12.7(1)(2)分数指数幂导学单

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高中数学分数指数幂(2)课堂同步导学案

2.2.1 分数指数幂(2)【自学目标】1．理解分数指数幂的意义，熟练掌握根式与分数指数幂的互化方法；2．掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用运算公式进行有理数指数幂的运算和化简，会进行根式与有理数指数幂的相互转化。

【知识描述】1．分数指数幂规定：（1）（，m ，m 均为正整数）；（2）（，m ，m 均为正整数）；（3）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义。

2．有理数指数幂的运算性质设，，，则有：⑴；⑵；⑶。

【预习自测】例1．求下列各式的值：⑴ ； ⑵ ；⑶ ； ⑷例2．化简下列各式： ⑴； ⑵。

n m n m a a=0a >n mn ma 1a =-0a >0a >0b >Q s ,r ∈s r s r a a a +=⋅rs s r a )a (=s r r )b a (b a ⋅=⋅21100328239-432981⨯322a a a ⋅xy xy xy 312⋅⋅-例3．已知，求下列各式的值：⑴ ； ⑵；⑶； ⑷。

例4．将，，，用“<”号联接起来。

【课堂练习】1．填空：⑴ ；⑵ 。

2．若，则。

3．化简：÷3a a 2121=+-1a a -+22a a -+21212323a a a a ----3a a 2a a 232322---+--31)34(3223)32(-21)43(-=328=÷-435)12525(333a a =+-=+-a a 2727)(2121y x -)(4141y x -4．化简5．化简【归纳反思】1．分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算来进行，解题时一般要遵循先化简再计算的原则；2．在进行指数幂运算时，采取的方法是：化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算可以达到化繁为简的目的。

【巩固提高】1．若a=(2+),b=(2)，则(a+1)+(b+1)的值是 ( )A ．1B ．C ．D ． 2．下列结论中，正确的命题的是（）A ． = (0)B ．a =-C ．=(<0)D ．()= (a,b ) 3．化简的结果是( ) A ． B ．ab C ． D ．a 2b 4．如果a ，b 都是实数，则下列实数一定成立的是（）A ．B ．C ． 5354215658)(b a b a ÷÷⋅4332ba ab b a ⋅⋅31-3-1-2-2-412232a -21)(a -a ≠31-3a 62b b31b b a 43-43)(a b 0≠3131421413223)(ba b a ab b a -a b ba b a b a -=-666)(228822)(b a b a +=+b a b a -=-4444D ．5．若，则。

中学高中数学第二章《分数指数幂》导学案苏教版必修

江苏省响水中学高中数学第二章《分数指数幂》导学案苏教版必修11.理解n次方根及根式的概念.2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化.3.掌握有理数指数幂的运算性质.牛顿是大家所熟悉的大物理学家,他在1676年6月在写给莱布尼茨的信中说:“因为数学家将aa,aaa,aaaa,…写成a2,a3,a4,…,所以可将,,,…写成,,,…,将,,,…写成a-1,a-2,a-3,…”这是牛顿首次使用任意实数指数.问题1:(1)按照牛顿的思路,将下列式子写成实数指数的形式:= ,= ,= .(2)类比平方根与立方根,n次方根如何定义?一般地,如果x n=a,那么x叫作a的,其中n>1,且n∈N*.当n是奇数时,正数的n次方根是,负数的n次方根是,这时,a的n次方根用符号表示;当n为偶数时,正数的n次方根有,这两个数互为,可用符号表示,负数偶次方根.0的任何次方根都是.式子叫作根式,这里n叫作,a叫作.根据n次方根的意义,可以得到:①.②当n是奇数时,;当n是偶数时,.问题2:分数指数幂的意义是什么?(1)正数的正分数指数幂的意义是= (a>0, m, n∈N*,且n>1).(2)正数的负分数指数幂的意义是= (a>0, m, n∈N*,且n>1).(3)0的正分数指数幂等于, 0的负分数指数幂.问题3:指数式的运算性质有哪些?(1) a r a s= (a>0,r,s∈R);(2)= (a>0,r,s∈R);(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈R).问题4:有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂适用吗?有理数指数幂的运算性质于无理数指数幂.1.化简下列各式.（1）2(3.14)π-；（2）33(1)(1)a a +<- ；（3）44(1)(1)a a +<-2.用分数指数幂的形式表示·为 .3.计算:3-(2+0.5-2= .4.若10x=3,10y=4,计算102x-y的值.利用根式的性质化简求值化简下列各式: (1)(x<π,n ∈N *);(2)(a ≤);(3)+-.根式与分数指数幂的互化用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0): (1)·;(2); (3)·;(4)()2·.分数指数幂的运算已知a>0,0≤r ≤8,r ∈N,式子()8-r·()r能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种?求出所有可能结果.求下列各式的值: (1);(2)+()3.将下列根式化成分数指数幂的形式:(1)(a>0);(2);(3)((b>0).1.计算:(1)(·)(3·)÷(-3·);(2)(12)2×3-17×85×()15.2.化简:·(a为正数).1.若x<5,则的值是.2.化简[的结果为.3.计算2××= .4.化简:(×(÷.化简求值:(1)(2)0.5+0.1-2+(2-3π0+;(2)(-3+(0.002-10(-2)-1+(2-)0.考题变式(我来改编):第三章指数函数、对数函数和幂函数第1课时分数指数幂知识体系梳理问题1:(1)(2)n次方根一个正数一个负数两个相反数±没有0根指数被开方数①()n=a ②=a =|a|=问题2:(1)(2)(3)0没有意义问题3:(1)a r+s(2)a rs(3)a r b r问题4:同样适用基础学习交流1.④=-5.2.-·=·(-a=-=-.3.原式=(25-[()3+()-2=2-3-[()3+22=-+4=.4.解:∵10x=3,∴102x=9,∴102x-y==.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵x<π,∴x-π<0,当n为偶数时,=|x-π|=π-x;当n为奇数时,=x-π.综上,=(2)∵a≤,∴1-2a≥0.∴==|2a-1|=1-2a.(3)+-=++=+-=|+|+|2+|-|2-|=++2+-(2-)=2(+).【小结】对于(1)注意进行分类讨论;(2)和(3)中要注意将其转化为完全平方式的形式,特别是(3)对于形如的形式可化为+(x>0,y>0)的形式.探究二:【解析】(1)原式=·==;(2)原式=··==;(3)原式=·==;(4)原式=()2·(ab3===.【小结】在解决根式与分数指数幂互化的问题时,关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子:=和==,其中字母a要使式子有意义.探究三:【解析】()8-r·()r=·==.∵0≤r≤8,r∈N,又当r=0,4,8时,分别为4,1,-2都是整数.∴当r=0,4,8时,原式能化为关于a的整数指数幂,共有3种情形,结果分别为a4,a,a-2.【小结】本题运算过程中要注意对r∈N,且∈N进行讨论.思维拓展应用应用一:(1)=|x-2|=(2)因为3-2=12-2+()2=(-1)2,所以+()3=+1-=-1+1-=0.应用二:(1)原式===(=;(2)原式======;(3)原式=[(==.应用三:1.(1)原式=··=-ab0=-a.(2)原式=(22×3)2×3-17×(23)5×=(22)2×32×3-17×215×=24+15-15×32-17+15=24×30=16.2.原式=[·(a-3·(·=···=·a-2=.基础智能检测1.5-x ∵x<5,∴=|x-5|=5-x.2.[=(==.3.6原式=2××(×(3×22=×=2×3=6.4.解:原式=(×(1÷1=2-1×103×1=2-1×1=.全新视角拓展(1)原式=(++(-3+=+100+-3+=100.(2)原式=(-1×(3+(-+1=(+(500-10(+2)+1=+10-10-20+1=-.思维导图构建。

高中数学分数指数幂(2)导学案苏教版必修1

3 6
a ) (
9 4
6 3
a )
9
4
（2）(a b) (ab2 ) 2 (a 2 b) 3
2
1 2
1 （3）2 x 3 ( x 3 2 x 3 4） 2a 3 b 2
1 5 1 5 6a 2 b 6 3a 6 b 6
2 3
y

2 3

x 2 y 2 x
2 3
y

2 3
例 3、计算下列各式（ 1 ）
1
a2 a 3 a2
(a 0)
1
（ 2 ）
1 2
3 2 27 4 10 2 3 0.25 2 4

1
1 300
【课堂研讨】例 1、判断下列各式正误（1） a 0 1a R （ 3 ） a r a t a r t (a R，r，t Q)
n
an a （2） n b 0，n Z b b
（ 4 ）实数 a 的 n 次方根是
n
a n N
（4）
a m m a b ； b
m
（5） a m b m
a b
m
3、下列各式中成立的一项（ A． ( D．）
n 7 ) n7 m 7 m
3
1
3
B．
12
(3) 4 3 3
C．
4
x 3 y 3 ( x y) 4
9 3 3
1 2
4、计算
1 0.25 1 （ 1） 16 ( ) ( ) 0 81 2

12.7 分数指数幂(1)

12.7 分数指数幂（1）教学目标1、理解分数指数幂的意义；能将方根与指数幂互化，体会转化思想.2、能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算. 教学重点及难点重点：理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化. 难点：能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算. 教学用具准备教具、学具、多媒体设备教学流程设计教学过程设计一、情景引入1．回顾加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？ 2．思考：把32表示为2的m 次幂的形式解：假设m 223=成立，那么333)2()2(m = 左边=21，右边=m 32要使左边=右边成立，则13=m ，即31=m所以31322=[说明] 因为2的任何整数指数幂都是有理数，而32是一个无理数，可知m 不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把32表示为m 2的形式. 3．讨论通过31322=的转化，学生讨论方根与幂的形式如何互化？二、学习新课1．概念辨析（1）分数指数幂)0(1)0(>=≥=-a a aa a a nm nmn m nm （其中m 、n 为整数，1>n ）.上面规定中的nm a 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数. [说明] 指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.方根与幂的形式互化过程，以如下表格说明注意事项：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂. （3）有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么（ⅰ）q p q p a a a +=⋅，q p q p a a a -=÷ （ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(2．例题分析例1 把下列方根化为幂的形式：（1）35；（2）3251；（3）435；（4）49 解：（1）31355=（2）3232551-=（3）434355=（4）)3339(992142424414＝＝＝或=例2 计算：（1）4181；（2）31)81(；解：（1）333)3(81141441441====⨯（2）21)21(])21[()81(31331331===⨯3．问题拓展例3 计算：（1）31)278(⨯；（2）212182⨯ 解：（1）6632)32()278(313313313331＝＝）＝（⨯⨯⨯⨯=⨯ （2）44416828221221221212121＝＝）＝（＝）＝（⨯⨯⨯[说明] 在教学中，要注意以下几点：（1）例1为开方运算向乘方运算转化.在方根转化为幂指数的形式中，根指数在幂指数中作分母，这是学生容易出错的地方，应引起注意. （2）例2利用有理数指数幂的运算法则进行计算，与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解.（3）例3是为了熟练有理数指数幂的运算性质，两小题分别是积的乘法公式互逆运用的举例，其中（1）题解法也可以化成（2）题进行这样计算：632)3()2(2783133133131=⨯=⨯=⨯.三、巩固练习1、课本P 练习12.7（1）2、把下列方根化为幂的形式：（1）46 （2）537 （3）4331（4）325-3、计算：（1）62131)23(-⨯ （2）384323)52(⨯（3）2146)53(⨯ （4）313193⨯四、课堂小结带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求：1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；2、能在简单运算中熟练地综合运用有理数指数幂的性质（同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方）进行计算，法则不变.五、作业布置练习册P12-13，习题12.7（1）教学设计说明分数指数幂的产生是运用转化思想获得成功的范例.本节开头所述，减法可转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算，因此试图将开方运算转化为乘方运算.在保持整数幂运算性质的前提下，探讨指数的范围，从而产生了分数指数幂.在教学中例题的选择上由浅入深，由概念的理解到运算性质的熟练运用，计算题的设计也是由易到难，并与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解，能够轻松掌握此部分知识点.。

上海重点初中七(下)电子教案12.7(1)分数指数幂

教学过程
教后记
Hale Waihona Puke （2） (a p )q a pq . （3） (ab) p a pb p , ( ) p 分数指数幂的运算.
a b ap . bp
布置作业 1. 填空：（1） 25 （2） 81 （3 ） 8 （4 ） (
27 ) 125
1 3
1 3
1 2
1．让学生在回家作业本上完成．；；；；
2
教学内容
教学过程
教后记
新课探索一（2） 1．教师边说边点击：整数指数幂 m 3 假设 2 2 成立，那么的运算性质仍然适用． (3 2 ) 3 (2 m ) 3 . 2．学生计算得到 m 的值．我们在保持原来整数指数幂的运算性质的原则上，扩大指数的取值范围。由 (3 2 ) 3 (2 m ) 3 ，可得 21 2 3m . 即 3m 1, m . 或
n
a m a (a 0) ；
m n
n
am
1
n
am
a
m n
(a 0)
明 m、n 的名称． 2．学生在书上记录重点．
其中 m、n 为正整数，n>1. 2. 有理数指数幂运算性质：设 a>0，b>0，p、q 为有理数，那么（1） a p • a q a pq .
5
教学内容
a p a q a p q .
1 3 1 ) 1
1、负指数幂要 1．让学生在课堂练习本上直接计点拨。算．； 2．教师巡视，挑选学生板演． 3．师生互动，讲评答案．； 4．教师边说边点击引入本课．； .
(3) ( 2 ) 2 (4) [( 2 ) 2 ]3 2. 计算：（ 1 ） 3 5 (5 5 ) ；

12.7(2).分数指数幂

§12.6 实数的运算（2）一．智慧航标姓名________ 预习等级____【学习目标】1、初步掌握有理数指数幂的法则和运算性质，初步会用幂的运算性质进行计算；2、会利用计算器进行有关幂的运算。

【学习重点、难点】运用有理数指数幂的运算性质进行计算。

二、智慧启航：（一）复习旧知（1）__________33710=⨯，运用的性质名称：。

（2）__________33710=÷，运用的性质名称：。

（3）___________3(210=），运用的性质名称：。

（4）_____________)3(310=x ，运用的性质名称：。

（5）__________313=⎪⎭⎫ ⎝⎛--，()___________120=-（二）阅读课本p33~p34，认真思考下列问题。

1、有理数指数幂同样有下列的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么（1） =⋅qp a a ， =÷qpa a（2）=qp a )(（3）=pab )( ，=pba )(2、例题分析和巩固练习例题1：计算（1）()31278⨯ ()2121822⨯（3）3313264-⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷ （4）314323255⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-练习1、计算（1）4212153⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ ()23234532⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯（3）()212232÷ （4）6213132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷例题2、计算（结果表示为含幂的形式）（1）213255⨯ （2）6631÷()413283-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）()6133412⨯练习2、计算：（结果表示为含幂的形式）（1）326199⨯ （2）24177⨯ （3）324127-⎪⎪⎭⎫⎝⎛（4）()615523⨯ （5）212155⨯-（6）3212132-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷三、小结。

人教A版高中数学必修一全册导学案分数指数幂

2.2.1 分数指数幂(1)【自学目标】1.掌握正整数指数幂的概念和性质；2.理解n 次方根和n 次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；3.能熟练运用n 次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。

【知识要点】1．方根的概念若a x 2=，则称x 是a 的平方根；若a x 3=，则称x 是a 的立方根。

一般地，若一个实数x 满足a x n =*)N n ,1n (∈>，则称x 为a 的n 次实数方根。

当n 是奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数n 次实数方根是一个负数，这时a 的n 的次实数方根只有一个，记作n a x =；当n 是偶数时，正数的n 次实数方根有二个，它们是相反数。

这时a 的正的n 次实数方根用符号n a )0a (>。

注意：0的n 次实数方根等于0。

2．根式的概念式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

求a 的n 次实数方根的运算叫做开方运算。

3．方根的性质（1）a )a (n n =；（2）当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，|a |a n n =【预习自测】例1．试根据n 次方根的定义分别写出下列各数的n 次方根。

⑴25的平方根； ⑵ 27的三次方根；⑶－32的五次方根； ⑷ 6a 的三次方根．例2．求下列各式的值：⑴ 2)5(； ⑵ 33)2(-；⑶ 44)2(-； ⑷ 2)b a (-。

例3．化简下列各式：⑴ 681； ⑵ 1532-；⑶ 642b a ；例4．化简下列各式： ⑴246347625---+-； ⑵32233--+。

【课堂练习】1．填空：⑴0的七次方根；⑵4x 的四次方根。

2．化简：⑴ 44)3(π-； ⑵ 36)x (-；⑶ 22b ab 2a ++； ⑷ 48x 。

3．计算：625625++-4．若310=x ，410=y ，求y x -10的值5．246347625---++【归纳反思】1．在化简n n a 时，不仅要注意n 是奇数还是偶数，还要注意a 的正负；2．配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想。

12.7 分数指数幂(2)

12.7 分数指数幂（2）教学目标1、熟练运用有理数指数幂的性质进行计算.2、通过分数指数幂的学习，能进一步掌握乘方与开方的相关运算. 教学重点及难点重点：熟练运用有理数指数幂的性质进行计算. 难点：运用方根与幂的互化进行乘方与开方运算. 教学用具准备教具、学具、多媒体设备教学流程设计教学过程设计一、复习引入（1）分数指数幂)0(1)0(>=≥=-aa aaa a n m nmn m nm （其中m 、n 为整数，1>n ）.其中nma 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数.（2）有理数指数幂整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.（3）有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么（ⅰ）q p q p a a a +=⋅，q p q p a a a -=÷ （ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(二、学习新课1．例题分析例1 用计算器，计算（保留三位小数）：（1）313254⨯；（2）322328÷；（3）4212153）＋（；（4）2314346）（⨯解：（1）309.454543323132≈⨯⨯＝（2）254.1428283233223≈÷÷＝（3）935.2475353442121≈）＋＝（）＋（（4）034.37464646323322323143≈⨯=⨯=⨯）（例2 计算（结果用幂的形式表示）：（1）213255⨯；（2）6631÷；（3）4132)8(-；（4）6133)412(⨯解：（1）67213221325555==⨯+（2）32131316666--==÷（3）61)41(32413288)8(--⨯-==（4）21361613348)412()412(=⨯=⨯⨯例3 利用幂的运算性质计算：（1）366⨯；（2）43)22(⨯；（3）3274⨯；（4）3218÷ 解：（1）6653121312137776666666===⨯=⨯+；（2）431421431214322)22()22(⨯⨯⨯=⨯=⨯313342222+=⨯=33132822=⨯=（3）452143214134333)3(327==⨯=⨯+4411333==+（4）31213121332232)23(218÷⨯=÷⨯=÷6613121232323=⨯=⨯=-2．问题拓展例4、利用幂的运算性质计算：（1）312121)9121(- （2）22121)32(+（3）43)24(⨯ （4）3723÷解：（1）283119121)9121(333312121==-=-=-（2）6253622)32()32(222121+=++=+=+（3）4674213242132432)2()22()24(⨯+==⨯=⨯33244162==+另解：原式=33122311421431416424)2()4(==⨯=⨯++（4）213221312333323)32(372÷⨯=÷⨯=÷6612132323232=⨯=⨯=-[说明]1、例1为幂运算化简后再转化为方根，用计算器得到结果.是利用方根的运算方法，对指数幂进行近似计算.结果按精确度要求完成.2、例2是为了熟练有理数指数幂的运算性质，其中（3）、（4）结果可以不作进一步化简.3、例3利用幂的性质解决根式的运算问题，让学生体验运用有理数指数幂进行计算的便捷.4、例4在学生能运用幂的性质解题时，给出（1）（2）两小题进行区别，强调解题时审题清楚，概念明确.5、对含有方根的算式，利用幂的运算性质进行计算时，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.三、巩固练习1、课本P34练习12.7(2)2、计算：（1）22121)32(- （2）2212122121)32()32(-+ （3）312121312121)32()32(-+ （4）2212122121)32()32(--+3、利用幂的运算性质计算：（1）3723⨯ （2）43)216(÷四、课堂小结带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求： 1、熟练运用有理数指数幂的性质进行计算.2、通过运用方根与幂的互化，进一步掌握乘方与开方的相关运算.五、作业布置练习册P13-14习题12.7(2) 教学设计说明实数的运算，是初中数学的基本知识和基本技能的重要组成部分.分数指数幂的出现为n 次方根的计算提供了新的途径.在教学中例题的选择上由浅入深，首先学生要掌握使用计算器进行分数指数幂的加减乘除、乘方运算，例题解法提供了转化为方根形式用计算器计算取近似值，也可以介绍利用计算器中乘方、分数按钮进行直接计算.幂的运算性质的熟练运用，计算题的设计也是分两类，一类是题目给出就是分数指数幂的形式，直接利用幂的运算性质；另一类是题目给出方根形式，但由于根指数不同，不能直接用前面所学的公式：ab b a =⋅，bab a =，其中0>a ，0>b ，但被开方数相同，或被开方数中含有相同的因数，因此这类题需转化分数指数幂的形式，利用运算性质解题.最后，在问题拓展中给出其它类型的题与前面的例题加以区别，要求学生能够具体问题具体分析.。

苏教版数学高一《分数指数幂》同步导学案苏教

分数指数幂（2）
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；
2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简．
3．会对根式、分数指数幂进行互化；
【新课导学】
1．正数的分数指数幂的意义：
（1）正数的正分数指数幂的意义是
；
（2）正数的负分数指数幂的意义
．
2．分数指数幂的运算性质：
43x+2=256×81－x
分析：利用分数指数幂的性质将方程两边转化为同底的指数幂.
【迁移运用】
1.计算下列各式的值（式中字母都是正
(1)(xy2· · ) ·
(2) ·
2.已知，求的值.
3解方程：2x+2－6×2x－1－8=0【课堂小Leabharlann 】【课后反思】即，
，
．
【互动探究】
例1：求值（1），（2）
（3），（4）．
．
例2：用分数指数幂表示下列各式：
（1）；（2）；（3）．
分析：先将根式写成分数指数幂的形式，然后进行运算．
例3：已知a+a－1=3，求下列各式的值：
（1） - ；（2） -
分数指数幂与方程
例4利用指数的运算法则，解下列方程：

12.7分数指数幂教案

12.7分数指数幂教案§12.7分数指数幂(1)教学目标：1.理解分数指数幂的意义.2.能将方根与分数指数幂互化，体会化归的数学思想.教学重点及难点:将方根与分数指数幂互化.教学过程：教师活动学生活动设计意图一、复习引入1.引言：加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？2．思考：把32表示为2的m次幂的形式.引导分析：（1）解决这个问题之前，336)21(21,2问题引入，引发学生思考，为新知教学做铺垫.先口答：（用幂的形式表示） _____,)2(32= .______23=-（2）这是以前所学的整数指数幂，负整数指数幂可以转化为正整数指数幂.到目前为止2的任何整数指数幂都是有理数，而32是一个无理数，可知m 不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把32表示为m2的形式.（3）假设m 223=成立，问：在等式成立的前提下，如何消除根号进行转化呢？那么333)2()2(m =说明：原有的幂的运算性质应该保持不变.左边=21，右边=m32要使左边=右边成预设回答：两边同时立方运算.答：1 434333=，23333=温故而知新，让学生在已有知识的基础上体会从整数指数幂到分数指数幂，是幂的概念的又一次扩展. 让学生在已有经验的基础上体会：在立，则13=m ，即31=m 所以 31322= 追问1：被开方数中2的指数是几？（师可用红色粉笔标注出指数）问2：猜想433=？?33= 3. 讨论通过31322=，434333=，23333=的转化，讨论方根与幂的形式如何互化？（学生讨论）二、学习新课1．分数指数幂概念师：把指数的取值范围扩大到分数，我们规定)0(1)0(>=≥=-aa aaa a n m nmn m nm （其中m 、n 为整数，1>n ）.预设回答：被开方数中的底数转化为了幂的底数，被开方数中的指数转化为幂的指数中的分子，根指数转化为幂的指数中的分母.预设：扩大指数的范围时，原有的幂的运算性质应该保持不变.从过程中体会转化的数学思想. 感受方根与幂的形式的转化过程. 通过观【说明】在说明ppa a1=-同样适用后，导出后一个负分数指数幂. 上面规定中的n m a 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数.揭示课题：12.7分数指数幂[说明]指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.2.有理数指数幂整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.3．例题分析例1 把下列方根化为幂的形式：（1）35；（2）3251；（3）435；（4）解：（1）31355= （2）32323255151-==（3）434355=察得出方根与幂的形式的转化，从而得出分数指数幂的意义. 对比分析方根与幂的互化过程，体会两者间的联系. 体会从特殊到一般的49每一题问：如何转化？谁做分数指数幂中指数的分母？师：刚才将方根转化为分数指数幂，反过来分数指数幂可以转化为方根进行开方运算.例2 计算：（4）)3339(992142424414＝＝＝或师生共同完成.研究方法.（1）2149；（2）31)81(；（3）4116-；（4）3121274⨯.解：（1）7494921==；（2）2181)81(331==；（3）211611611644141===-；（4）63227427433121=⨯=⨯=⨯.小结：可将分数指数幂转化为方根的形式再求值，最后写成分数指数幂的形式.例3 将幂的形式转化为方根形式：（1）316；（2）329；（3）414.6-；（4）43)75( 解：（1）33166=；（2）323299＝；（3）441414.614.614.6==-；师生共同完成.学生独立练帮助学生理解分数指数幂的概念，学生能够直接应用概念. 若学生写419也行.利用分数指数（4）3443)75()75(=.小结：分数指数幂中指数的分母是方根中的根指数.三、巩固练习1.把下列方根化为幂的形式：（1）34；（2）432；（3）81；（4）531．*2. 把下列幂化为方根的形式：（1）3136；（2）23-12；（3）41158⎪⎭⎫⎝⎛；（4）52-10-．习. 1.解：（1）31344=；（2）434322=；（3）21-881=；（4）51-5331=．2.解：（1）3313636=；（2）323-12112⎪⎭⎫ ⎝⎛=；（3）441158158=⎪⎭⎫ ⎝⎛；（4）5252-101-10-⎪⎭⎫⎝⎛=． 3.解：（1）41466=；（2）535377=；（3）4343331-= ；幂的意义求幂的值，帮助学生进一步体会分数指数幂与方根的联系.书上例3是用计算器*3.把下列方根化为幂的形式：（1）46；（2）537；（3）4331 ；（4）325-.4.计算（口答）：（1）219；（2）21121；（3）21144；（4）3164；（5）31125；（6）41256．（4）323255--=.4.解：（1）39921==；（2）1112112121==；（3）1214414421==；（4）46464331==；（5）5125125331==；（6）4256256441==．预设：运算，现在这样设计目的是让学生将分数指数幂和方根进行熟练转化.培养学生自主四、课堂小结学生自主小结：你学到了什么?你有什么体会或想法? 数学思想：化归思想. 1.分数指数幂意义;2.将方根与指数幂互化.解题及评价能力.通过练习掌握方根向幂的形式的转化，体会两者的联系，正确理解分数指数幂的概念．通过练习掌握幂向方根形式的转化，体会方根与幂之间相互转化的关系，体现转化的数学思想．利用分数指数幂的意义求幂的值，帮助学生进一步体会分数指数幂与方根的联系.同时提醒学生，当分数指数幂转化为方根形式时，如果根指数是偶数时，对应的是正的偶次方根；如果根指数是奇数时，则对应的是奇次方根．熟练识记重用数的平方根和立方根．对本节课所学知识进行初步的梳理.课后作业试题解答设计意图 A 组 1.填空：（1）2125=_____；（2）2181=_____；（3）318=______；（4）3112527⎪⎭⎫ ⎝⎛=_____．（练习册P12） 2.把下列方根形式写成幂的形式：（1）45；（2）536；（3）51-10；（4）3431．（练习册P12）1.解：（1）5；（2）9；（3）2；（4）53． 2.解：（1）41455=；（2）535366=；（3）51-51-1010=；（4）34-343433131==．3.解：（1）4412424=；通过将分数指数幂转化成方根的形式进行简单的计算，复习巩固转化的方法．通过练习复习巩固方根向幂的形式的*3.把下列幂化为方根的形式：（1）4124；（2）32-18；（3）435.6-；（4）53-2512⎪⎭⎫ ⎝⎛．4.计算：（1）328；（2）2336；（3）43-16；（4）32-64-．（练习册P13）（2）3232-18118⎪⎭⎫ ⎝⎛=；（3）4343 6.5-5.6-=；（4）5353-12252512⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛． 4.解：（1）()4882332==；（2）()2163636323==；（3）81161163443-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=；（4）161-641-64-2332-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=．转化，体会两者的联系，正确理解分数指数幂的概念．通过练习复习巩固幂向方根形式的转化，体会方根与幂之间相互转化的关系．特别注意：pp pa a a⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11的灵活应用．在实际计算时，先乘方后开方，往往由于数值较大，增加了开方的难度，所以常采用先开方后乘方的方法，既保证了计算的合理性，又提高了计算的速度和正确性．也可以利用幂的运算性质进行计算，对于这样的学生教师应给予充分的鼓励和表扬．。

苏教版数学高一《分数指数幂》精品导学案苏教

5.若是奇数，则；若是偶数，则．
例1：求下列各式的值：
（1）（2）（3）（4）
【解】
（1）
（2）
（3）
（4）
点评:正确的领会求的值的公式是求根式值的关键。
例2：设－3&l3
所以x+3>0
所以原式=|x－1|+|x+3|
当1≤x<3时，原式=2x+2
当－3<x<1时，原式=1－x+x+3=4
分数指数幂（1）
1．如果，则称为的平方根；
如果，则称为的立方根．
2.如果，则称为的次实数方根；的次实数方根等于．
3.若是奇数，则的次实数方根记作；若则为正数，若则为负数；若是偶数，且，则的次实数方根为；负数没有次实数方根．
4.式子叫根式，叫根指数，叫被开方数；．
综上所述原式=
例3．计算：
解：原式=
=
=2
1. 的平方根与立方根分别是（）
（）（）
（）（）
2.求值：．
解：
。
3.化简
解：原式
例4:解下列方程（1）；
（2）
分析：对原方程因式分解。
【解】（1）原方程可化为，
∴ ，
原方程的根为。
（2）原方程可化为，
∵ ，∴ ，
，，
原方程的根为。
点评:通过因式分解把原方程转化为二项方程，再利用根式意义求解。
1．成立的条件是（）
2．在① ；② ；③ ；④ （）各式中中，有意义的是（）
①② ①③ ①②③④ ①③④
3．若，则
．

苏教版数学高一《分数指数幂》精品导学案

执笔人：祁正权审核人：姚东盐2011年10月*日
2.2.1分数指数幂第2课时
【教师活动】
【教学目标】
1．理解正数的分数指数幂的含义，了解正数的实数指数幂的意义；
2．掌握有理数指数幂的运算性质，会进行根式与分数指数幂的相互转化，灵活运用乘法公式幂的运算法则进行有理数指数幂的运算和化简．
【教学重难点】
重点：分数指数幂的含义及有理数指数幂的运算和化简．
难点：分数指数幂含义的理解；有理数指数幂的运算和化简．
【教学设想】（【教学准备】）
多媒体
【教学活动】（【教学流程】）
1.问题情境
2.师生互动
3.建构数学概念
4.举例应用
5.课堂练习
6.小结作业
【教学反思】
【学生活动】
【学习目标】
1.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义。
2.掌握有理数指数幂的运算性质，灵活的运用乘法公式进行有理数指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化。
【课时安排】1课时
【学法点拨】
回顾初中所学的平方根和立方根的知识，并运用到所学的新内容中去，通过类比的方式理解实数指数幂，运用由特殊到一般的思想理解分数指数幂的概念。
【课前预习】
1．复习：说出下列各式的意义，并说出其结果
(1) (2)
(3) (4)
2．情境问题：将 25， 24推广到一般情况有：
（1）当m为偶数时，；
（2）当m为n的倍数时，．
如果将表示成的形式，s的最合适的数值是多少呢？
【课堂探究】
一．数学建构
1．正数的正分数指数幂的意义：（）
2．正数的负分数指数幂的意义：（）
3．有理数指数幂的运算法则：

12.7 分数指数幂(2) 课件(10张ppt)

2
3 2
1
2
3 4
1
2
拓展练习
例3 利用幂的运算性质计算：(3 4 2 )4
拓展练习
例4 已知 10a
2,10b
4
8
,
求102a
2 3Βιβλιοθήκη b的值.通过今天的学习你有什么收获或疑问？
§12.7分数指数幂（2）
复习引入问1：方根和分数指数幂如何互相转化？问2：什么是有理数指数幂？
问3：整数指数幂有哪些运算性质？
问4：类似于整数指数幂，你能说说有理数指数幂的运算性质吗？
学习新课
例1 计算（结果表示为含幂的形式）：
21
1
（1）53 52
（2） 6 3 6
2 1
（3）(8 3 ) 4
1
（4）(123 43 ) 6
有理数指数幂计算的一般步骤：
判断是什么运算
运用法则计算
巩固练习1
计算（结果表示为含幂的形式）：
1
3
44 124
学习新课
例2 计算：
1
（1）（8 27）3
11
（2）22 82
2
1
（3）（43 63）-3
3
（4）（52
25
3 4
1
）3
巩固练习2
计算：
1 2
1

苏教版数学高一《分数指数幂》同步导学案

一、问题情景阅读课本p45第1行至第10行，生活中还有类似的事例吗？二、建构数学1、平方根、立方根、n 次方根的概念2、方根的性质3、根式4、正数的分数指数幂5、零的分数指数幂6、有理数指数幂的运算性质三、例题分析例1、求下列各式的值（1）(5)2 = （2）(32-)3 = （3）44)2(-= （4）2)3(π-=例2、化简（1）222y xy x ++（2）yxx y ⋅（3）2)2(+a例3、求值：（1）21100 （2）328 （3）341⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）438116-⎪⎭⎫⎝⎛ （5）239-例4、用分数指数幂的形式表示下列各式 ()0>a（1）a a ⋅2 （2）323a a ⋅ （3）a a （4）36q p ()0>p （5）32)(n m -例5、若)1(31>=+-a a a ，求2121--aa 及2323--aa 。

四、随堂练习1、用根式的形式表示下列各式)0(>a（1）51a = （2）43a = （3）57a = （4）23-a =2、用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）32x = （2）34y x = （3）)0(2>=m mm3、求下列各式的值（1）2325 （2）23425-⎪⎭⎫⎝⎛ （3）63125.132⨯⨯4、化简下列各式（1）)0(834321>-a aa a （2）)0,0()(63121>>-y x y x（3）)0,0()()(32223>>÷y x xy y x （4）)1()(12323-+÷+--a a aa五、回顾反思根式、分数指数幂的意义；指数运算性质；根式与分数指数幂形式的互化。

课后作业班级：高一（）班姓名__________一、基础题1、求下列各式的值（1）410 （2）55)1.0(- （3）)()(66y x y x <- （4）33)2(y x +-2、用分数指数幂的形式表示下列各式)0,0(>>b a （1）43a a （2）a a a （3）332a a （4）323)(ab a ⋅3、化简下列各式)0,0(>>b a（1）654332a a a ÷ （2）124331⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷---31313132324b a b a（4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--412141213232b a b a （5）)()2(2222---÷+-a a a a（6）3273222)()4()2(a b a b a b ⨯-÷- （7）计算75.034304116])2[()87()0064.0(---++-4、若31)1(--x 有意义，则∈x 。

高一数学对应导学案分数指数幂

2.2.1分数指数幂教学重点：分数指数幂和根式概念的理解及分数指数幂的运算性质运用.教学难点：分数指数幂及根式概念的理解.教学目标：（1）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（2）掌握分数指数幂的运算性质.一、知识归纳1．一般地，如果一个实数x满足（n>1,n∈N*）,那么称x为a的n次实数方根.2.(1)n N*∈时，n=；（2,nn⎩，为正奇数为正偶数3．正数的正分数指数幂的意义：mna=()0,,a n m N*>∈. 4．正数的负分数指数幂的意义：mna-= ()0,,a n m N*>∈. 5．0的正分数指数幂为，0的负分数指数幂 . 6．有理指数幂的运算性质：①s ta a= ；②()t s a= ；③()t ab= .其中,,0,0.s t Q a b∈>>二、例题选讲知识点1 根式及其运算性质1．下列各式中，对,x R n N*∈∈恒成立的有.x=x=③n x=④x=225+= .3=a的取值范围是 .4等于.5．设a b c==a,b,c的大小关系是 .6.的化简结果为 .知识点2分数指数幂及运算7．用分数指数幂表示根式（1）= ；（2）)0,0a b>>= .8．化简34的结果为，44⋅的结果是 .9．计算)213013410.027256317----⎛⎫-+-+⎪⎝⎭= .10．计算611231133342423a b a b a b---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= .11．化简：1111124242111x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= .综合点1 根式及根式的运算性质的运用12．化简a的结果是.13．设3,x<= .综合点2 分数指数幂的意义及运算性质的运用14．求值：15)1142,0a b a b >⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果是 .16．已知22y x +=，且193y x -=，则x y += . 综合点3 分数指数幂与乘法公式的结合运用17．化简222222223333x y x y x y x y --------+--+-.18．已知22x x a -+=（常数），求88x x -+的值.。