函数单调性教案

课题：2.3 函数的单调性
教学目的：
（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思
（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性
教学重点：函数的单调性的概念；
教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教材分析：
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利
用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学
在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握
按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强
根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中始终以1+=x y 、22+-=x y 、2x y -=、x
y 1=等函数为例子进行讨论研究
教学过程：
一、复习引入：
⒈ 复习：我们上节课已经学习了函数的表示法：解析法、列表法、图像法。

（请学生回答）它们各自的优点是什么？
2.引入：引例1：下面我们来看德国著名心理学家艾宾浩斯研究的数据，利用多媒体显示图表。

如果我们按照列表、描点、连线等步骤把图像画出来那就是艾宾浩斯遗忘曲线，显示图像，分析图像特点。

引例2：显示某市一天24小时气温变化图，学生观察图像，说出变化趋势。

引例3：利用多媒体给出以下四个函数1+=x y 、22+-=x y 、2x y -=、x
y 1=及其图像， 引导学生观察给定的四个函数的图象进而提出
问题1：它们在各自定义域内的上升与下降情况有何不同？对上升，下降等词语的理解.例如，从一楼到三楼之间的路是上升还是下降？
结论：上升，下降，增大，减小等应该在方向上取得统一.对函数的图象来说，方向是以x 轴为参照，从左到右，因为x 的值是单一增加的.这样就不会产生歧义了.
探求结果：最后把大家的感性认识统一为：给定的一
次函数1+=x y 的图象在整个定义域R 上一直是上升的; 给定的一次函数22+-=x y 的图象在整个定义域R 上一直是下降的;而二次函数2x y -=的图象在区间)0,(-∞上是上升的，在区间),0(∞上是下降的;反比例函数x
y 1=的图像在区间)0,(-∞和),0(∞都是下降的，但在整个定义域内并非是下降的。

问题2：大家能否把函数图象在指定区间上的上升或下降用数学文字语言描述出来呢？
探求结果：最终在教师的引导下同学们可得出：函数图象在指定区间（b a ,）上上升可用语言描述为：x 增大，y 增大（具有这种特点的函数叫做——增函数）；函数图象在指定区间（b a ,）上下降可用语言描述为：x 增大，y 减小（具有这种特点的函数叫做——减函数）。

问题3：同学们能否用相应的符号语言来描述函数在指定区间上的增与减呢？
图形是一种直观的东西，如何把它转化为文字语言，进一步转化为符号语言，这是一个难点，应让同学们充分讨论，拿出自己的思路，以便于接受。

教师可作如下引导：比较是体现增大或减小的一种方式，如21x x <能否说明x 的值在增大呢？相应的21y y <能否说明y 的值随之增大呢？
看投影。

若存在),(,21b a x x ∈，21
x x <有)()(21x f x f <，能否说y 的值
随着x 增大呢？
探求结果：最终在教师的引导下同学们可得出
对任意的),(,21b a x x ∈，若21
x x <有)()(21x f x f <则函数在区间（b a ,）上是增函数
对任意的),(,21b a x x ∈若21
x x <有)()(21x f x f >则函数在区间（b a ,）上是减函数
3、指导学生阅读教材，在此基础上让学生总结增、减函数以及单调性的概念
二、讲解新课：
⒈ 增函数与减函数
定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数；⑵若当1x <2x 时，都有
)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数. 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)
时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数.
⒉ 单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），
⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；
增函数的实质是自变量的变化与函数值的变化一致（荣辱与共），减函数的实质是自变量的变化与函数值的变化相对（此消彼长）。

三、讲解例题：
例1、根据图象说出函数的单调区间
说明：函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上观察是一种常用而又简捷直观的方法，函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.
例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数.
证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，
则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),
由
1x <2x 得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即
)(1x f <)(2x f .
∴23)(+=x x f 在R 上是增函数.
过程说明：本例对于高一新生来说难度较大，他们难以从中归纳出证明方法及步骤，因而有必要先详细讲解，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。

同时说明数学题型间的转化关系，使学生体验数学中的艺术美。

解题后反思：引导学生概括出用定义证明函数单调性的一般过程：设量定大小——作差定符号——判断定结论，使学生突破本节的难点，掌握重点。

例3 证明函数x
x f 1)(=在(－∞,0)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(－∞,0)上的任意两个实数，且1x <2x ，
则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -,
由1x ,2x ∈(－∞,0)，得1x 2x >0,
又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是
)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f >
)(2x f ∴x
x f 1)(=在(－∞,0)上是减函数.
1在(-∞，+∞)上是减函数？
能否说函数)(x f=
x
1的定义域.
答：不能. 因为x=0不属于)(x f=
x
四、课堂小结
本节课主要学习了以下内容：
1、单调函数的图象特征；
2、函数单调性的定义；
3、判断单调性的方法：图象、定义;
4、证明函数单调性的步骤：.
○1. 设量定大小:设x1, x2是给定区间上任意两个实数, 且x1 < x2 .
○2.作差定符号: f(x 1)－f(x 2)的结果化积或化完全平方式的和；
○3.判断定结论：结论一定要指出在那个区间上。

五、练习：课本第65页练习1，2，4
过程分析：找学生板演并讲评，为学生提供自我展示的舞台，进而塑造个性发展。

六、课后作业：课本第66页习题2.3：3，5，6。