2018版高中数学第一章立体几何初步章末复习课课件苏教版必修2
苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.1.4ppt课件
1．以下关于斜二测直观图画法的说法正确的是 ________．
图 1－1－30
【解】 画法如下： (1)在直观图中延长 D′A′，交 x′轴于 E′.
(2)画互相垂直的轴 Ox，Oy，取 OE＝O′E′，过 E 作 EF∥Oy，在 EF 上截取 AE＝2A′E′，AD＝2A′D′，再过 D 作 DC∥x 轴，过 A 作 AB∥x 轴，并且截取 DC＝D′C′， AB＝A′B′.
4．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸为上、下底面边 长分别为 1 cm、2 cm，高为 2 cm)
【解】 ①画轴．如图所示，画 x 轴、y 轴和 z 轴，三轴 相交于点 O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②画下底面．以 O 为正三角形 ABC 的中心，在 y 轴上取
线段 EC，使 EC＝
(4)已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图 中 保持原长度不变 ；平行于 y 轴的线段，长度为 原来的一半 .
画水平放置的平面图形的直观图
直观图．
画出如图 1－1－27 所示水平放置的等腰梯形的【 Nhomakorabea路探究】
图 1－1－27
【自主解答】
画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系 x′O′y′，使 ∠x′O′y′＝45°.
1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直 观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰 当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称 性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直 线上．
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习 探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
第1章立体几何初步章末归纳提升课件苏教版必修2课件
在正方形 ABCD 中，AC⊥BD， ∴AC⊥平面 B1D1DB.
(2)连结 AC、DB 交点为 O，连结 B1O，由(1)知 AC⊥平 面 B1D1DB.
∴B1O 就是 AB1 在平面 B1D1DB 上的射影． ∴∠AB1O 就是所求的角． ∵AB1＝ 2，B1O＝ 22，∠AOB1＝90°，∴∠AB1O＝30°. (3)V 三棱锥 B－ACB1＝V 三棱锥 C－ABB1＝13CB·S△ABB1 ＝16.
(2)通过添加辅助线或辅助面而将立体几何问题转化为平 面几何问题；
(3)空间角的求解．通常将空间的角(异面直线的夹角、直 线与平面所成的角、二面角)转化为平面内两条相交直线的夹 角，通过三角形求解，即立体问题平面化．
(2013·常州检测)如图 1－6，正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱长为 1，
空间几何体的体积及表面积 在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过 程的基础上，对于一些较简单的组合体的表面积与体积，能 够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形(正 多边形、三角形、梯形等)以求得其表面积与体积．同样要注 意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质 的灵活运用．
3．证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证 明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问 题．
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系讲义苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ，又∵ACA ′C ′， ∴MN 12A ′C ′.]3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (2)a ，b ，c 是空间中三条直线，下列给出几个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②a ∥b 是指直线a ，b 在同一平面内且没有公共点；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l ，a α，b β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1，B ，B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面，所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 显然相交于D 1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ，同理GH 12DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1MC 1B 1. 而C 1B 1BC ，∴F 1M ∥BC ，且F 1M ＝BC . ∴四边形F 1MBC 为平行四边形， ∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ， ∴A 1F ∥CF 1.同理取A 1D 1的中点N ，连结DN ，E 1N ，则A 1NDE ， ∴四边形A 1NDE 为平行四边形， ∴A 1E ∥DN .又E 1N ∥CD ，且E 1N ＝CD ， ∴四边形E 1NDC 为平行四边形， ∴DN ∥CE 1，∴A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行． 即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. [证明] (1)在△ADC 中， ∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ADC 的中位线．∴MN 12AC .由正方体性质知，ACA 1C 1， ∴MN 12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角．设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ， ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG 12CD ，GF 12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。
苏教版必修二课件：第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时
跟踪训练2 已知空间四边形ABCD，P，Q分别是△ABC和△BCD的重心， 如图所示，求证：PQ∥平面ACD.
证明
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行 例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC， A1C1的中点，求证：EF∥平面A1CD.
证明
反思与感悟
证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理， 遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线的方法.
证明
当堂训练
1.下列命题中正确命题的个数是_0___. ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个 平面平行. 解析 ①中，当l∩α＝A时，除A点以外所有的点均不在α内； ②中，当l∥α时，α中有无数条直线与l异面； ③中，另一条直线可能在平面内.
跟踪训练3 如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1； 证明 ∵BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，BC1∥AD1， ∴BC1∥平面AB1D1.
证明
(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1. 证明 ∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点. 又∵点E为D1C的中点， ∴EF∥AD1， ∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1， ∴EF∥平面ADD1A1.
答案 三种位置关系：(1)直线在平面内； (2)直线与平面相交； (3)直线与平面平行.
答案
梳理 直线与平面的位置关系
位置关系
公共点 符号表示
直线a在 平面α内 无数个
a⊂α
直线a在平面α外
数学苏教版必修2 第1章 立体几何初步 章末专题整合 课件(31张)
空间中的平行问题
1．空间平行关系的判定方法 (1)判定线线平行的方法： ①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)； ②利用平行公理4； ③利用线面平行的性质定理； ④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)； ⑤利用面面平行的性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b， 则a∥b)； ⑥利用平行四边形的性质、三角形、梯形中位线、线段对 应成比例等．
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点． 求证：(1)E、C、D1、F 四点共面； (2)CE、D1F、DA 三线共点．
[证明] (1)如图，分别连结 EF、A1B、D1C. ∵E，F 分别为 AB，AA1 的中点， ∴EF∥A1B 且 EF＝12A1B.
空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点， 解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积 和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，除等积变换法 与割补法外还有： (1)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图 形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决 简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的 距离问题． (2)构造法：对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可 以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称 性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．
(1)三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 3， 一条侧棱与相邻两边所成的角都是 60°，求棱柱的侧面积． (2)已知三棱锥 A－BCD 中，AB＝CD＝1，BC＝BD＝AC＝AD ＝2.求三棱锥 A－BCD 的体积．
[解] (1)如图，侧棱 AA1 与底边 AB、AC 所成的角为 60°， 过 A1 作 A1O⊥底面 ABC，连结 AO， 过 A1 作 A1D⊥AB 于 D，连结 OD， ∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°， ∴AO 为∠BAC 的平分线， 又∵△ABC 为正三角形，∴AO⊥BC， 又∵A1O⊥BC，∴BC⊥平面 AA1O，∴BC⊥AA1， ∴BC⊥BB1，∴四边形 BCC1B1 为矩形， 得：S 三棱柱侧＝S▱ABB1A1＋S▱ACC1A1＋S 矩形 BCC1B1 ＝3×4×sin 60°＋3×4×sin 60°＋3×4＝12( 3＋1)．
[推荐学习]2018版高中数学第一章立体几何初步章末分层突破学案苏教版必修2
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第一章立体几何初步[自我校对]①球②斜二测画法③公理3④平行⑤相交⑥[0°，90°]⑦[0°，180°]__________________________________________________________ __________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________空间几何体的体积及表面积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．如图1－1，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．图1－1(1)证明MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．【精彩点拨】 (1)利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；(2)先求出点N 到平面BCM 的距离及△BCM 的面积，然后代入锥体的体积公式求解．【规范解答】(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.[再练一题]1．如图1－2，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .图1－2(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A －MBC 的体积． 【解】 (1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .(2)法一：由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C －ABM 的高h ＝CD ＝1， 因此三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V C －ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.(2)法二：由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12，又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12，∴三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V A －BCD －V M －BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112.直线、平面平行的判定和性质1.判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒α∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．如图1－3，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点，图1－3求证：(1)GE ∥平面BDD 1B 1； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .【精彩点拨】 (1)取B 1D 1的中点O ，证明四边形BEGO 是平行四边形． (2)证B 1D 1∥平面BDF ，HD 1∥平面BDF .【规范解答】 (1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OG 綊BE ，四边形BEGO 为平行四边形， ∴OB ∥GE .∵OB ⊂平面BDD 1B 1，GE ⊄平面BDD 1B 1， ∴GE ∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ， ∵B 1D 1⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF . 连结HB ，D 1F ，易证HBFD 1 是平行四边形， 得HD 1∥BF .∵HD 1⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ， ∴HD 1∥平面BDF . ∵B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H . [再练一题]2.如图1－4，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .图1－4求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.直线、平面垂直的判定和性质空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝A⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ⇒l ⊥γ)． (3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)； ②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．如图1－5所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．图1－5求证：(1)DE ＝DA ； (2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA .【精彩点拨】 取EC 中点F ，CA 中点N ，连结DF ，MN ，BN . (1)证△DFE ≌△ABD ，(2)证BN ⊥ECA ，(3)证DM ⊥平面ECA .【规范解答】 (1)如图所示，取EC 的中点F ，连结DF ，易知DF ∥BC ，∵EC ⊥BC ，∴DF ⊥EC .在Rt △DEF 和Rt △DBA 中，∵EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，∴Rt △DFE ≌Rt △ABD ，故DE ＝DA .(2)取CA 的中点N ，连结MN ，BN ，则MN 綊12EC ，∴MN ∥BD ，即N 点在平面BDM 内． ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN . 又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA . ∵BN 在平面MNBD 内， ∴平面MNBD ⊥平面ECA ， 即平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.[再练一题]3．如图1－6，四棱锥P－ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．(1)求证：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.【导学号：41292056】图1－6【解】(1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC的中点，所以OM∥PA.因为OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因为BD⊂平面PBD，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD.又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.平面图形的翻折问题空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查．(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．如图1－7，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ，D 是AP 的中点，E ，F 分别为PC ，PD 的中点，将△PCD 沿CD 折起得到四棱锥P －ABCD .图1－7(1)G 为线段BC 上任一点，求证：平面EFG ⊥平面PAD ； (2)当G 为BC 的中点时，求证：AP ∥平面EFG . 【精彩点拨】 (1)转化为证EF ⊥平面PAD ； (2)转化为证平面PAB ∥平面EFG . 【规范解答】 (1)在直角梯形ABCP 中． ∵BC ∥AP ，BC ＝12AP ，D 为AP 的中点，∴BC 綊AD ，又AB ⊥AP ，AB ＝BC . ∴四边形ABCD 为正方形． ∴CD ⊥AP ，CD ⊥AD ，CD ⊥PD .在四棱锥P －ABCD 中，∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点， ∴EF ∥CD ，EF ⊥AD ，EF ⊥PD .又PD ∩AD ＝D ，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD . ∴EF ⊥平面PAD .又EF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAD .(2)法一 ∵G ，F 分别为BC 和PC 的中点，∴GF ∥BP ， ∵GF ⊄平面PAB ，BP ⊂平面PAB ，∴GF ∥平面PAB . 由(1)知，EF ∥DC ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥AB ， ∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB . ∵EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG .∴平面EFG ∥平面PAB .∵PA ⊂平面PAB ，∴PA ∥平面EFG . 法二 取AD 中点H (略)，连结GH ，HE . 由(1)知四边形ABCD 为平行四边形． 又G ，H 分别为BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD . 由(1)知，EF ∥CD ，∴EF ∥GH . ∴四点E ，F ，G ，H 共面．∵E ，H 分别为PD ，AD 的中点，∴EH ∥PA . ∵PA ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH . ∴PA ∥平面EFGH ，即PA ∥平面EFG . [再练一题]4．如图1－8(1)所示，在直角梯形ABEF 中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF 沿CD 折起，使平面DCEF ⊥平面ABCD ，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图1－8(2)所示．(1) (2)图1－8(1)求证：BE ∥平面ADF ； (2)求三棱锥F －BCE 的体积．【解】 (1)证明：法一 取DF 的中点G ，连结AG ，EG ，∵CE ＝12DF ，∴EG 綊CD .又∵AB 綊CD ，∴EG 綊AB ，∴四边形ABEG 为平行四边形， ∴BE ∥AG .∵BE ⊄平面ADF ，AG ⊂平面ADF ， ∴BE ∥平面ADF .法二 由图(1)可知BC ∥AD ，CE ∥DF ，折叠之后平行关系不变． ∵BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ， ∴BC ∥平面ADF . 同理CE ∥平面ADF .∵BC ∩CE ＝C ，BC ，CE ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ∥平面ADF .∵BE ⊂平面BCE ，∴BE ∥平面ADF .(2)法一 ∵V F －BCE ＝V B －CEF ，由图(1)可知BC ⊥CD ，∵平面DCEF ⊥平面ABCD ，平面DCEF ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面DCEF . 由图(1)可知DC ＝CE ＝1，S △CEF ＝12CE ×DC ＝12，∴V F －BCE ＝V B －CEF ＝13×BC ×S △CEF ＝16.法二 由图(1)，可知CD ⊥BC ，CD ⊥CE ， ∵BC ∩CE ＝C ，∴CD ⊥平面BCE .∵DF ∥CE ，点F 到平面BCE 的距离等于点D 到平面BCE 的距离为1，由图(1)，可知BC ＝CE ＝1，S △BCE ＝12BC ×CE ＝12，∴V F －BCE ＝13×CD ×S △BCE ＝16.法三 过E 作EH ⊥FC ，垂足为H ，如图所示，由图(1)，可知BC ⊥CD ，∵平面DCEF ⊥平面ABCD ，平面DCEF ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面DCEF .∵EH ⊂平面DCEF ，∴BC ⊥EH ， ∴EH ⊥平面BCF .由BC ⊥FC ，FC ＝DC 2＋DF 2＝5， S △BCF ＝12BC ×CF ＝52，在△CEF 中，由等面积法可得EH ＝15，∴V F －BCE ＝V E －BCF ＝13×EH ×S △BCF＝16.1．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________.【导学号：41292057】【解析】 如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O －ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O －ABC 最大为13×12R 2×R ＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π. 【答案】 144π2．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是________． ①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行； ②若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线； ④若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面． 【解析】 ①α，β可能相交，故错误；②直线m ，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； ③若m ⊂α，α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥β，故错误；④假设m ，n 垂直于同一平面，则必有m ∥n ，所以原命题正确，故④正确． 【答案】 ④3．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1－9所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .图1－9【解】 (1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形．所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.4.如图1－10，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．图1－10【解】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E －ACD 的体积V 三棱锥E －ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E －ACD 的侧面积为3＋2 5.5.如图1－11，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．图1－11(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积．【解】 (1)因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .又因为VB ⊂/平面MOC ，所以VB ∥平面MOC . (2)因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB . 又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C －VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C－VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 的体积为33. 6．如图1－12，已知正三棱锥P －ABC 的侧面是直角三角形，PA ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．【解】 (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD .因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE . 因为PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG . 又由已知可得，PA ＝PB ，所以G 是AB 的中点．(2)在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影．理由如下：由已知可得PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥PA ，EF ⊥PC .又PA ∩PC ＝P ，因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG .由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC .由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2， 所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43.。
苏教版数学必修二课件：第一章 立体几何初步1.1.1
棱台
由三棱锥、 上底面：原棱锥的截面，
四棱锥、五 下底面：原棱锥的底面，
棱锥、…… 侧面：其余各面，
截得的棱台 侧棱：相邻侧面的公
分别叫做三 共边，
棱台、四棱 顶点：侧面与上(下)底
台、五棱台、 面的公共顶点
……
知识点四 多面体
思考 一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个 多边形的公共边，以及这些公共边的公共点分别叫什么名称？ 答案 多面体是由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多 边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共 点叫多面体的顶点.
解答
反思与感悟 棱锥、棱台结构特征问题的判断方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些 说法不正确. (2)直接法
棱锥
棱台
只有一个面是多边形，此面即
定底面
两个互相平行的面，即为底面
为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是_①__②_____.
几何体叫
A′B′C′D′E′F 顶点：侧面与底面
做棱柱
的公共顶点
底面为三角 形、四边形、 五边形…… 的棱柱分别 称为三棱柱、 四棱柱、五 棱柱……
知识点二 棱锥的结构特征 思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
答案 (1)有一个面是多边形； (2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
梳理 棱锥的结构特征
名称 定义
图形及表示
当棱柱的一
2018年高中数学 第1章 立体几何初步 1.3.1 空间几何体的表面积课件8 苏教版必修2
SE=
2 2 2
12
1.41(m)
E O
S 正 棱 锥 侧 1 2 c h ' 1 2 2 4 1 .4 1 5 .6m 2
课堂练习：
1.如图，E，F分别为正方形ABCD的边 BC,CD的中点,沿图中虚线折起来,它能 围成怎样的几何体?
A
D
F
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.
C1 A1
C A
B1
棱柱两底面的距离叫做棱柱 的高.
B
把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到 什么图形？侧面积怎么求？
h
cb
a
h
a
h
bc
S直棱 ＝ 柱 a 侧 （ bc)hch
练习:
1. 正四棱柱的高为h, 底面边长为a,则正四棱 柱侧面积是______;全面积是_______。
2. 用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒, 那么这个圆锥筒的高是多少?
小结：
1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的侧面积公式
S三棱锥＝12 ch'
S圆锥=πrl
C’=0
r1=0
S正棱＝ 台1 2（c＋c')h'
C’=C
S直棱＝ 柱ch'ch
S圆台=π(r1+r2)l
r1=r2
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1c'ch'
2
1 S锥侧 2 ch '
数学运用
例1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是1m，底面 的边长是2m，制造这种塔顶需要多少平方米的铁板？ （保留两位有效数字）
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第2节点、线、面之间的位置关系
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法二： ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
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D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面． B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C错误，四边形不一定是平面图形． D正确，两条相交直线可以确定一个平________．
α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A [由题图可知平面 α 与平面 β 相交 于直线 m，且直线 n 在平面 α 内，且与直线 m 相交于点 A，故用符 号可表示为：α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A.]
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2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)理解平面的概念及空间图形画法要求． (2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法． (3)证明点、线共面的方法． (4)证明点共线、线共点的方法． 3．本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件．
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当堂达标 固双基
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1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的 交线，并说明理由．
[解] 设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1 ∩平面BDC1＝MN，
如图．理由如下： ∵点M∈平面ACD1， 点N 平面ACD1， 所以MN 平面ACD1.
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同理，MN 平面BDC1， ∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1 的交线．
精品苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.1.2ppt课件
1．圆柱、圆台、圆锥的关系如图所示：
2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理 组合体问题常采用分割思想．
3．重视圆柱、圆台、圆锥的轴截面在解决与旋转体 相关量(如母线长等)中的特殊作用，体会空间几何问题平 面化的思想．
1 ． 如 图 1 － 1 － 16 所 示 的 物 体 ， 是 旋 转 体 的 有 __________(将所有正确图形的序号都填上)．
(4)以 AD 边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个 圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.14 分
1．根据几何体的结构特征判断几何体的类型，首先要熟 练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的主要特征， 其次要有一定的空间想象能力．
2．对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要先对原平面 图形作适当的分割，再根据柱、锥、台的结构特征进行判断．
给出以下四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的 连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母 线； ③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线 是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 上述命题中正确的是________．
【解析】 ①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱 的旋转轴平行；②符合圆锥母线的定义，正确；③不正确， 结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一 点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足 这一条；④正确，符合圆柱母线的性质．
蜂房上有许多巢，取一个巢来看，它是正六角形的柱体， 其上底是由三个全等的菱形组成(如图所示)，早在公元 300 年前后，亚历山大的巴普士就研究过蜂房的形状，他认为六 棱柱的巢的结构是最经济的结构，开普勒曾说过这种充满空 间的对称的蜂房的角应该和菱形十二面体(各个面都是菱形 的十二面体)的解一样.18 世纪法国天文学家马拉尔弟经过实 际 测 量 后 指 出 蜂 巢 顶 部 菱 形 的 两 角 分 别 是 109°28′ 和 70°32′.法国自然哲学家列俄木作出一个猜想，他认为用这样 的角度来建造蜂房，在相同的容积下最节省材料．
苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.2.3第2课时ppt课件
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
课 标 解 读
1.能正确判断直线与平面垂直的位置关 系．(重点) 2．了解点到面的距离和平行的直线与平 面间的距离．(重点) 3．理解直线与平面垂直的判定定理和性 质定理．(重点、难点) 4．了解直线与平面垂直的概念及直线与 平面所成角的概念．(重点)
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(2)通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判 定定理，并能运用判定和性质定理证明一些空间位置关系的 简单命题． (3)了解直线与平面所成的角的概念，能解决简单的线面 角问题
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3．情感、态度与价值观 经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求 实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度． ●重点难点 重点：直线与平面垂直的定义、线面垂直的判定及性质 定理． 难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定 及性质定理．
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苏教版必修二课件：第一章 立体几何初步 章末复习课_1
(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便 把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面 积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题. (4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我 们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来 研究所求几何体的性质.
a⊥α，_b_⊂_α__
a⊥b
a⊥α，b⊥α
_a_∥__b_
(2)面面垂直的判定与性质
文字语言
判定 定理
如果一个平面经过另一 个平面的一条 垂线 ，那 么这两个平面互相垂直
如果两个平面互相垂直，
性质 那么在一个平面内垂直 定理 于它们 交线 的直线垂直
于另一个平面
图形语言
符号语言 l⊂β l⊥α ⇒α⊥β
(3)二面角的有关概念 ①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的 两个半平面 所 组成的图形叫做二面角. ②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作 垂直于棱 的射线，这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角.
6.几何体的侧面积和体积的有关计算 柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式
证明
(2)BC1⊥AB1. 证明 连结B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1. 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝AA1＝CC1. ∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1. 又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1， ∴BC1⊥AB1.
证明
空间垂直关系的判定方法
反思与感悟
12345
证明
1.空间中平行关系的转化 2.空间中垂直关系的转化
规律与方法
3.空间角的求法 (1)找异面直线所成角的三种方法 ①利用图中已有的平行线平移. ②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. ③补形平移. (2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影， 通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.