12，x ≠45.∴函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，45∪⎝ ⎛⎭⎪⎫45，＋∞.由1＋x 1－x>0⎩⎪⎪⎧－1<x2<1－1<1x<1(x＋2x；对x＋＝x＋＝15＝15x由已知得⎨60k＋b＝4，解得⎨＝10，∴y＝10x－2.综上，f(x)＝⎨⎪⎧15x2 x∈(30，40)2．对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分别求出其解析式．3．对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值．跟踪练习5：设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2， x <14－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为 ( )A ．(－∞，－2]∪[0,10]B ．(－∞，－2]∪[0,1]C ．(－∞，－2]∪[1,10]D ．[－2,0]∪[1,10] [答案] A[解析] 当x <1时，f (x )≥1⇔(x ＋1)2≥1⇔x ≤－2或x ≥0，∴x ≤－2或0≤x <1. 当x ≥1时，f (x )≥1⇔4－x －1≥1⇔x －1≤3 ⇔x ≤10，∴1≤x ≤10.综上所述，可得x ≤－2或0≤x ≤10.故选A. （五）思想方法点拨：1．函数与映射的概念从A 到B 的映射与从B 到A 的映射具有不同的要求，就是说映射具有方向性．函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射，其中集合A 是定义域，值域集合C ＝{f (a )|a ∈A }⊆B .函数的定义中最重要的是定义域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的．在求f [f (x )]类型的值时，应遵循先内后外的原则．判断两个函数是否为相同的函数，抓住两点：①定义域是否相同；②对应法则即解析式是否相同．注意：解析式可以化简．判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：①A 中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多，②B 中元素可无原象，即B 中元素可有剩余． 2．函数的定义域及其求法(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．(2)根据函数解析式求函数定义域的依据有：①分式的分母不得为0；②偶次方根的被开方数不得小于0；③对数函数的真数必须大于0；④指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；⑤三角函数中的正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，余切函数y ＝cot x (x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z )等． (3)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]指的是x ∈[a ，b ]．求f (x )的定义域，是指在x ∈[a ，b ]的条件下，求g (x )的值域．(4)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．(5)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 (6)求定义域的一般步骤：①写出函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)；③写出函数的定义域． 3．函数的表示方法的图像关于y 轴对称得到y ＝f (－x )的图像，再把y ＝f (－x )的图像向右平移的图像，故选A.．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2如图所示，设∠AOB ＝θ，则x ＝θ.则弓形面积＝S 扇形－S △AOB θ2cos θ2＝12(x －sin θ)＝12(x －sin x )．，其图像位于y ＝x 下方．，其图像位于y ＝x 上方．。

二次函数的图象与性质北师大版九年级数学下册

射时所经过的路线,我们把
它叫做抛物线.
2.图象和x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
有交点，交点坐标是（0，0）.
3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x
＞0时呢？
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
x＜0
x＞0
4.当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？
m2 2
的开口向上，则m的值为（
D．1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
m2 2
【详解】解：∵抛物线 y (m 1) x
的开口向上，
∴m2-2=2，m+1＞0，
∴m=±2，m＞-1，
∴m=2．
故选：A．
）
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图
的性质．
教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系．
新知讲解
合作学习
【复习引入】
你还记得学习过哪些函数吗？
一次函数、反比例函数
怎么研究这些函数？
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
简述描点法作图的一般步骤？
1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
③当-1＜x＜2时，x=0时取最大值0，x=2时取最小值-4，因此-4＜y≤0，
故该项错误；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则两点关于直线x=0对称，因此
m+n=0，故该项正确．
故答案为：①②④．
6．根据下列条件分别求a的取值范围．

高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________．答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性．答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．方法二对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )，当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a <b a (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1，得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a .(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确．押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________．答案－1解析由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________．答案 ①②④解析令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案－9解析令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________．答案－lg 2解析当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )．又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )．所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案－1解析因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对．答案 3解析因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)．又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

九年级数学：第22章二次函数复习课教案

第22章二次函数复习课教案教材分析：函数是初中数学中最基本的概念之一，从八级首次接触到函数的概念，就学习了正比例函数、一次函数，然后九年级上册学习了反比例函数，九年级下册学习了二次函数，函数贯穿于整个初中数学体系之中，也是生活实际中构建数学模型的重要工具之一。

二次函数在初中数学教学中占有极其重要的地位，它不仅中初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式等内容打下基础。

在历届中考试题中，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容。

二次函的图象和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起到了很好的推动作用。

并且二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地对自己所学的知识融会贯通。

学情分析：九年级的学生在新课的学习中已经掌握了二次函数的定义、会作二次函数的图象并能根据图象对二次函数的性质进行简单地分析。

并且经过一段时间的练习，学生的分析能力和理解能力都较学习新课时有所提高，学生的学习热情较高，有了一定的自主探究和合作学习能力。

不过，学生学习能力差异较大，两级分化过于明显。

复习目标：知识与技能目标：1.回忆所学二次函数的基础知识，进一步理解掌握2.灵活运用基础知识解决相关问题，提高学生解决问题的能力过程与方法目标：1.学生自查遗忘的知识点，回答问题，提出问题。

2.经历例题习题的解答，提高技能。

3.讨论、交流，教师答疑、解惑、指导。

情感、态度与价值观目标：渗透二次函数在实践中的运用，使学生知道学为所用，树立服务社会的思想。

复习重点、难点：二次函数的基础知识回忆及灵活运用。

复习方法：自主探究、分组合作交流复习过程：一、知识梳理（学生以小组为单位，课前已独立完成）学生分组汇报本章相关知识点，各组互相补充：1、二次函数的概念：若两个变量x 、y 之间的对应关系可以表示成c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，0≠a ）的形式，则称y 是x 的二次函数。

一组选派代表出示相关练习，由一组指定某一组完成练习，汇报结果，评价打分。

高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.4.2幂函数课件理

命题法幂函数的图象及性质的应用典例 (1)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的图象可能是( )
(2)若
a＝21
2 3
，b＝51
2 3
，c＝21
1 3
，则
a，b，c
的大小关系是(
)
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
[解析] (1)因为 a>0，所以 f(x)＝xa 在(0，＋∞)上为增函数，故 A 不符合；在 B 中，由 f(x)的图象知
第二章函数的概念及其基本性质
第4讲二次函数与幂函数
考点二幂函数
撬点·基础点重难点
1 幂函数的定义一般地，形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数．
2 五种幂函数图象的比较
3 幂函数的性质比较
注意点 α 的大小对幂函数图象的影响
幂函数在第一象限的图象中，以直线 x＝1 为分界，当 0<x<1 时，α 越大，图象越低(即图象越靠近 x 轴，可记为“指大图低”)；当 x>1 时，α 越大，图象越高(即图象离 x 轴越远，不包含 y＝x0).
a>1，由 g(x)的图象知 0<a<1，矛盾，故 B 不符合；在 C 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 a>1，
矛盾，故 C 不符合；在 D 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 0<a<1，相符．
(2)因为
y＝x2Biblioteka 3在第一象限内是增函数，所以
a＝21

高中总复习二轮理科数学精品课件第二部分 2.1 基本初等函数、函数的图象和性质

相同的单调性.
3.特别注意“若奇函数在x=0处有定义,则一定有f(0)=0”“偶函数一定有
f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.
4.函数的周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合,常涉及求解函
数的周期,常见形式主要有以下几种:
(1)如果f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=|ab|.
间[0,+∞)上单调递增,所以 a>b>c.
4
1
1
1
3 <3 = ,f(x)在区
,0<3
3
3
命题热点三函数的图象及其应用
【思考】如何识别已知函数的图象?如何根据函数的性质判断函数的图
象?
例3(2022全国甲,理5)函数y=(3x-3-x)cos
( A )
π π
x在区间 - , 上的图象大致为
2 2
- ,
2 2
C.是偶函数,且在区间
1
-∞,- 2
上单调递增
D.是奇函数,且在区间
1
-∞,2
上单调递减
∞ 上单调递增
上单调递减
)
(2)(2022新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),
22
f(1)=1,则 ∑ f(k)=(
=1
A.-3
B.-2 C.0
因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,
f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,
所以f(1)+f(2)+…+f(6)=0.

函数的奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习

,
则
的最小值为

x
1 e
m n
− = −
−x ∈ A，且_______________，那么函数f
x 就叫作奇函数
图象
关于
轴
______
对称
关于
坐标原点
_______
对称
【微点拨】奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点
对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
1.函数f x 具有奇偶性的前提是什么？
D.f c > f b > f a
1
log 2 ，
4
活动四奇偶性的应用(求参数)
34页 2.已知函数f x = a −
2
ex +1
1
a ∈ 是奇函数，则a =___.
[例4] （1）若函数f x = x + a ln
A.−1
（2）若f x = ln a +
B.0
√
1
1−x
2x−1
2x+1
为偶函数,则a =(
B.c < b < a
C.b < c < a
2.（2024·常州调研）已知f x = lg e
则f a ,f b ,f c 的大小关系为(
A.f c
√
x
+ 1 ，a =
20.3 ，b
)
D.a < b < c
= log 3 2，c =
)
>f a >f b
B.f b > f a > f c
C.f a > f b > f c
3.已知f x = ax 2 + bx是定义在[a − 1,2a]上的偶函数，那么a + b的值是(

1.1.3.5函数及基本性质小结(2)--高一上学期教案

课题：§1.3.5函数及其性质（2）教学目的：（1）理解函数定义域，值域，单调性，奇偶性等重要性质，；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数图象及变换．教学难点：利用函数图象解题．教学过程：一、引入课题大家回忆一下，对于函数来说，重要的性质有哪些？主要有以下七个性质：定义域，值域，单调性，奇偶性，特殊点，特殊线（周期性在必修四学习）二．复习课教学（重点练习函数的图象）1．已知()f x 是定义(),-∞+∞上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )Ｂ．()()43f f >Ｄ．()()88f f -≥5，那么()f x 在区间[]7,3-- Ｂ．增函数且最大值为5-Ｄ．减函数且最大值为5-( ) C ．245y x x =-+D ．2y x=( ) A ．()()0f x f x --≥ B ．()()0f x f x --≤ C ．()()0f x f x -≤D ．()()0f x f x -≥5．求函数()211y x xx =--≤≤的最大值，最小值．6．将长度为l 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________．7．函数()()0f x kx b k =+≠的单调性是____________．8．函数()f x 是偶函数，而且在()0,+∞上是减函数，判断()f x 在(),0-∞上是增函数还是减函数，并加以证明．9．如果二次函数()()215f x x a x =--+()2的取值范围．10．求函数3y = 11．已知函数()1f x x x=+．判断()f x 在区间()1.1xx x+=-．求参考答案。

《函数的概念与性质》小结与复习教学设计第2课时

《函数的概念与性质》小结与复习教学设计一、内容和内容解析1.内容函数的奇偶性、幂函数和函数的应用的复习课。

2.内容解析这是在学生已经学习完本章内容的基础上进行的复习课，复习课一共两课时，这是第二课时的内容.上一节课中，已经复习了函数的概念、单调性与最值，这节课将继续复习函数的奇偶性、幂函数和函数的应用.对于奇偶性，要进一步巩固奇偶性的概念和几何意义，进一步体会研究函数奇偶性的过程：具体函数→图象特征（对称性）→数量刻画→符号语言→抽象定义→奇偶性判定；对于幂函数，要借助对这一类函数的研究，使学生理解研究一类函数的内容、基本思路（定义、表示——图象与性质——应用）和方法，围绕函数概念这个核心，从相互联系的观点出发，利用函数与数、代数式、方程、不等式等之间的联系，通过类比、归纳和概括，引导学生从不同角度理解函数概念.“图象与性质”注重先构建整体思路，再展开具体研究.本章的“函数的应用”，主要是利用函数解决简单的实际问题，两个例题都是分段函数，实际上是用一次函数建立函数模型.基于以上分析，确定教学重点：巩固函数奇偶性的概念，巩固幂函数的概念，能运用函数的奇偶性和幂函数解决具体的问题.二、目标和目标解析1.目标（1）了解函数奇偶性的概念和几何意义，并能解决具体问题；（2）能结合具体的幂函数及其图象理解它们的变化规律，能利用幂函数解决具体问题；（3）能运用函数的单调性和奇偶性解决简单的函数综合性问题；（4）能根据给定的函数模型，解决一些简单的实际问题.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能用符号语言描述函数奇偶性的定义，并体会从函数图象特征到抽象定义的过程，能根据函数的奇偶性解决具体的数学问题；（2）能结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数，并能解决具体的简单问题；（3）能利用函数的图象理解具有奇偶性的函数在对称区间的单调关系，结合具体函数能给出证明，能利用这个关系解决具体的问题；（4）在具体的实际问题中，能根据给出的具体函数模型得到对应的函数关系，并解决问题.三、教学问题诊断分析本节课是这一章的第二节复习课，在这节复习课上，要巩固前面学习的相关内容，让学生进一步体会用数学的语言和符号化的方式表达函数奇偶性.对于奇偶性和幂函数的复习，在教学的过程中还要充分利用信息技术展示函数的对称关系、幂函数的变化规律和不同的幂函数的共同特征与不同点.另外，在教学的过程中，还要有一定的习题，让学生通过习题，自己体会函数的奇偶性、幂函数的性质等，体会奇偶性和函数单调性的关系，通过习题，体会这些概念和性质的应用，并体会一些内容的综合运用.根据以上分析，确定教学难点是：利用函数的奇偶性和单调性综合地解决问题.四、教学支持条件分析为使学生更好地理解概念以及性质的应用，降低理解的难点，提高课堂教学效率，可利用信息技术，例如PPT展示，Geogebra图形绘制和计算，展示动态的函数图象、展示变化规律等.五、教学过程设计（一）引入问题1：回顾一下单调性的定义。