浙江省绍兴县杨汛桥镇中学中考数学复习《令鬼神肃然起敬的公式》学案(无答案) 浙教版
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学九年级数学上册《二次函数》复习题(无答案) 人教新课标版 (1)
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学九年级数学上册《二次函数》复习 人教新课标版一、二次函数的概念形如 （其中a 、b 、c 是常数，a 0）的函数叫做二次函数 称a 为 ，b 为 ，c 为 。
例1：下列函数中（x 是自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项。
（1）y=3(x-2)2-3x 2 (2)y=1-6x 2 （3）y=(x-1)2+3 （4）y=x(x-2)2 (5)y=x 2+21x 例2：已知函数y=(m 2+m)x122--m m +3x+4（m 为常数）是二次函数，求m 的值。
练一练：已知y=(m-2)x 432+-m m (m 为常数)是一个二次函数，求m 的值。
二、求二次函数解析式例3已知二次函数的图像经过三点（—1，0），（3，0），（1，4），求这个二次函数的解析式。
练一练：（1）已知对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和（5，0），求对应的二次函数解析式。
（2）已知抛物线的顶点坐标是（-1，-2），且过点（1，0），求对应的二次函数解析式。
三、二次函数的图像与性质例4.已知抛物线 y=2x 2+12x+10 (1)将函数化为y=2x 2+12x+10化为y=a(x+m)2+k 的形式.(2)说出该函数图象可由抛物线y=ax 2如何平移得到?(3)说出该函数的对称轴,顶点坐标,最值情况.练一练：（1）把函数y=x 2-6x+9的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的图象的解析式为_ _。
（2）抛物线23125y x x =--+，可由抛物线23y x =-先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到。
例5：.已知二次函数y=x 2-2kx+k 2+k-2 (1)当k 为何值时，函数图象经过原点？(2)当k 在什么范围取值时，图象的顶点在第四象限？练一练：已知抛物线y ＝x 2－kx ＋k －1，根据以下条件试求k 的值：(1)顶点在x 轴上；(2)抛物线关于y 轴对称；(3)当x ＝－1时函数有最小值；（4）函数最小值为－1；例6：已知函数y=x 2-mx+m-2(1) 求证：m 无论取什么值，它的图象与x 轴总有两个交点。
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学九年级数学上册 相似三角形复习课件 浙教版共15页
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16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学九年级数学上册《2.2二次函数的图象(3)》学案(无答案) 人教新课标版
一、知识回顾：1、请说出抛物线k m x a y ++=2)(的开口方向、顶点坐标、对称轴2、思考：能否通过配方法将函数254212-+-=x x y 转换成k m x a y ++=2)(的形式，该图象可由221x y -=的图象怎样平移得到，并指出该图象的开口方向、对称轴及顶点坐标 二、合作探究：1、问题：（1）对于二次函数y=ax ²+bx+c （ a ≠0 ）通过变形能否将y=ax ²+bx+c 转化为y = a(x+m)2 +k 的形式 ？（2）请指出二次函数y=ax ²+bx+c （ a ≠0 ）图象的开口方向、最值、对称轴及顶点坐标2、二次函数c bx ax y ++=2的图像特征（1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线；（2）对称轴是直线x= ，顶点坐标是为（ ， ）(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
练习：说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标（1）4325452+--=x x y （2）32222--=x x y （3）3)21(2+-=x x y（三）、师生合作1、例1、求下列抛物线的对称轴和顶点坐标。
（1）253212-+-=x x y （2）)2)(1(2+-=x x y 练习：求下列抛物线的对称轴和顶点坐标。
（1）13.06.02++=x x y （2）)3)(1(-+-=x x y2、例2已知关于x 的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。
（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。
3、探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第37页），当水面宽12m 时，桥洞顶部离水面4m 。
已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x 轴，取以下三个不同的点为坐标原点：1、点A2、点B3、抛物线的顶点C所得的函数解析式相同吗？请试一试。
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学九年级数学上册《2.2二次函数的图象(1)》学案(无答案) 人教新课标版
一、知识回顾：1、画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？ 二、新知探究1、 用描点法画出二次函数 2x y =和2x y -=图像 （1） 列表x… -2 211- -1 21-0 21 1 211 2 … 2x y = … 0 1 … 2x y -=…-1…引导学生观察上表，思考一下问题：①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取1,21±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.（3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到2x y =和2x y -=的图像。
2、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像 由上面的函数图像概括出：（1） 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于 轴对称， 轴就是抛物线的对称轴。
（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
注意：顶点不是与y 轴的交点。
（4） 当o a 时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线上的最 点，图像在x 轴的 方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线上的最 点，图像在x 轴的 方(除顶点外)。
3、课堂练习：观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (1) 填空：抛物线 2x y =2x y -=顶点坐标 对称轴 位 置 开口方向 极值(2)在同一坐标系内，抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便？4、例题1：已知二次函数2ax y =（0≠a ）的图像经过点（-3，-8）。
（1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。
（2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学九年级数学上册 练习4(无答
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学九年级数学上册练习4（无答案）浙教版1、如图，OABC 是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线)0(2<=aaxy的图像上，则a的值为4、如图，AB是半圆O的直径，C、D、E三点在半圆上，H、K是直径AB上的点，若∠AHC=∠DHB，∠DKA=∠EKB，已知弧AC为30°，弧BE 为70°，则∠HDK =5、如图,点E、F是以线段BC为公共弦的两条圆弧的中点，BC=6. 点A、D分别为线段EF、BC上的动点. 连接AB、AD，设BD=x，AB2-AD2=y，下列图象中，能表示y与x的函数关系式是6、如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1D1的面积为S1，△322B D C的面积为2S，…，△1n n nB D C+的面积为n S，则2S=_____；n S=_________（用含n的式子表示）．8、定义：已知反比例函数xky1=与xky2=，如果存在函数xkky21=(021>kk)则称函数xkky21=为这两个函数的中和函数.（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为xy2=，并且其中一个函数满足：当0<x 时，y随x的增大而增大．（2）函数xy3-=和xy12-=的中和函数xky=的图象和函数xy2=的图象相交于两点，试求当xky=的函数值大于xy2=的函数值时x的取值范围．10. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如右上图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知FEB CDAExyOA BDC（第24题图）点D 的坐标为(0，－3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为 (1,0)，半圆半径为2.现在请充满智慧的你,开动脑筋想一想，经过点D 的“蛋圆”切线的解析式为（ ▲ ）A. y=－2x －3B. y=－x －3C. y=－3x －3D.y=23x －3 23.（本题12分）将一个量角器和一个含︒30角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由它抽象出的几何图形，其中点B 在半圆O 的直径DE 的延长线上，AB 切半圆O 于点F ，且BC=OD 。
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学中考数学复习《令鬼神肃然起敬的公式》学案(无答案) 浙教版
令鬼神肃然起敬的公式令鬼神肃然起敬的公式批评某人笨得不可救药时，经常会说：“他老是犯常识性的错误。
”那么，如果时时刻刻遵循常识的教导，难道就不会犯错误了吗？下面给出两个趣味问题（做这则游戏时，尽量不要计算，完全通过自己的直觉和常识说出答案，为此我限定每题思考时间30秒）问题1 今有两个三角形，三角形A 的边长是5，5，6，三角形B 的边长是5，5，8。
请问：它们的面积相等不相等？著名的海伦-----秦九韶公式，前者是古希腊数学家，后者是我国宋朝的学者。
两人各自独立地研究出了这个重要的三角形面积公式：S 三角形面积))()((c p b p a p p ---=，其中)(21c b a p ++=，称为半周长。
不难算出 1214423381==⨯⨯⨯=S ； 1214414492==⨯⨯⨯=S 。
问题2 A 三角形的三边之长分别是13，37，40，B 三角形的三边之长分别是15，41，52，请作出正确的选择：（1） A 的面积大于B 的面积； （2） B 的面积大于A 的面积； （3） A 的面积同B 的面积相等。
边长为13，37，40，的三角形，半周长p 1=45，则240576005832451==⨯⨯⨯=S ； 边长为15，41，52，的三角形，半周长p 2=54，则2345475621339542==⨯⨯⨯=S 。
岂不是S 1比S 2反而要大一些呢？21岁因死于爱情决斗的天才数学家伽罗华说过一句名言：“你们可以不相信上帝，但是不能不相信数学！”下面请我们重温海伦-----秦九韶的研究历程： 在⊿ABC 中（如图），记AB=c ，BC=a ，AC=b 。
作AD ⊥BC ，垂足为D ，令BD=x ，则CD=a-x ，A D=h ，由勾股定理得2222)(x a b x c --=-可得ab c a x 2222-+=，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+-=a b c a c a b c a c a b c a c h 22)2(22222222222=()[]()[]222221c a b b c a a---+=a21()()()()a c b c b a b c a c b a -+-+-+++令p c b a 2=++，则a p a c b 22-=-+，b p b c a 22-=-+，c p c b a 22-=-+ 故S 三角形面积=21=ah 21a a21()()()()a c b c b a b c a c b a -+-+-+++=()()()c p b p a p p 222222241---))()((c p b p a p p ---=其实利用S 三角形面积=C ab sin 21， ab c b a CosC 2222-+=，122=+C Cos C Sin ，也能导出海伦-----秦九韶公式。
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学九年级数学上册 第一章《反比例函数》复习教案 浙教版
教 学过程设 计正比例函数y=kx(k ≠0) xky =(k 为常数，且k ≠0) 关系式K ＞0K ＜0K ＞0K ＜0图象x y 0xy性质 图象经过点 ，与第 象限。
y 随着x 的增大而 。
图象经过点 ，与第 象限。
y 随着x 的增大而 。
双曲线的两个分支分别位于第 象限；在 ，y 随着x 的增大而 。
双曲线的两个分支分别位于第 象限；在 ，y 随着x 的增大而 。
5、反比例函数的应用找出具有反比关系的两个量设出函数关系式实际问题两个量的一对具体值确定函数关系式函数图像上的两个点 确定函数图象一．知识回顾 1、什么是反比例函数？2、你能回顾总结一下反比例函数的图像性质特征吗？与同伴交流。
二、练一练1 、反比例函数y=-x2的图象是，分布在第象限，在每个象限内， y 都随x 的增大而；若 p1 (x1 , y1)、p2 (x2 , y2) 都在第二象限且x1<x2 , 则y 1 y 2。
3、已知反比例函数 ，若X1 <x2 ,其对应值y1,y2 的大小关系是 114、如图在坐标系中，直线y=x+ k 与双曲线 xky =在第一象限交与点A ， 与x 轴交于点C ，AB 垂直x 轴，垂足为B ，且S △AOB ＝1 1）求两个函数解析式 2）求△ABC 的面积5、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y (m)是面条的粗细(橫截面积)s(㎜2)的反比例函数，其图象如图所示。
(1)写出y 与s 的函数关系式；(2)求当面条粗1.6㎜2时，面条的总长度是多少？3·P(4,32)204060801001245Y /ms/㎜2o6、已知反比例函数x k y =的图象经过点)21,4( ，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B(2，m)，求平移后的一次函数的图象与x 轴的交点坐标。
7、已知反比例函数ky x=的图像与一次函数y=kx+m 的图像相交于点A （2，1），另一个交点B 的 纵坐标为－４，（1）分别求出这两个函数的解析式； （2）当x 取什么X 围时，反比例函数值大于0；（3）当x 取什么X 围时，反比例函数值大于一次函数的值。
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学中考数学复习《综合代数》学案(无答案) 浙教版
2．已知a ，b ，c 为证书，满足下列条件 32a b c ++=…………①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=…………② 说明：以,,a b c 为三边长的三角形可构成以个直角三角形. 3．设△是整系数二次方程20ax bx c ++=的判别式，（1）4，5，6，7，8五个数值中，哪几个能作为判别式△的值？分别写出一个相应的二次方程；（2）请你从中导出一般规律——一切整数中怎样的整数值不能作为△的值，并给出理由. 4．设抛物线25(21)24y x a x a =++++的图像与x 轴只有一个交点. （1）求a 的值；（2）求186323a a -+.5．已知二次函数2222(0)y x mx m m =--≠的图像与x 轴交于点A ，B ，它的顶点在以AB 为直径的圆上（1）证明：A ，B 是x 轴上两个不同的交点； （2）求二次函数的解析式；（3）设以AB 为直径的圆与y 轴交于点C ，D ，求弦CD 的长.6．求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数21()f x x ax b n=++对任意整数x ，f(x)都是整数. 7．若干个1与2排成一行1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，… 规则是：第1个数是1，第2个数是2，第3个数是1一般地，先写一行1，再在第k 与第1+k 个1之间插入k 个2（k ＝1，2，…）试问：（1）第2010个数是1还是2？ （2）前2010个数的和是多少？（3）前2010个数两两乘积的和是多少？8．在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标： （1）直线32+-=x y 通过这样的点；（2）不论m 取何值，抛物线)832()32(2---+=m x m mx y 都不通过这样的点.9．设实数a 、b 、x 和y 满足3=+by ax ，722=+by ax ，1633=+by ax ，4244=+by ax ，求55by ax +的值.10．求实数x 、y 的值，使得222)62()3()1(-++-++-y x y x y 达到最小值. 11．已知a 、b 、c 为实数，ac ＜0，且0532=++c b a ，求证：一元二次方程02=++c bx ax 有大于43而小于1的根.12. 已知二次函数y=x 2+px+q 的图象与x 轴交于不同的两点A 、B ，顶点为C ，且三角形ABC 的面积S △ABC ≦1（1）求p 2-4q 的取值范围；（2）如果p 、q 分别为一个两位数的十位数字与个位数字，求出所有这样的两位数.13．有18支球队进行单循环比赛，每个参赛队同其他各队都进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b 分别表示第i (i =1，2，…，18)支球队在整个赛程中胜与负的局数求证：22222212181218......a a a b b b +++=+++.14．已知有6个互不相同的正整数126,,a a a ，，且126a a a <<<，从这6个数中任意取出3个数，分别设为,i j k a a a ， ，其中i j k <<记123(,,)i j kf i j k a a a =++ . 证明：一定存在3个不同的数组(,,)i j k ，其中16i j k ≤<<≤，使得对应着的3个(,,)f i j k 两两之差的绝对值都小于0.5.15．整数a 使得关于x ，y 的方程组2223234x y a b xy b a b -=-⎧⎨=-++⎩对于每一个实数b 总有实数解，求整数a 的值.16． 已知n 个正整数12,,...,n x x x 满足12...2008n x x x +++=，求这n 个正整数乘积12....n x x x 的最大值.17．证明不存在正整数a 、b ，满足等式4(1)(3)a a b b +=+. 18．如果正实数a 、b 、c 满足2(),a b b c =+ 2()b c c a =+求证：111a b c+=. 19． 已知实数x 、y 、z 满足0x y z w ≥≥≥≥，且5436100x y z w +++=，求x y z w +++的最大值和最小值.20．已知12,,...,n a a a 都是正数对实数12,,...,n b b b 和12,,...,n c c c 是满足2i i i a c b >(1,2,...,)i n =求证：2121212(...)(...)(...)n n n a a a c c c b b b ++++++≥+++.21． 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式1637439n k n k -<<+若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立，求所有符合条件的正整数n 中的最大值和最小值. 22．二次函数243y x x =-+的顶点为P ，过点37(,)24-的直线AB 与抛物线相切，且直线AB 经过第一、三、四象限，与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，求P 到直线AB 的距离.23．设m ，n 为整数，且m ≠2，如果对于一切实数t ，二次函数2(3)3y x mt x mt =+--的图像与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求m ，n 的值.24．已知抛物线2y x =与动直线y=（2t -1）x-c 有公共点（11,x y ）、（22,x y ），且2221223x x t t +=+-（1）求t 的取值范围；（2）求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.25．（1）证明：由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数； （2）试说明，存在最左边2009位都是1的形如200911111***个的自然数（其中*代表阿拉伯数码）是完全平方数.。
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学七年级数学上册 2.12.2 有理
2.1-2.2有理数加减法复习（2）一、计算（1）（-52）-（-53） （2）(-1)-(+121)（3）4.2-5.7; （4）152-(-2.7)(5)0-(-74) (6) (-21)-(-21)（7）（-7）+（+10）+（-1）+（-2）（8）（-32）-（+21）-（-65）-（-31）（9）（-831）-（+12）-（-7021）-（-831）（10）)435()41()813()25.0(-+-+-++（11）1121153483737---+（12）2.15)3.2(2.73.12---+-（13）121112242123727⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(14) )532()57()323(6.8324-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+(15) 21211)5.2(212--+---（16）)43315()312(213-------二、文字题1.下列语句中，正确的是（ ）A.不存在最小的自然数B.不存在最小的正有理数C.存在最大的正有理数D.存在最小的负有理数2.在数轴上表示的数8与－2这两个点之间的距离是 （ ）A 、6B 、10C 、-10 D-63.已知数m 和n ，满足m 为正数，n 为负数，则m ，m-n ，m+n 的大小关系是（） A. m>m-n>m+nB. m+n>m>m-nC. m-n>m+n>mD. m-n>m>m+n4.下面结论正确的有（ ）（1）两个有理数相加，和一定大于每一个加数；（2）一个正数与一个负数相加得正数；（3）两个负数和的绝对值一定等于他们绝对值的和；（4）两个正数相加，和为 正数；（5）两个负数相加，绝对值相减；（6）正数加负数，其和一定等于0A.0个B.1个C.2个D.3个4.把下列各数填在相应的大括号里： ＋12，－6，0.54，7，0，3.14，200%,3万，－124，3.4365，－413，－2.543。
浙江省绍兴县杨汛桥镇七年级数学上册《一元一次方程》学案(无答案) 北师大版
浙江省绍兴县杨汛桥镇2012年秋七年级数学上册《一元一次方程》学案（无答案） 北师大版一、合作学习1．下潜过程中， “蛟龙”号的的速度为每分钟40米，如果“蛟龙”号以这样的速度匀速下潜，那么它坐底7020米需要多少时间？设它坐底7020米需要t 分钟，可列出方程： ；2．北京时间7点钟，“蛟龙”号下潜到3500米深度，那么它还需要下潜多少米才能达到7020米？设它还需要下潜x 米，可列出方程： ；3. 很凑巧，老师与叶聪同岁，如果你今年12岁了，那么我们三人的平均年龄是26岁，你知道叶聪今年几岁了吗？设叶聪今年x 岁，可列出方程： 。
4.找出上述三个方程的共同特点;并归纳一元一次方程的概念。
二、小试身手1.下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？（1）5x=0 （2）1+3x（3）3x 2+5x-6=0 （4）x+y=5 （5） （6）3m+2=1–m 2、请任意写出一个一元一次方程三、变式练习，巩固概念1、第一关：x k-1+21=0是关于x 的一元一次方程，则k=______________2、第二关：x ︱k ︱+21=0是关于x 的一元一次方程，则k=______________3、第三关：（k-1）x︱k ︱+21=0是关于x 的一元一次方程，则k=______________ 4、第四关：(k+2)x 2+kx+21=0是关于x 的一元一次方程，则k=______________四、尝试检验方程的根 请填写下表，然后归纳方程的解的定义31 3233 34 35 x x x 461=+263212=+x试一试1、请填写下表，然后说出方程4x-6=x 的解x-1 0 1 2 3 4 4x-62、练一练：判断下列 x 的值是不是方程3x=4x+5的解（1）x = 3 （2）x = -53、请写出一个一元一次方程，使它的解为x=-24、若方程2x+a=7的解是x=0.5，则a= 。
五、课堂小结。
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令鬼神肃然起敬的公式
令鬼神肃然起敬的公式
批评某人笨得不可救药时，经常会说：“他老是犯常识性的错误。
”那么，如果时时刻刻遵循常识的教导，难道就不会犯错误了吗？
下面给出两个趣味问题（做这则游戏时，尽量不要计算，完全通过自己的直觉和常识说出答案，为此我限定每题思考时间30秒）
问题1 今有两个三角形，三角形A 的边长是5，5，6，三角形B 的边长是5，5，8。
请问：它们的面积相等不相等？
著名的海伦-----秦九韶公式，前者是古希腊数学家，后者是我国宋朝的学者。
两人各自独立地研究出了这个重要的三角形面积公式：S 三角形面积))()((c p b p a p p ---=，其中 )(2
1c b a p ++=，称为半周长。
不难算出 1214423381==⨯⨯⨯=S ； 1214414492==⨯⨯⨯=S 。
问题2 A 三角形的三边之长分别是13，37，40，B 三角形的三边之长分别是15，41，52，请作出正确的选择：
（1） A 的面积大于B 的面积；
（2） B 的面积大于A 的面积；
（3） A 的面积同B 的面积相等。
边长为13，37，40，的三角形，半周长p 1=45，则240576005832451==⨯⨯⨯=S ； 边长为15，41，52，的三角形，半周长p 2=54，则2345475621339542==⨯⨯⨯=S 。
岂不是S 1比S 2反而要大一些呢？
21岁因死于爱情决斗的天才数学家伽罗华说过一句名言：“你们可以不相信上帝，但是不能不相信数学！”
下面请我们重温海伦-----秦九韶的研究历程：
在⊿ABC 中（如图），记AB=c ， BC=a ，AC=b 。
作AD ⊥BC ，垂足为D ，令BD=x ，则CD=a-x ，
AD=h ，由勾股定理得2
222)(x a b x c --=-可得a b c a x 22
22-+=，所以
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+-=a b c a c a b c a c a b c a c h 22)2(2222
2222
222
=()[]()[]222221
c a b b c a a
---+ =a 21
()()()()a c b c b a b c a c b a -+-+-+++
令p c b a 2=++，则a p a c b 22-=-+，b p b c a 22-=-+，c p c b a 22-=-+ 故S 三角形面积=
21=ah 21a a 21()()()()a c b c b a b c a c b a -+-+-+++ =()()()c p b p a p p 22222224
1---))()((c p b p a p p ---= 其实利用S 三角形面积=C ab sin 21， ab
c b a CosC 22
22-+=，122=+C Cos C Sin ，也能导出海伦-----秦九韶公式。
下面一个问题供老师们思考：如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4，MA=1， MB ＞1。
以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成⊿ABC,设AB=x 。
（1） 求x 的取值范围；
（2） 若⊿ABC 为直角三角形，求x 的值；
（3） 探究：⊿ABC 的最大面积是多少？（2009年嘉兴市中考数学试题）
a-x x
C B C B A N M
设AB=x ，则BN=BC=4-1-x=3-x ，在⊿ABC 中的半周长p=2。
海伦-----秦九韶公式得
S 三角形面积))()((c p b p a p p ---==()()()322122-+--x x =4622-+-x x
当23)2(26=-⨯-=x 时，S 三角形面积达到最大，最大面积为 2
2=S 。