圆锥曲线第二定义用法

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圆锥曲线中第二定义的三类用法(共10张PPT)

第二定义
第二定义：椭圆或双曲线中的一点P，满足条件
PF2 PD

e
（式右x 准线a2对应右焦点），其中PF2 称作焦半径，准线公
c
第二定义
例：在平面直角坐标系
xoy
中双曲线
x2 3

y2
1
的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，
其中焦点是，F1, F2 ，则四边形的面积是_______.
x2 a2
y2 b2
1 的左焦点，交椭圆于A,B 两点，且有 | AF | 3 | B F | ，求椭圆的离心率.
解析：AF, B F 为左焦点上的焦半径，所以过A,B 两点
分别作垂直于准线的直线且和准线交于D,E 两点，
从B 点作 BH AD .
因为| AF | 3 | B F | ，设 BF m ，则 AF 3m
是右，根
据第二定义
PF2 PD
e
，解得
PF2

5 4
PD
5
所以
|
PM
|

4 5
|
PF2
|
PM

PD
因此当P,M,D三点共线时 PM PD 取得最小值，最小
值为从 M到右准线的距离 MH, MH 6 16 14 55
第二定义
本次课重点需要注意三点：
（1）是第二定义的用法；（2）是注意例2这个题目的常规做法，此外下次课会给出这种例题的常用结论；（3）需要注意焦半径的取值范围，这个范围是求离心率取值范围题目中常用的
在 RT PF1F2 中，满足 PF12 所以在 RT PF1F2 中，SPF1F

1

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

双曲线知识点一、双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

圆锥曲线详解

解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小, (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

圆锥曲线中第二定义的三类用法

题目，其实只要记住一个公式即
可，公式将在下节课中给出。
（3）距离和最值问题
第二定义
例3：已知双曲线
x2 16

y2 9
1
，点 M
(6, 2)
, P为双曲线右支上的一动点，F 1 , F 2
为双曲线的左右焦点，
求
|
PM
|

4 5
|
PF2
|
的最小值.
题目为圆锥曲线中与动点有关的最
值问题，但是题目有一个数值很奇
怪，如果知道代表什么意义，则题
目就迎刃而解了。
5
解析：题目中 e ，估计与离心率有关系，因为 P 4
支上的焦半径，所以作出双曲线的右准线 x
F 1
2
6
是右，根
据第二定义 P F 2 e
PD
，解得
PF2

5 4
PD
5
所以
4 |PM|5|PF2|PMPD
因此当P,M,D三点共线时 PMPD取得最小值，最小
从B 点作 BHAD.
因为| AF|3|BF|，设 BF m，则 AF3m
又因为 AF
AD
所以 A H
BF BE
2m

eLeabharlann ，则BEBFm,ADAF, 3m
ee
ee
在 ABH中e，BAH30
所以 AH cos30 3 ，解得 e 3
AB
2
3
注意：该题目是一道十分经典的
第二定义涉及离心率问题，所以当出现离心率问题时或者两条线段比值是定值时或者出现动点到定点的距离时都可以考虑使用第二定义来解决。
第二定义

圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用

圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用北京一零一中学数学组何效员圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下具有统一形式的基本保证。

利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。

但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。

如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x=的距离之比为常数e的点的轨迹讨论如下：①当1e=时，点的轨迹方程为1,(1)y x=≠，直线去掉一点；②当1e>时，点的轨迹方程为2-=±--y e x11(1), x≠，两条直线去掉一点；(1)③ 当1e <时，点的轨迹不存在。

下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。

例1 已知椭圆22143x y +=内一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使||2||MP MF +的值最小，求点M 的坐标。

分析：若按常规思路，设点(,)M x y ，右焦点(1,0)F ，则2222||2||(1)(1)2(1)MP MF x y x y +=-+++-+，求其最小值无疑是困难，观察2||MF ，设M点到右准线的距离d ，||12MF c e d a ===，2||MF d ∴=，这样||2||MP MF +就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P -的距离与到直线24a x c== 的距离和最小，当且仅当MP ⊥直线4x =时，点M 在点P 和直线4x =之间时取得，此时M 的坐标为26(,1)-.例 2 已知椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>，求与这个MPF Mx = 4Oyx椭圆有公共焦点的双曲线，使得它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。

谈谈圆锥曲线定义的应用技巧

考点透视圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，揭示了曲线存在的条件及其所包含的几何性质.在解答圆锥曲线问题时，灵活运用圆锥曲线的定义，往往能达到化繁为简的效果，同时也能让我们感受到数学的简洁美.要灵活运用圆锥曲线的定义解题，就有必要全面而准确地理解圆锥曲线的定义.1.椭圆的第一定义：把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.2.双曲线的第一定义：把平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于非零常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.3.圆锥曲线的统一定义（简称第二定义）：平面内与一个定点F的距离和到一条定直线l（l不经过点F）的距离之比为常数e的点的轨迹.若0<e<1，则动点的轨迹是椭圆；若e>1，则动点的轨迹是双曲线；若e=1，则动点的轨迹是抛物线.4.椭圆和双曲线的第三定义：椭圆或双曲线上的动点与关于椭圆或双曲线中心对称的两点连线的斜率的乘积为定值（e2-1或1e2-1）.由此可见，圆锥曲线（椭圆和双曲线）的第一定义涉及过曲线上同一点的两条焦半径之间的关系，圆锥曲线的第二定义把过曲线上一点的焦半径与该点到相应准线的距离关联了起来，圆锥曲线（椭圆和双曲线）的第三定义则与曲线的点与特殊点连线的斜率有关.一般来说，当遇到与圆锥曲线上点到焦点的距离、焦半径、点到准线的距离有关的问题时，都可以考虑根据圆锥曲线的定义来求解.恰当地利用圆锥曲线的定义解题，很多时候能以简驭繁.例1.解方程x2-103x+80+x2+103x+80=20.解：原方程可变形为(x-53)2+(5)2+(x+53)2+(5)2=2×10，此方程中的x可看作椭圆x 2102+y 252=1与直线y2=5的交点的横坐标，联立椭圆与直线的方程可得x=±45.解答本题若采用常规方法：移项——平方——再移项——再平方来求解，其过程非常复杂，不仅容易出错，而且费时.但利用椭圆的第一定义，将问题转化为求椭圆x2102+y252=1与直线y2=5的交点的横坐标，便可化难为易，达到事半功倍的效果.例2.已知抛物线过点A(-1,0)、B(1,0)，且以圆x2+y2=4的切线为准线，求抛物线焦点的轨迹方程.解：如图1，分别过点A、B、O作圆的切线的垂线，垂足分别为A1、B1、O1，设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义及梯形中位线的性质可得|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4，所以抛物线焦点的轨迹方程为：x24+y23=1(y≠0).图1图2由于圆的切线不固定，所以采用常规方法求解较为困难，但利用抛物线的定义和椭圆的第一定义，即可将问题转化为平面几何问题，利用椭圆焦半径之间的关系、梯形中位线的性质，就能顺利解题.例3.如图2，点B(1,0)在以点A(-1,0)为圆心、4为半径的圆上，P为圆A上任意一点，线段PB的中垂线交直线PA于点C，求点C的轨迹方程.解：由图2可知，|CA|+|CB|=|AC|+|CP|=4>|AB|=2，所以点C的轨迹为以A、B为焦点，2a=4的椭圆，故点C的轨迹方程为x24+y23=1.解答本题，需将数形结合起来，先结合图形，根据椭圆的第一定义建立|CA|与|CB|之间的关系式；再根据中垂线的性质，得到|AC|+|CP|=4，即可将点C看作以A、B为焦点，2a=4的椭圆上的一点.求得椭圆方程中各个参数的值，即可确定点C的轨迹方程.例4.已知F是椭圆x225+y29=1的右焦点，椭圆内有一点P(1,1).在椭圆上求点M，使|MP|+54|MF|最小.施宏昌39考点透视解：如图3，过点M 作椭圆右准线的垂线，垂足为点H ，则|MF ||MH |=e =45，可得|MP |+54|MF |=|MP |+|MH |，要使|MP |+|MH |最小，需使点P 、M 、H 三点共线，此时M.解答此题的关键是根据圆锥曲线的第二定义，将问题转化为求|MP |+|MH |的最小值.这样便将圆锥曲线问题转化为平面几何中点、线之间的位置关系问题.再结合图形中点、线之间的位置关系，不难发现当点P 、M 、H 三点共线时，|MP |+|MH |最小.图3图4例5.已知F 1、F 2分别是椭圆x 225+y 29=1的左、右焦点，椭圆内有一点P (1，1)，M 为在椭圆上的动点，求|MP |+|MF 1|的最大值和最小值.解：如图4，由椭圆第一定义得|MP |+|MF 1|=|MP |+10-|MF 2|，所以||MP |-|MF 2||≤|PF 2|=10，-10≤|MP |-|MF 2|≤10，所以|MP |+|MF 1|的最大值为10+10，最小值为10-10.在解答本题时，我们需先根据椭圆的第一定义建立关于|MF 1|、|MF 2|的关系式；然后结合图形中各点、线之间的位置关系以及三角形的性质：三角形两边之差小于第三边，来确定|MP |+|MF 1|的最大、最小值.例6.已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点M 是椭圆上的任一点，若∠F 1MF 2的最大值为2π3，求椭圆的离心率.解：如图5，设|MF 1|=m ，|MF 2|=n ，由余弦定理和椭圆的第一定义得：cos ∠F 1MF 2=m 2+n 2-4c 22mn =（m +n ）2-2mn -4c 22mn=(2a )2-2mn -4c 22m =2b 2mn -1≥2b 2(m +n 2)2-1=2b 2a 2-1=-12，当且仅当m =n 时，即点M 为椭圆短轴端点时，∠F 1MF 2最大，此时椭圆的离心率为.利用圆锥曲线定义求最值时，要注意：1.当焦半径的系数是离心率的倒数时，可考虑利用圆锥曲线的第二定义；2.当焦半径的系数为1时，需考虑利用圆锥曲线的第一定义.例7.已知A ，B ，P 为双曲线x 2-y 24=1上的三点，且满足 PA + PB =2PO (O 为坐标原点），直线PA ，PB 的斜率记为m ，n ，求m 2+n 24的最小值.解：∵ PA + PB =2PO ，∴A 、B 关于原点对称，∴mn =k PA ∙k PB =e 2-1=b2a2=4，∴m 2+n 24≥2·m ·n 2=mn =4，即m 2+n 24的最小值为4．此题与直线的斜率有关，需运用圆锥曲线的第三定义，才能快速解题.由上述分析可看出，利用圆锥曲线的定义解题，关键要把握以下几点：1.对于椭圆、双曲线的焦点三角形问题，可用圆锥曲线的第一定义求解，通常还要结合平面几何图性的性质及正余弦定理来建立关系式；2.若问题中涉及焦半径、准线、离心率等，则用圆锥曲线的第二定义来求解；3.若问题中涉及圆锥曲线上的点与曲线上关于原点对称的两点连线的斜率，则用圆锥曲线的第三定义来求解；4.对于动点的轨迹方程问题，则需先利用圆锥曲线的第一定义来判断曲线的形状，再去求方程.这样可避免繁琐的计算.（作者单位：云南省玉溪第一中学）图540。

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

双曲线知识点一、双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

2020年高考数学圆锥曲线中第二定义的三类用法(共10张PPT)

1
2
PF22
PF1
F1F22 ，即
PF2
1 2
(e2 x02
e2 4)
x02 1
6
注意：此题有更简单的做法，上述方法只是为了巩固焦半
径的知识
第二定义
（2）离心率问题
例2：倾斜角为
6
的直线过椭圆
x2 y2 a2 b2
1 的左焦点，交椭圆于A,B 两点，且有 | AF | 3 | B F | ，求椭圆的离心率.
，解得
PF2
5 4
PD
5
所以
|
PM
|
4 5
|
PF2
|
PM
PD
因此当P,M,D三点共线时 PM PD 取得最小值，最小
值为从 M到右准线的距离 MH, MH 6 16 14 55
第二定义
本次课重点需要注意三点：
（1）是第二定义的用法；（2）是注意例2这个题目的常规做法，此外下次课会给出这种例题的常用结论；（3）需要注意焦半径的取值范围，这个范围是求离心率取值范围题目中常用的
解析：AF, B F 为左焦点上的焦半径，所以过A,B 两点
分别作垂直于准线的直线且和准线交于D,E 两点，
从B 点作 BH AD .
因为| AF | 3| B F | ，设 BF m ，则 AF 3m
又因为 AF
AD
所以 AH
BF BE
2m
e
，则
BE
BF e
m e
,
AD
AF ,
e
3m e
为双曲线的左右焦点，
求
|
PM
|
4 5
|
PF2

圆锥曲线第二定义

圆锥曲线的二个定义（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。

若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

比如：①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A． B．C． D．（答：C）；②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点及抛物线上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）一、求焦点弦长例 1 过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若6x x 21=+，求|AB|的长。

解：设AB 的中点为E ，点A 、E 、B 在抛物线准线l ：1x -=上的射影分别为G 、H 、M 。

由第二定义知：8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=。

二、求离心率例2 设椭圆2222by a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。

解：如图，AB 是过F 1垂直于x 轴的弦，|C F |1为F 1到准线l 1的距离，AD ⊥l 1于D ，则|AD|=|F 1C|，由题意知|AB |21|AF |1=。

巧用圆锥曲线第二定义解题

巧用圆锥曲线第二定义解题圆锥曲线第二定义，揭示了圆锥曲线的内在联系。

应用圆锥曲线第二定义求解圆锥曲线的轨迹方程、离心率、与圆锥曲线有关的最值等非常简单，它能使问题化繁为简，提高准确率，达到事半功倍的效果。

标签：圆锥曲线第二定义轨迹离心率最值圆锥曲线第二定义：平面内动点M ( x,y ) 到定点F的距离与它到定直线l 的距离的比是常数e（e > 0）的点的轨迹，当01 时是双曲线。

e是离心率，F是焦点。

（一）求圆锥曲线的轨迹方程例1.求经过点M(－1, 2 ) ，以y轴为准线，离心率e = 的点P ( x,y) 的轨迹方程。

解：依题意，所求的点P 的轨迹方程是以y 轴为右准线的椭圆方程，设椭圆的右焦点F（x0, y0）因为P点在椭圆上且过椭圆的右顶点，由第二定义知，即，y0 = y，所以椭圆右焦点为F （,y ），又∵M （－1, 2）在椭圆上，由定义，有，即，化简得P 的轨迹方程为：例2.求以 F (5, 0) 为右焦点，x = 2 为右准线，离心率 e = 2 的圆锥曲线的轨迹方程。

解：依题意，所求曲线的轨迹方程为双曲线，设M (x, y) 为曲线上任一点，由圆锥曲线第二定义，有，即，化简得例3.已知圆锥曲线过点 A (－4, －8) ，它的一个焦点为 F (－4, 0) ，对应于这个焦点的准线方程为x = 4，求这条曲线的轨迹方程。

解：设圆锥曲线上的任意点M (x, y)，由第二定义知：即化简得所求曲线的轨迹方程为：y2=-16x由以上几例可知，在求圆锥曲线的轨迹方程时，涉及到焦点、准线、离心率和曲线上的点四个条件中的三个，用圆锥曲线定义来解决比较简单。

（二）求圆锥曲线的离心率例4.过椭圆的左焦点F 作直线与椭圆交于A、B 两点，| AF | : |BF | = 5 : 3 ，且直线与长轴的夹角为60°，求椭圆的离心率。

解：如图，作椭圆的左准线l过A、B两点分别作左准线的垂线，垂足分别为C、D，由圆锥曲线的定义知：即，椭圆的离心率为e =例 5.已知一抛物线以椭圆的左焦点F（－c, 0）为顶点，以椭圆的右焦点F2（c, 0）为焦点，P为抛物线与椭圆的一个交点，如果椭圆的离心率满足，求e的值。

圆锥曲线第二定义在解题中的应用

圆锥曲线第二定义在解题中的应用摘要：新课程改革要求在数学教学中构建数学知识体系，全面提高学生数学思维能力的运用。

圆锥曲线是高中数学学习的内容，同时也是高考内容考查的重点。

利用圆锥曲线第二定义解题，不仅可以提高解题效率，而且有利于培养学生分析问题和解决问题的能力。

关键词：圆锥曲线；第二定义；应用现在高中教材中的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种。

它们不仅是平面解析几何教学中的重点和难点，而且也是高考压轴题经常涉及和考查的对象。

三种圆锥曲线的定义既是教材重要的基本内容，也是解决许多问题的一种方法。

圆锥曲线的第二定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的题目时，如能巧妙运用第二定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决，在解题中起到事半功倍的效果。

一、圆锥曲线的第二定义圆锥曲线第二定义也称其为统一定义，其定义为平面内与一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（e＞0）的点的轨迹，其中定点是曲线的焦点，定直线是对应于焦点的准线，e为离心率。

当e ＞1时，轨迹为双曲线；当e=1时，轨迹为抛物线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆。

从定义中我们可以看出第二定义揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它刻画了点与点的距离、点到线的距离之间的数量关系。

它不仅是研究圆锥曲线图像与性质的基础，而且还在解决众多的数学问题中，具有不可低估的特殊功能。

二、圆锥曲线的第二定义在解题中的应用有关圆锥曲线的问题运算量大，求解过程复杂，如能正确、灵活地运用圆锥曲线的相关定义去分析解题，往往会使问题化繁为简，提高解题思路的精确率。

圆锥曲线的第二定义可应用于求解离心率、最值、轨迹问题以及相关的证明题。

下面我们介绍其相关的一些应用。

1.证明焦半径公式已知圆锥曲线方程以及曲线上一点的横坐标，求解这一点与圆锥曲线焦点之间的距离。

我们常规的做法是利用圆锥曲线的方程求出焦点坐标，根据这点的横坐标求解出这点坐标，然后利用距离公式得出结果。

如果方程比较复杂，那势必增加运算量。

大招2圆锥曲线第二定义

大招2圆锥曲线第二定义（选填篇）少了部分大招总结注：如果与双曲线交于不同两支，21cos 1cos ep b AF e c a θθ==--，21cos 1cos ep b BF e c aθθ==++，这也是为什么在前面及后面的公式中加绝对值的原因．2．以圆锥曲线的焦点为2F （椭圆是右焦点、双曲线是左焦点），AB 为过焦点的弦，其中A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，则221cos cos ep b AF e a c θθ==++，221cos cos ep b BF e a c θθ==--．开口向左的抛物线中，只需令1e =即可，1cos p AF θ=+，1cos pBF θ=-．3．以圆锥曲线的焦点为1F （椭圆是上焦点、双曲线是下焦点），AB 为过焦点的弦，其中A 在y 轴右方，B 在y 轴左方，则211sin sin ep b AF e a c θθ==++，211sin sin ep b BF e a c θθ==--．开口向下的抛物线中，只需令1e =即可，1sin p AF θ=+，1sin pBF θ=-．4．以圆锥曲线的焦点为2F （椭圆是下焦点、双曲线是上焦点），AB 为过焦点的弦，其中A 在y 轴右方，B 在y 轴左方，则221sin sin ep b AF e a c θθ==--，221sin sin ep b BF e a c θθ==++．开口向上的抛物线中，只需令1e =即可，1sin p AF θ=-，1sin pBF θ=+．公式较多，如何记忆，理解本质，其实不难．首先，焦点在x 轴，三角是余弦cos θ，焦点在y 轴，三角是正弦sin θ，其次，分母的加减号，不妨设倾斜角是锐角，较长的焦半径分母较小，中间是“一”，较短的焦半径分母较大，中间是“+”，通过图像判断长短，再灵活运用即可．在高考中，焦点位于y 轴较少考到．证明：只证明第一个，其它的交给读者自己证明．方法1：如图，根据第二定义 1AF e AN =，令1PF p =，111AF e PF F M =+，()1111cos cos AF e PF AF ep e AF θθ=+=+⋅， 11cos AF e AF ep θ-⋅=，2211cos cos 1cos c a c a c ep b AF c e a c aθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭===---，方法2：在高考大题中，采用余弦定理加以证明后使用，一定给分．证明如下：设1AF x =，则点A 到右焦点的距离22AF a x =-，2222212122cos cos b AF AF FF AF FF x a c θθ=+-⋅=-．结论3：焦点在x 轴的焦点弦的长度222222221cos cos ep ab AB e a c θθ==--；抛物线的焦点弦，只需要令1e =，22221cos sin p pAB θθ==-，焦点在y 轴的焦点弦的长度222222221sin sin ep ab AB e a c θθ==--，抛物线的焦点弦，只需要令1e =，22221sin cos p pAB θθ==-，此公式也解释了，为什么所有焦点弦中，通径最短．证明：21122222221cos 1cos 1cos cos ep ep ep ab AB AF BF e e e a c θθθθ=+=+==-+--．注：即使与双曲线交于不同两支，结论依旧成立，交给读者证明．结论4：焦半径的倒数之和为定值21122aAF BF ep b +==（与双曲线交于两支除外），抛物线中，只需要令1e =，112AF BF p+=，证明：2111cos 1cos 22e e aAF BF ep ep ep b θθ+-+=+==，结论5：椭圆互相垂直的两个焦点弦倒数之和为定值21122e AB CD ep -+=，双曲线互相垂直的两个焦点弦倒数之和为定值22112e AB CD ep-+=，证明：在椭圆中()222222221cos 2cos sin 111cos 222222e e e e AB CD ep ep ep epπθθθθ⎛⎫-+ ⎪-+--⎝⎭+=+==．结论6：焦点在x 轴上的圆双曲线C ，经过其焦点F 的直线交曲线于A B 、两点，直线AB 的倾斜角为θ，斜率为()0k k ≠，AF FB λ=，则曲线C 的离心率e 满足等式：1cos 1e λθλ-=+，e =，在抛物线中，1e =，则1cos 1λθλ-=+，若交于双曲线两支，则1cos 1e λθλ+=-，焦点在y 轴上的圆锥曲线C ，经过其焦点F 的直线交曲线于A B 、两点，若直线AB 的倾斜角为θ，斜率为()0k k ≠，AF FB λ=，则曲线C 的离心率e 满足等式：1sin 1e λθλ-=+，e ．此公式一定要记住，在选填中出现频率非常高，而且非常简便，所以，此公式也放在了本书封面．证明：我们以焦点在x 轴的椭圆为例，AF FB λ=，1cos ep AF e θ=-，1cos ep BF e θ=+，1cos 1cos ep epe e λθθ=-+，()1cos 1cos e e θλθ+=-，1cos 1e λθλ-=+，为什么两边都加绝对值?左边加绝对值是因为如果倾斜角为钝角，cos 0θ<．右边加绝对值是因为有可能1λ<．学生可能会问1λ<或者1λ>对公式有影响吗?一定没影响．举例说明，2λ=与12λ=，211213-=+，11121312-=+，值不变．典型例题【例1】（2021秋·六合区校级月考）已知椭圆22154x y +=内有一点()1,1P -，F 是椭圆的右焦点，M 是椭圆上一点，则MP 的最小值为_______．【解】由题意作图，()1,0F ，椭圆的离心率为：c a =，MN =，如图．所以MP +的最小值，就是由P 作PN 垂直于椭圆的准线于N ，PN 为所求，椭圆的右准线方程为25a x c==，所以MP 的最小值为:514-=．故答案为：4．【例2】过椭圆2212x y +=的左焦点作倾斜角60的直线，直线与椭圆交于,A B 两点，则AB =_______．【解】方法1：椭圆方程为2212x y +=，∴焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，直线AB 过左焦点1F 的倾斜角为60．∴直线AB 的方程为)1y x =+，将AB 方程与椭圆方程联立消去y ，得271240x x ++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12127x x +=-，1247x x =，12x x ∴-因此，127AB x x -=．故答案为：7．方法222222222:1cos cos ep ab AB e a c θθ===-- 【例3】过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线于A B 、两点，则AB =_______．【解】方法1：由双曲线的方程得()13,0F -，()23,0F ，直线AB 的方程为)3y x -①，将其代入双曲线方程消去y 得，256270x x +-=，解之得13x =-，295x =．将12,x x 代入①，得1y =-2y =AB =方法2：222222221cos cos ep ab AB e a c θθ===-- 【例4】（2014·新课标II ）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =（）AB ．6C ．12 D．【解】方法1：由23y x =得其焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为34x =-．则过抛物线23y x =的焦点．F 且倾斜角为30的直线方程为33tan3044y x x ⎛⎫⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．代入抛物线方程，消去y ，得21616890x x -+=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1216821162x x +==，所以123333211244442AB x x =+++=++=，故选C ．方法2：根据结论22223312sin sin 12p AB θθ====⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选C ．【例5】（2017·新课标I ）已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l与C 交于A B 、两点，直线2l 与C 交于D E 、两点，则AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【解】方法1：如图，12l l ⊥，直线1l 与C 交于A B 、两点，直线2l 与C 交于D E 、两点，要使AB DE +最小，则A 与D ，,B E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，又直线2l 过点()1,0，则直线2l 的方程为1y x =-，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，则2440y y --=，124y y ∴+=，124y y =-，128DE y y ∴=-，AB DE ∴+的最小值为216DE =．方法2：设直线2l 的倾斜角为θ，则1l 的倾斜角为π2θ+，根据焦点弦长公式可得2224sin sin p AB θθ==，222224cos cos sin 2p p DE πθθθ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2222244416sin cos sin cos sin 2AB DE θθθθθ∴+=+==，20sin 21θ<， ∴当45θ=时，AB DE +的最小，最小为16，故选A ．【例6】（2021·凉山州模拟）已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于A B 、两点，直线2l 与抛物线C 交于D E 、两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为2，则AB DE +∣∣的最小值为_______．【解】设直线12,l l ，的倾斜角分别为,αβ，利用焦点弦弦长公式可得2222222211sin cos sin cos 22sin sin sin sin AB DE p ααββαβαβ⎛⎫⎛⎫+++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212222212121121122k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭22222121222222282k k k k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⋅⎛⎫+⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴则AB DE +的最小值为8．故答案为：8．【例7】（2009·全国卷II ）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 交C 于A B 、两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（）A ．65B ．75C ．58 D ．95【解】方法1：设双曲线2222:1x y C ab-=的右准线为l ，过A B 、分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，BD AM⊥于D ，由直线AB知直线AB 的倾斜角为60，60BAD ∴∠=，12AD AB =，由双曲线的第二定义有：()()11122AM BN AD AF FB AB AF FB e -==-==+，1532FB FB e ∴⋅=，65e ∴=．故选A ．方法2：1cos 1e λθλ-=+，14132415e -⋅==+，65e =，选A ．【例8】（2019·新课标)I 已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【解】方法1：222AF BF =，23AB BF ∴=，又1AB BF =，123BF BF ∴=，又122BF BF a +=，22a BF ∴=，2AF a ∴=，132BF a =，在2Rt AF O △中，21cos AF O a∠=，在12BF F △中，由余弦定理可得22213422cos 222a a BF F a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=⨯⨯，根据221coscos 0AF O BF F ∠+∠=，可得214202aa a-+=，解得23a =，a ∴=．222312b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为22:132x y+=．故选B ．方法2：设2F B x =，212121222F A xF A F A F B F B aAF x a =+=+===，设AB 与x 轴夹角cos ce aθθ==，由1cos 1e λθλ-=+得213e =，则e =，所以椭圆C 的方程为：22132x y +=．故选B ．【例9】（2021·广州一模文）已知F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且3AF BF =，则AB =（）A ．6B ．8C ．10D ．12【解】方法1：抛物线26y x =的焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则3AF BF =，1233322x x ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，1233x x ∴=+，123y y =，129x x ∴=，192x ∴=，212x =，1233822AB x x ⎛⎫⎛⎫∴=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．方法2：根据结论2226sin sin p AB θθ==，3AF BF =，311cos 312θ-==+，2222668sin sin p AB θθ∴====⎝⎭，故选B ．【例10】（2021•广州一模理）已知以F 为焦点的抛物线2:4C y x =上的两点,A B ，满足133AF FB λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（）A ．2B ．83C ．103D ．4【解】方法1：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，准线方程为1x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则AF BF λ=，()1211x x λ∴+=+，121x x λλ∴=+-，12y y λ=，212x x λ∴=，当1λ=时，弦AB 的中点到C 的准线的距离2．当1λ≠时，1x λ=，21x λ=，()()121112AB x x λλ=+++=++．133λ，且1λ≠，max 11623λλ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离2AB d =，d 最大值是83．823>，∴弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是83．故选B ．方法2：弦AB 的中点到C 的准线的距离22222sin 22sin sin pAB p d θθθ====，根据结论121cos 10,112λθλλ-⎡⎤==-∈⎢⎥++⎣⎦，223sin 1cos ,14θθ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，2282,sin 3d θ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故选B ．自我检测1．（2021秋·湖北期末）过椭圆22:143x y C +=的左焦点F 作倾斜角为60的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，则11AF BF+=（） A ．43 B ．34 C ．35 D ．53【答案】A【解析】方法1：由22143x y +=，得24a =，23b =，2221c a b =-=，左焦点为()1,0-．则过左焦点F ，倾斜角为60直线l的方程为)1y x =+．代入22143x y +=，得2580x x +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则120x x ⋅=，1285x x +=-，又))()121212129113335y y x x x x x x =++=+++=-，根据弦长公式得：165AB =，且1241235AF BF y y ==，1143AB AF BF AF BF ∴+==，故选A ．方法2：2112243a AF BF epb +===． 2．（2021·滑县校级模拟）过椭圆22143x y +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于,,,A B C D 四点，则11AB CD+的值为（） A ．18 B ．16C ．1D ．712【答案】D【解析】方法1：由椭圆22143x y +=，得椭圆的右焦点为()1,0F ，当直线AB 的斜率不存在时，:1AB x =，则:0CD y =．此时3AB =，4CD =，则111173412AB CD +=+=；当直线AB 的斜率存在时，设()():10AB y k x k =-≠，则()1:1CD y x k=--．又设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组()2213412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 并化简得()22224384120k x k x k +-+-=，2122834k x x k ∴+=+，212241234k x x k -=+，()2212134k AB k +∴===+，由题知，直线CD 的斜率为1k-，同理可得()2212143k CD k +=+．()()227111712121k AB CD k +∴+==+为定值．故选D ．方法2：根据结论4，()2121127412122412e AB CD ep --+===⨯⨯-，故选D ．方法3：特殊值，当直线AB 的斜率不存在时，:1AB x =，则:0CD y =．此时3AB =，4CD =，则111173412AB CD +=+=，选项中，只有D 符合． 3．（2021·绵阳三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F C 于,A B 两点，若5AF FB =，则C 的离心率为（）A ．43B ．53C ．2D ．85【答案】A【解析】方法1：如图，AD ⊥准线l 于D ，BC l ⊥于C ，由题意，设BF x =，则5AF x =，根据双曲线的第二定义可得5x AD e =，x BC e=，4x AE e ∴=，2AB AE =，4622x AB AF BF x AE e ∴=+===⨯，43e ∴=，故选A ．方法12:cos 1e λθλ-=+5124,325133e e πθ-===∴=+，故选A ． 4．（2021·濮阳模拟）已知F 为抛物线24y x =的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，则||FA FB -的值等于（）A．B ．8 C．D ．4【答案】C【解析】方法1：()1,0F ，故直线AB 的方程为1y x =-，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得2610x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系可知126x x +=，121x x =．由抛物线的定义可知：11FA x =+，21FB x =+，12FA FB x x ∴-=-==故选C ．方法2：斜率为1，π4θ=，1cos 1cos p pFA FB θθ∴-=-=-+．5．（2021秋•九龙坡区校级月考）设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60的直线交C 于,A B两点，则AB =（）AB ．8C ．12D ．【答案】B 【解析】方法1：依题意可知抛物线2:6C y x =焦点为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，代入抛物线方程得242090x x -+=，可得5A B x x +=，根据抛物线的定义可知直线AB 的长为：53822A B p px x +++=+=．故选B ．方法2：根据结论2222668sin sin p AB θθ====⎝⎭． 6．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q 、两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q+等于（） A ．2a B ．12aC ．4aD ．4a【答案】C【解析】方法1：如图：设PQ 直线方程是14ykx a-=，则12,x x 是方程214ax kx a =+的两根，1p x r =-，其中r =2q x r =．从而()2112212121221144x x r x x p q a p q pq x x r x x r r a --++======-⋅．故选C ．方法2：()20y ax a =>，即21x y a=，令12p a '=，根据结论3，1124a p q p+==，故选C ．7．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的离心率为，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于A B 、两点，若3AF FB =，则k =_______．【解析】方法1：()11,A x y ，()22,B x y ，3AF FB =，123y y ∴=-，32e =，设2at =，c =，b t =，222440x y t ∴+-=①，设直线AB 方程为x sy =+，代入①中消去x，可得()22240s y t ++-=，12y y ∴+=，21224t y y s =-+，22y -=222234t y s -=-+，解得212s =，k =方法2：1cos 1e λθλ-=+311312θ-==+，cosθtan k θ==． 8．（2021秋·宁德期中）已知椭圆22:143x y C +=过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 位于x 轴上方），若2AF FB =，则直线l 的斜率k 的值为_______．【答案】【解析】方法1：若F 为椭圆的左焦点，则()1,0F -，点A 位于x 轴上方，且2AF FB =，0k ∴>，设直线l 的方程为：()()10y k x k =+>，由()2213412y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，整理得()22234690k y ky k +--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由2AF FB =，可得122y y -=．又122634k y y k +=+，可得121234k y k =+，22634ky k -=+，代为2122934k y y k -=+，得254k=，即k 若F 为椭圆的右焦点，则()1,0F ，点A 位于x 轴上方，且2AF FB =，0k ∴<，设直线l 的方程为：()()10y k x k =-<，由椭圆的对称性，同理可得k =．∴直线l的斜率k 的值为方法2：1cos 1e λθλ-=+，121cos 221θ-=+，2cos 3θ=，sin θ=tan θ=k =． 9．已知点F 是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且2BF FD =，则椭圆C 的离心率为_______．【解析】方法1：2BF FD =，根据题意OF c =，OB b =，2a BF aFD ==，点D 横坐标322c cc +=，纵坐标2b，假设点D 在第一象限，带入椭圆方程22229144c b a b +=，293e =，213e =，e =．方法2：tan b c θ=，cos c a θ=，1cos 1e λθλ-=+，213e =，e =．10．（2008·全国卷II ）已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于,A B 两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于_______．【答案】3+【解析】方法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，由2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩13x ⇒=+23x =-()12x x >， ∴由抛物线的定义知12131FA x FB x +====++，故答案为：3+ 方法2：1cos 1e λθλ-=+11λλ-=+，3λ=+ 11．过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A B 、两点（A 在y 轴左侧），则AF FB=∣_______．【答案】13【解析】方法1：如图，作1AA x ⊥轴，1BB x ⊥轴．则11//AA BB ，11A BAF OA x FBOB x ∴==，又已知0B x >，0A x <，A B AF x FBx ∴=-，直线AB 方程为tan302p y x =+，即2p y =+，与22x py =联立得220x px p -=，A B x x p ∴+，2A B xx p ⋅=-，()2222324A B A B A Bx x p x x x x⎛⎫⎪∴=-=-=-++，2233100A B A Bx x x x∴++=，两边同除以()220B Bx x≠得231030A AB Bx xx x⎛⎫++=⎪⎝⎭，3ABxx∴=-或13-．A Bx x p+=>，A Bx x∴>-，1ABxx∴>-，1133ABAF xFB x⎛⎫∴=-=--=⎪⎝⎭．方法2：设AF a=，BF b=，由抛物线的定义可得AC AF a==，BD BF b==，由直角三角形中30所对的直角边为斜边的一半，可得()12b a a b-=+，即有3b a=，即13AFFB=．故答案为：13．方法3：1sin1eλθλ-=+，13λ=．。

圆锥曲线第二定义的应用 ppt课件

点M在右支上
点M在左支上
y
x
F1
F2
抛物线的焦半径公式：
点 P ( x 0 , y 0 )在对应抛物线上
,
y 2 2 px ( p 0 ) :| PF
|
x0
p; 2
y 2 2 px ( p 0 ) :| PF
| x 0
p; 2
x 2 2 py ( p 0 ) :| PF
|
y0
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。
且d 4025 15 41
y
4252 41
dm maixn
4025 42 52
65 41
41
x o
思考：最大的距离是多少？
例变形3：已知椭圆 2 x5 2y921，直线 l： 4x-5y400.椭圆上
是否存在一点，它到直线 l的距离最小大？ y 最小大距离是多少？
例 3：已知椭圆 x2y21，直线 l： 4x-5y400.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线 l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线 m 平行于 l，
则 l可写成： 4 x 5 y k 0
x o
4x5y k 0
M
A
F1
O
F2
X
（1）求 MA MF2的范围
解：椭圆的方程为
x2 y2 1
a3,b 5,c2
95
e 2 3
F1(2,0)
F2 (2, 0)
l1
:
x
p 2
l2 : x
p 2