西南交大一般力学教研室运动学第六章点的运动学-swjtu
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运动学
第2页
力学竞赛培训
运动学
第3页
ds ds 速度：= v v= τ τ ，其中速度的大小： v = dt dt 加速度： a = aτ + an = aτ τ + an n
式中： aτ =
v2 dv ， an = ， aτ 、 an 分别称为切向加速度和法向加速度。 ρ dt
∆ϕ 1 = lim = ∆ → s 0 ρ ∆s dϕ ds
由弧坐标及自然轴的定义，可以导出
∆ϕ ∆τ = 2 τ sin 2
当 ∆s → 0 时， ∆ϕ → 0 ， ∆τ 与 τ 垂直，并且 τ = 1 ，因此 ∆τ ∆ϕ ，
dτ ∆τ ∆ϕ n = lim = lim = n 所以有： ds ∆s →0 ∆s ∆s →0 ∆s ρ
第6页
力学竞赛培训
运动学
第7页
v= vO' + vMO' M
2) 速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
ห้องสมุดไป่ตู้
(v B ) AB = ( v A ) AB
3) 瞬心法 定理：一般情况下，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。此点称 为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。 平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。 确定速度瞬心位置的方法： ① 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动（纯滚动） 。图形与固定面的接触点就是图形 的速度瞬心。 ② 已知图形内任意两点 A 和 B 的速度方向。 ③ 已知图形上两点 A 和 B 的速度相互平行。 ④ 某瞬时，图形上两点 A 和 B 的速度相等，速度瞬心在无限远处，平面图形瞬时平动。 4、平面图形上各点的加速度 基点法求点的加速度合成公式为：
力学竞赛培训
运动学
第3页
ds ds 速度：= v v= τ τ ，其中速度的大小： v = dt dt 加速度： a = aτ + an = aτ τ + an n
式中： aτ =
v2 dv ， an = ， aτ 、 an 分别称为切向加速度和法向加速度。 ρ dt
∆ϕ 1 = lim = ∆ → s 0 ρ ∆s dϕ ds
由弧坐标及自然轴的定义，可以导出
∆ϕ ∆τ = 2 τ sin 2
当 ∆s → 0 时， ∆ϕ → 0 ， ∆τ 与 τ 垂直，并且 τ = 1 ，因此 ∆τ ∆ϕ ，
dτ ∆τ ∆ϕ n = lim = lim = n 所以有： ds ∆s →0 ∆s ∆s →0 ∆s ρ
第6页
力学竞赛培训
运动学
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v= vO' + vMO' M
2) 速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
ห้องสมุดไป่ตู้
(v B ) AB = ( v A ) AB
3) 瞬心法 定理：一般情况下，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。此点称 为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。 平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。 确定速度瞬心位置的方法： ① 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动（纯滚动） 。图形与固定面的接触点就是图形 的速度瞬心。 ② 已知图形内任意两点 A 和 B 的速度方向。 ③ 已知图形上两点 A 和 B 的速度相互平行。 ④ 某瞬时，图形上两点 A 和 B 的速度相等，速度瞬心在无限远处，平面图形瞬时平动。 4、平面图形上各点的加速度 基点法求点的加速度合成公式为：
理论力学—点的运动学
r v t
O
二.点的速度
⒈ 平均速度
⒉ t 时刻的速度 r dr v lim r t 0 t dt
1.1 矢量法
三.加速度
速度矢端 曲线---速度端图
v ⒈ 平均加速度 a t
*
a
⒉ t 时刻的加速度
v dv d r a lim r 2 t 0 t dt dt
v y r sin t
2 2
v v
2
x
v
2
y
cos( v, i )
vx t MB sin sin v 2 2 MD v t BD cos( v, j ) y cos cos v 2 2 MD
t r (1 cos t ) sin t 2r sin 2
大小
a a x a
2Leabharlann 2ya2
z
方向
d x d y d z dt 2 dt 2 dt 2
2 2 2
2
2
2
ay ax az cos(ai ) , cos(aj ) , cos(ak ) a a a
解：由点M的运动方程，得
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y 0 vz j 4, a z
z
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay az2 32m s 2
α
at v M
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
O
二.点的速度
⒈ 平均速度
⒉ t 时刻的速度 r dr v lim r t 0 t dt
1.1 矢量法
三.加速度
速度矢端 曲线---速度端图
v ⒈ 平均加速度 a t
*
a
⒉ t 时刻的加速度
v dv d r a lim r 2 t 0 t dt dt
v y r sin t
2 2
v v
2
x
v
2
y
cos( v, i )
vx t MB sin sin v 2 2 MD v t BD cos( v, j ) y cos cos v 2 2 MD
t r (1 cos t ) sin t 2r sin 2
大小
a a x a
2Leabharlann 2ya2
z
方向
d x d y d z dt 2 dt 2 dt 2
2 2 2
2
2
2
ay ax az cos(ai ) , cos(aj ) , cos(ak ) a a a
解：由点M的运动方程，得
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y 0 vz j 4, a z
z
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay az2 32m s 2
α
at v M
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
工程力学+西南交通大学出版社ppt课件
1.2 力偶及其性质
➢ 考虑到力偶的不同转向，上式应改写为
M=±Fh
(1-4)
※ 这是计算力偶矩的一般公式。式中，F为组成力偶的 一个力；h为力偶臂；正负号表示力偶的转动方向： 逆时针方向转动者为正；顺时针方向转动者为负。
※ 上述结果还表明：力偶矩的大小和转向与矩心O的位 置无关，即力偶对任一点之矩均相等，即等于力偶 中的一个力乘以力偶臂。因此，在考虑力偶对物体 的转动效应时，不需要指明矩心。
工程力学 主编 杨山波
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1
目录CONTENTS
第一章 工程静力学基础 第二章 力系的简化 第三章 工程构建的静力学平衡问题 第四章 材料力学的基本概念 第五章 杠件的内力图 第六章 拉压杆件的应力变形分析与 强度设计
第七章 梁的强度问题
第八章 梁的位移分析与刚度设计 第九章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度设计 第十章 复杂受力时构件的强度设计
工 程 力 学
1.1 力和力矩
工
1.1.2 作用在刚体上的力的效应与力的可传性
※ 力使物体产生两种运动效应：
➢ （1）若力的作用线通过物体质心，则使物体在力 的方向发生平移见图1-3(a)。
➢ （2）若力的作用线不通过物体质心，则使物体既 发生平移又发生转动见图1-3(b)。
程 力 学
图1-3 力的运动效应
工 程 力 学
1.1 力和力矩
※ 例如，作用在飞机机翼上的力和作用在飞机尾翼上 的力，对飞机的转动效应不同：作用在机翼上的力 使飞机发生侧倾；而作用在尾翼上的力则使飞机发 生俯仰。
※ 因此，在研究力对物体的空间转动时，必须使力对 点之矩这个概念除了包括力矩的大小和转向外，还 应包括力的作用线与矩心所组成的平面的方位。这 表明，必须用力矩矢量描述力的转动效应，即
2021年华南理工-理论力学(静力学)随堂练习
（C）速度不相等，加速度不相等；
（D）速度不相等，加速度相等。
答题 A. B. C. D. （已提交）
参考答案：B 问题解析： 2.
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D 问题解析： 3.
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：D
问题解析：
4. 下列说法正确的是
。
（A）刚体作平移时，同一瞬时，各点具有相同的速度和加速度
（A）若始终有，则的大小保持不变
（B）若始终有，则动点必作匀速圆周运动
（C）若始终有，则动点的轨迹必为直线
（D）若动点作曲线运动，某时有加速度，则此时其
答题： A. B. C. D. >> （已提交）
参考答案：AC
问题解析：
10. 在自然坐标系中，如果速度 v =常数，则加速度 a =0。（
）
答题： 对. 错. （已提交）
第六章 点的运动学·6.1 矢量法 1.
在下列四种说法中，正确的是 （）。
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C
问题解析：
2. 下列说法正确的是
。
（A）点的位移就是点走过的路程
（B）点的矢端曲线，就是点运动的轨迹
（C）如果在运动中点的矢径保持不变，点必作直线运动
（D）如果在运动中点的矢径没有增量，点的速度一定为零
参考答案：C 问题解析： 3. （A）直线 （B）任意曲线 （C）不能确定 （D）圆
答题： A. B. C. D. （已提交）
参考答案：C 问题解析： 4.
答题： A. B. C.
参考答案：C 问题解析： 5. 点作匀变速曲线运动是指
D. （已提交） （）。
38理论力学第六章点的运动学PPT课件
一.运动方程，轨迹
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
rrt —以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v
r
dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。 4
1.弧坐标的运动方程
动点M在轨迹上位置的确定： 动点M在轨迹上的位置
由弧长确定，视弧长S为代数 量，称其为动点M在轨迹上 的弧坐标。
s= f (t)
12
2.自然轴系
以点M 为原点，以切线、 主法线、副法线为坐标轴组 成的正交坐标系称为动点M 的自然坐标系，这三个轴称 为自然轴。
,n,b,分别为切线、主法
线和副法线的单位向量。
—与弧坐标的正向一致
n —指向曲线内凹一侧
b —与 , n构成右手系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 线而变动的游动坐标系13 。
6-3 自然法
3、曲率(1/ ：)
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
1
d
lim | |
t0 S dS
14
1
引言
运动学的基本概念：
①运动学：：研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 科学，不考虑运动的原因。
②运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动是相对的 :参考体(物);参考系;静系;动系。
④运动分类 1)点的运动 2)刚体的运动
2
第六章 点的运动学
3
6-1 矢量法
西南交通大学理论力学课件5
y
D
在M点的运动平面内取直角坐标系 Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道，并指 C 向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。 M r φ B 考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动 O A H O H 。于是，在图 MH 而不滑动，故有 示瞬时动点M 的坐标为 以 t 代入，
x OA OH AH MH MB r r sin
y
a
2
1、建立固定参考系Oxy； 2、将所考察的点置于坐 标系中的一般位置；
A
C
O
x y
x
3、根据已知的约束条件 列写点的运动方程。
运动演示
解:
考虑任意位置， M点的坐
y
标 x，y可以表示成
x (a b) cos
y b sin
运动轨迹演示
A
C
O
x y
x
消去上式中的角φ，即得M 点的轨迹方程:
速度
r x i y j z k
v r (x i y j z k) ( x i y z k ) j
(Oxyz)为定参考系
x
z
P
v
z
r
k i
O y
a
y x
j
j i k 0
v r x i y j z k vx i v y j vz k
平面运动 —— 刚体运动过程中，其上 各点到某一固定平面的距离始终保持不变。
★ 工程运动学模型及其运动形式
★
刚 体的运动形式
平面运动 —— 刚体运动过程中，其上 各点到某一固定平面的距离始终保持不变。
★ 工程运动学模型及其运动形式
D
在M点的运动平面内取直角坐标系 Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道，并指 C 向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。 M r φ B 考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动 O A H O H 。于是，在图 MH 而不滑动，故有 示瞬时动点M 的坐标为 以 t 代入，
x OA OH AH MH MB r r sin
y
a
2
1、建立固定参考系Oxy； 2、将所考察的点置于坐 标系中的一般位置；
A
C
O
x y
x
3、根据已知的约束条件 列写点的运动方程。
运动演示
解:
考虑任意位置， M点的坐
y
标 x，y可以表示成
x (a b) cos
y b sin
运动轨迹演示
A
C
O
x y
x
消去上式中的角φ，即得M 点的轨迹方程:
速度
r x i y j z k
v r (x i y j z k) ( x i y z k ) j
(Oxyz)为定参考系
x
z
P
v
z
r
k i
O y
a
y x
j
j i k 0
v r x i y j z k vx i v y j vz k
平面运动 —— 刚体运动过程中，其上 各点到某一固定平面的距离始终保持不变。
★ 工程运动学模型及其运动形式
★
刚 体的运动形式
平面运动 —— 刚体运动过程中，其上 各点到某一固定平面的距离始终保持不变。
★ 工程运动学模型及其运动形式
理论力学第六章点的运动学
6
6-2 直角坐标法 二.点的速度
dr v = dt r = xi + yj + zk
dz dx dy v = i + j+ k dt dt dt ∴ v = v xi + v y j + vzk
dx dy dz & & & ∴vx = = x, v y = = y, v z = =z dt dt dt
引
运动学的基本概念： 运动学的基本概念：
言
： ①运动学： 研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 运动学： 科学，不考虑运动的原因。 科学，不考虑运动的原因。 ②运动学研究目的: 运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
参考体( );参考系 静系;动系。 参考系; ③运动是相对的:参考体(物);参考系;静系;动系。 ④运动分类 1)点的运动 1)点的运动 2)刚体的运动
dv y dv z dv x dv a = i+ j+ k = dt dt dt dt d2x d2y d 2z i+ j+ k = a xi + a y j + azk = 2 2 2 dt dt dt
加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对 时间的二阶导数。 时间的二阶导数。 大小： 大小： 方向： 方向：
y
纯 动 件 由 滚 条 : ) OC = M = rϕ = rωt C
而 x = OC−O Msinϕ = r(ωt −sinωt) 从 1 y = OC −OMcosϕ = r(1−cosω ) t 1 1
知 r t 已 ： , ϕ =ω , ω =常 , 数
a=
∧
a2 x + a2 y + a2z
6-2 直角坐标法 二.点的速度
dr v = dt r = xi + yj + zk
dz dx dy v = i + j+ k dt dt dt ∴ v = v xi + v y j + vzk
dx dy dz & & & ∴vx = = x, v y = = y, v z = =z dt dt dt
引
运动学的基本概念： 运动学的基本概念：
言
： ①运动学： 研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 运动学： 科学，不考虑运动的原因。 科学，不考虑运动的原因。 ②运动学研究目的: 运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
参考体( );参考系 静系;动系。 参考系; ③运动是相对的:参考体(物);参考系;静系;动系。 ④运动分类 1)点的运动 1)点的运动 2)刚体的运动
dv y dv z dv x dv a = i+ j+ k = dt dt dt dt d2x d2y d 2z i+ j+ k = a xi + a y j + azk = 2 2 2 dt dt dt
加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对 时间的二阶导数。 时间的二阶导数。 大小： 大小： 方向： 方向：
y
纯 动 件 由 滚 条 : ) OC = M = rϕ = rωt C
而 x = OC−O Msinϕ = r(ωt −sinωt) 从 1 y = OC −OMcosϕ = r(1−cosω ) t 1 1
知 r t 已 ： , ϕ =ω , ω =常 , 数
a=
∧
a2 x + a2 y + a2z
第6章 点的运动学
运动学的研究对象是真实物体的两种理想化的力 学模型，即点和刚体。所谓点，是指大小、质量不计， 但在空间占有确定位置的几何点。所谓刚体是由无数 个点组成的不变形的系统。
第6章 点的运动学
本章分别采用矢径法、直 角坐标法、自然法三种不同 的方法，研究点在空间运动 时的几何性质。
6.1 点运动的矢径法
说明： （1）平面曲线上各点的密切面就是曲线所在的平面； （2）空间曲线上各点的密切面则随各点的位置不 同而不同。 过M点并垂直于切线MT的平 面称为曲线在M点的法面。 所有通过M点并在该法面内的 直线都是曲线在M点的法线。 在密切面内的法线MN称为主 法线。垂直于密切面的法线MB 称为副法线(或次法线)。
可见，速度和加速度也是周期性变化 的，变化的周期均是T，加速度的大小 与动点到振动中心的距离成正比，方向 恒指向振动中心，这是简谐振动的一个 基本特点。
例6-2 汽车以速度v0沿直线道路行驶，车轮的半径为R，轮子与 地面无相对滑动，试求轮缘任一点M的轨迹、速度和加速度。 解 设M点与地面接触时的位置为起 始位置，并以此点为坐标原点建立 坐标系Oxy，如图所示。在任一瞬时 t，M点的坐标为
2.速度 2.速度
设在瞬时t，动点位于M点，其矢径为r．在t+△t瞬 时．动点位于M’点，其矢径为r’。则在△t时间间隔内， 矢径的改变量△r=r’-r，它表示动点M在△t时间内的位 移。显然点的位移是矢量。比值△r/△t表示动点M在△t 时间内的平均速度，以v*表示，即 v*=△r/△ v*=△r/△t 当△t→0时，平均速度v*的极限值即为动点M在瞬时t 的速度，以v表示，即
沿主法线向曲线凹的一侧取一点 C，并使MC等于曲线在M点的 曲率半径ρ，C点称为曲线在M 点的曲率中心。该圆周或圆弧曲 率半径就是圆半径，圆心就是曲 率中心。 以M点为原点，曲线在M点的切线，主法线与副 法线为轴的一组正交轴系称为自然轴系。
第6章 点的运动学
本章分别采用矢径法、直 角坐标法、自然法三种不同 的方法，研究点在空间运动 时的几何性质。
6.1 点运动的矢径法
说明： （1）平面曲线上各点的密切面就是曲线所在的平面； （2）空间曲线上各点的密切面则随各点的位置不 同而不同。 过M点并垂直于切线MT的平 面称为曲线在M点的法面。 所有通过M点并在该法面内的 直线都是曲线在M点的法线。 在密切面内的法线MN称为主 法线。垂直于密切面的法线MB 称为副法线(或次法线)。
可见，速度和加速度也是周期性变化 的，变化的周期均是T，加速度的大小 与动点到振动中心的距离成正比，方向 恒指向振动中心，这是简谐振动的一个 基本特点。
例6-2 汽车以速度v0沿直线道路行驶，车轮的半径为R，轮子与 地面无相对滑动，试求轮缘任一点M的轨迹、速度和加速度。 解 设M点与地面接触时的位置为起 始位置，并以此点为坐标原点建立 坐标系Oxy，如图所示。在任一瞬时 t，M点的坐标为
2.速度 2.速度
设在瞬时t，动点位于M点，其矢径为r．在t+△t瞬 时．动点位于M’点，其矢径为r’。则在△t时间间隔内， 矢径的改变量△r=r’-r，它表示动点M在△t时间内的位 移。显然点的位移是矢量。比值△r/△t表示动点M在△t 时间内的平均速度，以v*表示，即 v*=△r/△ v*=△r/△t 当△t→0时，平均速度v*的极限值即为动点M在瞬时t 的速度，以v表示，即
沿主法线向曲线凹的一侧取一点 C，并使MC等于曲线在M点的 曲率半径ρ，C点称为曲线在M 点的曲率中心。该圆周或圆弧曲 率半径就是圆半径，圆心就是曲 率中心。 以M点为原点，曲线在M点的切线，主法线与副 法线为轴的一组正交轴系称为自然轴系。
LL06
第六章 点的运动学 Kinematics of a Particle
运动学
为动点M处沿切线方向的单位矢量 处沿切线方向的单位矢量， 设τ为动点 处沿切线方向的单位矢量，动点的 速度矢表为： 速度矢表为：
v = vτ
则动点加速度： 则动点加速度：
a= dv dv dτ = τ +v dt dt dt
称为曲率半径。 曲率的倒数ρ称为曲率半径。
∆ϕ ∆τ = 2 τ sin 2
∆s M ∆τ
τ
M’ τ’ τ’ ∆ϕ
τ τ’
∆τ ∆ϕ
当： ∆t →0 时 ∆s →0, ∆ϕ →0 所以： 所以：
∆τ = ∆ϕ &
∆τ ∆ϕ dτ 1 则有： 则有： = lim = lim n= n d s ∆s→0 ∆s ∆s→0 ∆s ρ
弧坐标 s 是代数量，动点运动时，随时间变化，是时间 是代数量，动点运动时，随时间变化， 的单值连续函数。 的单值连续函数。
s = f (t)
第六章 点的运动学 Kinematics of a Particle
运动学
二、自然轴系
视频
第六章 点的运动学 Kinematics of a Particle
DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
第六章
Kinematics of Particle
点的运动学
第六章 点的运动学 Kinematics of a Particle
西南交大流体力学(1-6)复习题纲与课后习题复习详解...
a x z) g
自由液面方程： z
a x C （等压面为一强的表达式和液面方程分别是：
p p0 (
2r 2
2g
z)
和 z0
2r 2
2g
（等压面是具有中心轴的旋转抛物面）
式中， r 为旋转液体计算点的半径。 知识点：旋转抛物体的体积等于同底同高圆柱体体积的一半。 5.作用在平面上的静水总压力 （1）解析法 静水总压力大小 P hC A pC A 即受压面形心处相对压强 pC 乘以受压面面积 A 。 静水总压力的作用点（又称压力中心） ：
du dy
2/
0.25 4 103 N s / m2 3 0.5 10
2
1-6． 已知某液流的黏性切应力 5.0 N / m ， 动力黏度 0.1Pa s ， 试求该液流的剪切变形速率
du 。 dy
[解] 根据牛顿内摩擦定律，得 /
du ， dy
题 2-2 图 [解] p A p表 0.5g
p0 p A 1.5g p表 g 4900 1000 9.8 4900Pa p0 pa 4900 98000 93100Pa p0
2-3．一密闭贮液罐，在边上 8.0m 高度处装有金属测压计，其读数为 57.4kPa；另在高度为 5.0m 处也安装 了金属测压计，计读数为 80.0kPa。求该贮液罐内液体的重度 和密度 。 [解] 由水静力学基本方程 p p0 h 可得： 80.0kPa 57.4kPa (8 5)m
几何意义： z ——位置水头；任一点在基准面 0-0 以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有 的位置势能，简称位能。
点的运动学
已知： 已知： OC = AC = BC = l, MC = a,ϕ = ω t 求：x=x(t)， y=y(t)。 解：点M作曲线运动，取坐标系xoy
运动方程
x = (OC + CM)cosφ = (l + a)cosωt
y = AM sin ϕ = (l − a)sin ωt
消去t, 得轨迹
x y + =1 2 2 (l + a） (l − a)
当动点Ｍ运动时，s 随着时间变化，它是时间的单值连续函数
s =
f (t )
O
(+)
M
(−)
s
称为点沿轨迹的运动方程，或以弧坐标表示的点的运动方程
已知点的运动方程式，可确定任一瞬时点的弧坐标s的值， 就确定了该瞬时动点在轨迹上的位置。
在曲线运动中，轨迹的曲率或 曲率半径是一个重要的参数。 它表示曲线的弯曲程度。 设点M处曲线切向单位矢量为τ ， 点 M´ 处单位矢量为τ ´。
r r ds r v = vτ = τ dt
注意到 v , τ 都是变量
r r dv a = dt
dv r dτ = τ +v dt dt
r
两项矢量 •第一项是反映速度大小变化的加速度，记为aτ ； •第二项是反映速度方向变化的加速度，记为a n 。 下面分别求它们的大小和方向。
（1）反映速度大小变化的加速度 aτ
z
M
r r k r
r r r = r (t )
上式称为矢量表示的点的运动方程
r O i
r j
y
x
动点Ｍ在运动过程中，其矢径 r 的末端描绘出一条连续曲线， 称为矢端曲线。矢径 r 的矢端曲线就是动点Ｍ的运动轨迹。
理论力学第6章点的运动
（6-27a）
（6-27b） （6-28a）
a
2 ，
a 2
，
az z
（6-28b）
6.5曲线坐标、球坐标描述法
6.5.1曲线坐标描述法
图6-10 点的曲线坐标描述法
r r q1, q2 , q3 xi yj zk
1 r ei H i qi
• 按从特殊到一般的顺序： • 质点的运动通常分为： 直线运动、 圆周运动和曲线运动三种。 • 刚体的运动通常分为： 平行移动、 定轴转动、 平面运动、 定点转动和一般运动五种。
第6章 点的运动
本章从点的运动开始讨论。点的位置、速度 和加速度有各种表示方法，其中直角坐标应用最 为普遍。但在分析具体问题时，有时使用柱坐标 或球坐标更为方便。实际上根据研究对象的不同 特点，可任意选择独立的长度或角度坐标确定点 的位置。点的位置确定以后，只要对坐标作微分 运算，就能导出点的速度和加速度。对于点的运 动轨迹已预先确定的特殊情况，也可利用沿轨迹 的弧坐标表示点的位置，称为点的自然法表示。
v lim v * lim
t 0
v dr r t 0 t dt
(6-2)
其方向沿 r 矢量端图的切线方向，亦即轨迹的切线方向，
v dv a lim a lim vr t 0 t 0 t dt 加速度矢量沿速度矢量端图的切线方向（图6-1b）， 2 单位为 m s。
x ax v x
y ay v y
z az v z
(6-7)
将式（6-4）对时间两次求导，可得加速度的直角坐标表达式： a ax i ay j az k
(6-7a)
ax x ， ay y ，
大学物理电子教案(西南交大)6_1
物理学还存在许多未知领域，有广阔的发展前景。 物理学还存在许多未知领域，有广阔的发展前景。 新理论：相对论、量子力学，深刻影响现代科技和人类生活。 新理论：相对论、量子力学，深刻影响现代科技和人类生活。
第4页 共39页 页 页
大学物理
相对论的理性基础：对称性思想 相对论的理性基础：对称性思想, 即物理规律不因人 参考系）而异， （参考系）而异，参考系变换应 该是物理定律的对称操作。 该是物理定律的对称操作。 一切惯性系对物理定律等价 —— 狭义相对论 惯性系和非惯性系对物理定律等价 —— 广义相对论 力学相对性原理 狭义相对性原理 对称性扩展 广义相对性原理 相对论并不神秘 —— 摆脱日常生活经验的束缚，进行理 摆脱日常生活经验的束缚， 性思维。 性思维。 相对论基本原理； 相对论基本原理； 重点: 重点 洛仑兹变换； 洛仑兹变换； 时空观、物质观的深化。 时空观、物质观的深化。
大学物理
电子： 电子：1894年，英国，汤姆孙 年 英国， 因气体导电理论获1906年诺贝尔物理奖 因气体导电理论获 年诺贝尔物理奖 X射线：1895年，德国，伦琴 射线： 射线 年 德国， 1901年获第一个诺贝尔物理奖 年获第一个诺贝尔物理奖 放射性： 放射性：1896年，法国，贝克勒尔发现铀，居里夫妇 年 法国，贝克勒尔发现铀， 发现钋和镭，共同获得1903年诺贝尔物理奖 发现钋和镭，共同获得 年诺贝尔物理奖
rp O
注意: 注意:1. 暗含两个参考系中时间与空间测量的绝对性观念 2.可推广到多个坐标系间的变换 可推广到多个坐标系间的变换
rAO = rAB + rBC + rCD + rDO
v AO = v AB + vBC + vCD + vDO
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大学物理
相对论的理性基础：对称性思想 相对论的理性基础：对称性思想, 即物理规律不因人 参考系）而异， （参考系）而异，参考系变换应 该是物理定律的对称操作。 该是物理定律的对称操作。 一切惯性系对物理定律等价 —— 狭义相对论 惯性系和非惯性系对物理定律等价 —— 广义相对论 力学相对性原理 狭义相对性原理 对称性扩展 广义相对性原理 相对论并不神秘 —— 摆脱日常生活经验的束缚，进行理 摆脱日常生活经验的束缚， 性思维。 性思维。 相对论基本原理； 相对论基本原理； 重点: 重点 洛仑兹变换； 洛仑兹变换； 时空观、物质观的深化。 时空观、物质观的深化。
大学物理
电子： 电子：1894年，英国，汤姆孙 年 英国， 因气体导电理论获1906年诺贝尔物理奖 因气体导电理论获 年诺贝尔物理奖 X射线：1895年，德国，伦琴 射线： 射线 年 德国， 1901年获第一个诺贝尔物理奖 年获第一个诺贝尔物理奖 放射性： 放射性：1896年，法国，贝克勒尔发现铀，居里夫妇 年 法国，贝克勒尔发现铀， 发现钋和镭，共同获得1903年诺贝尔物理奖 发现钋和镭，共同获得 年诺贝尔物理奖
rp O
注意: 注意:1. 暗含两个参考系中时间与空间测量的绝对性观念 2.可推广到多个坐标系间的变换 可推广到多个坐标系间的变换
rAO = rAB + rBC + rCD + rDO
v AO = v AB + vBC + vCD + vDO
理论力学课件_06
机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。 转动的快慢用转速n表示，其单位为转/分(r / min=rpm)。 则n与的关系为:
理论力学
西南交通大学希望学院
12
[例]车细螺纹时，如果车床主轴的转速n0=300r/min，要求主轴在转两圈后 立即停车以便很快反转。设停车过程是匀变速转动，求停车过程中主轴的 角加速度。 解：停车前，已知转速，可以求角速度。
如果与同号，则转动是加速的；如果与异号， 则转动是减速的。
与同号,转动加速
O
与异号,转动减速
O
O
O
理论力学
西南交通大学希望学院
11
3、匀速转动和匀变速转动 当 =常数，为匀速转动；当=常数，为匀变速转动。
0 t 1 2 与点的运动相类似。 常用公式 0 t t 2 2 2 0 2
d 0.2 d
d
0
4
0
0.2 d
2 0.2(4) 2 02 8.221rad/s v R 6.166 m/s
理论力学 西南交通大学希望学院 21
[例]已知：重物A的aA=1m/s2（常数）,初瞬时速度v0=1.5m/s。 方向如图示R=0.5m，r =0.3m。求： ①滑轮3s内的转数； ②重物B在3s内的行程； ③重物B在ｔ＝3s时的速度； ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度； ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
M
at
arctan 2 arctan 0.5 26 34 如图。
现在求物体A的速度和加速度。因为
an
理论力学第6章 ppt课件
25
作业
• 6-4 • 6-6
ppt课件
26
第六章 点的运动学
• §6-1 矢量法和直角坐标法
• 1. 表示质点运动的矢量法：
• 质点的空间位置用矢径r表示，它是时间的 函数，
•
r = r(t)
• 投影式： r = xi+yj+zk
• 轨迹：矢径r 端点的连线。
ppt课件
1
• 速度：
v dr lim r(t t) r(t)
a dv dt
• 动点移动时，速度大小和方向都发生改变。
a
dv dt
d dt
( ds dt
τ)
d 2s dt 2
τ
ds dt
dτ dt
ppt课件
15
• 切向加速度
at
d 2s dt 2
τ
dv dt
τ
• 法向加速度
an
ds dt
dτ dt
v
dτ dt
dτ dτ ds 1 vn
vy y r sin t
v
vx2
v
2 y
r (1 cost)2 sin2 t
2r sin t
2
ppt课件
19
• 求M点的曲线位移： • 方法1
v ds dt
s
vdt
2r
t
0
sin
t
2
dt
4r (1
cos
t
2
)
ppt课件
20
• 求M点的曲线位移：
理论力学第6章-点的运动
t0 t S j
当t→0时，t 与t′的夹角趋近于直角，即t 趋近
于轨迹在点M的法线，指向曲率中心。若记法线法线的
单位矢量为n，规定它指向曲率中心，则有
密切面：
dt v n dt
副法线
b
M
t
T
切线
n
过点M作 MT 的平行线 MT1 ，
MT和MT1可以确定一个平面。当点 无限趋近点M时，则此平面趋近某
4
49sin2 wt cos2 wt
O
加速度在x轴，y轴上的投影
j
yC
xC
C x
B
ax
=
dvx dt
7Lw2
4
cos wt
w 2 xC
C点的加速度的大小
ay
=
dvy dt
Lw2
4
sin wt
w2 yC
a ax2 ay2 w2
加速度的方向余弦
cos(a, i) ax xC ar
xC2 yC2 w2r
例6-6 曲柄OA绕O轴逆时针方向转动。其转过j角与时间t
的关系为
j
t
4
，若OA=10cm，OO1 =10cm，O1B=24cm，试求
B点运动方程、速度和加速度。
解：建立弧坐标
运动方程 速度 加速度
S O1B 12j 3πt
v dS 3π 9.42 cm/s dt d2S
at dt2 0
v vxi vy j vzk
速度v在三个轴上的投影
vx
=
dx dt
x(t)
vy
=
dy dt
y(t)
vz
=
dz dt
z(t)
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规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一
点M 的轨迹方程。 已知:
a OA AC AB ,
CM b.
2
y B
A
Cx
O
y
x
M
西南交大一般力学教研室
运动学：第六章 点的运动学
例 题 6-2
解: 考虑任意位置， M点的坐标 x，y可以表示成
x (a b) cos
y
B
y bsin
2q
O
A
x
C
西南交大一般力学教研室
运动学：第六章 点的运动学
例 题 6-3
y
M B
解: 取固定坐标系Oxy，令∠MAC =2q,
则 M 点在Oxy中的坐标为
x OA cos AM cos(2q )
2q
A
a cos( q ) cosq
x y OAsin AM sin( 2q )
O C
a cos( q )sin q
运动的力学模型 点和刚体 参考系 运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。因此，在 描述物体的运动时都需要指明参考系。一般工程问题中，都取 与地面固连的坐标系为参考系。
西南交大一般力学教研室
运动学：第六章 点的运动学
西南交大一般力学教研室
运动学：第六章 点的运动学
运动学
一.运动学任务
1.点和刚体运动的描述(运动方程); 2.点的运动特征量(轨迹, 速度和加速度); 3.刚体运动特征量(角速度和角加速度)。
三.静坐标系:一般固连于地球上的坐标系为参考坐标系, 通常称为静坐标系。 说明一点：古典力学认为时间和空间的度量对于所有参考 系都是一样的，且将时间视为连续的自变量。
西南交大一般力学教研室
运动学：第六章 点的运动学
四. 瞬时：对应于某一事件发生或终止的时间。如上课开始 时。 五. 时间间隔: 两个瞬时之间的时间数。如得开始与结束之 间的时间数50分钟。
将φ=w t 代入上式即可得到圆盘边缘上任
一点 M 的运动方程。另外，由上式可以
看出，两个坐标x，y成正比，即
y : x tan q 常量
六. 轨迹: 点在空间运动所经过的路线。直线运动, 曲线运动。
西南交大一般力学教研室
运动学：第六章 点的运动学
§6-1 矢量法
1.运动方程
r r(t)
显然矢端曲线就是动点的运动轨迹。
2.点的速度
Δr dr v lim r
Δt 0 Δt d t
3.加速度
Δv dv d2r a lim r
cos(v, k ) vz v
同理
dv a
dvx i dvy
j dvz k
dt dt dt
dt
d2x d2y
d2z
i
dt 2
dt 2
j dt2 k axi ay j azk
大小和方向为 a a2 x a2 y a2 z
cos(a, i) ax cos(a, j) ay cos(a, k) az
西南交大一般力学教研室
运动学：第六章 点的运动学
西南交大一般力学教研室
运动学：第六章 点的运动学
引言
运动学是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 而不考虑运动发生的原因。
主要内容 包括建立机械运动的描述方法,即选择合适的参量对 物体的机械运动进行数学描述。研究表征运动几何性质的基本 物理量，如速度、加速度、角速度和角加速度等。研究运动分 解与合成的规律。 学习运动学的目的 除了为后续课程打基础外，也可以直接用 来解决工程实际问题，例如机构运动分析。
消去上式中的角φ，即得M点的轨
A
迹方程:
C x
O
y
x
M
x2
y2
1
(a b )2 b2
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运动学：第六章 点的运动学
例 题 6-3
在上例的椭圆规尺BC上固连一个半径是a/2的圆盘，圆心重合
于A。求圆盘边缘上任一点 M 的运动方程和轨迹方程，已知
角φ=w t,其中 w是常量。
y
M B
系，有
L
A h
l
B
M
O vt
x
OM BM
OL AB
x x vt
即
hl
从而求得 M 点的直线运动方程
h
x
x vt
hl
M 点的速度
dx h v v
dt h l
而加速度 a = 0 ，即 M 点作匀速运动。
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运动学：第六章 点的运动学
例 题 6-2
椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；
二. 明确两个基本概念
1.物体在空间的位置必须说明它是对哪个物体而 言的；
2.运动学中涉及的时间概念主要是瞬时和时间间 隔。
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运动学：第六章 点的运动学
三. 要求 1.能选用合适的方法描述点的运动和刚体的基本 运动。能熟练的计算速度和加速度,角速度和角 加速度; 2.能正确的分析刚体的平面运动,能熟练地确定速 度瞬值，计算刚体角速度,熟练的选用不同的方 法求平面图形上各点的速度和角速度; 3.正确地选择动点和动系，应用合成运动的方法 求点的速度和加速度。
四. 难点,重点:（1）点的合成运动；（2）刚体的平 面运动。
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运动学：第六章 点的运动学
一.参考体: 要确定某物体在空间的位置,必须选取另一不 变形的物体作为参考体.
二.参考坐标系: 如将坐标系固连于参考体上,就构成参考 坐标系.若某一物体相对参考坐标系是静体,则对于此坐标 系来说,物体静止;反之运动。
a
a
a
西南交大一般力学教研室
运动学：第六章 点的运动学
例 题 6-1
一人在路灯下由灯柱起以匀速 v 沿直线背离灯柱行走。设人 高AB=l，灯高OL=h，试求头顶影子M 的速度和加速度。
L
A h
l B
O vt x
M x
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运动学：第六章 点的运动学
例 题 6-1
解：取坐标轴 Ox 如图。由三角形相似关2.点的速度来自dr dx dy dz
v
dt
i dt
dt
j k dt
又 v vxi vy j vzk
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运动学：第六章 点的运动学
dx
dy
dz
故 vx
vy
vz
dt
dt
dt
速度大小
2
2
2
v vx vy vz
方向 cos(v, i) vx
v
3. 加速度
cos(v, j) vy v
Δt 0 Δt d t d t 2
西南交大一般力学教研室
运动学：第六章 点的运动学
§ 6-2 直角坐标法
1.运动方程
如果取矢径的原点与直角坐标系的原 点重合，则有如下关系
r xi yj zk
直角坐标表示的点的运动方程为
x f1(t) y f2 (t) z f3(t)
以上也就是点的轨迹的参数方程