人教版高中数学必修5导学案 3.3.2简单的线性规划问题
人教新课标版数学高二必修5导学案 简单的线性规划问题教师版
3.3.2 简单的线性规划问题【教学目标】 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 【教学过程】 一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《3.3.2 简单的线性规划问题》课件“情景引入”部分，从配件的生产安排满足不同的条件入手，引出线性规划的概念及基本思路.二、自主学习教材整理1 线性规划中的基本概念 阅读教材P 87～P 88探究，完成下列问题． 线性规划中的基本概念阅读教材P 88例5～P 90例7，完成下列问题． 线性目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋zb ，它表示斜率为－a b ，在y 轴上的截距是zb的一条直线，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．三、合作探究问题1类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x－a)2＋(y－b)2≤r2的可行域．答案问题2在问题“若x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥6，x≤4，y≤4，求z＝y－1x－1的最大值”中，你能仿照目标函数z＝ax＋by的几何意义来解释z＝y－1x－1的几何意义吗？答案z＝y－1x－1的几何意义是点(x，y)与点(1,1)连线的斜率．探究点1最优解问题命题角度1问题存在唯一最优解例1已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤8，4x≤16，4y≤12，x≥0，y≥0，该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y的最大值．解设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，则y＝－23x＋z3，这是斜率为定值－23，在y轴上的截距为z3的直线，如图．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.名师点评：图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤： ①确定线性约束条件，线性目标函数； ②作图——画出可行域；③平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 命题角度2 问题的最优解有多个 例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值．解 约束条件所表示的平面区域如图：由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0时，当y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1； 当a ＜0时，当y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.名师点评：当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解．探究点2 生活中的线性规划问题例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B各多少kg?将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA 0.1050.070.14B 0.1050.140.07解设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，那么⎩⎪⎨⎪⎧0.105x＋0.105y≥0.075，0.07x＋0.14y≥0.06，0.14x＋0.07y≥0.06，x≥0，y≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧7x＋7y≥5，7x＋14y≥6，14x＋7y≥6，x≥0，y≥0.目标函数为z＝28x＋21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z＝28x＋21y变形为y＝－43x＋z21，它表示斜率为－43，且随z变化的一组平行直线，z21是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x＋7y＝5，14x＋7y＝6，得M点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47.所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A17kg ，食物B 47kg.名师点评：(1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负．当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb越小，z 就越大．(2)最优解是谁，和目标函数与边界函数的斜率大小有关． 探究点3 非线性目标函数的最值问题 命题角度1 斜率型目标函数例4 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示， 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，又∵B (0,2)，C (1,0)， ∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.变式探究1．把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝32·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝⎛⎭⎫－12，－13连线的斜率．由图易知，k NC ≤k ≤k NB ，即29≤k ≤143，∴13≤32k ≤7，∴z 的取值范围是[13，7]． 2．把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝2(x ＋1)＋y －1x ＋1＝y －1x ＋1＋2.设k ＝y －1x ＋1，仿例2解得－12≤k ≤1.∴z ∈[32，3]．命题角度2 两点间距离型目标函数例5 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值．解 z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形(例2图)知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小． 故z max ＝|OA |2＝13，z min ＝⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×152＝45. 名师点评：(1)对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．(2)当斜率k 、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．四、当堂检测1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52答案 C提示：画出可行域如图阴影部分(含边界)．设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53. 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 答案 B提示：作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 答案 A提示：－1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．答案 8提示：由不等式组表示的可行域，知目标函数z 在点(0,2)处取得最大值8.五、课堂小结：本节课我们学习过哪些知识内容? 提示：1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．4．对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2＋y2是点(x，y)到点(0,0)的距离的平方，而非距离．。
人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题
钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格 张数
析： 第一种钢板
2
1
1
x
列 第二种钢板
1
2
3
y
表 成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,
x x
2y 3y
18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC
5
, kl
a
ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。
本节的教学重点是线性规划问题的图解法。
数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。
三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。
从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。
从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
六、教学过程。
人教版高中数学必修五导学案：3.3.2简单的线性规划问题(1)(20210718214302)
（ 2）如何画二元一次不等式(组)所表示的地区 ?注： 1.检查直线是虚线仍是实线2.一般的，假如 C≠0,可取 (0,0);假如 C＝0,可取 (1,0)或(0,1).二、新课导学◆ 学习研究在生活、生产中，常常会碰到资源利用、人力分配、生产安排的等问题，如：某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个A 配件耗时 1h，每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h，该厂每日最多可从配件厂获取 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每日 8h 计算，该厂全部可能的日生产安排是什么？（ 1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、 y 件，由已知条件可得二元一次不等式组：（ 2）画出不等式组所表示的平面地区：注意：在平面地区内的一定是整数点．（ 3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品赢利 2 万元，生产一件乙产品赢利 3 万元，采纳哪一种生产安排收益最大？（ 4）试试解答：（ 5）获取结果：新知：线性规划的相关观点：①线性拘束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y 的拘束条件，这组拘束条件都是对于x、y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．② 线性目标函数：对于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所波及的变量 x、y 的分析式，叫线性目标函数．③ 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④ 可行解、可行域和最优解：( x, y)知足线性拘束条件的解叫可行解．由全部可行解构成的会合叫做可行域．使目标函数获得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．例 2 要将两种大小不一样的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数以下表所示：规格种类A 规格B 规格C 规格钢板种类第一种钢211板第二种钢123板今需要三种规格的成品分别为 15 块、18 块、27 块，各截这两种钢板多少张可得所需 A、B、C、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？例 3 一个化肥厂生产甲乙两种混淆肥料，生产 1 车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐 18t；生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐 1t，硝酸盐 15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混淆肥料 . 若生1 车皮甲种肥料能产生的收益为 10000 元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的收益为 5000 元. 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，可以产生最大的收益？5x 3 y 15例 4. 求z3x 5 y 的最大值和最小值，此中x 、 y 知足拘束条件y x1x 5y3变式 1.若求 z=x-2y 的最大值和最小值呢？变式 2.使 z=x-y 获得最小值的最优解有几个?◆ 着手试一试1.目标函数 z 3x 2 y ，将其当作直线方程时， z 的意义是（） .A．该直线的横截距B．该直线的纵截距C．该直线的纵截距的一半的相反数D．该直线的纵截距的两倍的相反数x y502.已知 x 、 y 知足拘束条件 x y0，则x3z2x 4 y 的最小值为（） .A．6B． 6C．10D． 104.有 5 辆 6 吨汽车和 4 辆 5 吨汽车，要运送最多的货物，达成这项运输任务的线性目标函数为.5. 已知点（ 3， 1）和（4， 6）在直线3x 2 y a 0 的双侧，则 a 的取值范围是.6 在ABC 中，A（3，1），B（1，1）， C（1，3），写出ABC 地区所表示的二元一次不等式组 .三、学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面地区做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
高中数学人教A版必修5导学案：3.3.2简单的线性规划问题(学生版)
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时
产值/千元
4
3
2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱共多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）
三.拓展延伸
1、电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中，连续剧甲每次播放时间为80min，其中广告时间为1min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min，其中广告时间为1min，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率?
2.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
2学习指导
一、课前，设 ，取点（3，2）可求得 ，取点（5，2）可求得 ，取点（1，1）可求得
取点（0，0）可求得 ，取点（3，2）叫做_________
点（0，0）叫做_____________，点（5，2）和点（1，1）__________________
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：3.3.2简单的线性规划问题(2)
制单人：审核人：高二数学组
班级：________组名：________姓名：________时间：__
一.自主学习
1学习目标
1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；
人教版高中数学必修五 3.3.2简单的线性规划问题(导学案)
必修 第三章
简单的线性规划问题
【课前预习】阅读教材
． 线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． ． 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（）在可行域内求目标函数的最优解
【课初分钟】课前完成下列练习，课前分钟回答下列问题
. 目标函数，将其看成直线方程时，的意义是（ ）.
．该直线的横截距
．该直线的纵截距
．该直线的纵截距的一半的相反数
．该直线的纵截距的两倍的相反数
. 已知、满足约束条件，则
的最小值为（ ）.
． ． ． ．
.
在如图所示的可行域内，目标函数
取得最小值的最优解有无数个，则的一个可能值是（ ）.
．求的最大值，其中、满足约束条件
强调（笔记）：
【课中分钟】边听边练边落实
．若实数，满足，求的取值范围．
．求的最大值和最小值，其中、满足约束条件.。
人教新课标版数学高一-数学必修5导学案 简单的线性规划问题(一)
3.3.2 简单的线性规划问题(一)学习目标了解线性规划的意义；会求简单的线性目标函数的最值及一些简单的非线性函数的最值． 预习篇1．二元一次不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的 不等式，所以又称为线性约束条件．2．z ＝ax ＋by (a 、b 是实常数)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做 函数．由于z ＝ax ＋by 又是x 、y 的一次解析式，所以又叫做 目标函数．3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做 .分别使目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．课堂篇探究点一 线性目标函数的最值问题问题 若x≥0，y≥0，且x ＋y≤1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值是________．探究点二 非线性目标函数的最值问题问题 一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如： ①z ＝x 2＋y 2表示可行域中的点(x ，y) _______；②z ＝(x －a)2＋(y －b)2表示可行域中的点(x ，y) _____________；③z ＝y －b x －a表示可行域内的点(x ，y) _______； ④z ＝ay ＋b cx ＋d (ac≠0)，可以先变形为z ＝a c ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c ，可知z 表示可行域内的点(x ，y) ； ⑤z ＝|ax ＋by ＋c| (a 2＋b 2≠0)，可以化为z ＝a 2＋b 2·|ax ＋by ＋c|a 2＋b2的形式，可知z 表示可行域内的点(x ，y)__________________________________．典型例题例1 已知1≤x ＋y≤5，－1≤x －y≤3，求2x －3y 的取值范围．跟踪训练1 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≥3，x －y≥－1，2x －y≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．23例2 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，(1)试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值； (2)试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值． 跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，求下列函数z 的最值：(1)z ＝y ＋1x ＋2； (2)z ＝|x ＋2y －4|.巩固篇1．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0，x ＋y≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________． 2．若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≥6，x≤4，y≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________． 3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y≤1，x≤1，x ＋y≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．。
高中数学人教A版必修五教案：3.3.2简单的线性规划问题(三)
∴ 2 x 3 ，即 2 b 3 ． 3 2 3a2
四、课堂小结：
1．巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；
2．用画网格的方法求解整数线性规划问题。
五、作业：《习案》作业三十。
--------------------------------------------------------
解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，
作直线 l0 ： 4a 2b 0 ，
作一组平行线 l ： 4a 2b t ，
由图知 l 由 l0 向右下方平移时， t 随之增大，反之减小，
∴当 l 经过 A 点时 t 取最小值，当 l 经过 C 点时 t 取最大值，
由
a a
b b
1 4
和
a a
----------------------------------------------------------------------------
3.3.2 简单的线性规划问题（3）
一、教学目标
（1）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；
（2）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．
（3）利用线性规划求代数式的取值范围。
b b
2 2
分别得
A(
3 2
,
1 2
)
，
C 1 2D
C
OA
B
4 b
a a
4
b a 2
∴ tmin
4
3 2
2
1 2
5
， tmax
43
21 10 ，所以， t
[5,10] ．
（2） f (1) a b ， f (1) a b ， f (2) 4a 2b ，由（1）知， f (2) [5,10] ．
人教版高中数学必修五学案 3.3.2 简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念(重点)；2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题(重、难点).知识点1线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组) 线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【预习评价】1.线性约束条件的特征是什么？提示一是关于变量x，y的不等式；二是次数为1.2.可行解、可行域和最优解之间是什么关系？提示可行解是满足约束条件的解(x，y)；可行域是由所有可行解组成的集合；最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.知识点2线性规划问题1.目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答：写出答案.【预习评价】1.最优解一般会在可行域的哪些地方取到？提示若目标函数存在一个最优解，则最优解通常在可行域的顶点处取得；若目标函数存在多个最优解，则最优解一般在可行域的边界上取得.2.在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小值与截距的对应关系又是怎样的？提示z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应截距的最大值.方向1 求线性目标函数的最值问题【例1－1】 设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A.－15 B.－9 C.1D.9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选A.答案 A方向2 非线性目标函数的最值【例1－2】 (1)变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322 B. 5 C.5D.92(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为()A.6B.5C.2D.－1解析 (1)作出不等式组对应的平面区域，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图象知CD 的距离最小，此时z 最小. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5， 故选C.(2)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6表示的可行域如图：目标函数z ＝4y ＋4x ＋2＝4×y ＋1x ＋2，目标函数的几何意义是可行域的点与(－2，－1)连线斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝6，可得A (2，4)， 则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为：4×4＋42×2＝5.故选B.答案 (1)C (2)B方向3 由目标函数的最值求参数的值【例1－3】已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( ) A.3 B.4 C.5D.7解析 作出不等式组对应的平面区域如图： 由目标函数为z ＝x －y ，得y ＝x －z ，当z ＝－1时，函数为y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，即m ＝2＋3＝5，故选C.答案 C规律方法 1.给定约束条件的情况下，求目标函数的最优解主要用图解法，其主要思路为：(1)根据约束条件作出可行域；(2)将目标函数看作经过可行域内点的直线，并将目标函数值与该直线在y轴(或x轴)上的截距建立联系；(3)平移直线确定截距最大(最小)时所对应点的位置；(4)解有关方程组求出对应点坐标，再代入目标函数求目标函数最值.2.(1)若目标函数为形如z＝y－bx－a，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率.(2)若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方.题型二线性规划的实际应用【例题】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125随z 变化的一簇平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 规律方法 解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题. (4)作答——对应用题提出的问题作出回答.【训练】 某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min 的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min 和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？ 解 设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x min 和y min ，总收益为z 元.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图阴影部分所示，当直线z ＝3 000x ＋2 000y 过点M 时，z 最大. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900得M (100，200). 所以z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)＝70(万元).所以该公司在甲电视台做100 min 广告，在乙电视台做200 min 广告，公司收益最大，最大值为70万元.【训练】 某人有一幢房子，室内面积共180 m 2，拟分隔成两类房间作为游客住房.大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？解 设他应隔出大房间x 间，小房间y 间，能获得收益为z 元，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ， 目标函数z ＝200x ＋150y .约束条件化简为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，可行域如图阴影部分所示.根据目标函数作一族平行直线：4x ＋3y ＝t ，这些直线中经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607的直线在y 轴上的截距最大.此时z ＝200x ＋150y 取最大值，但此时x ，y 均不为整数，故不是最优解，因此要进行调整.将直线4x ＋3y ＝2607向左下方平移至4x ＋3y ＝37，则 y ＝37－4x3，将其代入的约束条件，得⎩⎨⎧6x ＋5×37－4x3≤60，5x ＋3×37－4x3≤40，可得52≤x ≤3.∵x 为整数，∴x ＝3，此时y 为非整数，故在直线4x ＋3y ＝37上无最优整数解. 将直线再向左下方平移一个单位，得直线4x ＋3y ＝36.则y ＝36－4x3，将其代入约束条件，得⎩⎨⎧6x ＋5×36－4x3≤60，5x ＋3×36－4x3≤40，可得0≤x ≤4.∵x 为整数，∴x ＝0，1，2，3，4，代入求得它们对应的y ＝12，323，283，8，203. 故可得最优解为(0，12)和(3，8)，此时z max ＝1 800.即他应该隔出小房间12间或隔出大房间3间，小房间8间，才能获得最大收益.课堂达标1.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.23 B.1 C.32D.3解析 目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中A (0，1)，B (0，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，所以直线z ＝x ＋y 过点B 时取最大值3，选D. 答案 D2.实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是()A.[－1，0]B.(－∞，0]C.[－1，＋∞)D.[－1，1) 解析 作出可行域，如图所示，y －1x 的几何意义是点(x ，y )与点(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1，1). 答案 D3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A.－3B.3C.－1D.1解析 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋z a 与其中一条边平行，三边斜率分别为13，－1，0与－1a 对照知a ＝－3或a ＝1.又因为z ＝x ＋ay 取最小值，则a ＝－3. 答案 A4.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析由题意，画出可行域如图阴影部分所示：由z＝3x－4y，得y＝34x－z4，作出直线y＝34x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故z min＝3×1－4×1＝－1.答案－1课堂小结1.用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.4.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.。
人教高中数学必修五 《3.3.2简单的线性规划问题》教案-教育文档
课题名称：简单的线性规划问题 (教案)
三维教学目标
知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；
②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；
③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略
1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；
教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
教学过程设计。
人教A版高中数学必修五：3.3.2+简单的线性规划问题教案
《简单的线性规划问题》（第一课时）一、内容及其解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.二、教学目标（1）知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。
（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。
三、教学重、难点1、教学重点 :求线性规划问题的最优解2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y 轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。
四、学生学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。
高中数学 3.3.2简单的线性规划问题(二)导学案新人教版必修5
3.3.2 简单的线性规划问题(二)学习目标准确利用线性规划知识求解目标函数的最值；掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．预习篇(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．课堂篇探究点 线性规划中的最优整数解问题问题1 设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y≤11，3x ＋2y≤10，x>0，y>0，求z ＝5x ＋4y 的最大值及最优解．问题2 当变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y≤11，3x ＋2y≤10，x>0，y>0，x ∈Z ，y ∈Z 时，求z ＝5x ＋4y 的最大值及最优解．典型例题例1 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？例2 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？跟踪训练 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y≥－22，2x ＋3y≥9，2x≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．巩固篇1．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x≥0，y≥0且x ，y 为整数．则3x ＋4y 的最小值是 ( )A ．14B ．16C ．17D ．192．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元。
最新人教A版必修5高中数学 3.3.2《简单的线性规划问题》(1)教案(精品)
高一数学人教A版必修5：3.3.2《简单的线性规划问题》（1）教案一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第三章不等式第三节简单的线性规划问题第一课时。
简单的线性规划问题是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面,简单的线性规划问题与直线方程密不可分；另一方面,学习简单的线性规划问题也为进一步学习解析几何等内容做好准备。
二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下一个地方产生困惑：1. 线性约束条件的几何意义三、教学目标(1)知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值(2)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性(3)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣四、教学重点与难点教学重点：线性规划的图解法教学难点：寻求线性规划问题的最优解五、教学过程(一).创设情境例 1.甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表：营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位,问三种食物各购多少时成本最低,最低成本是多少？问题1:如何将此实际问题转化为数学问题呢?解:设所购甲、乙两种食物分别为千克,则丙食物为千克.又设成本为元.由题意可知应满足条件：即①.问题转化为:当满足①求成本的最小值问题.(二).分析问题问题2:如何解决这个求最值的问题呢?学生基于上一课时的学习,一般都能意识到要将不等式组①表示成平面区域(教师动画演示画不等式组①表示的平面区域).问题3:当点（x,y）在此平面区域运动时,如何求z=2x+y+50的最小值.(第一次转化)引导学生:由于已将x,y所满足的条件几何化了,你能否也给式子z=2x+y+50作某种几何解释呢?将等式z=2x+y+50视为x,y的一次方程,它在几何上表示直线,当z取不同的值时可得到一族平行直线,于是问题又转化为当这族直线与不等式组①所表示的平面区域有公共点时,求z的最小值.(第二次转化)问题4:如何更好地把握直线y+2x+50=z的几何特征呢?将其改写成斜截式y=-2x+z-50,让学生明白原来z-50就是直线在y轴上的截距,当截距z-50最小时z也最小,于是问题又转化为当直线y=-2x+z-50与平面区域有公共点时,在区域内找一个点P,使直线经过P时在y轴上的截距最小.(第三次转化)让学生动手实践,用作图法找到点P(3,2),求出z的最小值为58,即最低成本为58元)(三).形成概念1. 不等式组①是一组对变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又称为线性约束条件.z=2x+y+50是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫做目标函数.由于z=2x+y+50又是x、y的一次解析式,所以又叫做线性目标函数.2.一般的,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解它们都叫做这个问题的最优解.(四).反思过程求解步骤:(1)画可行域---画出线性约束条件所确定的平面区域;(2)过原点作目标函数直线的平行直线;(3)平移直线,观察确定可行域内最优解的位置;(4)求最值---解有关方程组求出最优解,将最优解代入目标函数求最值. 简记为画作移求四步.(五).例题讲解例1、设2z x y =+，式中变量x 、y 满足下列条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值。
高中数学人教版必修5导学案：3.3.2简单的线性规划
§3.3.2简单的线性规划班级姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1．在自习或自主时间通过阅读课本的例5、例6、例7用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。
训练案在自习或自主时间完成。
2．重点预习：从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决。
3．把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问处”。
【学习目标】1．巩固线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。
2.经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力。
3. 结合教学内容体会线性规划的化归、数形结合的数学思想，增强观察、联想以及作图的能力，提升数学建模能力和解决实际问题的能力.【学习重点】从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决。
【学习难点】从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决。
【知识链接】用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤？【预习案】预习一：巩固用图解法解决线性规划问题例1．求的最大值，使、满足约束条件预习自测：设x 、y 满足约束条件2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求y x z 23-=的最大值、最小值。
【探究案】探究： 应用线性规划问题的图解法解决一些简单的实际问题例2．营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kgy x z -=x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。
为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B 多少kg？归纳：应用线性规划问题的图解法解决一些简单的实际问题的基本步骤：练习：某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元。
高中数学新人教A版必修5教案 3.3.2 简单线性规划问题
从容说课本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.课时安排3课时三维目标一、知识与技能1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二、过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程 第1课时导入新课师 前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下. （生回答）推进新课［合作探究］师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，应如何列式？生 由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？ 生 （板演）师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义.进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ 设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？ 生 则z=2x+3y.师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？［教师精讲］师 把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线z x y 3132+-=，这说明，截距z3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z 最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线zx y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z最大.由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z最大，最大值为314.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.［知识拓展］再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l 0:2x+y=0.然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC .作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即t＞0.而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以t m a x=2×5+2=12,t min=2×1+3=3.(2)(3)［合作探究］师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表：解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥,2000400500,600015001000,0,0y x y x y x z=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：由⎩⎨⎧=+=+.2045,1232y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.720,712y x 令90x+100y=t ，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t ，当90x+100y=t 过点M （712,720）时，直线90x+100y=t 中的截距最大. 由此得出t 的值也最大，z m a x =90×712+100×720=440.答：工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x 目标函数为z=2x+3y.作出可行域：把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l ′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值. 解方程⎩⎨⎧=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）.答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润. 3.课本106页习题3.3A 组 2.第2课时导入新课师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念. 师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）; （2）设t=0，画出直线l 0;(3)观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解; (4)最后求得目标函数的最大值及最小值.推进新课师 【例1】 已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,2502,3002y x y x y x 试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z 的最大值.师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y 取最大值时的整点. 解：如图所示平面区域A O BC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C （3350,3200）， 令t=300x+900y， 即,90031tx y +-=, 欲求z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距t900的最大值，从而可求t 的最大值，因直线90031t x y +-=与直线x y 31-=平行，故作x y 31-=的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z m a x =300×0+900×125=112 500.师 【例2】 求z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件3x+y ≤300，x+2y ≤250， x ≥0,y ≥0的整数值.师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解. 解：可行域如图所示.四边形A O BC ，易求点A （0，126），B （100，0）,由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25223003y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.5191,5369y x 得点C 的坐标为（5369,5191).因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y ，可知当x=70,y=90时，z 取最大值为z m a x =600×70+300×900=69 000.师 【例3】 已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,12,22y x y x y x 求z=3x+y 的最小值.师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值. 解：不等式x+2y ≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合； 不等式2x+y ≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合. 可行域如右图所示.作直线l 0:3x+y=0，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t ∈R).∵x 、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知：当直线l:3x+y=t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即z min =1.师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解.师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x［教师精讲］师 （1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如右图所示： 当x=0,y=0时，z=2x+y=0， 点（0，0）在直线l 0:2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线l:2x+y=t,t ∈R.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m a x =2×2-1=3.（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（89,817）的直线所对应的t 最大. 所以z min =3×(-2)+５×(-1)=-11,z m a x =3×89+5×817=14.［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？ 师 分析：将已知数据列成下表：解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:600x+1 000y=0, 即直线:3x+5y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. （2）设t=0，画出直线l 0.（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解. （4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义布置作业课本第105页习题3.3A 组3、 4.第3课时导入新课师 前面我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题.推进新课师 【例5】 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少克？ 师 分析：将已知数据列成下表：/k若设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，如何列式？生 由题设条件列出约束条件①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,y 0,x 0.06,0.07y 0.14x 0.06,0.14y 0.07x 0.075,0.105y 105x .0 其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,6714,6147,577y x y x y x y x师 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.生 考虑z=28x+21y,将它变形为2834z x y +-=,这是斜率为34－、随z 变化的一族平行直线.28z是直线在y轴上的截距，当28z取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y 取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距z28最小，即z 最小. 解方程组⎩⎨⎧=+=+6714,577y x y x 得点M(71,74)，因此，当71=x ,74=y 时，z=28x+21y 取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.师 【例6】 在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？师 由前面内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元, 此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图把z=7.2x+10.8y 变形为54532z x y +-=，得到斜率为-32－，在y 轴上截距为545z，随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y 经过可行域上的点M 时，截距545z最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+402,30y x y x 得点M （20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y 取最大值，最大值为252.由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元.师 【例7】 在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生 若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数z=x+0.5y,可行域如下图：把z=x+0.5y 变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y 轴上截距为2z,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y 取最大值，最大值为3.由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元.［教师精讲］师以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；（2）设t=0，画出直线l0；（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解；（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义.布置作业课本第105页习题3.3 B组1、2、3板书设计第1课时第2课时第3课时习题详解（课本第104页练习）1.(1)目标函数为z=2x+y ，可行域如图所示，作出直线y=-2x+z,可知z 要取最大值，即直线经过点C 时， 解方程组⎩⎨⎧-==+,1,1y y x 得C （2，-1），所以z m a x =2x+y=3.（2）目标函数为z=3x+5y,可行域如图所示，作出直线z=3x+5y,可知直线经过点B 时，z 取得最大值;直线经过点A 时，z 取得最小值.解方程组⎩⎨⎧=-+=35,1y x x y 和⎩⎨⎧=++=.1535,1y x x y 可得点A （-2，-1）和点B （1.5,2.5）. 所以z m a x =17， z min =-11.2.设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z ，目标函数为z=3x+2y ，需要满足的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,5002,4002y x y x y x 作直线z=3x+2y ，当直线经过点A 时，z 取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,5002,4002y x y x 可得点A （200，100）,z 的最大值为800. (课本第106页习题 3.3)A 组1.画图求解二元一次不等式： （1）x+y ≤2;(2)2x-y ＞2;(3)y ≤-2;(4)x ≥ 3.2.3.解：设每周播放连续剧甲x 次，播放乙连续剧y 次，目标函数z=60x+20y,所以题目中包含的限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+,0,0,6,3204080y x y x y x 解方程组⎩⎨⎧=+=+6,3204080y x y x 得（2，4）.所以z 的最大值为200（万）.4.解：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱12-x-y 台，产值为z ，目标函数为z=4x+3y+2(120-x-y)=2x+y+240,所以题目中包含的限制条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥--≤--++,0,0,20120,40)120(413121y x y x y x y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,100,1203y x y x y x 可行域如图，解方程组⎩⎨⎧=+=+,100,1203y x y x 得M 点坐标为（10，90）.所以每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是1 050千元.B组1.2.3.解：设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z ，则乙粮库要向A 镇运送大米（70-x ）吨、向B 镇运送大米（110-y ）吨，目标函数（总运费）为 z=12×20×x+25×10×y+15×12×(70-x)+20×8×(110-y)=60x+90y+30 200.所以题目中包含的限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤-+-≤+.0,700,80)110()70(,100y x y x y x 所以当x=70,y=30时，总运费最省,z min =37 100（元）， 所以当x=0,y=100时，总运费最不合理,z m a x =39 200（元）. 使国家造成不该有的损失2 100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37 100元.最不合理的调运方案是甲粮库要向A 镇运送大米0吨、向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨、向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39 200元，使国家造成损失2 100元.备课资料备用习题1.某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单位：分钟）每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？ 分析：找约束条件，建立目标函数.解：设生产A 种糖果x 箱，B 种糖果y 箱，可获得利润z 元，则此问题的数学模式在约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0,9003,180045,7202y x y x y x y x 下，求目标函数z=40x+50y 的最大值，作出可行域，其边界O A ：y=0，AB ：3x+y-900=0，BC ：5x+4y- 1 800=0，C D ：x+2y-720=0，DO ：x=0.由z=40x+50y,得5054z x y +-=，它表示斜率为54-，截距为z50的平行直线系，50z越大，z 越大，从而可知过C 点时截距最大，z 取得了最大值. 解方程组⇒⎩⎨⎧=+=+1800457202y x y x C (120,300).∴z m a x =40×120+50×300=19 800,即生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，可得最大利润19 800元. 点评：由于生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1 800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究. 2.甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B .（1）用x 、y 表示混合食物成本C ；（2）确定x 、y 、z 的值，使成本最低.分析:找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解.解:（1）依题意x 、y 、z 满足x+y+z=100z=100-x-y. ∴成本C =11x+9y+4z=7x+5y+400（元）.（2）依题意⎩⎨⎧≥++≥++,63000500400800,56000400700600z y x z y x ∵z=100-x-y, ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≥+.0,0,1303,16032y x y x y x 作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.联立⇒⎩⎨⎧=+=-160321303y x y x 交点A(50,20). 作直线7x+5y+400=C ，则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过A (50,20)时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元.∴x=50千克，z=30千克时成本最低.。
最新人教A版必修5高中数学第三章3.3.2简单的线性规划问题(第1课时)导学案
第1课时简单的线性规划问题1．了解线性规划中的基本概念．[&&&&&]2．会用图解法解决线性规划问题．1．线性规划中的基本概念的解析式A．最优解B．可行解．线性目标函数D．可能不满足线性约束条件【做一做1－2】目标函数z＝2－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )A．该直线在坐标轴上的距离B．该直线在y轴上的截距．该直线在y轴上的截距的相反数D．该直线在轴上的截距答案：1．二元一次一次函数解集合可行解[。
]【做一做1－1】 B【做一做1－2】1．理解线性规划的有关概念剖析：(1)线性约束条件就是指变量，y 满足的二元一次不等式组． (2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量，y 的次数上作了严格的限定，一次解析式z ＝A ＋By ＋，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．当B ≠0时，由z ＝A ＋By ＋，得y ＝－A B ＋z －B这样，二元一次函数就可视为斜率为－A B ，在y 轴上截距为z －B，且随之变化的一组平行线．于是把求z 的最大值或最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上截距的最大值或最小值问题．当B ＞0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大． 当B ＜0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解构成的一个区域．即可行域是约束条件对应的二元一次不等式组表示的平面区域(或其内部的一些点)．可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域．2．确定线性规划中的最优解剖析：根据解题经验，确定最优解的思维过程是：线性目标函数z ＝A ＋By ＋(A ，B 不全为0)中，当B ≠0时，y ＝－A B ＋z －B，这样线性目标函数可看成斜率为－A B ，在y 轴上的截距为z －B，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值和最小值的问题．因此只需先作出直线y ＝－AB ，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解．应特别注意，当B ＞0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B ＜0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小．通常情况下，可以利用可行域边界直线的斜率判断．对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解．最优解一般在可行域的顶点处取得．若要求最优整解，则必须满足，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出的最优整解．上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点→验证→选最优整解．题型一求线性目标函数的最值[]【例题1】(2011·北京海淀二模)点P(，y)在不等式组错误!表示的平面区域内，则z＝＋y的最大值为__________．反思：解决线性规划问题的方法是图解法，即借助直线(把线性目标函数看作斜率确定的一组平行线)与平面区域(可行域)有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解．其步骤是：(1)根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出；(2)运用数形结合的思想，把线性目标函数看成是直线系，将目标函数表示的直线平行移动，最先通过的顶点或最后通过的顶点便是所需要的点，由此可以确定目标函数的最优解．特别地，当线性目标函数表示的直线与可行域的某边平行时，其最优解可能有无数个；(3)若要求的最优解是整数解，而得到的解为非整数解时，应作适当调整，其方法是应以到线性目标函数表示的直线的距离为依据，在直线附近的可行域里寻求与此直线距离最近的整点，如果可行域中整点很少，也可逐个验证．题型二易错辨析【例题2】已知1≤＋y≤5，－1≤－y≤3，求2－3y的取值范围．错解：依题意错误!错误!①＋②，得0≤2≤8，即0≤≤4③①＋②×(－1)，得－2≤2y≤6，即－1≤y≤3④∴－9≤2－3y≤11错因分析：错解中由①②得到不等式③④是利用了不等式中的加法法则，而此法则不具有可逆性，从而使，y的范围扩大，这样2－3y的范围也就随之扩大了．反思：1本题中的两个变量，y之间并不是相互独立的关系，而是由不等式组决定的相互制约的关系．取得最大(或最小)值时，y并不能同时取得最大(或最小)值；y取得最大(或最小)值时，也并不能同时取得最大(或最小)值．如果忽视了，y之间的相互制约关系，将导致所求的取值范围出错．2．已知几个二元一次式的范围，求另外一个二元一次式的范围问题，通常有两种解法，即用线性规划或把所求用已知线性表示后再利用不等式的性质求解．答案：【例题1】 6 画出可行域，如图中的阴影部分所示．由z＝＋y，得y＝－＋z，则z是直线y＝－＋z在y轴上的截距．由可行域知，当直线y＝－＋z经过点A(2,4)时，z取最大值，此时＝2，y ＝4，则z的最大值为z＝＋y＝2＋4＝6【例题2】正解：解法一：作出二元一次方程组15,13x yx y+⎧⎨--⎩≤≤≤≤所表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)即可行域．考虑z=2－3y，把它变形为y=2133x z-，得到斜率为23，且随z变化的一组平行直线．13z-是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z =2－3y 取得最小值；当直线截距最小时，z 的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z =2－3y 取得最大值．由图可见，当直线z=2－3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组15.x y x y -=-⎧⎨+=⎩得A 的坐标为(2,3)，[]∴zin=2－3y=2×2－3×3=－5当直线z ＝2－3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．解方程组错误!得B 的坐标为(2，－1)，∴z a ＝2－3y ＝2×2－3×(－1)＝7 ∴－5≤2－3y ≤7∴2－3y 的取值范围是[－5,7]． 解法二：设2－3y ＝a (＋y )＋b (－y )， 则2－3y ＝(a ＋b )＋(a －b )y ， ∴错误!∴错误!即2－3y ＝－12(＋y )＋52(－y )．又1≤＋y ≤5，－1≤－y ≤3， ∴－52≤－12(＋y )≤－12，－52≤52(－y )≤152∴－5≤－12(＋y )＋52(－y )≤7，即－5≤2－3y ≤7∴2－3y 的取值范围是[－5,7]．1设实数和y 满足约束条件10,2,4,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则z ＝2＋3y 的最小值为( )A ．26B ．24 ．16 D ．142若0,0,1x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤则z ＝＋2y 的最大值是__________．3 (2011·北京昌平二模)若不等式组250,1,1x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域是一个三角形，则此三角形的面积是__________；若，y 满足上述约束条件，则z ＝－y 的最大值是__________．[,,]4若实数，y 满足10,0,0,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤求z ＝3＋2y 的最小值．5已知－4≤a －b ≤－1，－1≤4a －b ≤5，求9a －b 的取值范围．答案：1．D 23 31 24 解：不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令t=+2y ，则当直线y=1122x t -+经过原点O(0,0)时，12t 取最小值，即t有最小值为0，则z=3+2y 有最小值为30=15．解：令a ＝，b ＝y ，z ＝9a －b ，即已知－4≤－y ≤－1，－1≤4－y ≤5，求z ＝9－y 的取值范围，画出不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示．由z ＝9－y ，得y ＝9－z ，当直线过A 点时z 取最大值，当直线过点B 时z 取最小值．由45,4,x y x y -=⎧⎨-=-⎩得A (3,7)．由41,4,x y x y -=-⎧⎨-=-⎩得B (0,1)． 即z a ＝9×3－7＝20，z in ＝－1 所以9a －b 的取值范围是[－1,20]．。
人教A版必修5数学导学案：3.3.2简单的线性规划问题(3)
§3.3.2 简单的线性规划问题(3)班级 姓名 学号1． 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2． 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.复习1：已知1260,1536,aa b a b b <<<<-求及的取值范围复习2：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.二、新课导学※ 学习探究课本第91页的“阅读与思考”——错在哪里？若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求4x +2y 的取值范围．错解：由①、②同向相加可求得：024x ≤≤即 048x ≤≤ ③由②得 11y x -≤-≤将上式与①同向相加得024y ≤≤ ④③十④得 04212x y ≤+≤以上解法正确吗?为什么?此例有没有更好的解法?怎样求解?※ 典型例题例1 若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ ，求4x +2y 的取值范围．变式：设2()f x ax bx=+且1(1)2f-≤-≤，2(1)4f≤≤，求(2)f-的取值范围※动手试试练1. 设2z x y=+，式中变量x、y满足4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z的最大值与最小值.练2. 求z x y =-的最大值、最小值，使x 、y 满足条件200x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩.三、总结提升※ 学习小结1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.2．线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无1. 若0x ≥，0y ≥且1x y +≤，则z x y =-的最大值为（ ）.A ．-1B ．1C ．2D ．-22. 在ABC ∆中，三顶点分别为A （2，4），B （-1，2），C （1，0），点(,)P x y 在ABC ∆内部及其边界上运动，则的取值范围为（ ）.A ．[1，3]B ．[-1，3]C ．[-3，1]D ．[-3，-1]3.若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）.A ．5a <B ．7a ≥C ．57a ≤<D ．5a <或7a ≥4.设x 、y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是 .5.设x 、y 满足约束条件2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则32k x y =-的最大值是 .1. 甲、乙两个粮库要向A 、B 两镇运送大米，已知甲库可调出100t 大米，乙库可调出80t 大米，A 镇需70t 大米，B:(1) 这两个粮库各运往A ?(2) 最不合理的调运方案是什么?它使国家造成的损失是多少?。
高中数学必修五导学案33：3.3.2简单的线性规划问题(一)
3.3.2简单的线性规划问题（一）【学习目标】1、会从实际问题中建立二元一次不等式组，并作出平面区域；2、会用图象法求线性目标函数的最值的过程；3、了解相关概念：线性约束条件、目标函数（线性目标函数）、线性规划、可行解、可行域、最优解.重点:求线性目标函数的最值问题 难点：理解求线性目标函数的最值问题的过程【课前导学】1、（1）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是 ，其中b 的几何意义是 ，b 叫做直线在y 轴上的截距，简称纵截距，k 叫做直线的斜率； 练习：指出下列直线在y 轴上的截距：①23y x =+； ②23y x =-； ③2570x y ++=；（2）直线1y kx b =+与212()y kx b b b =+≠的位置关系是 .2、在已知直线:3l y x b =+上任取两点A 、B 的坐标12(,)A x x 、12(,)B y y 代入直线方程后所求得的b 相同吗？3、（1）在右图中，作出不等式组2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩…①的平面区域，并作出直线0:230l x y +=.（2）问题：设23z x y =+，其中x 、y 满足不等式组①中的不等式组，试求z 的最大值. 阅读课本P87～P88第二段的内容，了解解决问题的思路，并填空：①变量x 、y 满足的一组条件叫做 _，若这组条件都是关于变量x 、y 的一次不等式，则称为 ；②把求最大值或求最小值的函数称为 ，若它是关于变量x 、y 的一次解析式，则称为 ；③在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为 ；④满足线性约束的解（x ,y ）叫做 ；由所有可行解组成的集合叫做 ，其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的 .【课内探究】 探究一：上面例子中，若z x y =-，则当＿＿＿＿＿＿时，z 取得最大值＿＿.探究二：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪. 1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元 .为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？提示：将已知数据列成表格后，设每天食用x kg 食物A, y kg 食物B 时总成本为z . 则有不等式组⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 即⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩作出上面不等式组所对应的平面区域，即可行域：【总结提升】解决线性规划问题的方法是_________法，即借助直线（把线性目标函数看作斜率确定的一组平行线）与平面区域有交点时，直线在y轴上的截距取最大值或最小值求解。
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3.3.2 简单的线性规划问题
【学习目标】
了解线性规划的意义、了解可行域的意义；掌握简单的二元线性规划问题的解法．【重点难点】
二元线性规划问题的解法的掌握．
【学习过程】
一、自主学习：
1．问题：在约束条件
410
4320
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
下，如何求目标函数y
x
z+
=2的最大值？
二、合作探究归纳展示
探究：1.作出约束条件
410
4320
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
所表示的平面区域：
2. 将目标函数y x z +=2变形为z x y +-=2的形式，它表示一条直线，斜率为_____________________,在y 轴上的截距为________________________；
3.作出直线0l ：2y x =-，并平移；
因此,
三、讨论交流点拨提升
1．可行域：
2.线性规划：
说明：
四、学能展示课堂闯关练习：课本 练习 第1，2，3题．
例1．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值．
例2．设z=6x-10y，式中,x y满足条件
43
3525
1
x y
x y
x
-≤-
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩
，求z的最大值．
五、学后反思
1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
【课后作业】
习题3.3 3,4。