3.1.1 -LFSR09年

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《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思

《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思复数的概念是复数这一章内容的基础，高中阶段复数的有关概念都是围绕着复数的代数表达式展开。

因此理解虚数单位、实部虚部对后续的学习至关重要。

而复数这个概念对学生而言是一个新的概念，如果开门见山的直接介绍“为了解复数开方，而扩充数系“，从而引入复数会显得枯燥无味，更没法体现数作为数学的一个基本概念的发展历程。

新课程标准中要求让学生体验数的发展历程，体会人类社会发展需要与数学内部矛盾是推动数学发展的动力。

可以说，数的发展历程作为数学文化中的一部分内容，我觉得很有必要让学生体验，因此，我将数的发展历程作为本节课的第一个教学任务，让学生从最初的自然数发展到复数，直到今天的四元数，多元数，然后展望社会在发展，需要在提高，数学也需要不断的完善、发展、永不止境。

在体验数的发展历程后，本节课从“认识虚数单位、复数的代数形式、复数的分类以及复数的相等”几部分展开，每一部分学习后，都有相应的练习及时地帮助学生理解概念、巩固新知。

整节课上完，自我感觉思路清晰，整体而言较顺畅，但其中还是存在很多问题：1、上课前期，过于紧张，将4x=5中x=5÷4解写成了x=4÷5.2、在许多细节的处理上仍有问题，仍需更近一步完善。

例如：“带i的是虚数，不带i的是实数”这种口头上的表示不够严谨。

还有，对，这个过程需要解释复数上的规定：。

3、由于学生学习能力有所差异，经过后续的作业情况反馈，大部分学生都能掌握本节课的内容，但是仍有一部同学在判断实部、虚部上存在问题。

针对这一情况，课后也通过练习进行巩固；4、时间安排上还不够好。

整节课的节奏过快。

必修一高中数学人教版A版必修一第三单元3.1.1方程的根与函数的零点

课前预习
课堂互动
课堂反馈
§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
预习教材 P86－P88，完成下面问题：知识点 1 函数的零点
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
答案 C
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型三判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间
是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
是 0，－12. 答案 0，－12
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型二确定函数零点的个数
【例 2】判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－34x＋58； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由 f(x)＝0，即 x2－34x＋58＝0，得 Δ＝－342－4×58＝－3116<0，所以方程 x2－34x＋58＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为 0.

3.1.1 函数的概念

叫做函数的值域．显然，值域是集合 B
三、新知探究
2．区间概念(a，b 为实数，且 a＜b)
定义 {x|a≤x≤b} {x|a＜x＜b} {x|a≤x＜b} {x|a＜x≤b}
名称闭区间
符号
[a，b]
开区间 (a，b)
半开半闭区间 [a，b)
半开半闭区间 (a，b]
数轴表示
三、新知探究
3．其它区间的表示
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于 f (x) ax b cx d (其中a,b, c, d为常数，且 a 0) 型的函数常用换元法.
四、典例分析、举一反三
跟踪训练五 1. 求下列函数的值域：
（1）y 2x 1 1;
(2)
y
1 1
x2 x2
.
五、课堂小结
请各位同学总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、作业
课本67页练习、72页1-5
谢谢
R
{x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
定义
(－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
符号
四、典例分析、举一反三
题型一函数的定义例 1 下列选项中(横轴表示 x 轴,纵轴表示 y 轴),表示 y 是 x 的函数的是(
D )
解题技巧：（判断是否为函数） 1.（图形判断）y 是 x 的函数,则函数图象与垂直于 x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义 ,所对应图象不是函数图象. 2 .（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系； “一对多”的不是函数关系.

人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题

3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧借助图象判断方程实数根的个数由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3．故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数．错解错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点．错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)．答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧研究函数图象性质有技巧对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意；当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-．综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。

热工基础（3.1.1）--第四章习题及答案

热⼯基础（3.1.1）--第四章习题及答案热⼯基础第四章作业题及答案4-2有⼀厚为20mm的平⾯墙，热导率为1.3W/(m?K)。

为使每平⽅⽶墙的热损失不超过1500W，在外表⾯上覆盖了⼀层热导率为0.lW/(m·K)的保温材料。

已知复合壁两侧的温度分别为750℃及55℃，试确定此时保温层的厚度。

答案：δ=89.6 mm4-3 ⼀钢制热风管，内径为160mm，外径为170mm，热导率λ1=58.2W/(m·K)。

热风管外包有两层保温材料，内层厚δ2=30mm，热导率λ2=0.135W/(m·K)；外层厚δ3=80mm，热导率λ3=0.0932W/(m?K)。

热风管内表⾯温度t w1=300℃，外层保温材料的外表⾯温度t w4=50℃。

求热风管的热损失和各层间分界⾯的温度。

答案：ФL =198.4 W/m, t w2=299.97℃, t w3=229.27℃4-4⽤⽐较法测定材料热导率的装置如图8-16所⽰。

标准试件厚度δ1=16.1mm，热导率λ1=0.15W/(m·K)。

待测试件为厚δ2=15.6mm的玻璃板，且四周绝热良好。

稳态时测得各壁⾯的温度分别为：t w1=44.7℃，t w2 =22.7℃，t w3= 18.2℃，试求玻璃板的热导率。

习题4-4图答案：λ=0.71 W/(m.K)4-7 现有⼀热电偶测量管道内⾼温⽓流的温度（图8-18）。

已知热电偶的读数为t1=650℃，热电偶套管的基部温度t0=500℃，套管插⼊深度l=100mm，套管壁厚δ=lmm，套管外径d=10mm，套管材料的热导率λ=25W/(m?K)，套管外侧与⽓流的表⾯传热系数h=50W/(m2?K)。

试求：⽓流的真实温度t f和测量误差θl。

习题4-7图答案：t f=652.7℃, Δt=2.71℃4-12⼀块初始温度t0=250℃、厚度2δ=5cm、热导率λ=215W/(m?K)、热扩散率52a?8.410m/s=×、密度ρ=2700kg/m3、⽐热容c=900J/(kg·K)的铝板，将其突然置⼊30℃的冷⽔中冷却。

3.1.1利用最大车速确定发动机功率.

功率刚好为Pe的话，未必能在最高车速下发挥出来，也
就是说不一定能达到uamax
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汽车理论
发动机功率的选择
第三章汽车动力装置参数的选择
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发动机功率的选择
这里指的是发动机最大功率（即额定功率）选取的原则有两个：首要原则——预期的最高车速参考原则——比功率
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发动机功率的选择
由uamax确定发动机功率
ua ua max 时，Fi 0, Fj 0
此时所需的发动机功率
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当
Байду номын сангаас
；
1 Gf CD A 3 Pe ua max ua max T 3600 76140
即确定整车参数和预期的最高车速uamax后，可选定发动机功率约等于（但不能小于）上述Pe计算值当最高车速达到uamax时，必然需要Pe；但发动机最大

3.1典型输入信号 3.2 一阶系统的时间响应

第三章
控制系统的时域分析
3.2.5线性定常系统时间响应的性质系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。输入信号决定响应的稳态分量，传递函数决定响应的瞬态分量∆∆∆。注意到：一阶系统的典型输入响应特性与时间常数T密切相关，时间常数T越小，单位阶跃响应的调节时间越小，单位斜坡响应的稳态值滞后时间也越小,单位脉冲响应的衰减越快。
RC电路、恒温箱、液位调节系统、室温调节系统是常见的一阶系统
dxo (t ) T xo (t ) xi (t ) dt
X o ( s) 1 G( s) X i ( s) Ts 1
第三章
控制系统的时域分析
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应对于单位阶跃输入
xi (t ) 1(t )
t T
单位斜坡响应为：
误差为：
x o (t ) (t T Te
1 t T
) 1(t )
e(t ) xi (t ) xo (t ) T (1 e )
一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为：
ess lim e(t ) T
t
第三章
控制系统的时域分析
一阶系统单位斜坡响应的特点
第三章
控制系统的时域分析
一阶系统的单位阶跃响应曲线
第三章
控制系统的时域分析
一阶系统单位阶跃响应的特点响应分为两部分 t T e 瞬态响应：表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）
稳态响应：1
表示t时，系统的输出状态 xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大，且无振荡。 xo() = 1，无稳态误差；

3.1.1 函数的概念

3
③f(x)＝x，g(x)＝
x3.
解析：①中 f(x)＝x 与 g(x)＝xx2的定义域不同，不是同一函数；②中 f(x)＝2x
＋1，g(t)＝2t＋1 虽然自变量不同，但定义域和对应关系相同，是同一函数；
3
③中 f(x)＝x 与 g(x)＝ x3定义域相同对应关系也相同，是同一函数．
答案：②③
知识点二区间 (一)教材梳理填空
[解析] (1)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.
(2)对于A，M中的奇数在N中无元素与之对应y，不是x的函数；对于B，M中每个元素在N中都有两个不同元素与之对应，y不是x的函数；对于C，M中每个元素在N中都有唯一元素与之对应，y是x的函数；对于D，M中x＝0在N中没有元素对应，y不是x的函数，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧] 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一” 或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2.根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
函数的定义域．推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
知识点一函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：

3.1.1会中国抗日战争日本侵华战争的开始

日军的侵华战争
1931年九一八事变
1937年七七事变 1935年华北事变
1932年一二八事变 1937年八一三事变
1938年10月占领广州武汉
面对严重的民族危机，怎么办？
• 中国共产党主张建立全国抗日民族统一战线，要求停止内战，一致对外，全国掀起抗日救亡运动的新高潮。
起来！不愿做奴隶的人们！把我们的血肉筑成我们新的长城！中华民族到了最危险的时候，每个人被迫着发出最后的吼声。起来！起来！起来！我们万众一心，冒着敌人的炮火，前进！冒着敌人的炮火，前进！前进！前进、进！
提出灭亡中国的《二十一条》材料一：欲征服支那，必先征服满蒙，欲征服世界，必先征服支那。倘支那完全可被我国征服，其他如小中细亚及印度、南洋等异服之族，必畏我敬我而降于我。” ——《田中奏折》(1927年)
根本原因：明日维新后，日本逐渐走上军国国主义道路，多次发动侵略中国的战争，日本发动侵华战争是既定国策
• 西安事变把全国抗日民族运动推向高潮，它顺应了抗日形势的发展，符合全国人民的愿望，成为国民党转变的关键。国共两党由分裂对峙走向合作抗日，表明抗日民族统一战线的初步形成。
知识巩固： 1、日本侵华战争的开始和中国抗日战争的起点是什么？时间？结果？ 2、1932年日本在哪里制造了什么事变？谁领导抵抗？ 3、共产党主张建立什么战线？ 4、1935年，北平学生发起了什么运动？ 5、西安事变的时间、人物、结果及意义。
材料二：日本国是群岛国家，面积为３７万平方千米，人口稠密。以山地和丘陵为主，平原仅占全国面积２４％，农业用地面积狭小，粮食常自给不足。矿产资源储量少且分布零散…… 材料三： 1929——1933年资本主义世界发生的经济危机很快席卷日本，对日本社会造成重大影响，工农业急剧衰退，阶级矛盾尖锐。为了摆脱经济危机给日本造成的影响，日本政府开始实施大陆政策。

3.1.1自由落体的瞬时速度

2.在平均速度表达式中让d趋于0的极限值就是瞬时速度。
例：运动员从
10 米高跳台跳水时，不同
时刻的
速度是不同的，设起跳
2
t 秒后运动员相对水面
的高度为 H （ t ） - 4 . 9 t 6 . 5 t 10 , 求在 2 s 时运动员的瞬时速度。
练习：87页学而时习之1,2
用数学语言表示：时间段的长度趋于0，这段时间内的平均速度以12m/s为极限。我们把这个极限值叫做小球运动2s 时的瞬时速度。
瞬时速度的概念：
物体在在一段时间内运动的平均速度的极限。
练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: t=2时刻的瞬时速度.
计算瞬时速度的步骤：
1.以时间t为端点，计算[t,t+d]上的平均速度。
2
面上向下滚动的运动方
程为：
S t 3 t , 计算小球在开始运动
2 s 时的速度。
牛顿给出的计算方法：
先看小球在
2,2.1 s 上的平均速度： S 2 .1 - S 2 12 . 3 m s
2 .1 - 2
用同样的方法可以计算
2 出 2 , 2 . 01 ， , 2 . 001 s
自由落体速度自由落体加速度自由落体加速度公式瞬时速度中间位移的瞬时速度瞬时速度怎么算瞬时速度公式如何求瞬时速度求瞬时速度瞬时速度怎么求
求自由落体的瞬时速度
思考：物理学中瞬时速度的定义？
运动物体经过某一时刻，或某一位置的速度叫瞬时速度。
下面我们一起来看数学中如何求瞬时速度，又是如何定义的。
例：如果小球在某个斜
12.03 12.003
12.0003 11.7 11.97 11.997

3.1.1 典型输入信号

0 ASint t 0 t 0
用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为
R( s ) L[ r( t )] ASinte dt
st 0

0
A jt jt st ( e e )e dt 2j
A e ( s j ) t e ( s j ) t [ |0 |0 ] 2j s j s j A 1 1 A [ ] 2 2 j s j s j s 2

R( s ) L[ r ( t )] A ( t )e
0 0 st

0
A ( t )e st dt
0
dt A ( t )e st dt A
单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。
㈤正弦函数
r( t )
正弦函数也称谐波函数，表达式为
A st A dt e |0 s s
单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。
㈡斜坡函数斜坡函数也称等速度函数。其定义为
r( t )

0 At
t 0 t 0
输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，其图形如图所示。 A 若A=1,则称之为单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。
脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度极短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。 A – 脉冲函数的积分，即脉冲的面积为
A A dt lim t |0 A r( t )dt 0 lim 0 0

3.1.1 典型输入信号

七年级上册数学人教版课时练《3.1.1 一元一次方程》01 试卷含答案

人教版七年级上册数学《3.1.1一元一次方程》课时练一、选择题1．已知是方程14ax bx +=-的解，则()3525a b b -+--的值是（）A ．5B ．5-C ．10-D ．102．下列方程中，一元一次方程的是（）A ．2x ﹣2＝3B ．x 2﹣3＝x +1C ．1y﹣1＝3D ．3x ﹣y ＝43．若关于x 的方程(1)a x b +=（a ，b 为常数）的解是1bx a =+，则（）A ．方程ax b =的解是b x a=B ．方程bx a =的解是a x b=C ．方程(1)1a x +=的解是11x a =+D ．方程(1)1b x +=的解是11x b =+4．已知关于x 的方程2263ax xx --=-有非负整数解，则整数a 的所有可能的取值的和为（）A ．23-B ．23C ．34-D ．345．关于方程（a ＋1）x ＝1，下列结论正确的是（）A ．方程无解B ．x ＝11a +C ．a≠﹣1时方程解为任意实数D ．以上结论都不对6．下列结论正确的是（）A ．－3ab 2和b 2a 是同类项B ．3p不是单项式C ．a 比－a 大D ．2是方程2x +1=4的解7．若方程()22150a x ax --+=是关于x 的一元一次方程，则a 的值为（）A ．0B ．12-C ．1D ．128．药店销售某种药品原价为a 元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b 元/盒，则a ，b 之间满足的关系式为（）A ．b ＝（1﹣30%）（1﹣10%）aB ．b ＝（1﹣30%﹣10%）aC ．000013010a b =++D ．0000(130)(110)ab =++9．王强参加3000米的长跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米秒的速度跑完了其余的路程，一共花了15分钟，他以8米/秒的速度跑了多少米？设以8米/秒的速度跑了x 米，列出的方程是（）A ．3000156085x x -+=´B ．30001585x x-+=C ．3000156085x x --=´D ．30001585x x --=10．在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量简中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（）．A ．π×（92）2×x ＝π×（52）2×（x+4）B ．π×92×x ＝π×92×（x+4）C ．π×（92）2×x ＝π×（52）2×（x-4）D ．π×92×x ＝π×92×（x-4）二、填空题11．已知方程21(2)60n m x +++=是关于x 的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m 为整数，则22m =______．12．关于x 的方程（a ²-9）x ²+ax-3x+4=0是一元一次方程，则a =________．13．关于x 的方程2x-3=kx 的解是整数，则整数k 可以取的值是_____________．14．已知以x 为未知数的一元一次方程202020212019xm x +=的解为2x =，那么以y 为未知数的一元一次方程()20202020202120202019ym y --=-的解为_________．15．根据图中给出的信息，可列方程是______．小乌鸦：老乌鸦，我喝不到大量筒中的水．老乌鸦：小乌鸦，你飞到装有相同水量的小量筒，就可以喝到水了！三、解答题16．（1）已知代数式22321A a ab b =++-，212B a ab a =-+-.若2A B -的值与a 的取值无关，求b 的值.（2）已知关于x 的方程2x x a -=-的解是关于x 的方程211(3)3122x x x a -+=-的解的三分之一.求a 的值.17．已知代数式2,32A a b B b a =-=++．（1）求3A B -；（2）如果32430b x --=是关于x 的一元一次方程，求3A B -的值．18．已知关于x 的整式2332A x ax x =+-+，整式22422B x ax x =+-+，若a 是常数，且3A B -不含x 的一次项．（1）求a 的值；（2）若b 为整数，关于x 的一元一次方程230bx x +-=的解是整数，求5a b +的值．19．对数轴上的点P 进行如下操作：将点P 沿数轴水平方向，以每秒m 个单位长度的速度，向右平移n 秒，得到点P ¢．称这样的操作为点P 的“m 速移”，点P ¢称为点P 的“m 速移”点．（1）当1m =，3n =时，①如果点A 表示的数为5-，那么点A 的“m 速移”点A ¢表示的数为；②点B 的“m 速移”点B ¢表示的数为4，那么点B 表示的数为；③数轴上的点M 表示的数为1，如果2CM C M ¢=，那么点C 表示的数为；（2）数轴上E ，F 两点间的距离为2，且点E 在点F 的左侧，点E ，F 通过“2速移”分别向右平移1t ，2t 秒，得到点E ¢和F ¢，如果2E F EF ¢¢=，请直接用等式表示1t ，2t 的数量关系．20．定义运算：a b ab a b Ä=+-．（1）按此定义，计算1b Ä的值．（2）若()()2111b x b x -++=是关于x 的一元一次方程，求()a b b a b Ä+-Ä的值．21．已知m n 、是有理数，单项式n x y -的次数是3，方程()2120m x mx tx n ++-++=是关于x 的一元一次方程，其中m t ¹．（1）求m n 、的值；（2）若该方程的解是3x =，求t 的值；（3）若该方程的解是正整数，请直接写出整数t 的值．22．根据下列条件，列出方程．（1）x 的倒数减去-5的差为9；（2）5与x 的差的绝对值等于4的平方；（3）长方形的长与宽分别为16、x ，周长为40；（4）y 减去13的差的一半为x 的35．23．根据题意列出方程．（1）一个数的17与3的差等于最大的一位数，求这个数；（2）从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一个长方形条，余下的面积是80cm 2，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？（3）某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？参考答案1．B2．A3．C4．C5．D6．A7．D8．A9．A10．A11．18或32或50或12812．-313．±13.514．2022．15．π×（82）2•x ＝π×（62）2×（x+5）16．（1）25b =；（2）16a =17．（1）72b --；（2）-9．18．（1）75a =；（2）5a +b 的值为6或4或8或2．19．（1）①-2；②1；③-1；（2）211t t -=或123t t -=20．（1）1；（2）0．21．（1）n=2，m=-1；（2）13t =；（3）3，0，-5，-2，1，-322．（1）()159x --=；（2）254x -=；（3）()21640x +=；（4）()131325y x -=23．（1）17x-3=；（2）x 2-2x=80；（3）3000+1500x=19500。

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A版必修第一册

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A 版必修第一册3.1.1 函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义域．教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数．教学难点：1.对应关系f 的正确理解，函数符号y ＝f (x )的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有□01唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作□02y ＝f (x )，x ∈A .其中，x 叫做□03自变量，x 的取值范围A 叫做函数的□04定义域；与x 的值相对应的y 值叫做□05函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的□06值域．显然，□07值域是集合B 的子集．注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)集合A 是函数的定义域，因为给定A 中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应；集合B 不一定是函数的值域，因为B 中的元素可以在A 中没有与之对应的x ，也就是说，B 中的某些元素可以不是函数值，即{f (x )|x ∈A }⊆B .(3)在函数定义中，我们用符号y ＝f (x )表示函数，其中f (x )表示“x 对应的函数值”，而不是“f 乘x ”．知识点二函数的两要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：□01定义域、□02对应关系、□03值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：□04定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y 和它对应．知识点三区间的概念(1)设a ，b 是两个实数，而且a <b .我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做□01闭区间，表示为□02[a ，b ]； ②满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做□03开区间，表示为□04(a ，b )； ③满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做□05半开半闭区间，分别表示为□06[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的□07端点．实数集R 可以用区间表示为□08(－∞，＋∞)，“∞”读作“□09无穷大”，“－∞”读作“□10负无穷大”，“＋∞”读作“□11正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x >a ，x ≤b ，x <b 的实数x 的集合，用区间分别表示为□12[a ，＋∞)，□13(a ，＋∞)，□14(－∞，b ]，□15(－∞，b )． (2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示□16包括在区间内的端点，用空心点表示□17不包括在区间内的端点．(3)含“∞”的区间的几何表示注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．知识点四同一个函数如果两个函数的□01定义域相同，并且□02对应关系完全一致，即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．【新知拓展】(1)函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图象．(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)数x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y 和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( )(4)若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．( )(5)对于定义在集合A 到集合B 上的函数y ＝f (x )，x 1，x 2∈A ，若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f ，不能确定从集合A 到集合B 的函数关系的是________． ①A ＝{1,4}，B ＝{－1,1，－2,2}，对应关系：开平方； ②A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2}，对应关系：③A ＝[0,2]，B ＝[0,1]，对应关系：(2)下列函数中，与函数y ＝x 是同一个函数的是________． ①y ＝x 2；②y ＝3x 3；③y ＝(x )2；④s ＝t . 答案 (1)①③ (2)②④题型一求函数的定义域例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋3；(2)f (x )＝1x ＋1；(3)y ＝x －1＋1－x ；(4)y ＝x ＋1x 2－1；(5)y ＝(1－2x )0. [解] (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R }．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(3)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}． (5)∵1－2x ≠0，即x ≠12，∴函数的定义域为{|x x ≠12}.例2 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [解] 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，即－1≤x ≤4. 故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32，∴函数f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 例3 如图所示，用长为1 m 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x (单位：m)，求此框架围成的面积y (单位：m 2)与x 的函数关系式．[解] 由题意可得，AB ＝2x ，CD ︵的长为πx ，于是AD ＝1－2x －πx2，∴y ＝2x ·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，1－2x －πx2>0，得0<x <1π＋2，∴此函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 故所求的函数关系式为y ＝－π＋42x 2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1π＋2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式：若y ＝f (x )为整式，则函数的定义域是实数集R .(2)分式：若y ＝f (x )为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．(3)偶次根式：若y ＝f (x )为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．(4)几部分组成：若y ＝f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(5)对于抽象函数的定义域：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]中，g (x )∈[a ，b ]，从中解得x 的解集即f [g (x )]的定义域．②若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由x ∈[m ，n ]可确定g (x )的范围，设u ＝g (x )，则f [g (x )]＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，所以g (x )的范围即f (x )的定义域．③已知f [φ(x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域，先由f [φ(x )]中x 的取值范围，求出φ(x )的取值范围，即f (x )中的x 的取值范围，即h (x )的取值范围，再根据h (x )的取值范围便可以求出f [h (x )]中x 的取值范围．(6)实际问题：若y ＝f (x )是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．如：例3中，任何一条线段的长均大于零．[跟踪训练1] (1)若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________；(2)求下列函数的定义域：①y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；②y ＝x ＋1|x |－x ；(3)①求函数y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9的定义域； ②将长为a m 的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完)，求矩形的面积y (单位：m 2)关于一边长x (单位：m)的解析式，并写出此函数的定义域．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 (2)见解析 (3)见解析解析 (1)由题意知，－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.∴f (x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.(2)①要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1，∴函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．②要使函数有意义，需满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x <0.∴函数的定义域为{x |x <0}． (3)①解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．②因为矩形的一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 2. 题型二已知函数值求自变量的值例4 已知函数f (x )＝2x 2－4，x ∈R ，若f (x 0)＝2，求x 0的值． [解] 易知f (x 0)＝2x 20－4， ∴2x 20－4＝2，即x 20＝3. 又∵x 0∈R ，∴x 0＝± 3. 金版点睛就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x ∈[0，＋∞)”，则x 0＝3(－3不符合题意，舍去)．[跟踪训练2] 已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈(－∞，0)，若f (x 0)＝3.求x 0的值．解由题意可得f (x 0)＝x 20－2x 0. ∴x 20－2x 0＝3，即x 20－2x 0－3＝0. 解得x 0＝3或x 0＝－1.又∵x 0∈(－∞，0)，∴x 0＝－1. 题型三已知自变量的值求函数值例5 已知f (x )＝x 2，x ∈R ，求： (1)f (0)，f (1)； (2)f (a )，f (a ＋1)．[解] (1)f (0)＝02＝0，f (1)＝12＝1. (2)∵a ∈R ，a ＋1∈R ， ∴f (a )＝a 2，f (a ＋1)＝(a ＋1)2. 金版点睛对于函数定义域内的每一个值，都可以求函数值(当然函数值唯一)，本例可以直接应用公式：f (x )＝x 2求解，实质上就是求代数式的值，例如f (1)就是当x ＝1时，代数式x 2的值，而f (a ＋1)就是当x ＝a ＋1时，代数式x 2的值．[跟踪训练3] 已知f (x )＝x ＋1x ＋1，求： (1)f (2)；(2)当a >0时，f (a ＋1)的值．解 (1)f (2)＝2＋13.(2)易知f (x )的定义域A ＝[0，＋∞)， ∵a >0，∴a ＋1>1，则a ＋1∈A ， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋2. 题型四求函数的值域例6 求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.[解] (1)(观察法)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. 金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．[跟踪训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝xx ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝x ＋x ＋1. 解 (1)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0，∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(2)配方，得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y |2≤y <11}． (3)(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1，且t ≥0，所以y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，由t ≥0，再结合函数的图象可得函数的值域为[－1，＋∞). 题型五相同函数的判断例7 下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2＋1，g (t )＝t 2＋1 C ．f (x )＝1，g (x )＝x xD ．f (x )＝x ，g (x )＝|x |[解析] A 项中，由于f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．B 项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数．C 项中，由于f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝x x的定义域为{x |x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．D 项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数． [答案] B 金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．[跟踪训练5] 下列函数中哪个与函数y ＝x 相同？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x.解 (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相同． (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相同． (3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y＝x 不相同，所以不相同．(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相同．1．下列各图中，可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析 A ，B 中的图象与y 轴有两个交点，即有两个y 值与x ＝0对应，所以A ，B 不可能是函数y ＝f (x )的图象；对于C 中图象，过x ＝1作与x 轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C 不可能是函数y ＝f (x )的图象．故选D.2．函数f (x )＝x ＋2－x 的定义域是( )A ．{x |x ≥2} B．{x |x >2}C ．{x |x ≤2} D．{x |x <2}答案 C解析要使函数式有意义，则2－x ≥0，即x ≤2.所以函数的定义域为{x |x ≤2}．3．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 ∵原函数的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12. ∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝________.答案 2解析因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (a ＋1)； (2)若f (x )＝5，求x . 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2， f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋(a ＋1)－1＝a 2＋3a ＋1.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3.。

3.1.1一元一次方程(1)

教师要根据课堂教学的情况灵活处理，不能把学生的思维硬往教材上套。
通过比较能使学生学会到从算式到方程是数学的进步。
问题的开放性有利于培养学生思维的发散性。
这样安排的目的是所有的学生都有独立思考的如果设王家庄到青山的路程为 x 千米，那么可以列时间和合作交流 x x x 120 的时间。 60; 方程：
1 （27－x）＝4x. 2
初步应用课堂练习
课堂小结
本课作业
【数学备课大师】/
【数学备课大师】/
问该班共展出多少枚邮票？（3）根据下列条件列出方程：小青家 3 月份收入 a 元，生活费花去了三分之一，还剩 2400 元，求三月份的收入。本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）本教学设计着力体现以下几方面特点： 1、突出问题的应用意识．教师首先用一个学生感兴趣的实际问题引人课题，然后运用算术的方法给出解答。在各环节的安排上都设计成一个个的问题，使学生能围绕问题展开思考、讨论，进行学习． 2、体现学生的主体意识．本设计中，教师始终把学生放在主体的地位：让学生通过对列算式与列方程的比较，分别归纳出它们的特点，从而感受到从算术方法到代数方法是数学的进步；让学生通过合作与交流，得出问题的不同解答方法；让学生对一节课的学习内容、方法、注意点等进行归纳． 3、体现学生思维的层次性．教师首先引导学生尝试用算术方法解决间题，然后再逐步引导学生列出含未知数的式子，寻找相等关系列出方程．在寻找相等关系、设未知数及作业的布置等环节中，教师都注意了学生思维的层次性． 4、渗透建模的思想．把实际间题中的数量关系用方程形式表示出来，就是建立一种数学模型，教师有意识地按设未知数、列方程等步骤组织学生学习，就是培养学生由实际问题抽象出方程模型的能力．

3.1.1 日本侵华战争的开始

日本侵华的背景
1.明治维新后，日本逐渐走上军国主义道路，多次发动侵略中国的战争。 2.20世纪30年代初，日本卷入资本主义世界的经济危机，经济遭受沉重打击,为转嫁危机，缓和国内矛盾，日本加快了对中国侵略掠夺的步伐。
田中奏折——大陆政策
大陆政策是日本自明治维新后，“不甘处岛国之境”，立足于用战争手段进行对外扩张的政策，是日本近地点：
1931年9月18日
沈阳柳条湖
策划者：日本关东军结果：在蒋介石的不抵抗政策，不到半年日军占领了东北三省。影响： “九一八事变”是中国抗日战争的起点，中国人民的局部抗战揭开了世界反法西斯战争的序幕。
依据地图，想一想，失去东北三省会给中国造成什么样的危害。 •助长了日本的侵略气焰； •使华北失去屏障，加速了日本侵华的进程； •东北大量资源被日本掠夺，为其侵略提供物质保障； •东北三省的广大人民遭受日本的残暴奴役。
西安事变爆发的原因
1.根本原因：日本加紧侵华，民族危机日益严重，全国掀起抗日救亡运动的新高潮。
2.中国共产党抗日民族统一战线政策的感召和中共对张学良杨虎城的争取；张学良、杨虎城接受了“停止内战、一致抗日”的主张。
3.蒋介石不放弃“攘外必先安内”的政策，威逼张学良、杨虎城执行“剿共”计划。
抗日救亡运动日本侵华战争的开始
“九一八”事变
（时间、地点、经过、结果、影响）
1.中国共产党：
主张建立全国抗日民族统一战线，要求停止内战，一致对外。组织东北抗日联军，开展抗日游击战。 2.学生：“一二·九”运动
“一·二八”事变
3.东北军民：组成东北抗日义勇军自发起来抗日。华北事变 4.国民党爱国官兵：西安事变

3.1.1 函数的概念课件(共30张ppt)

3.1.1 函数的概念
函数符号y＝f(x) 是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的．显然,值域是集合B的子集.在问题1与问题2 中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数集B3的真子集;在问题4中,值域 B4={0.3669,0.3681,0.3817, 0.3569,0.3515, 0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857},是数集 B4={r｜0＜r≤1}的真子集．
3.1.1 函数的概念
一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应, 那么就称ƒ:A→B为从集合A到集合B的一个函数 (function).记作: y=f(x),xA.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 (range).
3.1.1 函数的概念
我们所熟悉的一次函数y＝ax+b(a≠0)的定义域是R,值域也是R,对应关系f把 R中的任意一个数 x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0)．
二次函数y=ax2+bx当a＞0时,B { y| 4ac b2 } ;当a<0时, 4a
3.1.1 函数的概念
解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是 R,值域是B={y | y≤25}.对应关系f把R中的任意一个数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x). 如果对x的取值范围作出限制,例如x∈{x | 0<x<10}, 那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y＝ x(10-x).其中,x的取值范围是A={x｜0<x<10},y的取值范围是B={y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).

3.1.1 用树状图或表格求概率教案北师大版数学

3.1.1 用树状图或表格求概率教案
一枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同；无论掷第一枚硬币出现怎样的结果，掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率都是相同的.
指出：我们通常利用树状图或表格列出所有可能出现的结果.
现在再来解决刚开始的问题：做一做：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票.三人决定一起做连续抛掷两枚均匀的硬币游戏，谁获胜谁就去看电影.
小明：两枚正面朝上，我获胜
小颖：两枚反面朝上，我获胜
小凡：一枚正面朝上、一枚反面朝上，我获胜
你认为这个游戏公平吗？
解：连续掷两枚均匀的硬币总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同.其中：
小明获胜的结果有1种：（正，正），所以小明获胜的概率
是1 4；
小颖获胜的结果有1种：（反，反），所以小颖获胜的概率
也是1 4；
小凡获胜的结果有2种：（正，反）（反，正），所以小凡获
胜的概率是21 42
；
因此，这个游戏对三人是不公平的.
归纳：利用树状图或表格，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率.
一只箱子里面有3个球，其中2个白球，1个红球，他们1.在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球,它们除颜色外没有其他区别,从袋中任意摸出一个球,然后放回搅匀,再从袋中任意摸一个球,那么两次都摸到黄球的概率是（）
A. B.
C. D.
2. 一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸出2个球，2个球都是红球的可能性( )
A. B.
C.
D.
基础作业
21
41
6121
4161
树状图。

3.1.1 函数的概念(解析版)高一数学同步讲义(新教材人教A版必修第一册)

10 / 103.1.1 函数的概念一、知识点归纳知识点1. 函数的有关概念 (1)函数的概念(2)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．(3)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．知识点2．知识点二区间及相关概念 (1)区间的概念及记法设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：(2)无穷大实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示二、题型分析题型一函数的定义【例1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；10 / 10(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.【答案】见解析【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.【规律方法总结】(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：∈A，B必须都是非空数集；∈A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．【注意】A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．【变式1】. 下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1 x－2D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1【答案】B【解析】：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．10 / 1010 / 10题型二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)y ＝3－12x ；(2)y ＝(x ＋1)0x ＋2；(3)y ＝5－x |x |－3；(4)f (x )＝x ＋1－x 2－3x ＋4. 【答案】见解析【解析】(1)函数y ＝3－12x 的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1. 又x ＋2＞0，即x ＞－2，所以x ＞－2且x ≠－1. 所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{x |x ＞－2且x ≠－1}．(3)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，所以函数y ＝5－x|x |－3的定义域为{x |x ≤5且x ≠±3}． (4)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，(x ＋4)(x －1)<0，解不等式组得－1≤x <1. 因此函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <1}．10 / 10【规律方法总结】求函数定义域的常用方法 (1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．【变式2】．设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∈R M 为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】：由2－x ≥0解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2]，所以∈R M ＝(2，＋∞)．【变式3】．函数f (x )＝x x －1的定义域为________．【答案】：{x |x ≥0且x ≠1}【解析】：要使x x －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠1}．题型三同一函数(2)两个注意点：10 / 10题型四求函数的值、值域问题【例4】(1)f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2，则f (2)＝________；g (f (2))＝________；g (a )＋g (0)(a ≠－2)＝________. (2)求下列函数的值域： ∈y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； ∈y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ∈y ＝2x ＋1x －3；∈y ＝2x －x －1.【答案】：10112 1a ＋2＋12【解析】(1)因为f (x )＝2x 2＋2，所以f (2)＝2×22＋2＝10，又因为g (x )＝1x ＋2，10 / 10所以g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112，g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋12(a ≠2)．(2)∈观察法：因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．∈配方法：y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)． ∈分离常数法：y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∈(2，＋∞)．∈换元法：设t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞. 【规律方法总结】1．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；10 / 10(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．【变式5】求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x 21＋x 2.【解析】：(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．三、课堂达标检测1．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )【答案】：A【解析】：对于1个x 有无数个y 与其对应，故不是y 的函数． 2.已知函数f (x )＝－1，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．不确定【答案】：B【解析】：因为函数f (x )＝－1，4．函数y＝1＋2－x的定义域为()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[2，＋∞)D．(－∞，2]【答案】D【解析】：要使函数式有意义，需2－x≥0，解得x≤2.5．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________；(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.【答案】：(1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∈(2，＋∞)6．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．【答案】：{－1,1,3,5,7}【解析】：定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值可得值域为{－1,1,3,5,7}．10 / 1010 / 107.下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号) ∈f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ∈f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；∈f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. 【答案】∈∈【解析】∈f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数； ∈f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；∈f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数． 8.若f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f (f (2))的值．【答案】2【解析】：f (0)＝1－01＋0＝1，f (1)＝1－11＋1＝0，f (1－a )＝1－(1－a )1＋(1－a )＝a2－a (a ≠2)，f (f (2))＝1－f (2)1＋f (2)＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2. 四、课后提升作业一、选择题1．已知f (x )＝x 2＋1，则f (f (－1))＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．510 / 10【答案】D【解析】：因为f (－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝22＋1＝5.2．已知M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )【答案】B【解析】： A 项中函数的定义域为[－2,0]，C 项中对任一x 都有两个y 值与之对应，D 项中函数的值域不是[0,2]，均不是函数f (x )的图象．故选B. 3．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 【答案】C【解析】：选项A 、B 及D 中对应关系都不同，故都不是相等函数． 4．函数f (x )＝3x 21－x －23x ＋1的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，1 B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 【答案】B【解析】：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1，从而得B 答案．10 / 105．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2【答案】A【解析】： ∈f (x )＝ax 2－1，∈f (－1)＝a －1， f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1. ∈a (a －1)2＝0. 又∈a 为正数，∈a ＝1.6．已知函数y ＝f (x )，则函数与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．至多一个【答案】D【解析】根据函数的概念，在定义域范围内任意一个自变量x 的值都有唯一的函数值与之对应，因此直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象最多只有一个交点．7．已知等腰三角形ABC 的周长为10，底边长y 关于腰长x 的函数关系式为y ＝10－2x ，则此函数的定义域为( ) A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <5 【答案】 D【解析】 ∈∈ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x >0，∈x <5.又两边之和大于第三边，∈2x >10－2x ，∈x >52，∈此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <5. 8.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式10 / 10为y ＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”的个数为( )A ．6B ．9C ．12D ．16 【答案】B【解析】由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y ＝x 2，值域为{1,4}，当x ＝±1时，y ＝1，当x ＝±2时，y ＝4，则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“同族函数”共有9个．二、填空题9．设f (x )＝11－x ，则f (f (a ))＝________.【答案】：a －1a(a ≠0，且a ≠1)【解析】：f (f (a ))＝11－11－a ＝11－a －11－a ＝a －1a (a ≠0，且a ≠1)．10．函数y ＝2x ＋41－x 的值域为________(用区间表示)．【答案】：(－∞，4]【解析】：令t ＝1－x ，则x ＝1－t 2(t ≥0)， y ＝2x ＋41－x ＝2－2t 2＋4t ＝－2(t －1)2＋4. 又∈t ≥0，∈当t ＝1时，y max ＝4. 故原函数的值域是(－∞，4]．11．设常数a ∈R ，函数f (x )＝|x －1|＋|x 2－a |，若f (2)＝1，则f (1)＝________. 【答案】3【解析】由f (2)＝1＋|22－a |＝1，可得a ＝4，所以f (1)＝|1－1|＋|1－4|＝3.12．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围为________．10 / 10【答案】 ⎣⎡⎦⎤32，3【解析】 ∈当x ＝0或x ＝3时，y ＝－4；当x ＝32时，y ＝－254，∈m ∈⎣⎡⎦⎤32，3. 13．已知函数f (x )＝2kx 2－4kx ＋k ＋3的定义域为R ，则k 的取值范围是________．【答案】 0≤k <1【解析】由题意可得kx 2－4kx ＋k ＋3>0恒成立． ∈当k ＝0时，3>0恒成立，所以满足题意；∈当k ≠0时，须使⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝(4k )2－4k (k ＋3)<0，解得0<k <1.综上所得，k 的取值范围为0≤k <1.三、解答题14．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝5x ＋4x －1； (3)f (x )＝x －x ＋1. 【答案】见解析【解析】：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，10 / 10于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－54. 15．(1)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，求函数f (x －5)的定义域； (2)已知函数f (x －1)的定义域是[0,3]，求函数f (x )的定义域； (3)若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域．【答案】见解析【解析】 (1)由－1≤x －5≤5，得4≤x ≤10，所以函数f (x －5)的定义域是[4,10]． (2)由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，所以函数f (x )的定义域是[－1,2]．(3)已知f (x )的定义域为[－3,5]，则φ(x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤－x ≤5，－3≤x ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤3，－3≤x ≤5，解得－3≤x ≤3.所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]． 16．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的值；(2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与⎪⎭⎫⎝⎛x 1f 有什么关系？并证明你的结论； (3)求f (2)＋⎪⎭⎫⎝⎛21f ＋f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f ＋…＋f (2 019)＋f ⎪⎭⎫⎝⎛20191f 的值．【答案】见解析【解析】：(1)∈f (x )＝x 21＋x 2，∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1，10 / 10f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1. ∈f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。

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