人教版高中数学选修4-5：第二讲2.3反证法与放缩法含解析

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2.3 反证法与放缩法课件(人教A选修4-5)

f(－a)，求证：a<b.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得
f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)
于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立． ∴a<b.
项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，
或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．
1 1 1 1 4．设 n 是正整数，求证： ≤ ＋＋„＋＜1. 2 n＋1 n＋2 2n
证明：由 2n≥n＋k＞n(k＝1,2，„，n)， 1 1 1 得 ≤ ＜ . 2n n＋k n 1 1 1 当 k＝1 时， ≤ ＜n； 2n n＋1 1 1 1 当 k＝2 时， ≤ ＜； 2n n＋2 n „ 1 1 1 当 k＝n 时， ≤ ＜， 2n n＋n n ∴将以上 n 个不等式相加得： 1 n 1 1 1 n ＝ ≤ ＋＋„＋＜＝1. 2 2n n＋1 n＋2 2n n
(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，
唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”， “至少”，“不能”等词语的不等式． (2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，
在解题时要灵活应用．
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为 A．a，b，c均不为0
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．Fra bibliotek2．不等式的证明方法——放缩法放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大

高二数学人教A版选修4-5课件：2.3 反证法与放缩法

证明:假设 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)都大于 1,则 a(1-
b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14.
∴
��(1-��)
>
1 2
,
��(1-��)
>
1 2
,
��(1-��)
>
1 2
,
��(1-��) > 12.
�� 变式训练 2
设
n
是正整数,求证12
≤
1 ��+1
+
��+1 2+…+21��<1.
分析:要求一个
n
项分式 1
��+1
+
��+1 2+…+21��的范围,它的和又求不
出来,可以采用“化整为零”的方法,先观察每一项的范围,再求整体的范围.
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证法二:假设a+b>2,则a>2-b. ∵a3+b3=2,∴2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0, 这与(b-1)2≥0矛盾, ∴a+b≤2. 证法三:假设a+b>2, 则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6, ∴ab(a+b)>2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0,这与(a-b)2≥0矛盾,∴a+b≤2.

人教新课标A版高二数学《选修4-5》第二讲三反证法与放缩法

1 1 1 3．求证：＋ ≤1＋ . 1＋|a| 1＋|b| 1＋|a＋b|
1＋|b|＋1＋|a| 1 1 证明：∵ ＋＝ 1＋|a| 1＋|b| （1＋|a|）（1＋|b|） 1＋|a|＋|b|＋1 1＋|a|＋|b|＋1 ＝ ≤ 1＋|a|＋|b|＋|ab| 1＋|a|＋|b| 1 1 ＝1＋ ≤1＋ . 1＋|a|＋|b| 1＋|a＋b|
2n－1 1 3 5 3．求证：＋＋＋…＋ n <3 (n∈N+)． 2 4 8 2
2n－1 1 3 5 证明：设 S＝＋＋＋…＋ n ， 2 4 8 2 1 将等式两边乘以得 2 2n－1 1 1 3 5 S＝＋＋＋…＋ n＋1 . 2 4 8 16 2
将两式相减得 2n＋3 1 2n－1 1 1 1 1 1 1 S＝＋24＋8＋16＋…＋2n－ n＋1 ＝＋1－ n＋1 . 2 2 2 2 2 2n＋3 2n＋3 ∴S＝3－ n ，又 n >0， 2 2 2n－1 1 3 5 ∴S<3，即＋＋＋…＋ n <3 (n∈N+)． 2 4 8 2
2 2 n ＋ 1 （ n ＋ 1 ） 1 3 5 < ＋＋＋… ＋＝ 2 2 2 2 2
n ∴
n＋1 （n＋1）2 <Sn< . 2 2
反思感悟：用放缩法证明不等式的过程中，往往采用“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．
1 1 1 2．求证：1＋ 2＋ 2＋…＋ 2<2 (n∈N+)． 2 3 n
立．
1＋y 1＋x 1．已知 x>0，y>0，且 x＋y>2，求证：与中至少有 x y 一个小于 2.

高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.3 反证法与放缩法

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1 1 同理，(1－b)b≤ ，(1－c)c≤ ， 4 4 1 ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤ ，与假设矛盾． 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于 . 4 1 证法二假设三式同时大于 . 4 ∵0＜a＜1，∴1－a＞0，－a ＋b 1 1 ≥ －a b＞＝ . 2 4 2 －b ＋c －c ＋a 1 同理，都大于 . 2 2 2 3 3 三式相加，得＞，此式矛盾， 2 2 ∴原命题成立．
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例 3 若 a，b，c，d∈R＋，求证：1<
a b c ＋＋ a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b
d ＋ <2. d＋a＋c
a b c d 证明：记 x＝＋＋＋ . a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b d＋a＋c ∵a、b、c、d∈R＋， a b c d ∴x> ＋＋＋＝1， a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a b c d x< ＋＋＋＝2. a＋b a＋b c＋d c＋d ∴1<x<2，即原式成立．
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1 1 1 1 － < <1－， 2 3 22 2 1 1 1 1 1 － < < －， 3 4 32 2 3 „， 1 1 1 1 1 － < < － . n n＋1 n2 n－1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将它们相加得：－＋－＋„＋－ < ＋＋„＋ 2<1－ 2 3 3 4 n n＋1 22 32 n 2 1 1 1 1 ＋－＋„＋－ . 2 3 n－1 n 1 1 1 1 1 1 即－ < ＋＋„＋ 2<1－ . 2 n＋1 22 32 n n 3 1 1 1 1 1 ∴ － <1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ (n∈N*，且 n≥2)． 2 n＋1 2 3 n n

人教数学选修4-5全册精品课件：第二讲三反证法与放缩法

三反证法与放缩法学习目标1・理解并掌握反证法、换元法与放缩法；2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式.1.将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法•2.证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理，得到和命题的条件或己讦明的定理、性质、明显成立的事实等矛盾的结论,以说明假设不正确，从而证明原命题成立.我们把它称之为反证法.3.在证明不等式时，通过把不等式的某些部分的值放大或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.思考感悟运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大（或缩小）要适当.如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大.有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式.课堂互动讲练考点突破反证法证明不等式设0<«v2,0v方v2,0vcv2, 求证: (2 —a)9C, (2—&)•«, (2—c)•方不可能同时大于1.【思路点拨】结论若是“都是”、“都不是”、“至少”、“差不多”或“不等于”形式的命题，往往考虑反证法，本题“不大于”的反面是“大于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”・【ss】sa ^(2—a )・C V L(2—b)・avL(2lc)・0VL s(2—a)・c ・(2—b)・a ・(2—c)・bvl ・CD・・• 0AaA290AT2©<CA292—a+a7・・・(2—a )・a /A( 2) H l ・回«“(2—3&A L (2—c )・c/Al ・・・・(2—a )a ・(2—3&・(2—c)・c /A L wIr ㊀m^M. •••s ^^ 暑•【名师点评】当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.变式训练1已知f(x)=x2+px+q,⑴求证：/(1)+/(3)-2/-(2)=2；⑵求证：旷(1)1,『(2)1,『(3)1中至少有一个不小于12-证明：(1加1)+/(3)-欲2)=(l+〃+q)+(9+切+q) —2(4+2p+q)=2・⑵假设肛1)1，『(2)1,『(3)1都小于言・则『⑴ l+2『(2)l+|/(3)lv2・而f(l)l+2『(2)l + !A3)IM/⑴+/(3)—欲2)=(l+p+q)+(9+3p+q)—(8+4p+2q)=2 从而导出了两个矛盾的结果.・・・『(1)1、『(2)1、『(3)1中至少有一个不小于乞已知 0>0，6>0, C>0,且 0+方 2=c2.求证:当〃 M3时,a tl +b n <c n.岁点二Ih换元法证明不等式【思路点拨】条件中的^+b2=c2可化为(夕尸L/ + (£)2=1,满足这个关系的务可以用三角代换，变成三角函数式的证明.【证明】sinA=_, cosA=-，c c0<sinA<l,0<cosA<l,/. sin A+cos"A=sin" 一2A «siii2A+cos" 一2A POS%<sin2A+COS2A = 1,即(#)"+(£)"vl・:.a n+b n<c n.④对于pl —込可设工=cos 〃或x=sin 仇【名师点评】如果两个非负数的和为1,就可用某个角的正、余弦表示这两个数，使两个变量变成一个以角为变量的三角函数式，三角代换的规律②若 a 2+b 2=r 2(r>0)9 可设 a=rcosa, ③若 r 2^a 2+b 2^R 2(R>r>0),可设 a=ccosa, b =csimz(/WcWR)；x=cos 伏 y=sin 〃；fe=rsina ；为:・号巴+半+1+卡・・・GWZ+9ZZ启z+ra启 s +1+a +ys o e a +9z u le 「z +£0。

人教版高中数学选修4-5课件：2.3反证法与放缩法

1 n
n
1
1＜n12
＜
n将11这些n1 ,不等式相加得
所以 1 1 1 ＜1 1 1 1 ＜11 1 ,
2 n 1 22 32
n2
n
即
3 2
1 ＜1 n 1
1 22
1 32
1 n2
＜2
1 n
(n∈N+且n≥2)成立.
【方法技巧】放缩法证明不等式的技巧放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个
1 n2
提示:
(n∈N+且n≥2).
n
1 n
1
＜
1 n2
＜
n
1 n
1
【证明】因为k(k+1)>k2>k(k-1),
所即分以别k1令kkkk=11121＜,＜3k1,2k…1＜2 (＜,kkn1k∈得1kN1k1+1且, k≥2).
1 2
1 3
＜212
＜1
1 2
,
1 3
1 4
＜312
＜1 2
1 3
,
1 1 1 1 ＞1. n 1 n 2 n 3 2n 2
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是证明过程放缩思路错误.正确解答过程如下:
【证明】
1 1 1 1 n 1 n 2 n 3 2n ＞ 1 1 1 1 n 1.
2n 2n 2n 2n 2n 2
3.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项. (2)在分式中增大或减小分子或分母. (3)应用重要不等式放缩,如a2+b2≥2ab,
(4a)b利用a 函b，数a的b 单( a调 b性)2等，a . b c 3 abc(a,b,c＞0).

高中数学人教A版选修4-5课件：2-3反证法与放缩法

否定一个也有两个或两没有或有两不不都是有假设没有个以上个及以上全是
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典例透析
1
2
对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾, 尤其在一些选择题中,更是如此.
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>
2 ��+ ��+1
(�� ∈ R,k>1)
等.
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典例透析
题型一
题型二
题型三
题型一利用反证法证明不等式
【例1】若a3+b3=2,求证:a+b≤2. 分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁,宜用反证法. 证法一：假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2. 证法二：假设a+b>2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6. 故ab(a+b)>2. ∵a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0. 这不可能,故a+b≤2.
=
n n
=
答案： A≥ ��

最新人教版高中数学选修4-5《反证法与放缩法》教材梳理

庖丁巧解牛知识·巧学一、反证法1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的. 记忆要诀用反证法证明命题“若p 则q”的过程可以用下图表示.2.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步,分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步,作出与所证不等式结论相反的假定；第三步,从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步,断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等式成立.辨析比较3通常在什么情况下用反证法？有些不等式，从正面证如果说不清楚，可以考虑反证法.即先否定结论，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的. 学法一得凡是含“至少”“唯一”或含有否定词的命题，大多适宜用反证法.不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养大家数学式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力. 二、放缩法1.放缩法的意义：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.也就是说：欲证A≥B ，可通过适当地放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B 1，B 1≤B 2，…，B 1≤A ，或A≥A 1，A 1≥A 2，…，A i ≥B ，再利用传递性，达到欲证的目的.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 2.放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较.3.放缩法经常采用的技巧有： ①舍去一些正项（或负项），②在和或积中换大（或换小）某些项，③扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等.如：nn n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-<<+=+- 11121111+-=+-<<++=-+k k kk k k k k k .误区警示用放缩法证明不等式，关键是放、缩适当，放得过大或过小都不能达到证题目的. 典题·热题知识点一：反证法证明不等式例1 设a 3+b 3=2，求证a+b≤2.思路分析：要证的不等式与所给的条件之间的联系不明显，而且待证式比已知式次数低，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑用反证法. 证明：假设a+b>2，则有a>2-b ，从而 a 3>8-12b+6b 2-b 3,a 3+b 3>6b 2-12b+8=6(b-1)2+2.所以a 3+b 3>2，这与题设条件a 3+b 3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立. 误区警示不能根据已知等式找出几组数值，代入待证不等式中进行验证，验证成立也不能算是证明成功了.例2 设二次函数f(x)=x 2+px+q,求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 思路分析：要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，需要考虑的情形较多，一一列举直接证明不容易，通常采用反证法进行. 证明：假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21，则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. ①另一方面，由绝对值不等式的性质，有 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2. ②①②两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确. 方法归纳一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及临时假定矛盾等各种情况. 例3 设0<a,b,c<1，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不可能同时大于41. 思路分析：题目中出现了“不可能同时大于……”字样，而且三个式子的地位相同，结合0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法. 证明：设(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41,则三式相乘：(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>641.①又∵0<a,b,c<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41.同理：(1-b)b≤41,(1-c)c≤41,以上三式相乘：(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾.∴原式成立.巧解提示凡涉及到证明不等式为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时，可考虑使用反证法.知识点二：放缩法证明不等式例4 当n>2时，求证：log n (n-1)log n (n+1)<1.思路分析：不等式左边含有不确定字母n ，两个对数式底数相同，真数中没有常数项，而右边为常数1，应考虑应用基本不等式逐步放缩证明，采用放缩法证明较好. 证明：∵n>2，∴log n (n-1)>0,log n (n+1)>0.∴log n (n-1)log n (n+1)<［2)1(log )1(log ++-n n n n ］2=［2)1(log 2-n n ］2<［2log 2n n ］2=1.∴n>2时,log n (n-1)log n (n+1)<1. 方法归纳在用放缩法证明不等式A≤B 时，我们找一个(或多个)中间量C 作比较，即若能断定A≤C 与C≤B 同时成立，那么A≤B 显然正确.所谓的“放”即把A 放大到C ，再把C 放大到B;反之，所谓的“缩”即由B 缩到C ，再把C 缩到A.同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及. 例5 若n 是正整数，求证22221312111n ++++ <2. 思路分析：左边不能直接通分，而且项数不定，分析此式的形式特点，借助k k k k k111)1(112--=-<进行变形，可以通过适当地放缩，使不等式简化，从而得出证明. 证明：∵kk k k k 111)1(112--=-<,k=2,3,4…,n. ∴n n n∙-++∙+∙+<++++)1(13212111113121112222 ..212)111()3121()2111(11<-=--++-+-+=nn n 巧解提示实际上，我们在证明22221312111n++++ <2的过程中，已经得到一个更强的结论n n 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想.例6 设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3.思路分析：根据不等式的对称性，三个字母地位相同，不妨设出大小顺序，结合三角形三边之间的关系，进而应用放缩法选择适当的式子放缩变形，以达到证明目的. 证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c ，则b+c-a≤c+a -b≤a+b -c, 且2c-a-b≤0，2a-b-c≥0.∴c b a c b a c b a c b a -++-++-+-3=a c b a -+-1+b a c b -+-1+c b a c-+-1=ba c ba cb ac a c b b a c c b a c b a b a c b a c c a b a c b c b a -+--+-+--+-+--≥-+--=-+--=-+--222222=0,∴cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3.方法归纳本题中为什么要将b+c-a 与a+b-c 都放缩为c+a-b 呢？这是因为2c-a-b≤0，2a-b-c≥0，而2b-a-c 无法判断符号，因此ba c ca b -+--2无法放缩.所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度. 问题·探究交流讨论探究问题有人说反证法很难，根本想不通；有人说反证法不难，看课本中的例题用起来很简单，那如何体会反证法的难与易呢？探究过程:学生甲：反证法太难了，都是逆向思维，根本想不到.学生乙：其实反证法不难，在生活中不也经常使用吗？先假设怎样怎样，然后就会出现什么样的事情，最后发现那不可能，出现了笑话，说明假设的不对.学生丙：反证法不难，只要见到含有否定形式的命题，如含有“至多”“至少”“不可能”等时就用反证法.学生甲：那要找不到矛盾呢？学生乙：只要按照正确的推理总会找到矛盾的，可以和已知矛盾，也可以和常识矛盾，也可以和假设本身矛盾等等，反正只要找到矛盾就可以. 学生甲：那反证法有什么好处呀？学生丙：反证法比直接证明多了一个条件，那就是假设，当然容易证明了.老师：反证法也不是万能的，一般证明还是先用直接证法，当要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰时，还有就是从正面证明需要分成多种情形进行分类讨论，而且从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形时用反证法较好.还有，平时应该拥有较为扎实的基本功，在推理中才能较快地找到矛盾，也就是要多积累素材. 探究结论:反证法作为一种证明方法，其实也不是很新，很早就接触了，说来并不算难，只要多积累一下这方面的知识技巧就可以较为熟练的应用了.思想方法探究问题反证法证题，可以说是一个难点，就是感觉难懂难用.因为以前我们的证明，所采用的方法均为直接证法，由已知到结论，顺理成章.而对于属于间接证法的反证法，许多同学正是难以走出直接证法的局限，从而不能深刻或正确理解反证法思想.怎样才能更好地理解反证法呢？探究过程:其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证法不可替代的作用.在生活中的应用也非常广泛，只是我们没有注意罢了.下面看两则故事，体会一下，对我们正确理解反证法很有帮助.故事一：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪.乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨.”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎.”实际上，小牧童正是巧妙地运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论.风水先生当然不会承认这个事实了.那么，显然，他说的就是谬论了.这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还治其人之身”的反证法迎刃而解了.如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二.故事二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这是很著名的“道旁苦李”的故事.实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成像几何题目中的“已知、求证、证明”，再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了.探究结论:反证法的应用广泛，只要善于观察和总结，从生活中体会反证法的思想，就不会感觉反证法难懂难用了.。

人教版高中数学选修4-5习题：第二讲2.3反证法与放缩法

第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法A 级基础稳固一、选择题331．用反证法证明命题“假如a＞ b，那么a＞b”时，假定的内容是()3333A. a＝bB. a＜b33333333C.a＝b，且a＜bD. a ＝ba＜b或333333分析：应假定a≤b，即a＝ba＜ b.或答案： D2．实数a， b， c 不全为0 的等价命题为()A． a， b， c 均不为 0B． a， b， c 中至多有一个为0C． a， b， c 中起码有一个为0D． a， b， c 中起码有一个不为0答案： D3．对“a， b， c 是不全相等的正数”，给出以下判断：①(a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (c－ a)2≠ 0；②a＞b 与 a＜ b 及 a≠c 中起码有一个建立；③ a≠c， b≠ c， a≠ b 不可以同时建立．此中判断正确的命题个数是()A． 0B． 1C． 2D． 3分析：关于①，若(a－ b)2＋ (b－c) 2＋ (c－ a)2＝ 0，则 a＝ b＝ c，与已知矛盾，故①对；关于②，当 a＞ b 与 a＜ b 及 a≠c 都不建即刻，有 a＝ b＝ c，不切合题意，故②对；关于③，明显不正确．答案： C1114．设 x， y， z 都是正实数，a＝ x＋y， b＝ y＋z， c＝ z＋x，则 a， b， c 三个数 ()A．起码有一个不大于 2 B．都小于2C．起码有一个不小于 2 D．都大于2分析：因 a＋ b＋ c＝ x＋1＋ y＋1＋ z＋1≥ 2＋ 2＋ 2＝ 6，当且当x＝ y＝ z＝ 1 等号建立，xy z因此 a， b， c 三者中起码有一个不小于 2.答案： C5．若 a， b， c∈ R＋，且 a＋ b＋ c＝ 1， M ＝8， N ＝ (a＋c) ·(a＋ b)， ()27－ 27aA．M≥N B．M≤NC．M＞N D．M＜N分析：依， 1－ a， 1－ b，1－ c 均大于 0，又 a＋b＋ c＝ 1，因此3（ 1－ a）（ 1－ b）（ 1－ c）≤1[(1－ a)＋ (1－ b)＋ (1－ c)]＝2，33因此8 (1－a)(1 － b)(1－ c) ≤，27进而8≥ (1－ b)(1 － c)＝ (a＋ c)( a＋ b)，27－ 27a因此 M ≥N，当且当a＝ b＝ c＝1，等号建立．3答案： A二、填空6．某同学准用反法明以下一个，函数f(x)在 [0， 1]上存心，且f(0)＝ f(1)，1假如于不一样的x1， x2∈ [0， 1]，都有 |f(x1)－ f (x2)|＜|x1－ x2|，求： |f (x1)－ f(x2)|＜2，那么它的假是________．1答案：假 |f(x1)－ f (x2)| ≥27． lg 9· lg 11 与 1 的大小关系是 ________．分析：因lg 9· lg 11＜lg 9＋lg 11＝lg 99＜lg 100＝1，222因此 lg 9· lg 11＜ 1.答案： lg 9· lg 11＜ 111118． M＝210＋210＋ 1＋210＋2＋⋯＋211－1，M与1的大小关系________．分析：因210＋ 1＞ 210， 210＋ 2＞ 210，⋯， 211－ 1＞ 210，因此111111110M ＝210＋210＋1＋210＋2＋⋯＋211－1＜210＋210＋⋯＋210,2个＝1.答案： M ＜1三、解答题1＋ x 1＋ y9．已知 x ， y ＞ 0，且 x ＋ y ＞ 2.求证： y， x 中起码有一个小于 2.证明： (反证法 )设 1＋ x ≥ 2， 1＋ y≥ 2，y x1＋ x ≥2y ， ①则1＋ y ≥2x. ②由①②式可得 2＋ x ＋ y ≥2(x ＋ y)，即 x ＋ y ≤2，与题设矛盾．因此1＋ x，1＋ y中起码有一个小于2.yx10．设 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a ＋ b ＝ 1＋ 1.证明：a b (1)a ＋ b ≥2；(2)a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋b ＜ 2 不行能同时建立．11a ＋ b证明：由 a ＋ b ＝＋＝， a ＞ 0， b ＞ 0，得 ab ＝ 1.(1)由基本不等式及 ab ＝ 1，有 a ＋ b ≥2 ab ＝ 2，即 a ＋ b ≥ 2. (2)假定 a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋ b ＜ 2 同时建立，则由 a 2＋ a ＜ 2 及 a ＞ 0 得 0＜ a ＜1；同理， 0＜ b ＜ 1，进而 ab ＜ 1，这与 ab ＝ 1 矛盾．故 a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋ b ＜ 2 不行能同时建立．B 级能力提高1．若 a ＞ 0， b ＞ 0，知足 ab ≥1＋ a ＋ b ，那么 ()A ． a ＋ b 有最小值 2＋ 2 2B ． a ＋ b 有最大值 ( 2＋ 1) 2C ． ab 有最大值2＋ 1D ． ab 有最小值 2＋ 2 2（ a ＋ b ） 2分析： 1＋ a ＋ b ≤ab ≤，4因此 (a ＋b)2－ 4(a ＋ b)－4≥0，解得 a ＋ b ≤2－2 2或 a ＋ b ≥2＋ 2 2，由于 a ＞ 0， b ＞ 0，因此 a ＋ b ≥2＋ 2 2.答案： A2．设 x ， y ， z ， t 知足 1≤x ≤y ≤z ≤t ≤ 100，则 x ＋ z的最小值为 ________．y t分析：由于xy ≥1y ≥1z ，且 z t ≥ 100z ，因此x＋z≥1＋z≥ 21· z ＝1，y t z 100z 1005当且仅当 x＝ 1，y＝ z＝ 10， t＝ 100时，等号建立．答案：153．已知函数 f(x)＝ |x|＋ |x－ 1|.(1)若 f( x) ≥|m－ 1|恒建立，务实数m 的最大值 M ；(2)在 (1)建立的条件下，正实数a， b 知足 a2＋ b2＝ M ，证明： a＋ b≥2ab.解： (1) 由于 f(x)＝ |x|＋ |x－ 1| ≥|x－ (x－ 1)|＝ 1，当且仅当0≤x≤1时取等号，因此 f(x)＝ |x|＋|x－ 1|的最小值为 1.要使 f(x) ≥|m－ 1|恒建立，只要 |m－ 1| ≤1，因此 0≤m≤2，则 m 的最大值M ＝ 2.(2)证明：由 (1)知， a2＋ b2＝ 2，由 a2＋ b2≥ 2ab，知 ab≤1①.又 a＋b≥2ab，则 (a＋ b) ab≥ 2ab.由①知，ab≤ 1.故 a＋b≥2ab.。

高中数学教案选修4-5教案第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法

三反证法与放缩法☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 ☻知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执索的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系： ☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。

例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例xy y x y x y x ++>+>.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a2. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑧利用常用结论：如：2=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯ 例3 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<c ad d b d c c a c b b d b a a 证明：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +∴1=+++++++++++++++>c b ad d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立。

高中数学人教A版选修4-5学案第2讲 3 反证法与放缩法 Word版含解析

三反证法与放缩法．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材～“例”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和(或已证明的定理、性命题的条件的结论，以说明质、明显成立的事实等)矛盾假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )．两个都是偶数．一个是奇数，一个是偶数．至少一个是偶数．恰有一个是偶数【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．【答案】教材整理放缩法阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．放大证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值缩小或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．若－＜，－＜，则下列不等式一定成立的是( )【导学号：】．－＜．－＞．－＜－＞【解析】－＝(－)－(－)≤－＋－＜.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()()＋()－()＝；()()，()，()中至少有一个不小于.【精彩点拨】()把()，()，()代入函数()求值推算可得结论．()假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】()由于()＝＋＋，∴()＋()－()＝(＋＋)＋(＋＋)－(＋＋)＝.()假设()，()，()都小于，则有()＋()＋()＜.(*)。

人教版选修A4-5数学课件：2-3 反证法与放缩法(共21张PPT)

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反思感悟用反证法证明不等式: (1)适用范围,凡涉及不等式为唯一性、否定性命题、存在性命题等可考虑反证法.如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式. (2)注意事项,在对原命题进行否定时,应全面、准确,不能漏掉任何情况,反证法体现了“正难则反”的策略,在解题时要灵活应用.
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做一做2 若A=1+ 是 .
1 1 1 + +…+ 2 3 ��
(n∈N+),则A与n的大小关系
1 1 1 解析：A=1+ + +…+ 2 3 ��
≥
1 1 1 + +…+ �� 三Biblioteka 反证法与放缩法-1-
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学习目标思维脉络 1.理解反证法和放缩法的证明依据. 2.掌握利用反证法和放缩法证明不等式的方法.
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高中数学人教A版选修4-5优化练习：第二讲三反证法与放缩法 Word版含解析

[课时作业][A组基础巩固]1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．答案：C2．设x>0，y>0，A＝x＋y1＋x＋y，B＝x1＋x＋y1＋y，则A与B的大小关系为()A．A≥B B．A≤B C．A>B D．A<B解析：A＝x1＋x＋y＋y1＋x＋y<x1＋x＋y1＋y＝B.答案：D3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a、b、c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，这与a＋b＋c＝x＋1y＋y＋1z＋z＋1x≥6矛盾．故选C.答案：C4．设M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则()A．M＝1B．M<1C．M >1 D．M与1大小关系不定解析：M 是210项求和，M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1，故选B. 答案：B5．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 都为正数，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )， H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2aba ＋b，又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为单调减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ， ∴A ≤G ≤H . 答案：A6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证： |f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的假设应该是________．答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥127．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是________．解析：m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b |＝1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1.答案：m ≤n 8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋bb ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵a >0，b >0，∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋ba ＋b ＋2＝a ＋b a ＋b ＋2＝M . ∴M <N . 答案：M <N9．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d2. ∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．10．求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <3(n ∈N ＋)．证明：由11×2×3×…×k <11×2×2×…×2＝12k －1(k 是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1＋1－12n1－12＝3－12n －1<3.∴原不等式成立．[B 组能力提升]1．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：“x n <x n ＋1或x n >x n ＋1”的对立面是“x n ＝x n ＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”．答案：B2．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|，Q ＝12sin 2α，则它们之间的大小关系为( )A ．M >N >P >QB ．M >P >N >QC ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：∵α∈(π，54π)，∴0>sin α>cos α. ∴|sin α|<|cos α|，∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|) >12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M . P ＝12|sin α|＋|cos α|<12 (|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N . ∴N >P >M . 对于Q ＝12sin 2α＝ sin αcos α<|sin α|＋|cos α|2＝P . 而Q ＝sin αcos α> sin 2α＝|sin α|＝M . ∴N >P >Q >M . 答案：D3．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条4．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c ，使f (c )>0, 则实数p 的取值范围是________．解析：假设在 [－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32，所以p ≤－3或p ≥32，取补集为p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 故实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，325．已知0<x <2,0<y <2,0<z <2，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 证明：法一：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1均成立，则三式相乘有：xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1.①由于0<x <2，∴0<x (2－x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1. 同理：0<y (2－y )≤1，且0<z (2－z )≤1， ∴三式相乘得：0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1②②与①矛盾，故假设不成立．∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 法二：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1. ∴x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x )>3.③又x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x )≤x ＋(2－y )2＋y ＋(2－z )2＋z ＋(2－x )2＝3④④与③矛盾，故假设不成立． ∴原题设结论成立．6．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2·a n(n ∈N ＋)，(1)求a 2，a 3并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝n a n，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <710.解析：(1)∵a 1＝2，a n ＋1＝2(1＋1n )2·a n (n ∈N ＋)， ∴a 2＝2(1＋11)2·a 1＝16，a 3＝2(1＋12)2·a 2＝72. 又∵a n ＋1(n ＋1)2＝2·a nn 2，n ∈N ＋， ∴{a nn 2}为等比数列． ∴a n n 2＝a 112·2n －1＝2n ， ∴a n ＝n 2·2n .(2)证明：c n ＝n a n＝1n ·2n ，∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝11·2＋12·22＋13·23＋…＋1n ·2n <12＋18＋124＋14·(124＋125＋…＋12n ) ＝23＋14·124[1－(12)n －3]1－12<23＋14·1241－12＝23＋132 ＝6796＝670960<96×796×10＝710，所以结论成立．。

人教A版选修4-5 第2讲 3 反证法与放缩法课件(15张)

知识点二放缩法证明不等式
4．已知 S＝1＋1×1 2＋1×12×3＋…＋1×2×31×…×n(n 是
大于 2 的自然数)，则有( )
A．S<1
B．2<S<3
C．1<S<2
D．3<S<4
解析：S＝11＋1×1 2＋1×12×3＋…＋1×2×31×…×n<1＋12 ＋212＋213＋…＋2n1－1＝11－－2112n＝2－2n1－1<2.
又因为 S＝1＋1×1 2＋…＋1×2×31×…×n>1.故选 C. 答案：C
5．令
P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1n，Q＝
n，则 P 与 Q 的大小
关系是________．
解析：P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1≥ n
1＋ n
1 ＋…＋ n
1＝ n
n＝ n
n，当且仅当 n＝1 时取等号，∴P≥Q.
综上所述，正确的命题有 2 个，故选 B. 答案：B
பைடு நூலகம்
3．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列．
求证： a， b， c不成等差数列．
证明：假设 a， b， c成等差数列，则有 a＋ c＝2 b，即 a＋c＋2 ac＝4b.
又∵三个正数 a，b，c 成等比数列． ∴b2＝ac，即 b＝ ac. ∴a＋c＋2 ac＝4 ac，即( a－ c)2＝0， ∴ a＝ c，即 a＝c.从而得 a＝b＝c. ∴a，b，c 也成等差数列，这与已知矛盾．故假设错误，∴ a， b， c不成等差数列．
命题的结论．
A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．②③
解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条

数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.3反证法与放缩法

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解析：由反证法和放缩法易知(1)，(2)，(4)错误．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
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2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪
些作为条件使用( )
①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③
公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②
B．①②④
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温馨提示 (1)一定不要把“假设”写成“设”；(2) 必须从否定的结论出发进行推理，即把否定的结论作为推理的条件，否则就不是反证法．
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2．放缩法
把要证的不等式一边适当地放大(或缩小)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．
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1．反证法
[知识提炼·梳理]
(1)反证法的定义．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
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则 1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，这与已知的 ac＋bd＞1 矛盾，所以假设不成立，所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数．
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归纳升华 1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． 2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．

2019-2020学年人教A版数学选修4-5课件：第2讲 3 反证法与放缩法

2．求证：1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n≥2，n∈N＋)．
[证明] ∵k2＞k(k－1)， ∴k12＜kk－1 1＝k－1 1－1k(k∈N＋，且 k≥2)．分别令 k＝2,3，…，n 得 212＜11·2＝1－12，312＜21·3＝12－13，…， n12＜nn1－1＝n－1 1－1n.
第十一页，编辑于星期六：二十三点三十三分。
1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．
2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
第十二页，编辑于星期六：二十三点三十三分。
第十六页，编辑于星期六：二十三点三十三分。
1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．
2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．
第十七页，编辑于星期六：二十三点三十三分。
第二十八页，编辑于星期六：二十三点三十三分。
第二十九页，编辑于星期六：二十三点三十三分。
当堂达标固双基
第三十页，编辑于星期六：二十三点三十三分。
1．实数 a，b，c 不全为 0 的等价条件为( ) A．a，b，c 均不为 0 B．a，b，c 中至多有一个为 0 C．a，b，c 中至少有一个为 0 D．a，b，c 中至少有一个不为 0
[精彩点拨] (1)把 f(1)，f(2)，f(3)代入函数 f(x)求值推算可得结论．
(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．

高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法教案(含解析)新人教A版选修4_5

三反证法与放缩法1．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤： ①假设命题不成立； ②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立． 2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．利用反证法证明问题[例1] 已知求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[思路点拨] “至少有一个”的反面是“一个也没有”． [证明] (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性命题、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 2．设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.证明：假设4a (1－b )>1,4b (1－c )>1,4c (1－d )>1， 4d (1－a )>1，则有a (1－b )>14，b (1－c )>14，c (1－d )>14，d (1－a )>14.∴a (1－b )>12，b (1－c )>12，c (1－d )>12，d (1－a )>12.又∵a (1－b )≤a ＋(1－b )2，b (1－c )≤b ＋(1－c )2，c (1－d )≤c ＋(1－d )2，d (1－a )≤d ＋(1－a )2，∴a ＋1－b 2>12，b ＋1－c 2>12， c ＋1－d 2>12，d ＋1－a 2>12. 将上面各式相加得2>2，矛盾．∴4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a <b .证明：假设a <b 不成立，则a ＝b 或a >b .当a ＝b 时，－a ＝－b 则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )，于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立．故a <b .利用放缩法证明不等式[例2] x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明． [证明]x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2.同理可得 y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．已知a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，求证：1 a ＋1＋1b ＋1<32.证明：因为1a ＋1＋1b ＋1<1＋b a ＋1＋b ＋1＋a b ＋1＋a＝a ＋b ＋2a ＋b ＋1＝32，所以原不等式得证．5．已知n ∈N ＋，求证：1×3＋3×5＋…＋(2n －1)(2n ＋1)<⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122.证明：因为1×3<1＋32＝42，3×5<3＋52＝82，…，(2n －1)(2n ＋1)<(2n －1)＋(2n ＋1)2＝4n2，所以1×3＋3×5＋…＋(2n －1)(2n ＋1)<4＋8＋…＋4n 2＝n 2＋n ，又因为n 2＋n <⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，所以原不等式得证．1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：选C 假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y2＋x ＋y＝M .3. 否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．4．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：选C 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，∵a ，b ，c 均小于0，∴a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，∴a ＋1a＋b ＋1b ＋c ＋1c≤－6，这与假设矛盾，则选C. 5．M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为________．解析：M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋(210－1)<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1，即M <1. 共210项答案：M <16．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为____________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条 7．A ＝1＋12＋13＋…＋1n与n (n ∈N ＋)的大小关系是________．解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n＝nnn 项＝n . 答案：A ≥n8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1，知a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n<2.10．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(α＋β)＝2sin α.求证α<β.证明：假设α≥β.①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sin α，得sin 2α＝2sin α，从而cos α＝1，这与α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾，故α＝β不成立．②若α>β，则sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α，所以cos αsin β＝(2－cos β)sin α，即cos α2－cos β＝sin αsin β.因为α>β，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>sin β.从而cos α2－cos β>1，即cos α>2－cos β，即cos α＋cos β>2，这是不可能的，所以α>β不成立．由①②可知假设不成立，故原结论成立．。