2017年春季新版湘教版八年级数学下学期1.4、角平分线的性质同步练习4

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(新课标)最新湘教版八年级数学下册《角平分线的性质》课时训练及答案解析

湘教版2017—2018学年八年级数学下学期1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质要点感知角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等.预习练习已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，则点D到AC的距离是( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm知识点角平分线的性质1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离等于( )A.5B.4C.3D.22.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )A.1B.2C.3D.43.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有( ) A.3对 B.2对 C.1对 D.没有4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB∶AC=3∶2，则△ABD与△ACD的面积之比为__________.5.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D 出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是__________.6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC=__________.7.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD,CE交于点O且AO平分∠BAC.求证：OB=OC.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B=∠C.9.如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，BD 是∠ABC 的平分线，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1、S 2，则S 1∶S 2等于( )A.2∶1B.2∶1C.3∶2D.2∶310.如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥OB ，如果PC=6，那么PD 等于( )A.4B.3C.2D.111.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F.S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 的长是( )A.3B.4C.5D.612.如图所示，若AB ∥CD ，AP 、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD ，PE ⊥AC 于E ，且PE=3 cm ，则AB 与CD 之间的距离为( )A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.无法确定13.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=8 cm，且CD∶AD=1∶3，则点D到AB的距离为__________cm.14.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点.如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__________.15.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：BD+DE=AC.16.已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.17.如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB,AC于E,F两点.求证：AD⊥EF.18.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF ⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.参考答案要点感知角的两边预习练习 B1.C2.B3.A4.3∶25.DE=DF=DG6.87.证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，∴OE=OD.在Rt△OBE和Rt△OCD中，∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°，∴△OBE≌△OCD(ASA).∴OB=OC.8.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.∵D是BC的中点，∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，DB=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴∠B=∠C.9.A 10.B 11.A 12.B 13.2 14.515.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE.∴BC=BD+CD=BD+DE.∵AC=BC，∴AC=BD+DE.16.证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，∴DE=DC.又∵BD=DF，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB.17.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°.∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA.∴AD⊥EF.18.相等.证明：连接EB，EC.∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG.∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB=EC.∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL).∴BF=CG.第2课时角平分线的判定要点感知角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在__________上.预习练习如图，P是∠MON内一点，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，若PE=PF，则OP平分∠MON，其依据是____________________.知识点角平分线的判定1.如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，∠BAD=25°，则∠CAD=( )A.20°B.25°C.30°D.50°2.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )A.线段CD的中点B.OA与OB的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点D.CD与∠AOB的平分线的交点3.如图，已知点P在射线BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C，且PA=PC，下列结论错误的是( )A.AD=CPB.点D在∠ABC的平分线上C.△ABD≌△CBDD.∠ADB=∠CDB4.如图，是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足__________，才能保证OP为∠AOB的角平分线.5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，则∠EBC的度数为__________.6.如图：在△ABC中，∠C=90°，DF⊥AB，垂足为F，DE=BD，CE=FB.求证：点D在∠CAB的角平分线上.7.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.8.下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，在△ABC 中，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BPR ≌△QSP 中( )A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确10.如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有( )A.1处B.2处C.3处D.4处11.点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A=50°，则∠BOC=__________.12.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF.求证：AD 是△ABC 的角平分线.13.如图，某校八年级学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你找出点P.14.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(1)若连接AM，则AM是否平分∠DAB？请你证明你的结论；(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.参考答案要点感知角的平分线预习练习角平分线定理的逆定理1.B2.D3.A4.PC=PD5.27°6.证明：∵DF⊥AB，∠C=90°，∴∠DFB=∠C=90°.在Rt△CED和Rt△FBD中，DE=DB,CE=FB,∴△CED≌△FBD(HL).∴DC=DF.∵DF⊥AB，DC⊥AC，∴点D在∠CAB的角平分线上.7.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°.在△BDF与△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE，BD=CD，∴△BDF≌△CDE(AAS).∴DF=DE.∴AD是∠BAC的平分线.8.B 9.B 10.D 11.115°12.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△DCF是直角三角形.∵BD=CD，BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线.13.作法：(1)作出∠BAC的平分线AD；(2)连接MN，作MN的垂直平分线EF交AD于点P.∴点P就是所求的点.图略.14.(1)AM平分∠DAB.证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E. ∵DM平分∠ADC，∴∠1=∠2.∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC. 又∵MC=MB，∴ME=MB.∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB.(2)AM⊥DM.理由：∵∠B=∠C=90°，∴DC⊥CB，AB⊥CB.∴CD∥AB.∴∠CDA+∠DAB=180°.又∵∠1=12∠CDA，∠3=12∠DAB，∴2∠1+2∠3=180°.∴∠1+∠3=90°.∴∠AMD=90°，即AM⊥DM.。

湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计

湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》是初中数学的重要内容，主要介绍了角平分线的性质。

本节课的内容是学生学习几何知识的基础，也是学生进一步学习圆的知识的前提。

通过本节课的学习，学生可以掌握角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线的概念等基础知识，对几何图形有一定的认识。

但是，学生对角平分线的性质还没有接触过，对于如何运用角平分线的性质解决实际问题还需要引导。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.角平分线的性质的推导过程。

2.如何运用角平分线的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、学生自主探究法、合作交流法等教学方法。

通过引导学生提出问题、自主探究、合作交流的方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的几何思维能力。

六. 教学准备教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具。

学生准备课本、笔记本等学习工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引导学生思考：“如何找到一个角的平分线？”学生可以自由发言，教师引导学生提出问题，引出本节课的主题——角平分线的性质。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角平分线的性质，让学生初步了解角平分线的性质。

然后，教师引导学生自主探究，让学生通过观察、思考、推理等过程，推导出角平分线的性质。

3.操练（10分钟）教师通过PPT展示一些练习题，让学生运用角平分线的性质解决问题。

学生在纸上完成练习题，教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。

4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些巩固题，让学生再次运用角平分线的性质解决问题。

湘教版数学八年级下册(课时训练)1.4角的平分线的性质(2)

A
P B
F
E
C
初中数学试卷
1.4 角平分线的性质（2）
1. 到三角形三边距离相等的点是（）
A. 三条高的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 不能确定
2. 如图（1）所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）
A.4cm
B.6cm
C.10cm
D. 以上都不对
3. 如图（2）所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
4.已知：如图（3），点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。

求证：PE=PF
5.如图（4），△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。

A
M
P
N
C B E
F
D
求证：（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等。

（2）点P在∠A的平分线上。

6.如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？。

八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质作业设计(新版)湘教版

1.4 角平分线的性质1．如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，∠BAD＝25°，则∠CAD＝(B)A．20° B．25° C．30° D．50°2．如图，在CD上找一点P，使它到OA，OB的距离相等，则点P是(D)A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点3．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，则点D到AC的距离是(B)A．2 cm B．3 cmC．4 cm D．6 cm4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为(B) A．1 B．2C．3 D．45．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是4．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB＝4，且点D到BC的距离为3，则BD＝5．7．如图是一个风筝骨架．为使风筝平衡，须使∠AOP ＝∠BOP .已知PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，那么PC 和PD 应满足PC ＝PD ，才能保证OP 为∠AOB 的平分线．8．如图，已知CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD ，CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .证明：∵AO 平分∠BAC ，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，∴OE ＝OD .在Rt△OBE 和Rt△OCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOB＝∠DOC，OE ＝OD ，∠BEO＝∠CDO＝90°，∴△OBE ≌△OCD (ASA)．∴OB ＝OC .9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝BD ，CE ＝FB .求证：点D 在∠CAB 的平分线上．证明：∵DF ⊥AB ，∠C ＝90°，∴∠DFB ＝∠C ＝90°.在Rt△CED 和Rt△FBD 中，DE ＝DB ，CE ＝FB ，∴Rt△CED ≌Rt△FBD (HL)．∴DC ＝DF .又∵DF ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴点D 在∠CAB 的平分线上．。

湘教版数学八年级下册(课时训练)1.4角的平分线的性质(2).docx

A P
B F E C
初中数学试卷马鸣风萧萧
1.4 角平分线的性质（2）
1. 到三角形三边距离相等的点是（）
A. 三条高的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 不能确定
2. 如图（1）所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（）
A.4cm
B.6cm
C.10cm
D. 以上都不对
3. 如图（2）所示，三条公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
4.已知：如图（3），点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。

求证：PE=PF
5.如图（4）， △ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P 。

求证：（1）点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。

（2）点P 在∠A 的平分线上。

A M
P N C
B E F D
6.如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；
（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？。

八年级数学下册第1章直角三角形 1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质练习湘教版

课时作业(七)第1课时角平分线的性质]一、选择题1．xx·台州如图K－7－1，P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.假设PD＝2，那么点P到边OA的距离是( )图K－7－1A．2 B．3 C. 3 D．42．如图K－7－2，假设DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，那么对于∠1和∠2的大小关系，以下说法正确的选项是( )图K－7－2A．一定相等B．一定不相等C．当BD＝CD时相等D．当DE＝DF时相等3．如图K－7－3，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，那么P是( )图K－7－3A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点4．如图K－7－4，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.那么以下结论中不一定成立的是( )图K －7－4A ．PA ＝PB B ．PO 平分∠APBC ．OA ＝OBD ．AB 垂直平分OP5．xx·枣庄如图K －7－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ，假设CD ＝4，AB ＝15，那么△ABD 的面积为( )图K －7－5A ．15B ．30C ．45D ．606．如图K －7－6，△ABC 的角平分线BO ，CO 交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，OH ⊥BC 于点H.假设∠BAC ＝60°，OH ＝3 cm ，那么OA 的长为( )图K －7－6A ．6 cmB ．5 cmC ．4 cmD ．3 cm7.如图K －7－7，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BA 和CD 的延长线相交于点E.假设点P 在△EBC 内部，且使得S △PAB ＝S △PCD ，那么满足此条件的点P( )A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．组成△EBC 的∠BEC 的平分线(点E 除外)D ．组成△EBC 的∠BEC 的平分线所在的直线(点E 除外)8．△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为6 cm ，4 cm ，4 cm ，P 为三条角平分线的交点，那么△ABP ，△BCP ，△ACP 的面积比为( )A ．1∶1∶1B ．2∶2∶3C ．2∶3∶2D ．3∶2∶2 二、填空题9．如图K －7－8，∠AOB ＝70°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D.假设QC ＝QD ，那么∠AOQ ＝________°.链接听课例3归纳总结图K－7－810．如图K－7－9，O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等．假设∠A＝50°，那么∠BOC＝________°.图K－7－911．如图K－7－10，BD是∠ABC的平分线，P，Q分别是BD，BC上的点，PE⊥BA 于点E，PE＝4 cm，那么PQ的最小值为______cm.12．如图K－7－11，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，那么∠EAB＝________°.图K－7－11三、解答题13．如图K－7－12，铁路OA和铁路OB相交于O处，河道AB与两条铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M在A，B之间，且到铁路OA，OB的距离相等，那么该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置．图K－7－1214．如图K－7－13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE 垂直平分线段AB.(1)试找出图中相等的线段，并说明理由；(2)假设DE＝1 cm，BD＝2 cm，求AC的长.图K－7－1315．如图K－7－14，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O.(1)假设OC＝OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)假设点O在∠BAC的平分线上，求证：OC＝OB.图K－7－14归纳猜想∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角尺的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E.(1)如图K－7－15①，当CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E时，求证：CD＝CE.(2)当三角尺绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②的情况下，(1)中的结论是否还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请写出你的猜想，不需证明．图K－7－15详解详析课堂达标1．[解析] A 如图，过点P 作PE ⊥OA 于点E.∵P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，∴PE ＝PD ＝2.2．[解析] D 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，即DE ，DF 是点D 到∠BAC 两边的距离，如果DE ＝DF ，根据角平分线的性质定理的逆定理，可知点D 在∠BAC 的平分线上，所以∠1＝∠2.3．D4．[解析] D 根据角平分线的性质知选项A 正确，可证明△OPA ≌△OPB ，从而知选项B ，C 正确．5．[解析] B 由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵∠C ＝90°，∴DE ＝CD ，∴△ABD 的面积＝12AB·DE＝12×15×4＝30.6．[解析] A 过点O 作OE ⊥AB 于点E.∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥BC ， ∴OE ＝OH ＝3 cm.过点O 作OF ⊥AC 于点F.又∵CO 平分∠ACB ，OH ⊥BC ， ∴OF ＝OH. 又∵OE ＝OH ， ∴OE ＝OF.又∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ， ∴AO 平分∠BAC. ∵∠BAC ＝60°， ∴∠BAO ＝30°， ∴AO ＝2OE ＝6 cm. 应选A.7．[解析] C 因为AB ＝CD ，假设S △PAB ＝S △PCD ，那么AB ，CD 边上的高必须相等，因此考虑点P 所在的位置到AB ，CD 的距离相等．又因为点P 在△EBC 内部，所以点P 在△EBC 的∠BEC 的平分线上(点E 除外)．应选C.8．[解析] D ∵P 为△ABC 的三条角平分线的交点， ∴点P 到三边AB ，BC 和CA 的距离相等． ∵AB ∶BC ∶CA ＝3∶2∶2，∴S △ABP ∶S △BCP ∶S △ACP ＝AB ∶BC ∶CA ＝3∶2∶2. 9．3510．[答案] 115[解析] ∵∠A ＝50°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－50°＝130°. ∵点O 到△ABC 三边的距离相等， ∴O 是△ABC 角平分线的交点，∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB)＝12×130°＝65°.在△OBC 中，∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－65°＝115°.故答案为115. 11．412．[答案] 35 [解析] 如图，过点E 作EF ⊥AD 于点F. ∵DE 平分∠ADC ， ∠C ＝90°， ∴EF ＝EC.∵E 是BC 的中点， ∴EC ＝EB ， ∴EB ＝EF.又∵∠B ＝90°，EF ⊥AD ， ∴AE 平分∠DAB.∵∠CED ＝35°，∠C ＝90°， ∴∠CDE ＝90°－35°＝55°. ∵DE 平分∠ADC ， ∴∠CDA ＝110°. ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴DC ∥AB ，∴∠CDA ＋∠DAB ＝180°， ∴∠DAB ＝70°， ∴∠EAB ＝12∠DAB ＝35°.13.解：作∠AOB 的平分线交AB 于点M ，那么点M 为水厂的位置，图略． 14．解：(1)图中相等的线段有AD ＝BD ，CD ＝DE ，AE ＝BE ＝BC. 理由：∵DE 垂直平分线段AB ， ∴DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD.∵∠C ＝90°，∴DC ⊥BC.又∵DE ⊥AB ，BD 平分∠ABC ， ∴CD ＝DE.由勾股定理，得BE 2＝BD 2－DE 2，BC 2＝BD 2－CD 2，∴BE ＝BC.∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝BC.(2)由(1)知CD＝DE＝1 cm，AD＝BD＝2 cm，∴AC＝AD＋CD＝3 cm.15．证明：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ODB＝∠OEC＝90°.又∵∠EOC＝∠DOB，OC＝OB，∴△COE≌△BOD(AAS)，∴OE＝OD.又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上．(2)∵CD⊥AB，BE⊥AC, 点O在∠BAC的平分线上，∴OE＝OD，∠OEC＝∠ODB＝90°.又∵∠EOC＝∠DOB，∴△COE≌△BOD(ASA)，∴OC＝OB.素养提升解：(1)证明：∵OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，∴CD＝CE.(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如图，过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H.∵OM为∠AOB的平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK＝CH，∠CKD＝∠CHE＝90°.又∵∠1与∠2都为旋转角，∴∠1＝∠2.在△CKD与△CHE中，∵∠CKD＝∠CHE，CK＝CH，∠1＝∠2，∴△CKD≌△CHE，∴CD＝CE.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

湘教版数学八年级下册《1.4角平分线的性质》说课稿

湘教版数学八年级下册《1.4 角平分线的性质》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级下册《1.4 角平分线的性质》这一节主要介绍了角平分线的性质。

学生在学习了角平分线的定义和判定之后，通过对角平分线的性质的学习，能够更好地理解和运用角平分线。

教材通过丰富的图形和实例，引导学生探索和发现角平分线的性质，培养学生的观察能力、推理能力和证明能力。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了角平分线的定义和判定，对角平分线有了初步的认识。

但学生对角平分线的性质的理解可能还存在一定的困难，需要通过实例和证明来加深理解。

学生的观察能力和推理能力有所提高，但证明能力的培养还需加强。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决问题。

2.过程与方法：通过观察、推理和证明，培养学生的观察能力、推理能力和证明能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：角平分线的性质。

2.教学难点：对角平分线性质的理解和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用引导探究法、讲解法和讨论法。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过复习角平分线的定义和判定，引导学生进入对角平分线性质的学习。

2.探究：引导学生观察和推理角平分线的性质，学生分组讨论，总结出性质。

3.讲解：教师对角平分线的性质进行详细讲解，并通过实例进行说明。

4.练习：学生进行角平分线性质的练习，教师进行指导和解答。

5.总结：教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固知识。

七. 说板书设计板书设计如下：角平分线的性质1.定义：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

2.性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和考试成绩来进行。

重点关注学生对角平分线性质的理解和运用情况。

2017年春季学期新版湘教版八年级数学下学期1.4、角平分线的性质、角的平分线性质及应用素材

角的平分线性质及应用我们知道，把一个角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线．关于角的平分线，它有两个重要性质（1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．利用角的平分线的性质定理可以证明题目中某两条线段相等；利用性质定理的逆定理可以证明某两个角相等，下面举例说明角的平分线的应用．例1．三角形内到三边的距离相等的点是（）的交点．（A）三条中线（B）三条高（C）三条角平分线（D）以上均不对．解：由角平分线性质定理的逆定理可知：应选（C）．例2．如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，试问：P到AB、BC、CA的距离相等吗？解：相等．理由如下：过P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F，∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE，同理PE=PF，∴PD=PE=PF，即点P到边AB、BC、CA的距离相等．例3．如图2，△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，BD=4，BC=7，则D到AB的距离是．分析：∵∠C=900，∴DC⊥CA，过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵AD平分∠BAC，∴DE=DC=BC－BD=7－4=3，即点D到AB的距离是3．例4．如图3，△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于O，下面结论中正确的是（）．BDC图2D图１（A ）∠1＞∠2（B ）∠1=∠2（C ）∠1＜∠2（D ）不能确定．分析：由例2知点O 到△ABC 的三边距离相等，因此点在∠BAC 的平分线上，即AO 平分∠BAC，故选（B ）．例5．如图4，在△ABC 中，∠A=900，BD 是角平分线，若AD=m ，BC=n ，求△BDC 的面积．分析：过点D 作DE⊥BC，垂足为E ，∵BD 是角平分线， AD⊥AB，DE⊥BC，∴DE=AD=m， ∴mn DE BC S ABC2121=⨯⨯=∆．例6．如图4，在△ABC 中，∠A=900，AC=AB ，BD 平分∠BAC，DE⊥BC，BC=8，求△BED 的周长．分析：△BED 的周长为DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=AB+EC=BE+EC=BC=8．例7．如图5，△ABC 中，∠A=900，点D 在BC 上，DE⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，求∠B 的度数．解：∵DC⊥AC，DE⊥AB，且DE=DC ，∠1=∠2，在△AED 和△BED 中，AE=BE ，∠AED=∠BED，ED=ED ，∴△AED 和△BED，∠1=∠B， ∴∠B=∠1=∠2，又∵在Rt△ABC 中，∠B+∠BAC=900，∴∠B=300．例8．如图6，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭，供人们小憩，而且要使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置（不写作法，保留作图痕迹）．BC图３ ABCD E图４1 A BCDE2图５分析：到三马路的距离相等的点在每两条马路所成角的平分线上，可作任意两个角的平分线，其交点即为所求小亭的中心位置．解：（略）．图6。

湘教版八年级数学下册《1.4角平分线的性质》同步测试题带答案

湘教版八年级数学下册《1.4角平分线的性质》同步测试题带答案知识点1角平分线的性质定理1.(2024·娄底期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,DC=12AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于( )A.1B.43C.2D.832.如图,OP平分∠MON,P A⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若P A=2,则PQ的最小值为( )A.1B.2C.3D.43.(2024·广东中考)如图,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:△OPD≌△OPE.知识点2角平分线的判定定理4.如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA三个角的平分线的交点.在上述结论中,正确结论的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2024·湘潭期末)如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC的度数为( )A.100°B.120°C.125°D.130°6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=AE,DE⊥AB,若∠BDE=46°,则∠DAE=.7.(2024·张家界质检)如图,已知点D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE=BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.【B层能力进阶】8.如图,∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P.则下列结论正确的是( )A.P A平分∠CPBB.AP平分BCC.AP⊥BCD.AP平分∠CAB9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 长是( )A.6B.5C.4D.310.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”小明的做法,其理论依据为.11.(2024·牡丹江中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD=.12.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠DCA的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=2,求AB与CD之间的距离.【C层创新挑战】(选做)13.已知:∠DAB=120°,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180°.(1)如图1,当∠B=∠D时,求证:AB+AD=AC;(2)如图2,当∠B≠∠D时,猜想(1)中的结论是否发生改变并说明理由.参考答案【A层基础必会】知识点1角平分线的性质定理1.(2024·娄底期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,DC=12AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于(B)A.1B.43C.2D.832.如图,OP平分∠MON,P A⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若P A=2,则PQ的最小值为(B)A.1B.2C.3D.43.(2024·广东中考)如图,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:△OPD≌△OPE.【证明】∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE,在Rt△OPD和Rt△OPE中,{OP=OPPD=PE,∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).知识点2角平分线的判定定理4.如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA三个角的平分线的交点.在上述结论中,正确结论的个数有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2024·湘潭期末)如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC的度数为(C)A.100°B.120°C.125°D.130°6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=AE,DE⊥AB,若∠BDE=46°,则∠DAE= 23°.7.(2024·张家界质检)如图,已知点D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE=BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.【解析】略【B层能力进阶】8.如图,∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P.则下列结论正确的是(D)A.P A平分∠CPBB.AP平分BCC.AP⊥BCD.AP平分∠CAB9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 长是(D)A.6B.5C.4D.310.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”小明的做法,其理论依据为在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上.11.(2024·牡丹江中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD= 3.12.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠DCA的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=2,求AB与CD之间的距离.【解析】过点O作OF⊥AB于点F,作OG⊥CD于点G,∵O为∠BAC,∠DCA的平分线的交点,OE⊥AC,∴OE=OF,OE=OG,∴OE=OF=OG=2,∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴∠EOF+∠EOG=(180°-∠BAC)+(180°-∠ACD)=180°,∴F,O,G三点共线,∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4.【C层创新挑战】(选做)13.已知:∠DAB=120°,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180°.(1)如图1,当∠B=∠D时,求证:AB+AD=AC;(2)如图2,当∠B≠∠D时,猜想(1)中的结论是否发生改变并说明理由.【解析】略。

近年八年级数学下册 1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质和判定试题湘教版(2021年

2017八年级数学下册1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质和判定试题（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017八年级数学下册1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质和判定试题（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质和判定基础题知识点1角平分线的性质1．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，则点D到AC的距离是(B）A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm2．（怀化中考)如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB，垂足分别是C，D,则下列结论错误的是（B)A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为(B)A．1 B．2 C．3 D．44．(常德中考)如图，OP为∠AOB的平分线,PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为3．5．（广西中考）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2,则△BCD的面积是4．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB＝4，且点D到BC 的距离为3,则BD＝5．7．如图,已知CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D，BD,CE交于点O，且AO平分∠BAC.求证:OB＝OC.证明:∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D,∴OE＝OD.在Rt△OBE和Rt△OCD中，错误!∴△OBE≌△OCD（ASA)．∴OB＝OC.知识点2 角平分线的判定8．如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥A C，且DE＝DF，∠BAD＝25°,则∠CAD＝(B）A．20°B．25°C．30°D．50°9．如图，在CD上找一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（D）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点10．如图是一个风筝骨架．为使风筝平衡，须使∠AOP＝∠BOP。

八年级数学下册 1.4.2《角平分线的性质(二)》课时作业 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中八年级

21D A PO EB l 2l 1l 3E DC B A 《角平分线的性质（二）》一、选择题1、三角形中到三边距离相等的点是（）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2、如图（1），∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（） A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD3、如图（2），直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 4、如图（3）在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm（1）（2）（3）二、填空题1、如图（4），∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.2、如图（5），在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .3、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。

4、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．（4）（5）5、在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为.三、解答题1、如图（6），已知：AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF2、如图（7），已知O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，O E⊥AC于E，若OE=2求O到AB 与O到CD的距离之和．3、如图（8），BN是∠ABC的平分线，P在BN上，D、E分别在AB、BC上，∠BDP+∠BEP=180°且∠BDP、∠BEP都不是直角，求证：PD=PE（6）（7）（8）参考答案：一、1、D；2、D；3、A；4、B；二、1、30°；2、8cm；3、三边的距离；4、120°；5、14；三、1、连接AD，可证得：△ABD ≌△ACD，得：AD是∠EAF的平分线。

八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质习题课件 (新版)湘教版

(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
(打“√”或“×”) (1)角的平分线就是角的对称轴. ( × ) (2)到角的两边距离相等的点有无数个. ( √ ) (3)到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. ( × ) (4)三角形三条角平分线的交点可能在三角形的外部. ( × ) (5)三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.
的距离为
cm.
【解析】∵BC=10cm,BD∶DC=3∶2,∴DC=4cm,
∵AD是△ABC的角平分线,∠ACB=90°,
∴点D到AB的距离等于DC,即点D到AB的距离等于4cm.
答案:4
4.(2013·湘西中考)如图,Rt△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若 AC=6,BC=8,CD=3. (1)求DE的长. (2)求△ADB的面积.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.

湘教版数学八年级下册(课时训练)1.4角的平份线的性质(1).docx

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1.4 角平分线的性质（1）
1. 如图（1）所示，点P 是∠CAB 的平分线上一点，PF ⊥AB 于点F ，PE ⊥AC 于点E ，如果PF ＝3cm ，那么PE ＝__________．
2. 如图（2）所示，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，BD ＝DC ，∠BAC ＝80°，则∠BAD ＝
__________，∠CDA ＝__________．
3. 如图（3）所示，P 在∠AOB 的平分线上，在利用角平分线性质推证PD ＝
PE 时，必须满足的条件是____________________．
4. 如图（4）所示，C 为∠DAB 内一点，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，且CD ＝CB ，则点C 在__________．
5. 如图所示，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于
点D ．
（1）若BC ＝8，BD ＝5，则点D 到AB 的距离是__________．
（2）若BD ∶DC ＝3∶2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长为
__________．
6.如图（1）， PB ⊥AB 于点B ，PC ⊥AC 于点C ，PB=PC ， D 是AP 上一点。

求证：∠BDP=∠CDP 。

7.如图（2），在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE
⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是EF ，且BE ＝CF 。

求证：AD 是△ABC 的角平分线。

A
M
D C B。

八年级数学下册 1.4.1《角平分线的性质(一)》课时作业 (新版)湘教版

N T Q P M E D C B A E D C BA F 《角平分线的性质（一）》一、选择题1、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定第1题第2题第3题第4题2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（） A 、TQ ＝PQ B 、∠MQT ＝∠MQP C 、∠QTN ＝90° D 、∠NQT ＝∠MQT3．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm4．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（） A ．① B ．② C ．①和② D ．①②③二、填空题1、如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，且BD =DC ，求证：BE =CF 。

（提示：证明线段相等的常见方法有： ① ②③ 而本题只能用：2、如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的距离是：。

3、如图，在AC =4，BC =3，AB =5，点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的距离是：。

三、解答题1、已知：如图点C 在∠A 的内部，B 、D 分别是∠A 两边上的点，且AB =AD ，CB =CD ，CE ⊥AB 边于点E ，CF ⊥AD 于点F ，求证：CE =CF 。

八下第1章直角三角形1-4角平分线的性质第1课时角平分线的性质和判定习题新版湘教版

∴∠ACP＝30°.
∵PC∥OB，∴∠AOB＝∠ACP＝30°.

∵∠AOP＝∠BOP＝∠CPO，∴∠CPO＝ ×30°＝15°.
利用角平分线的判定和性质探究和差关系问题
10. [新考法截长补短法]如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B
＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
【证明】如图，过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.
∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，∴CO平分∠ACD.
(2)OA⊥OC；
【证明】在Rt△ABO和Rt△AEO中，
＝，
ቊ
＝，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴AB＋CD＝AC.
利用角平分线的性质和判定解决实际问题
11.(母题：教材P26习题T4)如图，已知OA和OB两条公路，
以及C，D两个村庄，现在建立一个车站P，使车站到两个
村庄的距离相等(即PC＝PD)，且车站P到OA，OB两条公
路的距离相等.请利用尺规作图找出车站P的位置.(车站P在
∠AOB内部)
.
知识点3
角平分线的判定
6.如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD，BC相
交于点P，若PA＝PB，则(
A )
A.∠1＝∠2
B.∠1＞∠2
C.∠1＜∠2
D.∠1与∠2无法比较
(第6题)
7.(母题：教材P24动脑筋)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的
中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝
【解】AM＋AN＝2AC.理由如下：

八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质练习新版湘教版

课时作业(七)[1.4 第1课时角平分线的性质]一、选择题1．2017·台州如图K－7－1，P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是( )图K－7－1A．2 B．3 C. 3 D．42．如图K－7－2，若DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是( )图K－7－2A．一定相等 B．一定不相等C．当BD＝CD时相等 D．当DE＝DF时相等3．如图K－7－3，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P是( )图K－7－3A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点4．如图K－7－4，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.则下列结论中不一定成立的是 ( )图K －7－4A ．PA ＝PB B ．PO 平分∠APBC ．OA ＝OBD ．AB 垂直平分OP5．2017·枣庄如图K －7－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积为( )图K －7－5A ．15B ．30C ．45D ．60 6．如图K －7－6，已知△ABC 的角平分线BO ，CO 交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，OH ⊥BC 于点H.若∠BAC ＝60°，OH ＝3 cm ，则OA 的长为( )图K －7－6A ．6 cmB ．5 cmC ．4 cmD ．3 cm7.如图K －7－7，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BA 和CD 的延长线相交于点E.若点P 在△EBC 内部，且使得S △PAB ＝S △PCD ，则满足此条件的点P( )图K －7－7A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．组成△EBC 的∠BEC 的平分线(点E 除外)D ．组成△EBC 的∠BEC 的平分线所在的直线(点E 除外) 8．△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为6 cm ，4 cm ，4 cm ，P 为三条角平分线的交点，则△ABP ，△BCP ，△ACP 的面积比为( )A ．1∶1∶1B ．2∶2∶3C ．2∶3∶2D ．3∶2∶2 二、填空题9．如图K －7－8，∠AOB ＝70°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D.若QC ＝QD ，则∠AOQ ＝________°.链接听课例3归纳总结图K－7－810．如图K－7－9，O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等．若∠A＝50°，则∠BOC＝________°.图K－7－911．如图K－7－10，BD是∠ABC的平分线，P，Q分别是BD，BC上的点，PE⊥BA于点E，PE＝4 cm，则PQ的最小值为______cm.图K－7－1012．如图K－7－11，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB＝________°.图K－7－11三、解答题13．如图K－7－12，铁路OA和铁路OB相交于O处，河道AB与两条铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M在A，B之间，且到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置．图K－7－1214．如图K－7－13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB.(1)试找出图中相等的线段，并说明理由；(2)若DE＝1 cm，BD＝2 cm，求AC的长.图K－7－1315．如图K－7－14，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O.(1)若OC＝OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC＝OB.图K－7－14归纳猜想已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角尺的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E.(1)如图K－7－15①，当CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E时，求证：CD＝CE.(2)当三角尺绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②的情况下，(1)中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．图K－7－15详解详析课堂达标1．[解析] A 如图，过点P 作PE ⊥OA 于点E.∵P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，∴PE ＝PD ＝2.2．[解析] D 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，即DE ，DF 是点D 到∠BAC 两边的距离，如果DE ＝DF ，根据角平分线的性质定理的逆定理，可知点D 在∠BAC 的平分线上，所以∠1＝∠2.3．D4．[解析] D 根据角平分线的性质知选项A 正确，可证明△OPA ≌△OPB ，从而知选项B ，C 正确．5．[解析] B 由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵∠C ＝90°，∴DE ＝CD ，∴△ABD 的面积＝12AB·DE＝12×15×4＝30.6．[解析] A 过点O 作OE ⊥AB 于点E.∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥BC ， ∴OE ＝OH ＝3 cm.过点O 作OF ⊥AC 于点F. 又∵CO 平分∠ACB ，OH ⊥BC ， ∴OF ＝OH. 又∵OE ＝OH ， ∴OE ＝OF.又∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ， ∴AO 平分∠BAC. ∵∠BAC ＝60°， ∴∠BAO ＝30°， ∴AO ＝2OE ＝6 cm. 故选A.7．[解析] C 因为AB ＝CD ，若S △PAB ＝S △PCD ，则AB ，CD 边上的高必须相等，因此考虑点P 所在的位置到AB ，CD 的距离相等．又因为点P 在△EBC 内部，所以点P 在△EBC 的∠BEC 的平分线上(点E 除外)．故选C.8．[解析] D ∵P 为△ABC 的三条角平分线的交点， ∴点P 到三边AB ，BC 和CA 的距离相等． ∵AB ∶BC ∶CA ＝3∶2∶2，∴S △ABP ∶S △BCP ∶S △ACP ＝AB ∶BC ∶CA ＝3∶2∶2. 9．3510．[答案] 115[解析] ∵∠A ＝50°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－50°＝130°.∵点O 到△ABC 三边的距离相等， ∴O 是△ABC 角平分线的交点，∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB)＝12×130°＝65°.在△OBC 中，∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－65°＝115°.故答案为115. 11．412．[答案] 35 [解析] 如图，过点E 作EF ⊥AD 于点F. ∵DE 平分∠ADC ， ∠C ＝90°， ∴EF ＝EC.∵E 是BC 的中点， ∴EC ＝EB ， ∴EB ＝EF.又∵∠B ＝90°，EF ⊥AD ， ∴AE 平分∠DAB.∵∠CED ＝35°，∠C ＝90°， ∴∠CDE ＝90°－35°＝55°. ∵DE 平分∠ADC ， ∴∠CDA ＝110°. ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴DC ∥AB ，∴∠CDA ＋∠DAB ＝180°， ∴∠DAB ＝70°， ∴∠EAB ＝12∠DAB ＝35°.13.解：作∠AOB 的平分线交AB 于点M ，则点M 为水厂的位置，图略． 14．解：(1)图中相等的线段有AD ＝BD ，CD ＝DE ，AE ＝BE ＝BC. 理由：∵DE 垂直平分线段AB ， ∴DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD.∵∠C ＝90°，∴DC ⊥BC. 又∵DE ⊥AB ，BD 平分∠ABC ， ∴CD ＝DE.由勾股定理，得BE 2＝BD 2－DE 2，BC 2＝BD 2－CD 2，∴BE ＝BC. ∵E 为AB 的中点， ∴AE ＝BE ＝BC.(2)由(1)知CD ＝DE ＝1 cm ，AD ＝BD ＝2 cm ， ∴AC ＝AD ＋CD ＝3 cm.15．证明：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ODB＝∠OEC＝90°.又∵∠EOC＝∠DOB，OC＝OB，∴△COE≌△BOD(记分S)，∴OE＝OD.又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上．(2)∵CD⊥AB，BE⊥AC, 点O在∠BAC的平分线上，∴OE＝OD，∠OEC＝∠ODB＝90°.又∵∠EOC＝∠DOB，∴△COE≌△BOD(ASA)，∴OC＝OB.素养提升解：(1)证明：∵OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，∴CD＝CE.(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如图，过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H.∵OM为∠AOB的平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK＝CH，∠CKD＝∠CHE＝90°.又∵∠1与∠2都为旋转角，∴∠1＝∠2.在△CKD与△CHE中，∵∠CKD＝∠CHE，CK＝CH，∠1＝∠2，∴△CKD≌△CHE，∴CD＝CE.。