学案充分条件和必要条件

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学案12：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件

1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件学习目标(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．学习重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．学习难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？知识梳理1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p q p q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的条件，简称条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件.互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件规律方法1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．类型3 充要条件的证明例3 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.规律方法1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．变式训练求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．当堂检测1．“x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？参考答案知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思1．【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A 不一定闭合，即p ⇒q ，qp ；②开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，灯泡B 亮，开关A 必须闭合，即p q ，q ⇒p ；③开关A 闭合，灯泡B 亮，反之灯泡B 亮，开关A 一定闭合，即p ⇔q ；④开关A 闭合与否，不影响灯泡B ，反之，灯泡B 亮与否，与开关A 无关，即pq ，且q p .2．【提示】 p ⇔q .知识梳理1．⇒ 充分充分必要必要2.充分必要充要互为充要互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)①对，Δ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，但ax 2＋bx ＋c ＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根．故选D.(2)p ：－2≤x ≤1，q ：x ＜2，显然p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件．变式训练【答案】 ①③④【解析】 ①中，当a ＝2时，有(a －1)(a －2)＝0；但当(a －1)(a －2)＝0时，a ＝1或a ＝2，不一定有a ＝2.∴“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a >b ac 2>bc 2(c ＝0)，但ac 2>bc 2⇒a >b . ∴“a >b ”是“ac 2>bc 2”必要不充分条件，②错．③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b，即ab ＝1， ∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6. ∴是充要条件，④正确．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 解：(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则¬q ⇒¬p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由¬p 是¬q 的必要不充分条件，可得¬q ⇒¬p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 变式训练解：法一由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴¬p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，¬q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }．∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．法二由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.类型3 充要条件的证明例3 证明：充分性(由条件推结论)：∵0＜m ＜13， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0， ∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13. 综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 变式训练证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.(1)证明p ⇒q ，即证明必要性．∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性．由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.当堂检测1．【答案】A【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．【答案】B【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．3．【答案】x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。

学案：充分条件与必要条件

充分条件与必要条件（一）日期：学习目标：正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用重点难点：充分不必要条件、必要不充分条件的概念及判断方法学习过程：一、自学课本，解决课后练习；二、交流探究：1、请给出推断符号“p q ⇒”的含义2、请分别给出充分条件、必要条件的概念应注意：条件和结论是相对而言的，由“p q ⇒”等价命题是“q p ⌝⇒⌝”，即若q 不成立，则p 就不成立，故q 就是p 成立的必要条件了．但还必须注意，q 成立时，p 可能成立，也可能不成立，即q 成立不保证p 一定成立．3、如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？三、学以致用：1、指出下列命题中，p 是q 的什么条件?(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充分且必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)⑴p ：10x -=，q ：()()120x x -+=； ⑵p ：两直线平行，q ：内错角相等；⑶p ：a b >，q ：22a b >； ⑷p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形．说明：以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.2、如图1，有一个圆A ，在其内又含有一个圆B . 请回答：⑴命题：若“A 为绿色”，则“B 为绿色”中，“A 为绿色”是“B 为绿色”的什么条件；“B 为绿色”又是“A 为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B 内”，则“红点一定在A 内”中，“红点在B 内”是“红点在A 内”的什么条件；“红点在A 内”又是“红点在B 内”的什么条件.说明：（１）对上述问题（2），若用集合观点又怎样解释呢？即给定两个条件,p q ，要判断p 是q 的什么条件，也可考虑集合：{|A x x =满足条件},{|p B x x =满足条件}q①A B ⊆,则p 为q 的充分条件，q 为p 的必要条件；②A B ≠⊂,则p 为q 的充分条件不必要条件； ③A B =，则p 、q 互为充分且必要条件3、⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的条件．⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使,a b 不都为0的充分条件是．（3）“A B A =”是“A B =”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件四、概括升华：五、温故知新：习题1-2 1，2，41．是由p 经过推理可以得出q ，即如果p 成立，那么q 一定成立．此时可记作“p q ⇒”．由p 经过推理得不出q ，即如果p 成立，推不出q 成立，此时可记作“p q ⇒/”．用推断符号“⇒”写出下列命题：⑴若a b >，则a c b c +>+； ⑵若0x ≥，则20x ≥；⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．2．充分条件与必要条件一般地，如果已知p q ⇒，那么就说：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件．由上述定义中，“p q ⇒”即如果具备了条件p ，就足以保证q 成立，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解．但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p 则q ”为真（即p q ⇒）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q 则非p ”为真（即q p ⌝⇒⌝）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．解：⑴因为10x -=⇒(1)(2)0x x -+=，但(1)(2)0x x -+=⇒/10x -=，所以p 是q 的充分不必要条件.⑵因为，两条直线平行⇔内错角相等，所以p 是q 的充要条件；⑶因为，22a b a b >⇒>/，但22a b a b >⇒>/，所以：p 是q 的既不充分条件又不必要条件。

充分条件、必要条件与命题的四种形式

学案三充分条件、必要条件与命题的四种形式一、目标要求理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

二、知识梳理1、充要条件（1）定义：(2)若p ⇒q ，但q ⇒/p,则p 是q 的若q ⇒p ，但p ⇒/q ，则p 是q 的2、四种命题（1）命题的四种形式：原命题：逆命题：否命题：逆否（2）四种命题的关系如下：三、基础训练1、a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的（） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件2、在ABC ∆中条件A 〉B 是B A 22cos cos <的条件3、“ab<0”是方程a c by x =+22表示双曲线的条件4、(2008山东文)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过第四象限。

在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A 、 3B 、 2C 、 1D 、 0 四、典例精析例1（2007山东理）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是① p:62>-<m m 或; q:32+++=m mx x y 有两个不同的零点。

② p:1)()(=-x f x f ；q:)(x f y =是偶函数。

③ p:βαcos cos =；q:βαtan tan =。

④ p:A =B A ；q:AC B C U U ⊆。

A. ①② B.②③ C.③④ D.①④例2已知p:2311≤--x ；q:).0(01222>≤-+-m m x x 若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

例3已知数列{n a }的前n 项和)10(≠≠+=p p q p s n n 且，求数列{n a }成等比数列的充要条件。

五、综合训练一、选择题1、条件p:∣x+1|>2;条件q:x>2,则p ⌝是q ⌝的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件︳(C)充要条件（D ）既不充分也不必要条件2、是⎩⎨⎧>>3321x x ⎩⎨⎧>>+9x x 6x x 2121成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件︳(C)充要条件（ D ）既不充分也不必要条件3、四个条件b>0>a,0>a>b,a>0>b,a>b>0中，能使ba 11<成立的充分条件的个数是（）（A ）1 （B ）2 (C)3 （D ）44、已知真命题“a c b ⇒≥>d ”和“a<b f e ≤⇔”,那么“d c ≤”是“f e ≤”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件(C)充要条件（D ）既不充分也不必要条件5、下列四个命题：（1） “若xy=1,则x,y 互为倒数”的逆命题，（2） “相似三角形的周长相等”的否命题，（3） “若a 1≤,则方程0222=++-a a ax x 有实根”的逆命题，（4） “若,B B A =⋃则B A ⊇”的逆否命题其中真命题的是（）A (1)(2) B(2)(3) C (1)(3) D （3）（4）6、已知=a,=b,=c,则a+b+c=0是A,B,C 三点构成三角形的是（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件(C)充要条件（D ）既不充分也不必要条件7、已知222111,,,,,c b a c b a 均为非零实数，不等式0022221121>++>++c x b x a c x b x a 和的解集分别为集合M 和N,那么“212121c c b b a a ==”是 “M=N ”的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件(C)充要条件（D ）既不充分也不必要条件8、设有如下三个命题：甲：相交的直线l,m 都在平面α内,并且都不在平面β内；乙：直线l,m 中至少有一条与平面β相交;丙：平面α与平面β相交。

学案2：1.3.1 推出与充分条件、必要条件

1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识梳理知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的条件，q是p的条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件学习案例题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1由充分条件、必要条件求参数范围例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2(1)“不等式(a＋x)(1＋x)<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x<－1”，则实数a的取值范围是________．(2)已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．命题角度2探求充要条件例3求关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立的充要条件．反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________.充要条件的证明典例求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a<0， ∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)，∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．达标检测1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．5．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．参考答案知识点一充分条件与必要条件1．充分必要2．充分不必要必要不充分知识点二充要条件1．充分且必要学习案例题型一充分、必要、充要条件的判断例1 解 (1)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(2)因为m >0⇒方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1＋4m >0，即方程有实根，方程x 2＋x －m ＝0有实根，即Δ＝1＋4m ≥0⇏m >0，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)p 是q 的既不充分也不必要条件．跟踪训练1 解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．跟踪训练2 (1)【答案】 (2，＋∞)【解析】不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因为当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解集是－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，所以－2>－a ，即a >2.(2)【答案】 [－1,5]【解析】因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 解由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4. 跟踪训练3 【答案】－4或0【解析】由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2，即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0. 达标检测1．【答案】 C【解析】 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．【答案】 A【解析】命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件．3．【答案】 A【解析】由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．【答案】 (－∞，－3]【解析】由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．【答案】充要【解析】 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2.(2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a. 令12a ＝1a，方程无解．当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2.∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．。

高中数学同步学案充分条件与必要条件

充分条件与必要条件预习课本P9～11,思考并完成以下问题 1．什么是充分条件、必要条件？2．什么是充要条件？[新知初探]1．充分条件与必要条件命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题推出关系 p ⇒q p ⇒/ q 条件关系p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件2若p ⇒q 且q ⇒p,则记作p ⇔q,此时p 是q 的充分必要条件,简称充要条件．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)x ＝1是(x －1)(x －2)＝0的充分条件( ) (2)α＝π6是sin α＝12的必要条件( )(3)若p 是q 的充要条件,则命题p 和q 是两个相互等价的命题( )(4)“若綈p,则綈q”是真命题,则p 是q 的必要条件( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知向量a ＝(x －1,2),b ＝(2,1),则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案：D3．设集合M ＝{x|0<x≤3},N ＝{x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B4．“a>0,b>0”是“ab>0”的________条件(填“充分”或“必要”)．答案：充分充分条件、必要条件、充要条件的判断[典例] (1)(2017·天津高考)设x ∈R,则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京高考)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m ＝λn”是“m·n<0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3)如果x,y 是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [解析] (1)由2－x≥0,得x≤2,由|x －1|≤1,得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤2⇒/ 0≤x≤2,故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件． (2)∵m ＝λn ,∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m·n＝|m||n|cos 〈m,n 〉<0⇔cos 〈m,n 〉<0⇔〈m,n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π, 当〈m,n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,m,n 不共线．故“存在负数λ,使得m ＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．(3)命题“若x≠y ,则cos x≠cos y”等价于命题“若cos x ＝cos y,则x ＝y”,这个命题是假命题,故x≠y ⇒/ cos x≠cos y；命题“若cos x≠cos y ,则x≠y”等价于命题“若x ＝y,则cos x ＝cos y”,这个命题是真命题,故c os x≠cos y ⇒x≠y.故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．[答案] (1)B (2)A (3)C充要条件的判断方法(1)定义法：①分清条件p 和结论q ：分清哪个是条件,哪个是结论；②找推式：判断“p ⇒q”及“q ⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A ＝{x|p(x)}及B ＝{x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时,要尽可能用Venn 图、数轴、直角坐标平面等几何方法,图形形象、直观,能简化解题过程,降低思维难度．[活学活用]1．在△ABC 中,角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由正弦定理,得a sin A ＝bsin B, 故a≤b ⇔sin A≤sin B ,选A.2．指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等,q ：四边形是平行四边形； (2)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0,q ：(x －1)(y －2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形,四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等,∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)∵(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)·(y－2)＝0, 而(x －1)(y －2)＝0⇒/ (x －1)2＋(y －2)2＝0, ∴p 是q 的充分不必要条件.充分条件与必要条件的应用[典例] 已知222p 是綈q 的必要条件,求实数a 的取值范围．[解] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a<0得3a<x<a, 所以p ：3a<x<a,即集合A ＝{x|3a<x<a}．由x 2－x －6≤0得－2≤x≤3,所以q ：－2≤x≤3,即集合B ＝{x|－2≤x≤3}．因为綈q ⇒綈p,所以p ⇒q,所以A ⊆B, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－2，a≤3，a<0⇒－23≤a<0,所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. [一题多变]1．[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”,若綈p 是綈q 的充分条件,求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2<0且a>0得a<x<3a, 所以p ：a<x<3a,即集合A ＝{x|a<x<3a}．由x 2－x －6≤0得－2≤x≤3,所以q ：－2≤x≤3,即集合B ＝{x|－2≤x≤3}．因为綈p ⇒綈q,所以q ⇒p,所以B ⊆A, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥3，a≤－2，⇒a ∈∅.a>02．[变条件]将“q：实数x 满足x 2－x －6≤0”改为“q：实数x 满足x 2＋3x≤0”其他条件不变,求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2<0且a<0得3a<x<a. 所以p ：3a<x<a,即集合A ＝{x|3a<x<a}．由x 2＋3x≤0得－3≤x≤0,所以q ：－3≤x≤0,即集合B ＝{x|－3≤x≤0}．因为綈q ⇒綈p,所以p ⇒q,所以A ⊆B, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－3，a≤0，a<0⇒－1≤a<0.所以a 的取值范围是[－1,0)．充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p,q 等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解．充要条件的证明[典例] 证明：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. [证明] (1)充分性：∵ac<0, ∴Δ＝b 2－4ac>0,c a<0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根．设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为x 1,x 2, 则x 1·x 2＝ca<0,∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根．(2)必要性：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根,∴Δ＝b 2－4ac>0,x 1·x 2＝c a <0,∴ac<0.故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时,要注意：若证明“p 的充要条件是q”,那么“充分性”是q ⇒p,“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”,则与之相反．(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明．[注意] 证明时一定要注意证明的方向性,分清充分性与必要性的证明方向． [活学活用]已知x,y 都是非零实数,且x>y,求证：1x <1y 的充要条件是xy>0.证明：(1)必要性：由1x <1y ,得1x －1y <0,即y －xxy <0,又由x>y,得y －x<0,所以xy>0. (2)充分性：由xy>0及x>y, 得x xy >y xy ,即1x <1y. 综上所述,1x <1y 的充要条件是xy>0.层级一学业水平达标1．设p ：x<3,q ：－1<x<3,则p 是q 成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为(－1,3)(－∞,3),所以p 是q 成立的必要不充分条件． 2．下面四个条件中,使a>b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a≥b＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：选A 由a≥b＋1>b,从而a≥b＋1⇒a>b ；反之,如a ＝4,b ＝3.5,则4>3.5/⇒4≥3.5＋1,故a>b/⇒a≥b＋1,故A 正确．3．已知a,b 是实数,则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为|a ＋b|＝|a|＋|b|⇔a 2＋2ab ＋b 2＝a 2＋2|ab|＋b 2⇔|ab|＝ab ⇔ab≥0,而由ab≥0不能推出ab>0,由ab>0能推出ab≥0,所以由|a ＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0,由ab>0能推出|a ＋b|＝|a|＋|b|,故选B.4．设φ∈R,则“φ＝0”是“f(x )＝cos(x ＋φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A φ＝0时,函数f(x)＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数,而f(x)＝cos(x ＋φ)是偶函数时,φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．5．使|x|＝x 成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x≥0 B ．x 2≥－x C ．log 2(x ＋1)>0D ．2x<1解析：选B ∵|x|＝x ⇔x≥0,∴选项A 是充要条件．选项C 、D 均不符合题意．对于选项B,∵由x 2≥－x 得x(x ＋1)≥0, ∴x≥0或x≤－1.故选项B 是使|x|＝x 成立的必要不充分条件．6．如果命题“若A,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假,所以原命题为假,即A ⇒/ B. 又因否命题为真,所以逆命题为真,即B ⇒A, 所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分7．条件p ：1－x<0,条件q ：x>a,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________．解析：p ：x>1,若p 是q 的充分不必要条件,则p ⇒q,但q ⇒/ p ,也就是说,p 对应集合是q 对应集合的真子集,所以a<1.答案：(－∞,1) 8．下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②b 2－4ac<0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c<0解集为R 的充要条件； ③“a＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy＝1”是“lg x＋lg y ＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为______________．解析：①x>2且y>3时,x ＋y>5成立,反之不一定,如x ＝0,y ＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a<0且b 2－4ac<0,故②为假命题；③当a ＝2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则a 1＝21,∴a ＝2.因此,“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy)＝0,∴xy ＝1且x>0,y>0. 所以“lg x＋lg y ＝0”成立,xy ＝1必成立,反之不然．因此“xy＝1”是“lg x＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知,真命题是④. 答案：④9．下列命题中,判断条件p 是条件q 的什么条件． (1)p ：|x|＝|y|,q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形,q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分,q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2. 解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x ＝y,但x ＝y ⇒|x|＝|y|, ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇒/ △ABC 是等腰三角形, △ABC 是等腰三角形⇒/ △ABC 是直角三角形, ∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分, ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r,即r ＝|c|a 2＋b2,所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来,若c 2＝(a 2＋b 2)r 2,则|c|a 2＋b2＝r 成立,说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r, 即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切, 故p 是q 的充要条件．10．已知命题p ：对数函数f(x)＝log a (－2t 2＋7t －5)(a>0,且a≠1)有意义,q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真,求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围．解：(1)因为命题p 为真,则对数函数的真数－2t 2＋7t －5>0,解得1<t<52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52.(2)因为命题p 是q 的充分条件,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t1<t<52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2,所以只需a ＋2≥52,解得a≥12.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.层级二应试能力达标1．“0<a<b”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<a<b 时,⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b成立,所以是充分条件；当⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b时,有a<b,不能推出0<a<b, 所以不是必要条件,故选A. 2．下列说法正确的是( ) A ．“x>0”是“x>1”的必要条件B ．已知向量m,n,则“m∥n”是“m＝n”的充分条件C ．“a 4>b 4”是“a>b”的必要条件D ．在△ABC 中,“a>b”不是“A>B”的充分条件解析：选A A 中,当x>1时,有x>0,所以A 正确；B 中,当m∥n 时,m ＝n 不一定成立,所以B 不正确；C 中,当a>b 时,a 4>b 4不一定成立,所以C 不正确；D 中,当a>b 时,有A>B,所以“a>b”是“A>B”的充分条件,所以D 不正确．故选A.3．已知直线l,m,平面α,且m ⊂α,则( ) A ．“l⊥α”是“l⊥m”的必要条件 B ．“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件 C ．l ∥m ⇒l ∥α D ．l ∥α⇒l ∥m解析：选B 很明显l ⊥α⇒l ⊥m,l ⊥m ⇒/ l ⊥α,l ∥m ⇒/ l ∥α,l ∥α ⇒/ l ∥m,故选B. 4．设p ：12≤x≤1；q ：(x －a)(x －a －1)≤0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析：选B ∵q ：a≤x≤a＋1,p 是q 的充分不必要条件, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a<12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，解得0≤a≤12.5．已知关于x 的方程(1－a)x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R),则该方程有两个正根的充要条件是________．解析：方程(1－a)x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a≠0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a ＋22＋161－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10.设此时方程的两根分别为x 1,x 2,则方程有两个正根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10，a ＋2a －1>0，4a －1>0⇔1<a≤2或a≥10.答案：(1,2]∪[10,＋∞)6．已知“－1<k<m”是“方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆”的充分条件,则实数m 的取值范围是________．解析：当方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆时, k 2＋3－4k 2>0,解得－1<k<1, 所以－1<m≤1,即实数m 的取值范围是(－1,1]．答案：(－1,1]7．已知p ：关于x 的方程4x 2－2ax ＋2a ＋5＝0的解集至多有两个子集,q ：1－m≤a≤1＋m,m>0.若q 是p 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．解：∵q 是p 的必要不充分条件, ∴p 是q 的充分不必要条件．对于p,依题意,知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a 2－8a －20)≤0,∴－2≤a≤10.设P ＝{a|－2≤a≤10},Q ＝{a|1－m≤a≤1＋m,m>0},由题意知P Q,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，1－m<－2，1＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，1－m≤－2，1＋m ＞10，解得m≥9,∴实数m 的取值范围是[9,＋∞)．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋l.(1)证明：l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件．(2)试问：l ＝－1是否为{a n }是等差数列的充要条件？请说明理由．解：(1)证明：∵a 1＝S 1＝4＋l,当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1.∴a 2＝5,a 3＝7.∵{a n }是等差数列,则2a 2＝a 1＋a 3,即2×5＝(4＋l)＋7,解得l ＝－1.故l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件．(2)当l ＝－1时,S n ＝(n ＋1)2－1,a 1＝S 1＝3,当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1.又a 1＝3适合上式,∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．又∵a n ＋1－a n ＝2,∴{a n }是公差为2,首项为3的等差数列．∴l ＝－1是{a n }是等差数列的充分条件．又由(1)知l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件,∴l ＝－1是{a n }是等差数列的充要条件．。

学案4:1.2.1 充分条件与必要条件

1.2.1 充分条件与必要条件教学过程一、问题情境对于“命题p是q成立的充要条件”和“命题p成立的充要条件是q”,充分性、必要性分别指的是什么?二、数学建构1.充要条件如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.我们就说,p和q互为充要条件.(1) 符号“⇔”叫做等价符号,“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”,也表示“p等价于q”;(2) “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“命题”反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判断时应注意:(1) 确定条件是什么,结论是什么;(2) 尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方法有直接证法或间接证法);(3) 确定条件是结论的什么条件;(4) 充要性包含:充分性p⇒q,必要性q⇒p,这两个方面,缺一不可.三、数学运用【例1】若M是N的充分不必要条件,N是P的充要条件,Q是P的必要不充分条件,则M 是Q的什么条件?【例2】若不等式|x-a|<2成立的充分不必要条件是1<x<3,求实数a的取值范围.【例3】求证:实系数一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实根的充要条件是q<0.【例4】求证:对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.四、课堂练习1. “xy≥0”是“|x+y|=|x|+|y|”的条件.2. “A∩B=A”是“A=B”的条件.3.已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,那么p是q的条件.4.求证:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.五、课堂小结1.“充要条件”的判定方法.2.理解充要条件的含义并解决有关问题.课堂练习答案【例1】【答案】解由题意可知M⇒N⇔P⇒Q,显然M是Q的充分不必要条件.【例2】【答案】解由|x-a|<2,得a-2<x<a+2.由题意得2123aa-≤⎧⎨+≥⎩(等号不能同时成立),解得1≤a≤3.因此,实数a的取值范围是[1, 3].【例3】【答案】证明①充分性:因为q<0,所以方程x2+px+q=0的Δ=p2-4q>0,所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,设其为x1,x2.因为x1·x2=q<0,所以方程x2+px+q=0有两个异号实根.②必要性:因为方程x2+px+q=0有两个异号实根,设其为x1,x2,所以x1·x2<0.因为x1·x2=q,所以q<0.由①②,原命题得证.【例4】【答案】证明必要性:对于任意的x,y∈R,如果x2+y2=0,那么x=0,y=0,即xy=0.故“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件.不充分性:对于任意的x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,故“xy=0”不是“x2+y2=0”的充分条件.综上,对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.课后练习1. 【答案】充要2.【答案】必要不充分3. 【答案】充分不必要4. 【答案】证明充分性:若b=0,则f(x)=ax2+c,所以f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),故f(x)为偶函数;必要性:若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),即ax2+bx+c=a(-x)2-bx+c对任意的x∈R恒成立,所以b=0.综上,函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.。

学案1：1.4.1　充分条件与必要条件

1.4充分条件与必要条件学习目标1、知识目标1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．2、素养提升1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.重点难点重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．．难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．学习过程一、预习导入阅读课本，填写.1．充分条件与必要条件2. 充要条件一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ．此时，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．概括地说，(1)如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件． (2)若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则称p 是q 的充分不必要条件． (3)若q ⇒p ，但p ⇒/q ，则称p 是q 的必要不充分条件． (4)若p ⇒/q ，且q ⇒/p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件． 3.从集合角度看充分、必要条件小试牛刀1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p 是q 的必要条件,则q 是p 的充分条件. ( ) (2) 若q 是p 的必要条件，则q 成立，p 也成立. ( ) (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件. ( ) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若p 是q 的充分条件,q 是r 的充分条件,则p 是r 的条件. (2)“a >0,b >0”是“ab >0”的条件.(3)“若p ,则q ”的逆命题为真,则p 是q 的条件. 3．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件A B是q 的充分不必是q 的必要不充p,q 互为充要条件q 的既不充分也不必要条件D ．既不充分也不必要条件自主探究题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1.解题技巧：（充分条件与必要条件的判断方法） (1)定义法若p ⇒q ，q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p ⇏q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p ⇏q ，q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B A ，则p 是q 的必要不充分条件． (3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．跟踪训练一1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型二充要条件的探求与证明例2 (1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( )A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.跟踪训练二2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)(2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.题型三利用充分、必要条件求参数的范围例3 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为____变式． [变条件] 【例3】本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．解题技巧：（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围） (1)化简p 、q 两命题，(2)根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围．跟踪训练三3．已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．当堂检测1．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A 是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b34．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．5．下列说法正确的是________．(填序号)①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件；6．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；7．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一个必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围．8．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．参考答案小试牛刀1．答案：(1) √(2) × (3)×2．（1）充分（2）充分（3）必要 3．A 自主探究例1 【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即﹁q ⇒﹁p ，但﹁p ⇒﹁q ，所以p 是q 的充分不必要条件． (3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件． (4)由于a ＜b ，当b ＜0时，ab＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有ab ＜1；当a ＞0，b ＞0，ab ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，ab ＜1时，可以推出a ＞b .因此p 是q 的既不充分也不必要条件．跟踪训练一 1．【答案】D例2 【答案】（1）B （2）见解析【解析】(1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B. (2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y 的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy <0⇔xy >0.所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y 的充要条件是xy >0. 跟踪训练二2．【答案】（1）B （2）见解析【解析】（1）由x (x －2)<0得0<x <2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．（2）证明假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0. ①证明p ⇒q ，即证明必要性．∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ②证明q ⇒p ，即证明充分性．由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0.故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 例3 【答案】{m |m ≥9}(或[9，＋∞))【解析】由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且q ⇒/p . 即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.变式．【答案】见解析【解析】由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p ⇒/q . 则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10} 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．跟踪训练三 3．【答案】见解析【解析】因为“x ∈P ”是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5即a 的取值范围是[－1,5]．当堂检测1-3．CAA 4．(－∞，1) 5．①6．【答案】见解析【解析】 (1)∵|x |＝|y |x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要不充分条件． (2)∵△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形，△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形，∴p 是q 的既不充分也不必要条件． (3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p 是q 的必要不充分条件． 7．【答案】见解析【解析】由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，－a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}{x |1－a <x <1＋a }(a >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a >4，解得a >2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]． 8．【答案】见解析【解析】当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1＞0，当a ＞0时，－1a <0，若Δ＝4－4a ≥0，则a ≤1，即0＜a ≤1时，f (x )有两个负实数根．当a ＜0时，因为f (0)＝1，Δ＝4－4a ＞0恒成立，所以方程恒有负实数根．综上所述，a ≤1为所求．。

1.4.1 充分条件与必要条件(学案)2021-2022学年高一数学人教A版2019必修第一册

1.4充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件【学习目标】一．充分条件与必要条件的概念一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．注意：充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．二．充分条件、必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A BB A【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)（1）若p是q的充分条件，则p是唯一的．()（2）若q是p的必要条件，则p是q的充分条件()（3）若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．()（4）q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．()【经典例题】题型一充分条件、必要条件的判定点拨：定义法判断充分条件、必要条件 1.确定谁是条件，谁是结论；2.尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；3.尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。

例1：下列“若p 则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。

（4）1x 1x 2==，则若（5）若a =b ，则ac =bc 。

（6）若x ，y 为无理数，则xy 为无理数。

【跟踪训练】1 下列“若p 则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。

（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。

（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。

.1x 1x 42==，则）若（（5）若ac =bc ，则a =b（6）若xy 为无理数，则x ，y 为无理数题型二充分条件、必要条件求参数的范围点拨：利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围1.化简p，q两命题；2.根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；3.利用集合间的关系建立不等式；4.求解参数范围.例2已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【跟踪训练】2 是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．【当堂达标】1.(多选)使ab>0成立的充分条件是( )A.a>0，b>0B.a＋b>0C.a<0，b<0D.a>1，b>12.设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不充分又不必要条件3.设x∈R，则x>2的一个必要条件是()A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<34.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断5.若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的条件．(填必要、不必要)6.已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q 是p的必要条件，求实数m的取值范围．【课堂小结】充分条件、必要条件的判断方法1.定义法：直接利用定义进行判断．2.等价法：“p∈q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．3.利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．【参考答案】【自主学习】∈ ⇏ 充分必要充分必要【小试牛刀】 × √ √ √ 【经典例题】例1 （1）这是平行四边形的判定定理，p ∈q ，所以p 是q 的充分条件。

充分条件与必要条件-2021-2022学年高一数学同步学案(人教A版2019必修第一册)(解析版)

1.4 充分条件与必要条件【学习要求】1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力. 【思维导图】【知识梳理】1）充分条件与必要条件2）充要条件(1)定义：若p ⇒q 且q ⇒p ，则记作p ⇔q ，此时p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)条件与结论的等价性：如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．【高频考点】高频考点1. 充分条件、必要条件的判定【方法点拨】 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p ⇒q 、q ⇒p 是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①若p ⇒q ，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．②若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则称p 是q 的充分不必要条件．③若p ⇒/q ，且q ⇒p ，则称p 是q 的必要不充分条件．注意：p 是q 的充分条件说明：有了条件p 成立，就一定能得出结论q 成立．但条件p 不成立时，结论q 未必不成立．例如，当x ＝2时，x 2＝4成立，但当x ≠2时，x 2＝4也可能成立，即当x ＝－2时，x 2＝4也可以成立，所以“x ＝2”是“x 2＝4”成立的充分条件，“x ＝－2”也是“x 2＝4”成立的充分条件．【例1】（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要【答案】A【详解】解：甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒甲，乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要非充分条件，即丙⇒丁，丁⇒丙，所以甲⇒丁，丁⇒甲，即甲是丁的充分不必要条件，故选：A .【变式1-1】（2021·湖南长郡中学高三模拟）已知一元二次方程20ax bx c ++=有两个不同的实数根12,x x ，则“124x x ⋅>且124x x +>”的_______是“12x >且22x >”．（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】将所求转化为“12x >且22x >”是“124x x ⋅>且124x x +>”的____________条件；当12x >且22x >时，可得124x x ⋅>且124x x +>成立，当124x x ⋅>且124x x +>时，若取12110,2x x ==，满足条件，但不满足12x >且22x >，故不成立，所以“12x >且22x >”是“124x x ⋅>且124x x +>”的充分不必要条件.故选：A【变式1-2】（2021·揭阳第一中学高一期中）荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．故选：B【变式1-3】（2021·浙江温州中学高三模拟）已知x ∈R ，则“0x ≠”是“0x x +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】B 【详解】由0x x +>可解得0x >，“0x ≠”是“0x >”的必要不充分条件，故“0x ≠”是“0x x +>”的必要不充分条件.故选：B.【变式1-4】（2021·湖南长郡中学高三月考）1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】从逻辑学角度，命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题是“有了新中国就有了共产党”，因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件，故选：B ．高频考点2 . 充分条件、必要条件的探索【方法点拨】(1)先寻找必要条件，即将探求充分和必要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．【例2】（2021·黑龙江实验中学高二月考）a ∈R ，|a |<4成立的一个必要不充分条件是（） A ．a <4 B ．|a |<3 C ．a 2<16 D ．0<a <3【答案】A【详解】因为|a |<4的解集是()4,4-，A. 因为()4,4- (),4-∞，所以a <4是|a |<4成立的一个必要不充分条件；B. 因为()3,3- ()4,4-，所以|a |<3是|a |<4成立的一个充分不必要条件；C. 因为a 2<16的解集是()4,4-，所以a 2<16是|a |<4成立的一个充要条件；D. 因为()0,3 ()4,4-，所以0<a <3是|a |<4成立的一个充分不必要条件；故选：A【变式2-1】（2021·上海高一专题练习）可以作为“若R a b ∈，，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是（）A ．0ab >B ．0a >或0b >C ．0a >且0b >D ．1ab > 【答案】C【详解】A.0ab >，只能推出,a b 同号，不能推出一定是正数，故不是充分条件，故A 不正确；B.4,3a b =-=，满足0a >或0b >，但此时0a b +<，故B 不正确；C.0a >且0b >，能推出0a b +>，反过来，4,3a b ==-，满足0a b +>，但不能推出0a >且0b >，所以0a >且0b >是0a b +>的一个充分而不必要条件，故C 正确；D.3,4a b =-=-，满足1ab >，但不能推出0a b +>，所以不是充分条件，故D 不正确.故选：C【变式2-2】（2021·安徽高一月考）记方程①：210x ax ++=，方程②：220x bx ++=，方程③：240x cx ++=，其中a 、b 、c 是正实数，若2b ac =，则“方程③无实根”的一个充分条件是（） A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根【答案】B【详解】若方程③无实根，则2160c -<，216c <，故“方程③无实根”的充分条件必须可以证得216c <，A 项：因为方程①有实根，且②有实根，所以240a -≥，280b -≥，即24a ≥，28b ³，422b c a =，无法证得216c <，A 错误；B 项：因为方程①有实根，且②无实根，所以240a -≥，280b -<，即24a ≥，28b <，42216b c a =<，B 正确； C 项：因为方程①无实根，且②有实根，所以240a -<，280b -≥，即24a <，28b ³，422b c a =，无法证得216c <，C 错误； D 项：因为方程①无实根，且②无实根，所以240a -<，280b -<，即24a <，28b <，422b c a =，无法证得216c <，D 错误，故选：B. 【变式2-3】（2021·安徽蚌埠市·高三三模）下面四个条件中，使a b >成立的必要不充分条件是（） A ．2a b ->B ．2a b +>C ．a b >D ．11a b> 【答案】B【详解】a b >无法推出2a b ->，故A 错误；“a b >”能推出“2a b +>”，故选项B 是“a b >”的必要条件，但“2a b +>”不能推出“a b >”，不是充分条件，满足题意，故B 正确；“a b >”不能推出“a b >”即22a b >，故选项C 不是“a b >”的必要条件，故C 错误； a b >无法推出11a b>，如1a b >>时，故D 错误；故选：B . 【变式2-4】（2021·福建福州市·高一期末）“关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ”的一个必要不充分条件是（）A ．4433m -≤≤B ．423m -<≤C ．4433m -<≤D ．403m -≤< 【答案】B【详解】由关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ，可得()23440m ∆=--⨯≤，解得4433m -≤≤，所以m 的取值范围是4433m -≤≤. 根据必要不充分条件的概念可知B 项正确.故选：B.高频考点3 . 充分条件与必要条件的应用（参数问题）【方法点拨】充分条件与必要条件的应用技巧：(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先将p ，q 等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．【例3】（2021•万州区校级月考）“一元二次方程x 2﹣ax +1＝0有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为；一个必要不充分条件可以为．【解答】解：若一元二次方程x 2﹣ax +1＝0有两个正实数根，则等价为{△=a 2−4≥0x 1x 2=1＞0x 1+x 2=a ＞0，得{a ≥2或a ≤−2a ＞0，得a ≥2，则成立的充分不必要条件为[2，+∞）的真子集，则[3，+∞）满足条件，成立的必要不充分条件要真包含[2，+∞），则[0，+∞）满足条件，故答案为：[3，+∞），[0，+∞）．【变式3-1】（2021·江苏省包场高级中学高一月考）设p ：112x ≤≤；q ：1a x a ≤≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．102a <<B ．102a ≤≤C ．102a ≤<D ．102a <≤ 【答案】B【详解】∵p ：112x ≤≤；q ：1a x a ≤≤+，且p 是q 的充分不必要条件， ∴[],11,12a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+Ü，则1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，且两不等式中的等号不同时成立．解得：102a ≤≤．故选：B ．【变式3-2】（2021·贵溪市实验中学高二月考）已知:12p x -≤<，2:21q a x a ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．112a -<≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤< 【答案】D【详解】由p 是q 的必要条件，可得21221a a -≤⎧⎨>+⎩，解得112a -≤<故选：D. 【变式3-3】（2021·湖南师大附中高二期末）已知命题:20p x m +<，:3q x >或1x <-，若p 是q 的一个充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】A 【详解】因为命题:2m p x <-，:3q x >或1x <-，又p 是q 的一个充分不必要条件，所以12m -≤-，解得2m ≥，所以m 的取值范围是[2,)+∞，故选：A【变式3-4】2021•南阳期末）已知p ：a ﹣2＜x ＜a +2，q ：﹣1＜x ＜7．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是．【解答】解：p ：a ﹣2＜x ＜a +2，q ：﹣1＜x ＜7，因为p 是q 的充分不必要条件，所以（a ﹣2，a +2）⫋（﹣1，7），则{a +2≤7a −2≥−1即1≤a ≤5．故答案为：[1，5]．高频考点4. 充要条件的判断【方法点拨】判断p 是q 的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p 是q 的充分必要条件，主要是判断p ⇒q 及q ⇒p 这两个命题是否成立，若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若q ⇒p 成立，则p 是q 的必要条件，同时q 是p 的充分条件；若二者都成立，则p 与q 互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．【例4】（2021·云南昆明一中高一期末）下列各选项中，p 是q 的充要条件的是（）A ．p ：a M N ∈，q ：a M ∈B ．p ：M N M ⋃=，q ：N M ⊆C ．p ：a b >，q ：22ac bc >D ．p ：x y <，q ：lg lg x y > 【答案】B【详解】对于A ：p ：a MN ∈，q ：a M ∈，()M N M ⊆,∴p 是q 的充分不必要条件，故A 错误；对于B ： p ：M N M ⋃=，q ：N M ⊆，M N M N M ⋃=∴⊆，反过来，N M M N M ⊆∴⋃=∴p 是q 的充要条件，故B 正确；对于C ： p ：a b >，q ：22ac bc >，当c=0时，由p 不能推出q ，故C 错误；对于D ：p ：x y <，q ：lg lg x y >，若0x y <<，则lg ,lg x y 无意义，由p 不能推出q ，故D 错误.故选：B【变式4-1】（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）下列四个选项中，q 是p 的充分必要条件的是（）．A ．0:0a p b =⎧⎨=⎩，0:0a b q ab +=⎧⎨=⎩B ．1:1a p b =⎧⎨=⎩，2:1a b q ab +=⎧⎨=⎩C ．0:0a p b >⎧⎨>⎩，0:0a b q ab +>⎧⎨>⎩D ．1:1a p b >⎧⎨>⎩，2:1a b q ab +>⎧⎨>⎩【答案】ABC 【详解】A ．由0a =，0b =，可得0a b +=，0ab =，反之也成立，∴q 是p 的充分必要条件； B ．由1a =，1b =，可得2a b +=，1ab =；反之也成立，∴q 是p 的充分必要条件； C ．由0a >，0b >，可得0a b +>，0ab >；反之也成立，∴q 是p 的充分必要条件； D ．由1a >，1b >，可得2a b +>，1ab >；反之不成立，例如取6a =，12b =．∴q 是p 的必要不充分条件．故选：ABC ．【变式4-2】（2021·湖北省直辖县级行政单位·高一期末）下列各题中，p 是q 的充要条件的有（） A ．p ：四边形是正方形；q ：四边形的对角线互相垂直且平分B ．p ：两个三角形相似；q ：两个三角形三边成比例C ．p ：0xy >；q ：0x >，0y >；D ．p ：1x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根；q ：()00a b c a ++=≠【答案】BD【详解】A 选项，p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直且平分，因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，也可能为菱形，所以q 推不出p ，所以p 不是q 的充要条件； B 选项，p ：两个三角形相似，q ：两个三角形三边成比例，因为“若p ，则q ”是相似三角形的性质定理，“若q ，则p ”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即,p q 能等价互推，所以p 是q 的充要条件.C 选项，:0p xy >，:0q x >，0y >，因为0xy >时，0x >，0y >不一定成立，也可能0x <，0y <，所以p 推不出q ，所以p 不是q 的充要条件；D 选项，:1p x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，:0(0)q a b c a ++=≠.将1x =代入方程20ax bx c ++=得，0(0)a b c a ++=≠，即 “若p ，则q ” 为真命题，若0(0)a b c a ++=≠，则1x =时，方程左式2110a b c a b c =⨯+⨯+=++=，即1x =适合方程，1x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，故“若q ，则p ”均为真命题，即,p q 能等价互推，所以p 是q 的充要条件.所以BD 中，p 是q 的充要条件.选：BD.【变式4-3】（2021·天津高三一模）命题:p x y >，命题22:q x y >，命题p 是命题q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【详解】22x y x y >⇒>，即22x y >，是充分的，22x y >⇒>x y >，是必要的．因此p 是q 的充要条件．故选：C ．【变式4-4】（2021·全国高三专题练习）已知命题:1p x =是方程20ax bx c ++=的一个根，:0q a b c ++=，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由1x =是方程20ax bx c ++=的一个根，可得2110a b c ⨯+⨯+=,即0a b c ++=，所以p 是q 的充分条件；由0a b c ++=可得2110a b c ⨯+⨯+=,即1x =是方程20ax bx c ++=的一个根，所以p 是q 的必要条件，所以p 是q 的充分必要条件，故选：C高频考点5 . 充要条件的证明【方法点拨】(1)充要条件的证明要确定命题中的条件和结论，要从两个方面进行证明，证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．(2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中，前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了，一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 是该步中证明的“结论”，即p ⇒q ．【例5】（2021•鹤城区校级期中）已知ab ≠0，求证：a +b ＝1的充要条件是a 3+b 3+ab ﹣a 2﹣b 2＝0．【解答】证明：先证必要性：∵a +b ＝1，∴b ＝1﹣a∴a 3+b 3+ab ﹣a 2﹣b 2＝a 3+（1﹣a ）3+a （1﹣a ）﹣a 2﹣（1﹣a ）2＝a 3+1﹣3a +3a 2﹣a 3+a ﹣a 2﹣a 2﹣1+2a ﹣a 2＝0再证充分性：∵a 3+b 3+ab ﹣a 2﹣b 2＝0 ∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）﹣（a 2﹣ab +b 2）＝0即：（a 2﹣ab +b 2）（a +b ﹣1）＝0∵ab ≠0，a 2﹣ab +b 2=(a −12b)2+34b 2＞0，∴a +b ﹣1＝0，即a +b ＝1综上所述：a +b ＝1的充要条件是a 3+b 3+ab ﹣a 2﹣b 2＝0【变式5-1】（2021·上海华师大二附中高一月考）已知ABC ∆的三边为a 、b 、c ，求证：二次方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有一个公共根的充要条件是90A ∠=.【答案】见解析【详解】必要性：设方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=的公共的公共根为m ，则22222020m am b m cm b ⎧++=⎨+-=⎩，两式相加得()2220m a c m ++=，解得()m a c =-+，0m =（舍）. 将()m a c =-+代入2220m am b ++=，得()()2220a c a a c b +-++=，整理得222a b c =+，所以，90A ∠=；充分性：当90A ∠=时，则222a b c =+，于是()()2222220200x ax b x ax a c x a c x a c ++=⇒++-=→+++-=，该方程有两根()1x a c =-+，()2x a c =--.同理()()2222220200x cx b x cx c a x c a x c a +-=⇒++-=⇒+-++=，该方程亦有两根()3x a c =-+，()4x c a =--.显然13x x =，两方程有公共根，故方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有公共根的充要条件为90A ∠=.【变式5-2】（2021·江苏南京市·高一月考）设,x y R ∈，求证||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．【答案】见解析【详解】①充分性：若0xy ≥，则有0xy =和0xy >两种情况，当0xy =时，不妨设0x =，则||||x y y +=，||||||x y y +=，∴等式成立．当0xy >时，0x >，0y >或0x <，0y <，当0x >，0y >时，||x y x y +=+，||||x y x y +=+，∴等式成立，当0x <，0y <时，||()x y x y +=-+，||||x y x y x y +=--=+，∴等式成立．综上，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+成立．②必要性：若||||||x y x y +=+且,x y R ∈，则22||(||||)x y x y +=+，即222222||||x xy y x y x y ++=++⋅，∴||xy xy =，∴0xy ≥．综上可知，0xy ≥是等式||||||x y x y +=+成立的充要条件．【变式5-3】（2021·上海高一专题练习）求证：关于x 的方程220x ax b ++=有实数根，且两根均小于2的一个充分条件是2a ≥且4b ≤.【答案】证明见解析【详解】当2a ≥且4b ≤时，由题设有：()()24440a b b ∆=-≥-≥，∴原方程有实数根.函数()22f x x ax b =++的图象为开口向上的抛物线，对称轴为22x a =--<≤，因此要证两根都小于2，只需()20f >即可.又()24444212f a b b b =++≥+⨯+=+， 4b ≤，44b ∴-≤≤，()21212480f b ∴=+≥-=>，∴方程的两根都小于2，∴关于x 的方程220x ax b ++=有实数根，且两根均小于2的一个充分条件是2a ≥且4b ≤.【变式5-4】（2021•孝感期中）证明：a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca 的充要条件是△ABC 为等边三角形．这里a ，b ，c 是△ABC 的三条边．【解答】证明：充分性：如果△ABC 为等边三角形，那么a ＝b ＝c ，所以，（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0，所以，a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca ＝0，所以a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca ．必要性：如果a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca ，那么a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca ＝0，所以（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0，所以a ＝b ＝0，b ﹣c ＝0，c ﹣a ＝0．即 a ＝b ＝c ．高频考点6 .充要条件的探求【方法点拨】(1)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：①先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件．(2)求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解：一是充分性，二是必要性．【例6】（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一月考）方程2210ax x ++=的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为（）A ．{0a a ≤或}1a =B ．{0a a <或}1a =C ．{1a a ≥或}0a =D ．{1a a >或}0a =【答案】A【详解】若方程2210ax x ++=的非空解集中有且最多有一个负实数元素，当0a =时，12x =-，符合题意；当0a ≠时，由方程2210ax x ++=有实根，得到440a ∆=-≥，解得1a ≤；若1a =，则方程2210x x ++=有且仅有一个实根1x =-，符合题意；若1a <且0a ≠，方程有两个不等实根，设这两个实根分别为1x ，2x ，若方程的解集中有且最多有一个负实数元素，则1210x x a=<，即0a <；当0a ≤或1a =时，关于x 的方程2210ax x ++=的解集中有且最多有一个负实数元素；综上方程2210ax x ++=的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为{0a a ≤或}1a =. 故选：A.【变式6-1】（2021·江苏扬州市·仪征中学高二期中）一元二次方程()22210x k x k +-+=两个根均大于1的充分必要条件是（）A ．2k <-B ．3k <-C ．0k <D ．2k >【答案】A【详解】因为一元二次方程()22210x k x k +-+=两个根均大于1，所以设方程的两根为12,x x ，使12,x x 都大于1的充要条件是:221212(21)40(1)(1)0,(1)(1)0k k x x x x ⎧∆=--≥⎪-+->⎨⎪-->⎩由韦达定理知2121212,x x k x x k +=-=，所以214(21)20,(21)10k k k k ⎧≤⎪⎪--->⎨⎪+-+>⎪⎩解得2k <-所以所求的充要条件为k <-2.故选：A【变式6-2】（2021.湖北省高一期中）函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是（）A ．m =-2B ．m =1C ．m =-1D ．m =0【答案】A【详解】当m =-2时，f (x )=x 2-2x +1，其图象关于直线x =1对称，反之，若函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称，则12m -=，即2m =-. 所以f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是m =-2.故选：A.【变式6-3】（2021•无锡期末）若m ，n 都是正整数，则m +n ＞mn 成立的充要条件是（）A ．m ＝n ＝2B ．m ＝n ＝1C ．m ＞1且n ＞1D ．m ，n 至少有一个为1【解答】解：因为m +n ＞mn ，所以（m ﹣1）（n ﹣1）＜1．而m ，n ∈N *，所以（m ﹣1）（n ﹣1）∈Z ，所以（m ﹣1）（n ﹣1）＝0．所以m ＝1或n ＝1．故选：D ．【变式6-4】（2021•黄浦区校级月考）设全集U ，在下列条件中，是B ⊆A 的充要条件的有（） ①A ∪B ＝A ； ②∁U A ∩B ＝∅③∁U A ⊆∁U B ；④A ∪∁U B ＝UA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：如下图借助V enn 图，可以判断出A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，∁U A ∩B ＝ϕ⇔B ⊆A ，∁U A ⊆∁U B ⇔B ⊆A ，A ∪∁U B ＝U ⇔B ⊆A ，故①②③④均正确．故选：D ．【课后训练】全卷共22题满分：150分时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·湖北高二学业考试）已知:02p x <<，:13q x -<<，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分不必要条件【答案】A【详解】由:02p x <<，可得出:13q x -<<，由:13q x -<<，得不出:02p x <<，所以p 是q 的充分而不必要条件，故选：A.2．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三模拟）已知,s r 都是q 的充分条件，p 是q 的必要条件，r 是p 的必要条件，则（）A ．s 是r 的既不充分也不必要条件B ．s 是p 的必要条件C ．q 是r 的必要不充分条件D ．p 是r 的充要条件【答案】D【详解】由题意，,s r 都是q 的充分条件，p 是q 的必要条件，r 是p 的必要条件，可得,,,s q r q q p p r ⇒⇒⇒⇒，所以,,q p p r q r ⇔⇔⇔，所以s r ⇒，所以s 是r 的充分条件，故A 错误；s 是p 的充分条件，故B 错误；q 是r 的充要条件，故C 错误；p 是r 的充要条件，故D 正确；故选：D .3．（2021·浙江高三专题练习）伟人毛泽东的《清平乐•六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】解：设p ⌝为不到长城，推出q ⌝非好汉，即p q ⌝⇒⌝，则q p ⇒，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要条件，故选：B ．3．（2021·东莞高级中学高三月考）已知 a ，b R ∈，那么“1a b +>”是“221a b +>”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当1a b +>时，若0.5,0.6a b ==，不能推出221a b +>，故充分性不成立；当221a b +>时，若1,2a b ==-，不能推出1a b +>，故必要性不成立；所以“1a b +>”是“221a b +>”的既不充分也不必要条件.故选：D5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三期末）下列结论中不正确的是（）A ．“24x >”是“2x <-”的必要不充分条件B ．“x 为无理数”是“2x 为无理数”的必要不充分条件C ．若a 、b R ∈，则“220a b +≠”是“a 、b 不全为0”的充要条件D ．在ABC 中，“222AB AC BC +=”是“ABC 为直角三角形”的充要条件【答案】D【详解】对于A 选项，解不等式24x >，可得2x <-或2x >，{}2x x <- {2x x <-或}2x >，所以，“24x >”是“2x <-”的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，充分性：取x ，则x 为无理数，但2x 为有理数，即充分性不成立；必要性：若2x 为无理数，则x 是无理数，必要性成立.所以“x 为无理数”是“2x 为无理数”的必要不充分条件，B 选项正确；对于C 选项，充分性：因为220a b +≠，若0a b ==，则220a b +=，所以0a b ==不成立，所以a 、b 不全为0，充分性成立；必要性：若a 、b 不全为0，则220a b +>，必要性成立.因此“220a b +≠”是“a 、b 不全为0”的充要条件，C 选项正确；对于D 选项，充分性：若222AB AC BC +=，则BAC ∠为直角，所以ABC 为直角三角形，充分性成立；必要性：若ABC 为直角三角形，则“BAC ∠为直角”或“ABC ∠是直角”或“ACB ∠为直角”，所以“222AB AC BC +=”或“222AB BC AC +=”或“222AC BC AB +=”，即必要性不成立. 因此“222AB AC BC +=”是“ABC 为直角三角形”的充分不必要条件，D 选项错误.故选：D.6．（2021·昆明市第三中学经开区学校高一期末）若a b c >>，则（）A ．“x b >”是“x a >”的充分不必要条件B ．“x a >”是“x c >”的充要条件C ．“x c >”是“x a >”的必要不充分条件D ．“x b >”是“x c >”的既不充分也不必要条件【答案】C【详解】对A ，x b x a >>¿，x a x b >⇒>，则“x b >”是“x a >”的必要不充分条件，A 错误；对于B ，x a x c >⇒>，x c x a >>¿，则“x a >”是“x c >”的充分不必要条件，B 错误；对于C ，x c x a >>¿，x a x c >⇒>，则“x c >”是“x a >”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，x b x c >⇒>，x c x b >>¿，则“x b >”是“x c >”的充分不必要条件，D 错误. 故选：C.7．（2021.福建省高一月考）不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（）A ．1x <-或4x >B ．0x …或2x -…C ．0x <或2x >D ．12x -…或3x … 【答案】C【解析】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0⇔x≤12-或3x …，所以可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件；依次选项可得：x 1<-或x 4>是12x ≤-或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是12x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件 x 0<或x 2>是12x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件； x≤-12或x≥3是12x ≤-或x≥3成立的充要条件；故选C ． 8．（2021·江苏高三专题练习）在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345=⋃⋃⋃⋃⋃Z ；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确；②[][][][][][]012345⋃⋃⋃⋃⋃{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确；④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈，所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确.故选：B 二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2021.广东省高一期中）已知{}28200P x x x =--≤，集合{}11S x m x m =-≤≤+．若x P ∈是x S ∈的必要条件，则实数m 的取值可以是（）A ．1-B ．1C ．3D ．5 【答案】ABC【详解】由28200x x --≤，解得210x -≤≤，∴[]2,10P =-，非空集合{}11S x m x m =-≤≤+，又x P ∈是x S ∈的必要条件，所以S P ⊆，当S =∅，即0m <时，满足题意；当S ≠∅，即0m ≥时，∴21 110m m -≤-⎧⎨+≤⎩，解得03m ≤≤， ∴m 的取值范围是(],3-∞，实数m 的取值可以是1,1,3-，故选：ABC.10．（2021·江苏扬州市·高一期中）下列式子中，可以是21x <的必要条件的有（）A ．1x <B ．01x <<C ．10x -<<D ．1x >-【答案】AD【详解】由题意，21x <等价于11x -<<，对于A ，11x -<<可推出1x <，故A 符合题意；对于B ，11x -<<不能推出01x <<，故B 不符合题意；对于C ，11x -<<不能推出10x -<<，故C 不符合题意；对于D ，11x -<<可推出1x >-，故D 符合题意.故选：AD.11．（2021·江苏淮安市·淮安田家炳中学高二期中）下列结论中正确的是（）A ．“24x >”是“2x <-”的必要不充分条件B ．“x 为无理数”是“2x 为无理数”的必要不充分条件C ．若a 、b R ∈，则“220a b +≠”是“a 、b 不全为0”的充要条件D ．在ABC 中，“222AB AC BC +=”是“ABC 为直角三角形”的充要条件【答案】ABC【详解】对于A 选项，解不等式24x >，可得2x <-或2x >， {}2x x <- {2x x <-或}2x >，所以，“24x >”是“2x <-”的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，充分性：取x ，则x 为无理数，但2x 为有理数，即充分性不成立；必要性：若2x 为无理数，则x 是无理数，必要性成立.所以，“x 为无理数”是“2x 为无理数”的必要不充分条件，B 选项正确；对于C 选项，充分性：因为220a b +≠，若0a b ==，则220a b +=，所以，0a b ==不成立，所以，a 、b 不全为0，充分性成立；必要性：若a 、b 不全为0，则220a b +>，必要性成立.因此，“220a b +≠”是“a 、b 不全为0”的充要条件，C 选项正确；对于D 选项，充分性：若222AB AC BC +=，则BAC ∠为直角，所以，ABC 为直角三角形，充分性成立；必要性：若ABC 为直角三角形，则“BAC ∠为直角”或“ABC ∠是直角”或“ACB ∠为直角”，所以，“222AB AC BC +=”或“222AB BC AC +=”或“222AC BC AB +=”，即必要性不成立. 因此，“222AB AC BC +=”是“ABC 为直角三角形”的充分不必要条件，D 选项错误.故选：ABC.12．（2021.山东高一期中）设:(3)0,:()(2)0p x x q x a x a -<--+≤．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 可以是（）A ．32B ．52C ．72D ．73【答案】BD【详解】解：解()30x x -<得，03x <<，记{}|03A x x =<<，解()(2)0x a x a --+…得，2a x a -剟，记{}|2B x a x a =-≤≤，p 是q 的必要不充分条件，所以B A Ü∴203a a ->⎧⎨<⎩，解得23a <<，a ∴的取值范围是(2,3)．故选：BD ．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2021·河北衡水中学）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________．【答案】[]1,2【详解】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件， ∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤．故答案为：[]1,2 14．（2021·吉林江城中学高一期中）已知44{|}P x a x a =-<<+，{}2|430Q x x x =-+<，且x P ∈是x Q ∈的必要条件，则实数a 的取值范围是___________.【答案】{}|15a a -≤≤【详解】因为x P ∈是x Q ∈的必要条件，所以Q P ⊆，又因为{}{}2|430|13Q x x x x x =-+<=<<，所以4143a a -≤⎧⎨+≥⎩ ，即51a a ≤⎧⎨≥-⎩，所以15a -≤≤.故答案为：{}|15a a -≤≤. 15．（2021·莆田第十五中学高一期末）已知两个关于x 的一元二次方程2440mx x -+=和2244450x mx m m -+--=，两方程的根都是整数的充要条件为_______________．【答案】1m =【解析】因为2440mx x -+=是一元二次方程，所以0m ≠．又另一方程为2244450x mx m m -+--=，且两方程都要有实根，所以()122216160,1644450m m m m ∆=-≥⎧⎪⎨∆=---≥⎪⎩，解得5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以244445Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩，所以m 为4的约数．又5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1m =-或1．当1m =-时，第一个方程2440x x +-=的根为非整数；而当1m =时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是1m =．16．（2021·重庆市万州第二高级中学高一月考）“一元二次方程210x ax -+=有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为________；一个必要不充分条件可以为________.【答案】3a >（答案不唯一） 1a >-（答案不唯一）【详解】解：因为一元二次方程210x ax -+=有两个正实数根，所以212400a x x a ⎧∆=-≥⎨+=>⎩，解得2a ≥.所以一元二次方程210x ax -+=有两个正实数根的充要条件为[)2,a ∈+∞.故一元二次方程210x ax -+=有两个正实数根的一个充分不必要条件可以为()3,a ∈+∞；一元二次方程210x ax -+=有两个正实数根的一个必要不充分条件可以为()1,a ∈-+∞.。

充分条件和必要条件(基础)-学案

授课主题第02讲---充分条件和必要条件授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 理解充分条件、必要条件的含义；② 会判断充分条件、必要条件及充要条件； ③ 掌握充分必要条件与集合之间的关系。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂充分条件和必要条件1、充分条件和必要条件如果p 成立，那么q 成立，即p ⇒ q ，这时我们称条件p 是条件q 成立的充分条件。

同时，我们称条件q 是条件p 成立的必要条件。

2、充要条件a) 如果p 既是q 成立的充分条件，又是q 成立的必要条件，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，这时我们称条件p 是q 成立的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇔q 。

b) 如果p ⇒q ，但q p ，那么称p 是q 的充分不必要条件c) 如果p q ，但q ⇒p ，那么称p 是q 的必要不充分条件 d) 如果pq ，且qp ，那么称p 是q 的既不充分也不必要条件3、充分、必要条件与集合的关系A={x| x 满足条件p}，B={x |x 满足条件q}方法表示充分条件必要条件充分不必要条件必要不充分条件充要条件定义表示 )()(B q A P ⇒)()(A P B q ⇒()(),()()p A q B q B p A ⇒⇒()(),()()p A q B q B P A ⇐⇐ p (A )⇔q (B )知识梳理4、充要条件的判断方法（1）定义法：p q ⇒且q p ⇒；（2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题（3）逆否法：是等价法的一种特殊情况若A ⌝⇒B ⌝，则A 是B 的必要条件，B 是A 的充分条件；若A ⌝⇒B ⌝，且B⌝A ⌝，则A 是B 的必要非充分条件；若A ⌝⇔B ⌝，则A 是B 的充要条件；若A⌝B ⌝，且B⌝A ⌝，则A 是B 的既不充分也不必要条件。

考点一：充分条件、必要条件、充要条件的判断例1、已知:p “()00f =”，:q “函数()f x 为奇函数”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2、对于x ，y R ∈，则“0xy =”是“220x y +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例3、设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则﹁p 是﹁q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例4、已知命题甲是“2{|0}1x xx x +≥-”，命题乙是“3{|log (21)0}x x +≤”，则（） A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充要条件集合表示A ⊆BB ⊆AA ⊊BB ⊊AA =B典例分析考点三：充要条件的证明与探究例1、求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2.例2、证明：方程2210ax x =＋＋有且只有一个负实数根的充要条件是0a ≤或1a =；P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击实战演练1．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a 、b 是实数，则“a >0，且b >0”是“a ＋b >0，且ab >0”的___ _______________条件．6．“x >3”是“x >0”的________________________条件．7．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是__________________．8．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的__________________条件．9．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2.➢ 课后反击1．m ＝3是直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈(A ∪B )”是“x ∈C ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列不等式：①x ＜1；②0＜x ＜1；③－1＜x ＜0；④－1＜x ＜1.其中，可以为“x 2＜1”的一个充分条件的所有不等式的序号为________．5．设集合A ＝{x |x (x －1)＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)。

2020高一数学新教材必修1教案学案 1.4 充分条件与必要条件(解析版)

1.4 充分条件与必要条件运用一命题【例1】下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若1x >，则21x >”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则220x x +-=”的否命题D ．命题“已知,,a b c ∈R ，若22ac bc >则a ＞b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题【答案】B【解析】A ．命题“若x ＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则21x ≤ ”假命题； B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|，则x ＞y”真命题．C ．命题“若x ＝1，则220x x +-=”的否命题为“若x≠1，则220x x +-≠”假命题．D ．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题．【触类旁通】1．设R m ∈，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是（） A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m > B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≥ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 【答案】D【解析】“0m >”的否定是“0m ≤”，“方程20x x m +-=有实根”的否定是“方程20x x m +-=没有实根”，因此原命题的逆否命题是“若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤”，故选D ． 2．（2019·黑龙江大庆实验中学高二期末）已知原命题：已知0ab >，若a b >，则11a b<，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题原命题：已知0ab >，若a b >，则11a b<，为真命题，所以逆否命题也是真命题；逆命题为：已知0ab >，若11a b<，则a b >，为真命题，所以否命题也是真命题。

学案12：充分条件和必要条件

学案2：充分条件和必要条件复习目标：理解必要条件，充分条件与充要条件的意义。

会分析四种命题的相互关系。

学习重点：理解必要条件，充分条件与充要条件的意义学习过程：一、基础知识归纳：1、一般地，“若p 则q ”为真命题，即q p ⇒，就说p 是q 的q 是p 的2、若q p ⇒且p q ⇒则q p ⇔，就说p 是q 的，简称充要条件，那么q 也是p 的二、方法规律总结：1、判断命题的充要关系有三种方法：(1)定义法(2)等价法：即利用B A ⇒与A B ⌝⇒⌝，A B ⇒与B A ⌝⇒⌝，B A ⇔与BA ⌝⇔⌝的等价关系。

对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法。

(3)利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。

2、确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法说明。

三、基础过关：1、对任意实数c b a ,,，在下列命题中，真命题是（）A bc ac >是b a >的必要条件B bc ac = 是b a =的必要条件C bc ac >是b a >的充分条件D bc ac =是b a =的充分条件2、23cos -=α是652ππα+=k ，Z k ∈的 3、函数()b a x x x f ++=是奇函数的充要条件是4、函数[)+∞++=,0,2在c bx x y 是单调函数的充要条件是5、 '''C B A ABC ∆∆与全等是'''C B A ABC ∆∆与相似的6、设p 、r 都是q 的充分条件，s 是q 的充分必要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的条件，r 是t 的条件。

二、典型例题：例1、在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由。

（1） A ：圆222r y x =+与直线0=++c by ax 相切，B ：()2222r b a c +=（2） A ：:,,2B R p p ∈≥方程032=+++p px x 有实根；（3） A ：21<+x ，B ：092<-x例2、求关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件。

湘教版高中数学必修第一册-1.2.2充分条件和必要条件-学案讲义【含答案】

1．2.2充分条件和必要条件最新课程标准1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．学科核心素养1.能对充分条件、必要条件、充要条件进行判断．(逻辑推理)2．能从集合的观点理解充分条件、必要条件．(直观想象)3．能利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围．(逻辑推理)教材要点要点一充分条件与必要条件命题真假“若p ，则q ”是真命题“若p ，则q ”是假命题推出关系由p 可以推出q ，记为：________由p 不能推出q ，记为：________条件关系p 是q 的____________p 不是q 的____________q 是p 的____________q 不是p 的____________状元随笔若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，所谓“充分”，即要使q 成立，有p 成立就足够了；q 是p 的必要条件，所谓“必要”，即q 是p 成立的必不可少的条件，缺其不可．要点二充要条件如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作________．即p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，此时我们称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．换句话说，如果一个命题和它的________都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件．状元随笔对于充要条件，要熟悉它的同义语“p 是q 的充要条件”可以说成“p 与q 是等价的”“q 成立当且仅当p 成立”“q 成立必须且只需p 成立”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．()(2)p 是q 的必要条件的含义是：如果p 不成立，则q 一定不成立．()(3)p 是q 的充分条件只反映了p ⇒q ，与q 能否推出p 没有任何关系．()(4)若p 是q 的充要条件，q 是r 的充要条件，则p 是r 的充要条件．()2．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“x ＞0”是“x ＞1”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．△ABC 是锐角三角形是∠ABC 为锐角的________条件．题型1充分条件、必要条件的判断例1下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；(2)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是矩形；(3)p ：平行四边形，q ：正方形；(4)p ：m ＜－1，q ：x 2－x －m ＝0无实根．方法归纳充分条件、必要条件判断方法(1)定义法①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．③根据推式及条件得出结论．(2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．(3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．跟踪训练1(1)祖暅原理：”幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的几何体，若在同高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等．q：A，B在同高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知，q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是()A．x＞3.5B．x＜3C．x＞4D．x＜4题型2充要条件的判断例2(1)(多选)下列结论中，正确的有()A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件D．x，y均为奇数是x＋y为偶数的必要不充分条件(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：①s是q的什么条件？②r是q的什么条件？③p是q的什么条件？方法归纳判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：利用集合的包含关系判断．(3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒p n，可得p1⇒p n；充要条件也有传递性．跟踪训练2(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分不必要条件B．丙是甲的必要不充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙是甲的既不充分又不必要条件题型3充分条件、必要条件和充要条件的证明例3求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.方法归纳充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”；①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．跟踪训练3求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c ＝0.题型4充分条件、必要条件和充要条件的应用例4设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．变式探究设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．方法归纳根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练4集合A＝y y=x2−32x+1，34≤x≤2，，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．易错辨析混淆条件与结论致误例5使不等式0＜x＜2成立的一个充分但不必要条件是()A．0＜x＜1B．－13＜x＜1C．－1＜x＜2D．0＜x＜2解析：设命题p所对应的集合为A，命题q所对应的集合为B，则“p成立的充分不必要条件是q”⇔B A，所以不等式0＜x＜2成立的充分不必要条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的真子集，根据选项，只有A符合要求，故选A.答案：A易错警示易错原因纠错心得混淆条件与结论容易得出错误答案C.弄清此类题的条件与结论．本题条件是“选项”，结论是“0＜x＜2”，所以“选项”是“0＜x＜2”的真子集．课堂十分钟1．命题：p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．已知x∈R，则“x＜2”是“2x＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(多选)下列说法中正确的是()A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件4．函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________.5．若“x＞m”是“x＞3或x＜1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围．参考答案与解析新知初探·课前预习要点一p⇒q p⇒q充分条件充分条件必要条件必要条件要点二p⇔q逆命题[基础自测]1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．解析：x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，x＝1故是必要的，因此是充要条件．答案：A3．解析：∵x>0D⇒/x>1但x>1⇒x>0.∴“x>0”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.答案：B4．解析：∵△ABC是锐角三角形说明△ABC的三个内角都是锐角．∴△ABC是锐角三角形⇒∠ABC为锐角，反之不一定．答案：充分不必要题型探究·课堂解透例1解析：(1)∵a＋b＝0⇒a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵四边形的对角线相等⇒四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，∴p是q的必要不充分条件．(3)由图可知B A，所以p是q的必要不充分条件．(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－14.∵m<－1⇒m<－14，m<－14D⇒/m<－1，∴p是q的充分不必要条件．跟踪训练1解析：(1)设A为正方体，其棱长为2，体积为8，B为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8，显然A，B在等高处的截面面积不相等，所以q是p的不必要条件；当A，B在同高处的截面积恒相等时，根据祖暅原理有A，B的体积相等，所以充分性成立，因此q是p的充分不必要条件．故选A.(2)∵x>3.5⇒x>3.14，x>4⇒x>3.14.∴x>3.14成立的一个充分条件是x>3.5或x>4.故选AC.答案：(1)A(2)AC例2解析：(1)A中，x2>4⇔x<－2或x>2D⇒/x3<－8，但x3<－8⇒x2>4.A正确；B中，AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之不一定，B不正确；C中，a2＋b2≠0⇔a，b 不全为0，C正确；D中，x，y均为奇数⇒x＋y为偶数，反之不一定，D不正确．故选AC.(2)①∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∴s是q的充要条件．②由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．③∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要条件．答案：(1)AC(2)见解析跟踪训练2解析：(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D.(2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙⇒丙．综上，有丙⇒乙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A.答案：(1)D(2)A例3证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝c a<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝c a<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.跟踪训练3证明：设p：a＋b＋c＝0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，(1)充分性(p⇒q)：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.(2)必要性(q⇒p)：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.例4解析：由|4x－1|≤1得－1≤4x－1≤1，故0≤x≤12，由q是p的必要不充分条件，即p⇒q，q⇒p，即{x|0≤x≤12}{x|a≤x≤a＋1}．∴a≤0，a+1≥12，且“＝”不能同时成立，解得－12≤a≤0，故实数a的取值范围是{a|−12≤a≤0}.变式探究解析：∵q是p的充分不必要条件，∴q⇒p，p⇒q，∴{x|a≤x≤a＋1}{x|0≤x≤12}，∴a≥0a+1≤12，且“＝”不能同时成立，∴此不等式组无解．故实数a的取值范围是∅.跟踪训练4解析：A＝{y|y= 2−32x+1，34≤x≤2}＝{y|716≤y≤2}，B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}，∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴1－m2≤716.解得m≥34或m≤－34.故m的取值范围为m≤－34或m≥34.[课堂十分钟]1．解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得：|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件．答案：B2．解析：当x＝－1时，“x<2”成立，但2x<0，故“2x<1”，故“x<2”不是“2x>1”的充分条件，“2x>1”等价于x−2x<0⇔0<x<2，即2x>1能推出x<2，∴“x<2”是“2x>1”的必要条件，故“x<2”是“2x>1”的必要不充分条件，故选B.答案：B3．解析：A正确，因为“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m 是实数”的充分条件；B不正确，因为“x∈A” “x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确，由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确，由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．故选ACD.答案：ACD4．解析：Δ＝4＋4a＜0，∴a＜－1.答案：a＜－15．解析：由已知条件，如{x|x>m}{x|x>3或x<1}．∴m≥3.∴m的取值范围是[3，＋∞)．。

充分必要条件教案

充分必要条件教案
教案是教师为了完成一堂课的教学目标而设计的教学计划。

充分必要条件教案是指在设计教案时，需要考虑到充分条件和必要条件。

充分条件是指在教学过程中必须具备的条件，没有这些条件就无法完成教学目标；必要条件是指在教学过程中必须具备的最基本的条件，没有这些条件也无法完成教学目标。

在设计充分必要条件教案时，教师需要考虑以下几点：
1. 教学目标：明确教学目标，包括知识、能力和情感目标，确保教学内容和教学活动都能够达到这些目标。

2. 学情分析：了解学生的学习特点、兴趣爱好、学习能力等，根据学生的实际情况设计教学内容和教学活动。

3. 教学内容：选择符合教学目标和学生学习特点的教学内容，确保内容的准确性和完整性。

4. 教学方法：选择适合学生的教学方法，包括讲授、讨论、实验、示范等，确保教学活动的有效性和趣味性。

5. 教学资源：准备好教学所需的各种资源，包括教材、教具、多媒
体等，确保教学过程的顺利进行。

通过考虑充分必要条件，设计出的教案能够更好地满足学生的学习需求，提高教学效果。

充分条件与必要条件教案

充分条件与必要条件（第1课时）一.教学目标1.知识与技能：（1）掌握充分条件、必要条件的概念；（2）会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：学生讨论，教师引导；从实例探究中感知概念；从例题的讨论和分析中理解概念；从练习中深化概念.3.情感、态度与价值观：（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力；（2）以及培养他们的分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力；（3）培养学生的竞争于合作的意识，培养他们的良好的思维品质.二.教学重点与难点重点：理解充分条件与必要条件的概念；难点：理解必要条件的概念.三.教学方法：合作学习，结合多媒体四.教学基本流程五.教学过程设计充分条件与必要条件（第一课时）学案★学习目标：（1）掌握充分条件、必要条件的概念，（2）会判断命题的充分条件、必要条件；★讨论学习：观看视频回顾前一节的内容，并回答下面的问题探究1：判断下列两个“若p ，则q ”是真命题还是假命题？（1）若22b a x +>，则ab x 2>，（2）若0ab =，则0a =.阅读课本p 9第六行至第十四行的内容，并思考下面的问题，并写出充分条件与必要条件的定义探究2：若q p ⇒，则q 是p 的什么条件？充分条件与必要条件的定义：充分条件和必要条件我们如何理解呢？补充完整定义：解释视频内容（用“⇒”和“⇒/”填空，并说明它们的关系）国际原油连续22个工作日，移动平均价格变化超过4% 调整国内成品油价格调整国内成品油价格国际原油连续22个工作日，移动平均价格变化超过4%举例讨论探究3：下列各题中，哪些题中的p 是q 的充分条件，哪些题中的p 是q 的必要条件？(1)p ：电灯泡亮，q ：有电； (2)p ：地上有水，q ：天下大雨.例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(),-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件? （1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a b >,则ac bc >.练习下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？（1）若a +5是有理数，则a 是无理数；（2）若0))((=--b x a x ，则a x =；（3）若0=x 且0=y ，则022=+y x .思考题判断下列命题的真假：（1）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；（2）0ab ≠是0a ≠的充分条件.这节课我们学了些什么？。

1.4充分条件与必要条件学案学生版

第一章集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件【学习目标】1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．(数学抽象)2．理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的意义．(数学抽象)3．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法．(逻辑推理)4．通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(数学抽象)【使用说明及学法指导】1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.【预学案】知识点1 充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系__________p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考思考2：性质定理与必要条件有什么关系？知识点2 充要条件1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作_______，此时p是q的充分必要条件，简称___________. 2．条件与结论的等价性：如果p是q的_________，那么q也是p的_________.3．概括：如果_______，那么p与q互为__________.思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？预学自测：1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．( )(2)“x>0”是“x>1”的充分条件．( )(3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．( )2．x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件( )A．x＋y＝0 B．x2＋y2>0C．x－y＝0 D．x3＋y3≠03．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是( )A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形两组对边相等C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直4．“x＝0”是“x2＝0”的( )A．充分条件 B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件5．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q的( )A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________________.(2)“x<5”是“x<3”的________________.【我的疑惑】_____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________【探究案】探究一：充分条件和必要条件例1 (1)设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是( )A．x>3 B．x<3 C．x>4 D．x<4(2)使|x|＝x成立的一个必要条件是( )A．x<0 B．x≥0或x≤－1 C．x>0 D．x≤－1(3)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的q是p的必要条件？①若a∈Q，则a∈R；②若a<b，则ab<1；③若x>1，则x2>1；④p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；⑤p：a是自然数，q：a是正整数；⑥p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．【对点练习】❶下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？(1)若x2＝y2，则x＝y；(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12.(3)若a是无理数，则a是无限小数．(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.探究二：充分条件、必要条件及充要条件的判断例1 (1)对于任意的x，y∈R，“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(3)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【对点练习】❶设A、B为两个互不相同的集合．命题p：x∈(A∩B)；命题q：x∈A或x∈B．则p是q的_________条件．( )A．充分必要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要探究三：充要条件的证明例2 设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.【对点练习】❷证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c 是△ABC的三条边．探究四、根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例3 已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(x－3)<0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为( ) A．(－1,6) B．[－1,6]C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1]∪[6，＋∞)【对点练习】❸设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x －8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【检测案】1．命题p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的( )A．充分条件 B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件2．“a＋b>2c”的一个充分不必要条件是( )A．a>c或b>c B．a>c或b<c C．a>c且b<c D．a>c且b>c3.若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．a≥3 B．a≤－1 C．－1≤a≤3 D．a≤34．下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．【课堂小结】。

充分条件和必要条件,充要条件学案

第二节充分条件和必要条件，充要条件一、复习练习1：试写出下面命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假。

“若1x >,则21x >”.2.认识：⇒与≠>一般地：若p 则q 为真，记作p ⇒q ；若p 则q 为假，记作p ≠>q 。

练习2：用“p ⇒q ”或“ p ≠>q ”的形式表示练习1的四种命题。

二、1.充分条件和必要条件定义：一般地，如果，读作，那么我们说，p 是 q 的充分条件，如果q ⇒p,称p 是q 的必要条件；反之如果，p 是q 的不充分条件，如果q ≠>p,称p 是q 的不必要条件。

例1：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件：（1) p:x y ≠;q:22x y ≠. （2） P:0x >;q:20x > .（3) P :两个三角形的面积相等，q:两个三角形全等例2：已知p:内错角相等，q:两直线平行。

问p 是q 的什么条件？2.充要条件定义：一般地，如果既有又有就记作。

这时，p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们就说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件。

总结1：条件可分为以下四种类型：（1）若p⇒q且q≠>p,则称p是q的充分不必要条件；（2）若；（3）若；（4）若。

例3.“x是6的倍数”是“x是2的倍数”的；“x是2的倍数”是“x是6的倍数”的；“x既是2的倍数也是3的倍数”是“x是6的倍数”的；“x是4的倍数”是“x是6的倍数”的。

三、练习3.指出下列各组命题中，p是q的什么条件（1）p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.（2）p：同位角相等；q：两直线平行.（3）p：x=3；q:2x=9.（4）p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形。

.总结2：判断p是q的什么条件时先要确认，再判断且是否成立，从而得出结论。

练习4.1. 从“⇒”、“≠>”与“⇔”中选出适当的符号填空：(1)x>-1___x>1; (2)234x x=+___x=(3)两个角是对顶角________两个角相等; (4)a=b____a+c=b+c.2.从“充分而不必要的条件”、“必要而不充分的条件”与“充要条件”中选出适当的一种填空：(1) “两三角形全等”是“两三角形相似”的;(2) “a=b”是“ac=bc”的;(3) “a≠0”是“ab ≠0”的;(4) “四边形的两条对角线相等”是“四边形是矩形”的. 总结：若p：集合A，q:集合B。