2013年浙江省高三名校交流模拟卷(理数)

2013年浙江省高三名校交流模拟卷理科数学一﹑选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.设集合},1|{R x x y x P ∈-==,集合},1|{R x x y y P ∈-==,则 ( ) A. Q P =B ．Φ=Q PC ．R Q P = D. Q C P R ⊆2.已知复数i z +=2,z 是z 的共轭复数,则=zz( ) A.543i - B. 543i+ C ．543i +- D ．543i --3.若抛物线)0(22>=p px y 上纵坐标为22的点到焦点的距离为3,则此抛物线的方程为:( )A. x y 22=B. x y 42= C ．x y 82= D ．x y 42=或x y 82= 4.设a 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是 （ ） A. 过a 一定存在平面β,使得αβ// B. 过a 一定不存在平面β,使得αβ⊥C. 在平面α内一定存在直线b ，使得b a ⊥D. 在平面α内一定不存在直线b ，使得b a // 5.某几何体的三视图如图，若各视图均为边长为2的正方形，则这个 几何体的体积是 ( ) A.34 B.38 C. 316 D. 320 6.设实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0204201y y x y x ，若ky x z +=的最小值为2,则k 的值为 （ ） A ．21-B ．0C ．1D ．2 7.已知数列}{n a 共有8项,且满足)51}(1,0{≤≤∈i a i ,)86}(1,1{≤≤-∈j a j ,若}{n a 的前8 项和48=S ,则满足条件的数列}{n a 的个数为 ( ) A. 37B ．38C ．70D ．322(第5题)正视图 侧视图俯视图(第13题)8.已知α为锐角,则“31sin >α且31cos >α”是“9242sin >α”的 ( ) A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上,则双曲线的离心率为 ( ) A.55B ．25C ．2D ．5 10.若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则称m 为离实数x 最近的整数，记作][x ，即m x =][.设集合}],[)(|),{(R x x x x f y x A ∈-==,},)(|),{(2R x bx ax x g y x B ∈+==，若集合B A 的子集恰有两个,则b a ,的取值不可能．．．是 （ ） A. 1,5==b a B. 1,4-==b a C. 1,2-=-=b a D. 4,1a b =-= 二.填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)11.已知函数1)()(+=x f x g 为奇函数,若1)1(=f ,则=-)1(f ．12.若)(*2215115N n C C n n ∈=++,则二项式nxx )1(-的展开式中常数项的 值为 ．13.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果是 ．14.若3)2tan(3)2tan(=-=-y x y x ，则=+)tan(y x ． 15.设袋中有8个形状﹑大小完全相同的小球,其中2个球上标有数字0, 3个球上标有数字1,另3个球上标有数字2.现从中任取3个球,用随机 变量ξ表示这3个球上数字的最大值与最小值之差.则ξ的数学期望=ξE ．16.向量d c b a ,,,满足: 1=||a ,2=||b ,b 在a 上的投影为21,0=-⋅-)()(c b c a , 1=-||c d ，则||||d c +的最大值是 ．17.已知函数0),1(sin 2)1(cos 4)(22>+-+-+=x x x xx x f θθ.若M x f ≥)(恒成立,则M 的取值范围是 ．三.解答题(本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明﹑证明过程或演算过程)18.(本小题满分14分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知3=a ，332cos =+C A . （1）求B cos 的值；（2）分别求b 的取值范围及AC AB ⋅的取值范围.19. (本小题满分14分)设等差数列}{n a 公差为d (*N d ∈),等比数列}{n b 公比为q ,若532,,a a a 分别为}{n b 的前三项,且q d <.（1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；（2）若数列}{n c 满足：=++n n c b c b c b 2211n a ，求数列}{n n a c 的前n 项和n T .20. (本小题满分14分)在如图（1）所示的等腰梯形/ABCD 中，///CD AB ，2==BC AB ，0120=∠ABC ，G F E ,,分别为C D /，AE ，BC 的中点，现将/AED ∆沿AE 翻折至图（2）的位置（点/D 翻至点D ），H 为CD 的中点. （1）求证：//DF 平面EGH ； （2）当异面直线EH 与AD 所成角为3π时， 求二面角B AE D --的余弦值.(第20题)图(1)图(2)21. (本小题满分15分)设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x ，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为π5. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆相交于B A ,两点,设直线OB l OA ,,的斜率分别为)0(,,,21>k k k k 其中.OAB ∆的面积为S ,以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S .若21,,k k k 恰好构成等比数列,求SS S 21+的取值范围.22. (本小题满分15分)设xe a a ax x x xf )1ln ()(2--++=,2-≥a .(1)若0=a ，求)(x f 的单调区间；(2)讨论)(x f 在区间),1(+∞e上的极值点个数；(3)是否存在a ，使得)(x f 在区间),1(+∞e上与x 轴相切?若存在，求出所有a 的值.若不存在，说明理由.参考答案及详细解析 一.选择题:1.C2.A3.D4.C5.B6.C7. B8. A9.D 10.B1.C 化简得：}1|{≤=x x P ，}0|{≥=y y Q ，结合数轴可知：只有C 正确. 故选C2.A i z +=2,i z -=2,则5432)2(222ii i z z -=--=.故选A3.D 设抛物线上纵坐标为22的点的横坐标为0x ，则有：820=px 且320=+px ，消去0x 得：0862=+-p p ，解得2=p 或4=p .故此抛物线的方程为x y 42=或x y 82=.故选D4.C 在A 选项中，若直线a 在平面α内,则不存在平面β使得αβ//,故A 错误在B 选项中，过直线a 一定存在平面β使得αβ⊥,故B 错误在 D 选项中，若直线α平面//a ,则在平面α内存在直线b 使得b a //,故C 错误 只有C 选项是正确的. 故选C5.B 该几何体是以正方体的六条面对角线为边构成的正四面体，也可看作是正方体被截去四个墙角后留下的几何体，由间接法计算其体积得：38221314233=⨯⨯⨯-=V . 故选B6.C 方法一：检验选项.对A 选项：直线过点)2,0(时，21min ≠-=z ， 对B 选项：直线过点)2,0(时， 20min ≠=z ， 对C 选项：直线过点)2,0(时，2min =z ， 对D 选项：直线过点)2,0(时，24min ≠=z .故选C方法二：特殊点带入检验.当z 取到最值时，直线必过可行区域中三角形的某个顶点，故可以把三个顶点)2,0(，)1,2(，)2,3(逐一代入检验，结果只有1=k 正确. 故选C7.B 以j a )86(≤≤j 中出现的1-个数作为对象来讨论.（1）若j a 中没有1-（即全为1），则i a )51(≤≤i 中只有一个1，数列种数为53315=⨯C C .（2）若j a 中有一个1-（即还有两个1），则i a 中有三个1，(第5题)(第6题)数列种数为301335=⨯C C .（3）若j a 中有两个1-（即还有一个1），则i a 中有五个1，数列种数为31355=⨯C C .综上：数列种数共有383305=++.故选B8.A 由于α为锐角，注意到“31sin =α或31cos =α”时均有：“9242sin =α”，反之也成立.不妨设31sin =α的解为1αα=，设31cos =α的解为2αα=.结合图像由单调性可知31sin >α且31cos >α的解为：21ααα<<(21,αα关于4π对称)，故21222ααα<<（παα=+2122），由于9242sin 2sin 21==αα，故9242sin >α成立，即充分性成立.由于α为锐角，故以上过程可逆推，即必要性也成立.综上得：“31sin >α且31cos >α”是“9242sin >α”的充分必要条件.故选A 9.D 方法一：如图所示，设双曲线的方程为12222=-by a x ，两焦点分别为E ,F .且F 关于其中一条渐近线的对称点 为A ，AF 的中点为B .因为B 为AF 的中点, O 为EF 的中点且AF OB ⊥，故AEF ∆为直角三角形. 不妨设m AF =||，n AE =||，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∠=+=-a b n m AEF c n m a n m tan 42222，消去n m ,可得：a b 2=，故a c 5=，即：5=e .方法二：在OBF Rt ∆中，c OF =||，a OB =||，b BF =||. OB 为AEF ∆ 的中位线，∴a AE 2||=，b AF 2||=，故a a b 222=-，得：a b 2=，a c 5=，即：5=e .故选D10.B 分析可知)(x f 是周期为1的周期函数，且当]21,21(-∈x 时：x x f =)(.作图如下：有一个元集合B A 的子集恰有两个，即B A 中只(第9题)O21 21-(第10题)素.注意到)(x f 与)(x g 必有一个公共点)0,0(，故逐一检验：选项D A ,表示的抛物线均与直线x y =相切于原点，且与函数)(x f 无其余公共点，选项C 表示的抛物线与)(x f 相交，但交点也只有一个. 选项B 表示的抛物线与)(x f 相交，交点有两个，分别为)0,0(及)21,21(.故选B 二.填空题:11. 3- 12. 6 13. x y 42=或x y 82= 14.21 15.5681 16.23+ 17.]222,(--∞ 11. 3- 由1)1(=f 得2)1(=g ，又)(x g 为奇函数，故2)1(-=-g ，=-)1(f 31)1(-=--g 12. 6 若221+=+n n ,无解舍去.故15)22()1(=+++n n ，即4=n ,4)1(xx -展开式通项为：rr r r r r r x C xx C T 244441)1()1(--+-=-=，令024=-r 得2=r ，故常数项值为613.2 初始值2=S .程序运行一次后得31-=S ，运行二次后得212-=S .，运行三次后得313=S ，运行四次后得24=S ，……..（往后依次重复出现前四次的值），由于45032012⨯=，故242012==S S . 14.21方法一：注意到=+y x )2()2(y x y x ---，故 =+)tan(y x 21)2tan()2tan(1)2tan()2tan(=--+---y x y x y x y x方法二：3)2tan(3)2tan(=-=-y x y x ，即1)2tan(=-y x ，即42ππ+=-k y x所以33cot )23tan()2tan(=-=+=-y y y x π，故=+)tan(y x =+)43tan(πy 2115.5681 由题知2,1,0=ξ.且5622)0(38===C P ξ， 56272)1(382313131213=⋅⋅+⋅+==C C C C C C P ξ，5627)1()0(1)2(==-=-==ξξξP P P ， 故=ξE )0(0=⨯ξP +)1(1=⨯ξP +)2(2=⨯ξP =5681. 16.23+不妨设向量d c b a ,,,有相同的起点O ，终点分别为D C B A ,,,.由b 在a 上的投影为21知21=⋅b a ，由0=-⋅-)()(c b c a 知：C 在以AB 为直径的圆上. 故当向量c 过AB 中点时，其模最大，此时：||c =21（++||b a ||b a -）=221+，由1=-||c d 知，D 在以C 为圆心，1为半径的圆上，故当D C ,共线时||d 最大，故m a x |)||(|d c +=1||2max +c =23+17.]222,(--∞方法一：)1(sin 2)1(cos 4)(22+-+-+=θθx x x x x f]5)2(2)2()sin 2()cos [(21)(222-+-++-+-=xx x x x x x f θθ，首先，22)sin 2()cos (θθ-+-x x 可看作单位圆上点与反比例函数x y 2=上点之间距离的平方，结合图形易得：当2=x ，4πθ=时22)sin 2()cos (θθ-+-x x 取到最小值1.其次，5)2(2)2(2-+-+xx x x 可看作关于)22(2≥+=t xx t 的二次函数，当22=t ，即2=x 时函数取到最小值243-.两式相加即得)(x f 的最小值为222-，当且仅当2=x 时取到.故≥)(x f 222-，即222-≤M方法二: 4)1(cos )1(sin )2sin 2()21cos ()(2222+++--++-=θθθθx x x f 4)4sin(222)2sin 2()21cos (22πθθθ++--++-=x x 数形结合可得:当2=x ,4πθ=时, ≥)(x f 222-，即222-≤M方法三：)1(sin 2)1(cos 4)(22+-+-+=θθx x xx x f)sin 2cos 1()2(422θθx x x x x x +-+-+=222241)2(4x x x x x x +-+-+≥（合一变形后根据三角有界性得到） 令)22(2≥+=t xx t ，44)(22----=t t t t g ， 0211244112)(2'>--≥---=t t t g ， ∴44)(22----=t t t t g 在22≥t 上单调递增，故)22()(g t g ≥.即：≥)(x f 222-，即222-≤M .三.解答题18.解: (1) 3112cos2)cos(2-=-+=+C A C A ,……3分 ∴31)cos(cos =+-=C A B ……5分(2)由31cos =B ,得: 322sin =B .由正弦定理B b A a sin sin =,变形得:Ab sin 22=,……7分1sin 0≤<A ,∴22≥b ,当且仅当090=A 时,等号成立……9分解法一:由余弦定理得bc a c b A 2cos 222-+=,故29cos 22-+==⋅c b A bc AC AB ,……11分又因为c c b 3132922⨯⨯-+=922+-=c c ,……12分 故4141)21(22-≥--=-=⋅c c c AC AB .当且仅当21=c 时等号成立. ……14分解法二:由正弦定理得:ACc sin sin 3=,故===⋅A A C A bc AC AB 2sin cos sin 26cos AAB A 2sin cos )sin(26+……11分 41cot 22cot 8sin )cos 22cos (sin 22222-≥+=+=A A AA A A ,……13分 当且仅当82cot -=A 时等号成立. ……14分 解法三: =⋅AC AB )31(3)(2-⨯+=+⋅c c BC AB AB 4141)21(22-≥--=-=c c c 当且仅当21=c 时等号成立. ……14分 解法四: (建坐标系,过程略)19.解:(1).设等差数列}{n a 的首项为a ,则由532,,a a a 成等比数列可得:)4)(()2(2d a d a d a ++=+,化简得:0=ad , *N d ∈,∴0=a , ……4分故}{n b 的前三项为:d d d 4,2,,即:2=q ,又 q d <,∴1=d ……6分 故1-=n a n , 12-=n n b ……7分(2).当1=n 时,01=c , 当2≥n 时,11=-=-n n n n a a c b ,故⎪⎩⎪⎨⎧≥==-2,211,01n n c n n .…9分即: 121--=n n n n a c .故13221232221--++++=n n n T ①.n n n T 2123222121432-++++= ②. 由①-②得:n n n n T 212121212121132--++++=- n n n 21211)211(211----=-n n 211+-=……13分故:=n T 1212-+-n n .……14分20. 如图（1）所示的等腰梯形/ABCD 中，由平面几何方法， 过B A ，两点分别作/CD 的垂线，结合已知条件经计算易得：4/=CD .故/AED ∆,BEC ∆及AEB ∆均为正三角形，且三点 /BFD 在一条直线上.易得AE BD ⊥/且EC BF //.……2分(1).解法一:在图（2）中，连接BF BD ，， G ,H 分别为BC ,CD 的中点,故BD GH //，又EC BF //，故面//FBD 面EGH ， 又FBD DF 面⊂，故//DF 平面EGH .……6分解法二:连接CF 交EG 于M ,连HM ,易得M 为CF 的中点,故HM 为CDF ∆的中位线,∴DF HM //,故//DF 平面EGH .……6分(2)以F 为坐标原点，FB ，FA 所在射线分别为y x ,轴建立如图所示空间直角坐标系.显然BFD ∠为二面角B AE D --的平面角，设θ=∠BFD ，则有：)sin 3,cos 3,0(θθD ，)0,3,2(-C ，)0,0,1(A ，)0,0,1(-E .……8分H 为CD 的中点，故)sin 23,cos 2323,1(θθ+-H ， =EH )sin 23,cos 2323,0(θθ+，)sin 3,cos 3,1(θθ-=AD ， ∴⋅EH =++=θθθ22sin 23cos 23cos 23AD 23cos 23+θ，……11分 (第20题)图(1)异面直线EH 与AD 所成角为3π， 故||||3cos EH AD EH AD ⋅=π=1cos 462|)1(cos 23+⨯+θθ=1cos 46+θ……13分 解得:31cos -=θ ……14分 21.解：（1）由题可知，b a 2=且522=+b a ，解得：1,2==b a ，……3分故椭圆的方程为：1422=+y x ……5分 （2）设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，由韦达定理有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k ……7分 21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km由韦达定理代入化简得：412=k . 0>k ，∴21=k .……9分 此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m . 故d AB S ⋅=||2122121||||121km x x k +⋅-+= ||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-=……11分 又=+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值. ……13分∴SS S 21+⋅=45π||212m m ⋅-⋅≥45π当且仅当1=m )2,2(-∈时等号成立.综上：SS S 21+⋅+∞∈),45[π……15分22.解：（1）当0=a 时：x e x x x f )1ln ()(-=，（0>x ） 故x e x x x x f )1ln 1(ln )('-++=x e x x )1(ln +=……2分当1=x 时：0)('=x f ，当1>x 时：0)('>x f ，当1<x 时：0)('<x f . 故)(x f 的减区间为：)1,0(，增区间为),1(+∞……4分 （2）x e a ax x x x x f )ln (ln )(2'+++=令=)(x g 2ln ln a ax x x x +++，故a x x x g +++=1ln 1)(',x xx g 11)(2''+-=,…6分 显然0)1(''=g ，又当1<x 时：0)(''<x g .当1>x 时：0)(''>x g .故=min ')(x g a g +=2)1('， 2-≥a ，02)()(min ''≥+=≥∴a x g x g . 故)(x g 在区间),1(+∞e上单调递增，……7分注意到：当+∞→x 时，)(x g +∞→，故)(x g 在),1(+∞e 上的零点个数由)11)(1()1(ea a e g ++-=的符号决定. ……8分①当0)1(≥e g ，即：ea 112--≤≤-或1≥a 时：)(x g 在区间),1(+∞e 上无零点，即)(x f 无极值点.②当0)1(<e g ，即：111<<--a e时：)(x g 在区间),1(+∞e 上有唯一零点，即)(x f 有唯一极值点.综上：当ea 112--≤≤-或1≥a 时：)(x f 在),1(+∞e 上无极值点.当111<<--a e时：)(x f 在),1(+∞e 上有唯一极值点. ……10分（3）假设存在a ，使得)(x f 在区间),1(+∞e上与x 轴相切，则)(x f 必与x 轴相切于极值点处，由（2）可知：111<<--a e.不妨设极值点为0x ，则有：⎩⎨⎧=--++==+++=0)1ln ()(0)ln (ln )(0020000200000'x x e a a ax x x x f e a ax x x x x f …(*)同时成立. ……11分联立得：01ln 0=++a x ，即)1(0+-=a e x 代入（*）可得0)1(2)1(=-+++-a a e a . 令)1,2(),1(et a t -∈+-=，2)1()(+--=t t e t h t .……12分则32)('--=t e t h t ，2)(''-=t e t h ，当 )1,2(e t -∈时02)1()(1''''<-=<e e eh t h （ <ee 1<21e 2）.故)('t h 在)1,2(e t -∈上单调递减.又01)2(2'>+=--e h ，032)1(1'<--=ee e h e .故)('t h 在)1,2(et -∈上存在唯一零点0t .即当),2(0t t -∈时0)('>t h ，)(t h 单调递增.当)1,(0et t ∈时0)('<t h ，)(t h 单调递减.因为01)2(2>+=--e h ，0131)1(21'<---=e ee e h e .故)(t h 在),2(0t t -∈上无零点，在)1,(0et t ∈上有唯一零点. ……14分 由观察易得0)0(=h ，故01=+a ，即：1-=a .综上可得：存在唯一的1-=a 使得)(x f 在区间),1(+∞e上与x 轴相切. ……15分。