千题百炼高考数学个热点问题一：第炼 复合函数零点问题
千题百炼高考数学个热点问题一第炼复合函数零点问题
炼复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设y = /(/), f = g(x)，且函数g(x)的值域为/⑴定义域的子集, 那么y 通过f的联系而得到自变量x的函数，称〉，是x的复合函数，记为〉，= /[g(x)]2、复合函数函数值计算的步骤：求y = g[/(x)]函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知/(X)=2\^(A)= X2-X»计算g[/(2)]解：/(2) = 22 = 4 (2)] = (4) = 123、己知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求*的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。
例如：已知/(x) = 2\ g(x) = x2-2x,若g [/(x)] = 0, 求x解：令/ = f(x),贝ljg(/) = o=>/2_2z=o解得/ = 0,/ = 2当/=0亠/*(兀)=0=>2"=0,贝Ijxe0当/=2»(x) = 2=>2”=2,贝ljx = l综上所述：x = 1由上例可得，要想求出g[/(X)] = O的根，则需要先将/(X)视为整体，先求出/(X)的值，再求对应X的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义: 4、函数的零点：设/(x)的定义域为D,若存在x°wD,使得/(々)=0,则称x = x0为门对的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g[/(x)] = O根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于/(X)的方程，观察有儿个几刃的值使得等式成立；第二层是结合着第一层/(工)的值求出每一个/(工)被儿个兀对应，将兀的个数汇总后即为g[/(x)] = 0的根的个数6、求解复合函数y = g[/(x)]零点问题的技巧：(1) 此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像(2) 若己知零点个数求参数的范围，则先估计关于几兀)的方程g[/(x)] = O 中/⑴解的个数，再根据个数与的图像待点，分配每个函数值£(x)被儿个X 所对应，从 而确定ZG)的取值范围，进而决定参数的范围复合函数： 二、典型例题[丄®例1：设定义域为R 的函数/(A-)= Ix-lp-,若关于兀的方程f(X ) + bf(X )+C = O 由l,x = l3个不同的解“宀,心，则对+城+玮= ________思路：先作出几刃的图像如图：观察可发现对于任意的儿，满足y 0=/(x)的X 的个 数分别为2个(儿＞0,儿知)和3个(儿= 1),已知有3个解，从而可得/(x) = l 必 为严(x) +M(x) + c = 0的根，而另一根为1或者是负数。
高考函数-复合函数的零点-含答案
结合图象可知
a
a
f f
3 3 4 8
，可得 3 a
8
（2）若 a 0 ，则关于的不等式 0 f x a 恰有一个整数解．
结合图象可知{
a a f
f 1 1 1 3
，可得 3 a 1
综上， 3 a 1或3 a 8 ．
例
5.已知函数
f
(x) (x2
3)ex
，当 m
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
的 4 个公共点，由图象可知 7 b 2 ． 4
8 6 4 2
15
10
5 2
5
10
15
4
6
8
例
7.（13
江西改编） 设函数
f
(x)
1 a
x
,
1
1 a
0 xa,
1 x , a
x
（ 1
a
为常数且
a
0,1
）．
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称 x0 为 f (x) 的二阶周期点，
二 题型攻略·深度挖掘 1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出 现，一般综合性强，难度大．
2.【技能方法】求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧： （1）借助数形结合思想，处理问题作出 u f x, y g u 的图像
千题百炼——高考数学个热点问题一第炼复合函数零点问题
第12炼复合函数零点问题一、基础知识： 1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦ 解：()2224f ==()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。
例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x解：令()t f x =，则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t ==当()0020x t f x =⇒=⇒=，则x ∈∅ 当()2222x tf x =⇒=⇒=，则1x =综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g fx =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围复合函数： 二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
千题百炼高考数学个热点问题第炼复合函数零点问题
第12炼 复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =;()t g x =;且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集;那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数;称y 是x 的复合函数;记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序;一层层求出函数值..例如：已知()()22,x f x g x x x ==-;计算()2g f ⎡⎤⎣⎦解：()2224f == ()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解;则遵循“由外到内”的顺序;一层层拆解直到求出x 的值..例如：已知()2x f x =;()22g x x x =-;若()0g f x =⎡⎤⎣⎦;求x解：令()t f x =;则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =⇒=⇒=;则x ∈∅ 当()2222x t f x =⇒=⇒=;则1x = 综上所述：1x =由上例可得;要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根;则需要先将()f x 视为整体;先求出()f x 的值;再求对应x 的解;这种思路也用来解决复合函数零点问题;先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ;若存在0x D ∈;使得()00f x =;则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数;在解此类问题时;要分为两层来分析;第一层是解关于()f x 的方程;观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应;将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：1此类问题与函数图象结合较为紧密;在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像2若已知零点个数求参数的范围;则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数;再根据个数与()f x 的图像特点;分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应;从而确定()i f x 的取值范围;进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩;若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ;则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ;满足()0y f x =的x 的个数分别为2个000,1y y >≠和3个01y =;已知有3个解;从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根;而另一根为1或者是负数..所以()1i f x =;可解得：1230,1,2x x x ===;所以2221235x x x ++= 答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体;即()21t x x =-;则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =;则只需作出()21t x x =-的图像;然后统计与1t =与2t =的交点总数即可;共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x xx=+--;关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=,a b R ∈恰有6个不同实数解;则a 的取值范围是 ．思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=;故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩; 则()f x 的图像如图;由图像可知;若有6个不同实数解;则必有()()122,02f x f x =<<;所以()()()122,4a f x f x -=+∈;解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数;当0x >时;()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩;则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为A. 6B. 7C. 8D.9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解;得()()1211,23f x f x ==-;只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可..由奇函数可先做出0x >的图像;2x >时;()()122f x f x =-;则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩为一半即可..正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像..通过数形结合可得共有7个交点 答案：B小炼有话说：在作图的过程中;注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间..例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ;且()11f x x =;则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2320x ax b ++= ①的两根;观察到方程①与()()()2320f x af x b ++=结构完全相同;所以可得()()()2320f x af x b ++=的两根为()()1122,f x x f x x ==;其中()111f x x =;若12x x <;可判断出1x 是极大值点;2x 是极小值点..且()()2211f x x x f x =>=;所以()1y f x =与()f x 有两个交点;而()2f x 与()f x 有一个交点;共计3个；若12x x >;可判断出1x 是极小值点;2x 是极大值点..且()()2211f x x x f x =<=;所以()1y f x =与()f x 有两个交点;而()2f x 与()f x 有一个交点;共计3个..综上所述;共有3个交点 答案：A例6：已知函数()243f x x x =-+;若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根;则实数b 的取值范围是A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像如图;因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ;若要出七个根;则()()()121,0,1f x f x =∈;所以()()()121,2b f x f x -=+∈;解得：()2,1b ∈--答案：B例7：已知函数()xx f x e=;若关于x 的方程()()210f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根;则实数m 的取值范围是A. ()1,22,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,1e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭思路：(),0,0x xxx e f x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩;分析()f x 的图像以便于作图;0x ≥时;()()'1x f x x e -=-;从而()f x 在()0,1单调递增;在()1,+∞单调递减;()11f e=;且当,0x y →+∞→;所以x 正半轴为水平渐近线；当0x <时;()()'1x f x x e -=-;所以()f x 在(),0-∞单调递减..由此作图;从图像可得;若恰有4个不等实根;则关于()f x 的方程()()210f x mf x m -+-=中;()()12110,,,f x f x e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;从而将问题转化为根分布问题;设()t f x =;则210t mt m -+-=的两根12110,,,t t e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;设()21g t t mt m =-+-;则有()20010111100g m m m g e e e >⎧->⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫-⋅+-=< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩;解得11,1m e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目;其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图;在作图的过程中还要注意渐近线的细节;从而保证图像的准确.. 例8：已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩;则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确的是A. 当0a >时;有4个零点；当0a <时;有1个零点B. 当0a >时;有3个零点；当0a <时;有2个零点C. 无论a 为何值;均有2个零点D. 无论a 为何值;均有4个零点思路：所求函数的零点;即方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦的解的个数;先作出()f x 的图像;直线1y ax =+为过定点()0,1的一条直线;但需要对a 的符号进行分类讨论..当0a >时;图像如图所示;先拆外层可得()()12210,2f x f x a =-<=;而()1f x 有两个对应的x ;()2f x 也有两个对应的x ;共计4个；当0a <时;()f x 的图像如图所示;先拆外层可得()12f x =;且()12f x =只有一个满足的x ;所以共一个零点..结合选项;可判断出A 正确 答案：A例9：已知函数()()()232211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪-++≤⎩;则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦a 为正实数的实数根最多有___________个思路：先通过分析()(),f x g x 的性质以便于作图;()()'23632f x x x x x =-=-;从而()f x 在()(),0,2,-∞+∞单增;在()0,2单减;且()()01,23f f ==-;()g x 为分段函数;作出每段图像即可;如图所示;若要实数根最多;则要优先选取()f x 能对应x 较多的情况;由()f x 图像可得;当()()3,1f x ∈-时;每个()f x 可对应3个x ..只需判断()g f x a =⎡⎤⎣⎦中;()f x 能在()3,1-取得的值的个数即可;观察()g x 图像可得;当51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时;可以有2个()()3,1f x ∈-;从而能够找到6个根;即最多的根的个数 答案：6个例10：已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下;给出下列四个命题：1方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 2方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 3方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 4方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根 则正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层;找到内层函数能取得的值;从而统计出x 的总数..1中可得()()()()()1232,1,0,1,2g x g x g x ∈--=∈;进而()1g x 有2个对应的x ;()2g x 有3个;()3g x 有2个;总计7个;1错误；2中可得()()()()122,1,0,1f x f x ∈--∈;进而()1f x 有1个对应的x ;()2f x 有3个;总计4个;2错误；3中可得()()()()()1232,1,0,1,2f x f x f x ∈--=∈;进而()1f x 有1个对应的x ;()2f x 有3个;()3f x 有1个;总计5个;3正确；4中可得：()()()()122,1,0,1g x g x ∈--∈;进而()1g x 有2个对应的x ;()2g x 有2个;共计4个;4正确 则综上所述;正确的命题共有2个 答案：B。
高考数学经典常考题型第12专题 复合函数零点问题
高考数学经典常考题型第12专题复合函数零点问题第12专题训练：复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设 $y=f(t),t=g(x)$，且函数 $g(x)$ 的值域为 $f(t)$ 的定义域的子集，那么 $y$ 通过 $t$ 的联系而得到自变量 $x$ 的函数，称 $y$ 是 $x$ 的复合函数，记为$y=f(g(x))$。
2、复合函数函数值计算的步骤：求 $y=g(f(x))$ 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知$f(x)=2x,g(x)=x^2-x$，计算 $g(f(2))$。
解：$f(2)=2\times 2=4$，$\therefore g(f(2))=g(4)=12$3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 $x$ 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 $x$ 的值。
例如：已知 $f(x)=2x,g(x)=x^2-2x$，若 $g(f(x))=0$，求 $x$。
解：令 $t=f(x)$，则 $g(t)=0$，$\therefore t=0$ 或 $t=2$。
当 $t=0$ 时，$f(x)=0$，XXX；当 $t=2$ 时，$f(x)=2$，$\therefore x=1$。
综上所述，$x=1$。
由上例可得，要想求出 $g(f(x))=0$ 的根，则需要先将$f(x)$ 视为整体，先求出 $f(x)$ 的值，再求对应 $x$ 的解。
这种思路也用来解决复合函数零点问题。
先回顾零点的定义：4、函数的零点：设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在 $x\in D$，使得 $f(x)=0$，则称 $x$ 是 $f(x)$ 的一个零点。
5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 $x$ 的方程$g(f(x))=0$ 的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析。
第一层是解关于 $f(x)$ 的方程，观察有几个 $f(x)$ 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 $f(x)$ 的值求出每一个$f(x)$ 被几个 $x$ 对应，将 $x$ 的个数汇总后即为$g(f(x))=0$ 的根的个数。
专题：复合函数的零点
1复合函数的零点问题1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是2、已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有2]1)([=-xx f f ,则)51(f 的值是 .3、已知函数12)(22+-++=m m mx x x f ,若方程0))((=x f f 无实根，则m 的取值范围为 . 4、已知函数）（R x x x x f ∈=3-)(3.设c x f f x h -=))(()(，其中∈c [-2,2],求函数)(x h y =零点个数.5、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。
6、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________ 7、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.8、已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()()1-=x f f y 的零点个数为_________.9、已知函数31+,>0()3,0x x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数可能为_________. 10、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为11、函数0.5(x)2log 1xf x =-的零点个数为（ ）12、函数(x)2ln f x =的图像与函数2(x)x 45g x =-+的图像的交点个数为（ ）213、已知函数32, 2(x)(x 1),x 2x f x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程(x)f k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是14、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)415、（2014江苏）已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 16、已知函数3221(x 0)(x)x 31,(x),4x 68(x 0)x f x g xx ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩则方程[]g (x)0(a R )f a +-=∈的解的个数不可能为（ ）17、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )B. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)418、关于x 的方程222x 1)x 10k ---+=（，给出下列4个命题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。
千题百炼 高考数学100个热点问题(一)：第4炼 函数值域的求法
千题百炼高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法第二章第4章值域函数及其精化函数的性质第4炼求函数的值域函数值域问题作为函数的三要素之一，也是高考中的一个重要考点，值域问题往往渗透到各种问题中，成为问题解决过程的一部分。
因此，掌握一些求取取值范围的基本方法。
当你需要找到函数的取值范围时，你可以掌握解析式的特点，找到相应的方法冷静地解决它。
1、基本知识：1。
寻找值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2.寻找数值范围的常用工具：虽然有时，寻找数值范围就像仙女的拼写公式。
分析特征对应于寻找值范围的方法。
只要你掌握了每种方法并对功能进行了分类，你就可以进行操作，但你也应该掌握一些常用的想法和工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若f?x?为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数图像（数字与形状的组合）：如果可以制作函数图像，则值范围一目了然（3）换元法：f?x?的解析式中可将关于x的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最大值法：如果函数f？十、哪里a、 b？连续的，f？十、M的最大值和最小值，然后是f？十、数值范围是多少？m、 m？注：一定在f?x?连续的前提下，才可用最值来解得值域3.常用函数的取值范围：在处理常用函数的取值范围时，通常可以通过组合数字和形状以及使用函数图像来求解取值范围。
巧妙地处理公共函数的取值范围，也便于通过变形和变换将复杂的解析公式转换为公共函数。
（1）一次函数（y?kx?b）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（y？Ax？BX？C）：二次函数的图像是抛物线。
一般来说，这个公式可以用来确定函数的对称轴，然后用图像来求解它。
高一难点：复合函数的零点问题的求解
难点：复合函数的零点问题的求解【例题分析】（2019人教版必修第一册第155页第8题）已知函数23)(2---=x x x f ，2)]([2)(x f x g -=.（1）求函数)(x g y =的解析式；（2）利用信息技术，画出函数)(x g y =的图象；（3）求函数)(x g y =的零点（精确到0.1）.解析：（1）212136)(234-----=x x x x x g ；（2）如右图，为函数)(x g y =的图象：（3）利用二分法可求得函数)(x g y =有两个零点，分别为8.2-=x 和2.0-=x .【题型说明】由于在考试题中的方程往往不易求解，复合函数有关零点问题一般不需要求出具体的零点，所以复合函数有关零点问题一般包括两类题型：①判断零点个数；②由零点个数求出参数的取值或取值范围.【方法总结】对于形如)]([x f F y =的复合函数零点的处理（本质求0)]([=x f F 的根）：令)(x f t =，函数)]([x f F y =可看成内层)(x f t =和外层)(t F y =的复合函数.第一步：求外层)(t F y =对应方程0)(=t F 的t 的值或范围；第二步：求内层t x f =)(对应方程的解或对应图象的交点个数.从而得到)]([x f F y =的零点情况.【例题改编】【变式1】已知函数23)(2---=x x x f ，求函数1)(8-)]([12)(2+=x f x f x F 的零点个数.【变式2】已知函数|23|)(2---=x x x f ，求函数1)(8-)]([12)(2+=x f x f x F 的零点个数.【变式3】已知函数23)(2---=x x x f ，若函数a x f k x f x F 2)()2()]([)(2--+=有2个不同的零点，求实数k 的取值范围.【变式4】已知函数|23|)(2---=x x x f ，若函数a x f k x f x F 2)()2()]([)(2--+=有4个不同的零点，求实数k 的取值范围.【变式5】已知函数23)(2---=x x x f ，若函数3)(2-)]([)(2+=x kf x f x F 有4个不同的零点，求实数k 的取值范围.【变式6】已知函数|23|)(2---=x x x f ，函数3)(2-)]([)(2+=x kf x f x g .（1）若函数)(x g y =有6个不同的零点，求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x g y =恰有3个不同的零点321x x x ，，（321x x x <<），求此时实数k 的值和)(321x x x f ++的值；（3）讨论函数)(x g y =的零点个数及相应实数k 的取值范围.。
零点问题复合函数练习题
一、函数概念1. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求f(g(x))。
2. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求f(g(2))。
3. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求f(h(3))。
4. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求f(1)。
5. 设f(x) = 5x 2，g(x) = f(x^2)，求g(4)。
二、复合函数的求值6. 若f(x) = x^3，g(x) = f(x + 1)，求g(2)。
7. 设h(x) = 4x^2 1，f(x) = h(x 1)，求f(3)。
8. 若g(x) = 2x + 5，f(x) = g(x^2)，求f(1)。
9. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求f(2)。
10. 若g(x) = 3x 2，f(x) = g(x^3)，求f(2)。
三、复合函数的求导11. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求(f ∘ g)'(x)。
12. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求(g ∘ f)'(2)。
13. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求(f ∘ h)'(3)。
14. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求(f ∘ g)'(1)。
15. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求(f ∘h)'(x)。
四、复合函数的极值16. 设f(x) = x^3 3x^2 + 4x 1，求f(g(x))的极值点。
17. 若f(x) = 2x^2 4x + 3，g(x) = x 1，求f(g(x))的极值。
18. 设h(x) = x^2 + 2x + 1，f(x) = h(x 1)，求f(h(x))的极值点。
数学上册综合算式专项练习题求复合函数的零点
数学上册综合算式专项练习题求复合函数的零点复合函数的零点是指，对于给定的复合函数，在定义域内存在使得函数取零值的数值。
本文将通过综合算式专项练习题，探讨如何求解复合函数的零点。
在解决复合函数的零点问题之前，我们需要了解复合函数的基本概念。
复合函数是指由两个或多个函数构成的新函数，其中一个函数的输出值是另一个函数的输入值。
表示为：f(g(x))，先进行g(x)的运算，再将结果作为f(x)的输入。
为了求解复合函数的零点，我们可以采用以下步骤：步骤一：给定复合函数表达式。
例如，我们考虑一个复合函数表达式：f(g(x)) = x^2 + 2x，其中g(x) = 2x + 1。
步骤二：找到复合函数的定义域。
在这个例子中，我们需要确定x的取值范围，使得g(x)的结果在f(x)的定义域内。
步骤三：将g(x)代入f(x)的表达式中，得到复合函数的具体形式。
根据我们的例子，复合函数的表达式为：f(x) = (2x + 1)^2 + 2(2x + 1)。
步骤四：将复合函数化简为一般形式，即将其展开并进行合并运算。
根据我们的例子，将f(x) = (2x + 1)^2 + 2(2x + 1)展开并合并运算后，得到f(x) = 4x^2 + 8x + 4。
步骤五：找到复合函数的零点。
复合函数的零点即为满足f(x) = 0的x的取值。
对于我们的例子，我们需要求解4x^2 + 8x + 4 = 0的解。
步骤六：使用合适的方法求解二次方程。
对于本例，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法来解决4x^2 + 8x + 4 = 0。
以求解零点为例，我们可以使用求根公式，根据一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
对于4x^2 + 8x + 4 = 0，我们有a = 4，b = 8，c = 4。
代入求根公式，我们可以得到两个解：x = (-8 ± √(8^2 - 4*4*4)) / (2*4)。
复合函数零点问题专题训练
复合函数零点问题专题训练1．定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是 ( )A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4(第1解：选B. （1）方程f[g （x ）]=0有且仅有三个解；g （x ）有三个不同值，由于y=g （x ）是减函数，所以有三个解，正确；（2）方程g[f （x ）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f （x ）∈（0，a ）可能有1，2，3个解，不正确；（3）方程f[f （x ）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确；（4）方程g[g （x ）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g （x ）是减函数，故正确．2. 已知函数1)(+=x xe x f ，若函数2)()(2++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则实数b 的取值范围是 （ ）A.)22,(--∞B. )2,3(--C. )3,(--∞D.(]22,3-- 解：用求导方法得，f(x)在x =－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故0<a<1时，f(x)=a有3个解，a>1时，f(x)=a,有1个解，2)()(2++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则2t +bt+2=0有两个不等根，1个在（0,1）内，另1个根大于1，令g(t)= 2t +bt+2,于是得，⊿>0且g （0）>0且g(1)<0,解得b <－3，故选C ．思考：已知函数1)(+=x xe x f ，若函数2)()(2++=x bf x f y 恰有6个不同的零点，则实数b 的取值范围是 （ ）3. (2013四川，理10)设函数f (x )a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线 y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )．A ．[1，e]B ．[e －1－1,1]C ．[1，e ＋1]D ．[e －1－1，e ＋1]解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，而由f (x )可知y 0∈[0,1]， a f(x)a a g(x)aa当a ＝0时，f (x )∴y 0∈[0,1]时，f (y 0)∈[1．∴f (f (y 0))1.∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B ，D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )y 0∈[0,1]时，只有y 0＝1时f (x )才有意义， 而f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A ． 4. 已知函数13)(23+-=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,860,41)(2x x x x x x x g ， 则方程[])0(0)(>=-a a x f g 的解的个数不可能是（ ）A ．3个 B.4个 C.5个 D.6个答案 选A5. 设2,1,1(),()x x x x f x g x ≥<⎧⎪=⎨⎪⎩是二次函数，若f (g(x))的值域是[0,+∞)， 则g(x)的值域是（ ）A(-∞, -1]∪[1, +∞) B(-∞, -1]∪[0, +∞)C[0, +∞) D[1, +∞)【解析】 选C ．令f (g(x))=f(t),t=g(x),当t ∈(-∞, -1] ∪[0, +∞)或t ∈(-∞, -1] ∪[0,1)或t ∈[0, +∞)时，f(t) 的值域是[0,+∞)，而 t=g(x) 是二次函数，故选C ．6.某同学在研究函数()f x 的性质时，受到两点间距离公式的启发，将)(x f 变形为2222)10()3()10()0()(++-+-+-=x x x f ，则)(x f 表示||||PB PA +（如图），下列关于函数)(x f 的描述： ①)(x f 的图象是中心对称图形；②)(x f 的图象是轴对称图形；③函数)(x f的值域为)+∞；④方程[()]1f f x =.则描述正确的是A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【解析】 选B. f(x)=f(3-x) ,对称轴x=32,)(x f min=｜AB ｜由[()]1f f x =得f(x)=0或f(x)=3Ï)+∞7.已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；② 存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根；③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为______ ______尝试题1：已知函数y=f （x ）和y=g （x ）在[﹣2，2]上的图象如图所示：给出下列四个命题：①方程f[g （x ）]=0有且仅有6个根； ②方程g[f （x ）]=0有且仅有3个根； ③方程f[f （x ）]=0有且仅有7个根； ④方程g[g （x ）]=0有且仅有4个根． 其中正确命题的序号为 ．解：①设t=g（x），则由f[g（x）]=0，即f（t）=0，则t1=0或﹣2＜t2＜﹣1或1＜t3＜2，当t1=0时，t=g（x）有2个不同值，当﹣2＜t2＜﹣1时，t=g（x）有2个不同值，当1＜t3＜2，时，t=g（x）有2个不同值，∴方程f[g（x）]=0有且仅有6个根，故①正确．②设t=f（x），若g[f（x）]=0，即g（t）=0，则﹣2＜t1＜﹣1或0＜t2＜1，当﹣2＜t1＜﹣1时，t=f（x）有1个不同值，当0＜t2＜1时，t=f（x）有3个不同值，∴方程g[f（x）]=0有且仅有4个根，故②错误．③设t=f（x），若f[f（x）]=0，即f（t）=0，则t1=0或﹣2＜t2＜﹣1或1＜t3＜2，当t1=0时，t=f（x）有3个不同值，当﹣2＜t2＜﹣1时，t=f（x）有1个不同值，当1＜t3＜2，时，t=f（x）有1个不同值，∴方程f[f（x）]=0有且仅有5个根，故③错误．④设t=g（x），若g[g（x）]=0，即g（t）=0，则﹣2＜t1＜﹣1或0＜t2＜1，当﹣2＜t1＜﹣1时，t=g（x）有2个不同值，当0＜t2＜1时，t=g（x）有2个不同值，∴方程g[g（x）]=0有且仅有4个根，故④正确．故正确的是①④.尝试题2：定义域为R的函数f（x）=，若关于x的函数h（x）=f2（x）+af（x）+有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则22222B．20解：作函数f（x）=的图象如下，则由函数h（x）=f2（x）+af（x）+有5个不同的零点知，1+a+=0，解得，a=﹣，则解f2（x）﹣f（x）+=0得，f（x）=1或f（x）=；故若f（x）=1，则x=2或x=3或x=1；若f（x）=，则x=0或x=4；故x12+x22+x32+x42+x52=1+4+9+16=30，故选：C．尝试题3：(2013安徽，理10)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()．A．3 B．4 C．5 D．6解析：由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示，x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3. 答案：A。
高中数学复合函数零点问题(试卷与答案)
复合函数的零点问题1.已知，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________.2.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程[]2()()0f x a f x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是________.3.已知函数22()||1()x x f x x e m x e m R =++∈有四个零点，则m 的取值范围为________.4.已知函数（ 是自然对数底数），方程 有四个实数根，则 的取值范围为________.5.已知函数，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是______.答案：1.已知，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．8 【答案】B 【详解】函数y=2f 2（x ）﹣3f （x ）+1=[2f （x ）﹣1][f （x ）﹣1]的零点，即方程f （x ）=和f （x ）=1的根， 函数f （x ）=， ＞，的图象如下图所示：由图可得方程f （x ）=和f （x ）=1共有5个根， 即函数y=2f 2（x ）﹣3f （x ）+1有5个零点， 故选：B ．2.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ． 1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意，作函数f （x ）的图象如下，由图象可得，0≤f（x ）≤f（2）=14；∵关于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，∴方程x 2+ax+b=0有两个根，不妨设为x 1，x 2； 且x 1=，0＜x 2＜；又∵12a x x -=+，∴11,24a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；故选：B ．3.已知函数22()||1()xx f x x e m x e m R =++∈有四个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．1(,)e e-∞--B ．1(,)e e -∞+C ．1(,2)e e ---D ．1(,)e-∞-4.已知函数（ 是自然对数底数），方程 有四个实数根，则 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B详解：函数，当x≥0时，f′（x ）=e x +xe x≥0恒成立，所以f （x ）在[0，+ ）上为增函数；当x ＜0时，f′（x ）=-e x -xe x =-e x（x+1），由f′（x ）=0，得x=-1，当x ∈（- ，-1）时，f′（x ）=-e x（x+1）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（-1，0）时，f′（x ）=-e x（x+1）＜0，f （x ）为减函数，所以函数f （x ）在（- ，0）上有一个最大值为f （-1）= -（-1）e -1= ，要使方程f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根，令f （x ）=m ，则方程m 2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内， 一个根在（，+ ）内，再令g （m ）=m 2+tm+1，因为g （0）=1＞0， 则只需g （）＜0，即（）2+ t+1＜0，解得：t ＜．所以，方程f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根的t 的取值范围是（- ，）．选B.5.已知函数，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：利用导数得函数的单调性并求得最值，求解方程得到 或 ，画出函数的图象，结合图象即可求解． 详解：设，则 ′，令 ′ ，得 ，当 时， ′ ，函数为增函数，当 时， ′ ，函数为减函数，所以当 时，函数取得极大值也是函数的最大值，由方程 ，可得 或，画出函数的图象，如图所示，结合图象可得实数 的取值范围是，故选C ．。
高考函数-复合函数的零点-含答案
数.y=f(u)称为外层函数，u=g(x)称为内层函数，也称为中间变量.
2．复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，
一层层求出函数值． 3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解，则遵循“由外到内”
三 试题研究
例 1. 已知
，若关于 的方程
恰好
有 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______________．
【解析】∵
，∴
，∴
∴当
或 时，
，当
时，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在
可作出 大致函数图象如图所示：令
，
上单调递增
当
时，方程
有一解；当 时，方程
有两解；
当 时，方程
有三解；
∵关于 的方程
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB．4
C．5
D．6
解： f ' x 3x2 2ax b 由极值点可得：x1, x2 为 3x2 2ax b 0 ①的两根，观
察 到 方 程 ① 与 3 f x2 2af x b 0 结 构 完 全 相 同 ， 所 以 可 得
3 f x2 2af x b 0 的两根为 f1 x x1, f2 x x2 ，其中 f1 x1 x1 ，
复合函数零点问题专题
复合函数零点问题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
复合函数零点问题
复合函数零点问题复合函数的零点问题是高考中的一个热点问题，备受命题者的青睐。
复合函数涉及到内外两层函数，这本身就是一个难点，问题的解决往往涵盖函数方程，数形结合，分类讨论，和化归的 思想方法。
一、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ．例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例6：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2 例7：已知函数()xx f x e=，若关于x 的方程()()210fx mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()1,22,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭例8：已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确的是（ ）A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点C. 无论a 为何值，均有2个零点D. 无论a 为何值，均有4个零点例9：已知函数()()()232211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪-++≤⎩，则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的实数根最多有___________个例10：已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解13--- 复合函数的零点问题
高一数学复习考点知识与题型专题讲解专题13 复合函数的零点问题【方法精讲】复合函数的零点问题一般用换元法,分别探讨内外函数的零点个数或范围即可.【典型例题】例1 已知函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+⎩，若方程(())0f f x a +=有6个不等实根，则实数a 的可能取值是（ ）A ．12-B ．0C ．1-D ．13- 【答案】AD【分析】作出函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象，结合选项逐一判断即可.【解析】作出函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：直接验算法：当12a =-时，1(())2f f x =，所以11(),(),()2f x f x e f x e =-==， 所以方程(())0f f x a +=有6个不等实根；当0a =时，(())0f f x =，所以()1,()1f x f x =-=，所以12,,x x x e e=-==，所以方程(())0f f x a +=有3个不等实根； 当1a =-时，(())1f f x =，所以1()0,(),()f x f x e f x e===， 所以11,1,,e e x x x e x e =-===，且1()f x e =方程有3根， 所以方程(())0f f x a +=有7个不等实根；当13a =-时，1(())3f f x =，所以2(),()()3f x f x f x =-== 所以方程(())0f f x a +=有6个不等实根；故选：AD.例2 设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）.A ．0<b 且0>c ；B ．0>b 且0<c ；C ．0<b 且0=c ；D ．0≥b 且0=c .【分析】观察所求解方程为关于()f x 的一元二次方程，设()=f x t ，问题进而转化为关于t 的一元二次方程20t bt c ++=解的问题.由函数图象得：（1）当0t >时，方程()=f x t 有不同的实数解4个；（2）当0t =时，方程()=f x t 有不同的实数解3个；（3）当<0t 时，方程()=f x t 没有实数解.所以，关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是方程02=++c bx x 有两个根，其中一个根等于0，另一个根大于0.此时应0<b 且0=c .【巩固练习】1.已知函数()20()ln 0x x f x x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩，≥，，，2()3,g x x =-则函数[()]y f g x =的零点个数是 ． 2. 已知函数0()ln 0x m x f x x x +⎧=⎨>⎩，≤，，，其中0m >．若函数[()]1y f f x =-有3个不同零点，则实数m 的取值范围是 ．3.已知函数1()ln x x m f x x x m +⎧=⎨>⎩，≤，，. 其中1m >，若函数[()]1y f f x =-有3个不同零点，则实数m 的取值范围是 ．4.设定义在R 上的函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=3,13,31x x x x f ，若关于x 的方程()()02=++b x af x f 有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 ．5.若函数10()ln 0x x f x x x +⎧=⎨>⎩，≤，，.（1）函数[()]y f f x =的零点个数是 ．（2）若函数[()]2y f f x m =-有3个不同零点，则实数m 的取值范围是 ．【答案与提示】1.【答案】42.【答案】[1，e ）3.【答案】(1，e]5.【答案】（1）4；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦4.【答案】()(),22,1-∞-⋃--。
复合函数的零点个数问题
复合函数、分段函数零点个数问题1.已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,412-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点2、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的【 】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3 、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++= 有5个不同的实数解，则m =【 】A 2B 6C 2或6D 4或64.已知函数1+(0)()0(=0)x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪⎩则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个不同的实数解 的充要条件是【 】 A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】A ．13B ．16C ．18D ．226 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 67． 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。
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第12炼复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦ 解：()2224f ==()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。
例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x 解：令()t f x =，则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =⇒=⇒=，则x ∈∅ 当()2222x t f x =⇒=⇒=，则1x = 综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++= 答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（）.4 C.思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是．思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩，则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<- 答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（）6789思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
由奇函数可先做出0x >的图像，2x >时，()()122f x f x =-，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩为一半即可。
正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。
通过数形结合可得共有7个交点 答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。
例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是（） A ．3B ．4 C ．5D ．6思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2320x ax b ++=①的两根，观察到方程①与()()()2320f x af x b ++=结构完全相同，所以可得()()()2320f x af x b ++=的两根为()()1122,f x x f x x ==，其中()111f x x =，若12x x <，可判断出1x 是极大值点，2x 是极小值点。
且()()2211f x x x f x =>=，所以()1y f x =与()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个交点，共计3个；若12x x >，可判断出1x 是极小值点，2x 是极大值点。
且()()2211f x x x f x =<=，所以()1y f x =与()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个交点，共计3个。
综上所述，共有3个交点 答案：A例6：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（）()2,0-()2,1--()0,1()0,2思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ，若要出七个根，则()()()121,0,1f x f x =∈，所以()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈-- 答案：B例7：已知函数()xx f x e =，若关于x 的方程()()210f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）()1,22,e e ⎛⎫⎪⎝⎭U 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭思路：(),0,0x xxx ef x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，分析()f x 的图像以便于作图，0x ≥时，()()'1x f x x e -=-，从而()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，()11f e=，且当,0x y →+∞→，所以x 正半轴为水平渐近线；当0x <时，()()'1x f x x e -=-，所以()f x 在(),0-∞单调递减。
由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于()f x 的方程()()210f x mf x m -+-=中，()()12110,,,f x f x e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而将问题转化为根分布问题，设()t f x =，则210t mt m -+-=的两根12110,,,t t e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()21g t t mt m =-+-，则有()20010111100g m m m g e e e >⎧->⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫-⋅+-=< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩，解得11,1m e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例8：已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确的是（）A.当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点B.当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点C.无论a 为何值，均有2个零点D.无论a 为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦的解的个数，先作出()f x 的图像，直线1y ax =+为过定点()0,1的一条直线，但需要对a 的符号进行分类讨论。
当0a >时，图像如图所示，先拆外层可得()()12210,2f x f x a =-<=，而()1f x 有两个对应的x ，()2f x 也有两个对应的x ，共计4个；当0a <时，()f x 的图像如图所示，先拆外层可得()12f x =，且()12f x =只有一个满足的x ，所以共一个零点。
结合选项，可判断出A 正确 答案：A例9：已知函数()()()232211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪-++≤⎩，则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的实数根最多有___________个思路：先通过分析()(),f x g x 的性质以便于作图，()()'23632f x x x x x =-=-，从而()f x 在()(),0,2,-∞+∞单增，在()0,2单减，且()()01,23f f ==-，()g x 为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取()f x 能对应x 较多的情况，由()f x 图像可得，当()()3,1f x ∈-时，每个()f x 可对应3个x 。