线性代数试题A卷和标准答案2016.6

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《线性代数》2016-2017-2-A卷答案

2016～2017学年第二学期《线性代数A 》课程期末考试卷A 卷考核方式：闭卷考试日期：20 年月适用专业、班级：一. 填空题 (每小题3分，共15分)1. 排列()()12321n n n --的逆序数为(2)(1)2n n -- 2. 向量组()()()123,0,,,,0,0,,TTTa cbc a b ααα===线性相关，则a,b,c 应满足 abc=03. ,A B 为三阶方阵，1,3,2A B ==则12T B A -= 484. 若齐次线性方程组1232312320250320x x x x x x x kx ++=⎧⎪+=⎨⎪--+=⎩有非零解，则k=___7___5. 设4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为11111,,,,B E 2345--=则__24__二. 选择题（每小题3分，共15分）.1. 若11121321222331323312a a a D a a a a a a ==，则11131112121232122313331322 22 22 2a a a a D a a a a a a a a -=-=-( C ) （A ） 4 （B ） 4- （C ）2 （D ）2-.2. 设,A B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充要条件是( D ) （A ）A 可逆. （B ）B 可逆（C ）AB 0≠ （D ）AB BA =3. A 为m 行n 列矩阵，A 的n 个列向量线性无关，则r(A)（ D ）（A ）>m （B ）<n （C ）=m （D ）=n 4. 向量组12,,,s ααα线性无关，且可由向量组12,,,t βββ线性表示则必有（A ）t s ≤ （B ）t s ≥ （C ）t s < （D ）t s > （ B ）5.2λ=是非奇异矩阵A 的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭有一个特征值为( B )（A ）43 （B ）34 （C ）12 （D ）14三. 计算下列行列式的值（每小题6分，共12分）1.1 3 5 73 5 7 1 5 7 1 3 7 1 3 5解:1 3 5 71 3 5 7 1253 5 7 1 0 -4 -8 -20128134 5 7 1 3 0 -8 -24 -3258117 1 3 50 -20 -32 -44==-12512801120480214=--=--2.1 3 3 3 3 32 33 33 3 3 3 3 3 3 3 1 33 3 33 nn n- 解：1 3 3 3 32 0 0 0 03 2 33 3 0 -1 0 0 03 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 30 0 0 3 3 33 nn n-=- 4 00 0 00 3nn n --2 0 0 0 0 0 -1 0 0 036(3)!0 0 0 4 00 0 0 0 3n n n -==--- 四给定向量组()()()()12341, 1, 0, 4,2, 1, 5, 6,1, 2, 5, 2,1,1, 2, 0,αααα=-===--()53,0, 7, 14α= 求它的一个极大无关组，其余向量用此极大无关组线性表示。

线性代数(A卷考题及答案)

（ 2008 至 2009 学年第一学期）课程名称：线性代数考试时间： 110 分钟课程代码： 7100500 试卷总分： 100 分考试形式：闭卷学生自带普通计算器: 不允许1、设A 是三阶方阵，且det(A )=-1,则det(-2A )=_______.2、设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100120001，则A -1=_______3、等价的线性无关向量组所含向量的个数_______4、设实对称矩阵11211203132A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是二次型123(,,)f x x x 的矩阵，则二次型123(,,)f x x x 的一般表示式为_______.5、设A 为实对称矩阵，()11,1,3T α=与()23,2,Ta α=分别是属于A 的相异特征值1λ与2λ的特征向量，则a =_______.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列等式中正确的是（）A ．()222A B A AB BA B +=+++B ．()TT TAB A B =C ．()()A B A B A B -+=-22D ．()33A A A A -=-22．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（）A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 3．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（）A ．210λ B ．21λ C ．20λ D ．2λ 4．二次型22221234123412(,,,)542f x x x x x x x x x x =++-+的秩为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．设1ξ，2ξ是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（） A ．1ξ+2ξ是λ对应的特征向量 B ．21ξ是λ对应的特征向量 C ．1ξ，2ξ一定线性相关 D ．1ξ，2ξ一定线性无关三、（8分）(本大题共两小题各4分) 计算行列式：(1)2100121001210012=D (2)1200012000122001D =. 四、（6分）101210325A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求1()E A -- 五、(12分)（本大题共两小题各6分）（1）设矩阵121231041a A a b ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，求,a b（2）已知矩阵20000101x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵20000001y⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，求 ,.x y 六、（10分）。

(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。

设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ）（A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。

如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。

如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。

设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于；2。

设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解，那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。

设A 为正交矩阵,则A = ；6。

设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：3的一组标准正交基，=___________《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）1、 256；2、 132465798⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭； 3、112211221122000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 4、； 5、 4； 6、 2 。

三．解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法：231211201012010*******121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪−−→--−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭―――――（6分）所以1278144103X A B -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭.―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得：1234511143111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111431212011310113100000000000000000000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩12345{,,,,}ααααα＝2（8分）且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=--――――（10分）五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−→------- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭(分)(1) 当10,(2)(1)0,p p p -≠-+-≠且时即1,2,p p ≠≠-且时系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分） (2) 当1,p =时系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分）(3) 当2,p =-时此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为1122112211221211033301112111033300001011011180000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎪−−→------ ⎪ ⎪⎝⎭（分）故原方程组与下列方程组同解:132311x x x x -=-⎧⎨-=-⎩ 令30,x =可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0)Tξ=--;它对应的齐次线性方程组13230x x x x -=⎧⎨-=⎩的基础解系含有一个元素,令31,x =可得1(1,1,1)T ξ=为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为001101,,.k k k k ξξ+这里为任意常数――――（12分）六．解：（1）由于A的特征多项式2124||222(3)(6)421I A λλλλλλ----=-+-=+----故A 的特征值为13λ=-（二重特征值），36λ=。

线性代数2016-2017-1A卷答案

1
1 2 3 4
0 1 1 1
2 0 1
1 1
1 1

~

0 0
3 1 0
1 5 5 5
0 1 1 1
2 0

1
5 5 5
1 1 1

~

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1 0 0
1 5
1 5 0
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5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1 5

----6 分
0 0
0 0

x1
x2 x3 x4

1 5
x3

x4
1 5
x3

x4
1x3 0x4
0x3 1x4
1 5
1 5
0
0
,方程组的通解为：

x1 x2 x3 x4

证明因为 A, B 均是 n 阶正交矩阵，所以 AAT AT A E , BBT BT B E
A B AE B ABT B B (ABT E)B ,----------------------------------3 分 ( ABT AAT )B A(B A)T B

10分
0 0 1 1/2 0 1
1/ 2 0 1
x1 x2 2x4 0
19.
求线性方程组
32xx11

2x2 3x2

x3 x3

x4 x4

完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

线性代数试题(附参考答案)

《线性代数》课程试题（附答案）一、填空。

（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 22.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ，则=-1A3.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A 4.设CB A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B 5.矩阵A 可逆的充要条件为6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂ （填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有个解向量。

二、计算行列式的值。

（10分）321103221033210=D三、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求1-A 。

（10分）四、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112A ，求矩阵X ，使E A AX 2+=。

（10分）五、问K 取什么值时下列向量组线性相关（10分） T k )1,2,(1=α，T k )0,,2(2=α，T )1,1,1(3-=α。

六、设A ,B 为n 阶矩阵且2B B =，E B A +=，证明A 可逆并求其逆（6分）七、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A ，求矩阵A 的列向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示。

（15分）八、求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。

（15分）《线性代数》课程试题参考答案一、填空。

（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 2482.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003020100A ，则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001021031003.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 4.设C B A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B C A 1- 5.矩阵A 可逆的充要条件为0≠A6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为n A r <)(7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂线性无关（填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有r n -个解向量。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案**线性代数考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可交换D. 不可交换答案：B2. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. s ≤ nB. s > nC. s ≥ nD. s < n答案：A4. 矩阵A的特征值是（）A. 矩阵A的行最简形式B. 矩阵A的列最简形式C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λE|=0的λ值答案：D5. 矩阵A和B相等的充要条件是（）A. A和B的对应元素相等B. A和B的行向量组相同C. A和B的列向量组相同D. A和B的秩相等答案：A6. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）A. |A|≠0B. A的秩为nC. A的行列式为1D. A的转置矩阵可逆答案：AA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：C8. 向量组α1，α2，…，αn线性相关，则（）A. 存在不全为0的k个向量，使得k个向量线性组合等于0B. 存在不全为0的n个向量，使得n个向量线性组合等于0C. 存在不全为0的n+1个向量，使得n+1个向量线性组合等于0D. 存在不全为0的m个向量，使得m个向量线性组合等于0，其中1≤m≤n答案：DA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：B10. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|= _ 。

线性代数试题A答案[大全5篇]

线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。

线性代数A卷试卷+答案

线性代数A卷试卷+答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1《线性代数》期末考试题A 题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分） 1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A =（A ）A E ；（B ）A ；（C ）n A A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

2016线性代数与解析几何期末试卷(A)含参考答案

001⎝⎭⎝⎭010(A ) 12PP (B ) 112P P - (C ) 21PP (D ) 121P P - 2．设A 是3阶矩阵，秩()2r A =，且21,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解向量，则0AX =的一个基础解系是（ D ）(A ) 1α (B ) 2α (C ) 12αα+ (D ) 12αα-3．直线1:121x y z L ==-和⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L 的夹角为（ B ） (A )2π (B )3π (C )4π (D )6π4．若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（ C ）(A )α必可由,,βγδ线性表示 (B ) α必不可由,,βγδ线性表示(C ) δ必可由,,αβγ线性表示 (D ) δ必不可由,,αβγ线性表示 5．n 阶实对称矩阵A 和B 相似的充分必要条件是（ D ）（A ）A 与B 都有n 个线性无关的特征向量（B ）A 与B 的秩相等（C ）A 与B 的主对角线上的元素的和相等（D ）A 与B 的n 个特征值均相等三、(本题10分) 设n 阶矩阵A 和B 满足2A B AB +=，(1)证明：2A I -可逆，其中I 为单位阵；(2)已知110110002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A .(1)证2A B AB +=,222AB B A I I ∴--+=, (2)()2A I B I I --=(2)2B IA I I -∴-⋅=，所以2A I -可逆. ……..4分 (2)2A B AB +=，()2A B I B ∴-=，01010110001B I -=-=≠，B I ∴-可逆，且12()A B B I -=-……3分()B I I -=010100100010001001⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭→100010010100001001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，11100102202()2110100220002001004A B B I ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪∴=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……3分四、(本题10分) 设向量组12(1,3,1,1),(1,1,1,3)T T αα=-=---，3(5,8,2,9)T α=-，4(1,1,3,1)T α=-, (1) 求向量组的秩；(2) 求它的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示其余向量.解12343115111511002318102740170(,,,2112300040010139100000000αααα⎛⎫----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等行变换初等行变换)=1234(,,,R αααα∴)=3，向量组124,,ααα是一个极大线性无关组，3123722ααα=-五、(本题10分) 求过点(1,1,2)M -与平面:32210x y z π+--=平行, 且与直线11:123x y zL +-==相交的直线方程. 解设所求直线(,)l M s ， {,,}s a b c =已知平面π的法向量{3,2,2}n =-，由题意3220a b c +-= ………(1) ……3分已知直线1(,)L P s ，(1,1,0)P -，1{1,2,3}s =，由题意1[,,]0PM s s =，得 5230a b c --+= ………(2) ……3分由(1),(2)得 ,22ab c a ==，……2分取{2,1,4}s =，所求直线为112214x y z -+-== ……2分另解先求出过M 点平行于已知平面的平面与已知直线的交点(3,3,6)N ---六、(本题12分) 设1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知方程组AX b =有无穷多解，(1)求,a λ的值；(2)求方程组AX b =的通解. 解 (1)因为AX b =有无穷多解，所以(,)()3r A b r A =< ……2分由0A =得 2(1)(1)0λλ--=，所以1λ=± ……3分当1λ=时，111(,)00011111a A b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭→11100010001a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭，(,)()r A b r A ≠，故1λ≠……2分当1λ=-时，111(,)02011111a A b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭→11102010002a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭，(,)()r A b r A =，2a ∴=- ……2分(2) 1λ=-，2a =-时，(,)A b →31012111210201010200000000⎛⎫----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， A X b =的通解为31(1,0,1)(,,0)22TTx k -=+ ……3分七、(本题12分) 设二次型22212312313(,,)224f x x x x x x x x =+--，求一个正交变换112233x y x Q y x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将二次型123(,,)f x x x 化成标准形，并指出123(,,)1f x x x =代表的二次曲面的名称.解二次型的矩阵102020202A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 令0A I λ-=，即102020022λλλ---=---，得 1232,3λλλ===- ……4分对122λλ==，解方程(2)0A I x -=，其中1021022000000204000A I --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得()12,0,1Tξ=-， ()20,1,0Tξ=，两者正交.对33λ=-，解方程(3)0A I x +=，其中402100.53050010201000A I --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得()31,0,2Tξ=， ……4分由于123,,ξξξ两两正交，取0001230(,,)0100Q ξξξ== ⎪， ……2分则正交变换112233x y x Q y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将123(,,)f x x x 化成标准形222123223y y y +-……1分123(,,)1f x x x =代表单叶双曲面. ……1分八、（本题6分）设12,λλ为矩阵A 的不同特征值，对应12,λλ的特征向量分别为12,αα，试证明：112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是20λ≠. 证由题意12121122()A A A ααααλαλα+=+=+12λλ≠， 12,αα∴线性无关 ……2分112,()A ααα+线性无关⇔11212()0k k A ααα++=当且仅当120k k == 成立⇔1211222()0k k k λαλα++=当且仅当120k k == 成立⇔121220k k k λλ+=⎧⎨=⎩仅有零解⇔12100λλ≠⇔20λ≠ ……4分。

2015-2016(2)线性代数A答案

浙江农林大学暨阳学院2015-2016学年第二学期考试卷（A 卷）《线性代数》参考答案及评分标准一、填空题(本大题共9个空格，每空3分，共27分) 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、排列857496132的逆序数为 27 .2、四阶行列式D 第2列元素依次为1,2,2,3-，余子式依次为1,2-5,3，，则D ＝ 5 .3、设向量组A ：1(1,1,2)α=- 2(2,4,1)α=- 3(2,0,1)α=- 4(3,1,1)α=-, 则向量组为线性相关 .（填“线性相关”或“线性无关”）4、设1232312332(,,), (3,32,)A B αααααααααα==--+-，如果 |A | = 6, 那么|B | = _ 36 __.5、设A 是3阶矩阵，且12A =-，*A 是A 的伴随矩阵，则1*(2)3A A --= -16 .6、设矩阵410230002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,E 位3阶单位阵，则1)(--E A = 1102413024001⎛⎫-⎪⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭. 7、设152002100,00230011A A -⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭则 -1 _.8、已知12101332023A λ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,且A 的秩为2，则λ= -2 . 9、设1,2,3ηηη是方程组Ax ＝b 的解，R(A)＝2，1(1,3,0),T η= 232(5,3,1)T ηη+=则方程组的通解为 123601x c c R -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.二、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、下列各项中（ B ）为某五阶行列式中带有负号的项A.1344222155a a a a a ;B.5214432531a a a a a ;C.5415433221a a a a a ;D.1431224554a a a a a .2、已知3112513420111533A ---=---，代数余子式为ij ij a A ，则31323334533A A A A -+-=（ C ）A. 2;B. -3;C. 0;D. 4.3、A,B,C 为n 阶方阵，则下列各式中正确的是（ A ）A.11T T A A --=（）（） ; B. AB = 0, 则A = 0 或 B = 0 ; C. AB = BA ; D.（A+B ）（A-B ）=A 2-B 2. 4、设n 阶方阵C B,A,满足关系式 E ABC =，则必有( D )．A.E ACB =；B.E CBA =；C.E BAC =；D.E BCA =．5. 如果D=333231232221131211a a a a a a a a a 1=，则D 1=111213313233212223323232a a a a a a a a a =（ B ） A. 3 B. -6 C. 6 D. -36、设A 为n 阶方阵，且052=-+E A A ,则1)2(-+E A 为（ A ）A ．)(31E A -B ．E A +C ．)(31E A + D ．E A -7、向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是（ C ）A 、s ααα,,,21 均为非零向量；B 、 s ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例；C 、s ααα,,,21 中任意一个向量不能被其余向量线性表示；D 、s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关.8、设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩()R A =（ D ）A ．小于m B.等于m C. 小于n D. 等于n 三、（本大题8分）计算4阶行列式的值2151130602121476D ---=-- 解：原式1277212135712772120603113570,22421----=-------r r r r ……………………（4分）272733277013532,22321=---=-------++c c c c ……………………（8分）四、（本大题12分）矩阵033110123A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且2AB A B =+，求B .解：由B A AB 2+=得A B E A =-)2( ……………………（2分）因为,021210113322≠=---=-E A 故)2(E A -可逆，且A E A B 1)2(--= ……………………（5分）()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-011100321010330001321121011011330332,2r r A E A （11分）所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330B ……………………（12分）五、（本大题14分）设向量组A ：1234510122012112144602422,,,,,ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组的一个极大无关组；（3）并将其余向量用这个极大无关组线性表示出来。

(完整版)线性代数试题套卷及答案

（线性代数）（ A 卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。

3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。

4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。

5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝，a ＝，b ＝。

线性代数试卷及答案3套

线性代数试卷及答案3套线性代数A卷一、填空题（共6小题，满分18分）1.设α=(1,0,-1,2),β=(0,1,0,1)，令A＝αTβ，则A4 = .2.设矩阵且BA=B+E，则B-1= .3.设α1,α2是2维的列向量,令A=(2α1+α2,α1-α2),B=(α1,α2),若|A|=－6, 则|B|= .4.设A为n阶方阵，且A2=A，则R(A)+ R(A- E) = .5.设α1=(1,1,1),α2=(a,0,b),α3=(1,2,3)线性相关，则a与b应满足的关系式为.6. 设α+2β=(2,1,t,-1),2α-β=(-1,2,0,1),且α与β正交，则t= .二、单项选择题（共6小题，满分18分）1. 设A为n阶方阵，且AA T= E，|A|＜0,则A+ E为[ ].(A) 非奇异矩阵，(B) 奇异矩阵，(C)正交矩阵，(D)正定矩阵.2.设A是4×3矩阵，且R(A)=2，若则R(AB)为[ ].(A) 2，(B) 3，(C)4，(D) 0.3. 设A为n阶可逆矩阵，k≠0为常数，则(k A)*为[ ].(A) k A*，(B) k n-1 A*，(C) k n A*，(D) k n A.4. 设向量组α1,α2,α3线性无关，则下面向量组线性相关的是[ ].(A) α1－α2,α2－α3,α3－α1，(B) α1+α2,α2+α3,α3+α1，(C)α1－2α2,α2－2α3,α3－2α1，(D) α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1.5.设矩阵A n×m，B m×n，且n＜m，若AB＝E，则下面结论正确的是[ ].(A) A的行向量组线性相关，(B) A的列向量组线性无关，(C) 线性方程组Bx＝0仅有零解，(D) 线性方程组Bx＝0必有非零解.6.设3阶方阵A与B相似，且A的特征值为，则tr(B-1- E)为[ ].(A) 2，(B) 3，(C)4，(D) 6.三、解答题（共6小题，满分42分）1.设A为4阶方阵，A*是A的伴随矩阵，且|A|＝0，而A*≠O.α1,α2,α3是线性方程组Ax＝b的三个解向量，其中，求线性方程组Ax＝b的通解.2.设向量组，问a为何值时，向量组α1,α2,α3,α4线性相关，并求此时的极大无关组.3.求一组非零向量α1,α2与已知向量α3＝(1,1,1)T正交，并把它们化成R3的一个标准正交基.4.设矩阵，且A*相似于B，其中A*是A的伴随矩阵，求x，y.5.设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12，求a，b.6.设V是二阶实对称矩阵全体的集合，对于通常矩阵的加法与数乘运算所构成的实数域R上的线性空间.且是V的一个基，试证也是V的一个基.并求V中的向量在该组基下的坐标.四、（本题满分11分）已知齐次线性方程组(Ⅰ)(Ⅱ)同解，求a，b，c的值.五、（本题满分11分）设矩阵3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3，且R(A)＝1.①求A的特征值与特征向量；②求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使P-1AP=Λ；③求A及.线性代数B卷一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设4阶矩阵A的行列式|A| =3，则行列式．2．设A为3阶正交矩阵，且A T= -A*，其中A*是A的伴随矩阵，则|A| = ．3．设α1,α2是n(n3)元齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则R(A)= ．4．设线性空间R2的两个基A：α1=(1,0)T,α2=(1,1)T；B：β1=(1,1)T，β2=(-1,1)T，则A组基到B组基的过渡矩阵为．5．设3阶矩阵A的特征值为1、3、5，则A的迹tr A= ．6．若二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3正定，则t满足．二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设A为m×n矩阵.B为n×m矩阵，则[ ]．(A)当时，必有|AB|≠0；(B)当时，必有|AB|=0；(C)当时，必有|AB|≠0；(D)当时，必有|AB|=0．2．设α1,α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可为[ ].(A)α1-α2,α2-α3，α3-α1；(B)与α1,α2，α3等秩的一个向量组；(C)α1,α1+α2，α1+α2+α3；(D)与α1,α2，α3等价的一个向量组.3．设A为n阶非奇异阵(n2)，A*是A的伴随阵，则[ ]．(A) (A*)*= |A|n -2A；(B) (A*)*=|A|n+2A；(C) (A*)*= |A|n -1A； (D) (A*)*=|A|n+1A.4．设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，R(A)=r，矩阵B=AC 的秩为r1，则[ ]．(A) r >r1； (B) r<r1；< p="">(C) r与r1关系依赖与矩阵C； (D) r=r1.5．设A，B为n阶矩阵，若[ ]，则A与B合同．(A) 存在n阶可逆矩阵P、Q，且PAQ=B；(B) 存在n阶可逆矩阵P，且P-1AP= B；(C) 存在n阶正交矩阵Q，且Q-1AQ= B；(D) 存在n阶方阵C、U，且CAU= B.6．n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的[ ]．(A) 充分必要条件；(B) 充分而非必要条件；(C) 必要而非充分条件；(D) 既非充分也非必要条件.三、解答题（共5小题，每小题9分，满分45分）1. 计算4阶行列式.2．设向量组α1=(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4=(2,5,-1,4)T.(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3) 把不在极大无关组中的向量用这个极大无关组线性表示.3. 设向量α1=(1,2,1)T和α2=(1,1,2)T都是方阵A的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A2β．4．设3阶方阵A、B满足AB= 2A+B，其中求A.5. 已知线性空间R[x]3={a0+a1x+a2x2| a0,a1,a2 R}，(1) 证明1，1＋x，(1＋x)2是R[x]3的一个基；(2) 求由基1，x，x2到基1，1＋x，(1＋x)2的过渡矩阵.四、（本题满分9分）设线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)x1+3x2+3x3=a-3有公共解，求a的值和所有的公共解.五、（本题满分10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=x T Ax的秩为2，且α1=(1,0,0)T 是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.线性代数C卷一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．设A为3阶方阵，|A|=1，则| -2A|=__________.2．设A是n阶方阵，x1，x2均为线性方程组Ax=b的解，且x1≠x2，则|A|=____ ____ .3．设A为n阶可逆阵，且A2=|A|E，则A*= . 4．若n阶方阵A 与单位阵E相似，则A= .5．设4阶方阵A，R(A)=2，则R(A*)= .6. 若二次型是正定的,则t应满足.二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设A为实对称矩阵,Ax1=λ1x1,Ax2=λ2x2,且λ1≠λ2，则(x1,x2) =[ ].(A) 1；(B) -1；(C) 0；(D) 2. 2．设A、B均为n阶可逆阵，则[ ].(A) ((AB)2)-1=(B2)-1(A2)-1；(B) 存在可逆阵P、Q，使PAQ=B；(C) 存在可逆阵P, 使A=P-1BP；(D) 存在可逆阵P,使P T AP=B.，则3．设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，R(A)=r，矩阵B=AC的秩为r1 [ ].(A)r>r1；(B)r< p="">4．设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可为 [ ].(A)α1，α1+α2，α1+α2+α3；(B) 与α1，α2，α3等价的一个向量组；(C) α1-α2，α2-α3，α3-α1；(D) 与α1，α2，α3等秩的一个向组.5．向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是[ ].(A) α1，α2，…，αs都不是零向量；(B) α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关；(C) α1，α2，…，αs中任一向量都不能用其余向量线性表出；(D) α1，α2，…，αs中任意s-1个向量都线性无关.6. 如果[ ]，则A与B相似.(A) |A|=|B|； (B) R(A)=R(B)；(C) A与B有相同的特征多项式；(D) n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同.三、解答题（共5小题，每小题9分，满分45分）1.计算行列式.2.设3阶方阵A、B满足AB= 2A+B，其中求A.3. 设向量组α1=(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4=(2,5,-1,4)T.(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3) 把不在极大无关组中的向量用极大无关组线性表示.4．设矩阵，求（1）A2；（2）A n.5. 已知是矩阵的一个特征向量.(1) 试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2) 问A能否相似于对角阵？说明理由．四、（本题满分9分）设3维向量组试问：(1) 当λ取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法唯一；(2) 当λ取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，但表示法不唯一；(3) 当λ取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示．五、（本题满分10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=x T Ax的秩为2，且α1=(1,0,0)T 是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.<></r1；<>。

2015-2016-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准[详]

所以，即和正交；----------3分
考虑，即，等式两边同时左乘，得
，由此得：，即只有零解，
所以，可逆. ----------7分
2.设矩阵满足，，试求出的第2行的元素.
解：等式两边同时左乘得：，
整理得：，
已知，由此可求出 , ----------5分
从而可求出的第2行的元素为：1，-1, 0. ----------7分
1．5阶行列式中，项前面的符号为【负】.
2.设，是的第4行元素的代数余子式，则等于【0】.
3．设，为矩阵，且，则【2】.
4．若向量组线性相关，则【1】.
5．设是3阶实的对称矩阵，是线性方程组的解，是线性方程组的解，则常数【1】.
6．设和是3阶方阵，的3个特征值分别为，若，则行列式【-8】.
令，则可得正交变换，
二次型的标准形为： .----------14分
本题满分7分
本题得分
七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）
1.“设是阶实的反对称矩阵，则对于任何维实的列向量，和正交，且可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由.
解：该结论成立。
由于为反对称阵，则，对于任意维实的列向量，有：
4.设，则的第3行第1列的元素为【D】．
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
5．设，是使二次型正定的正整数，则必有【B】．
(A) ；(B) ；(C) ；(D)以上选项都不对.
本题满分21分
本题得分
三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)
1.若线性无关，，线性相关，求 .

线性代数习题解答2016

习题一
1. 写出相应于以下增广矩阵的线性方程组:
⎛6 5 4⎞ (1) ⎜ ⎟; ⎝ 3 4 2⎠
⎛1 2 4 1⎞ ⎜ ⎟ (3) ⎜ 4 −1 3 0 ⎟ ; ⎜ 3 2 6 5⎟ ⎝ ⎠
解 (1) ⎨
⎛5 2 1 0⎞ (2) ⎜ ⎟; ⎝ 3 −2 2 1 ⎠
⎛ 4 −3 1 2 ⎜ 3 1 −3 2 (4) ⎜ ⎜1 1 2 3 ⎜ ⎝ 3 2 3 −2 4⎞ ⎟ 6⎟ . 7⎟ ⎟ 8⎠
a = −6, b = 5.
6. 将下列矩阵化为阶梯形, 然后再化为简化阶梯形:
3 −6 6 4 −5 ⎞ ⎛0 ⎜ ⎟ 8 −5 8 9 ⎟ ; (1) ⎜ 3 −7 ⎜ 3 −9 12 −9 6 15 ⎟ ⎝ ⎠
解 (1) 首先将矩阵化为阶梯形
⎛ 1 1 −2 1 ⎜ ⎜ 2 4 −6 4 (2) ⎜ 2 −3 1 −1 ⎜ ⎝ 3 6 −9 7
5 ⎞ ⎛ 1 −3 4 −3 0 −3 ⎞ ⎜ 1 −3 ⎟ 1 −2 2 0 −7 ⎟ ⎟ → ⎜0 ⎟ ⎜0 0 0 0 1 4⎟ 1 4⎟ ⎠ ⎝ ⎠ −24 ⎞ −7 ⎟ ⎟. 4⎟ ⎠
⎛ 1 0 −2 3 0 −24 ⎞ ⎜ ⎟ 所以 ⎜ 0 1 −2 2 0 −7 ⎟ 是简化阶梯形. ⎜0 0 0 0 1 4⎟ ⎝ ⎠
1
⎛1 3 2⎞ ⎜ ⎟ (1) ⎜ 0 1 3 ⎟ ; ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 3 2⎞ ⎜ ⎟ (3) ⎜ 0 0 1 ⎟ ; ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠
⎛1 3 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ (5) ⎜ 0 0 0 1 3 ⎟ ; ⎜0 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
解
⎛ 2 4 6⎞ ⎜ ⎟ (2) ⎜ 0 3 6 ⎟ ; ⎜ 0 2 4⎟ ⎝ ⎠ ⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟ (4) ⎜ 0 1 0 ⎟ ; ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠

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