第四章 插补原理

v y 60f y
式中 δ—脉冲当量（mm/脉冲）。合成进给速度为
v v x 2 v y 2 60 f x2 f y2
若fx=0或fy=0时，也就是刀具沿平行于坐标轴的方向切削，这时对 应轴切削速度最大
第四章 插补原理
3.1 数字积分法的基本原理
第 三 节 数 字 积 分 法
第四章 插补原理
2.2 逐点比较法直线插补
第 二 节 逐 点 比 较 法
OE直线方程 在直线上方 在直线上 在直线下方
X eY XYe 0 X eY XYe 0 X eY XYe 0 X eY XYe 0
F X eY XYe
因此，偏差函数
对于第一象限直线，其偏差符号与进给方向的关系为：
Y 3 2 1 O 1 2 3 4 X
图3-5 直线插补轨迹过程实例
E(4,3)
表1 直线插补运算过程
序号 起点 偏差判别 坐标进给 偏差计算 终点判别
F0 0
∑=7 ∑=6 ∑=5 ∑=4 ∑=3 ∑=2 ∑=1 ∑=0
1 2 3 4 5 6 7
F0=0 F1<0 F2>0 F3<0 F3>0 F5<0 F6>0
第四章 插补原理
2.1 逐点比较法原理
第 二 节 逐 点 比 较 法
所谓逐点比较法，就是每走一步都要和给定轨迹比较一次， 根据比较结果来决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的 方向移动并趋向终点，刀具所走的轨迹应该和给定轨迹非常相 “像”。直线和圆弧是构成轮廓的基本几何元素，逐点比较法 可以插补直线和圆弧，以折线逼近理论轨迹。
第四章 插补原理
插补原理
逐点比较法
数字积分法
第四章 插补原理
1.1 插补的概念
第 一 节 插 补 原 理
插补
硬件插补
软件插补 在CNC系统中， 插补器功能由软件 （程序）实现，称 为软件插补。软件 插补通过CNC装 置的CPU执行相 应的插补程序来实 现。
数控系统根据信息 实时地计算出各个 中间点的坐标，通 常把这个过程称为 “插补”。插补实 质上是根据有限的 信息完成“数据点 的密化”工作。
如图4-14所示，从t=0时
刻到t时刻，函数y=f（t） 曲线所包围的面积可表示
Y
Y=f(t)
YO
为 s
将时间划分为△t的小时 间间隔，当△t满足足够

t
0
f (t )dt
，如果
O
△t t
T
图4-14 y=f(t) 如果将△t 视为一个单位“1”，
小的条件的时候，可得累
加公式 :
s f (t )dt Yi t
F0=0 F1<0 F2<0 F3<0 F4>0 F5<0 F6>0 F7>0
-Y +X +X +X -Y +X -Y -Y
F1 F0 2Y0 1 7
F2 F1 2 X 1 1 6
F3 F2 2 X 2 1 3
F4 F3 2 X 3 1 2
+X +Y +X +Y +F2 F1 X e 1 F3 F2 Ye 2 F4 F3 X e 2 F5 F4 Ye 1 F6 F5 X e 3 F7 F6 Ye 0
y 例 直线插补。设OA为第一象限的直线，其终点 坐标(4，5)，用逐点比较法实现该直线的插补。 插补从直线起点开始，因为起点在直线上，所以起 点偏差F0＝0。表列出了直线插补运算过程，图给出 了插补轨迹。
y L2 F0 F<0 F<0 F0 L3
四象限直线偏差符号和进给方向
L1 F0 F<0 x F<0 F0 L4
由图可见，靠近Y轴区域偏差大等于零，靠近X轴区域偏差小于零。F≥0时，进 给都是沿X轴，不管是＋X向还是－X向，X的绝对值增大；F<0时，进给都是沿Y轴， 不论＋Y向还是－Y向，Y的绝对值增大。
Fi 1 X eYi 1 X i 1Ye X eYi ( X i 1)Ye X eYi X iYe Ye Fi Ye
若Fi<0，表明Pi(Xi，Yi)点在OE的下方，应向＋Y方向进给一步，新点 坐标值为（Xi+1，Yi+1），且Xi+1=Xi, Yi+1=Yi ＋1，新点的偏差为:
图4-1 圆弧插补轨迹
图4-2 直线插补轨迹
第四章 插补原理
2.1 逐点比较法原理
第 二 节 逐 点 比 较 法
一般来说，逐点比较法插补过程可按以 下四个步骤进行： ① 偏差判别。根据刀具当前位置，确 定进给方向； ② 坐标进给。使加工点向给定轨迹趋
近，即向减少误差方向移动；
③ 偏差计算。计算新加工点与给定轨 迹之间的偏差，作为下一步判别依据； ④ 终点判别。判断是否到达终点，若 到达，结束插补；否则，继续以上四个 步骤（如图4-3所示）。 图4-3 逐点比较法 工作循环图
F5 F4 2Y4 1 3 F6 F5 2 X 5 1 4
F7 F6 2Y6 1 1
F8 F7 2Y7 1 0
5. 四个象限中圆弧插补 第一象限逆圆弧CD：即Fi≥0时，走—X轴， 动点的偏差函数为
Fi 1＝Fi 2 X i 1
第四章 插补原理
2.3 逐点比较法圆弧插补
第 二 节 逐 点 比 较 法
第一象限圆弧插补 流程图
例3 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如图所示，起点A（0，4），终点B（4，0）， 试用逐点比较法进行插补。
Y 4 3 2 1 B(4,0) O 1 2 3 4 X A(0,4)
表3 圆弧插补过程
步数 起点 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别
F0 0
X0=0,Y 0=4 X1=0,Y 1=3 X2=1,Y 2=3 X3=2,Y 3=3 X4=3,Y 4=3 X5=3,Y 5=2 X6=4,Y 6=2 X7=4,Y 7=1 X8=4,Y 8=0
∑=8 ∑=7 ∑=6 ∑=5 ∑=4 ∑=3 ∑=2 ∑=1 ∑=0
1 2 3 4 5 6 7 8
Y E(Xe,Ye) ) O E′(-Xe,-Ye)
第三象限直线插补
X
四个象限直线的偏差符号和 插补进给方向如图所示，用L1、 L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ象限的直线。为适用于四个 象限直线插补，插补运算时用 ∣X∣，∣Y∣代替X，Y，偏差符 号确定可将其转化到第一象限，动 点与直线的位置关系按第一象限判 别方式进行判别。
A
x o
第四章 插补原理
2.3 逐点比较法圆弧插补
第 二 节 逐 点 比 较 法
当动点P(X,Y)位于圆弧上时 当动点P(X,Y)位于圆弧外侧时 当动点P(X,Y)位于圆弧内侧时
X 2 Y 2 R2 0 X 2 Y 2 R2 0
X 2 Y 2 R2 0
F X 2 Y 2 R2
用F表示点P的偏差值，定义圆弧偏差函数判别式为
第四章 插补原理
2.3 逐点比较法圆弧插补
第 二 节 逐 点 比 较 法
对第一象限顺圆， Fi≥0，动点Pi(Xi，Yi)应向－Y向进给，新的动点坐标为（Xi+1，Yi+1）， 且Xi＋1＝Xi，Yi＋1＝Yi－1，则新点的偏差值为：
Fi 1 X i 1 Yi 1 R 2
Fi<0时，走+Y轴沿正向进给，新动点的偏差函数为
Fi 1＝Fi＋2Yi＋1
例 圆弧插补,设AB为第一象限逆时针方向圆弧，起点为A(0,6)，终点为 B(6,0)，用逐点比较法实现该圆弧的插补。终点判别值为12。显然加工起点A 在圆弧上，起点偏差F0＝0，表列出了圆弧插补运算过程，图给出了插补轨迹。
Fi 1 Fi Ye
Fi 1 X eYi 1 X i 1Ye X e (Yi 1) X i Ye X eYi X i Ye X e Fi X e
Fi 1 Fi X e
3. 四象限的直线插补 假设有第三象限直线OE′，起点 坐标在原点O，终点坐标为E′（－Xe， －Ye），在第一象限有一条和它对称 于原点的直线，其终点坐标为E（Xe， Ye），按第一象限直线进行插补时， 从O点开始把沿X轴正向进给改为X轴 负向进给，沿Y轴正向改为Y轴负向进 给，这时实际插补出的就是第三象限 直线，其偏差计算公式与第一象限直 线的偏差计算公式相同，仅仅是进给 方向不同，输出驱动，应使X和Y轴电 机反向旋转。
F 0 时，表示动点在OE上，如点P，可向+X向进给，也可向+Y向进给；
F 0 时，表示动点在OE上方，如点P1，应向+X向进给；
F 0 时，表示动点在OE下方，如点P2，应向+Y向进给；
第四章 插补原理
第 二 节 逐 点 比 较 法
2.2 逐点比较法直线插补
若Fi≥0，表明Pi(Xi，Yi)点在OE直线上方或在直线上，应沿＋X向走一 步，假设坐标值的单位为脉冲当量，走步后新的坐标值为（Xi+1， Yi+1），且Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi , 新点偏差为:
t 0 i 0 n 1
则可演化为
s Yi
i 0
n 1
第四章 插补原理
3.2 DDA直线插补
第 三 节 数 字 积 分 法
如图4-15，设第一象限内直 线OE，直线的起点为坐标原点， 终点为E（Xe, Ye），并假设坐 标值均为点位脉冲的整数倍，刀 具在两坐标轴上的速度分别为vx， vy，则刀具在X轴和Y轴方向上的 位移增量为 :