高中数学人教B版选修2-1练习：3-2-5距离(选学)a

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人教版数学高二B版选修2-1学业测评 3.距离(选学)

学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )A ．10B ．3C ．83D ．103【解析】由题意可知PA →＝(1,2，－4)．设点P 到α的距离为h ，则h ＝|PA →·n ||n |＝103. 【答案】 D2．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°，若△ABC 所在平面α外一点P 到A ，B ，C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )A ．13B ．11C ．9D ．7【解析】作PO ⊥α于点O ，连接OA ，OB ，OC ，∴PA ＝PB ＝PC ，∴OA ＝OB ＝OC ，∴O 是△ABC 的外心．∴OA ＝AB 2sin ∠BCA＝152sin 120°＝53，∴PO ＝PA 2－OA 2＝11即为所求．【答案】 B3．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( )A.6a 6 B ．3a 6 C ．3a 4D ．6a 3【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，∴DM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2， DB →＝(a ，a,0)，DA 1→＝(a,0，a )．设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ax ＋a2z ＝0，ax ＋ay ＝0，令x ＝1，则可得n ＝(1，－1，－2)． ∴d ＝|DA 1→·n ||n |＝|a －2a |6＝66a .【答案】 A4．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )【导学号：15460082】A.33 B ．1 C ． 2D ． 3【解析】如图，A 1C 1∥平面ABCD ，所以A 1C 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离，由AB 1与平面ABCD 所成的角是60°，AB ＝1，所以BB 1＝3，即点A 1到平面ABCD 的距离为 3.【答案】 D5．已知二面角α-l -β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )A ．2B ．2C ．2 3D ．4【解析】作PM ⊥β，QN ⊥α，垂足分别为M ，N .分别在平面α，β内作PE ⊥l ，QF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，如图所示，连接ME ，NF ，则ME ⊥l ，∴∠PEM 为二面角α-l -β的平面角，∴∠PEM ＝60°. 在Rt △PME 中，|PE →|＝|PM →|sin 60°＝3sin 60°＝2，同理|QF→|＝4. 又PQ→＝PE →＋EF →＋FQ →， ∴|PQ →|2＝4＋|EF →|2＋16＋2PE →·EF →＋2PE →·FQ →＋2EF →·FQ →＝20＋|EF →|2＋2×2×4cos 120°＝12＋|EF→|2. ∴当|EF →|2取最小值0时，|PQ →|2最小，此时|PQ →|＝2 3. 【答案】 C 二、填空题6．如图3-2-42，已知在60°的二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，并且AC＝1，BD＝2，AB＝5，则CD＝________.图3-2-42【解析】∵AC⊥l，BD⊥l，α-l-β为60°的二面角，∴〈CA→，DB→〉＝60°.∵AB→＝AC→＋CD→＋DB→，∴AB→2＝AC→2＋CD→2＋DB→2＋2AC→·CD→＋2AC→·DB→＋2CD→·DB→，∴52＝12＋CD→2＋4＋2·|AC→||DB→|×cos 〈AC→，DB→〉，∴CD→2＝20－2×1×2×cos 120°＝22，∴|CD→|＝22.【答案】227．在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________．【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，∴PC→＝(2,2，－2)，BC→＝(0,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·PC →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，y ＝0，取x ＝1，则n ＝(1,0,1)．又BD→＝(－2,1,0)， ∴点D 到平面PBC 的距离为|BD →·n ||n |＝ 2. 【答案】28．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．【解析】建立空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，如图所示．设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1D 1→＝0，n ·A 1E →＝0，即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(－a ，0，0)＝0，(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，－a 2＝0，∴－ax ＝0，ay －a2z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝z 2，令z ＝2，得n ＝(0,1,2)．又FD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a ，∴所求距离d ＝|FD 1→·n ||n |＝32a 5＝3510a .【答案】 3510a 三、解答题9．在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，E ，F 分别为PC ，AD 的中点．图3-2-43(1)证明：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．【解】 (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的坐标系，则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)． FP→＝(－1,0,2)，FB →＝(1,2,0)， DE→＝(0,1,1)． ∴DE→＝12FP →＋12FB →. ∴DE→∥平面PFB .又∵D ∉平面PFB ，∴DE ∥平面PFB . (2)令平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·FP →＝0，n ·FB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，x ＋2y ＝0，令x ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，z ＝1，∴法向量n ＝(2，－1,1)．又∵PE→＝(0,1，－1)， ∴d ＝|PE →·n ||n |＝|0×2－1×1－1×1|6＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63.10．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA →，DC →，DP →分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)， C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·PE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)，所以点D 到平面PEF 的距离为 d ＝|DE →·n ||n |＝|2＋1|4＋4＋9＝31717，因此，点D 到平面PEF 的距离为31717. (2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝|AE →·n ||n |＝117＝1717，所以AC 到平面PEF 的距离为1717.1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 分AC 1→的比为12，N 为BB 1的中点，则|MN |为( )A.216a B ．66a C ．156aD ．153a【解析】以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.又∵M 分AC 1→的比为12，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 【答案】 A2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离为( )A ．3B ． 3C ．33D ．13【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)， ∴EF→＝(1，－2,1)，EG →＝(2，－1，－1)，GA→＝(0，－1,0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝0，∴x ＝y ＝z ，可取n ＝(1,1,1)，∴d ＝|GA →·n ||n |＝13＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33.【答案】 C3．如图3-2-44，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，则点A 到平面SND 的距离为________.【导学号：15460083】图3-2-44【解析】建立如图的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)，D (4,1,0)，∴NS →＝(0，－2,2)，SD →＝(4,1，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∵n ·NS →＝0， n ·SD→＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2＝0，4x ＋y －2＝0，∴⎩⎨⎧x ＝14，y ＝1.∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，1.∵AS →＝(0,0,2)．∴A 到平面SND 的距离为 |n ·AS →||n |＝2334＝83333. 【答案】833334．如图3-2-45，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点，问：线段AD 上是否存在一点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32？若存在，求出AQ QD 的值；若不存在，说明理由．图3-2-45【解】在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 中点，∴PO ⊥AD .又侧面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PO ⊥平面ABCD .建立如图所示空间直角坐标系，易得A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，CP→＝(－1,0,1)，CD →＝(－1,1,0)．假设存在点Q ，使它到平面PCD 的距离为32，设Q (0，y,0)(－1≤y ≤1)，CQ→＝(－1，y,0)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎨⎧ n ·CP →＝0，n ·CD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 0＋z 0＝0，－x 0＋y 0＝0，即x 0＝y 0＝z 0，取x 0＝1，则平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．∴点Q到平面PCD的距离为d＝|CQ→·n||n|＝|－1＋y|3＝32，∴y＝－12或y＝52(舍去)．此时|AQ→|＝12，|QD→|＝32.∴存在点Q满足题意，此时AQQD ＝1 3.。

【金版优课】高二数学人教B版选修2-1练习：3-2-5距离(选学)a

03课堂效果落实1.已知A (1,3,3)，B (5,0,1)，则AB 的长度为( ) A.3 B.29 C ．7D ．3解析：因为AB →＝(4，－3，－2)，所以|AB →|＝42＋(－3)2＋(－2)2＝29. 答案：B2．已知点P ∈α，Q ∉α，PQ →＝(－1，3，6)，n ＝(0,1，2)是平面α的一个法向量，则点Q 到平面α的距离为( )A. 3 B ．3 C. 6D ．2 6解析：d ＝|PQ →·n ||n |＝3＋233＝3.答案：B3．[2014·金华高二联考]如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点B 1到平面ACD 1的距离是( )A.23aB.233aC.13aD.33a解法一：如图，连BD ，交AC于O ，连D 1O 、B 1D 交点为H ，可知DB 1⊥平面ACD 1.所以B 1H 就是点B 1到平面ACD 1的距离．所以B 1H ＝23B 1D ＝233a .解法二：建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1→]，则A (a,0,0)，C (0，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )，所以AC →＝(－a ，a,0)，AD 1→＝(－a,0，a )．设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧－ax ＋ay ＝0，－ax ＋az ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,1)．又AB 1→＝(0，a ，a )，所以d ＝|AB 1→·n ||n |＝2a 3＝233a .答案：B4．空间四点A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (3,1,0)，则点D 到平面ABC 的距离是________．解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的距离的求法．由已知得AB →＝(2，－2,1)，AC →＝(4,0,6)，设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧AB →·n ＝0，AC →·n ＝0，，即⎩⎨⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，，令x ＝3，则y ＝2，z ＝－2，所以n ＝(3,2，－2)，AD →＝(1，－2，－1)，所以点D 到平面ABC 的距离＝|AD →·n ||n |＝1717.答案：17175．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1的中点，求点D 1到平面BDE 的距离．解：如图，建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1→]，由已知B (1,1,0)，E (0,1,1)，所以DB →＝(1,1,0)，DE →＝(0,1,1)．设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(－1,1，－1)．又DD 1→＝(0,0,2)，所以d ＝|DD 1→·n ||n |＝23＝233，即点D 1到平面BDE 的距离为233.。

2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.5 距离(选学) (2).pdf

高中数学选修2-1·精品课件3.2.5　距离（选学）第三章空间向量与立体几何启动思维在平面几何中，我们曾经学习过距离的求法.在平面直角坐标系中，我们利用坐标和直线的方程研究了点到点、点到直线、直线到直线的距离，在立体几何中，还有那些距离问题？它们的定义是怎样的？如何利用向量进行求解呢？走进教材1.距离的概念：在几何学中，我们经常碰到要计算两个图形之间的距离.一个图形内的任一点与另一个图形内的任一点的距离中的最小距离，叫做图形与图形之间的距离.计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量的最基本的课题.计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.2.点到平面的距离过平面α外一点P有惟一的一条直线P A⊥α，设A是垂足，B是α内异于A的任一点，由△P AB是直角三角形可得P A<PB，这就是说，连结平面α外一点P与α内一点的所有线段中，垂线段P A最短.一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到这个平面的距离.PA3.直线与平面的距离我们知道，如果一条直线平行于平面α，则直线上各点到平面所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等，一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离叫做直线与平面的距离.线面距点面距4.两平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做平行平面的公垂线段.面面距点面距典例导航题型一：点到平面的距离解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设直线AP上有一点M(0,0，z0)符合题意．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，令z ＝1，得x =1，y =1.则由得x +y -2z =0，2y -2z =0，变式训练1.已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是B1C1、C1D1的中点．(1)求证：E、F、D、B共面；(2)求点A1到平面的DBEF的距离．典例导航题型二：直线到平面的距离例2 四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求DE到平面PFB的距离．变式训练2.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.(1)求证：直线CD1∥平面A1BC1；(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离．题型三：平面到平面的距离例3 在四棱锥O－ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点.求：平面MNR与平面OCD的距离．解：因为M，R分别为AO，AD的中点，所以MR∥OD.在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，所以NR∥CD.又MR∩NR＝R，所以平面MNR∥平面OCD.所以平面MNR与平面OCD的距离等于点N到平面OCD的距离.变式训练3.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于点H. (1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离归纳小结空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．。

2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.2.5 距离

2
即点B到平面α的距离为5.
答案:5
类型一求两点间的距离
【典例】1.如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的
菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD= ,M为BC上一点,且
3
BM= 1 ,MP⊥AP,则PO的长为________.
2
2.如图,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面 ABCD,ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动, 若CM=BN=a(0<a< 2 ).
(1)求MN的长. (2)a为何值时,MN的长最小?
【解题探究】1.典例1中如何建立空间直角坐标系?建系后求PO长的关键是什么?
提示:以O为坐标原点, OA，OB，OP 的方向为x轴,y轴,z 轴的正方向建系,求PO长的关键是求点P的坐标.
2.典例2中,建系后为求点M,N的坐标需要计算哪些线段的长度? 提示:需要计算点M到AB,BC的距离,点N到AB,BE的距离.
2
CM (2，1 ，3). 2
所以 | CM |
22 ( 1 )2 32 2
53 .
2
3.已知直线l过原点,一个方向向量为n=(1,1,1),则点 A(0,0,3)到直线l的距离为________.
【解析】设点A到直线l的距离为d,则
d= |OA|2 ( OA n )2 32 ( 3 )2 6.
3.直线与它的平行平面的距离 (1)如果一条直线平行于平面α,则直线上的各点到平面α所作的垂线段_相__等__,即_各__点__到__α__的__距__离__相__等__. (2)一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做 _直__线__与__这__个__平__面__的__距__离__.

高中数学人教B版选修2-1配套课件：：3.2.5距离(选学)

正三棱柱 ABC－A1B1C1 中各棱长为 1，D 是 AB 的中点，求 BC1 到平面 A1CD 的距离．
【解】如图，以 D 为原点，分别以 DC、DB 所在直线
为 x，y 轴，建立空间直角坐标系，连接 AC1 与 A1C 交于 E，则 E 为 AC1 中点．又∵D 为 AB 中点， ∴ED∥C1B，又∵ED⊂平面 A1CD，BC1⊄平面 A1CD， ∴BC1∥平面 A1CD， ∴BC1 到面 A1CD 的距离等于 B 到面 A1CD 的距离，
【解】如图，建立空间直角坐标系 C－xyz，则 G(0,0,2)， → ＝(－2，－4， E(－2，－4,0)，B(0，－4,0)，F(－4，－2,0)，GE → → －2)，GF＝(－4，－2，－2)，BE＝(－2,0,0)．设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)，
→· →· 由GE n＝0 及GF n＝0
公垂线段的长度
，叫做两个平面，叫做两个
，叫做两个平
求点到平面的距离
如图 3－2－30 直三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱 AA1 ＝ 3，底面△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝BC＝1，求点 B1 到平面 A1BC 的距离．
图 3－2－30
【思路探究】
【自主解答】如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0， 3)， B1(0,1， 3)，C1(0,0， 3)
直线与它的平行平面的距离
1.如果一条直线平行于平面 α，则直线上的各点到平面 α 所作的垂线段相等，即
各点到面α的距离相等
．
2．一条直线上的任一点，到与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离.

【步步高】高中数学 3.2.5距离(选学)配套名师课件新人教B版选修2-1

P→C＝O→C－O→P＝(－2，－12，－3)，
PC＝|P→C|＝
4＋14＋9＝
53 2.
(D )
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.2.5
4．在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝1.若二面角 C—AB—C1
的大小为 60°，则点 C 到平面 ABC1 的距离为________．
答案
3 4
3.2.5
跟踪训练 3 已知正方形 ABCD 的边长为 1， PD⊥平面 ABCD，且 PD＝1，E、F 分别为 AB、BC 的中点．求直线 AC 到平面 PEF 的距离．
解建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0) ， P(0,0,1) ， A(1,0,0) ， C(0,1,0) ， E1，12，0，F12，1，0.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.5
∵面 ADC⊥面 ABC，DE⊥AC，∴DE⊥面 ABC， ∴DE⊥BF，即D→E⊥F→B， ∴|D→B|2＝D→E2＋E→F2＋F→B2＝12454＋4295＋12454＝32357， ∴|D→B|＝ 3537.故 B、D 间的距离是 3537.
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
由nn11··AE→→EC1＝＝00，
得 0－·x2＋·x＋4·y0＋·y＋1＝2＝0，0，
即－4y＋2x1＋＝2＝0，0，
∴xy＝＝－1，14.
即 n1＝1，－14，1.又C→C1＝(0,0,3)．
3.2.5
研一研·问题探究、
26x＋3y＝0.
取 y＝－1，得 n＝( 6，－1,1)，又P→F＝0，32，－32，
故点 F 到平面 PCE 的距离为
d＝|P→|Fn·|n|＝－232－2 32＝342.

人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1学案 3.2.5 距离(选学)

数学人教B 选修2-1第三章3.2.5 距离(选学)1．理解图形F 1与图形F 2的距离的概念．2．掌握四种距离的概念．3．会解决一些简单的距离问题．1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的________，叫做图形与图形的距离．此概念中的图形不仅仅是平面图形，也包括空间图形．【做一做1】空间直角坐标系中，已知A (2,3,4)，B (－2,1,0)，C (1,1,1)，则C 到AB 中点的距离为( )A ．1B ． 3C ．2D ． 52．点到平面的距离一点到它在一个平面内________的距离，叫做点到这个平面的距离．求点到平面的距离时，一般是过该点作平面的垂线，也可利用等积法求解．【做一做2】在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点A 1到平面BB 1D 1D 的距离为( )A ．aB ．12a C ．34a D ．22a 3．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．求线面距离时，注意在l 上所取一点的位置，通常借助于面面垂直的性质过这一点作平面的垂线，从而转化为点到面的距离求解．【做一做3】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则BC 到AB 1C 1D 的距离为( )A ．1B ．22C ． 2D ． 34．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面________的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线________平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．两平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点作另一个平面的垂线段，这样公垂线段的长就是点到平面的距离，所以两平行平面的距离，可转化为点到平面的距离，可以用点到平面的距离求解．【做一做4】已知平面α∥平面β，空间一点到α的距离是4，到平面β的距离是2，则平面α与平面β的距离是( )A ．2B ．6C ．2或6D ．以上都错如何求点到平面的距离？剖析：如图，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，|BO |＝|AB |·cos ∠ABO .如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面α的距离为|BO |＝||||AB n n ⋅.因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于n |n |＝n 0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d ＝|AB ·n 0|.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．题型一用向量求两点间的距离【例1】已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，求A 与C ′的距离．分析：解答本题可先用基底表示AC ′，然后平方求|AC ′|.反思：空间距离本质上是点与点的距离，求空间两点的距离常常转化为求向量的模；点与直线的距离可以运用三垂线定理作直线的垂线，再运用解三角形求．题型二求点到平面的距离【例2】直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1＝3，在底面△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，求点B 1到平面A 1BC 的距离．分析：直接作平面的垂线较难，故可考虑建立平面直角坐标系求解．反思：点到平面的距离的求法：①定义法即直接求所作公垂线段的长；②等体积转化法；③利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公式d ＝|PA ·n 0|＝||||PA n n ⋅，其中d为点P到平面的距离，A为平面内的一点，n0为平面的单位法向量，n为平面的法向量．题型三求平行平面的距离【例3】正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求平面AB1D1与平面BDC1的距离．反思：求两平面之间的距离首先要判定两平面的位置关系即证明它们平行然后再求．面面距离通常转化为点面距离来求．1在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为()A．63a B．36a C．34a D．66a2已知矩形ABCD的一边CD在平面α内，AC与α所成角为60°，若AB＝2，AD＝4，则AB到α的距离为()A．15 B． 5 C．10 D．33已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，侧面与下底面所成的角为45°，则两底面的距离为()A． 2 B．1 C．2 D．2 24把边长为a的正三角形ABC沿高AD折成60°的二面角B－AD－C，则点A到直线BC 的距离等于________．5平面α内的∠MON＝60°，PO是α的斜线段，PO＝3，且∠POM＝∠PON＝45°，则点P到α的距离为________．答案：基础知识·梳理1．最小值【做一做1】B用空间两点间的距离公式可求得距离为 3.2．正射影【做一做2】D设B1D1中点为O，则A1O即为点A1到平面BB1D1D的距离．可求得A1O＝2 2a.【做一做3】C设AB1中点为O，则BO即为BC到AB1C1D的距离．4．(1)同时垂直(2)夹在【做一做4】C这一点可能在两平面之间也可能在两平面的外侧．典型例题·领悟【例1】解：如图，因为AC →′＝AB ＋AD ＋AA →′，所以|AC ′→|2＝(AB ＋AD ＋AA →′)·(AB ＋AD ＋AA →′)＝|AB |2＋|AD |2＋|AA →′|2＋2(AB ·AD ＋AB ·AA →′＋AD ·AA →′)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85，因此|AC →′|＝85.【例2】解：如图，建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，A 1(1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(0,0，3)．则BC →＝(0，－1,0)，A 1C →＝(－1,0，－3)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即－x －3z ＝0，－y ＝0，令x ＝－3，则y ＝0，z ＝1，所以平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(－3，0,1)．所以点B 1到平面A 1BC 的距离d ＝|n ·A 1B 1→||n |＝32. 【例3】解：建立坐标系如图，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，D (0,0,0)，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．∴AB 1→＝(0，a ，a )，AD 1→＝(－a ，0，a )，BC 1→＝(－a,0，a )，DC 1→＝(0，a ，a )．设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1D 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB 1→＝a (y ＋z )＝0，n ·AD 1→＝a (－x ＋z )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－z ，x ＝z . 取z ＝1，则n ＝(1，－1,1)．又∵AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，AD 1∩AB 1＝A ，DC 1∩BC 1＝C 1，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1. ∴两平面间的距离可转化为点C 1到平面AB 1D 1的距离d .∵C 1B 1→＝(a,0,0)，平面AB 1D 1的法向量为n ＝(1，－1,1)，∴d ＝|C 1B 1→·n ||n |＝|a |3＝33a . 随堂练习·巩固1．D 点A 1到平面MBD 的距离等于点A 到平面MBD 的距离，利用V M －ABD ＝V A －MBD 求解．2．A 如图，作AE ⊥α于点E ，由三垂线逆定理可得ED ⊥DC ，AC ＝42＋22＝25，AE ＝AC sin 60°.3．B4．154a 5． 3。

2020年高考数学人教B版典例透析能力提升升选修2-1课件：3.2.5 距离(选学)

到平面
A1BC
的距离
d=
|��·��1��1| |��|
=
23.
-10-
题型一
目标导航题型二
知识梳理
重难聚焦
典典例例透透析析
随堂演练
反思点到平面的距离的求法:
(1)定义法即直接求所作公垂线段的长;
(2)等体积转化法;
(3)利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公
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知识梳理
重难聚焦
典典例例透透析析
随堂演练
题型一
题型二
解:如图,建立空间直角坐标系,
由已知得直三棱柱各顶点坐标:
A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0, 3), ��1(0,1, 3), ��1(0,0, 3), 则��1��1 = (−1,1,0), �� = (0, −1,0), ��1�� = (−1,0, − 3).
随堂演练
3.直线与它的平行平面的距离
一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做直线与这个
平面的距离.
名师点拨求线面距离时,注意在l上所取一点的位置,通常借助于
面面垂直的性质过这一点作平面的垂线,从而转化为点到面的距离
求解.
【做一做3】已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,则BC到
A.
6 3
��B.
3 6
��C.
3 4
��D.
6 6
��
答案:D
-14-
目标导航
知识梳理

高中数学人教B版高二数学选修2-1检测 3.2.5距离(选学)

一、选择题1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.32 B.24 C.12D.33【解析】由题意知A 1到ABC 1D 1的距离是12A 1D ＝22. 又∵O 是A 1C 1的中点，∴O 到面的距离为A 1到面距离的12.∴距离为24，故选B. 【答案】 B2．已知夹在两平行平面α，β内的两条斜线段AB ＝8 cm ，CD ＝12 cm ，AB 和CD 在α内的射影长的比为3∶5，则α与β的距离为( )A.15 cmB.17 cmC.19 cmD.21 cm【解析】如图所示，设AB 和CD 在α内的射影长分别为3x 和5x ，则有82－(3x )2＝122－(5x )2，解得x ＝5，则α、β间的距离为19 cm.故选C.【答案】 C3.图3－2－32如图3－2－32所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′的侧面ABB′A′内有一动点P，点P到直线A′B′的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为()【解析】在平面ABB′A′内作PM⊥A′B′，连接PB，则PB⊥BC，∵PM＝PB，故点P的轨迹是以A′B′为准线以B为焦点的抛物线(一部分)．故选C.【答案】 C4.图3－2－33如图3－2－33已知ABC－A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为()A.24a B.28aC.324a D.22a【解析】∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，∴A1B⊥面AB1D，∴A1B→是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则d＝|AC→·A1B→||A1B→|＝|AC→·(A1A→＋AB→)|2a＝|AC→·A1A→＋AC→·AB→|2a＝|0＋a×a×cos 60°|2a＝24a.【答案】 A5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.2aB.3aC.23a D.33a【解析】由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．明显，A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，BA→＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d＝|BA→·n|n||＝a 3＝33a .【答案】 D 二、填空题6．已知点M (－1,1,2)，平面α过点P (0,0,2)且垂直于向量n ＝(1，－2,2)，则点M 到平面α的距离为________．【解析】 d ＝|PM →·n ||n |＝39＝1.【答案】 17．若平面α∥平面β，直线l α，且平面α与β之间的距离为d ，下面给出了四个命题：①β内有且仅有一条直线与l 的距离等于d ； ②β内所有直线与l 的距离等于d ； ③β内无数条直线与l 的距离等于d ； ④β内所有的直线与α的距离都等于d . 其中正确的命题的序号为________．【解析】由面面平行的性质可知③④正确．【答案】 ③④8．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【解析】设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝04x ＋6z ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝－32zy ＝－z.令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离d ＝|AD →·n |n ||＝|3×(－7)＋2×(－7)－2×732＋22＋(－2)2|＝4917＝491717. 【答案】491717三、解答题9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，试求点F 到平面A 1D 1E 的距离．【解】取AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．如图，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)， D (0,1,0)，F (12，1,0)， D 1(0,1,1)．∴A 1E →＝(1,0，－12)，A 1D 1→＝(0,1,0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0n ·A 1D 1→＝0，即⎩⎨⎧x －12z ＝0y ＝0.令z ＝2，则x ＝1. ∴n ＝(1,0,2)．又A 1F →＝(12，1，－1)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离 d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.图3－2－3410．如图3－2－34，已知正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的棱长为a . 求证：(1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)求平面A 1BD 与平面CB 1D 1的距离．【解】以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )， B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )，C (0，a,0)，C 1(0，a ，a )， ∴A 1B →＝(0，a ，－a )， A 1D →＝(－a,0，－a )．A 1D 1→＝(－a,0,0)，B 1C →＝(－a,0，－a )，B 1D 1→＝(－a ，－a,0)． (1)设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·A 1B →＝0n 1·A 1D →＝0，即⎩⎨⎧y 1－z 1＝0－x 1－z 1＝0.令z 1＝1，则y 1＝1，x 1＝－1.∴n 1＝(－1,1,1)．设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·B 1C →＝0n 2·B 1D 1→＝0，即⎩⎨⎧－x 2－z 2＝0－x 2－y 2＝0.令x 2＝1，则y 2＝z 2＝－1， ∴n 2＝(1，－1，－1)．∴n 1∥n 2， ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.(2)由(1)可知点D 1到平面A 1BD 的距离为d ＝|A 1D 1→·n 1||n 1|＝a 3＝33a .即平面A 1BD 与平面CB 1D 1的距离为33a .图3－2－3511．如图3－2－35，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，∠BAD ＝π2，CD ＝AD ＝2，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，FC ＝3，ED ＝7，求：(1)直线AB 到平面EFCD 的距离； (2)二面角F －AD －E 的平面角的正切值．【解】 (1)如图，以A 点为坐标原点， AB →， AD →， AF →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)．设F (0,0，z 0)(z 0＞0)，可得FC →＝(2,2，－z 0)，由| FC →|＝3，得22＋22＋z 20＝3，解得z 0＝1，即F (0,0,1)．因为AB ∥DC ，DC ⊂平面EFCD ，AB ⊄平面EFCD ，所以AB ∥平面EFCD ，所以直线AB 到平面EFCD 的距离等于点A 到平面EFCD 的距离．设A 点在平面EFCD 上的射影点为G (x 1，y 1，z 1)，则AG →＝(x 1，y 1，z 1)．因为DF →＝(0，－2,1)， CD →＝(－2,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧AG →·DF →＝－2y 1＋z 1＝0， AG →·CD →＝－2x 1＝0， ①解得x 1＝0，知G 点在面yOz 上，故G 点在FD 上．又GF →∥DF →， GF →＝(－x 1，－y 1，－z 1＋1)，DF →＝(0，－2,1)，故有y 12＝－z 1＋1，②联立①②，解得G (0，25，45)．因为|AG →|为直线AB 到平面EFCD 的距离，而AG →＝(0，25，45)，即|AG →|＝255. 所以直线AB 到平面EFCD 的距离为255. (2)因为四边形ABFE 为平行四边形，所以可设E (x 0,0,1)(x 0＜0)，则ED →＝(－x 0,2，－1)，由|ED →|＝7，即x 20＋22＋12＝7，解得x 0＝－2，即E (－2，0,1)，故AE →＝(－2，0,1)．由AD →＝(0,2,0)， AF →＝(0,0,1)，有AD →·AF →＝0，又AD →·AE →＝0，故∠FAE 为二面角F －AD －E 的平面角．又EF →＝(2，0,0)，所以| EF →|＝2，|AF →|＝1，所以tan ∠FAE ＝|EF →||FA →|＝ 2.。

数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.2.5 距离(选学)含解析

3.2.5距离(选学)学习目标掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距离、点到平面的距离、线面距和面面距．知识点一点到平面的距离1．图形与图形的距离一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．知识点二直线到平面的距离1．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．2．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．知识点三四种距离的关系题型一点线距离例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF 的距离．解以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．设DA ＝2，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，EF →＝(1，－2,1)，F A →＝(1,0，－2)． ∴|EF →|＝12＋(－2)2＋12＝6，F A →·EF →＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴F A →在EF →上的投影为|F A →·EF →||EF →|＝16 .∴点A 到直线EF 的距离 d ＝|F A |2－⎝⎛⎭⎫162＝296＝1746. 反思感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量．(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影． (4)利用勾股定理求点到直线的距离．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．跟踪训练1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离．解 ∵AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，∴A ′(0,0,3)，C (1,2,0)，B (1，0,0)，∴A ′C ——→＝(1,2，－3)．又∵BC →＝(0,2,0)，∴BC →在A ′C ——→上的投影为|BC →·A ′C ——→||A ′C ——→|＝414 .∴点B 到直线A ′C 的距离d ＝|BC →|2－|BC →·A ′C ——→|2|A ′C ——→|＝4－1614＝2357.题型二点面距离例2 已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，CG 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且CG ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．解建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则G (0,0,2)，E (4，－2，0)，F (2，－4,0)，B (4,0,0)，∴GE →＝(4，－2，－2)，GF →＝(2，－4，－2)，BE →＝(0，－2,0)．设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧GE →·n ＝0，GF →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －z ＝0，x －2y －z ＝0，∴x ＝－y ，z ＝－3y .取y ＝1，则n ＝(－1,1，－3)． ∴点B 到平面EFG 的距离d ＝|BE →·n ||n |＝211＝21111.反思感悟利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求出该平面的一个法向量．(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量．(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离．跟踪训练2 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1＝AB ＝2. (1)求证：A 1C ∥平面AB 1D ； (2)求点C 1到平面AB 1D 的距离．(1)证明如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DA 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与AA 1平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0，0,0)，C (1,0,0)，B 1(－1，0,2)，A 1(0，3，2)，A (0，3，0)，C 1(1,0,2)，A 1C →＝(1，－3，－2)，AB 1→＝(－1，－3，2)，AD →＝(0，－3，0)．设平面AB 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1→·n ＝0，AD →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x －3y ＋2z ＝0，－3y ＝0.令z ＝1，则y ＝0，x ＝2，∴n ＝(2,0,1)． ∵A 1C →·n ＝1×2＋(－3)×0＋(－2)×1＝0， ∴A 1C →⊥n .∵A 1C ⊄平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D . (2)解由(1)知平面AB 1D 的法向量n ＝(2,0,1)，且C 1A →＝(－1，3，－2)，∴点C 1到平面AB 1D 的距离d ＝|C 1A →·n ||n |＝45＝455.题型三线面距离与面面距离例3 在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为直角梯形，AB ∥CD 且∠ADC ＝90°，AD ＝1，CD ＝3，BC ＝2，AA 1＝2，E 是CC 1的中点，求直线A 1B 1与平面ABE 的距离．解如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则A 1(1,0,2)，A (1,0,0)，E (0，3，1)，C (0，3，0)．过点C 作AB 的垂线交AB 于点F ，易得BF ＝3， ∴B (1,23，0)，∴AB →＝(0,23，0)，BE →＝(－1，－3，1)．设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧23y ＝0，－x －3y ＋z ＝0，∴y ＝0，x ＝z ，不妨取n ＝(1,0,1)． ∵AA 1→＝(0,0,2)，∴直线A 1B 1与平面ABE 的距离 d ＝|AA 1→·n ||n |＝22＝ 2.反思感悟 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．跟踪训练3 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离．解以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A 1(1，0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1B →＝(0,1，－1)，A 1D →＝(－1，0，－1)，A 1D 1—→＝(－1，0,0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，－x －z ＝0.令z ＝1，得y ＝1，x ＝－1，∴n ＝(－1,1,1)． ∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|A 1D 1—→·n ||n |＝13＝33.∵平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离等于点D 1到平面A 1BD 的距离， ∴平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为33.向量法求解线面距典例已知边长为4的正三角形ABC ，E ，F 分别为BC 和AC 的中点．P A ＝2，且P A ⊥平面ABC ，设Q 是CE 的中点． (1)求证：AE ∥平面PFQ ； (2)求AE 与平面PFQ 间的距离．考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离(1)证明如图所示，以A 为坐标原点，平面ABC 内垂直于AC 边的直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝2，AB ＝BC ＝AC ＝4，又E ，F 分别是BC ，AC 的中点，∴A (0,0,0)，B (23，2,0)，C (0,4,0)，F (0,2,0)，E (3，3,0)，Q ⎝⎛⎭⎫32，72，0，P (0,0,2)．∵FQ →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，AE →＝(3，3,0)，∴AE →＝2FQ →.∵AE →与FQ →无交点，∴AE ∥FQ .又FQ ⊂平面PFQ ，AE ⊄平面PFQ ， ∴AE ∥平面PFQ .(2)解由(1)知，AE ∥平面PFQ ，∴点A 到平面PFQ 的距离就是AE 与平面PFQ 间的距离．设平面PFQ 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥PF →，n ⊥FQ →，即n ·PF →＝0，n ·FQ →＝0. 又PF →＝(0,2，－2)，∴n ·PF →＝2y －2z ＝0，即y ＝z . 又FQ →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，∴n ·FQ →＝32x ＋32y ＝0，即x ＝－3y .令y ＝1，则x ＝－3，z ＝1，∴平面PFQ 的一个法向量为n ＝(－3，1,1)．又QA →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72，0，∴所求距离d ＝|QA →·n ||n |＝255.[素养评析] 本题(1)通过向量运算证明线面平行，(2)中利用线面距转化为点面距仍选择向量运算来解．合理选择运算方法，设计运算程序，有利于提升学生的数学运算素养.1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83 D.103答案 D2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1A 到平面B 1D 1DB 的距离为( ) A. 2 B ．2 C.22 D.322答案 A解析由题意可知，A 1A ∥平面B 1D 1DB ，A 1A 到平面B 1D 1DB 的距离就是点A 1到平面的距离．连接A 1C 1，交B 1D 1于O 1，A 1O 1即为所求．由题意可得A 1O 1＝12A 1C 1＝ 2.3．若O 为坐标原点，OA →＝(1,1，－2)，OB →＝(3,2,8)，OC →＝(0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.1652B ．214 C.53 D.532答案 D解析由题意得OP →＝12(OA →＋OB →)＝⎝⎛⎭⎫2，32，3， PC →＝OC →－OP →＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，－3， PC ＝|PC →|＝4＋14＋9＝532. 4．已知直线l 经过点A (2,3,1)，且向量n ＝(1,0，－1)所在直线与l 垂直，则点P (4,3,2)到l 的距离为________．考点向量法求空间距离题点向量法求点到直线的距离答案22解析因为P A →＝(－2,0，－1)，又n 与l 垂直，所以点P 到l 的距离为|P A →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22.5．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．答案491717解析设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z ，y ＝－z .令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又∵AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝|AD →·n ||n |＝|3×(－7)＋2×(－7)－2×7|32＋22＋(－2)2＝4917＝491717.1．两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得．2．点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得，线面距、面面距可转化为点面距计算．一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝a ，AA 1＝2a ，则点D 1到直线AC 的距离为( ) A.3a B.3a 2 C.22a 3 D.32a2答案 D解析连接BD ，AC 交于点O ，则D 1O ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝322a 为所求．2.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂平面M ，AC ⊥平面M ，BD ⊥AB ，BD 与平面M 成30°角，则C ，D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 答案 C解析 |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2，∴|CD →|＝ 2.3．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 AC →＝(0,4，－3)，BC →＝(－4,9，－3)，⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪36＋925＝9，|BC →|＝16＋81＋9＝106， BD ＝|BC →|2－92＝25＝5，故选C.4．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( ) A ．5 B ．6 C ．4 D ．8 答案 A解析 ∵AC 1→＝AA 1→＋AB →＋AD →，∴AC 1→2＝(AA 1→＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2·AA 1→·AB →＋2·AA 1→·AD →＋2·AB →·AD → ＝9＋1＋4＋2×3×1×12＋2×3×2×12＋2×1×2×12＝25，∴|AC 1→|＝5.5．已知三棱锥O －ABC ，OA ⊥OB ，OB ⊥OC ，OC ⊥OA ，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝2，则点A 到直线BC 的距离为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D ．3 答案 B解析以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .由题意可知A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,2)， ∴AB →＝(－1,2,0)， BC →＝(0，－2,2)，|AB →|＝1＋4＋0＝5，|AB →·BC →||BC →|＝ 2. ∴点A 到直线BC 的距离d ＝5－2＝ 3.6．(2018·安徽六安高二检测)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( )A. 2B. 3 C ．2D.22考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离答案 A解析如图，分别以CA ，CB ，CC 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，设AD ＝a ，则点D 的坐标为(1,0，a )，∴CD →＝(1,0，a )，CB 1→＝(0,2,2)．设平面B 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB 1→＝0，n ·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得n ＝(a,1，－1)．又平面C 1DC 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，∴cos 60°＝|m ·n ||m ||n |，即1a 2＋2＝12， ∴a ＝2，即AD ＝ 2.7．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A.83 B.38 C.43 D.34 答案 C解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)，∴D 1B 1—→＝(2,2,0)，D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的法向量，则n ⊥D 1B 1—→，n ⊥D 1A →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1B 1—→＝0，n ·D 1A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0，令z ＝1，则平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．由AA 1→在n 上的投影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为 d ＝|AA 1→·n ||n |＝43.二、填空题8．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d ＝________. 答案 2解析 d ＝|n ·OP →||n |＝|－2－6＋2|4＋4＋1＝2.9．如图所示，在直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．答案233解析取AB 的中点O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2)，AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)．设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)．故点D 到平面ACE 的距离 d ＝|AD →·n ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233.10．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是________．答案455解析如图所示，BA →＝(2,0,0)，BE →＝(1,0,2)，∴cos θ＝|BA →·BE →||BA →||BE →|＝225＝55， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝255， ∴点A 到直线BE 的距离d ＝|AB →|sin θ＝2×255＝455.11．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则BD 到平面EFD 1B 1的距离为________．答案 13解析设AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，EF ∩AC ＝G ，平面ACC 1A 1⊥平面EFD 1B 1，交线为O 1G ，过O 作OH ⊥O 1G ，则OH ⊥平面EFD 1B 1，又由题意知BD ∥平面EFD 1B 1，OH 的长即为BD 到平面EFD 1B 1的距离．如图所示，在Rt △O 1OG 中，OO 1＝1，OG ＝24，则OH ＝13. 三、解答题12．已知在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝4，BB 1＝3，求点B 1到平面A 1BC 1的距离．解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A 1(4,0,3)，B 1(4,6,3)，B (4,6,0)，C 1(0,6,3)，A 1C 1—→＝(－4,6,0)，A 1B →＝(0,6，－3)，BC 1→＝(－4,0,3)，A 1B 1—→＝(0,6,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1—→＝0，n ·A 1B →＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎫1，23，43. ∴d ＝|A 1B 1—→·n ||n |＝122929.13．在三棱锥B —ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．解如图所示，以AD 的中点O 为原点，以OD ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，过O 作OM ⊥平面ACD 交AB 于M ，以直线OM 为z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫3－12，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， ∴AC →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，AB →＝⎝⎛⎭⎫32，0，12，DC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0，设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AB →＝32x ＋12z ＝0，n ·AC →＝12x ＋32y ＝0，∴y ＝－33x ，z ＝－3x ，取n ＝(－3，1,3)，代入d ＝|DC →·n ||n |，得d ＝32＋3213＝3913，即点D 到平面ABC 的距离是3913.14．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，底面ABC 为直角三角形，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1.已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的最小值为________．考点向量法求空间距离题点向量法求两点间的距离答案55解析以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设F (t 1,0,0)(0<t 1<1)，D (0，t 2,0)(0<t 2<1)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12， G ⎝⎛⎭⎫12，0，1. ∴EF →＝⎝⎛⎭⎫t 1，－1，－12，GD →＝⎝⎛⎭⎫－12，t 2，－1. ∵GD ⊥EF ，∴t 1＋2t 2＝1，由此推出0<t 2<12.又DF →＝(t 1，－t 2,0)，|DF →|＝t 21＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5⎝⎛⎭⎫t 2－252＋15，∴当t 2＝25时，|DF →|min ＝55. 15．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，M 为BB 1的中点，N 为BC 的中点．(1)求点M 到直线AC 1的距离； (2)求点N 到平面MA 1C 1的距离．考点向量法求空间距离题点向量法求点到平面的距离解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，M (2,0,1)，C 1(0,2,2)，直线AC 1的一个单位方向向量为s 0＝⎝⎛⎭⎫0，22，22，AM →＝(2,0,1)，故点M 到直线AC 1的距离d ＝|AM →|2－|AM →·s 0|2＝5－12＝322.(2)设平面MA 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1C 1—→＝0且n ·A 1M →＝0，即(x ，y ，z )·(0,2,0)＝0且(x ，y ，z )·(2,0，－1)＝0，即y ＝0且2x －z ＝0，取x ＝1，得z ＝2，故n ＝(1,0,2)为平面MA 1C 1的一个法向量，与n 同向的单位向量为n 0＝⎝⎛⎭⎫55，0，255.因为N (1,1,0)，所以MN →＝(－1,1，－1)，故点N 到平面MA 1C 1的距离d ＝|MN →·n 0|＝355.。

(新)高中数学3_2_5距离选学学案新人教B版选修2-1

3.2.5 距离(选学)1．理解点到平面的距离的概念．(重点)2．能灵活运用向量方法求各种空间距离．(难点、重点)3．体会向量法在求空间距离中的作用．[基础·初探]教材整理距离阅读教材P112～P113“例2”，完成下列问题．1．图形与图形的距离一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．3．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，到与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．4．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．5．四种距离的关系如图3235，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是________．图3235【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，O⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1，A1(1,0,1)，则AO→＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，12，1，DA1→＝(1,0,1)．由题意知DA1→为平面ABC1D1的一个法向量，所以O到平面ABC1D1的距离d＝|AO→||cos〈AO→，DA1→〉|＝|AO→·DA1→||DA1→|＝122＝24.【答案】24[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]两点间的距离如图3236，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，求MN的长．图3236【精彩点拨】利用|MN →|＝|AN →－AM →|＝12|AC →＋AD →－AB →|求解．【自主解答】设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )． ∴|MN →|2＝MN →·MN →＝14(q ＋r －p )·(q ＋r －p )＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －q ·p －r ·p )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22 ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a ，即MN 的长为22a .计算两点间的距离的基本方法：(1)把线段用向量表示，然后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算求|a |.(2)求解的图形适合建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离)．[再练一题]1．已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.求AC ′的长．图3237【解】因为AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，所以|AC ′→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′→)·(AB →＋AD →＋AA ′→)＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.因此|AC ′→|＝85.点到平面的距离如图AD ，AB 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．图3238【精彩点拨】建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解．【自主解答】以CD →，CB →，CG →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间坐标系，则G (0,0,2)，B (0,4,0)，A (4,4,0)，D (4,0,0)，E (4,2,0)，F (2,4,0)．GE →＝(4,2，－2)，GF →＝(2,4，－2)，BG →＝(0，－4,2)．设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·GE →＝0，n ·GF →＝0⇒2x ＋y －z ＝0，x ＋2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝3，得n ＝(1,1,3)，n 的一个单位向量n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫111，111，311.则点B 到平面EFG 的距离为|BG →||cos 〈BG →，n 〉|＝|BG →·n ||n |＝|BG →·n 0|＝211＝21111，即点B 到平面EFG 的距离为21111.用向量法求点面距的方法与步骤[再练一题]2．如图3239，已知四棱锥S ABCD ，SA ⊥底面ABCD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，AS ＝4，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ＝12FC ，求点A 到平面SEF 的距离．图3239【解】以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AS 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系Oxyz ，如图所示，则A (0,0,0)，E (0,2,0)，F (1,4,0)，S (0,0,4)，AS →＝(0,0,4)，SE →＝(0,2，－4)，SF →＝(1,4，－4)．设平面SEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则SE →·n ＝0，且SF →·n ＝0，即(0,2，－4)·(x ，y ，z )＝2y －4z ＝0，且(1,4，－4)·(x ，y ，z )＝x ＋4y －4z ＝0. 在上面的两个方程中，令z ＝k ，则可解得x ＝－4k ，y ＝2k ，z ＝k . 所以n ＝(－4k,2k ，k )，n 的单位向量n 0＝⎝⎛⎭⎪⎫－421，221，121. 因此，点A 到平面SEF 的距离d ＝|AS →·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0，0，4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－421，221，121＝421＝42121. [探究共研型]直线与平面、平面与平面的距离探究1 已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，求P (－2,1,4)到α的距离．【提示】 d ＝|AP →·n ||n |＝|－1×－2＋－2×－2＋4|4＋4＋1＝103. 探究2 四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，侧棱PA ⊥底面AC ，且PA ＝4，E 是PA 的中点，求PC 与平面BED 间的距离．并说明直线PC 上各点到平面BED 的距离间的关系．【提示】以A 为原点，AB 为x 轴，△ACD 中CD 边上的高AF 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则F 为CD 的中点，于是A (0,0,0)，B (4,0,0)，F (0,23，0)，C (2,23，0)，D (－2,23，0)，P (0,0,4)，E (0,0,2)．设平面BED 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由BE →＝(－4,0,2)， DE →＝(2，－23，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧－4x ＋2z ＝0，2x －23y ＋2z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z 2，y ＝3z 2，取z ＝2，得n ＝(1，3，2)．∵PC →＝(2,23，－4)，∴n ·PC →＝2＋6－8＝0，故PC ∥平面BED ， ∴PC 到平面BED 的距离就是P 到平面BED 的距离． ∵EP →＝(0,0,2)，∴d ＝|EP →·n ||n |＝41＋3＋4＝ 2.直线PC 上各点到平面BED 的距离都相等．棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，C 1C 的中点，DG ＝13DD 1，过E ，F ，G 的平面交AA 1于点H ，求A 1D 1到平面EFGH 的距离．【精彩点拨】把A 1D 1到平面EFGH 的距离转化为直线A 1D 1上某一点(如点D 1)到平面EFGH 的距离，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．【自主解答】以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，13，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，EF →＝(－1,0,0)，FG →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，－16，∴D 1A 1→＝(1,0,0)， ∴D 1A 1→∥EF →.又EF ⊂平面EFGH ，D 1A 1⊄平面EFGH ， ∴D 1A 1∥平面EFGH .∴A 1D 1到平面EFGH 的距离，即D 1到平面EFGH 的距离．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0，且n ·FG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，y ＋16z ＝0，令z ＝6，可得n ＝(0，－1,6)，n 0＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－137，637. 又D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，－12，∴d ＝|D 1F →·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－137，637＝43737，因此，A 1D 1到平面EFGH 的距离为43737.1．求直线与平面的距离以及平面与平面之间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则．2．求解点到平面的距离常用的方法： (1)空间向量法；(2)垂线段法；(3)等体积法．[再练一题]3．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M ，N ，E ，F 分别为A 1D 1，A 1B 1，C 1D 1，B 1C 1的中点，求平面AMN 与平面EFBD 间的距离．图3240【解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (4,0,0)，M (2,0,4)，D (0,0,0)，B (4,4,0)，E (0,2,4)，F (2,4,4)，N (4,2,4)．从而EF →＝(2,2,0)，MN →＝(2,2,0)，AM →＝(－2,0,4)，BF →＝(－2，0,4)， ∴EF →＝MN →，AM →＝BF →，∴EF ∥MN ，AM ∥BF ，EF ∩BF ＝F ，MN ∩AM ＝M . ∴平面AMN ∥平面EFBD .设n ＝(x ，y ，z )是平面AMN 的法向量，从而⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝2x ＋2y ＝0，n ·AM →＝－2x ＋4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝－2z .取z ＝1，得n ＝(2，－2,1)，由于AB →＝(0,4,0)，所以AB →在n 上的投影为n ·AB →|n |＝－84＋4＋1＝－83.∴两平行平面间的距离d ＝|n ·AB →||n |＝83.[构建·体系]1．若O 为坐标原点，OA →＝(1,1，－2)，OB →＝(3,2,8)，OC →＝(0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )【导学号：15460081】A.1652B ．214C.53 D ．532【解析】 OP →＝12(OA →＋OB →)＝12(4,3,6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，而OC →＝(0,1,0)，∴PC →＝OC →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，－3，|PC →|＝4＋14＋9＝532. 【答案】 D2．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边长的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 AB →＝(4，－5,0)，AC →＝(0,4，－3)，则AB →在AC →上的投影d ＝|AB →·AC →||AC →|＝4，而|AB →|＝41，∴AC 边上的高BD ＝41－16＝5. 【答案】 C3．点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，Q 为线段AP 的中点，AB ＝3，BC ＝4，PA ＝2.则P 到平面BQD 的距离为________．图3241【解析】如图，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (3,0,0)，D (0,4,0)，P (0,0,2)，Q (0,0,1)，QB →＝(3,0，－1)， BD →＝(－3,4,0)， QP →＝(0,0,1)，设平面BQD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·QB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，3x －z ＝0.令x ＝4，则z ＝12，y ＝3， ∴n ＝(4,3,12)．∴P 到平面BQD 的距离d ＝|QP →·n ||n |＝1213.【答案】12134．已知直二面角αl β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于________．【解析】 ∵AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴|AB →|2＝|AC →|2＋|CD →|2＋|DB →|2， ∴|CD →|2＝2.在Rt △BDC 中，BC ＝ 3.∵平面ABC ⊥平面BCD ，过D 作DH ⊥BC 于H ，则DH ⊥平面ABC ，∴DH 的长即为D 到平面ABC 的距离，∴DH ＝DB ·DC BC ＝1×23＝63.【答案】635．在三棱锥B ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．【解】如图所示，以AD 的中点O 为原点，以OD ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，过O 作OM ⊥平面ACD 交AB 于M ，以直线OM 为z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫3－12，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，0，12，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0，设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝32x ＋12z ＝0，n ·AC →＝12x ＋32y ＝0，∴y ＝－33x ，z ＝－3x ，可取n ＝(－3，1,3)，代入d＝|DC→·n||n|，得d＝32＋3213＝3913，即点D到平面ABC的距离是3913.我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为( )A．10 B．3C．83D．103【解析】由题意可知PA→＝(1,2，－4)．设点P到α的距离为h，则h＝|PA→·n||n|＝103.【答案】 D2．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120°，若△ABC所在平面α外一点P到A，B，C的距离都是14，则P到α的距离是( )A．13 B．11C．9 D．7【解析】作PO⊥α于点O，连接OA，OB，OC，∴PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC 的外心．∴OA ＝AB2sin ∠BCA ＝152sin 120°＝53，∴PO ＝PA 2－OA 2＝11即为所求．【答案】 B3．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( )A.6a 6 B ．3a 6 C ．3a 4D ．6a 3【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，∴DM →＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，DB →＝(a ，a,0)，DA 1→＝(a,0，a )．设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋a 2z ＝0，ax ＋ay ＝0，令x ＝1，则可得n ＝(1，－1，－2)． ∴d ＝|DA 1→·n ||n |＝|a －2a |6＝66a .【答案】 A4．若正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )【导学号：15460082】A.33B ．1C ． 2D ． 3【解析】如图，A 1C 1∥平面ABCD ，所以A 1C 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离，由AB 1与平面ABCD 所成的角是60°，AB ＝1，所以BB 1＝3，即点A 1到平面ABCD 的距离为 3.【答案】 D5．已知二面角αl β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )A ．2B ．2C ．2 3D ．4【解析】作PM ⊥β，QN ⊥α，垂足分别为M ，N .分别在平面α，β内作PE ⊥l ，QF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，如图所示，连接ME ，NF ，则ME ⊥l ，∴∠PEM 为二面角αl β的平面角，∴∠PEM ＝60°. 在Rt △PME 中，|PE →|＝|PM →|sin 60°＝3sin 60°＝2，同理|QF →|＝4. 又PQ →＝PE →＋EF →＋FQ →，∴|PQ →|2＝4＋|EF →|2＋16＋2PE →·EF →＋2PE →·FQ →＋2EF →·FQ →＝20＋|EF →|2＋2×2×4cos 120°＝12＋|EF →|2.∴当|EF →|2取最小值0时，|PQ →|2最小，此时|PQ →|＝2 3. 【答案】 C 二、填空题6．如图3242，已知在60°的二面角αl β中，A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于D ，并且AC ＝1，BD ＝2，AB ＝5，则CD ＝________.图3242【解析】 ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，αl β为60°的二面角， ∴〈CA →，DB →〉＝60°. ∵AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →2＝AC →2＋CD →2＋DB →2＋2AC →·CD →＋2AC →·DB →＋2CD →·DB →， ∴52＝12＋CD →2＋4＋2·|AC →||DB →|×cos 〈AC →，DB →〉， ∴CD →2＝20－2×1×2×cos 120°＝22， ∴|CD →|＝22. 【答案】227．在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则点D 到平面PBC 的距离是________．【解析】分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,1,0)，∴PC →＝(2,2，－2)，BC →＝(0,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，y ＝0，取x ＝1，则n ＝(1,0,1)．又BD →＝(－2,1,0)，∴点D 到平面PBC 的距离为|BD →·n ||n |＝ 2.【答案】 28．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E 的距离为________．【解析】建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，E⎝⎛⎭⎪⎫a，a，a2，F⎝⎛⎭⎪⎫0，a2，0，如图所示．设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1D1→＝0，n·A1E→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x，y，z·－a，0，0＝0，x，y，z·⎝⎛⎭⎪⎫0，a，－a2＝0，∴－ax＝0，ay－a2z＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝0，y＝z2，令z＝2，得n＝(0,1,2)．又FD1→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－a2，a，∴所求距离d＝|FD1→·n||n|＝32a5＝3510a.【答案】3510a三、解答题9．在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，E，F分别为PC，AD的中点．图3243(1)证明：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．【解】 (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的坐标系，则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)． FP →＝(－1,0,2)，FB →＝(1,2,0)， DE →＝(0,1,1)．∴DE →＝12FP →＋12FB →.∴DE →∥平面PFB .又∵D ∉平面PFB ，∴DE ∥平面PFB . (2)令平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FP →＝0，n ·FB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，x ＋2y ＝0，令x ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，z ＝1，∴法向量n ＝(2，－1,1)．又∵PE →＝(0,1，－1)，∴d ＝|PE →·n ||n |＝|0×2－1×1－1×1|6＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63. 10．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA →，DC →，DP →分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，－1，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·PE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)，所以点D 到平面PEF 的距离为 d ＝|DE →·n ||n |＝|2＋1|4＋4＋9＝31717，因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝|AE →·n ||n |＝117＝1717，所以AC 到平面PEF 的距离为1717. [能力提升]1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 分AC 1→的比为12，N 为BB 1的中点，则|MN |为( )A.216a B ．66a C ．156a D ．153a 【解析】以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.又∵M 分AC 1→的比为12，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 3，a 3，∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 【答案】 A2．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离为( )A ．3B ． 3C ．33D ．13【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)， ∴EF →＝(1，－2,1)，EG →＝(2，－1，－1)， GA →＝(0，－1,0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝0，∴x ＝y ＝z ，可取n ＝(1,1,1)，∴d ＝|GA →·n ||n |＝13＝33，即点A到平面EFG的距离为33.【答案】 C3．如图3244，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，则点A到平面SND的距离为________.【导学号：15460083】图3244【解析】建立如图的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(4,1,0)，∴NS→＝(0，－2,2)，SD→＝(4,1，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．∵n·NS→＝0，n·SD→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y＋2＝0，4x＋y－2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝14，y＝1.∴n＝⎝⎛⎭⎪⎫14，1，1.∵AS→＝(0,0,2)．∴A到平面SND的距离为|n·AS→||n|＝2334＝83333.【答案】833334．如图3245，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，说明理由．图3245【解】在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 中点，∴PO ⊥AD .又侧面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PO ⊥平面ABCD .建立如图所示空间直角坐标系，易得A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，CP →＝(－1,0,1)，CD →＝(－1,1,0)．假设存在点Q ，使它到平面PCD 的距离为32，设Q (0，y,0)(－1≤y ≤1)，CQ →＝(－1，y,0)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CP →＝0，n ·CD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x 0＋z 0＝0，－x 0＋y 0＝0，即x 0＝y 0＝z 0，取x 0＝1，则平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．∴点Q 到平面PCD 的距离为d ＝|CQ →·n ||n |＝|－1＋y |3＝32， ∴y ＝－12或y ＝52(舍去)．此时|AQ →|＝12，|QD →|＝32. ∴存在点Q 满足题意，此时AQ QD ＝13.。

人教版B版高中数学选修2-1(B版)距离(选学)

3 4 的大小为 60°，则点 C 到平面 ABC1 的距离为________。
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得。 2．点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得，线面距、
面面距可转化为点面距计算。
研一研·问题探究、课堂更高效
例 1 如图,平行六面体 ABCD—A′B′C′D′ 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱
AA′ 的长为 b ，且 ∠A′AB ＝ ∠A′AD ＝ 120°。求：AC′的长。解 ∵A→ C′＝A→B＋A→D＋A→ A′， ∴|A→ C′|2＝(A→B＋A→D＋AA→′)2 ＝A→B2＋A→D2＋AA→′2＋2(A→B·A→D＋A→B·A→ A′＋A→D·A→ A′) ＝a2＋a2＋b2＋2(0－12ab－12ab) ＝2a2＋b2－2ab ∴|A→ C′|＝ 2a2＋b2－2ab。

E

26，0，0，F0，32，32，
C 6，3，0。
研一研·问题探究、课堂更高效
设平面 PCE 的法向量为 n＝(x，y，z)，
E→P＝－

26，0，3，
E→C＝

26，3，0。
n·E→P＝0， n·E→C＝0，
－即
26x＋3z＝0，
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二点到平面的距离问题 1 什么叫点到平面的距离？
答案一点到它在一个平面内正射影的距离叫做点到这个平面的距离。如图，PA⊥α 垂足为 A，PB 和 α 交于点 B，易知 PA<PB。
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 怎样利用向量求点到平面的距离？
答案如图所示，设 n 是平面 α 的法向量，AB

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 3.2.5 距离（选学）》

空间中的距离教学目的：1掌握掌握点与平面、直线与平面间距离的概念，并能进行相互转化，通过解三角形知识求出它们的距离2培养学生辩证观，简单与复杂之间的转化，空间与平面之间的转化,了解距离的定义； 3弄清点到平面、平行直线到平面的距离的定义；4了解以上两种距离的关系和相互转化，并会求这两种距离教学重点：点到平面、直线到与它平行的平面的距离的求法教学难点：点到平面的距离的求法授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学方法：自主探究式和讲练结合法内容分析：本节主要学习点到平面的距离，直线到平面的距离和计算这一节要求学生掌握点和平面、直线和平面的距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的距离在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了教学过程：一、复习引入：1 两个图形1F 与2F 之间距离的概念：图形1F 内的任一点与图形2F 内的任一点间的距离中的最小值叫做图形1F 与2F 之间距离问题1：构成空间图形的基本元素有哪些？问题2：我们前面已经探讨过哪些空间基本元素的距离问题？问题3：一直线和一平面相交，这条直线到这个平面的距离等于多少？结论1：空间任意两个相交图形的距离是0二、讲解新课：1．空间中，两点间的距离公式若111(,,)A x y z =、222(,,)B x y z =，则||AB d AB == 2空间中，点到直线的距离公式已知直线,直线外一点P αP PA α⊥A PA PA P ααP αPA l αl αl ααl αl α1111ABCD A BC D -、N 、E 、F 分别为11A B 、11A D 、11B C 、11C D 的中点，求平面AMN 与平面EFDB 的距离四、课堂练习1已知(1,3,3)A 、(5,0,1)B ，则AB 的长度为（）A 3B 292如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（） αB A P DC B A l α1111ABCD A B C D -A 12B 4C 2D 23已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60︒，其模都为1，则|2|a b c -+等于（）五、小结：1空间中，点与点的距离2空间中，点到直线的距离3空间中，点到面的距离4 平行线的距离转化为点到直线的距离）5直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）6平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）六、课后作业导学案P46——当堂自测练习册P53——T4、T5七、教学反思。

数学人教B版选修2-1自我小测：3.2.5距离(选学)含解析

自我小测1．已知A，B两点到平面α的距离分别为1和2，线段AB在α内的射影线段长为错误!，则直线AB与平面α的夹角为(）A.错误!B.错误!C.错误!或错误!D.错误!或错误!2．在直角坐标系中，A(－2，3)，B（3，－2），沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为(）A.错误!B．2错误!C．3错误!D．4错误!3．在棱长为a的正方体ABCD。

A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点M到平面BDD1B1的距离是() A．a B.错误! C.错误!a D.错误!a4．如图，正三棱柱ABC.A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB,A1C1的中点，则EF的长是()A．2 B.错误!C。

错误!D。

错误!5．在三棱锥P.ABC中,侧棱P A，PB,PC两两垂直,且P A＝PB＝PC＝2，则点P到平面ABC的距离等于__________．6．如图，在正三棱柱ABC。

A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为__________．7．如图所示,在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,BD⊥DC，BD＝DC＝1,点E在AA1上，且AE＝错误!AA1＝错误!.DC1⊥BE,则点B到平面EDC1的距离为__________．8．在直三棱柱ABC.A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直线B1C与平面ABC所成的角为30°.试求点C1到平面AB1C的距离．9．如图，四棱锥P.ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F,E分别为AD，PC 的中点．(2）求点E到平面PFB的距离．参考答案1．解析:按照A，B两点在平面α的同侧和异侧分别讨论．答案：C2．解析：过A，B作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，则｜错误!|＝3，｜错误!|＝2，｜错误!｜＝5，又错误!＝错误!＋错误!＋错误!，∴|错误!|2＝32＋52＋22＋2×3×2×错误!＝44，∴|错误!|＝2错误!，故选B。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-5距离

3.2.5距离一、选择题1．已知平面α∥平面β，直线l ⊂α，α与β之间的距离为d ，有下列四个命题： ①β内有且仅有一条直线与l 的距离为d ； ②β 内所有的直线与l 的距离都等于d ； ③β内有无数条直线与l 的距离为d ； ④β内所有直线与α的距离都等于d . 其中真命题是( ) A ．①B ．②C ．①与④D ．③与④[答案] D[解析] 在直线l 上任取一点O ，过O 作OA ⊥β于A ，在平面β内，与l 不平行的所有直线与l 距离都是d ，否则不一定是d .∴①②错误，故选D.2．平面α内不共线的三点到平面β的距离相等且不为0，则α与β的位置关系为( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合D ．平行或相交[答案] D[解析] 两平面α，β平行或相交时都存在这样的三点，故选D.3．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.103[答案] D[解析] AP →＝(－1，－2,4)，d ＝|AP →·n ||n |＝103.4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，设点C 到平面ABC 1D 1的距离为d 1，D 到平面ACD 1的距离为d 2，BC 到平面ADD 1A 1的距离为d 3，则有( )A ．d 3<d 1<d 2B ．d 1<d 2<d 3C ．d 1<d 3<d 2D ．d 2<d 1<d 3[答案] D[解析] 由已知得d 1＝22a ，d 2＝33a ，d 3＝a ，∴d 2<d 1<d 3.故选D.5．已知平行四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BCA ＝30°，AC ＝20，P A ＝5，且P A ⊥面ABCD ，则P 到BC 的距离为( )A ．52B ．53C ．55D ．5[答案] C[解析] 由已知AB ＝20sin30°＝10，又P A ＝5，∴PB ＝52＋102＝5 5.故选C.6．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A.2 B ．211 C ．32D ．4 2[答案] B[解析] 过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则|AA ′|→＝3，|BB ′→|＝2，|A ′B ′→|＝5，又AB →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′B →，∴|AB →|2＝32＋52＋22＋2×3×2×12＝44，∴|AB →|＝211，故选B.7．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点M 到平面BDD 1B 1的距离是( )A ．a B.a2 C.2a2D.32a [答案] C[解析] 法一：由线面关系知AA 1∥平面BDD 1B 1，∴只需求B 点到平面BDD 1B 1的距离，而AC ⊥平面BDD 1B 1，∴d ＝22a . 法二：建立以D 为坐标原点的空间直角坐标系， DM →＝(a,0，a 2)，n ＝(－1,1,0)，∴d ＝|DM →·n ||n |＝a 2＝22a .8．将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，顶点A ，C 间距离为( )A ．aB.32aC.12a D.32a [答案] D[解析] 取BD 中点O ，则AO ⊥BD ，CO ⊥BD ， ∴∠AOC ＝60°，又AO ＝CO ＝32a ，∴AC ＝32a .故选D. 9．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2 B. 3 C.5D.7[答案] C[解析] 解法一：建立如图所示直角坐标系，则A 1(0，－1,2)，C 1(0,1,2)，E (32，12，0)，F (0,0,2)．则EF →＝(－32，－12，2)，|EF →|＝34＋14＋4＝ 5. 解法二：设AC 中点为G ，连CE 在Rt △FGE 中|EF |2＝|FG |2＋|GE |2＝4＋1＝5.∴EF ＝ 5. 10．在四面体P －ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，且M 到其它三面的距离分别是2、3、6，则M 到顶点P 的距离是( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] A[解析] 以P 为原点，P A ，PB ，PC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知M (2,3,6)，∴|MP |＝22＋32＋62＝7. 二、填空题11．设A 到平面α的距离是a ，自A 作平面α的两条斜线段AB ，AC 分别与平面α成45°和30°，∠BAC ＝90°，则两斜足B ，C 间的距离为________．[答案]6a[解析] 过A 作AO ⊥α于O ，则∠ABO ＝45°，∠ACO ＝30°，|AO |＝a ，∴|AB |＝2a ，|AC |＝2a ，又∠BAC ＝90°，∴|BC |＝|AB |2＋|AC |2＝6a .12．如图所示，在直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD ⊥DC ，BD ＝DC ＝1，点E 在AA 1上，且AE ＝14AA 1＝12.DC 1⊥BE .则点B 到平面EDC 1的距离为________．[答案]53[解析] 建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0)，A (1，－1,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，C 1(0，1,2)，E (1，－1，12)，∴DC 1→＝(0,1,2)，DE →＝(1，－1，12)．设平面EDC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧DE →·n ＝x －y ＋12＝0，DC 1→·n ＝y ＋2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝－2.∴n 可取为(－52，－2,1)．∴点B 到平面EDC 1的距离为d ＝|n ·DB →||n |＝52325＝53.13．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．[答案]217[解析] VB 1－ABC 1＝VA －BB 1C 1 VA －BB 1C 1＝13S △BB 1C 1×32AB ＝312∴VB 1－ABC 1＝13S △AB 1C 1·h ，S △ABC 1＝12AB ·172＝174，∴h ＝217.14．在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则AD 到平面PBC 的距离为________．[答案]2[解析] 由已知AB ，AD ，AP 两两垂直．∴以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，则PB →＝(2,0，－2)．BC →＝(0,2,0)，设平面PBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －2c＝0b ＝0，∴n ＝(1,0,1)，又AB ＝(2,0,0)， ∴d ＝|AB →·n ||n |＝ 2.三、解答题15．在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且AB ＝BC ＝2，E 为AC 的中点，若异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为1010，求点B 到平面ACD 的距离． [解析] 如图所示，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B －xyz ，则A (0,2,0)，C (2,0,0)，E (1,1,0)．设D (0,0，z )(z >0)，则BE →＝(1,1,0)，AD →＝(0，－2，z )．设BE →与AD →所成角为θ，由图知直线BE 与AD 所成角为π－θ. 而BE →·AD →＝2×4＋z 2·cos θ＝－2， ∴2×4＋z 2×⎝⎛⎭⎫－1010＝－2， ∴z ＝4，即D (0,0,4)．设向量n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 的一个单位向量，则n ⊥AD →且n ⊥AC →，由AC →＝(2，－2,0)，AD →＝(0，－2,4)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，2x －2y ＝0，－2y ＋4z ＝0.取x ＝23，则y ＝23，z ＝13.∴n ＝⎝⎛⎭⎫23，23，13. 又BD →＝(0,0,4)，∴点B 到平面ACD 的距离d ＝|BD →·n |＝43.16．已知棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求AD 1与A 1B 的距离．[解析] 如右图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)． ∴BA 1→＝(0，－1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，AB →＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )与BA 1→，AD 1→都垂直，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0.∴x ＝y ＝z .令z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴d ＝|AB →·n ||n |＝13＝33，∴AD 1与A 1B 的距离为33.17．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB 1＝1，直线B 1C 与平面ABC 所成的角为30°.试求点C 1到平面AB 1C 的距离．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt △B 1BC 中，BB 1＝1，∠B 1CB ＝30°， ∴BC ＝3，B 1C ＝2，∴A (0,0,0)、B (1,0,0)、C (0，2，0)、A 1(0,0,1)、B 1(1,0,1)，C 1(0，2，1)，设n ＝(x ，y ，z )是由C 1向平面AB 1C 所作垂线上的方向单位向量，则n ⊥AB 1→，且n ⊥AC →.即⎩⎪⎨⎪⎧x ×1＋y ×0＋z ×1＝0，x ×0＋y ×2＋z ×0＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1，解得n ＝⎝⎛⎭⎫22，0，－22(另一种情况舍去)， ∴B 1C 1→·n ＝(－1，2，0)·⎝⎛⎭⎫22，0，－22＝－22，则d ＝|B 1C 1→·n |＝|－22|＝22为所求的距离．18．(2007·甘肃)如图所示，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4，且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝0，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1.(1)求二面角O 1－BC －D 的大小； (2)求点A 到平面O 1BC 的距离．[解析] (1)由题意建立如图所示的空间直角坐标系．∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB ＝60°的菱形， ∴OA ＝23，OB ＝2.则A (23，0,0)，B (0,2,0)，C (－23，0,0)，O 1(0,0,3)． ∴O 1B →＝(0,2，－3)，O 1C →＝(－23，0，－3)．设平面O 1BC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )．由n 1⊥O 1B →，n 1⊥O 1C →得：⎩⎨⎧2y －3z ＝0，－23x －3z ＝0.令z ＝2，则x ＝－3，y ＝3，∴n 1＝(－3，3,2)．又平面AC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝24＝12. 设二面角O 1－BC －D 的平面角为α，则cos α＝12，∴α＝60°.故二面角O 1－BC －D 为60°. (2)设点A 到平面O 1BC 的距离为d .则(1)知平面O 1BC 的法向量为n 1＝(－3，3,2)．又∵O 1A →＝(23，0，－3)．则d ＝|O 1A →·n 1||n 1|＝|(23，0，－3)·(－3，3，2)|(－3)2＋32＋22＝3.∴点A 到平面O 1BC 的距离等于3.。

高二数学选修2-1(B版)_《距离(选学)》拔高练习

AA 1DCB B 1C 1图3.2.5距离（选学）一、选择题1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）A ．1030B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（） A ．515 B ．55 C ．552 D ．1055．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（）A ．a 42B ．a 82 图图C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（）A ．621B ．338 C ．60210D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（）A ．32B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（）A ．3π B ．6πC ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （）A ．66 B ．3316 C ．316D ．16二、填空题11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B到截面AEC F的距离．113．已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面D B EF的距离．14．已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线A E 与平面AB C1D1所成角的正弦值．三、解答题15．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1，求平面A1B C1与平面AB CD所成的二面角的大小16．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．17．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且P A⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．18．（12分）已知棱长为1的正方体A C1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的B DEF的距离；（3）求直线A1D与平面B DEF所成的角．19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．20．（14分）如图5：正方体AB CD-A1B1C1D1，过线段B D1上一点P（P 平面A C B1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．(1)求证：平面EFG∥平面A C B1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离．参考答案一、1．B ；2．A ；3．A ；4．C ；分析：建立如图所示的直角坐标系，则A ，B ，(C ，(D ，(0,0,2)S ．(2,DB ∴=，2(2CS =．令向量(,,1)n x y =，且,n DB n CS ⊥⊥，则00n DB n CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，(,,1)0(,,1)2)0x y x y ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x y x y +=⎧⎪⎨-+⎪⎩， x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩(2,n ∴=-．∴异面直线BD 和SC 之间的距离为：OC n d n⋅===5．A ；分析：11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又平面1AB D ⊥平面11ABB A ，1A B ∴⊥面1AB D ，1A B∴是平面1AB D 的一个法向量，设点C 到平面1AB D 的距离为d ，则11AC A B d A B⋅==1()AC A A AB ⋅+1)AC A A AC AB⋅+⋅==．6．B ；分析：建立如图所示的直角坐标系，设平面11A C D 的一个法向量(,,1)n x y =，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1,1)0x y x y ⋅=⎧⎨⋅=⎩11x y =-⎧⇒⎨=-⎩， (1,1,1)n ∴=--，∴平面1AB C 与平面11A C D 间的距离AD n d n⋅=222(_1,0,0)(1,1,1)3.3(1)(1)1⋅--==-+-+ 7．D ；()()().222,0,0,0,,0,,0,0.2220,0,.212,0,,422OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A a B a C a OP h P h D PC OD a h PA a ⊥==∴⊥⊥⊥-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 平面，，，，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则为的中点，又Ⅰ,0,1...2h OD PA OD PA OD PAB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴=-∴∴，平面∥∥()2,7,2214,0,,4411,1,,7210cos ,.30210sin cos ,,30210arcsin.30PA a h a OD a a PBC n OD n OD n OD nOD PBC OD n OD PBC θθ=∴=⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴ 可求得平面的法向量设与平面所成的角为，则与平面所成的角为Ⅱ8．B ；解以C 为坐标原点，C A 所在直线为x 轴，C B 所在直线为y 轴，1CC 所x ABCDA 1B 1C 1D 1yzE 图z yxPODCBA在直线为z 轴，建立直角坐标系，设a CB CA ==，则）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ∴ ）（1,2,2a a E ，）（31,3,3a a G ，）（32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵ 点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴ ⊥GE 平面AB D ， ∴ 0=⋅BD GE ，解得 2=a ．∴ ）（32,31,31=GE ，）（2,2,21-=BA ， ∵ ⊥GE 平面AB D ， ∴ GE 为平面AB D 的一个法向量．由 32323634||||,cos 111=⋅=⋅>=<BA GE BA GE BA GE ∴ B A 1与平面AB D 所成的角的余弦值为37．评析因规定直线与平面所成角]20[πθ，∈，两向量所成角]0[πα，∈，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|απθ-=．9．A ；取B C 的中点O ，连A O ．由题意平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥， ∴⊥AO 平面11B BCC ，以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则）（323,0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,323,231B ， ∴ ）（323,0,29-=AD ，）（0,323,31-=D B ，）（0,323,01=BB ，由题意 ⊥1BB 平面AB D ， ∴ ）（0,323,01=BB 为平面AB D 的法向量．设平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥D B n AD n 122， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122D B n AD n ， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03233032329y x z x ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧==xz y x 3323． ∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ，由 212323323||||,cos 212121=⨯=⋅>=<n BB n BB n BB ，得 60,21>=<n BB ．故所求二面角B AD B --1的大小为 60．评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2---=n 时，会算得21,cos 21->=<n BB ，从而所求二面角为 120，但依题意只为 60．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．10．C ；解以D 为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则 )4,22,22(1B ， )4,0,0(1D ，)0,2,22(E ，)0,22,2(F ，∴ )4,2,22(1-=E D ，)4,22,2(1-=F D ，)0,22,22(11=B D ，图10∴ 1312262624||||,cos 111111=⋅=⋅<F D E D F D E D F D E D ， B AD CD 1A 1B 1C 1zyxEFG∴135,sin 11>=<F D E D ，所以 5135262621,sin ||||211=⨯⨯⨯>=<⋅⋅=∆DF DE DF DE S EF D ，设平面EF D 1的方程为：0=+++D Cz By x ，将点F E D ,,1代入得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+0222022204D B D B D C ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===232431D C B ， ∴ 平面EF D 1的方程为：023243=-++z y x ，其法向量为 )243,1,1(=n ， ∴点1B 到平面EF D 1的距离516||11==n n B D d ， ∴ 31651653131111=⨯⨯=⋅⋅=∆-d S V EFD EFD B 即为所求．评析（1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式222000||CB A D Cz By Ax d +++++=计算得到．（2）法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．二、 11分析：设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E =，1(2,0,2)C B =，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ=，则1100n D E n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220λμ+=⎧⎨+=⎩，21λμ=-⎧∴⎨=-⎩，(1,2,1)n ∴=--，又11(0,2,0)D C =，1146D C nn⋅∴==，所以异面直线1D E 和1BC ． 12．36分析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则11(1,0,0),(0,,0),(1,,1)22A F E ．1(0,,1)2AE ∴=，1(1,,0)2AF =-；设面1AEC F 的法向量为(1,,)n λμ=，则有：0,0n AE n AF ⋅=⋅=，102211102λμλμλ⎧+=⎪=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪-+=⎪⎩，(1,2,1)n ∴=-，又(0,1,0)AB =，所以点B到截面1AEC F 的距离为AB n AB n⋅⋅==．13．1；解：如图建立空间直角坐标系，DB ＝（1，1，0），DF ＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1）设平面D B EF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则有：n 0=⋅DB即 x ＋y ＝0n 0=⋅DF21y ＋z ＝0 令x＝1, y =－1, z=21, 取n ＝（1，－1，21），则A 1到平面D B EF的距离1==h14．510解：如图建立空间直角坐标系，AB ＝（0，1，0），1AD ＝（－1，0，1），AE ＝（0，21，1）设平面AB C 1D 1的法向量为n ＝（x ，y ，z ）,由 0=⋅AB n 可解得n ＝（1，0，1）01=⋅AD n设直线A E 与平面AB C 1D 1所成的角为θ，则510sin ==θ，三、15．解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），B A 1＝（0，1，－1）设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量，由 011=⋅B A n 可解得1n ＝（1，1，1）0111=⋅C A n易知2n ＝（0，0，1），所以，n n =33所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角大小为a rccos33或 π－a rccos33．注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．16．证明：如图建立空间直角坐标系，则11C A ＝（－1，1，0），C B 1＝（－1，0，－1） D A 1＝（1，0，1）， A B 1＝（0，－1，－1）设111C A E A λ=，D A F A 11μ=，A B M B 11ν=（λ、μ、 νR ∈，且均不为0）设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，由 011=⋅E A n 可得 0111=⋅C A n λ 即 0111=⋅C A n011=⋅F A n 011=⋅D A n μ 011=⋅D A n解得：1n ＝（1，1，－1）由 012=⋅M B n 可得 012=⋅A B n ν 即 012=⋅A B n012=⋅C B n 012=⋅C B n 012=⋅C B n解得2n ＝（－1，1，－1），所以1n ＝－2n ， 1n ∥2n ，所以平面A 1EF ∥平面B 1MC ．注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1n ⊥2n 021=⋅⇔n n 来证明．17．（1）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ．∴AB ⊥平面P AD ．又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD ．（2）解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为（a ，a ，0），（0，2a ，0）．∵P A ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°．于是，在Rt △AED 中，由AD =2a ，得AE =a ．过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE =a ，∠EAF =60°，得AF =2a，EF =23a ，∴E （0，23,21a a ）于是，CD a a AE },23,21,0{=={－a ，a ，0} 设AE 与CD 的夹角为θ，则由cos θ=||||CD AE CD AE ⋅420)()23()21(002321)(0222222=++-⋅++⋅+⋅+-⋅a a a a a a a a AE 与CD 所成角的余弦值为42．评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段． 18．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系D —xyz ,则知B （1，1，0），).1,21,0(),1,1,21(F E设.),,(的法向量是平面BDEF z y x n =)1,21,0(),0,1,1(,,==⊥⊥DF DB DF n DB n 由得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0210z y DF n y x DB n 则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.21y z yx 令)21,1,1(,1--==n y 得．设点A 1在平面B DFE 上的射影为H ，连结A 1D ，知A 1D 是平面B DFE 的斜线段．.23)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1=--+⨯+--=⋅∴--=n AD D A.1222,cos ||||.2223223||||,cos ,23)21(1)1(||,2)1()1(||111111112222221=⨯>=<⨯=∴=⨯=⨯<∴=-++-==-++-=H A D A D A H A n D A n D A H A D A n O D A 又即点A 1到平面B DFE 的距离为1．（3）由（2）知，A 1H=1，又A 1D=2，则△A 1HD 为等腰直角三角形，4511=∠=∠H DA DH A.45,,,11111 =∠∴∠∴⊥DH A BDFE D A DH A BDFE D A HD BDFE H A 所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面19．解：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，()12,2,2A C =--， ()12,1,2D E =-，()0,2,0AB =，()10,0,2BB =．（Ⅰ）不难证明1A C 为平面BC 1D 的法向量， ∵ 1111113cos ,9AC D E AC D E AC D E ==∴ D1E 与平面BC 1D 所成的角的大小为 2π-（即．（Ⅱ）1A C 、AB 分别为平面BC 1D 、BC 1C 的法向量， ∵ 1113cos ,3AC AB AC AB AC AB ==，∴ 二面角D －BC 1－C 的大小为．（Ⅲ）∵ B 1D 1∥平面BC 1D ，∴ B 1D 1与BC 1之间的距离为11123AC BB d AC ==．20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF ∥A C ，EG ∥B 1C ，FG ∥AB 1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)(1)分析：要证平面EFG 平面A C B 1，由题设知只要证B D 1垂直平面A C B 1即可．证明：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a ，则A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），D 1（0，0，a ），B 1（a ，a ，a ），E （x E ，0，a ），F （0，y F ，a ），G （0，0，z G ）．∴→1BD =（－a ，－a ，a ），→1AB =（0，a ，a ），→EF （－x E ，y F ，0），→AC =（－a ，a ，0），→C B 1=（－a ，0，－a ），∵→1BD ·1→AB =(－a ，－a ，a )·(0，a ，a )=0， ∴→1BD ⊥→1AB ，同理 →1BD ⊥→AC ，而→1AB 与→AC不共线且相交于点A ，∴→1BD ⊥平面A C B 1，又已知→1BD ⊥平面EFG ， ∴ 平面EFG ∥平面A C B 1；又因为→1BD ⊥平面EFG ，所以 →1BD ⊥→EF ，则→1BD ·→EF =0，即 (－a ，－a ，a )·(－x E ，y F ，0)=0，化简得 x E －y F =0；同理 x E －z G =0, y F －z G =0，易得→EF=→EF=→FG，∴ △EFG 为正三角形．(2)解：因为△EFG 是正三角形，显然当△EFG 与△A 1C 1D 重合时，△EFG 的边最长，其面积也最大，此时，EF =A 1C 1=2·a ，∴EFG S ∆= D C A S 11∆=21→→D A C A 111··sin600=21(2·a )2·23=23·a 2 ．此时EF 与B 1C 的距离即为A 1C 1与B 1C 的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B 1到平面 A 1C 1D 的距离，记A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，作O 1H ∥D 1B 并交BB 1于点H ，则O 1H ⊥平面A 1C 1D ，垂足为O 1，则O 1(2a ，2a，a )，H(a ，a ，2a)，而→H O 1作为平面A 1C 1D 的法向量，所以异面直线EF 与B 1C 的距离设为d 是d = →→→HO H O B O 1111·=43)44(222a a a +=33·a ．(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K 与J ，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO 1，O B 1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)。

高中人教B版数学选修2-1练习：3.2.5 距离(选学) Word版含解析

3.2.5距离(选学)课时过关·能力提升1.在三棱锥P-ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=90°,P A=PB=PC=13,则点P到平面ABC的距离为()A.12B.6C.解析:设BC的中点为D,则由已知可证∠PDB=∠PDC=∠PDA=90°,PD⊥平面ABC,PD就是所求距离,在Rt△ABC中,DA PD答案:A2.半径为R的球面上有A,B,C三点,其中A和B及A和C的球面距离都AC解析:如图,由题知∠AOB=∠AOC=90°,∠BOC=60°,OA=OB=OC=R,在Rt△AOD中,高OH 即为所求.利用V A-OBC=V O-ABC,得·R·OH,∴OH答案:C3.已知A,B两点到平面α的距离分别为1和2,线段AB在α内的射影线段长AC解析:按照A,B两点在平面α的同侧和异侧分别讨论.答案:C4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是()A解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),设n=(1,y,z)是平面ABC1D1的一个法向量,则y=0,z=1,∴n=(1,0,1).∴点O到平面ABC1D1的距离答案:B★5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为()AC解析:利A1到截面AB1D1的距离答案:C6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱B1C1和C1D1的中点,则直线EF到平面B1D1D的距离为.解析:设B1D1中点为O,EF中点为K,则KO即为EF到平面B1D1D的距离,KO答案:7.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内,AB∥α,AC,BC与α所成的角分别为45°和30°,若AB=6,则AB到α的距离为.解析:设AB到α的距离为h,则CB AB2=AC2+CB2可h答案:★8.在三棱锥P-ABC中,侧棱P A,PB,PC两两垂直,且P A=PB=PC=2,则点P到平面ABC的距离等于.答案:9.在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.解:如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD 交AB于点M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,∴y=n=(代入d d即点D到平面ABC的距离★10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别在棱AB,CC1,D1A1上,且正方体的棱长为a,AE=CF=D1G=b.(1)求证:DB1⊥平面EFG;(2)求B1到平面EFG的距离.分析:在正方体中建立空间直角坐标系较为方便,可建立坐标系求平面的法向量,用向量法证明线面垂直,求点面距离.(1)证明:如图,以D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),B1(a,a,a),E(a,b,0),F(0,a,b),G(b,0,a).所所所以DB1⊥EF,DB1⊥FG.而EF∩FG=F,所以DB1⊥平面EFG.(2B1到平面EFG的距离为d,则d所以点B1到平面EFG的距离。

高中数学人教B版选修2-1配套课件：3.2.5距离(选学)

通常借助于面面垂直的性质过这一点作平面的垂线，从而转
化为点到面的距离求解．
4．两个平行平面的距离
同时垂直的直线，叫做两个平面 (1) 和两个平行平面 ____________ 的公垂线．夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的 (2) 公垂线 ________ 公垂线段．
(3) 两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距
第三章
空间向量与立体几何
第三章
3.2 空间向量在立体几何中的应用
第三章
3.2.5 距离(选学)
课前自主预习
课堂典例讲练
方法警示探究思想方法技巧
易错疑难辨析
课后强化作业
课前自主预习
网上称当前全球口径最大、射程最远、威力最大的狙击
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
步枪是美国巴雷特公司的XM109——“狙击步枪之王”．该枪全
长 116.84 厘米，重 21 千克，能够打击两千米之外的目标 ( 枪口与目标点两点之间的距离)．由于是超大口径，它使用的25毫米子弹是由“阿帕奇”攻击直升机上M789机关炮使用的30毫米高爆子弹改进来的．该枪至少能够穿透 50 毫米的装甲钢
离．
名师点拨：两平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点作另一个平面的垂线段，这样公垂线的长就是点到平面的距离，所以两平行平面的距离，可转化为点到平面的距
离，可能用点到平面的距离求解．
1.空间直角坐标系中，已知 A(2,3,4)， B(－2,1,0)， C(1,1,1)，则 C 到 AB 中点的距离为( A．1 C．2 ) B． 3 D． 5
[ 答案]
[ 解析]
2 4
设 B1D1 中点为 O， EF 中点为 K，则 KO 即为 EF