16.1分式的概念
华师大版八年级下册数学知识点总结
八年级华师大版数学（下）第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
16.1.1_分式的概念
2.当x取什么值时，下列分式的值为零？
x (1) ; x 1
小结 :
x2 (2) ; 2x 3
x2 4 (3) . x2
分式有意义 分母不等于零 分式无意义 分母等于零 分式值为零 分子等于零且分母不等于零
提示：
分式的值为0
①分子=0 ②代入分母≠0 ③最后答案
( y 1)( y 2) ③ ( y 1)( y 2)
0
得 x 1 ②
0且5x 2 0
y2 y 1
y2 y 1
④
y ( y 2) ( ( y 1)( y 2) 无意义的是
C
)
A ①②
B ②③
C ①③
D ②④
2 1、对于任意有理数 x ，分式 有意义 （ 3 x2 m 1 2、若分式 无意义，则 m 的值一定是-3 2
归纳：
（1）分式无意义的条件是 B=0 。 (分母为零)
（2）分式有意义的条件是 B≠0 。 (分母不为零) （3）分式的值为零的条件是 A=0且B≠0 。 (分子为零且分母不为零)
A 对于分式 B
1、当x ≠2
x 1 2、当x =-0.25时，分式 4 x 1 没有意义， x 1 当x =1 时，分式 的 值为零。 4x 1
2、填空
a＋ 1 (1)当 a_____ ＝0 时 ,分式 2a 无意义； a ＋ 1 ≠0 时 ,分式 2a 有意义. (2)当a ____ a＋ 1 ＝-1 时，则分式 2－a 的值为零. (3)当a_____ 8 (4)当x_____ ＝1 时，则分式 x－1 无意义. 1 ＝ ± 3 (5)当x______时，则分式 无意义. x² －9 x－ 1 ＜0 时,分式 |x|－x 有意义. (6)当x____
八年级数学下册第十六章二次根式16.1分式及其基本性质2.分式的基本性质课件(新版)华东师大版
探究点三:分式的通分
【例 3】 通分:
(1) c , 1 , a ;
ab c 2c2
【导学探究】 1.题(1)的最简公分母为
2abc2
.
解:(1) c , 1 , a 的最简公分母是 2abc2,
ab c 2c2
所以 c = c 2c2 = 2c3 ,
ab ab 2c2 2abc2
1 = 1 2abc = 2abc ,
公因式 的分式称为最简分式.化简分式时,通常要使结果为
最简分式或者整式.
4.通分
把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,叫分式的通分.
探究点一:分式的基本性质
【例 1】 利用分式的基本性质填空:
(1) 7xy = 7
5x2 y 5x
;(2)
x
x
y
=
x
x y y
x y
x
=
xy x2 x2 2xy y2
2.分式的基本性质
1.分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或都除以)同一个不等于零的 整式
,分式的值不
变.用式子表示为 A = A M , A = A M (其中 M 为不等于零的整式).
B BM B BM
2.约分
把一个分式的分子和分母的
公因式 约去,这种变形称为分式的约分.
3.最简分式 分子与分母没有
确定最简公分母的一般步骤:
1.(2018 灵宝期中)下列各式从左到右的变形不正确的是( D )
(A) 2 =- 2
3y 3y
(B) y = y
6x 6x
(C) 3x =- 3x
4 y 4 y
(D)- 8x = 8x
3y 3y
初二数学 分式的概念PPT课件
除，如2÷3，可表示为 2 的形式，并把 2 叫做
3
3
分数。
类似地，如果用A、B表示两个整式，
A÷B可表示成 A 的形式，若B中含有字母，
B
且B≠0，式子 A 叫做分式。
B
分式的概念：即形如
A
B
（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的
式子叫分式。
4
代数式分类： 有理式
单项式 整式
多项式
分式
到本节课,我们一共学习了哪些代数式 呢?请同学们讨论一下!
整式和分式统称为有理式。
5
例1：下列代数式，哪些是整式？哪些是分式？
①1
x2
,②1(x
5
y),③ 3 ，④0,⑤ab1,
x
2c
⑥x y,⑦x y,⑧5x1,⑨2x y,⑩1 2,
2
2
3
a
⑾a,⑿1(xy),⒀4
33
x
②④ ⑥⑦ ⑧ ⑨⑾ ⑿
①③⑤
⑩⒀
6
1、判断一个有理式是不是分式， 关键看是否符合下式：
4x 1
20
a+1
4、当a=1，2时，分别求分式 2a 的值。
5、a取何值时，分式
a+1 2a
有意义？
变式训练：
（1）当a取什么值时，分式
a 1 2a2 1
有意义。
(2)当y是什么值时，分式 y 3 的值是0？
y3
(3)当y是什么值时，分式 | y | 3 的值是0？
y3
21
思考题：
若分式
第16章 分式
§16.1.1 分式的概念
第1课时
1
两个整数相除,不能
请你来填一填:
华师版数学八年级下册1.1分式的概念
第16章 《分式》
16.1.1 分式
学而不思则罔，疑而不探则空
【学习目标】
1、了解分式的概念； 2、运用类比法对分式进行分类； 3、掌握分式有意义的条件及分式值为0的条件； 4、经历“建立分式模型”的过程，体会分式
是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。
【关联知识】
一、分数：
，
m n
，
3 π
，
q a-b
，
100 x+6
，-
2 3
πa2
x2 x
整式： 有理式
分式：
整式和分式统称有理式。
类比：整数和分数统称有理数。
【探索二】
阅读材料：
小明说：“因为分数的分母不能为0，所以分式的分母也
不能为0，否则这个分式就没有意义。” 红红说：“我同意你的观点。那么你认为分式 x应该满足什么条件才能使该式有意义呢？”
xx2+-；11
|xx+|+.12
解：由x+6≠0，得x≠-6.
∴当x≠-6时，分式
x-2
x+6
有意义.
【知识点二】 分式有意义 分母≠0
分式无意义
分母=0
例1：要使下列分式有意义，字母应如何取值？
xx-+；26
3xx+-；11
xx2+-；11
|xx+|+.12
解：由3x-1≠0，得
x≠
1 3
∴当 x≠
1 3
时，分式
x+1 3x-1
有意义.
【知识点二】 分式有意义 分母≠0
分式无意义
分母=0
例1：要使下列分式有意义，字母应如何取值？
16.1.1分式的概念
分式
16.1.1
分式的概念
整 式
单项式 多项式
几个单项式的和。 如： 2x2y－8xy＋3
问题探究:
这三个代数式不同于 前面学过的整式，是三个 分母含有字母的代数式．
注意以下二点：
(1)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母 必须含有字母； (2)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零，那么分式 就无意义．
例：下面的式子哪些是分式？哪些是整式？
1 1 3 ab 1 ① 2 ,② ( x y ),③ ，④ 0,⑤ , x 5 x 2 c x x y 1 2x y 1 ⑥ y ,⑦ ,⑧ 5 x ,⑨ ,⑩ 2, 2 2 3 a a 1 4 ⑾ ,⑿ ( x y ),⒀ 3 3 x
解： 分式：⑴，⑶，⑸，⑽，⒀ 整式：⑵，⑷，⑹，⑺, ⑻，⑼，⑾，⑿
整式和分式统称为有理式。
有理式
整式 分式
单项式
多项式
分析: 要使分式有意义，必须分母不等于零。
⑴ 有意义? ⑵ 无意义? ⑶ 值为0. 3 若分式 2 的值为0，则x的值是多少？ x 2x 3
本节课你的收获是什么？
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
分式知识讲解
分式的概念和性质（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.分式的乘除（基础）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，.2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，.要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如.分式的加减（基础）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.要点三、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.要点四、分式的混合运算与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.分式全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义.2.分式的基本性质（M 为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 ，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 ，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.。
16.1.2分式的基本性质和约分
x5 1 3 5 15 x 2 = x x7 ( x 7 2) x 2 21 2 x 3
5xy 在化简分式 时，小颖和小明的做法 2 20x y 出现了分歧：
小红
x y ( x y )( x y ) 小明 x y x y x y
2 2
x 2 y 2 ( x 2 y 2 )( x y ) ( x 2 y 2 )( x y ) x y 2 2 x y ( x y )( x y ) x y
归纳：
小颖：
5xy 5x 2 20x y 20x 2
小明：
5xy 5xy 1 2 20x y 4x 5xy 4x
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
•约分要彻底 , 使分子、分母没有公因式.
下列分式中，是最简分式的是( B
).
A.
x y x B. 2 x 3x
3
a x y B. D. a ( a 7) ( x y )( x y )
分母含有字母
根号里含有字母
情景
喜欢数学的小明和小红，仿照小学里学过 的分数的性质，对下面的分式进行了化简， 两人化简的结果一样，老师却说一对一错. 你想知道为什么吗？
小红
x y ( x y )( x y ) 小明 x y x y x y
2 2
x 2 y 2 ( x 2 y 2 )( x y ) ( x 2 y 2 )( x y ) x y 2 2 x y ( x y )( x y ) x y
华东师大版数学八年级下册16.分式的基本性质课件
作业
课本习题16.1第3,4 题做到作业本上
2 xy
(__2_x_y_)
x2 y2
,
3x x y
15x( x y)
(_5_(_x_+_y_))2
x x2
y y2
(__1___)
x y
约去的是分子、
例2、化简分式：8ab2c
分母的公因式
12a2b
解： 8ab2c
12a2b
4 a b( 2 b c ) 4 a b( 3 a )
2bc
3 a （（约根去据的什是么什？么）？）
11
1
1
(5) x2 x , x2 x ; (6) x2 x , x2 2x 1
答案展示 (4) 1 1 , 1 x y x2 y2 (x y)(x y) x y (x y)(x y)
解：(1) 1 b , 1 a a2b a2b2 ab2 a2b2
(2) c c2 , a a2 , b b2 ab abc bc abc ac abc
A、扩大到本来2倍 B、缩小为本来的 1
2
C、不变
D、缩小为本来的 1
x
x
2、如果把上题分式
什么呢？（ B ）
x y
改为
xy
那么4答案又是
课堂检测
3、约分
ab (1) 2a2 ;
x2 2xy y2 (2) x2 y2 .
解：(1) b 2a
, (2)
x x
y y
4、通分：(1)
a
b
x
,
ay
(1)ac, (2) 1 , (3) 2a , (4) a 4x 3b b
(5) 1 , (6) 2mn, (7) 4 y , (8) 1
华师大版八下数学《16.1.1分式》说课稿
华师大版八下数学《16.1.1分式》说课稿一. 教材分析华师大版八下数学《16.1.1分式》这一节的内容是在学生已经掌握了实数、代数式等基础知识的基础上进行讲解的。
分式作为初中数学中的一个重要概念，不仅在学习后续课程中扮演着重要角色，而且对于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力也具有很大的帮助。
本节内容主要介绍了分式的定义、分式的基本性质以及分式的运算。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于实数、代数式等概念有了初步的了解。
但是，学生对于分式的理解还需要进一步的引导和培养。
此外，学生对于数学概念的理解往往还停留在表面，需要通过大量的实例来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解分式的定义，掌握分式的基本性质，学会分式的基本运算。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式的定义，分式的基本性质，分式的基本运算。
2.教学难点：分式的理解，分式的运算规律。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例引入分式的概念，激发学生的兴趣。
2.讲解新课：讲解分式的定义，通过实例使学生理解分式的概念。
讲解分式的基本性质，使学生掌握分式的基本运算。
3.巩固练习：布置一些练习题，使学生巩固所学知识。
4.课堂小结：对本节课的内容进行小结，使学生对分式有更清晰的认识。
5.布置作业：布置一些有关的作业，使学生能够进一步理解和掌握分式。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出本节课的重点。
可以设计如下：分式的基本性质分式的基本运算八. 说教学评价教学评价可以从学生的课堂表现、作业完成情况、课后反馈等方面进行。
华师大版八年级下册数学知识点总结知识讲解
华师大版八年级下册数学知识点总结八年级华师大版数学（下）第16章分式§ 16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。
B2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0,而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使-=0的条B件是：A=0, B M 0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
单项式整式单项式分类：有理式多项项分式 -单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
一 A AM A宁M用式子表示为：B =丽二，其中M （M工0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幕、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幕；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。
华师大版数学八年级下册16.1《分式及其基本性质》(第3课时)说课稿
华师大版数学八年级下册16.1《分式及其基本性质》（第3课时）说课稿一. 教材分析华师大版数学八年级下册16.1《分式及其基本性质》这一节内容，是在学生已经掌握了实数运算、分数运算的基础上，进一步引导学生认识分式，理解分式的基本性质。
分式是中学数学中的一个重要概念，它在解决实际问题、方程求解等方面有着广泛的应用。
本节课的内容为后续学习分式的运算、分式方程的求解等奠定了基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、分数等概念有了初步的认识。
但是，他们对分式的理解还比较模糊，分式运算更是未曾接触。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，通过生动有趣的实例，引导学生认识分式，理解分式的基本性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质，能对简单的分式进行运算。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索分式的基本性质，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式的概念，分式的基本性质。
2.教学难点：分式的基本性质的运用，分式的运算。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、讨论交流法等，引导学生主动参与，积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，使抽象的数学概念形象化、具体化。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际生活中的分式实例，如比例尺、折扣等，引导学生认识分式，激发学生的学习兴趣。
2.自主探索：让学生观察、分析分式的特点，引导学生发现分式的基本性质。
3.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的心得，培养学生的团队合作意识。
4.讲解与示范：对分式的基本性质进行讲解，并通过示例演示分式的运算方法。
5.练习与巩固：设计一些具有代表性的练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。
6.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，引导学生思考分式在实际问题中的应用，布置课后作业。
16.1分式及其基本性质⑴⑵⑶
约分后，分式的分子分母不再含有公因式，这 种分式叫做最简分式。
注意：
⑴分式的约分必须约成最简分式； ⑵约简分式还包括化简分式的符号； ⑶分式有三个符号。分子、分母和分式本身的 符号，最简分式的分子和分母一般不带负号。
-a a -b = b
a a -b =- b
-a a b =- b
例2 将下列分式化成简分式
2014.2.18
华东师大版八年级下册《数学》
（第3课时）
制作：遂宁一中HDL
知识回顾
16.1分式及其基本性质⑵
2.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式， 分式的值不变。这条性质叫做分式的基本性质。 ⑴分式的约分 把分子分母中的公因式约去，叫做分式的约分。 分式的分子分母不再含有公因式，这种分式叫做最简分 式。 对分式进行约分时，如果分子分母都是单项式时，先找 公因式，然后约成最简分式。当分子分母都是多项式时，先 分解因式，再约成最简分式。
你认为“分数”和“分式”有什么本质的区别？
1.分式的概念
⑴定义：形如 母） 的式子，叫做分式，其中 A叫做分式的分子，B叫做分式的分
A (A、B是整式，且B中含有字母，B≠0) B
注意：①分式表示两个整式的商，其中分子是被除式，
分母是除式；②分式的分子可以含字母，也可以不含字母， 但分母必须含字母。 ⑵有理式：整式和分式统称有理式。
3 2 3c 3 bc 3c bc 2 2 2 10 a b 10a b bc 10a 2b 2 c 2
分子分母所乘的 整式应是最简公分母 以原分母的商。
5b 5b 5ab2 25ab3 2 2 2 2 ac 2ac 5ab 10a 2b 2c 2
16.1.1从分数到分式
14． （数学与生产）永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要 a 天完成，若甲组单 独完成需要 b 天，乙组单独完成需_______天．
（2）
3 x2 ． 2x 3
下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ）
1 A． 2x 1
5
x B． 2x 1
3x 1 C． x2
x2 D． 2 2x 1
当 x______时，分式
2x 1 无意义． 3x 4
x2 1 的值为零． x2 x 2
分式值为零的条件的应用 6 当 x_______时，分式
的有___________；是有理式的有_________． 2 有理式①
2 x y 1 x ，② ，③ ，④ 中，是分式的有（ ） x 5 2a 1
B．③④ C．①③ D．②③④
A．①②
分式有无意义的条件的应用 3 下列分式，当 x 取何值时有意义． （1） 4
反馈检测
2x 1 ； 3x 2
课堂同步
时间： 课 年 题 月 日
16.1.1 从分数到分式
第（ 1
）份学案
学习目标
分式概念、分式有意义的条件
学习重点 学习难点
分式概念、分式有意义的条件
分式值为 0 的条件、分式意义的渗透 分式、有理式概念的理解应用 1 下列各式
a 2 b2 1 1 a 2 ， ， x+y， ，-3x ，0•中，是分式的有___________；是整式 a b x 1 5
题型 4：妙法巧解题 11 已知
5 x 3 xy 5 y 1 1 - =3，求 的值． x 2 xy y x y
12（跨学科综合题）若把 x 克食盐溶入 b 克水中，从其中取出 m 克食盐溶液，其中含纯盐 ________．
16.1分式习题课
2x-3xy+2y 1 1 2.已知 x + y = 5 ,求 已知 求 -x+2xy-y 的值. 的值
1 2 + 1 3.已知 x + =3 , 求 x 已知 x2 x
的值. 的值
1 的值. 变: 已知 x2 – 3x+1=0 ,求 x2+ x2 的值 求 x2 1 变:已知 x+ x =3 ,求 4 2 已知 求 x +x +1
1.分式的定义 形如 分式的定义: 分式的定义
A ,其中 A ,B 都是整式 都是整式, 其中 B 且 B 中含有字母. 中含有字母 B≠0 B=0
2.分式有意义的条件 分式有意义的条件: 分式有意义的条件 分式无意义的条件: 分式无意义的条件
3.分式值为 0 的条件 A=0且 B ≠0 分式值为 的条件: 4.分式 分式 分式 A 的条件: B > 0 的条件 A < 0 的条件 的条件: B A>0 ,B>0 或 A<0, B<0 A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0
(1)
3x −3 x =− 2y 2y
(2)
−abc abc = −d d
−3m 3m − = 2n 2n
(3)
2q 2q =− −p p
(4)
练习：不改变分式的值， 练习：不改变分式的值，将下列分式的分 分母的最高次项的系数变为正数． 子．分母的最高次项的系数变为正数．
（１） －x２＋１ x－２ － （２） x－x２ － ３x＋１ ＋ （３）
1.分式的基本性质. 1.分式的基本性质. 分式的基本性质 2.分式的符号法则 分式的符号法则: 分式的符号法则
分式的概念及基本性质
分式的概念及基本性质
分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号或括号的作用。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
一、分式的概念
1.分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号（或括号）的作用。
2.分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据。
3.在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
二、分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
三、四则运算
同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减。
异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算。
分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母。
分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘。
四、分式条件
1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
九年级数学上人教版《 分式的概念》课堂笔记
《分式的概念》课堂笔记一、分式的概念定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注意：分母中必须含有字母，分子、分母都是整式。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：BA=B×CA×C（A、B、C为整式，且B、C=0）三、分式的约分1.定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2.方法：把分子、分母分解因式，然后约去它们的公因式。
3.注意：约分时，分子、分母必须是公因式的最高次幂。
四、分式的通分1.定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
2.方法：把各个分式的分子、分母分解因式，然后求出它们的最简公分母，再把各个分式的分子、分母分别乘以适当的整式，使各个分式的值不变。
3.注意：通分时，最简公分母必须选取适当的字母。
五、典型例题例1：计算下列分式：（1）x2+44x2；（2）x2−1x−1；（3）x2−96xy；（4）a2+4a+4a2−4。
解：（1）原式=(x+2)24x2；（2）原式=(x+1)(x−1)x−1=x+11；（3）原式=(x+3)(x−3)6xy；（4）原式=(a+2)2(a+2)(a−2)=a+2a−2。
例2：把下列各分式约分：（1）4m2n28m2n；（2）x2−1x−1；（3）a2+b2a2−b2；（4）9−x2x+3。
解：（1）原式=4n8=n2；（2）原式=(x+1)(x−1)x−1=x+11；（3）原式=(a+b)2(a+b)(a−b)=a+ba−b；（4）原式=(3+x)(3−x)−(x−3)=−(x2−9)−(x−3)=x2−9x−3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
16·1·1分式
一、教学目标
1、使学生了解分式的概念，明确分式中分母不能为0是分式成立的条件。
2、使学生能求出分式有意义的条件。
3、通过对分式的学习，培养学生严谨的学习态度，培养学生数学建模的思想。
二、教学重点、难点
重点：理解分式的概念，明确分式成立的条件。
难点：明确分式有意义的条件。
三、教学方法：分组讨论 四、教学过程
问题情境1、在小学人们学习了分数，那么5÷3可以写成什么？ 2、根据下面的问题填空：书2页，做一做。
(1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为________米； (2)面积为s 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米；
(3)一箱苹果售价p 元，总重m 千克,箱重n 千克.则每千克苹果的售价是____元. 学生回答，教师写出答案：
（1）32（2）a s （3）n
m p －
新课：下面请同学们看一下这四个式了，看它们有什么相同点和不同点？
学生根据自己的观察，说出32 是分数，是整式。
而另两个式子a s ，n
m p
－,看他们有什么特
点,请同学们自己总结一下,学生说出分母中有字母。
请大家归纳一下这个式子是什么式子,有什么特点?学生回答分母中含有字母。
学生归纳：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
叫分式。
请同学们再举出一些分式的例子。
π表示圆周率真，因此当Π为分母时并不能说明该式是分式。
2、判断一个代数式是否为分式，不
能把原式变形后再判断，必须根据原来的形式进行判断，如x
y
x 2是分式，即只看形式，不能
看化简后的结果。
引导学生回答出，（1）分式与分数一样，A 叫分子，B 叫分母。
那么小学学习过的分数中的分母有什么限制，（分母不能为零。
）分式中对分母的要求也是分母不能为零。
对于分式分母不
(1)
3
10
教师巡视，指出学生练习中的错误。
六、小结：
七、作业：练习册
八、板书设计：
九、教学反思：。