计算机工程应用02——非线性方程2

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第一章 代数方程的计算机方法
在实际应用迭代法时，通常首先在根x*的邻近考察，如 果存在邻域 ，迭代过程对于任意初值 均收敛，这种在根的邻近具有的收敛性称作局部收敛性
定理2 设
则迭代过程
在根
邻近有连续的一阶导数，且：
具有局部收敛性。
例2：求方程 在x=0.5附近一个根，要求e=10-5。所 求的准确值为0.567143。
y=x y=φ(x) P0
x0
x
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图1 迭代法的几何表示
第一章 代数方程的计算机方法
交点处的x*就是该迭代方程式的解，其迭代过程如图中所示。这 说明了这种迭代过程的优点是：只要迭代函数选取的得当（有 效），其迭代过程必然有解，而且迭代值逐渐逼近真值——根， 与试算法相比，每一次的初值x0的选取是有规律可循的，但其缺 点和试算是一样的，要经过反复计算才行。 那么在什么样的条件下，才能使迭代函数有效，也就是说迭 代函数具有收敛性？首先来考察一下迭代函数为线性时的简单情 况。假设迭代函数为：
3
x3 x 1 0
第一章 代数方程的计算机方法
那么什么方法有效呢？这就引出了代数方程式的计算 机解法问题
第二节
代数方程式的计算机解法
1、迭代法 迭代法对以上（1）、（2）这些形式的方程的求解特别 有效，也是一种常用的方法。对于函数 f ( x) 0 求解来说， 思路简单，逻辑严密。它是基于使用一个固定的公式，反复 校正根值的近似值，使之逐步精确化，最后，达到满意的结 果。其具体方法是：对于一般方程
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第一章 代数方程的计算机方法
解: x e x 在x=0.5附近一个根，要求e=10-5 ， VBA程序演示：
请输入初值
0.5
请输入误差e 0.0000000001 n=1; x1=.606530659712633 n=2; x2=.545239211892605; n=3; x3=.579703094878068; n=4; x4=.560064627938902; n=5; x5=.571172148977215; n=6; x6=.564862946980323; n=7; x7=.568438047570066; n=8; x8=.566409452746921;
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第一章 代数方程的计算机方法
则迭代过程xn+1=φ（xn）对任意初值x∈[a,b]均收敛于方 程x=φ（xn）的根x*。且有下列估计式： │x*-xn+1│≤│xn+1-xn│ （11） │x*-xn│≤│x1-x0│ （12） （证明从略） 据估计式（11、12）只要相邻两次迭代值xn,xn+1的偏差充 分小就能保证迭代值xn (或xn+1)足够精确，因此，可用 │xn+1-xn│来控制迭代过程是否结束。 迭代法的一个突出优点就是算法逻辑结构简单，图3 详细的描述了迭代过程。图3中x0，x1分别表示每次迭代 的初值和终值。ε为精度，N为最大 迭代次数。
计算机工程应用
第一章 代数方程的计算机方法
重点与难点：计算机数学概念的理解、计算机数学分析方 法的应用、实际问题的计算机求解算法的实现
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第一章 代数方程的计算机方法
第一节问题的引出
在实际工程问题中，我们进行了大量的试验，从中得 到了一个关于某个现象出现规律的描述方程，或者说借鉴 了前人或其它人的研究成果，即 y f ( x) ，其中： f ( x) a bx1 cx 2 dx3 来描述某个现象的规律，并从这种规律中找出影响该现象 最大值或最小值的因素。从数学上讲，求出某函数的最大 或最小值，就要对某个函数进行一次微分，即：
那么，这个公式具有什么意义？如何理解它呢？我们可以 试想着将公式（6）看成 :
y ( x)
也就是说有两个函数：
yx
y ( x)
（a） (b)
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第一章 代数方程的计算机方法
存在，且相等。如果用几何图形来表示的话，式（a）、(b)在 x-y坐标图上必然有一个交点，如图1所示。
y
Q1 Q2 P* P2 0 x* x2 x1 P1
x*
x
图 4 函数根值 存在的示意图
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第一章 代数方程的计算机方法
其次是寻找适当的迭代函数。根据迭代函数的要求，要将 原函数变成迭代函数。对于这个问题，则要变x3-x-1=0成为能 够迭代的形式。有下面几种变法： a 变成：x=x3-1，根据收敛定理要求这个迭代函数在 x∈[1,2]内，其导数要小于1 ，则有： φˊ(x)=(x3-1)ˊ=3x2 当x=1，迭代函数φˊ(x) =3>1，当x=2时， 迭代函数为=12>1，所以这样的变换是不行的。 b 变成：x3=x+1即：x=(x+1)1/3, 则：φˊ(x)=((x+1)1/3) ˊ=1/3(x+1)-2/3 根据收敛定理要求，这个迭代函数在x∈[1,2]内 当x=1时，迭代函数φˊ(1) =0.20999<1， 当x=2时，迭代函数φˊ(2) =0.16025<1。 即符合定理要求，所以，选取这个作为迭代函数是合理的。 15
( x) kx b
为了直观，将函数用图示的方法来表示，先令：
yx
y ( x)
然后，在x-y坐标上通过改变φ(x)中的系数k做出不同的 y=x 、 y=φ(x) 两条直线 ,见下页图
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第一章 代数方程的计算机方法
图a y y=φ(x) y=x K<-1
图b y
发散
0
x1 X*x0 x2
计
算
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第一章 代数方程的计算机方法
例2的C程序清单：
#include <stdio.h> /*include the head file*/ #include <math.h> main() /* Begin the main function */ { float x0,x1; float y; int n=0,i=0; clrscr(); /* Clear the screen */ x0=0.5; y=-x0; x1=exp(y); printf(" n=%d,x%d=%f ,x%d=%f\n\n",n,i,x0,i+1,x1); while(abs(x1-x0)>0.00001)
y=φ(x)
y=x -1<K<0 x y=x
收敛
X* x2 x0
x y=x 0<K<1
0
x1
图c y
图d y
y=φ(x)
y=φ(x)
收敛
x0
发散
0
X* x0 x1 x2
K>1 x
9
0
X* x2 x1
x
图2
第一章 代数方程的计算机方法
由图2可以看出，若使y= φ(x)在迭代过程中有近似根存在，须 使 | '( x) || k | 1 。 进而，我们考察一般情况，设x*为方程x= φ(x)根，如果有根值 拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a) 存在的话，在迭代过程中会有： x*-xn+1=φ(x*)-φ(xn) (8) 根据微分中值定理，上式可以用下式进行表示： x*-xn+1=φ(x*)-φ(xn)= φ’(ξ)（ x*-xn） （9） 式中：ξ——是x*与x之间的某一值 由此得知，如果存在一个正数L<１，那么对于任意x∈［a，b］ 成立： φ’(x) ≤ L 则有： │x*-xn+1│ = Ｌ│x*-xn│ (10)
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第一章 代数方程的计算机方法
对用en=│x*-xn│表示迭代误差时 其迭代误差有： en =Lne 所以，当n→∞时，en→0，迭代收敛。 需要指出的是：在上述的论证过程中，应当保证一切迭代值 xn全部落在[a,b]内，为此，要求对任意x∈[a,b]，总有： φ（x）∈[a,b] 综上所述，我们有结论： 定理1 设φ（x）在[a,b]上具有连续的一阶导数，且 （1）对任意x∈[a,b]，总有φ（x）∈ [a,b] （2）存在0≤L<1，使对任意x∈[a,b]成立 │φˊ (x*)│<L
f '( x) b 2cx 3dx 2 0
这时方程就变成了：
b 2cx 3dx 2 0
要想求解出x，就得求解这个方程 。
（1）
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第一章 代数方程的计算机方法
又例如：描述材料的某个性能与因变量的关系方程式为： 1 1 y x x2 x4 2 4 我们要从这个规律中找影响性能最大值的因素，就得求解这个方程 的极值，即： 即方程变为：
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第一章 代数方程的计算机方法
开始
读入x0 、ε 、N
输出迭代失败标记
结束 输出xn+1
n=n+1(初值为0) xn+1=φ(xn) ‌ |xn+1 - xn|< ε ‌ N N n等于N？ Y
图3迭代法的计 算机解法流程图
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Y
第一章 代数方程的计算机方法
迭代法的另一个关键是如何寻找一个迭代函数。具 体的做法是根据定理1要求去做。即，保证： │φ ˊ (x*)│<L 例1：求x3-x-1=0的唯一正根。 解：首先要考察这个方程式的根存在的范围。从图4可以 看出，要找出根值存在的范围，必需使f(x)的值出现异号。 在这个例子中，根值存在于x∈[1,2] y y=f(x)
第一章 代数方程的计算机方法
在这个迭代函数的基础上，按照图3的流程图用VB及C 语言进行编程取初值为1.5运算，所得到的结果见表1
n
0
xn
1.5
n
3
xn
1.32588
n
6