2017-2018学年新疆伊宁生产建设兵团五校联考高一下学期期末考试数学试题

2017-2018学年新疆伊宁生产建设兵团五校联考高一下学期
期末考试数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知集合A ＝{x |y ＝ 1－x 2，x ∈Z}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则A ∩B 为( )
A ．∅
B ．{1}
C ．[0，＋∞)
D ．{(0,1)} 2．下列函数是奇函数的是( )
A ．f (x )＝lg (1＋x )－lg (1－x )
B ．f (x )＝2x ＋2－
x C ．f (x )＝－|x | D ．f (x )＝x 3－1
3．如果函数f (x )＝sin(2πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝1时取得最大值，那么( )
A ．T ＝1，θ＝π2
B ．T ＝1，θ＝π
C ．T ＝2，θ＝π
D ．T ＝2，θ＝π2
4．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )
A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1
D ．2∶3∶1
5．若函数f (x )＝错误!则f (log 43)＝( )
A.13
B.14 C ．3 D ．4 6．已知平面内三点A (－1,0)，B (5,6)，P (3,4)，且＝λ，则λ的值为( )
A ．3
B ．2C.12 D.13
7．将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移π3
个单位长度，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3
B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －2π3 8．等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为
( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3
，b ＝1，△ABC 的面积为32
，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32 D. 3
10．已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a ·b ＝25
，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4
等于( )
A.13
B.27
C.17
D.23
11．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，y ≤a (a >1)，
x －y ≤0，
若函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4
D.32 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，0]
B ．[0,1)
C ．(－∞，1)
D ．[0，＋∞) 二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设f (x )＝2x 2＋3，g (x ＋1)＝f (x )，则g (3)＝________.
14．已知A (x,1)，B (1,0)，C (0，y )，D (－1,1)，若＝，则x ＋y 等于
15．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R)，f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2
，则正数ω的值为________．
16.定义运算“⊗”:x ⊗y=
(x,y ∈R,xy ≠0),当x>0,y>0时,x ⊗y+(2y)⊗x 的最小值为__________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知函数f(x)=x+
(x>3).
(1)求函数f(x)的最小值.
(2)若不等式f(x)≥t t -2+7恒成立,求实数t 的取值范围.
18． (本小题满分12分)设两个向量a ，b 不共线．
(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；
(2)若 |a |＝2，|b |＝3，a 、b 的夹角为60°，求使向量ka ＋b 与a ＋kb 垂直的实数k .
19．1(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x 的值．
20．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos
B ＝35
. (1)若b ＝4，求sin A 的值；
(2)若S △ABC ＝4，求b ，c 的值．
21.(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值．
22． (本小题满分12分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．
2017—2018学年度第二学期高一年级期末数学答案
1-12 B,A,A,D,C,B,C,C,D,C,A,C
13, 11 14,4 15,1 16,
17. (1)因为x>3,所以x-3>0.
所以f(x)=x+=x-3++3≥2+3=9.当且仅当x-3=,即(x-3)2=9
时,上式取得等号,又因为x>3,所以x=6,所以当x=6时,函数f(x)的最小值是9.
(2),-1≤t ≤2
18．(本小题满分12分)
解：(1)＝＋＋＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3(a －b )＝6(a ＋b )＝6，∴与共线，即A 、B 、D 三点共线．
(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 垂直，∴(k a ＋b )·(a ＋k b )＝0，k a 2＋(k 2＋1)a ·b ＋k b 2＝0，
k a 2＋(k 2＋1)|a ||b |·cos60°＋k b 2＝0，3k 2＋13k ＋3＝0，
解得：k ＝－13±1336
. 19．解：(1)由题可知A ＝2，T 2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16，∴ω＝2πT ＝π8，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭
⎫π8x ＋φ. 又图象过点(2，2)，代入函数表达式可得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.
(2)∵x ∈[－2,4]，∴π8x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤0，3π4，当π8x ＋π4＝π2
，即x ＝2时，f (x )max ＝2； 当π8x ＋π4
＝0，即x ＝－2时，f (x )min ＝0. 20，解：(1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理a sin A ＝b sin B
，得sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25
. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12·2·c ·45
＝4.∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝ 22＋52－2×2×5×35
＝17. 21. 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列，∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2.∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1(n ∈N *)． (2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n －λ·2n －1＝(2－λ)2n －
1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则b n ＋1b n
＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝(2－λ)1－2(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)，∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1.
22, 解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)>0，∴若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．
f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15
或a ≥1.
检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1，此时f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.
②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65
＝0，得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15
. 综上所述，a <－15或a >1，即a 的取值范围为－∞，－15
∪(1，＋∞)．。