土力学第三章讲稿
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土力学第3章- 土的本构关系
（5） （6）
求a: 将公式（1）式 1 3
a b a
a
求导，切线模量Et为：
Et
1 3 a a a b a 2
（7）
令εa＝0，则原点的切线模量，即初始切线模量为：
Ei
R
1 a
1
（8） 代入（1）、（7）式（消去a、b)，
( 1 3 ) ult
1 b
（4）
若土样破坏时的偏应力（即强度）为（σ1－σ3）f，令Rf等于破坏时的偏应 力与极限值之比，称为破坏比：
Rf
Rf （4）式代入（5）式得（消去偏应力极限值）：b 1 3 f
1 3 f 1 3 ult
2.八面体应力与应变的计算公式
可导出：
八面体法向应力
八面体剪应力
0 ( 1 2 3 ) ( x y z )
0
1 3 1 3
1 3
1 3
1 3 2 2 3 2 3 1 2
2 2 2 x
1 3
a
a b a
（ 2）
3.非线形弹性模型
1 3 a
a b a
应力－应变双曲线函数 公式（1）还可以改成：
双曲线函数坐标变换
1 3
1 a
（3）
a
b
1 3
1 a
a
通过求a、b得到弹性模量E. 求b:
b
当轴向应变εa→∞时，偏应力趋向一极限值（σ1-σ3）ult
对于加工硬化材料，屈服应力是随着荷载的提高与变形的增大而提高的。 屈服面不同于破坏面，它不是一个固定的面,图中由A点提高到B点。
土力学地基基础 课件 第三章 渗流固结理论
Ut,(Tv )
1
8 2
e
2 4
Tv
St=Ut S
有关沉降－时间的工程问题
求达到某一沉降量(固结度)所需要的时间
Ut= St /S
从 Ut 查表（计算）确定 Tv
t TvH2 Cv
有关沉降－时间的工程问题
四、地基沉降的组成
地基的沉降量S由机理不同 的三部分沉降组成：
初始瞬时沉降 Sd ：在不排
Cv
k(1 e1 ) a w
Cv 反映土的固结特性：孔压消散的快慢－固结速度
Cv 与渗透系数k成正比，与压缩系数a成反比；
单位：cm2/y；m2/y。
数学模型
渗透固结微分方程：
u t
Cv
2u z2
• 反映了超静孔压的消散速度与孔压沿竖向的分布有关
• 是线性齐次微分方程式，一般可用分离变量方法求解
土体的单向固结
基本假定
1. 土层是均质且完全饱和 2. 土颗粒与水不可压缩 3. 水的渗出和土层压缩只沿竖向发生 4. 渗流符合达西定律且渗透系数保持不变 5. 压缩系数a是常数 6. 荷载均布,瞬时施加，总应力不随时间变化
基本变 量
总应力 已知
饱和土体的 连续性条件
超静孔隙水压 力的时空分布
按照粘土层双面排水及单面排水条件，求： （1）计算该饱和粘土的竖向固结系数。 （2）加载一年的沉降量。再经过5年，则该粘土层
的固结度将达到多少？在这5年间产生了多大的 压缩量。 （3）沉降量为153mm所需要的时间。
作业题2：
厚度为6m的饱和粘土层，其上为薄砂层，其下为基岩。已 知该粘土层的K=5×10-7cm/s,Es=0.9MPa,
土力学地基基础课程讲解第3章辅导
13
土力学地基基础
3.6 地基中的应力分布
一 土自重应力
1 单层土的自重应力
假设天然地面是一无限 大水平面。土的天然容 重为，则地面下任意深 度z处a－a水平面上的竖 向自重应力，取作用在 该水平面上单位面积土 柱体自重, cz＝Z 厦门大学 土木系
14
土力学地基基础
3.6 地基中的应力分布
10
土力学地基基础
3.4 侧限条件下土的压缩性
e1 e2 e1 e2 Cc log p2 log p1 log( p2 / p1 )
分类： Cc<0.2 低压缩性的土； 0.2<Cc<0.4 中压缩性的土 ； Cc >0.4 高压缩性土 。 特点： Cc的值不随压力而变。 Cc值越大，土的压缩性越高。 厦门大学 土木系
第3章 土的压缩性 与地基沉降计算
3.2 土的变形特性
一 基本概念
1 土的压缩性——土在压力作用下体积缩小的特性。 2 地基土产生压缩的原因 （1）外因 1）建筑物荷载作用，这是普遍存在的因素； 2）地下水位大幅度下降，相当于施加大面积荷载 ( )h（h是水位下降值）； 3）施工影响，基槽持力层土的结构扰动； 4）振动影响，产生震沉； 5）温度变化影响，如冬季冰冻，春季融化； 6）浸水下沉，如黄土湿陷，填土下沉。
土力学地基基础
厦门大学 土木系
6
3.4 侧限条件下土的压缩性
4 试样结果
（1）采用直角坐标系，以孔隙比e为纵坐标，以有效 应力p为横坐标，绘制e-p曲线。常规试验中一般按p＝ 50，100，200，300，400kpa五级加载。 （2）采用半对数坐标，以孔隙比e为纵坐标，取p的常 用对数取值为横坐标，绘制e-lgp曲线。
土力学地基基础
3.6 地基中的应力分布
一 土自重应力
1 单层土的自重应力
假设天然地面是一无限 大水平面。土的天然容 重为，则地面下任意深 度z处a－a水平面上的竖 向自重应力，取作用在 该水平面上单位面积土 柱体自重, cz＝Z 厦门大学 土木系
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土力学地基基础
3.6 地基中的应力分布
10
土力学地基基础
3.4 侧限条件下土的压缩性
e1 e2 e1 e2 Cc log p2 log p1 log( p2 / p1 )
分类： Cc<0.2 低压缩性的土； 0.2<Cc<0.4 中压缩性的土 ； Cc >0.4 高压缩性土 。 特点： Cc的值不随压力而变。 Cc值越大，土的压缩性越高。 厦门大学 土木系
第3章 土的压缩性 与地基沉降计算
3.2 土的变形特性
一 基本概念
1 土的压缩性——土在压力作用下体积缩小的特性。 2 地基土产生压缩的原因 （1）外因 1）建筑物荷载作用，这是普遍存在的因素； 2）地下水位大幅度下降，相当于施加大面积荷载 ( )h（h是水位下降值）； 3）施工影响，基槽持力层土的结构扰动； 4）振动影响，产生震沉； 5）温度变化影响，如冬季冰冻，春季融化； 6）浸水下沉，如黄土湿陷，填土下沉。
土力学地基基础
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6
3.4 侧限条件下土的压缩性
4 试样结果
（1）采用直角坐标系，以孔隙比e为纵坐标，以有效 应力p为横坐标，绘制e-p曲线。常规试验中一般按p＝ 50，100，200，300，400kpa五级加载。 （2）采用半对数坐标，以孔隙比e为纵坐标，取p的常 用对数取值为横坐标，绘制e-lgp曲线。
土力学第三章
• 变水头试验法
L Q V
18
§3.2 土旳渗透性 §3.2.3 渗透试验及渗透系数
变水头试验法
▪试验装置：如图 ▪试验条件: Δh变化，A，L=const ▪量测变量: Δh ，t
h1
Q 土样 L A
t=t1
t=t2
h2 水头 测管 开关
a
19
§3.2 土旳渗透性 §3.2.3 渗透试验及渗透系数
§3.2 土旳渗透性 §3.2.2 土旳层流渗透定律
达西定律 渗透定律
vi
v k i
A
Av
k: 反应土旳透水性能旳百分比系数，称为渗透系 物理意义：水力梯度i＝数1时旳渗流速度
单位：mm/s, cm/s, m/s, m/day
在层流状态旳渗流中，渗透速度v与水力坡降i 旳一次方成正比，并与土旳性质有关。
大小： j = γwi
量纲：kN/m 3;
方向：与i方向一致（均质土与渗流方向一致）
作用对象：土骨架
38
§3.4 渗透破坏与控制 §3.4.2 流砂或流土现象
土工建筑物及地基因为渗流作用而出现旳变形或破坏 基本类型
流土 管涌
形成条件
防治措施
§3.4 渗透破坏与控制 §3.4.2 流砂或流土现象
流砂现象/ 流土现象
在粗粒土孔隙中，水流形态可 能会随流速增大呈紊流状态， 渗流不再服从达西定律。
可用雷诺数Re进行判断：
Re
v d10
Re＜5时层流 Re ＞200时紊流 200＞ Re ＞5时为过渡区
15
§3.2 土旳渗透性 §3.2.2 土旳层流渗透定律
两种特例：
（1）粗粒土： ①砾石类土中旳渗流常不符合达西定律 ②砂土中渗透速度 vcr
土力学第3章
第3章土中应力计算3.1概述土体在荷载的作用下，发生沉降、倾斜和水平位移。
如果应力变化引起的变形量在容许范围内，则不会对建筑物的使用和安全造成危害，当外荷载在土中引起的应力过大时，会导致建筑物产生过量变形而影响其正常和安全使用，甚至会使土体发生整体破坏而失去稳定。
而对建筑物地基基础进行沉降(变形)、承载力与稳定分析，都必须掌握建筑前后土中应力的分布和变化情况。
实际工程中土体的应力主要包括土体本身自重产生的自重应力及由外荷载引起的附加应力。
3.1.1应力计算的有关假定(1)连续体假定，是指整个物体所占据的空间都被介质所填满不留任何空隙。
土是由颗粒堆积而成的具有孔隙的非连续体，因此在研究土体内部微观受力情况时(如颗粒之间的接触力和颗粒的相对位移)，必须把土当成散粒状的三相体来看待；但当我们研究宏观土体的受力问题时，土体的尺寸远大于土颗粒的尺寸，就可以把土体当作连续体对待。
(2)完全弹性体假定，是指应力与应变呈线性正比关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。
根据土样的单轴压缩试验资料，当应力很小时，土的应力-应变关系曲线就不是一条直线，如图3-1所示，亦即土的变形具有明显的非线性特征。
而且在应力卸除后，应变也不能完全恢复。
但在实际工程中土中应力水平较低，土的应力-应变关系接近于线性关系，可以用弹性理论方法。
但是对一些十分重要、对沉降有特殊要求的建筑物或特别大的重型而复杂的工程，用弹性理论进行土体中的应力分析就可能精度不够，这时必须借助土的更复杂的应力-应变关系和力学原理才能得到比较符合实际的应力与变形解答。
(3)均质假定，是指受力体各点的性质是相同的。
天然地基土是由成层土组成的，因此将土体视为均质将会产生一定的误差，不过当各层土的性质相差不大时，将土作为均质体所引起的误差不大。
(4)各向同性假定，主要是指受力体在同一点处的各个方向上性质相同。
天然地基土往往由成层土所组成，可能具有复杂的构造，而且，即使是同一成层土，其变形性质也随深度而变，地基土的非均质很显著，因此将土体视为各向同性也会带来误差。
河海大学土力学3-第三章.ppt
水 2.0 力 坡 降 1.5 1.0 0.5 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 流速 (m/h) 达西定律 适用范围
v d 10 Re
Re＜5时层流 Re ＞200时紊流 200＞ Re ＞5时为过渡区
达西定律的适用范围
§3.2 土的渗流性与渗透规律
两种特例
在纯砾以上的很粗的粗粒土如堆 石体中，在水力坡降较大时，达 西定律不再适用，此时：
• 结构
水的性质
在宏观构造上，天然沉积层状 粘性土层，扁平状粘土颗粒常 呈水平排列，常使得k水平﹥k垂直 在微观结构上，当孔隙比相同 时，凝聚结构将比分散结构具 有更大的透水性
渗透系数的影响因素
§3.2性质 • 粒径大小及级配 • 孔隙比 • 矿物成分
§3.2 土的渗流性与渗透规律
已知条件 : h h
vi v
i
H
H
i
h z v kz k1 k2 k3 H1
x
达西定律: vi = ki (Δhi / Hi )
v = kz (Δh / H )
等效条件:
hi vH kz v iH ki
i
H2
H3
H
h
vH kz
渗流中的水头与水力坡降
§3.2 土的渗流性与渗透规律
总水头：单位重量水体所具有的能量
h z
u w
v
2
2g
位置水头Z：水体的位置势能（任选基准面）
压力水头u/w：水体的压力势能（u孔隙水压力） 流速水头V2/(2g)：水体的动能（对渗流多处于层流≈0）
渗流的总水头： h
水的性质
岭石>伊里石>蒙脱石 ；当粘土 中含有可交换的钠离子越多时， 其渗透性将越低 塑性指数Ip综合反映土的颗粒大 小和矿物成份，常是渗透系数的 参数
v d 10 Re
Re＜5时层流 Re ＞200时紊流 200＞ Re ＞5时为过渡区
达西定律的适用范围
§3.2 土的渗流性与渗透规律
两种特例
在纯砾以上的很粗的粗粒土如堆 石体中，在水力坡降较大时，达 西定律不再适用，此时：
• 结构
水的性质
在宏观构造上，天然沉积层状 粘性土层，扁平状粘土颗粒常 呈水平排列，常使得k水平﹥k垂直 在微观结构上，当孔隙比相同 时，凝聚结构将比分散结构具 有更大的透水性
渗透系数的影响因素
§3.2性质 • 粒径大小及级配 • 孔隙比 • 矿物成分
§3.2 土的渗流性与渗透规律
已知条件 : h h
vi v
i
H
H
i
h z v kz k1 k2 k3 H1
x
达西定律: vi = ki (Δhi / Hi )
v = kz (Δh / H )
等效条件:
hi vH kz v iH ki
i
H2
H3
H
h
vH kz
渗流中的水头与水力坡降
§3.2 土的渗流性与渗透规律
总水头：单位重量水体所具有的能量
h z
u w
v
2
2g
位置水头Z：水体的位置势能（任选基准面）
压力水头u/w：水体的压力势能（u孔隙水压力） 流速水头V2/(2g)：水体的动能（对渗流多处于层流≈0）
渗流的总水头： h
水的性质
岭石>伊里石>蒙脱石 ；当粘土 中含有可交换的钠离子越多时， 其渗透性将越低 塑性指数Ip综合反映土的颗粒大 小和矿物成份，常是渗透系数的 参数
土力学地基基础课件第三章渗流固结理论
渗流固结理论的重要性
渗流固结理论在土木工程、水利工程 、地质工程等领域具有广泛的应用价 值。
它对于理解土体的力学行为、预测土 体的变形和稳定性、优化工程设计和 施工具有重要意义。
渗流固结理论的应用领域
01
02
03
水利工程
水库、堤防、水电站等水 利设施的设计和安全评估。
土木工程
高层建筑、高速公路、桥 梁等基础设施的建设和安 全评估。
渗透试验
通过测量土体的渗透系数、 渗透速度等参数，研究土 体的渗透特性。
现场试验方法
现场观测
通过在土体中埋设传感器和监测 仪器，实时监测土体的渗流和固
结过程。
触探试验
通过触探设备对土体进行触探，测 量土体的物理性质和强度特性。
旁压试验
通过旁压设备对土体施加压力，测 量土体的变形和强度特性。
数值模拟方法
三维固结理论通过求解偏微分方程组， 得到土体在固结过程中任意时刻的孔隙
水压力分布、土层沉降和位移场。
04
渗流固结理论的实验研究
室内试验方法
室内模型试验
通过模拟实际土体中的渗 流和固结过程，研究土体 的变形和强度特性。
土工离心机试验
利用离心加速度模拟土体 应力状态，研究土体在复 杂应力状态下的渗流和固 结行为。
06
结论
渗流固结理论的发展趋势
数值模拟与实验研究的结 合
随着计算机技术的进步，数值 模拟方法在渗流固结理论的研 究中越来越受到重视。通过与 实验研究相结合，可以更准确 地模拟复杂条件下的土体渗流 和固结过程。
多场耦合分析
考虑土体的应力、应变、渗流 和温度等多场耦合效应，对土 体的复杂行为进行更全面的分 析。
渗流固结理论可以用于分析地 下水的流动规律和土体的渗透 性能，为地下水控制提供理论 支持。
土力学与地基基础 第三章
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Kc
查表3-4
2. 矩形均布荷载非角点下任意深度处的垂直附加应力 —角点法
荷载与应力间
满足线性关系
B
角点下垂直附加 角点法
叠加原理 应力的计算公式
C
地基中任意点的附加应力
两种情况：
h
a.矩形面积内
z ( K c A K c B K c C K c D ) p 0
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
F
o
αr
x R
y M’
βz
x
z zx
y
xy
x
M
y yz
z
R 2= r2 + z 2= x 2 + y 2 + z 2 r/z=tgβ
σ x σ y σ z xy yz zx（F；x,y,z；R, α, β)
一. 竖直集中力作用下地基中的附加应力计算－布辛内斯克课题
z Kzsp0
x Kxsp0
xzKxszp0
y
b
x
K z s ,K x s ,K x s zf( b ,x ,z ) f( b x ,b z ) f( m ,n ) z
p
x
z
M
条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数
查表3-8
六、 条形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
σz =Kzt pt
σz=2[σz(ebo)- σz(eaf) ]=2[Ktz1(p+q)- Ktz2q] 其中q为三角形荷载（eaf）的最大值，可按三角形比例关 系计算得：q=p=100kPa，附加应力系数计算如表3-10所示。
编 荷载分布
O点（z=0m）M点（z=10m）
《土力学第三章》课件
应力张量的表达与分解
探讨三维应力状态下应力张量的 表达与分解。
主应力和主应力方向
解释主应力和主应力方向在土力 学中的重要性。
应力圆及其相关概念
介绍应力圆以及与之相关的概念。
六、摩尔圈法
1
摩尔圈法概述
讲解摩尔圈法在土壤力学中的应用。
2
内部摩尔圈与外部摩尔圈
阐述内部摩尔圈和外部摩尔圈的构成与特点。
七、黑尔圈法
《土力学第三章》PPT课 件
土力学第三章PPT课件，通过引人入胜的图片和简洁明了的内容，一起来学习 土壤的应力应变关系、固结与恢复、应力状态、摩尔圈法等知识。
一、Hale Waihona Puke 言本章内容概述并设定学习目标。
二、土体的应力应变关系
应力及其类型
介绍土体的应力以及不同类型的应力。
应变及其类型
讲解土体的应变以及不同类型的应变。
应力应变关系
探讨土体中应力和应变之间的关系。
三、一维固结与恢复
固结与恢复的定义和特点
解释一维固结和恢复的概念及其特点。
费马原理
介绍费马原理在土壤固结与恢复中的应用。
四、二维应力状态
1
圆心角法
2
介绍使用圆心角法确定平面应力状态。
平面应力状态与类型
阐述土壤中的平面应力状态及其不同类 型。
五、三维应力状态
1
黑尔圈法概述
解释黑尔圈法在土力学中的应用和原理。
水平裂缝与权重线
2
探讨黑尔圈法中水平裂缝和权重线的重 要性。
八、库仑圈法
1
库仑原理
介绍库仑原理在土壤力学中的应用。
2
库仑圈法综述
总结库仑圈法的要点和作用。
九、总结
土力学课件
土的渗透特性与达西定律
•2－示踪稀释法（略）
用专门的仪器 通过水文观测孔投放示踪剂（某同位素或某化学物质）， 在另一孔观测。 从而求得流速，此外观测水位差。 根据达西定律求渗透系数。
第三章
土的渗透性与渗透变形
§3.3 土体渗流场基本方程和流网特征
连续性条件 达西定律 流线方程 势函数的 基本方程 Laplace方程 （基本方程） 流函数的 基本方程
h Q A L
断面平均流速 v 水力坡降 i
Q A
水力坡降，沿渗流方向单位 距离的水头损失
h L
vi
16
§3.2
土的渗透特性与达西定律
k: 反映土的透水性能的比例系数，称为渗透系数
2. 达西定律 渗透定律
物理意义：水力坡降i＝1时的渗流速度 常用单位：mm/s, cm/s, m/s, m/day 在层流状态的渗流中，渗流速度v与水力坡降i 的一次方成正比，并与土的性质有关。 注意： v：假想渗流速度，土体试样全断面的平均渗流速度 vs：实际平均渗流速度，孔隙断面的平均渗流速度
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k1 k2 k3 2
H1 H2 H3
不透水层
kx
q2x q3x 1 L
H
25
§3.2
土的渗透特性与达西定律
2.竖直渗流
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条件: 等效渗透系数:
当前无法显示此图像。 当前无法显示此图像。
Δh x
当前无法显示此图像。
当前无法显示此图像。
2.渗透变形问题
土中渗流力过大会引起土颗粒的移动,产生渗透变形 如:地面隆起现象(流土)、细粒被带出现象（管涌）
土力学课件-第3章
浅层平板载荷试验示意图 加荷装置 反力装置 载荷板、垫块及千斤顶 沉降量测装置 百分表、基准桩和基准梁
堆重平台反力法和地锚反力架
《建筑地基基础设计规范》GB50007-2002）规定：
承压板的底面积为0.25～0.5m2，对软土及人工填 土不应小于0.5m2（正方形边长为0.707m 或圆形 直径为0.798m）；
2）侧限压缩模量 E s ：土的试样在完全侧限条件 下竖向受压，即侧向不能变形的条件。 E s大小反 映了土体在单向压缩条件下对压缩变形的抵抗能力。
体积压缩系数 m v
回弹指数 C e （也
称再压缩指数） Ce << Cc，一般地 Ce ≈ 0.1 ~ 0.2Cc。
土的回弹再压缩曲线
3.2 土的压缩性原位测试
3）地基承载力特征值 f
ak的确定
①有明显的比例界限a 时，取 f ak =p0 ； ③按上述两点不能确定 fak时，当承压板底面积为0.25～ 0.5m2，对低压缩性土和砂土，可取s / d = 0.01 ~ 0.015 对应的荷载值为 f ak ；对中、高压缩性土和砂土，取s / d = 0.02对应荷载为 f ak 。
荷载试验对于同一土层进行的试验点，不应少于三处，当 试验实测值的极差不超过平均值的30%时，取其平均值作 为该土层的地基承载力特征值 f ak ，即 fak=（f ak1+f ak2+f ak3）/3
4）用测微计（百分表）按一定时间间隔测记每级荷载施 加后的读数（ΔHi）； 5）计算每级压力稳定后土试样的孔隙比。
这种条件下的压缩试验称为单向压缩试验或侧限压缩试验。
土的压缩曲线
侧限条件下土样原始孔隙比的变化
土粒体积（高度）不变
土力学第三章
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4
矩形面积上作用水平均布荷载时土中附加应力计算
z h ph
矩形竖直向均布荷载角点下 的应力分布系数α0 ，是a/R， z/R的函数
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三、 平面问题地基中附加应力计算
载 载 １ ， 、 及 点 度 利 加
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2
矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向附加应力计算
x b
2
3p z 0 2 = t p
0
B
L
0
x
y2 z
3 5/2
dxdy
矩形竖直向均布荷载角点下 的应力分布系数αt ，是l/b， z/b的函数
cx cy
1
cz K0 cz
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【例 ３-１ 】如 图 ３-１０ 所 示 ， 土 层 的 物 理 性 质 指 标 为 ： 第 一 层 土 为 细 砂 ，重 度 γ １ ＝ 19 ｋＮ／ｍ ３ ，土 粒 重 度 γ ｓ ＝ 25.9ｋＮ／ｍ３ ，含 水 率 w＝18％ ；第 二 层 土 为 黏 土 ，γ ２ ＝16.8 ｋＮ／ｍ３ ，土 粒 重 度γ ｓ＝ 26.8ｋＮ／ｍ３ ， 含 水 率w＝50％ ， 液 限 IＬ＝48％ ， 塑 限 IＰ＝25％ 。有 地 下 水 存 在 。试 计算 土 中 自 重 应 力 。
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集中力作用下的 应力分布系数
r / z tgq
P
o β x
R
仁者乐山 智者乐水
P z 2 z
r θ z
M M’
y
x
3 1 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
特点
y
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.5 1.0 1.5
z
1.σz与β无关，应力呈轴对称分布
P
P
球根
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P
应力 球根
仁者乐山 智者乐水
附加应力分布规律
距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深度增加， σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限传播， 在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩散）
地基中的应力状态（1）
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
三维应力状态（三轴应力状态）
x y 应变条件 xy yz zx 0
应力条件
轴向力F
z
试 样
x y c xy yz zx 0
y
水压 力 c
侧限应力状态：侧向应变为零的一种应力状态 应变条件
y x 0 xy yz zx 0
xy yz zx 0 x x y z 0 E E x y z K 0 z 1
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
二维应力状态（平面应变状态） 应变条件 y 0
yx yz 0
y
x ij 0 1 2 xz 0 0 0
1 2
xz 0 z
应力条件
x z 0 E E y x z y
• 水平地基半无限空间体 • 半无限弹性地基内的自重 应力只与Z有关 • 土质点或土单元不可能有 侧向位移侧限应变条件 • 任何竖直面都是对称面
o y
x
z
应变条件
y x 0 xy yz zx 0
地基中的应力状态（3）
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
仁者乐山 智者乐水
角点法计算地基附加应力Ⅱ 计算点在基底边缘 II I 计算点在基底边缘外
o
o
c cⅠ cⅡ p0
o
III
I
IV o II
c cⅠ cⅡ cⅢ cⅣ p0
仁者乐山 智者乐水
角点法计算地基附加应力Ⅲ
计算点在基底角点外
仁者乐山 智者乐水
《土力学》之第三章
土体中的应力计算
石家庄铁道大学土木工程学院 岩土工程系
仁者乐山 智者乐水
第三章：土体中的应力计算
• 土体中的应力计算 • 土体中的孔隙水压力计算 • 有效应力原理与固结模型 • 土体应力计算-弹性理论
本章提要
学习要点
• 有效应力原理与固结 -土水两相相互作用
x
x y c ; z 独立变量 x y ; z
x y c
0 c 0 0 x 0 ij 0 0 z
0 x 0 0 0 z
c ij 0 0
地基中的应力状态（1）
§3.1 应力状态及应力应变关系
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
zx z +
材料力学
正应力
剪应力
顺时针为正 逆时针为负
zx
土力学
z +
x
xz
-
拉为正 压为负
-
xz
x
压为正 拉为负
逆时针为正 顺时针为负
土力学中应力符号的规定
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
三维应力状态（一般应力状态）
查表3-2 矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数αc
仁者乐山 智者乐水
任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应力间 满足线性关系
角点下垂直附加 角点法 应力的计算公式
叠加原理
地基中任意点的附加应力
仁者乐山 智者乐水
角点法计算地基附加应力Ⅰ
p0 III II
o
III
o
II
IV
z M
I
IV
I
c cⅠ cⅡ cⅢ cⅣ p0
仁者乐山 智者乐水
附加应力是由于修建建筑物之后再地基内新增加 的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉 降的主要原因
• 集中荷载作用下的附加应力 基本解
• 矩形分布荷载作用下的附加应力
• 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
叠加原理
地基中的附加应力
R2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
3P z 3 3 1 P z 5 2 R 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2 z 2
z
P z2
3 1 3 1 2 5/ 2 2 [1 (r / z ) ] 2 [1 tg 2q ]5/ 2
仁者乐山 智者乐水
土力学中应力
符号的规定
地基中常见的
应力状态
• • • •
三维应力状态 三轴应力状态 平面应变状态 侧限应力状态
应力计算时的
基本假定
• 连续 • 弹性 • 均质各向同性
小
结
仁者乐山 智者乐水
第三章：土体中的应力计算
§3.1 §3.2 §3.3 应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力
仁者乐山 智者乐水
竖直 集中力
矩形面积竖直均布荷载
矩形面积竖直三角形荷载 竖直线布荷载
条形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直均布荷载
水平 集中力
矩形面积水平均布荷载
特殊面积、特殊荷载
仁者乐山 智者乐水
竖直 集中力
矩形内积分
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
圆内积 分
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
仁者乐山 智者乐水
附加应力分布规律
仁者乐山 智者乐水
叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、应力 或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的代 数和
Pa
Pb z
两个集中力 作用下σz的 叠加
a
b
仁者乐山 智者乐水
二、矩形基础地基中的附加应力计算
角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
0 0 0 ij 0 0 0 0 0 z
x ij 0 0 0 y 0 0 0 z
应力条件
独立变量
z ; z F( z )
侧压力系数
地基中的应力状态（3）
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
土体的自重应力
§3.2 自重应力
仁者乐山 智者乐水
竖直向自重应力：土体中无剪应力存在，故地基中Z深 度处的竖直向自重应力等于单位面积上的土柱重量
• 均质地基：
• 成层地基：
sz z
sz
地面
i Hi
1 H1 2 H2 3 H3 sy
地下水
水平向自重应力： sx sy K 0sz K0 1
z
sz sx
容重： 地下水位以上用天然容重 地下水位以下用浮容重
土体的自重应力
§3.2 自重应力
仁者乐山 智者乐水 地面
分布规律
1 H1 2 H2
地下水
1H1
sz
2H2 2H3
z
2 H3
sy
sz sx z
分布线的斜率是容重 在等容重地基中随深度呈直线分布
x ij 0 zx
0 y 0
xz 0 z
独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; x , z
地基中的应力状态（2）
§ 智者乐水
侧限应力状态：指侧向应变为零的一种应力状态
2.σz :τzy :τzx= z : y : x, 合力过原点，与R 同向
α
2.0
2.5
3.0
r/ z
仁者乐山 智者乐水
P z 2 z
特点
3 1 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
3.P 作用线上，r =0, α=3/(2π）, z =0, σz→∞，z →∞，σz =0 4.在某一水平面上z =const，r =0, α最大，r↑，α减小，σz 减小 5.在某一圆柱面上r =const，z =0, σz =0，z↑，σz先增加后减小 6.σz 等值线－应力泡
xy
P z 2 z
x
y yz
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3Pz3 3P 3 z cos q 5 2 2R 2R
仁者乐山 智者乐水
3P z 3 z 2 R 5
3P yz 2 zy 2 R 5
3P xz2 zx 2 R 5
z : zy : zx z : y : x
圆形面积竖直均布荷载 水平集中力 矩形内积分 矩形面积水平均布荷载 特殊荷载：将荷载和面积进行分 解，利用已知解和叠加原理求解
仁者乐山 智者乐水
竖直 集中力
r / z tgq
P
o β x
R
仁者乐山 智者乐水
P z 2 z
r θ z
M M’
y
x
3 1 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
特点
y
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.5 1.0 1.5
z
1.σz与β无关，应力呈轴对称分布
P
P
球根
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P
应力 球根
仁者乐山 智者乐水
附加应力分布规律
距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深度增加， σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限传播， 在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩散）
地基中的应力状态（1）
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
三维应力状态（三轴应力状态）
x y 应变条件 xy yz zx 0
应力条件
轴向力F
z
试 样
x y c xy yz zx 0
y
水压 力 c
侧限应力状态：侧向应变为零的一种应力状态 应变条件
y x 0 xy yz zx 0
xy yz zx 0 x x y z 0 E E x y z K 0 z 1
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
二维应力状态（平面应变状态） 应变条件 y 0
yx yz 0
y
x ij 0 1 2 xz 0 0 0
1 2
xz 0 z
应力条件
x z 0 E E y x z y
• 水平地基半无限空间体 • 半无限弹性地基内的自重 应力只与Z有关 • 土质点或土单元不可能有 侧向位移侧限应变条件 • 任何竖直面都是对称面
o y
x
z
应变条件
y x 0 xy yz zx 0
地基中的应力状态（3）
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
仁者乐山 智者乐水
角点法计算地基附加应力Ⅱ 计算点在基底边缘 II I 计算点在基底边缘外
o
o
c cⅠ cⅡ p0
o
III
I
IV o II
c cⅠ cⅡ cⅢ cⅣ p0
仁者乐山 智者乐水
角点法计算地基附加应力Ⅲ
计算点在基底角点外
仁者乐山 智者乐水
《土力学》之第三章
土体中的应力计算
石家庄铁道大学土木工程学院 岩土工程系
仁者乐山 智者乐水
第三章：土体中的应力计算
• 土体中的应力计算 • 土体中的孔隙水压力计算 • 有效应力原理与固结模型 • 土体应力计算-弹性理论
本章提要
学习要点
• 有效应力原理与固结 -土水两相相互作用
x
x y c ; z 独立变量 x y ; z
x y c
0 c 0 0 x 0 ij 0 0 z
0 x 0 0 0 z
c ij 0 0
地基中的应力状态（1）
§3.1 应力状态及应力应变关系
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
zx z +
材料力学
正应力
剪应力
顺时针为正 逆时针为负
zx
土力学
z +
x
xz
-
拉为正 压为负
-
xz
x
压为正 拉为负
逆时针为正 顺时针为负
土力学中应力符号的规定
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
三维应力状态（一般应力状态）
查表3-2 矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数αc
仁者乐山 智者乐水
任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应力间 满足线性关系
角点下垂直附加 角点法 应力的计算公式
叠加原理
地基中任意点的附加应力
仁者乐山 智者乐水
角点法计算地基附加应力Ⅰ
p0 III II
o
III
o
II
IV
z M
I
IV
I
c cⅠ cⅡ cⅢ cⅣ p0
仁者乐山 智者乐水
附加应力是由于修建建筑物之后再地基内新增加 的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉 降的主要原因
• 集中荷载作用下的附加应力 基本解
• 矩形分布荷载作用下的附加应力
• 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
叠加原理
地基中的附加应力
R2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
3P z 3 3 1 P z 5 2 R 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2 z 2
z
P z2
3 1 3 1 2 5/ 2 2 [1 (r / z ) ] 2 [1 tg 2q ]5/ 2
仁者乐山 智者乐水
土力学中应力
符号的规定
地基中常见的
应力状态
• • • •
三维应力状态 三轴应力状态 平面应变状态 侧限应力状态
应力计算时的
基本假定
• 连续 • 弹性 • 均质各向同性
小
结
仁者乐山 智者乐水
第三章：土体中的应力计算
§3.1 §3.2 §3.3 应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力
仁者乐山 智者乐水
竖直 集中力
矩形面积竖直均布荷载
矩形面积竖直三角形荷载 竖直线布荷载
条形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直均布荷载
水平 集中力
矩形面积水平均布荷载
特殊面积、特殊荷载
仁者乐山 智者乐水
竖直 集中力
矩形内积分
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
圆内积 分
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
仁者乐山 智者乐水
附加应力分布规律
仁者乐山 智者乐水
叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、应力 或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的代 数和
Pa
Pb z
两个集中力 作用下σz的 叠加
a
b
仁者乐山 智者乐水
二、矩形基础地基中的附加应力计算
角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
0 0 0 ij 0 0 0 0 0 z
x ij 0 0 0 y 0 0 0 z
应力条件
独立变量
z ; z F( z )
侧压力系数
地基中的应力状态（3）
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
土体的自重应力
§3.2 自重应力
仁者乐山 智者乐水
竖直向自重应力：土体中无剪应力存在，故地基中Z深 度处的竖直向自重应力等于单位面积上的土柱重量
• 均质地基：
• 成层地基：
sz z
sz
地面
i Hi
1 H1 2 H2 3 H3 sy
地下水
水平向自重应力： sx sy K 0sz K0 1
z
sz sx
容重： 地下水位以上用天然容重 地下水位以下用浮容重
土体的自重应力
§3.2 自重应力
仁者乐山 智者乐水 地面
分布规律
1 H1 2 H2
地下水
1H1
sz
2H2 2H3
z
2 H3
sy
sz sx z
分布线的斜率是容重 在等容重地基中随深度呈直线分布
x ij 0 zx
0 y 0
xz 0 z
独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; x , z
地基中的应力状态（2）
§ 智者乐水
侧限应力状态：指侧向应变为零的一种应力状态
2.σz :τzy :τzx= z : y : x, 合力过原点，与R 同向
α
2.0
2.5
3.0
r/ z
仁者乐山 智者乐水
P z 2 z
特点
3 1 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
3.P 作用线上，r =0, α=3/(2π）, z =0, σz→∞，z →∞，σz =0 4.在某一水平面上z =const，r =0, α最大，r↑，α减小，σz 减小 5.在某一圆柱面上r =const，z =0, σz =0，z↑，σz先增加后减小 6.σz 等值线－应力泡
xy
P z 2 z
x
y yz
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3Pz3 3P 3 z cos q 5 2 2R 2R
仁者乐山 智者乐水
3P z 3 z 2 R 5
3P yz 2 zy 2 R 5
3P xz2 zx 2 R 5
z : zy : zx z : y : x
圆形面积竖直均布荷载 水平集中力 矩形内积分 矩形面积水平均布荷载 特殊荷载：将荷载和面积进行分 解，利用已知解和叠加原理求解
仁者乐山 智者乐水
竖直 集中力