高考数学大一轮复习第五章第3节平面向量的数量积及应用课件理新人教A版

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2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例课件理新人教A版

)
(6)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹
角为钝角．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，12，则∠ABC＝( )
A．30°
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影几何意义
__|b_|_c_o_s_θ_的乘积
2.向量的夹角
定义
已知两个非零
向量 a 和 b，作
→
→
OA＝a，OB＝
b，则__∠__A_O_B__
就是 a 与 b 的
ห้องสมุดไป่ตู้夹角
图示
范围
共线与垂直
若 θ＝0°，则设 θ 是 a 与 b a 与 b__同__向___；
的夹角，则 θ 若 θ＝180°，的取值范围是则 a 与 b_反__向__； _0_°__≤__θ_≤__1_8_0_° 若 θ＝90°，则
a 与 b__垂__直____
3. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝___b_·_a___； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a_·_(_λ_b_) _； (3)(a＋b)·c＝__a_·_c_＋__b_·c__. 4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，a·b ＝x1x2＋y1y2.
A0， 3，D－13，0，E13，0，
所以A→D＝－13，－
3，A→E＝13，－
A．－2
B．－32
C．－43
D．－1
【解析】 (1)因为 a⊥b，所以 2m－2＝0，所以 m＝1，则 2a

高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版

通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来
解答.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
7
8
8.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量
的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理
学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W= |F||s|cos θ (θ
即|a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值是 2 5.
-28考点1
考点2
考点3
解题心得1.求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|= ·及(a±b)2=|a|2±2a·
b+|b|2,把向量的模
的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作
出向量,再利用余弦定理等方法求解.
为( B )
5
A.-8
1
B.8
1
C.4
11
D. 8
-16考点1
考点2
考点3
(2)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分
7
点, ·=4, · =-1,则 ·的值是
.
8
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
cos∠ABC=
= 1×1
||||
=
3
,
2
关闭
所以∠ABC=30°,故选 A.
A
解析
答案
-13知识梳理
1
双基自测
2

(新课标)2020版高考数学总复习第五章第三节平面向量的数量积及应用举例课件文新人教A版

知识拓展平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)
(1)由a·b=0可得a=0或b=0. ( ✕ )
(2)(a·b)·c=a·(b·c). ( ✕ )
.
x12 y12 x22 y22
3.两向量垂直的应用
a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0).
2-1 (2018云南昆明调研)已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|= ( C ) A. 2 B.2 C. 10 D.10 答案 C ∵a=(-1,2),∴2a=(-2,4),又∵b=(1,3),∴2a-b=(-3,1),∴|2a-b|= 10 ,故选C.
4.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= (B ) A.4 B.3 C.2 D.0
答案 B 本题考查数量积的定义和运算. a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.故选B.
5.已知|a|=2,|b|=6,a·b=-6 3 ,则a与b的夹角θ为 ( D )

|2-|A B
|2+12 A D

·A B
=12 ×22

-22=-2,所以cos
θ=
|
AE BD

AE || BD
|
=
5
2 2
=- 10 .
2 10
命题方向三平面向量的垂直问题
典例4

高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件：53平面向量的数量积及其应用30页PPT

A.322
B.3
15 2
C.-322
D.-3
15 2
因为�� =(2,1),�� =(5,5),所以向量�� 在�� 方向上的投影为
|��|cos<��, ��>=|��|·��·��
θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影. 想一想 b 在 a 上的投影是向量吗?
答案:不是,b 在 a 上的投影是一个数量|b|cos<a,b>,它可以为正, 可以为负,也可以为 0.
第五章
5.3 平面向量的数量积及其应用
考纲要求梳理自测探究突破巩固提升
第五章
5.3 平面向量的数量积及其应用
考纲要求梳理自测探究突破巩固提升
3.平面向量数量积的性质
已知非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2)
性质
几何表示
定义
a·b=|a||b|cos<a,b>
a·a=|a|2 或|a|= ��·��
模若 A(x1,y1),B(x2,y2),则��=(x2-x1,y2-y1)
4.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 且 a 与 b 的夹角为π3,则|a+b|=
.
∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=12+2×1×2×cosπ+22=7.
3
∴7|a+b|= (�� + ��)2 = 7.

(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用课件

m＝－79，联立①②，解得n＝－73.
故选 D.
(2)(2022·陕西渭南模拟)已知向量A→B与A→C的夹角为 120°，且|A→B|＝3，|A→C
→ →→ →→ |＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数 λ 的值为
7 12
．
解析因为A→P⊥B→C，所以A→P·B→C＝0.又A→P＝λA→B＋A→C，B→C＝A→C－A→B，
3．向量数量积的运算律交换律分配律
数乘结合律
a·b＝ □10 b·a (a＋b)·c＝ □11 a·c＋b·c (λa)·b＝λ(a·b)＝ □12 a·(λb)
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
A. 5 B．3 5 C．4 5 D．2 5 答案 C
解析由向量加法的平行四边形法则可知B→A＋B→C＝B→D，则原式＝2|B→D |＝2 42＋22＝4 5.故选 C.
(2)(2021·全国甲卷)若向量 a，b 满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b| ＝ 32 .
解析由|a－b|＝5 得(a－b)2＝25，即 a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b ＝1，得 32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3 2.
4．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为 a 与 b 的夹角为 0 时也有 a·b>0)． (2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立(因为 a 与 b 的夹角为 π 时也有 a·b<0)．
1．已知向量 a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( ) A. 2 B．2 C．5 2 D．50 答案 A

高考数学大一轮复习第五章平面向量 5.3 平面向量的数量积课件理新人教版

2
考点自测
1.(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于答案
A.－12
B.6
解析
C.－6
D.12
∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
2.(2017·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则
思维升华
平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b| cos〈a，b〉. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.
跟踪训练1 (1)(2016·全国丙卷)已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，21，则 ∠ABC等于答案解析
A.30°
B.45°
∵|B→A|＝1，|B→C|＝1， cos∠ABC＝|B→B→AA|··B|→B→CC|＝ 23，
C.60°
D.120°
又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.
(2)(2015·天津) 在等腰梯形 ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2 ，BC＝1 ，

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ 的几何意义
乘积
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔ a·b＝0 .
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

2025年高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用【课件】

，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
2 3
2 3
[a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝ 2 + 42 + 4·＝ 4 + 4 + 4＝
2 3.]
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦
8
AB的长度为4，则·＝________．
·
.
2
• (1)a·b＝b·a.
• (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
• (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
• 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
• 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
x1x2＋y1y2
• (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝___________．
8
1
2
[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝，所以·＝
1
2
||||·cos∠BAC＝||||＝ ||2＝8．]
典例精研核心考点
• 考点一平面向量数量积的运算
• [典例1]
(1)(2024·吉林四平模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝ 3，
，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线
投影
，垂足分别为A1，B1，得到1 1 ，我们称上述变换为向量a向向量b____
|a|cos θ e
投影向量
，1 1 叫做向量a在向量b上的________，记为____________．

提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ ＝
12 + 12

新高考一轮复习人教A版5.3 平面向量的数量积及平面向量的应用课件(49张)

7a＋ |a||c|
2b）|＝
7|a|2＋ |a|·|c|
2a·b＝
37，又〈a，c〉∈[0，
π]，所以 sin〈a，c〉＝
1－
372＝
2 3.
另解：不妨取 a＝(1，0)，b＝(0，1)，利用坐标运算求得. 故选 B.
命题角度 3 判断两个向量的垂直关系
(1)(2020 全国Ⅱ卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 60°，则在下列向量中，与
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.
(2)由 a·b＝0 可得 a＝0 或 b＝0.
()
(3)a·b＝b·c 且 b≠0，则 a＝c.
()
(4)(a·b)c＝a(b·c).
()
(5)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角.
C. 0
D. 2
解：由题意，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos120°＝1＋1×1×(－12)＝12. 故选 A.
(2)(2020 云南省云天化中学高三期末)已知 a＝(4，2)，b＝(3，9)，则 a 在 a－b 方向上的
投影向量的模为
()
A. 2
B. 5
2 C. 2
10 D. 3
解：a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，由(a－λb)⊥b 可得，3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，
解得 λ＝35. 故填35.
若 O 为空间中一定点，动点 P 在 A，B，C 三点确定的平面内且满足(O→P－O→A)·(A→B－A→C) ＝0，则点 P 的轨迹一定过△ABC 的__________心.
【点拨】求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝ a2，将模的运算转化为向量的数量积.

高考数学一轮复习第5章平面向量第3节平面向量的数量积及应用举例课件理新人教A版

答案：12
►名师点津求非零向量 a，b 的数量积的 3 种方法
直接若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若法两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算几何根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向法量 a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出 a，b 的坐标，通过法坐标运算求解
[答案] (1)C (2)2
●命题角度二平面向量的夹角
【例 2】 (1)(2019 年全国卷Ⅰ)已知非零向量 a，b 满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则
a 与 b 的夹角为( )
A．π6
B．π3
C．23π
D．56π
(2)(2019 年全国卷Ⅲ)已知 a，b 为单位向量，且 a·b＝0，若 c＝2a－ 5b，则 cos〈a，
答案：1
三、易错自纠 4．给出下列说法： ①向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量； ②若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹角为钝角； ③(a·b)c＝a(b·c)； ④若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0. 其中正确的说法有________个．答案：0
[考情分析] 平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为 5 分.
[核心素养] 数学运算
1
课前 ·基础巩固
‖知识梳理‖
1．平面向量的数量积
设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量 1 |_a_|·_|_b_|c_o_s_θ_叫做 a 与 b 的定义

高三数学(理)一轮总复习课件第五章第三节平面向量的数量积与平面向量应用ppt版本

即(| AB|·| AC |)2＝( AB·AC )2＋(| AB|·| AC |·
sin〈 AB， AC 〉)2，
∴| AB|·| AC |·sin〈 AB， AC 〉＝2－ 3，
∴S△ABC＝12| AB|·| AC |·sin〈 AB， AC 〉＝1－
3 2.
答案：1－
3 2
角度三：平面向量的垂直 5．(2014·重庆高考改编)已知向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝
所以 a·b＝－1×－12＋2×1＝52.
答案：52
2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为 ________．
解析：∵|a＋b|＝1，∴a2＋2a·b＋b2＝1. 又|a|＝|b|＝1，∴cos〈a，b〉＝－12. 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝23π. 答案：23π
AF ＝ AB＋ BC ＋CF ＝－BA＋BC ＋152BA＝－172BA＋BC ，
∴ AE ·AF ＝23
BC － BA
·－172
BA ＋ BC

＝172| BA|2－2158 BA·BC ＋23|BC |2
＝172×4－2158×2×1×12＋23 ＝2198.
答案：梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC， AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE ＝23BC ， DF ＝16 DC ，则 AE ·AF 的值为________．
解析：取 BA， BC 为一组基底，
则 AE ＝ BE － BA＝23BC －BA，
[方法归纳] 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝|aa|··b|b|，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥ b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝ a·a. ②|a±b|＝ a±b2＝ a2±2a·b＋b2. ③若a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.

高考数学一轮复习第5章平面向量第3节平面向量的数量积及应用举例课时跟踪检测理新人教A版-

第三节平面向量的数量积及应用举例A 级·基础过关 |固根基|1.已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B ．2．(2019届某某一中高三入学测试)已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( )A ．7B ．10C ．13D ．4解析：选C 依题意得a ·b ＝12，∴|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13，故选C ．3．(2019届某某模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析：选B 由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m ·n＝－n 2|m ||n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m ||n |×13＝－3|n ||m |.又4|m |＝3|n |，∴t ＝－3×43＝－4.故选B ．4．(2019届东北联考)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3解析：选C 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1，所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.故选C ．5．(2019届某某模拟)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AC →·BC →＝1，则BC ＝( ) A ． 3 B ． 2 C ．2D ．3解析：选D 设∠A ＝θ，因为BC →＝AC →－AB →，AB ＝4，AC ＝3，所以AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝AC →2－AC →·AB →＝9－AC →·AB →＝1，即AC →·AB →＝8，所以cos θ＝AC →·AB→|AC →||AB →|＝83×4＝23，所以BC ＝16＋9－2×4×3×23＝3.故选D ．6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值X 围为( ) A ．[1，2]B ．[2，4]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选D 由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，因为(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，所以1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以|b |cos θ＝1－2|b |2.因为－1≤cos θ≤1，所以－|b |≤1－2|b |2≤|b |，所以12≤|b |≤1，所以|b |的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故选D ．7．(2020届某某调研)在Rt △ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D ，E ，使BD →＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选D 由BD →＝2DA →，得CD →－CB →＝2(CA →－CD →)，得CD →＝23CA →＋13CB →.由AB →＝3BE →，得CB →－CA→＝3(CE →－CB →)，得CE →＝－13CA →＋43CB →.因为∠C ＝π2，即CA →⊥CB →，所以CA →·CB →＝0.所以CD →·CA →＋CE →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CA →＋43CB →·CA →＝23CA →2－13CA →2＝3，故选D ．8.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →的值是( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49解析：选B 因为BF →＝2FO →，r ＝1，所以|FO →|＝13，所以FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO→2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89，故选B ．9．(2019届某某市摸底联考)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC＝60°，则△OBC 的面积为( )A ．33 B ． 3 C ．32D ．23解析：选A ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，∴S △OBC ＝13S △ABC ．∵AB →·AC →＝2，∴|AB→|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2.又∠BAC ＝60°，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A ． 10．(2020届某某摸底)已知a ，b 均为单位向量，若|a －2b |＝3，则a 与b 的夹角为________．解析：由|a －2b |＝3，得|a －2b |2＝3，即a 2－4a ·b ＋4b 2＝3，即1－4a ·b ＋4＝3，所以a ·b ＝12，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.答案：π311．(2019届某某摸底调研)已知动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，点C 为直线l 上一点，且满足CB →＝52CA →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为________．解析：解法一：动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接OA ，OB ，因为|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形，于是不妨设动直线l为y ＝3(x ＋2)，如图所示，根据题意可得B (－2，0)，A (－1，3)，因为M 是线段AB 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.设C (x ，y )，因为CB →＝52CA →，所以(－2－x ，－y )＝52(－1－x ，3－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－x ＝52（－1－x ），－y ＝52（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝533，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32＝12＋52＝3.解法二：连接OA ，OB ，因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形．因为CB →＝52CA →，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋23BA →＝OA →＋23OA →－23OB →＝53OA →－23OB →.又M 为AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →，且OA →与OB →的夹角为60°，则OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53OA→－23OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＝56OA →2－13OB →2＋12|OA →||OB →|cos 60°＝56×4－13×4＋12×2×2×12＝3. 答案：312.如图，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x ，3sin x )，OB →＝(3cosx ，sin x )，OC →＝(3，0)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求证：(OA →－OB →)⊥OC →；(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值．解：(1)证明：∵OA →－OB →＝(0，2sin x )， ∴(OA →－OB →)·OC →＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA →－OB →)⊥OC →.(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ，整理得2cos 2x －3cos x ＝0，解得cos x ＝0，或cos x ＝32. ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，即x ＝π6.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届某某市第一次联考)已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( )A ．m ＋n ≤－2B ．－2≤m ＋n <－1C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <0解析：选C 因为点O 是锐角三角形ABC 的外心，所以O 在三角形内部，则m <0，n <0.不妨设锐角三角形ABC 的外接圆的半径为1，因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →.设向量OA →，OB →的夹角为θ，则1＝m 2＋n 2＋2mn cos θ<m 2＋n 2＋2mn ＝(m ＋n )2，所以m ＋n <－1或m ＋n >1(舍去)，所以m ＋n <－1，故选C ．14．已知点P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点A ，B ，C 在以坐标原点O 为圆心的单位圆上运动，且AB →·BC →＝0，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由A ，B ，C 三点在圆x 2＋y 2＝1上，且AB →·BC →＝0，得AC 是该圆的直径．设PO →，OB →的夹角为θ，θ∈[0，π]，则|PA →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|＝|3PO →＋OB →|＝（3PO →＋OB →）2＝9|PO →|2＋|OB →|2＋6PO →·OB →＝36＋1＋12cos θ＝37＋12cos θ，当θ＝0时，|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值7，故选C ．15．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 是AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则实数λ的最大值是( )A ．1B ．2－22C ．22D ．2＋22解析：选A 以点C 为坐标原点，CA →，CB →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，所以AB →＝(－1，1)．因为点P 在线段AB 上，AP →＝λAB →，所以AP →＝(－λ，λ)，所以P (1－λ，λ)，所以CP →＝(1－λ，λ)，PB →＝(λ－1，1－λ)，λ∈[0，1]．因为CP →·AB →≥PA →·PB →，所以(1－λ，λ)·(－1，1)≥(λ，－λ)·(λ－1，1－λ)，化简得2λ2－4λ＋1≤0，解得2－22≤λ≤2＋22.因为λ∈[0，1]，所以2－22≤λ≤1，所以λ的最大值是1.故选A ．16.如图，在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝2，向量AD →在AB →方向上的投影为1，且BD →·DC →＝0，点P 在线段CD 上，则PA →·PB →的取值X 围为________．解析：解法一：由题意知∠DAB ＝45°，且|AB →|＝1，设|PD →|＝x ，则0≤x ≤1，因为AP →＝AD →＋DP →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →＋CP →，所以PA →·PB →＝(－AD →－DP →)·(－AD →－CP →)＝AD →2＋AD →·CP →＋AD →·DP →＋DP →·CP →＝2＋2(1－x )cos 135°＋2x cos 45°－x (1－x )＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34∈[1，3]．解法二：由题意可知，DB ⊥AB ，以B 为坐标原点，AB 及BD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由题意知B (0，0)，A (－1，0)，设P (x ，1)，其中0≤x ≤1，则PA →·PB →＝(－1－x ，－1)·(－x ，－1)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34∈[1，3]．答案：[1，3]17．已知△ABC 的面积为24，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且满足CE →＝3EA →，CD →＝2DB →，连接AD ，BE 交于点F ，则△ABF 的面积为________．解析：解法一：如图，连接CF ，由于B ，F ，E 三点共线，因而可设CF →＝λCB →＋(1－λ)CE →.∵CE →＝3EA →，CD ＝2DB →，∴CF →＝32λCD →＋34(1－λ)CA →.又A ，F ，D 三点共线，∴32λ＋34(1－λ)＝1，解得λ＝13，∴CF →＝13CB →＋23CE →＝13CB →＋12CA →.∵AF→＝CF →－CA →＝13CB →－12CA →，FD →＝CD →－CF →＝13CB →－12CA →，∴F 为AD 的中点，因而S △ABF ＝12S △ABD ＝16S △ABC＝4.解法二：如图，过D 作AC 的平行线，交BE 于H ，则由已知CD →＝2DB →，得DH ═∥13CE ，又CE →＝3EA →，因而DH ═∥EA ，△AEF ≌△DHF ，则F 为AD 的中点，因而S △ABF ＝12S △ABD ＝16S △ABC ＝4. 答案：4。

高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用实用课件理

＝________. 答案： 13 (2)已知向量 a ＝(1， 3)，b ＝( 3，1)，则 a 与 b 夹角的大小
为________．解析：由题意得|a |＝ 1＋3＝2，|b |＝ 3＋1＝2，a ·b ＝1× 3
＋
3×1＝2
3.设 a
与 b 的夹角为 θ，则 cos
θ＝22×32＝
3 2.
即
|
―→ AB
―→ |·| AC
|
＝
2
，
所
以
|
―B→C
|2
＝
|
―→ AC
－
―→ AB
|2
＝
―→ AC
2
－
2―A→B ·―A→C ＋―A→B 2≥2|―A→B |·|―A→C |－2―A→B ·―A→C ＝6，当且仅当
|―A→B |＝|―A→C |时等号成立，所以|―B→C |min＝ 6.
[答案] (1)B (2)C
2．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 θ，则数量 |a ||b |cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a ·b ，即 a ·b ＝ |a ||b |cos θ ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a ＝0.
(2)几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度|a |与 b 在 a 的方向上的投影 |b |cos θ 的乘积．
A．12 C．－8
B．8 D．2
()
解析：∵|a |cos〈a ，b 〉＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，
b 〉＝3×4＝12. 答案：A
2．设 x∈R ，向量 a ＝(1，x)，b ＝(2，－4)，且 a ∥b ，则 a ·b

2020版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用课件理新人教A版

第3讲平面向量的数量积及应用
基础知识整合
1．数量积的有关概念
(1)两个非零向量 a 与 b，过 O 点作O→A＝a，O→B＝b，则 □01 ∠AOB＝θ ，叫做向量 a 与 b 的夹角；范围是 □02 0°≤θ≤180°.
(2)a 与 b 的夹角为 □03 90 度时，叫 a⊥b. (3)若 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝ □04 |a||b|cosθ .
□ a⊥b⇔ 09 x1x2＋y1y2＝0 .
□ a∥b⇔ 10 x1y2－x2y1＝0 .
2．数量积满足的运算律
已知向量 a，b，c 和实数 λ，则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a·b＝ □11 b·a . (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ □12 a·(λb) ． (3)(a＋b)·c＝ □13 a·c＋b·c .
量 b 在向量 a 方向上的投影为( )
A．－
2 2
B．
2 2
C． 2
D．－ 2
答案 A
答案
解析 ∵(a＋2b)⊥a，∴(a＋2b)·a＝2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＝0，∴|a||b|cos 〈a，b〉＝－1，即 2|b|cos〈a，b〉＝－1，∴向量 b 在向量 a 方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝－ 22，故选 A.
D(3,4)，则向量A→B在C→D方向上的投影为( )
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出 b ＝c，两边不能约去一个向量．
2．数量积不满足结合律(a ·b)·c≠a·(b·c)． 3．当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2 或|a|＝ a2.

高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及其应用课件理新人教A版

解析 ∵A→B＝2a，A→C＝2a＋b，∴a＝12A→B，b＝B→C，又△ABC 是边长为 2 的等边三角形，∴|a|＝1，|b|＝2，故①正确， ②错误，③错误，由 b＝B→C，知 b∥B→C，故④正确，∵4a＋b＝2A→B ＋B→C＝A→B＋A→C，∴(4a＋b)·B→C＝(A→B＋A→C)·B→C＝－2＋2＝0， ∴(4a＋b)⊥B→C，故⑤正确.
法二以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设 E(t，0)，t∈[0，1]，则D→E＝பைடு நூலகம்t，－1)， C→B＝(0，－1)，所以D→E·C→B＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因为D→C＝(1，0)，所以D→E·D→C＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，故D→E·D→C的最大值为 1.
3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.( × ) (2) 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( √ ) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (4)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角.( × ) (5)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( × )
2.(2015·全国Ⅱ卷)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a 等于________. 解析因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1) ＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.