讲义-圆的性质综合应用专题

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第一章圆(讲义)(含答案)

第一章圆（讲义）➢知识点睛1.圆的基本概念及性质：在同一平面内，到定点的距离等于一个固定长度的所有的点构成的图形叫做圆。

这个定点叫做圆的圆心。

连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。

直径所在的直线是圆的对称轴。

2.圆的周长与面积:圆的一周长度称为圆的周长，圆的周长与它的直径长度之比称为圆周率，记为π。

因此圆的周长C=rπ=。

圆的内部区域面积称dπ2为圆的面积，圆的面积S=2πr。

3.两个大小不同的同心圆之间的部分称为圆环。

设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积S=()2222-=-。

R r R rπππ➢精讲精练经典例题1圆与扇形相关概念：（1）圆中心的一点叫做，一般用字母表示。

（2）连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做，用字母表示。

（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做，用字母表示。

直径长度是半径长度的倍。

（4）决定圆的大小；决定圆的位置；圆有条对称轴。

（5）图中涂色部分是一个。

圆上A、B两点之间的部分叫做。

顶点在圆心，两条半径组成的∠AOB，叫做。

（6）圆的周长式：；圆的面积公式：。

经典例题2（1）图中圆的周长是多少？圆的面积是多少？（单位：厘米，π取3.14）（2）下图的周长及面积分别是多少？(π取3.14，单位：米)经典例题3计算下图涂色部分的面积。

（π取3.14）经典例题4如图，有五个同心圆的半径分别是1、2、3、4、5，求图中阴影部分的面积。

（π取3.14）经典例题5如图是圆环的一半，面积是28.26平方厘米，那么图形的周长是多少？（π取3.14）【参考答案】经典例题1：（1）圆心，O（2）半径，r（3）直径，d ，2（4）半径，圆心，无数（5）扇形，弧AB ，圆心角（6）C =π2πd r ，S =2πr经典例题2：（1）周长：94.2cm ，面积：706.52cm（2）周长：40.56米，面积：105.12平方米经典例题3：84.78经典例题4：47.1经典例题5：24.84。

专题五圆中综合应用讲义

专题五圆中综合应用讲义板块一：辅助圆——图中无圆，心中有圆【热身】已知：如图，四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠A 、∠C 互补.求证：AD =CDABCD【引入】如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6，点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B ，C 重合），且DA =DE ，则AD 的取值范围是．已知△ABC 中，∠A =45°，BC =3，AC =a ，若满足上述条件的△ABC 有且只有一个，则a 的取值范围为______.在△ABC 中，AB =AC =2，BC 边上有100个不同的点P 1，P 2，……，P 100。

记()212,,100i i i i m A P B P P C i =+⋅=L ，，则12100...m m m +++= .在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条板块二：圆中角的灵活转化补充定理1：圆内接四边形定理圆的内接四边形性质定理：性质定理1：圆内接四边形的对角互补；性质定理2：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 补充定理2：弦切角定理弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.如图，AB 是圆O 的直径，直线EF 切圆O 于点B ，C 、D 是圆O 上的点，弦切角 ∠CBE =40°，AD =CD ，则∠BCD 的度数是（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．135°如图，已知AC =CB ，∠C =90°，过点C 作直线l //AB ，以A 为圆心，AB 为半径作圆交直线l 于M 、N ，求∠CMB 和∠CNB 的大小.如图，△ABC 为圆的内接三角形，D 为AB 上一点，且4AD =AB .P 在圆上，且∠ADP =∠ACB ，若PD PB =______.板块三：圆中比例线段补充定理3：相交弦定理圆内两条相交弦，被交点分成两条线段长的积相等； (经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等) 补充定理4：切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．补充定理4：切割线定理推论（割线定理）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．已知半径为1和2的同心圆1O e 、2O e ，在1O e 的圆周上任取一点P 作两条互相垂直的弦交2O e 于AB、CD =（）A ．B ．C ．D ．与弦的位置有关已知AB 是半径为1的O e 的一条弦，且AB =a <1，以AB 为一边在O e 内作正三角形ABC ，D 为O e 上不同于点A 的一点，且DB =AB =a ，DC 的延长线交O e 于点E ，则AE 的长为（）A．B ．1 C． D ．a 如图，PA 切圆O 于A ，割线PBC 交圆O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点，连接AD 并延长交圆O 于E ，已知：EA DE BE ⋅=21）求证：PA =PD 2）DE AD BP ⋅=22板块四：综合应用在直角扇形OAB 中，OA =OB =1，在AB 弧上任取一点C ，过C 作CD ⊥OB 于D ，则OD +DC 的最大值为______.如图所示，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程()0222=++k x k x -（k 是整数）的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 做⊙O 的切线P A 和割线PBC ，其中A 为切点，点B ，C 是直线PBC 与⊙O 的交点。

初中数学教案：《圆的性质与运用》

初中数学教案：《圆的性质与运用》圆的性质与运用一、引言数学是一门重要的学科，其内容丰富多样，深入浅出的教学方法对学生的学习效果有着至关重要的影响。

本教案旨在通过讲解《圆的性质与运用》，让初中生理解圆的基本概念和性质，并学会运用这些性质解决实际问题。

二、圆的基本概念与性质1. 圆的定义与特点圆是平面上一组到给定点的距离都相等的点的集合。

圆由圆心和圆周组成，圆心到圆周上任意一点的距离称为半径，圆周上任意两点的连线称为弦。

圆的性质有：圆内任意两点的距离都小于圆的半径，圆外任意一点到圆心的距离大于圆的半径。

2. 圆的测量学生要学会测量圆的半径、直径、弧长和扇形面积。

借助直尺和圆规，可以测量出圆的直径，从而计算出半径；通过一段弧的测量长度，可以进一步计算出整个圆的弧长；根据扇形的半径和对应的弧长，可以计算出扇形的面积。

三、圆的运用1. 圆与长方形利用圆与长方形之间的关系，可以解决一些实际问题。

比如，如何在一块已知面积的长方形纸片上，剪下一个面积最大的圆？学生可以通过观察和实际操作，发现当长方形的长和宽相等时，圆的面积最大；当长方形的长和宽不相等时，可以使用圆的面积公式来计算出最大的圆的面积。

2. 圆与三角形圆与三角形之间也存在一些有趣的联系。

例如，如何在一个已知边长的等边三角形内切一个圆？学生可以通过观察和推理，发现圆心恰好位于等边三角形的重心；利用这一性质，可以求解圆的半径和面积。

类似地，还可以学习如何在等腰三角形、直角三角形等各种类型的三角形中寻找圆的运用。

3. 圆与角度在圆的运用过程中，角度也是一个重要的概念。

学生需要掌握弧与角的关系，特别是圆心角、弧度和夹角的概念。

通过观察和实践，学生可以发现圆心角相等的两个弧所对应的圆心夹角也相等；同时，利用圆的性质和角的概念，可以解决一些含有角度的实际问题。

四、教学策略1. 激发学生的兴趣在教学过程中，可以通过引入一些有趣的问题或生活中的例子，激发学生对圆的兴趣。

圆的性质及其应用单元讲义

圆中的基本概念及定理（讲义）一、知识点睛1．平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形叫做圆，其中，_____称为圆心，_____称为半径；圆O 记作_____． 2．圆中概念：弧：_________________________；弧包括______和_______；弦：_______________________________________________；圆周角：___________________________________________；圆心角：___________________________________________；弦心距：___________________________________________． 3．圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是_________________________；圆是中心对称图形，其对称中心为_____________________． 4．圆中基本定理：（1）垂径定理：___________________________________________________________________________________；推论：_________________________________________ ______________________________________________；总结：知二推三①_______________________________， ②_____________________，③____________________， ④_____________________，⑤____________________．（2）四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量都分别相等．（3）圆周角定理：___________________________________；推论1：________________________________________；推论2：________________________________________，_______________________________________________．（4）三点定圆定理：_________________________________．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_______，三角形叫做圆的___________，外接圆的圆心是____________________，叫做三角形的___________．（5）圆内接四边形性质定理：__________________________．ABOEC二、精讲精练1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（）A ．CM =DMB ．CB ︵=BD ︵C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MD第1题图第2题图2. 如图，⊙O 的弦AB垂直平分半径OC ，若AB ，则⊙O 的半径为_________．3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm ．A BC DRO第3题图第4题图4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度AB =12 m ，桥拱高CD =4 m ，则拱桥的直径为__________．5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB =40°，则∠A 的度数为________．OCBA第5题图第6题图6. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O 的半径为2，AB =BCD =_______．7.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=________．AB第7题图第8题图8.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）A．B．C．D．9.如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO．以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于F，G两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG=__________．A DE CO G B10.如图，已知四边形A B C D内接于⊙O，如果它的一个外角．第10题图第11题图11.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M12. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（） A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块第12题图第13题图13. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是__________．14. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB 为6分米．如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，则圆柱形油槽的直径MN 为_________．MN15. 已知：O ⊙的半径为13 cm ，弦∥，=AB CD AB 24 cm ，=CD 10 cm ，则AB ，CD 之间的距离为_________________．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．定点，定长，定点，定长，⊙O．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧，劣弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心到弦的距离叫做弦心距．3．任意一条过圆心的直线；圆心．4．（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；①过圆心的直线；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧．（2）同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距．（3）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（4）不在同一条直线上的三点确定一个圆，外接圆，内接三角形，三角形三边垂直平分线的交点，外心．（5）圆内接四边形对角互补．二、精讲精练1．D 23．8 4．13m5．50°6．30°7．40°8．B9．33°10．128°11．B 12．B1314．10分米15．7cm或17cm圆中的基本概念及定理（随堂测试）1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，若AB =300m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是___________m ．BDC OA第1题图第2题图2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，若∠B =40°，则∠ACD =____________．3. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5，BE =1，CD =，则∠AED =___________．A【参考答案】1．250 2．50° 3．30°圆中基本概念及定理（作业）1. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB 为10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 为6，则水面宽AB 的长为（） A ．16B ．10C ．8D ．6 第1题图第2题图2. 如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，则下列说法不一定正确的是（）A ．AD =BDB ．∠ACB =∠AOEC ．AE ︵=BE ︵D ．OD =DE3. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，若∠BOC =70°，则∠A 的度数为（） A ．70°B ．35°C ．30°D ．20°AODB COCBA第3题图第4题图4. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（）A ．1 BC ．2D．5. 如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD = （） A ．116° B ．32° C ．58°D ．64°EODCBABA6.上的两点，若第6题图第7题图7. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且∠C =70°，则∠OAB =__________．8. 如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC =108°，若点D 在AB 的延长线上，且BD =BC ，则∠D =_________．O DC A第8题图第9题图9. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ．D为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB =20°，则∠OCD =_________． 10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB =16 m ，半径OA =10 m ，则中间柱CD 的高度为______m ．CD BOA第10题图第11题图11. 如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为_________．C12. 如图，若△ABC 的顶点都在⊙P 上，则点P 的坐标是________．第12题图第13题图13. 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示（网格中每个小正方形的边长均为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是__________．14. 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，若四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD +∠OCD =______．第14题图第15题图15. 如图，∠PAC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3 cm ，DB =10 cm ，以DB 为直径作⊙O ，交射线AP 于E ，F 两点，则线段EF 的长是___________cm ．16. 如图，E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，经过A ，B ，E 三点的⊙O 与边BC 交于点F ，P 为AB ︵上任意一点．若正方形ABCD 的边长为4，则sin ∠P 的值为__________．【参考答案】1．A 2．D3．B4．D5．B6．30° 7．20°8．27°9．65° 10．4 11．26寸12．(-2，-1)1314．60°15．616．35与圆有关的位置关系及圆中的计算（讲义）一、知识点睛与圆有关的位置关系，关键是找d．和r．．1.点与圆的位置关系d表示__________的距离，r表示___________．①点在圆外：_____________；②点在圆上：_____________；③点在圆内：_____________．2.直线与圆的位置关系d表示__________________的距离，r表示__________．①直线与圆相交：____________；②直线与圆相切：____________；③直线与圆相离：____________．切线的性质定理：__________________________________；切线的判定定理：____________________________________________________________________________________．切线长定理：________________________________________________________________________________________．3.圆与圆的位置关系d表示__________的距离，R表示________，r表示_________．①圆与圆外离：_________________；②圆与圆外切：_________________；③圆与圆内切：_________________；④圆与圆内含：_________________；⑤圆与圆相交：_________________．4.圆中的计算公式弧长公式：____________________．扇形面积公式：①________________；②________________．圆锥的侧面积公式：_________________________________．圆锥的全面积公式：__________=__________ + __________．扇形及其所围圆锥间的等量关系：①________________________________________________；②________________________________________________．AE二、精讲精练1. 矩形ABCD 中，AB =8，BC P 在AB 边上，且BP =3AP ，如果圆P是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（） A ．点B ，C 均在圆P 外B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内 C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外D ．点B ，C 均在圆P 内2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC =4 cm ，以点C 为圆心，以3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是__________．3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 有且只有一个公共点，则R 的取值范围是_________________． 4. 在△ABC 中，∠C =90°，AC =3 cm ，BC =4 cm ．若⊙A ，⊙B 的半径分别为1cm ，4 cm ，则⊙A ，⊙B 的位置关系是_______．5. 若有两圆相交于两点，且圆心距为13公分，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（） A ．25公分、40公分 B ．20公分、30公分 C ．1公分、10公分D ．5公分、7公分6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点E ，则∠E =______．第6题图第7题图 7. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠P =40°，则∠ACB =_______． 8. 如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，则∠A =______．CBA9. 如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 与边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在边AD ，DC 上．现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2，则正方形ABCD 的边长是________．OFE DC BA第9题图第10题图10. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴负半轴上，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M ，N 两点，若点M 的坐标是(-4，2)，则点N 的坐标为___________．11. 如图所示，AB 是O ⊙的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，已知∠AEC =∠ODB ．（1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明；（2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．FE CDB OA12. 如图，⊙O 的半径是1，A ，B ，C 是圆周上的三点，∠BAC =36°，则劣弧BC的长是___________．第12题图第13题图 13. 如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是________．14. 如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，若伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC 的长为12分米，伞骨AB 的长为9分米，则制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料__________平方分米．15. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC=，若把Rt △ABC 绕边AB 所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．俯视图左视图主视图44第15题图第16题图16. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为__________． 17. 如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50 cm ．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是____________．18. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1 cm 的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为_______．图1图2三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．点到圆心，圆的半径．d r >；d r =；d r <． 2．圆心O 到直线l ，圆的半径．d r <；d r =；d r >．圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．3．圆心之间，大圆半径，小圆半径．d R r >+；d R r =+；d R r =-；0d R r <<-；R r d R r -<<+． 4．180n rl π=．①2360n r S π=；②2lr S =．=S lr π．全面积=侧面积+底面积．①圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长； ②圆锥的侧面积等于扇形面积．二、精讲精练 1．C2．相交 3．34R <≤或125R = 4．外切5．B6．50°7．110°8．99°9．2+10．（-1，2）11．（1）BD 与⊙O 相切，证明略；（2）203BD =．12．25π 13．6π 14．54π 15．16．4π 17．18° 18与圆有关的位置关系及圆中的计算（随堂测试）1. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，且AB >AD +BC ．若AB是⊙O 的直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系是_______________．A第1题图第2题图2. 如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至点C ，使得AC =3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D ．若CD =3，则线段BC 的长度为__________．3. 如图，如果从半径为9 cm 的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为___________．第3题图第4题图4. 如图是某公园的一角，已知∠AOB =90°，AB ︵的半径OA 的长是6米，C 是OA 的中点，点D 在AB ︵上，且CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是___________．【参考答案】1．相交 2．13．B4．6π与圆有关的位置关系及圆中的计算（作业）1.在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确．．．的是（）A．当a < 5时，点B在⊙A内B．当1< a < 5时，点B在⊙A内C．当a < 1时，点B在⊙A外D．当a > 5时，点B在⊙A外2.已知⊙O1，⊙O2的半径分别是12r=，24r=，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（）A．2 B．4 C．6 D．83.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线CD与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定D CBA第3题图第4题图4.如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°．点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP x=，则x的取值范围是_______．5.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．如果OP=4，PA=A 第5题图第6题图6.如图，AB是⊙O的直径，点D在线段AB的延长线上，DC切⊙O于点C．若∠A=25°，则∠D =_________．12cm7. 如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，AC 是⊙O 的直径．若∠BAC =35°，则∠P =________．8. 已知宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切，另一边与⊙O 的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），则⊙O 的半径为__________cm ．9. 如图1，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，且CE =5 cm ．如图2，将量角器沿DC 方向平移2 cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，则AB 的长为__________cm ．（结果保留根号）ED C B AA B CD图1图210. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA =AB =3，若弦BC ∥OA ，则劣弧BC 的弧长为________．第10题图第11题图11. 一圆锥的主视图如图所示，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为________．12. 已知圆锥底面圆的半径为 6 cm ，高为8 cm ，则该圆锥的侧面积为__________cm 2．13. 如图，把一个半径为12 cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则该圆锥的底面半径是________cm ．A第13题图第14题图14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CA =CB =4．分别以A ，B ，C 为圆心，以21AC 为半径画弧，则三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是____________． 15. 已知在△ABC 中，AB =6，AC =8，∠A =90°．把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1，把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，则S 1:S 2=________．16. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，点F 在线段AC 的延长线上，且12CBF CAB ∠=∠．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若AB =5，sin CBF ∠=，求BC 和BF 的长．【参考答案】1．A2．B3．A4．0x ≤≤5．120°6．40°7．70°8．2569．16)10．3π 11．90°12．60π 13．4 14．8-2π 15．2:316．（1）证明略（2）203BC BF ==每周一练（二）1. 如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图可能是（）A ．B ．C ．D ．2. 已知在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且(tan 0B A =，则△ABC 一定是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．有一个角是60°的三角形3. 已知tan 1α=，那么2sin cos 2sin cos -+αααα的值为（）A ．13B ．12C ．1D ．164. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC=E 为AC 的中点，点F在底边BC 上，且EF ⊥BE ，则△CEF 的面积是（） A ．16B ．18C．D．ABC EF第4题图 5. 在单词probability 中任意选择一个字母，字母为“b ”的概率为___________． 6. 如图是反比例函数2y x =和ky x=（2k >）在第一象限内的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A ，B 两点．若S △AOB =2，点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为___________．7. 如图所示，在x 轴的正半轴上依次截取11223OA A A A A ===3445A A A A =，过点1A ，2A ，3A ，4A ，5A 分别作x 轴的垂线，交反比例函数2y x=（x ≠0）的图象于点1P ，2P ，3P ，4P ，5P ，得△11OP A ，△122APA ，△233APA ，△344APA ，△455A P A ．设它们的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，则5S 的值为_______．BC F A E M D第9题图8. 若等腰三角形的面积为10，腰长为5，则此等腰三角形的底角的正切值为_________．9. 如图，将长为4 cm ，宽为2 cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段AM 的长度为__________． 10. 定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V 数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率是________．11. 如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总有AD=BE ．AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则cos AFG ∠=_________．D GFE BACBCC'FB'第11题图第12题图12. 如图，在△ABC 中，AB =BC ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定的角度得到△AB ′C ′，当点C ′恰好落在BC 边的中点处时，B ′C ′与AB 交于点F ，若AC =2，则C ′F 的长为__________．13. 如图所示，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )在函数9y x=（0x >）的图象上，△OP 1A 1，△A 1P 2A 2，△A 2P 3A 3，…，△A n -1P n A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，…，A n -1A n 都在x 轴上，则y 1=_____，y 2=_____，y 3=_______，直接猜测y 1+y 2+…+y n =____________．GFECD BAABD CEF第13题图第14题图14. 如图，在△ABD 中，AC ⊥BD ，直线EF ∥BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ．若S △AEG =31S 四边形EBCG ，则．CF________AD= 15. 如图是两个可以自由转动的转盘，转盘均被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），则转盘停止后指针指向的数字之和为偶数的概率是________．NM D C BA 第15题图第16题图16. 如图，在正方形ABCD 中，M 是AD 上异于D 的一点，N 是CD 的中点，且∠AMB =∠NMB ，则AM :AB =（）A ．13B ．25CD17. 如图，矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(203-，5)，D 是AB 边上的一点．将△ADO 沿直线OD 翻折，使点A 恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是________．18. 如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数ky x=的图象交于点A (3，2)．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）M (m ，n )是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴，交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．分别在坐标轴上，点B 的坐标为(4，2)，直线132y x =-+分别交AB ，BC 于点M ，N ，反比例函数xky =的图象经过M ，N 两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在y 轴上，且△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等，求点P 的坐标．21. 如图所示，一条小河的两岸1l ∥2l ，河两岸各有一座建筑物A和B ．为测量A ，B 间的距离，小明从点B 出发，在垂直河岸2l 的方向上选取一点C ，然后沿垂直于BC 的直线行进24米到达点D ，测得∠CDA =90°．取CD 的中点E ，测得∠BEC =56°，∠AED =67°，求A ，B 间的距离．（参考数据：sin56°≈45，tan56°≈32，sin67°≈1415，tan67°≈73，226=676，227=729）22. 如图，自来水厂A 和村庄B 在小河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向，B 位于南偏东24.5°的方向，前行1 200 m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏西49°的方向，B 位于南偏西41°的方向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由．（2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°≈0.75）67°56°l 2l 1AF DECBl东北【参考答案】1．A 2．D 3．A 4．A 5．2 116．(3，2) 7．158．2，129．13cm810．1211．1212．313．33，，14．1215．4916．A 17．12 yx =-18．（1）23y x=，6yx=（2）03x<<（3）BM=DM，理由略19．（1）90%，87.5% （2）略（3）不符合20．（1）4yx=（2）P(0，4)，P(0，-4)21．26米22．（1）BQ=PQ （2）2 000m。

讲义_田圆的基本性质

拓展：
【练习题】
5．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，
∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．
6．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，
∠FAE=______，∠DAB=______，∠EFA=______．
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）
8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，
且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．
9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，
⊙O的半径为5，则OP=______．
10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，
则⊙O的半径等于______cm．
线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．
(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．
9．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
(1)求证：∠AOC=∠BOD；
(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
6．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．
7．已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．
8．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．
14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．

《圆的综合问题》课件

弦切角定理
总结词
弦切角定理是圆的另一个重要性质，它描述了弦切角与相邻的圆心角之间的关系。
详细描述
弦切角定理指出，弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。这个定理在证明和解决与弦、切线和圆相关的几何问题时非常有用。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线长度的重要定理。
详细描述
切线长定理指出，从圆外一点引出的两条切线，它们的切线长相等。这个定理在解决与切线和圆相关的几何问题时非常有用，因为它提供了一种计算切线长度的方法。
05
CATALOGUE
圆的实际应用
生活中的圆
总结词
无处不在，形状规则，美感十足
详细描述
从自然界中的太阳、月亮、星球到人类创造的各种物品，如车轮、餐具、建筑等，圆的身影无处不在。它具有独特的形状和美感，给人以和谐、完美的感觉。
圆在几何作图中的应用
总结词
基础工具，简化作图，提高精度
VS
详细描述
圆规是几何作图的基本工具之一，利用它可以轻松地画出各种大小的圆。在复杂的几何图形中，圆可以作为基础元素，帮助简化作图过程，提高作图的精度和效率。
04
CATALOGU
当直线与圆只有一个公共点时，称为相切关系。此时，直线称为圆的切线，切点是与圆最近的点
。
相交
当直线与圆有两个公共点时，称为相交关系。此时，直线称为圆的割线。
相离
当直线与圆没有公共点时，称为相离关系。
圆与圆的位置关系
内含
一个圆完全位于另一个圆内，称为内含关系。
《圆的综合问题》课件
contents
目录
• 圆的定义与性质 • 圆的方程 • 圆的几何性质 • 圆的综合问题 • 圆的实际应用

九年级数学上册讲义第十讲——圆的性质垂径定理,圆心角

第十讲第二十四章圆24.1.1圆的性质1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O 为圆心的圆记作“☉O”，读作“圆O”.2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小.3.连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ；4.经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB ；5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．6. 在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧.24.1.2 垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD证明过程已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中OA OBOM OM =⎧⎨=⎩∴Rt △OAM ≌Rt △OBM∴AM=BM∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合． ∴AC BC =，AD BD =24.1.3 弧、弦、圆心角1.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数与他所对的弧的度数相等.2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等. 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD推导过程如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？DAB =''A B ，AB=A ′B ′理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合∴AB =''A B ，AB=A ′B ′例1、如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？练一练一、填选1、如图1，M 是⊙O 内一点，已知过点M 的⊙O 最长的弦为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，则OM =_____ cm.2、如图2，⊙O 的直径AC =2，∠BAD =75°，∠ACD =45°，则四边形ABCD 的周长为_____(结果取准确值).3、如图3，⊙O 的直径为10，弦AB =8，P 是弦AB 上一动点，那么OP 长的取值范围是_____.课后作业1、在半径为5cm 圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（）。

中考复习讲义圆的基本概念与性质(含参考答案)

圆的基本概念与性质内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1．圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2．弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作»AB ，读作弧AB ．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

一与圆有关概念【例1】判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径( )中考说明自检自查必考点中考必做题（3）半圆是弧( )（4）弧是半圆( )（5）长度相等的两条弧是等弧( )（6）等弧的长度相等( )（7）两个劣弧之和等于半圆( )（8）半径相等的两个圆是等圆( )（9）两个半圆是等弧( )（10）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√【例2】如图，点A D G M、、、在半圆O上，四边形ABOC DEOF HMNO、、均为矩形，设BC a=，EF b=，NH c=则下列格式中正确的是( )A．a b c>>B．a b c==C．c a b>>D．b c a>>ONMHGFEDCB A【答案】B【例3】如图，直线12l l∥，点A在直线1l上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l、于B、C两点，连接AC BC、．若54ABC∠=︒，则∠1的大小为________【答案】72°【例4】如图，ABC∆内接于Oe，84AB AC D==，，是AB边上一点，P是优弧¼BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，PAD∆是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．【答案】解：当4BD=时，PAD∆是以AD为底边的等腰三角形．证明：∵P是优弧¼ABC的中点∴»»PBPC = ∴PB PC =在PBD ∆与PCA ∆中， ∵4PB PC PBD PCB BD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴PBD PCA SAS ∆∆≌（）．∴PD PA =，即4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．【例5】如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A B C D A ⇒⇒⇒⇒滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B C D A B ⇒⇒⇒⇒滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为_________【答案】4π- 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为1，故点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．二垂径定理及其应用【例6】如图，AB 是O e 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若82BC ED ==，，求O e 的半径．【答案】（1）不同类型的正确结论有：22290•ABC BE CE BD DC BED BOD A AC OD AC BC OE BE OB S BC OE BOD BOE BAC ==∠=︒∠=∠⊥+==⋯V P V V V ①；②弧弧；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨是等腰三角形；⑩∽（2）∵OD BC ⊥，∴12BE CE ==4BC =设O e 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-，在Rt OEB V中，由勾股定理得： 22222224OE BE OB R R +=-+=，即（），解得：5R = ，∴O e 的半径为5．【例7】如图，在O e 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______BAO【答案】23【例8】如图，D 内接于O e ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O e 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤»¼12AB ACB =，正确结论的个数是( )DCBAA ．2B ．3C ． 4D ．5【答案】A【例9】如图，AB 为O e 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（）ODCAA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【答案】B【例10】如图，AB 是O e 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O e 的直径为（）EO BDCAA ．10B ．12C ．14D ．16【答案】A【例11】如图，O e 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O e 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（） A ．1 B 3 C ．2 D ．23OCBA【答案】D【例12】小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A ．2B 5C ．22D ．3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．如图，作线段,AB BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为圆镜的圆心，连结OA ,由图可知 1,2AD OD ==，由勾股定理得半径2222125OA AD OD +=+ODCBA【例13】如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【答案】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24， ∴ED =12CD =12．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）．（2）OE 22OD ED -2213125-=． ∴将水排干需：50.510÷=小时．【例14】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）OEC DABCDA ．5米B ． 8米C ．7米D ．53米【答案】B【例15】如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8OC CD ==,则AE =_______BEO DCA【答案】2【例16】一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（）OCBAA ．16B ．10C ．8D ．6 【答案】A【例17】已知，如图，1O e 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O e 的半径。

《圆》讲义

《圆》讲义一、圆的定义在平面几何中，圆是一个非常重要的图形。

圆可以被定义为平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

这个定点称为圆心，定长称为圆的半径。

我们可以想象一下，如果用一根绳子的一端固定在一个点上，另一端绑着一支笔，然后让笔绕着这个固定点旋转一周，那么笔尖所画出的轨迹就是一个圆。

圆是一种非常完美和对称的图形。

无论从哪个角度观察，它的形状都保持不变。

这种对称性使得圆在数学和实际生活中都有广泛的应用。

二、圆的基本元素1、圆心圆心是圆的中心位置，决定了圆的位置。

通常用字母 O 表示。

2、半径半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。

它决定了圆的大小。

用字母 r 表示。

3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

直径是半径的两倍，用字母 d 表示，即 d ＝ 2r 。

4、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为优弧和劣弧。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

5、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径是圆中最长的弦。

6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

例如，在圆 O 中，直径 AB 垂直于弦 CD ，则 CE ＝ DE ，弧 AC ＝弧 AD ，弧 BC ＝弧 BD 。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。

圆的周长公式为 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 。

例如，如果一个圆的半径是 5 厘米，那么它的周长就是 2×314×5 ＝314 厘米。

圆的基本性质及其应用课件

圆的基本性质及其应用 ppt课件
欢迎来到本次课程《圆的基本性质及其应用ppt课件》！在这里，我们将深入探讨圆的定义、特点和应用领域，以及学习如何应用这些知识解决实际问题。
圆的定义和特点
1 定义
Hale Waihona Puke 圆是平面上的一条曲线，其上的所有点到一个固定点的距离相等。
2 特点
圆具有无限多的对称轴、等边、等角、等弧长等特点。
工程测量
测量工程中，圆形的特性常被用于建筑布线和设备安装。
运动竞技
许多运动场地如田径运动场和游泳池都有圆形的特点。
数学研究
数学中的几何学和分析学等学科中，圆的性质和应用是重要的研究领域。
实例和案例分析
1
实例1
如何使用圆的特性设计一个圆形花坛？
案例分析
2
为了修建一个标志性的圆形建筑，设计
师如何应用圆的知识和技术？
圆的基本元素和表达方式
圆心
圆的中心点，通常表示为O。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用r表示。
直径
通过圆心的线段，通常用d表示。
圆内角和圆心角
1
圆内角
位于圆内的两个射线之间的角，其顶点
圆心角
2
位于圆心。
位于圆周上的两个射线之间的角，其顶
点位于圆心。
3
关系
圆内角的度数是对应的圆心角的一半。
弧长和扇形面积
弧长
圆上一段弧的长度，可以通过圆的半径和圆心角来计算。
扇形面积
由圆心角所对的圆弧和两个半径所围成的区域的面积。
圆的切线和切点
1 切线
与圆相切于一点的直线。
2 切点
切线与圆相切的点。
3 性质

圆的概念及性质(一)讲义

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角
a形，根据垂径定理与勾股定理有：r2?d2?()2，根据此公式，在a，r，d2
三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量． ③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相
（一）圆的相关概念及性质
一知识梳理
1. 圆的有关概念和性质
（1）圆的有关概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径． ②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣
弧．
③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
（2）圆的有关性质：
①圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心． ②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论1：a .平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
b.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
c .平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角
所对的弦是直径．
④三角形的内心和外心
a：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
b：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆
心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
c：பைடு நூலகம்角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形

圆的基本性质及其应用精品PPT教学课件

C
A
O
B
P
D
问题（2）：图中有哪些相似的三角形？
2020/12/6
10
如图，AB是⊙O的直径，CD是
∠ACB的平分线交⊙O于点D
C
A
O
B
P
D
问题（3）：根据以上两个问题所得的结果，你还能得到其他结论吗？
2020/12/6
11
如图，AB是⊙O的直径，CD是
∠ACB的平分线交⊙O于点D
C
A
O
B
P
D
为P，若 CP=7米，AB=28米，你能求出这个广场的半
径吗？
C
B P
A
O
2020/12/6
8
如图，AB是⊙O的直径，CD是
∠ACB的平分线交⊙O于点D
C
A
O
B
P
D
问题（1）：你能找出图中相等的圆周角和相等的线
段吗?
2020/12/6
9
如图，AB是⊙O的直径，CD是
∠ACB的平分线交⊙O于点D
日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
问题（4）：若点C在半圆上运动（不和A，B重合），在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发生了改变？
2020/12/6
12
如图，AB是⊙O的直径，CD是
∠ACB的平分线交⊙O于点D
C
A
O
B
P
D
问题（5）：若点C在半圆上运动（不和A，B重合），
你能求出
AC的值BC？
CD
2020/12/6
13
圆的复习课之一
2020/12/6
1
2020/12/6
2

九年级(上)培优讲义-第5讲圆的基本性质

第5讲：圆的基本性质一、建构新知1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.3．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角：(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.二、经典例题例1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．例2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的长．变式：如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC＝．例3．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E ．（1）若OC =5，AB =8，求tan ∠BAC ；（2）若∠DAC =∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．例4. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）证明：AF 平分∠BAC ；（2）证明：BF ＝FD .N MO C BA例5. 已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.例6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．三、基础演练1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()．A．70°B．64°C．62°D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为()．A．54m B．m C．m D．m3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于().A. (4π+8)cm2B. (4π+16)cm2C. (3π+8)cm2D. (3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是().A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为() A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，－4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A ．80°B ．100°C ．80°或100°D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50° 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是_____.10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A 的度数是____________.11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是______________ .12．已知圆的直径为13 cm ，圆心到直线的距离为6cm ，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.13. 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是______. 14. 已知正方形ABCD 外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为_______________，面积为_______________．四、直击中考1.(2013年湖北)如，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（） A .95 B . 245 C . 185 D . 522.（2013黑龙江）如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE =4，CD =6，则AE 的长为（）CADBA ．4B ．5C ．6D ．73．（2013江苏）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是的中点，则下列结论不成立的是（） A ．OC ∥AE B ．EC =BCC ．∠DAE =∠ABED ．AC ⊥OE4.（2013湖北）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（） A ．B ． A F =BFC ． O F =CFD ． ∠DBC =90°5.（2013湖北）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD =4，EM =8，则所在圆的半径为．6.（2013年广东）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O ,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为____________.7.（2013四川）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足=31，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF =2，AF =3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG =2；③tan ∠E =；④S △DEF =4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．8．（2013浙江）如图，AE 是半圆O 的直径，弦AB =BC =4，弦CD =DE =4，连结OB ，OD ，则图中两个阴影部分的面积和为． 9. （2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC ，OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ．（1）当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为；（2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时：①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．10.（2013四川）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．五、挑战竞赛1.如图所示，△ABC的三边满足关系BC=12（AB+AC），O，I分别为△ABC的外心和内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于点E，AI的延长线交⊙O于点D，DE交BC于点H．求证：（1）AI=BD；（2）OI=12 AE．第22题图②OPCBA六、每周一练1．在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作，如图所示．若AB =4，AC =2，S 1﹣S 2=，则S 3﹣S 4的值是（） A ．B ．C ．D ．2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形， AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．如图②，若2524sin =∠BPC ，则PAB ∠tan 的值为． 3. 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点（不与M 、C 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F ，切点为E ．（1）求证：OF ∥BE ；（2）设BP =x ，AF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）延长DC 、FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 与H （图2），问是否存在点P ，使△EFO ∽△EHG （E 、F 、O 与E 、H 、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中x 和y 的值；如果不存在，请说明理由．。

小学数学圆的讲义

圆1、基本知识点（1）圆的初步认识圆中心的一点叫圆心,用o 表示。

一端在圆心,另一端在圆上的线段叫半径,用r 表示。

两端都在圆上,并过圆心的线段叫直径,用d 表示。

圆有无数条半径，无数条直径，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，字母关系式为2d r =。

或半径是直径的一半，字母关系式为12r d =。

圆规两脚尖所叉开的距离为圆的半径。

在圆内最长的线段是直径。

将一张圆形纸片至少对折2次，就能确定圆心的位置。

圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。

圆有无数条对称轴。

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。

（2）圆的周长（用C 来表示）圆一周的长度就是圆的周长。

任何圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率, 所以任何一个圆的圆周率，都不随圆的大小而变化。

用字母π表示，计算时通常取3.14，注意π是一个固定值，而3.14是一个近似值。

公式：==÷圆的周长圆周率圆的周长圆的直径圆的直径。

圆的周长公式：C=πd 或 C=2πr一个圆的周长是直径的π倍，是半径的2π倍。

（3）圆的面积（用S 来表示）圆所占地方的大小就是圆的面积。

把一个圆，经若干等分后，再拼成一个近似的长方形：长方形的长 = 圆周长的一半 = πr ，长方形的宽=半径= r 。

长方形的面积= πr 2 即圆的面积圆的面积公式： S=πr 2 （4）半圆的周长和面积将一个圆沿着任何一条直径剪开分成两个相同的半圆，其中的一个就叫做半圆。

半圆是由一条半圆弧和一条直径围成。

那么半圆C 半圆的周长公式：C =22dd r rππ+=+半圆半圆C 半圆的面积公式：2=2C r π÷半圆（5）圆环的周长和面积两个同心圆形成一个圆环。

设小圆和大圆（或内圆和外圆）的半径和直径分别为r 和R 。

（R ﹥r ）圆环的周长：=22C r R ππ+圆环圆环的面积：()2222=R -R S r r πππ=-圆环（6）圆的相关结论一个圆的半径扩大若干倍，则它的直径也扩大相同的倍数，周长也扩大相同的倍数，而面积扩大倍数的平方倍。

第三章圆的性质(1-4节)讲义

龙文教育学科教师辅导讲义课题第三章圆的性质（1-4节）教学目标1.理解圆及弦、弧、圆心角、圆周角的概念，了解弧、弦、圆心角的关系。

2.了解圆的对称性以及垂径定理。

重点、难点重点：圆的相关概念与性质。

难点：垂径定理的内容及应用。

考点及考试要求教学内容知识瞭望圆基本元素：圆的定义，圆心，半径，弧，弦，弦心距的垂径定理认对称性：旋转不变性，轴对称，中心对称（强）识圆心角、弧、弦、弦心距的关系与圆有关的角：圆心角，圆周角一、圆的概念1、圆的定义：线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

2、弧：圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧。

优弧、劣弧以及表示方法。

3、弦，弦心距，圆心角，圆周角，4、判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有：d>r ⇔点P在⊙O 外；d＝r ⇔点P在⊙O 上；d<r ⇔点P在⊙O 内二、圆的性质1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心．性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。

3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．4、与圆有关的角⑴ 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

⑵ 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：① 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．② 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．5、三角形的外接圆，外心三角形的外心：是三角形三边垂直平分线的交点，它是三角形外接圆的圆心。

知识点：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。