2-第二章 点、直线、平面的投影

a'
b'
a'
d' c' b'
b'
c a b c
a'
c' a a c b
c a d
49
二、平面的投影
E
F M
d a b
c
d
c b
d(a)
e
m
f
c(b)
a
(a)
(b)
(c)
50
三、 各种位置平面的投影特性
1. 一般位置平面的投影特性 2. 投影面垂直面的投影特性 3. 投影面平行面的投影特性
51
1、一般位置平面的投影特性
43
2. 例题
[例题9] 求一点到水平线的距离 [例题10] 过一点作两线段的公垂线 [例题11] 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上， 且BCAB=23
44
[例题9] 求一点A到水平线BC的距离
AD
2
d'
d
y
45
f
[例题10] 过点E 作线 段AB、CD 的公垂线EF。
f
c
第二章
点、直线、平面的投影
§2.1 点的投影
§2.2 直线的投影
§2.3 线段的实长和倾角 §2.4 两直线的相对位置 §2.5 平面的投影 §2.6 平面上的点和直线
1
§2.1 点的投影
一、点的投影
二、点在三投影面体系中的投影
三、两点的相对位置
2
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处；
b' a' B b"
A C b c a c"
a"
52
2、投影面垂直面的投影特性
γ α YW β γ
β
α YW
YH
YH
H
53
3、投影面平行面的投影特性
54
§2.6 平面上的直线和点
一、平面上的直线
二、平面上的点 三、投影面垂直面上的点和直线
55
一、平面上的直线
1. 平面上的直线
2. 在平面上作正平线和水平线
§2.2 直线的投影
一、直线的投影
二、直线的投影特性
三、例题
16
一、直线的投影
B c a
b
a(c)(b)
a
c
b
(a)
(b)
(c)
17
二、直线的投影特性
1. 一般位置直线
2. 投影面的平行线
3. 投影面的垂直线 4. 例题
18
1、 一般位置直线的投影特性
b'

a'
B

b"
YW

A a b a"
1． 求线段的实长及对水平投影面的夹角角
2． 求线段的实长及对正面投影面的夹角角 3． 求线段的实长及对侧面投影面的夹角角
25
1． 求线段的实长及对水平投影面的夹角角
AB
|zA-zB|
|zA-zB|
ab

O

AB |zA-zB | AB

ab
|zA-zB|
26
2． 求线段的实长及对正立投影面的夹角 角
d'
d
35
三、两交叉直线
1. 交叉直线的投影
2. 交叉二直线重影点投影的可见性判断
3. 例题
36
1. 交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
37
2. 交叉二直线重影点投影的可见性判断
e'
g'(j') g'(j') f'
E
J G F e(f) g j
e(f)
判断两重影点其积聚性投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影， 坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
9
[例题1] 已知点A的正面与 侧面投影，求点A的水平投 影。
a
YH
10
[例题2] 已知A点的坐标为x=20mm，y=10mm，z=15mm，即 A(20、10、15)，求作A点的三面投影图。
a'
a"
15
20 ax
ayw 10 ayH
a
11
[例题3] 已知点A在H面上，点B在W面上，点C在V面上，试 求各点的投影。
19
2、投影面平行线的投影特性
a' A
b' B a b
b' a" b" a' A O a b B b" a"
a' A b' a B b b" Y a"
a'
b'
a"
b"
a'
a β
α
b' γ O
b" a"
a' b' O a b
a"
β
α b" YW
γ b
a
b
20
3、投影面垂直线的投影特性
b' B a' A b(a) a" b"
42
1. （直角投影原理）相互垂直的二直线的投影
d
d
（a）立体图
(b) 二相交直线垂直
(c) 二相交直线垂直
(d) 二相交直线垂直
定理一 垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该 投影面上的投影仍反映直角。 定理二 两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该 投影面，则空间两直线的夹角必是直角。
56
1. 平面上的直线
D B
C M
A
N
57
2. 在平面上作正平线和水平线
e'
d'
e d
58
二、 平面上的点
D B
F
59
三、投影面垂直面上的点和直线
QV PH
PH
PH
60
本章结束
61
(a')b' A B a b
a' a" b" A
b' a"(b ") B a b Y
b'
b" a"
(a')b'
a"
b"
a'
b'
a"(b ")
a'
a b(a) b
a
b
21
4、例题
[例题4（解法1）] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc
c' ca
22
[例题4（解法2）] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
Cc' b' Bb" a' c c" c' b'
c"
b"
O b
a" Aa
a' c b
a"
a
12
三、两点的相对位置
1. 两点的相对位置
2. 重影点的投影
13
1. 两点的相对位置
a a b
b B
A
b a
14
2. 重影点的投影
c'(d')
e"(f")
a(b)
c'(d')
e"(f")
a(b)
15
a"
c' c"
b"
解法二
23
a'
[例题5] 作正平线CD, 与 直线AB相交于点D。
ad
d'
db
d
a
24
§2.3 线段的实长和倾角
求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问 题之一，也是工程上经常遇到的问题，而用直角三角形法求解实长、倾角又最为 方便、简捷。
一、直角三角形法的作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直 角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角 三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹 角。 二、直角三角形的四个要素 直角三角形的四个要素即：实长、投影长、坐 标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 三、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度 来作直角边不能搞错。 四、作图
点A在V面上的投影点a'，称为点A的V面投影；
点A在W面上的投影点a"，称为点A的W面投影。
5
2. 点的三面投影规律
YW
(1) 点的V面投影 a'和H面投影a的连线垂直于OX轴(aa'⊥OX)。 (2) 点的V面投影a'和W面投影a"的连线垂直于OZ轴(a'a"⊥OZ)。
(3) 点的H面投影a到OX轴的距离等于点的W面投影a"到OZ轴的距离(aax=a"az)。
6
3. 三面投影的投影关系
高
c"
长 宽
长
宽
高
7
4. 点的坐标
x
y
z
z
X
y
x
1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa = yA 3. aax =aay = Aa= zA
8
5. 例题
[例题1] 求一点的三个投影