2016届高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件第6章-第4课时 基本不等式
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
第二十七页，共61页。
2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
第二十八页，共61页。
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
第三十页，共61页。
解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
第四十页，共61页。
方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
第三十六页，共61页。
解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
高考数学一轮复习 基本不等式课件
4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2
且c2＝d2且ab＝cd.
1.已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
求证：(11)(11)(11)≥8. abc
证明：∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
(11)(11)(11) abc
当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号.
1.利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件 缺一不可.
三、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
，几何平均
数为 ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 .
四、利用基本不等式求最值
设x，y都是正数. (1)如果积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有
最小值
.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时积xy有最大
x 1 (x1) 1;1=3 答案：C
4.已知
＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是
.
解析：2＝
，所以xy≥15，当且仅当
时等号成立.所以xy的最小值是15.
答案：15
5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4
万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费
4.基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它 的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：
2ab≤ ab≤ ab≤ a2b2(a0,b0).
ab
2
2
求下列各题的最值. (1)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求z＝ (2)x＞0，求f(x)＝ ＋3x的最小值. (3)x＜3，求f(x)＝ ＋x的最大值.
北师大版高考数学(文科)一轮复习第6单元《不等式》ppt配套课件PPT共222页
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯第6单 元《不等式》ppt配套课件
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
(x-2)2+1,所以f(x)min=f(2)=1,
由题意可知a≤1,且f(a)=f(b)=b,a<b,b>2,
由f(b)=b得到 3 b2-3b+4=b,
4
解得b= 4 (舍去)或b=4,
3
由抛物线的对称轴为x=2得到a=0,所以a-b=-4.
【思想方法指导】 三个“二次”关系的应用 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联 系,解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题.
5.(必修5 P82例9改编)已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则
实数a的取值范围是
()
A.(4,+∞)
B.(-∞,4)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
【解析】选A.设f(x)=x2-ax+3,
若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,
则只需要f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>4,
复习课件
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次
1
不等式课件文北师大版
第六章 不 等 式 第一节 不等式的性质 及一元二次不等式
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
(1) a>b⇔ac2>bc2.( ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则必有a<0. ( ) (3)不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ=b2-4ac≤0. ( )
高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第六章第三节 基本不等式(34张PPT)
[解析]
x＋2y＝(x＋2y)
2x＋1y
＝2＋
4y x
＋
x y
＋2≥8，当且仅
当4xy＝xy，
即x＝2y＝4时等号成立．由x＋2y>m2＋2m恒成立，
可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4<m<2. [答案] (－4,2)
数学
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• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/262021/7/26July 26, 2021
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第三节 基本不等式 结束
(3)(2013·山东高考改编)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2 －z＝0，则xzy的最小值为________．
[解析] z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)， ∴xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋4xy－3≥2 xy·4xy－3＝1. 当且仅当xy＝4xy，即x＝2y＝4时“＝”成立． [答案] 1
(3)已知 x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若 xy≥m－2 恒成立，则实
数 m 的最大值是________．
解析：(1)∵x＞0，
∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x≤22＝1，
当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．
数学
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高考数学大一轮复习 第六章 不等式与推理证明 第4课时 基本不等式课件 文 北师大版.ppt
又 x＞0，y＞0， 故 x⊗y＋(2y)⊗x＝x2－xyy2＋4y22－xyx2＝x2＋2xy2y2≥22x2yxy＝ 2，当且 仅当 x＝ 2y 时，等号成立．
答案： 2
考点二 利用基本不等式证明不等式 [例 2] 已知 a＞0，b＞0，c＞0， 求证：bac＋cba＋acb≥a＋b＋c
最小值为( )
A. 2
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
C．2 2
D．4
解析：由1a＋2b＝ ab知 a>0，b>0，所以
ab＝1a＋2b≥2 a2b，即 ab≥2 2，
当且仅当1a1a＝ ＋2b2b， ＝ ab，
即 a＝4 2，b＝24 2时取“＝”，
所以 ab 的最小值为 2 2. 答案：C
2．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x⊗y＝x2－xyy2(x，y∈R， xy≠0)．当 x＞0，y＞0 时，x⊗y＋(2y)⊗x 的最小值为________．
解析：∵x＞0，y＞0 且 x＋8y＝1 ∴1＝x＋8y≥2 8xy 即 xy≤312. 答案：312
5．已知 t＞0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 解析：∵t＞0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥－2. 答案：－2
考点一 利用基本不等式求最值
[例 1] (1)设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xzy 取得最小值时，x＋2y－z 的最大值为( )
x×1x＝2 即 y∈[2，＋∞)．
2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋abb≤2；③x2＋x2＋1 1≥1，
其中正确的个数是( )
A．0
2016届高三数学(北师大版)一轮复习课件：第6章-第2课时 一元二次不等式及其解法
当 0＜a＜21时，2＜1a，不等式的解集是x2＜x＜1a
，当
a＝21时，不等式
的解集是∅，当 a＞12时，1a＜2，不等式的解集是xa1＜x＜2
；
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考点突破 题型透析
教材梳理 基础自测
【基础自测】
2．不等式 2x2－x－1＞0 的解集是( ) A.－12，1 B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.－∞，－12∪(1，＋∞) 2x2－x－1＞0⇔(2x＋1)(x－1)＞0⇔x＜－12或 x＞1. D
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考点突破 题型透析
考点一 一元二次不等式及简单高次不等式的解法
审题视点
(2)不等式 x2－5x＋6≤0 的解集为________． (2)分解因式求解 (2)∵x2－5x＋6≤0，∴(x－2)(x－3)≤0. ∴2≤x≤3.∴不等式的解集为{x|2≤x≤3}． (2){x|2≤x≤3}
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∴方程 3x2＋2x－8＝0 的两根为－2，43， 结 合 二 次 函 数 y ＝ 3x2 ＋ 2x － 8 的 图 像 可 知 原 不 等 式 的 解 集 为
x －2≤x≤34
.
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北师大版一轮复习课件《基本不等式》
名师伴你行
考点一
考点二
考点三
考点四
名师伴你行
1.基本不等式
如果a,b都是正数，那么
a+b ≥ 2
ab ，当且仅当
a=b时，等号成立.
a+b 2
称为a，b的 算术平均数 ，ab称为a,b
的 几何平均数 .
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名师伴你行
２.利用基本不等式求最大（小）值
a-4
虽不是定值，但变形为
3 a-4
+（a-4）+4
即可发现
a
3 -4
×(a-4)=3为定值，故可用均值不等式求之.分式
A
函数求最值，通常化成y=mg（x）+ g(x) +B（A＞
0,m＞0,g(x)恒正或恒负）的形式，然后运用均值不等
式来求最值.
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名师伴你行
（2）第（3）小题要求根据条件求最值，如何合理利
（1）若x+y=s(和为定值），则当x=y时，积xy取最大
s2
值4
；
（２）若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和x+y取最小
值 2p
.
通常称为“一正，二定，三等”.
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名师伴你行
考点一 基本不等式
设a，b是正实数，以下不等式：① ab > 2ab ;②
a+b
a＞|a-b|-b;③a2+b2＞4ab-3b2;④ab+ 2 ＞2恒成
不恒成立;∵ab+ 2≥2
ab
故应选D.
ab • =22 ＞22,∴④恒成立.
ab
应用均值不等式判断命题的真假的关键是
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第三节基本不等式及其应用课件文北师大版
)
A．最小值 1
B．最大值 1
C．最小值 2
D．最大值 2
考点一 利用基本不等式求最值
挖掘 1 直接应用基本不等式求最值/ 自主练透
[例 1] (1)当 x>0 时，函数 f(x)＝x22＋x 1有(
)
A．最小值 1
B．最大值 1
C．最小值 2
D．最大值 2
[解析] f(x)＝x＋2 1x≤2 2 x·1x＝1.当且仅当 x＝1x，x>0，即 x＝1 时取等号．所以 f(x)有最大值 1. [答案] B
3．(基础点：构造不等式的定值)已知 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为________． 答案：5
4．(易错点：“1”的代换)若1a＋1b＝1(a>0，b>0)，则 a＋b 的最小值为__________． 答案：4
考点一 利用基本不等式求最值
挖掘 1 直接应用基本不等式求最值/ 自主练透
[例 1] (1)当 x>0 时，函数 f(x)＝x22＋x 1有(
(2)(2020·广东惠州三调)在△ABC 中，点 D 是 AC 上一点，且A→C＝4A→D，P 为 BD
上一点，向量A→P＝λA→B＋μA→C(λ＞0，μ＞0)，则4λ＋μ1 的最小值为(
)
A．16
B．8
C．4
D．2
[解析] 由题意可知，A→P＝λA→B＋4μA→D，又 B，P，D 共线，由三点共线的充分必
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有___最__小____值是 2 p(简记： _积__定__和__最__小__)． (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有__最__大_____值是p42(简记： _和__定__积__最__大__)
高考数学一轮复习 必考部分 第六篇 不等式 第3节 基本
解析: (2)因为 x+2y=(x+2y)( 2 + 1 )=2+ 4 y + x +2≥8, 转化为求最值问题，
2.函数 y=x+ 1 的值域,以及函数 y=x+ 1 (x≥2)的值域均能利用基本不
x
x
等式求解吗?若能,请求出其值域.若不能请说明理由?
提示:对于函数 y=x+ 1 可以利用基本不等式求解. x
当 x>0 时,y=x+ 1 ≥2(当且仅当 x=1 时取“=”); x
当 x<0 时,y=x+ 1 =-(-x+ 1 )≤-2(当且仅当 x=-1 时取“=”);
(1)基本不等式成立的条件 a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件当且仅当 a=b 时取等号.
(3)其中 a b 称为正数 a,b 的 2
的 几何平均数
.
算术平均数
, ab 称为正数 a,b
2.利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,b 为正实数,且 a+b=M,M 为定值,则 ab≤ M 2 ,等号当且仅当 a=b 时成立.(简记:和
xy3xy
3 xy
≥ 4 (5+2 3
4y x
x y
)= 4 3
×(5+4)=12.(当且仅当
x y
1, 2 1 4
时取“=”)
答案:12
4.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为
,若 x>1,则
x+ 4 的最小值为
.
x 1
解析:若 0<x<1,则 1-x>0,
高考数学大一轮复习-第六章 不等式与推理证明 第4课时 基本不等式课件 理 北师大版
(2) 依 题 意 得 ， P→A ·(P→B ＋ P→C ) ＝ 2 P→A ·P→D ＝ － 2| P→A |·| P→D |≥ － 2|P→A|＋2 |P→D|2＝－|A→2D|2＝－12，当且仅当|P→A|＝|P→D|＝12时取等号， 因此P→A·(P→B＋P→C)的最小值是－12，选 D.
0＜x≤16， (2)由限制条件知0＜16x2≤16， ∴1018≤x≤16. 设 g(x)＝x＋10x01018≤x≤16， 由函数性质易知 g(x)在1018，16上是增函数， ∴当 x＝1018时此时16x2＝16，
g(x)有最小值，即 f(x)有最小值 1 296×1018＋88010＋12 960＝38 882(元)． ∴当长为 16 米，宽为 1018米时，总造价最低，为 38 882 元．
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第4课时 基本不等式
1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式
如果 a、b 都是正数，那么a＋2 b≥
ab，当且仅当a＝b 时，等 a＋b
号成立，称上述不等式为基本不等式．其中 2 称为 a、b 的算
答案：D
2．已知 x>0，y>8.
证明：∵x>0，y>0，z>0，
∴yx＋xz≥2 xyz>0，xy＋yz≥2 yxz>0，
xz＋yz≥2 zxy>0，
∴yx＋xzxy＋yzxz＋yz≥8
yz· xz· xyz
xy＝8.
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
的条件．
解析 当x＝12时，x2＋14＝x即lgx2＋14＝lgx，故A不正确． 运用基本不等式时需保证一正、二定，三相等，而当x≠kπ(k ∈Z)时，sin x正负不定，故选项B不正确． 由x2＋1＝(|x|)2＋1≥2|x|可知选项C正确． 当x＝0时，x2＋1 1＝1，故D错． 答案 C
2016届高三数学(北师大版)一轮复习课件：第6章-第1课时 不等式关系与不等式
4x≥0x＋ 5，90y≥y≤61，000， x，y∈N.
4x＋9y≤100， 即xy≥ ≥56， ，
x，y∈N，
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第十三页，编辑于星期五：二十点 二十二分。
考点突破 题型透析
考点二 不等式的性质
审题视点
高三总复习.新课标数学（文）
第六章 不等式与推理证明 第1课时 不等式关系与不等式
考
考点一 用不等式(组)表示不等关系
点
考点二 不等式的性质
考点三 比较大小
创新探究•系列
指点迷津•展示
第一页，编辑于星期五：二十点 二十二分。
考纲·点击
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握不等式的性质，会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比 较数或式的大小．
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第二十一页，编辑于星期五：二十点 二十二分。
考点突破 题型透析
考点三 比较大小
审题视点
(3)已知 a＞b＞0，比较 aabb 与 abba 的大小． (3)利用作商法求解判断． (3)解：∵aaabbbba＝abaa－ －bb＝aba－b， 又 a＞b＞0，故ab＞1，a－b＞0， ∴aba－b＞1，即aaabbbba＞1，又 abba＞0，∴aabb＞abba， ∴aabb 与 abba 的大小关系为：aabb＞abba. aabb＞abba
考点突破 题型透析
考点二 不等式的性质
1．(2015·鄂州模拟)已知 a＜b，则下列不等式正确的是( )
高三数学北师大版(理)复习课件第6章 第2节 基本不等式
堂 题 型 全
Sna＋n 8的最小值是________．
突
课 后 限 时 集 训
破
返 首 页
课 前
(1)B
9 (2)2
[(1)由3a＋1b≥a＋m3b，
真 题
知
自
识 全 通
得m≤(a＋3b)3a＋1b
主 验 效
关
果
＝9ab＋ab＋6.
课 堂 题
又9ab＋ab＋6≥2 9＋6＝12(当且仅当9ab＝ab，即a＝3b时等号成立)，
则f(x)＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3
真 题 自 主
全
验
通 关
≤－2 5－4x·5－14x＋3＝－2＋3＝1.
效 果
课
当且仅当5－4x＝5－14x，
堂
题 型
即x＝1时，等号成立．
全
突 破
故f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为1.]
课 后 限 时 集 训
自 主
全
通 关
∴x(4－2x)＝12×2x(4－2x)≤12×2x＋24－2x2＝12×4＝2.
验 效 果
当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．
课
堂
即函数y＝ x4－2x的最大值为 2.
题
型
全
突
课 后 限 时 集 训
破
返 首 页
(2)因为x＜54，所以5－4x＞0，
课 前 知 识
真 题
知
自
识 全
A．2 B．3 C．4 D．5
主 验
通 关
C [由题意得1a＋1b＝1.又a＞0，b＞0，
效 果
课 堂
∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4.
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第3讲 基本不等式课件 文 北师大版
第六章 不等式、推理与证明
(1)(2015·高考湖南卷)若实数
a，b
满足1＋2＝ ab
ab，
则 ab 的最小值为( C )
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
(2)(2015·高考福建卷)若直线xa＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)， 则 a＋b 的最小值等于( C )
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
4．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为___5_____．
解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5.
当且仅当
x－1＝x－4
，即 1
x＝3
时等号成立．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
5．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地 的最大面积是__2_5_m__2__． 解析：设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x＋y＝10，
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
[解] (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元，依题意得，当 0<x<8 时，
L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3； 当 x≥8 时，L(x)＝5x－6x＋1x00－38－3＝35－x＋10x0.
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第六章 不等式、推理与证明
交汇创新——基本不等式与解不等式的交汇 (2014·高考浙江卷)已知实数 a，b，c 满足 a＋b＋c
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第六章 不等式、推理与证明
1．若 x>0，y>0，且 x＋y＝1，则 xy 的最大值为( 3
D
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式教师用书 文 北师大版-北师大版高三
第二节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx≥2的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.] 3．(2016·某某某某二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b的最小值为( )【导学号：66482277】A ．7B ．8C ．9D ．10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 【导学号：66482278】A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －2×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25[设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.]利用基本不等式求最值(1)(2015·某某高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2017·某某二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2016·某某七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )【导学号：66482279】A ．10B ．9C ．8D ．7(2)(2016·某某雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝22a ＋ba＋2a ＋bb＝4＋2ba＋2ab＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4， 当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n取得最大值－4.]利用基本不等式证明不等式已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4，3分∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立). 5分 (2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，10分∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立). 12分 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，10分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9. 12分[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.[证明] 由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a2·1b 2＝2ab，3分当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，8分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号. 12分基本不等式的实际应用运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【导学号：66482280】[解] (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]. 2分所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100). 5分(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立. 8分故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 12分 [规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值X 围)内求解．[变式训练3] 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.【导学号：66482281】[解] (1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋2＋4＋6＋…＋2xx，即y ＝x ＋100x＋1.5(x ∈N *). 5分 (2)由基本不等式得：y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，8分当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备. 12分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值X 围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形： (1)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(2)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．[易错与防X]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．。
高考数学一轮复习 第6讲 对数与对数函数课件 文 北师大
过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限．( )
考点突破 考点一 对数的运算
【例 1】 (1)(log29)·(log34)＝( ) A．14 B．12 C．2 D．4
(2)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2＝________．
∴12＜a＜1，0＜b＜12，c＞1，∴c＞a＞b.
(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，
对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，
则有g(1)＞0， a≥1，
即2a－ ≥a1＞ ，0，解得1≤a＜2，即a∈[1，2)，故选A．
答案 (1)D (2)A
∴0＜a＜12＜b＜1＜c，故选 A.
考点突破 考点三 对数函数的性质及其应用
log2x，x＞0， 【训练 3】(2)设函数 f(x)＝log12(－x)，x＜0.若 f(a)＞f(－a)，则
实数 a 的取值范围是( ) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取 值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析 (1)∵ 3＜2＜3，1＜2＜ 5，3＞2，
∴log3 3＜log32＜log33，log51＜log5 2＜log5 5，log23＞log22，
12c＝log2c，则 (
)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
(2)见下一页
解析
北师大版一轮复习课件《基本不等式》34页PPT
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！Biblioteka 北师大版一轮复习课件《基本不等式》
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.3
3．利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a，b 为正实数， 且 a＋b＝S，S 为定值，则 ab≤14S2，当且仅当__a_＝__b___时取等号。简记： 和定积最大。 (2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 a，b 为正实数， 且 ab＝P，P 为定值，则 a＋b≥_2___P____，当且仅当__a_＝__b_____时取等号。 简记：积定和最小。
当且仅当ba＝ab，即 a＝b＝21时取“＝”。 ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时取等号。 证法二：1＋1a1＋1b＝1＋a1＋b1＋a1b＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， ∵a，b 为正数，a＋b＝1，∴ab≤a＋2 b2＝14， 当且仅当 a＝b＝12时取“＝”。
a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝1＋1＋ba＋ab≥2＋2 答案 C
ba·ab＝2＋2＝4，故选 C。
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器。已知该容器
的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低
总造价为( )
A．80元
B．120元
C．160元
D．240元
解析 设容器的底长 x 米，宽 y 米，则 xy＝4。 所以 y＝4x，则总造价为： f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋8x0＋20x ＝20x＋4x＋80，x∈(0，＋∞)。 所以 f(x)≥20×2 x·4x＋80＝160， 当且仅当 x＝4x即 x＝2 时，取等号， 所以最低总造价是 160 元。故选 C。 答案 C
第六章 不等式、推理与证明
第三节 基本不等式
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
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考点一 利用基本不等式求最值
审题视点
(2)(2015· 洛阳市高三统考)在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，AD＝1，点 P 在线段 → → → AD 上，则PA· (PB＋PC)的最小值为( A．－1 1 C.2 ) B．1 1 D．－2
(2)利用向量模的意义转化为基本不等式．
→ → → |PA|＋|PD| 2 |AD|2 → → → → → → → (2)依题意得，PA· (PB＋PC)＝2PA· PD＝－2|PA|· |PD|≥－2( ) ＝－ 2 ＝ 2 1 1 → → 1 → → → －2，当且仅当|PA|＝|PD|＝2时取等号，因此PA· (PB＋PC)的最小值是－2，选 D.
C．2 D．3 2 ①中，当 a＝1 时，a ＋1＝2a 故①不正确，②中，
当 a，b∈R＋时，a＋b≥2 ab， a＋b 即 ≥2，故②不正确． ab 1 1 ③正确，x2＋ 2 ＝(x2＋1)＋ 2 －1≥2－1＝1. x ＋1 x ＋1 B
教材梳理 基础自测
【基础自测】
3 3．设 0＜x＜2，则函数 y＝x(3－2x)的最大值是( 9 A.16 C．2 9 B.4 9 D.8
1．(2013· 高考福建卷)若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围是( A．[0,2] C．[－2，＋∞)
∵2x＋2y≥2 2x＋y，2x＋2y＝1， 1 ∴2 2x＋y≤1，∴2x＋y≤4＝2－2，∴x＋y≤－2， 即(x＋y)∈(－∞，－2]． D
)
B．[－2,0] D．(－∞，－2]
利用基本不等式转化为关于 x＋y 的不等式，求解不等式即可．
考点突破 题型透析
考点一 利用基本不等式求最值
→ → → 2．(2015· 山东青岛二模)设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)， 1 2 a＞0， b＞0， O 为坐标原点， 若 A， B， C 三点共线， 则a＋b的最小值_____． → → → → → → AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)，
教材梳理 基础自测
【知识梳理】
4．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y时，x＋y 取得最 小 值 2 p .(简 记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当x＝y 时，xy 取得最 大 值 s2/4 .(简 记：和定积最大)
教材梳理 基础自测
【基础自测】
1 1．(教材改编题)函数 y＝x＋x(x＞0)的值域为( A．(－∞，－2)∪[2，＋∞) C．[2，＋∞)
1 ∵x＞0，∴x＋x≥2 C
)
B．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
1 x×x ＝2 即 y∈[2，＋∞)．
教材梳理 基础自测
【基础自测】
a＋b 1 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；② ≤2；③x2＋ 2 ≥1，其中正确的 x ＋1 ab 个数是( A．0 ) B．1
高三总复习.新课标数学（文）
第六章
不等式与推理证明 基本不等式
第4课时
考 点
考点一 利用基本不等式求最值 考点二 利用基本不等式证明不等式
考点三 利用基本不等式解实际问题 创新探究•系列 指点迷津•展示
考纲·点击
1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
教材梳理 基础自测
x 4y y· x －3＝1.
x 4y 当且仅当y＝ x ，即 x＝2y 时“＝”成立，此时 z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2， ∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2. ∴当 y＝1 时，x＋2y－z 取最大值 2.
(1)C
考点突破 题型透析
1 32
教材梳理 基础自测
【基础自测】
t2－4t＋1 5．已知 t＞0，则函数 y＝ 的最小值为________． t t2－4t＋1 1 ∵t＞0，∴y＝ ＝t＋ t －4≥－2. t
－2
考点突破 题型透析
考点一 利用基本不等式求最值
审题视点
(1)(2013· 高考山东卷)设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0， z 则当xy取得最小值时，x＋2y－z 的最大值为( A．0 C．2 9 B.8 9 D.4 )
(2)D
考点突破 题型透析
考点一 利用基本不等式求最值
(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式． (2)若不直接满足基本不等式条件， 则需要创造条件对式子进行恒等变形， 如构造“1”的代换等． (3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解．
考点突破 题型透析
考点一 利用基本不等式求最值
z (1)利用基本不等式求出xy的最小值及取得最小值时，x 与 y 的关系，再利 用二次函数性质求结论．
考点突破 题型透析
考点一 利用基本不等式求最值
(1)含三个参数 x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值． z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，
2 2 z x －3xy＋4y x 4y ∴xy＝ ＝y＋ x －3≥2 xy
【知识梳理】
1．基本不等式 a＋b 如果 a、b 都是正数，那么 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立，称 a＋b 上述不等式为基本不等式．其中 2 称为 a、b 的算术平均数， ab 称 为 a、b 的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式．
教材梳理 基础自测
【知识梳理】
2．常用的几个重要不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R) b a (2)a＋b≥ 2 (a，b 同号)
a＋b2 (a，b∈R) (3)ab≤ 2
a2＋b2 a＋b2 (a，b∈R) (4) 2 ≥ 2
教材梳理 基础自测
【知识梳理】
3．算术平均数与几何平均数
a＋b 设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为 2 ，几何平均数为 ab，基本
不等式可叙述为：两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数 ．
)
3 ∵0＜x＜2，∴3－2x＞0.
1 1 2x＋3－2x2 9 ＝ . ∴y＝x(3－2x)＝2×(2x)×(3－2x)≤2× 2 8
D
教材梳理 基础自测
【基础自测】
4．若 x＞0，y＞0 且 x＋8y＝1，则 xy 的最大值为________．
∵x＞0，y＞0 且 x＋8y＝1 ∴1＝x＋8y≥2 8xy 1 即 xy≤32.