高考一轮复习新课标数学(理)配套教材：12.4 统计案例

§12.4 统计案例1．了解回归分析的思想、方法及其简单应用．2．了解独立性检验的思想、方法及其初步应用． 在高考中，本节主要考查考生的数据处理能力，及在此基础上利用数据进行逻辑推理及论证的能力．1．回归分析(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)线性回归模型用y ＝bx ＋a ＋e 表示，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为____________．满足E (e )＝__________，D (e )＝σ2，σ2越小，精度越________．(3)在具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=∑∑==.ˆˆ,)())((ˆ121x b y ax x y y x x b ni i ni i i 其中x ＝1n∑=ni i x 1，y ＝1n∑=ni iy1， 称为样本点的中心.（4）残差：i e ˆ= 称为相应于点（i x ,i y ）的残差，残差平方和为（5）相关指数R 2= . R 2越大，说明残差平方和 ，即模型的拟合效果 ；R 2越小，残差平方和 ，即模型的拟合效果 .在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的 ，R 2越接近于1，表示回归的效果 .2. 独立性检验 （1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为___________.（2）像下表所示列出两个分类变量的频数表，称为___________.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2 }，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为y 1 y 2总计 x 1a ba+bx 2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 构造一个随机变量K 2=___________， 其中n =a+b+c+d 为样本容量.如果K 2的观测值k ≥k 0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”.我们称这样的k 0为一个判断规则的临界值.按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P （K 2≥k 0）.上面这种利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为___________.【自查自纠】1. (2) 随机误差 0 高 (3)（x ，y ）(4)i i yy ˆ- ∑=-ni i iyy12)ˆ( (5)1－∑∑==--n i ini i iy yyy1212)()ˆ( 越小 越好 越大 越差贡献率 越好 2．(1)分类变量 (2)列联表n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） 独立性检验(2012·江西模拟)r 是相关系数，则下列叙述中正确的个数为( )①r ∈[－1，－0.75]时，两变量负相关很强； ②r ∈[0.75，1]时，两变量正相关很强；③r ∈(－0.75，－0.3]或[0.3，0.75)时，两变量相关性一般；④r ＝0.1时，两变量相关性很弱． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：|r |越大，两变量相关性越强．故选D.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置差异的是( )A ．总偏差平方和B ．残差平方和C ．回归平方和D ．相关指数R 2解：残差平方和描述了数据点和它在回归直线上相应位置的差异，故选B.利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X与Y有关系”的可信程度．P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.8415.0246.6357.87910.828如果K2≥5.024，那么有把握认为“X与Y有关系”的百分数为()A．25% B．75% C．2.5% D．97.5%解：∵K2≥5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1－0.025＝97.5%的把握认为“X 和Y有关系”．故选D.在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和________．解：R2越大，残差平方和越小，故填越小．下面是一个2×2列联表y1y2总计x1a21 73x212 25 37总计b46则表中a，b处的值分别为________．解：∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋12＝b，∴b＝64.故填52，64.类型一回归分析的相关概念(1)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25解：相关指数越大，模型拟合效果越好．故选A.(2)下列四个命题：①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型拟合的效果越好；③散点图中所有点都在回归直线附近；④随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小可用来衡量预报精确度．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解：②中R2越大，拟合效果越好；③中回归直线同样可以远远偏离变异点；①④正确．注意④，e是随机变量，其方差衡量预报精度．故选B.【评析】回归模型的诊断主要是看残差图上、下是否大致均匀分布．另外相关指数R2也决定着模型拟合的优劣，R2越大，模型拟合效果越好．而随机误差e满足E(e)＝0，D(e)＝σ2，σ2越小，线性回归模型预报真实值的精度越高．(1)如图的5个数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误．．的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解：观察可知，去掉D(3，10)后，拟合效果更好．因此相关系数变大，残差平方和变小，相关指数变大，解释变量与预报变量的相关性变强．故选B.(2)给出下列结论：①回归分析中，可用相关指数R2判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；②回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；③回归分析中，可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越大，模型的拟合效果越好；④回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4解：②的判断正好相反；③应改为|r|越大，模型拟合效果越好，①④正确．故选B.类型二回归分析(1)已知某商品的价格x(元)与需求量y (件)之间的关系有如下一组数据：x 14 16 18 20 22 y1210753(Ⅰ)画出y 关于x 的散点图；(Ⅱ)用最小二乘法求出回归直线方程；(Ⅲ)计算R 2的值，并说明回归模型拟合程度的好坏．解：(Ⅰ)散点图如图所示．(Ⅱ) 18=x ，4.7=y ，∑==5121660i i x ，∑==51620i i i y x ，所以15.155ˆ512251-=--=∑∑==i i i x x yx y xbi i，1.28ˆˆ=-=x b y a ，yˆ=-1.15x +28.1.（Ⅲ）列出残差表：y i －i y ˆ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 y i －y 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4所以3.0）ˆ（512=-∑=i i i yy ，.2.53）（512=-∑=i i y y .994.0）（）ˆ（15125122≈---=∑∑==i i i i i y y y y R所以，回归模型拟合效果很好． 【评析】用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型拟合的效果越好．另外，计算也不能出错．※(2)下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x 表示轿车的使用年数，y 表示相应的年均价格，求y 关于x 的回归方程．使用 年数 x 12345678910年均 价格 y （美元）2651194314941087765538484290226204解：作出散点图如图所示．可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此y 与x 之间应是非线性相关关系．与已学函数图象比较，用a x b y ˆˆe ˆ+=来刻画题中模型更为合理，令zˆ＝ln y ˆ，则z ˆ＝b ˆx ＋a ˆ，题中数据如下表所示： x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318相应的散点图如图所示，从图中可以看出，变换的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程拟合．由表中数据得bˆ≈－0.298， aˆ＝6.527－(－0.298)×5.5≈8.166， 故回归直线方程为zˆ＝－0.298x ＋8.166. 则yˆ＝e z ˆ＝e －0.298x ＋8.166.【评析】①对于非线性(可线性化)回归分析，可通过散点图直观找到函数类型，再通过变换z ＝f (y )变为线性回归问题；②常用的函数类型有f (x )＝ke bx ＋a ，f (x )＝k ln x , f (x )＝kx 2，f (x )＝kx 3， f (x )＝kx等．(1)已知x ，y 之间的一组数据如下表： x 1 3 6 7 8 y12345(Ⅰ)从x ，y 中各取一个数，求x ＋y ≥10的概率；(Ⅱ)对于表中数据，甲、乙两位同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合效果更好．解：(Ⅰ)各取一个数组成数对(x ，y )，共有C 15C 15＝25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6，4)，(6，5)，(7，3)，(7，4)，(7，5)，(8，2)，(8，3)，(8，4)，(8，5)，共9对．故所求概率为P ＝925，x ＋y ≥10的概率为925.(Ⅱ)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y的实际值的差的平方和为S 1＝⎝⎛⎭⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫103－42＋⎝⎛⎭⎫113－52＝73.用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎫72－32＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫92－52＝12.∵S 2＜S 1，∴直线y ＝12x ＋12的拟合效果更好．※(2)下表是采集的商品零售额(万元)与商品流通费率(为了方便计算，数据已作相应处理)的一组数据：商品 零售额 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5 25.527.5 商品流通费率6.04.64.03.22.82.52.42.32.22.1(Ⅰ)将商品零售额作为横坐标，商品流通费率作为纵坐标，在平面直角坐标系内作出散点图；(Ⅱ)商品零售额与商品流通费率具有线性相关关系吗？如果商品零售额是20万元，那么能否预测此时流通费率是多少呢？解：(Ⅰ)散点图如图所示．(Ⅱ)散点图显示出商品流通费率和商品零售额的变化关系并不是直线型，而是一条递减的双曲线型(反比例函数型)．两者之间不具有线性相关关系．但经济理论和实际经验都可说明，流通费率决定于商品零售额，体现着经营的规模效益，因此可以拟合一个以商品零售额为自变量(x )，流通费率为因变量(y )的双曲线回归模型：y ˆ＝a ＋b ×1x ，为了求模型中的a 和b 两个参数，令1x＝x ′，于是上述模型转换为线性模型：y ˆ＝a ＋bx ′，这样我们就可以运用线性回归的知识加以解决了．将转化后的有关数据列表如下：商品零售额x (万元) 商品流通费率y1x＝x ′ 9.5 6.0 0.105 11.5 4.6 0.087 13.5 4.0 0.074 15.5 3.20.065 17.5 2.8 0.057 19.5 2.5 0.051 21.5 2.4 0.047 23.5 2.3 0.043 25.5 2.2 0.039 27.5 2.1 0.036 合计32.10.604代入公式得aˆ＝－0.1912，b ˆ＝56.311，从而线性回归方程为yˆ＝－0.1912＋56.311x ′.将1x ＝x ′回代得y ˆ＝－0.1912＋56.311x.因此，当商品零售额是20万元时，流通费率约为2.6.类型三 独立性检验的相关概念(1)独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A ，B ( )A ．互斥B ．不互斥C ．相互独立D ．不独立解：独立性检验中的假设是H 0：A ，B 独立，当我们拒绝H 0时，A ，B 就相关了．故选C .(2)下列说法中正确的是( )①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法；②独立性检验就是选取一个假设H 0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H 0的推断；③独立性检验一定能给出明确的结论．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 解：假设检验的基本思想是：“在一次试验中，小概率事件不可能发生”，若小概率事件发生了，则有理由认为原假设不成立，故①②正确，当小概率事件没有发生，则不能拒绝原假设但也不能够肯定原假设，此时结论不明确，③不正确．故选A .【评析】如果K 2的观测值k 很大，则断言H 0不成立，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值k 很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝H 0.(1)想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应检验( )A．H0：男生喜欢参加体育活动B．H0：女生不喜欢参加体育活动C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关解：独立性检验中的假设是喜欢参加体育活动与性别无关，当我们拒绝喜欢参加体育活动与性别无关时，喜欢参加体育活动与性别就相关了．故选D.(2)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()A．若K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法均不正确解：独立性检验的结论仅仅是一种数学关系，得出的结论也可能犯错误．有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，也可以说这个结论出错的概率为0.05以下，这是数学中的统计思维与确定性思维差异的反映．故选C.类型四独立性检验某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试问喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系？参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），参考数据：P(K2≥2.072)＝0.15，P(K2≥2.706)＝0.10，P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥5.024)＝0.025.解：(1)根据题中所给数据，得到如下列联表：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏9 3 12 不喜欢玩电脑游戏 4 6 10 总计13 9 22(2)K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝22×（6×9－3×4）212×10×13×9≈2.7641＞2.706.∴P＝1－P(K2＞2.706)＝90%.∴有90%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关．【评析】在利用2×2列联表计算K2的值之前，应先假设两个分类变量是无关的，最后再利用K2的值的大小对二者关系进行含概率的判断．甲乙两个学校高三年级分别为1100人，1000人，为了统计两个学校在地区第二次模拟考试中数学科目的成绩，采用分层抽样抽取了105名学生的成绩，并作出了部分频率分布表如下(规定考试成绩在[120，150]内为优秀)：甲校：分组[70，80)[80，90)[90，100)[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150) 频数2 3 10 15 15 x 3 1乙校：分组[70，80)[80，90)[90，100)[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150] 频数1 2 9 8 10 10 y 3(1)计算x，y的值，并分别估计两校数学成绩的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为这两个学校的数学成绩有差异.甲校乙校总计优秀非优秀总计K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.附：P(K2≥k0) 0.10 0.025 0.010k0 2.706 5.024 6.635 解：(1)依题意知，甲校抽取55人，乙校抽取50人，故x＝6，y＝7.估计甲校的优秀率为1055≈18.2%；乙校的优秀率为2050＝40%.(2)填表如下：甲校 乙校 总计 优秀 10 2030 非优秀453075总计 55 50 105K 2＝105×（10×30－20×45）230×75×55×50≈6.109.∵6.109＞5.024，∴有97.5%的把握认为这两个学校的数学成绩有差异．1．线性回归分析的方法、步骤 (1)画出两个变量的散点图；(2)求相关系数r ，并确定两个变量的相关程度的高低；(3)用最小二乘法求回归直线方程yˆ＝b ˆx ＋a ˆ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,)())((ˆ1221121x b y axn x yx n yx x x y y x x b ni i ni ii ni i ni i i(4)利用回归直线方程进行预报.注：①对于非线性(可线性化)的回归分析，一般是利用条件及我们熟识的函数模型，将题目中的非线性关系转化为线性关系进行分析，最后还原．②利用相关指数R 2＝1－∑∑==--n i ini i iy yyy1212)()ˆ(刻画回归效果时，R 2越大，意味着残差平方和∑=-ni i iyy12)ˆ(越小，模型的拟合效果越好.2．独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量x 与y 没有关系； (2)计算出K 2的观测值，其中K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）；(3)把K 2的值与临界值比较，作出合理的判断． 3．独立性检验的注意事项(1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆．(2)在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错．(3)对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他，要避免张冠李戴．。