6-4 二阶常系数非齐次线性微分方程

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9.3 二阶线性微分方程

(B) C1y1 + C2 y2 + (C1 + C2 ) y3; (C) C1y1 + C2 y2 − (1− C1 − C2 ) y3;
提示: 提示:
y1 − y3, y2 − y3 都是对应齐次方程的解, 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证) 反证法可证)
3.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 3.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法根据解的结构定理 , 其通解为
1
且
推论. 推论.
是 n 阶齐次方程
个线性无关解, 的 n个线性无关解,则方程的通解为个线性无关解
y = C1y1 +L+ Cn yn (Ck为意数) 任常
3.解法 3.解法二阶常系数齐次线性微分方程: 二阶常系数齐次线性微分方程: ① 为常数时，因为 λ 为常数时，函数 e l x和它的导数只差常数因子, 和它的导数只差常数因子, 为待定常数), 代入① y = el x ( λ 为待定常数), 代入①得所以令① 所以令①的解为
y = C1ex + C2e3x
代入初始条件得
C1 = 4, C2 = 2
故所求特解为
y = 4ex + 2e3x
例3 求方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解解该方程的特征方程为 λ - 2λ- 3 = 0 它有两个不相等的实根
2
λ1 = - 1, λ2 = 3
其对应的两个线性无关的特解为
y1 = e− x与y2 = e3x
所以方程的通解为
y = C1e−x + C2e3x
例4 求方程 y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 的满足初始条件

求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧

求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11；（21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。

（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。

由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。

我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。

例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。

解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。

（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。

高等数学(A,B)(上册)期末试卷(03～11)

∫ x (1 + x )(e
1 2005 −1
x
− e − x dx =
)
xF ( x ) ,则 f ( x ) = 1+ x2
.
. .
4. 设 f ( x ) =
⎜∫ ∫⎛ ⎝
x 0
sin t
1
1 + u 4 du ⎞ ⎟ dt ,则 f ′′(0) = ⎠
5. 设函数 f ( x ) =
∫
2x x
∫ ∫
1
arccos x x − x2
+∞
dx
2．计算定积分
∫
2π 0
x sin x dx
3．计算反常积分
1 dx x ( x 2 + 1)
4．设 G ( x) =
∫
x
t 1+ t3
1
dt ，求
∫
1 0
G ( x )dx
⎧ x = ln cos t π ⎪ 三．（本题满分 7 分）求曲线 ⎨ 自 t = 0 到 t = 一段弧的长度。（第 3 页） 1 4 y = sin t ⎪ ⎩ 2
f ′( x ) + f ( x ) −
且 f (0) = 1 ,试证: 当 x ≥ 0 时,有
1 x f (t ) dt = 0 x + 1 ∫0
成立.
1
−1
e − x ≤ f (x ) ≤ 1
1
−1
七.(7 分) 设 f ( x ) 在区间 [− 1, 1] 上连续,且
∫ f (x )dx = ∫ f (x )tanxdx = 0 ,
6．
∫πx
−
π
2
sin x dx = + cos x

二阶常系数非齐次微分

二阶常系数非齐次微分
二阶常系数非齐次微分方程指的是形如：
$$\frac{{d^2y}}{{dx^2}}+a\frac{{dy}}{{dx}}+by=f(x)$$
其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。

求解这样的微分方程一般可以采用特解叠加原理。

首先求解齐次微分方程：
$$\frac{{d^2y_h}}{{dx^2}}+a\frac{{dy_h}}{{dx}}+by_h=0$$ 假设齐次微分方程的解为$y_h=e^{rx}$，其中$r$是待定的复数。

将$y_h$代入齐次微分方程，得到特征方程：
$$r^2+ar+b=0$$
特征方程的解决定了齐次微分方程的解的形式。

如果特征方程的根为$r_1$和$r_2$，那么齐次微分方程的通解为：
$$y_h=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$
其中$c_1$和$c_2$为任意常数。

接下来求特解。

根据非齐次微分方程的结构，可以猜测特解的形式为：
$$y_p=u(x)e^{rx}$$
将$y_p$代入非齐次微分方程，可以得到关于$u(x)$的线性微分方程。

解这个线性微分方程，可以得到特解$y_p$。

将特解$y_p$与齐次解$y_h$相加，即可得到非齐次微分方程的通解：
$$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+y_p$$
其中$c_1$和$c_2$为任意常数。

第六节线性微分方程解的结构

三、线性非齐次微分方程解的结构
定理 3 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y(x) y*(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证将 y Y ( x) y * ( x)代入方程①左端, 得
(Y y * ) P( x)(Y y * ) Q( x)(Y y *)
定理设 y* 是 n 阶非齐次线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn ( x) y f ( x)
的一个特解, Y 是与其对应的齐次方程的通解, 那么 y Y y*是 n 阶非齐次线性微分
方程的通解.
四、小结
主要内容 1、函数的线性相关与线性无关； 2、二阶线性微分方程解的结构定理
二、证明下列函数是相应的微分方程的通解:
1、 y c1 x 2 c2 x 2 ln x
(
c1
,
c
是任意常数
2
)是方程
x 2 y 3xy 4 y 0 的通解；
2、 y

1 x
(
c1e
x

c2e x
)

ex 2
(
c1
,
c
是任意
2
常
数
)是
方程xy 2 y xy e x 的通解 .
定义设 y1( x), y2( x),, yn( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.
例如：
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;

二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解

y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)，令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

二阶常系数非齐次线性微分方程

二、求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:
1、 y 4 y 5 , y x0 1 , yx0 0； 2、 y 2 y y xe x e x, y x1 1 , yx1 1；
3、 y 4 y 1 ( x cos 2x) , 2
y x0
0,
y
x
0
0.
三、在 R, L, C 含源串联电路中,电动势为E 的电源对电容器 C 充电 .已知 E 20 伏,C 0.2 微法 , L 0.1 亨,R 1000 欧 ,试求合上开关 K 后的电流 i(t ) 及电压 uc (t ) .
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
().Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0, 可设 Q( x) Qm ( x), y Qm ( x)ex;
(2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0, 可设 Q( x) xQm ( x), y xQm ( x)ex;
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) x2Qm( x), y x2Qm ( x)ex .
综上讨论
设 y xkexQm ( x) ,
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j ) x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2( x)均是m次实系数多项式
Q( x) 6Ax 2B 代入（*）式

6.7二阶常系数非齐次线性微分方程

x x
2
e Pm ( x )
Pm ( x ) 为 m 次多项式 . 设特解为
其中
x
Q( x )
Q( x )
为待定多项式,
p y* e
y* e
[ p Q ( x ) p Q ( x )]
[ Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x )]
②
代入原方程① , 得 (1) 若不是特征方程的根, 则取 Q (x)为 m 次多项式系数由②式确定，从而得到特解的形式为
(3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
1
21
作业 36页习题6-7
1.(1),(3), 2. 4. 6.
作业本写上班级姓名
22
x x x (1 a b ) x e c e (2 a ) e (1 a b) e x x 对应齐次方程通解: Y C e C e x
1 2 x x
原方程通解为 y C 1 e C 2 e e x e 1 a1 b (0 C ex C 2 1) e x x e x 比较系数得 2 a cx x x y C e C e x e 即 1 1 a b0 2 其中 ( C 2 C 2 1)
是特征方程的根。不是特征方程的根。不是特征方程的根。
18
例9. 求微分方程 (其中为实数 ) .
2
e
x
的通解
解: 特征方程 r 4r 4 0, 特征根: r1 对应齐次方程通解:
e
x
2 x
r2 2
1) 2 时, 令 y A e

1 , 代入原方程得 A ( 2)2
2 p 0 ,

《高等数学》第6章常微分方程

y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的概念及分类；掌握二阶常系数齐次、非齐次线性微分方程的求解方法及分类；能够灵活运用公式解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与

第六章常微分方程

第六章常微分方程一、学习指导1、知识网络常微分方程微分方程偏微分方程微分方程相关概念微分方程的阶通解微分方程的解特解可分离变量微分方程一阶线性齐次微分方程常见微分方程形式一阶线性微分方程及其通解公式一阶线性非齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程二阶线性微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程2、知识重点与学习要求2.1 了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等基本概念。

2.2 掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的求解，会用微分方程解决一些简单的实际问题。

2.3 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。

2.4 理解二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构定理，并会求某些特殊的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解，进而求其通解。

3、概念理解与方法掌握3.1基本概念（1）微分方程的定义含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程。

注意：① 在微分方程中，自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数（或微分）必须出现。

② 在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则为常微分方程；如果未知函数是多元函数，则为偏微分方程。

本章只讨论常微分方程。

（2）微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。

（3）微分方程的解如果把一个函数代入微分方程中，能使方程变为恒等式，那么这个函数就称为微分方程的解；如果微分方程的解中含有任意常数，并且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解则称为微分方程的通解，不含任意常数的解叫做微分方程的特解。

（4）初始条件初始条件是用来确定通解中任意常数的条件，通常是由系统（微分方程）在初始时刻所处的状态给出。

3.2 几种常见类型微分方程的解法注意：微分方程特定类型有其特定的解法，故在解微分方程之前，一定要准确判断出它的类型。

1、可分离变量的微分方程（1）方程形式形如()()dyf xg y dx= 的微分方程叫做可分离变量的微分方程。

其中(),()f x g y 在其定义的某个范围内为连续函数，且()0g y ≠。

6-4二阶常系数线性微分方程

① 的一个特解, Y (x) 是对应齐次方程
的通解,则
y Y(x) y*(x)
②
是非齐次方程①的通解 .
定理 4.
是二阶非齐次线性方程的
y p(x) y q(x) y f (x)
两个解, 则 y y2( x) y1( x) 是该它对应的齐次方程
的解.
y p(x) y q(x) y 0
(1) 当 r1 r2 时, 通解为 y C 1 er1 x C 2 er2 x
(2) 当 r1 r2 时, 通解为 y (C 1 C 2 x )er1 x
(3) 当 r1,2 i 时, 通解为
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
三、二阶常系数非齐次线性方程解的结构
k的取值分下面三种情况： (1) 当λ不是特征方程的根时，取k=0;
(2) 当λ是特征方程的根，但不是重根时，取k=1;
(3) 当λ是特征方程的重根时，取k=2.
例1.
的通解.
解:易求 y y 0 的特征方程
的特征根为
1 1, 2 1. 本题取λ=0. λ=0不是特征方程的根，
故取k=0. 设所求特解为
一、f ( x) e x Pn ( x) 型 y p y q y f ( x) (1)
为实数 , Pn( x)为 n 次多项式 .
Pn x a0 xn a1xn-1 an-1x an
可以证明方程(1)的特解具有形式
y* xk e x Qn ( x) ,
其中 Qn ( x) 是一个与 Pn(x)具有相同次数的多项式，
转化
求特征方程(代数方程)之根
对于二阶常系数齐次线性方程 ①
和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y er x ( r 为待定常数 ), 代入①得

二阶常系数非齐次线性微分方程

( −3ax − 3b + 4c ) cos 2 x − ( 3cx + 3d + 4a ) sin 2 x = x cos 2 x
(1 (2 y* = xk eλx Rm) ( x)cosωx + Rm ) ( x)sinωx
1 4 所以 a = − 3 , b = 0 , c = 0 , d = 9 于是得原方程的一个特解为 y* = − 1 x cos 2 x + 4 sin 2 x 3 9
6
例 2 求解 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 5
y
x=0
= 1, y ′
x =0
=2
解对应齐次方程的特征方程为 r 2 − 3r + 2 = 0 ⇒ r1 = 1, r2 = 2 于是齐次方程的通解为 Y = C 1 e x + C 2 e 2 x 由于 f ( x ) = 5e 0⋅ x , λ=0不是特征方程的根，不是特征方程的根，不是特征方程的根故原方程特解设为：故原方程特解设为：y* = A 代入方程，代入方程，得 2 A = 5
（iii）如果λ 2 + pλ + q = 0且2λ + p = 0，即λ是特征方程的重根。）是特征方程的重根。是特征方程的重根应是次多项式. 次多项式要使(3)式成立，要使式成立， Q' ' ( x ) 应是m次多项式令式成立 Q( x) = x 2Qm ( x) 仍是比较(3)式两端的系数来确定的系数。仍是比较式两端的系数来确定Qm (x) 的系数。
Q( x) = Qm ( x) = b0 x m + b1 x m−1 + L+ bm−1 x + bm

高数-微分方程总结

解法作变量代换 u y x
3
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q(x) 0,
上方程称为非齐次的.
解法齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
4
非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
y x
C x2
,
所求通解为 xy cos y C . x
23
4
例2 求通解 xy 2 y 3 x3 y3 .
解
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
x
即
4
y3
y
2
1
y3
3x2,
x
令
z
1
y 3,
原式变为 3z 2 z 3x2 ,
x
即 z 2 z x2 , 一阶线性非齐方程 3x
2
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根设 y x kexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
18
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cosx
R(2 m
)
(
x
)
sin
x
],
其中
R(1) m
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 设原方程的特解为 y* x2(ax b)e x , 则 ( y* ) [ax3 (3a b) x2 2bx]e x , ( y* ) [ax3 (6a b)x2 (6a 4b)x 2b]e x ,

二阶常系数线性微分方程

E-mail: xuxin@
§6 二阶常系数线性微分方程
高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多，本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果可以推广到二阶以上的线性微分方程。定义形如
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 2 dx dx 的方程，称为二阶线性微分方程。
E-mail: xuxin@
(ii) 当是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0. Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零. Q(x) = x Qm(x)
y* xe Qm ( x)
x
E-mail: xuxin@
y (C1 C 2 x)e x .
因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形式为： 2 x y* x e (ax b).
E-mail: xuxin@
代入原方程中得
6ax 2b x 1.
所以从而有一特解为
1 1 a ,b . 6 2 1 1 y* x e ( x ). 6 2
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
E-mail: xuxin@
例6 求方程 y''+y=xcos2x 的通解. 解：特征方程为 r2+1=0, 其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx. 因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为 y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x y*'' = (–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x

高数习题第六章习题黄立宏第4版

习题6-11.指出下列各微分方程的阶数:(1)()220x y yy x '-'+=；一阶 (2) 20y x y y x "-'+=；二阶 (3)220x y y x y '''+"+=；三阶(4)()()76d d 0x y x x y y -++=. 一阶2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:2(1)2,5xy y y x '==;解：由25y x =得10y x '=代入方程得22102510x x x x ⋅=⋅=故是方程的解.(2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-;解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解.2(3)20,e x y y y y x '''-+== ;解：2222e e (2)e ,(24)e xxxxy x x x x y x x '''=+=+=++代入方程得 2e 0x≠. 故不是方程的解.12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+解：12122211221122e e ,e e xx x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+代入方程得1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++=故是方程的解.3.在下列各题中，验证所给函数（隐函数）为所给微分方程的解:22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+=证：方程22x xy y C -+=两端对x 求导：220x y xy yy ''--+=得22x yy x y-'=-代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==证：方程ln()y xy =两端对x 求导：11y y x y''=+ (*) 得(1)yy x y '=-.(*)式两端对x 再求导得22211(1)1y y xx y y ⎡⎤''+=-⎢⎥--⎣⎦ 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.习题6-21.从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线: (1) 220()x x y C C y =-==为常数，5；解：当0x =时，y =5.故C =-25故所求曲线为：2225y x -= (2) =+2e 12()x y C C x (12,C C 为常数)，====，100'x x yy .解： 2212(22)e xy C C C x '=++当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =. 2.求下列各微分方程的通解:(1)ln 0xy y y '-=;解：分离变量,得d 1d ln y x y y x=积分得11d ln d ln y x y x =⎰⎰ln ln ln ln y x c =+ ln y cx =得 e cxy =.(2)y '=解：分离变量，得=积分得=⎰得通解： .c -=-(3)(e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=;解：分离变量，得e e d d 1e 1e y yy xy x =-+ 积分得 ln(e 1)ln(e 1)ln yxc --=+- 得通解为 (e 1)(e 1)xy c +-=.(4)cos sin d sin cos d 0x y x x y y +=;解：分离变量，得cos cos d d 0sin sin x yx y x y+= 积分得 lnsin lnsin ln y x c += 得通解为 sin sin .y x c ⋅=(5)y xy '=;解：分离变量，得d d yx x y=积分得 211ln 2y x c =+ 得通解为 2112e (e )x c y c c ==(6)210x y '++=;解： 21y x '=--积分得 (21)d y x x =--⎰得通解为 2y x x c =--+.32(7)4230x x y y '+-=;解：分离变量，得 233d (42)d y y x x x =+积分得 342y x x c =++ 即为通解.(8)e x y y +'=.解：分离变量，得 e d e d yxy x -=积分得e d e d y x y x -=⎰⎰ 得通解为： ee y x c --=+.3.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:20(1)e ,0x y x y y -='== ;解：分离变量，得 2e d e d yxy x =积分得 21e e 2yxc =+. 以0,0x y ==代入上式得12c =故方程特解为 21e (e 1)2yx =+.π2(2)sin ln ,e x y x y y y ='== .解：分离变量，得d d ln sin y xy y x=积分得 tan2e x c y ⋅=将π,e 2x y ==代入上式得1c = 故所求特解为 tan 2e x y =.4.求下列齐次方程的通解:(1)0xy y '-=;解：d d y y x x =+令 d d d d y y uu u xx x x=⇒=+ 原方程变为d xx= 两端积分得ln(ln ln u x c =+u cxy cx x =+=即通解为：2y cx =d (2)ln d y y xy x x =; 解：d ln d y y y x x x =令y u x =，则d d d d y u u x x x=+原方程变为d d (ln 1)u xu u x=-积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln1u cx ycx x-=-= 即方程通解为 1ecx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解：2221d d y y x y x y x xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭== 令y u x =，则d d d d y u u x x x=+ 原方程变为 2d 1d u u u x x u++= 即 d 1d ,d d u x x u u x u x== 积分得211ln ln 2u x c =+ 2122ln 2ln y x c x =+ 故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=;解： 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭令y u x =, 则d d d d y u u x x x=+ 原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u u x=- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以y x代替u ，并整理得方程通解为 332y x cx -=. d (5)d y x y x x y+=-;解：1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =，则d d d d y u u x x x=+原方程变为 d 1d 1u uu x x u ++=- 分离变量,得 211d d 1u u x u x -=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+以y x 代替u ，并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=解：d d yy x=即d d x x y y =+令x v y =，则d d ,d d x v x yv v y y y==+, 原方程可变为d d vv yv y+=+ 即d d vyy= 分离变量，得d y y= 积分得ln(ln ln v y c =-. 即y v c+=2222121y v v c y yv c c⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-= 以yv x =代入上式，得 222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即方程通解为 222y cx c =+.5.求下列各齐次方程满足所给初始条件的特解:220(1)(3)d 2d 0,1x y x y xy x y =-+== ;解：22d d 3y y xx y x =-⎛⎫- ⎪⎝⎭令y ux =，则得 2d 2d 3u uu xx u +=-- 分离变量，得 233d d u xu u u x-=- 积分得 3ln ln(1)ln(1)ln u u u cx -+-++=即 231ln ln u c u x-=得方程通解为 223y x cy -= 以x =0，y =1代入上式得c =1. 故所求特解为 223y x y -=.1(2),2x x yy y y x='=+= . 解：设y ux =，则d d d d y u u x x x=+ 原方程可变为 d d xu u x=积分得 21ln ln 2u x c =+.得方程通解为 222(ln ln )y x x c =+以x =1，y =2代入上式得c =e 2.故所求特解为 222(ln 2)y x x =+.6.利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解: 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：(1)(253)d (246)d 0x y x x y y -+-+-=解：设1,1x X y Y =+=+，则原方程化为25d 25d 2424YY X Y X YX X Y X--==++ 令 d 25d 24Y u uu u X X X u-=⇒+=+ 242d d 472Xu Xu u u +⇒-=+- 2222211(87)3ln d 247213d ln(472)224721114ln(472)d 262411141ln(472)ln ln 262u X u u u uu u u u u u uu u u u u c u +-⇒=-+-=-+-++-⎛⎫=-+-+-+ ⎪+-⎝⎭-=-+--++⎰⎰⎰26221623264223233416ln 3ln(472)ln ln ()241(472)2(41)(2)(41)(2),(u X u u c c c u u X u u c u X u u c X u u c c -⇒++-+==+-⇒+-⋅=+⇒-+=⇒-+==代回并整理得2(43)(23),(y x y x c c --+-== .(2)(1)d (41)d 0;x y x y x y --++-=解：d 1d 41y x y x y x --=-+- 作变量替换，令 1,0x X y Y Y =+=+=原方程化为 1d d 414YY X Y X Y X X Y X--=-=-++ 令Y uX =,则得2d 1d 14d 14d 14u u u u u X X X u X u-++=-⇒=-++分离变量，得 214d d 14u Xu u x+-=+ 积分得222211d(14)ln d 1421411arctan 2ln(14)22u X u u u u u c +=--++=-++⎰⎰ 即 22ln ln(14)arctan 2X u u c +++=22ln (14)arctan 2X u u c ⇒++=代回并整理得 222ln[4(1)]arctan.1yy x c x +-+=- (3)()d (334)d 0x y x x y y +++-=;解：作变量替换,v x y =+ 则d d 1d d y v x x =- 原方程化为 d 1d 34v vx v -=-- 11d 2(2)d 3434d d 2(2)31d d d 223ln(2)232ln(2)2,(2)v v x v v v x v v v xv v v x c v v x c c c -⇒=--⇒=-⇒+=-⇒+-=+⇒+-=+=⎰⎰⎰ 代回并整理得 32ln(2).x y x y c +++-=d 1(4)1d y x x y=+-.解：令,u x y =- 则d d 1d d u y x x =- 原方程可化为 d 1d u x u=-分离变量，得 d d u u x =-积分得 2112u x c =-+2122u x c =-+故原方程通解为 21()2.(2)x y x c c c -=-+=7.求下列线性微分方程的通解:(1)e x y y -'+=;解：由通解公式d de e e e d e ()e e d xx x x x x x y x c x c x c -----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==⋅+=+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2(2)32xy y x x '+=++；解：方程可化为 123y y x x x'+=++ 由通解公式得11d d 22e (3) e d 12(3)d 132.32x x x x y x x c x x x x c x x c x x x-⎡⎤⎰⎰=++⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⋅+⎢⎥⎣⎦=+++⎰⎰ sin (3)cos e ;x y y x -'+=解： cos d cos d sin sin e e ().e e d x xx x x x y x c x c ---⎰⎡⎤⎰==+⋅+⎢⎥⎣⎦⎰(4)44y xy x '=+;解： 22(4)d (4)d 22e e 4e d 4e d x xx x x x y x x c x x c ----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()222222e e e 1x x x c c -=-+=-.3(5)(2)2(2)x y y x '-=+-;解：方程可化为2d 12()d 2y y x x x x -=--11d d 222ln(2)2ln(2)3e 2(2)e d e 2(2)e d (2)2(2)d (2)(2)xx x x x x y x x c x x c x x x c x c x --------⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=--+⎣⎦=-+-⎰⎰⎰22(6)(1)24.x y xy x '++=解：方程可化为 2222411x x y y x x '+=++ 222222d d 1123ln(1)224e ed 14e 4d 3(1)xxx x x x x x y x c x x c x x c x -++-+⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=+=⎣⎦+⎰⎰8.求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解:πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== . 解：22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln ee e d e d x xx x x x x xx xy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式，得12ec =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=-⎪⎝⎭. 9.求下列伯努利方程的通解:2(1)(cos sin );y y y x x '+=-解：令121z yy --==，则有d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z zz x x z x x x x+-=--⇒-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin xx x x x z x x x c x x x c c x ----⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+=-⎣⎦⎰⎰1e sin x c x y⇒=- 即为原方程通解.411(2)(12)33y y x y '+=-.解：令3d 21d z z y z x x -=⇒-=-.d de 21e (21)e d x x x z x c x x c -⎰⎡⎤⎰==--+-+⎢⎥⎣⎦⎰ 3(e 21)1x y c x ⇒--=即为原方程通解.习题6-31.求下列各微分方程的通解:(1)sin y x x ''=+;解：方程两边连续积分两次得213121cos 21sin 6y x x c y x x c x c '=-+=-++(2)e x y x '''=;解：积分得 1e d e e x x xy x x x c ''==-+⎰112212123(e e )d e 2e 1(e 2e )d (3)e 2x x x x xxxy x c x x c x c y x c x c x x c x c x c '=-+=-++=-++=--++⎰⎰ (3)y y x '''=+;解：令p y '=,则原方程变为d d 11,,e e 1e d xx x p p x p p x p c x x x c -⎰⎡⎤⎰''=+-===--+⎣⎦故 21121(e 1)d e 2x xy c x x c x x c =--=--+⎰.3(4)()y y y ''''=+;解：设y p '=，则d d p y py''= 原方程可化为 3d d ppp p y=+ 即 2d (1)0d pp p y ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦由p =0知y =c ，这是原方程的一个解. 当0p ≠时，22d d 1d d 1p p p y y p =+⇒=+ 1121arctan d ln sin()tan()p y c yx y c c y c ⇒=-'⇒==---⎰2212arcsin(e )(e )c x y c c c '∴=+=1(5);y x ''=解：11d ln y x c x x''==+⎰ 1121211(ln )d ln ln ((1))y c x x x c x c x x x c x c c c x ''=+=-++'=++=-+⎰(6)y ''=;解：1arcsin y x x c '==+112(arcsin )d arcsin .y x c x x x c x c =+=+⎰ (7)0xy y '''+=;解：令y p '=,则得1d d 00p x p p x p x'+=⇒+= 1ln ln ln p x c ⇒+=得 1c p x =故 112d ln cy x c c x x==+⎰.3(8)10y y ''-=.解：令p y '=，则d d p y py''=. 原方程可化为 33d 10,d d d py pp p y y y--==22221112221211211222d d 221().c p y p y c x xc x c c x c c y c x c --⇒=-+⇒=-+⇒=⇒±=⇒±=+⇒=+⇒-=+⎰2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:311(1)10,1,0x x y y y y =='''+===;解：令y p '=，则d d py py''=, 原方程可化为 33d 11d d d p y pp p y y y⋅=-⇒=- 2212121112221p y c p c y -⇒=+⇒=+由1,1,0x y y p '====知，11c =-，从而有2d y p y x x c '==⇒=±⇒=±+由1,1x y ==,得21c =故 222x y x += 或y =.211(2)1,0,1x x x y xy y y ==''''+===;解：令y p '=，则y p '''=.原方程可化为 211p p x x'+= 11d d 11211e (ln )e d x x x x p x c x c x x -⎡⎤⎰⎰==++⎢⎥⎣⎦⎰则 11(ln )y x c x'=+ 以1,1x y '==代入上式得11c =则 1(ln 1)y x x'=+ 221ln ln 2y x x c =++当x =1时，y =0代入得20c =故所求特解为 21ln ln 2y x x =+. 2001(3),01x x y y y x =='''===+; 解：1arctan y x c '=+ 当0,0x y '==，得10c =222arctan d arctan d 11arctan ln(1)2x y x x x x x x x x x c ==-+=-++⎰⎰以x =0,y =0代入上式得20c =故所求特解为 21arctan ln(1)2y x x x =-+. 200(4)1,1,0x x y y y y ==''''=+==;解：令p y '=，则p y '''=. 原方程可化为 21p p '=+211d d 1arctan tan()px p p x c y p x c =+=+'==+ 以0,0x y '==代入上式得1πc k =.2tan(π)d ln cos(π)y x k x c x k =+=-++⎰以x =0,y =1代入上式得21c = 故所求特解为ln 1cos(π)y x k =-++200(5)e ,0y x x y y y =='''===;解：令y p '=，则d d p y py''=. 原方程可化为 2d e d y ppy= 即 2d e d yp p y = 积分得221111e 222y p c =+ 221e y p c =+以0,0x y y '===代入上式得11c =-, 则p y '==2d arcsine y xx c -=±=+以x =0,y =0代入得2π2c =，故所求特解为 πarcsin e 2yx -=+即πesin cos 2yx x -⎛⎫==± ⎪⎝⎭. 即lnsec y x =. 00(6)1,2x x y y y =='''===.解：令d ,d py p y py'''== 原方程可化为 12d 3d pp y y= 123221d 3d 122p p y yp y c ==+以0,2,1x y p y '====代入得10c = 故 342y p y'==± 由于0y ''=>. 故342y y '=，即34d 2d y x y=积分得 14242y x c =+ 以x =0,y =1代入得24c =故所求特解为 4112y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.习题6-41. 验证21=x y e 及22=x y xe 都是方程24(42)0'''-+-=y xy x y 的解，并写出该方程的通解. 2.已知函数123sin ,?cos ,===x y x y x y e 都是某二阶线性非齐方程的解，求该方程的通解. *3.用观察法求下列方程的一个非零特解，用刘维尔公式求第二个特解，然后写出通解. （1）2(1)220'''+-+=x y xy y （2）(1)0'''-++=xy x y y 4.求方程221111'''+-=---x y y x x x 的通解.习题6-51.求下列微分方程的通解:(1)20y y y '''+-=;解：特征方程为 220r r +-= 解得 121,2r r ==-故原方程通解为 212e e .x xy c c -=+(2)0y y ''+=;解：特征方程为 210r += 解得 1,2r i =± 故原方程通解为 12cos sin y c x c x =+22d d (3)420250d d x xx t t-+=;解：特征方程为 2420250r r -+= 解得 1252r r == 故原方程通解为 5212()e t x c c t =+.(4)450y y y '''-+=;解：特征方程为 2450r r -+= 解得 1,22r i =±故原方程通解为 212e (cos sin )xy c x c x =+.(5)440y y y '''++=;解：特征方程为 2440r r ++= 解得 122r r ==-故原方程通解为 212e ()xy c c x -=+(6)320y y y '''-+=.解：特征方程为 2320r r -+= 解得 1,2r r ==故原方程通解为 212e e x xy c c =+.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:00(1)430,6,10x x y y y y y ==''''-+===;解：特征方程为 2430r r -+= 解得 121,3r r ==通解为 312e e x xy c c =+312e 3e x x y c c '=+由初始条件得 121122643102c c c c c c +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 故方程所求特解为 34e 2e xxy =+.00(2)440,2,0;x x y y y y y ==''''++===解：特征方程为 24410r r ++= 解得 1212r r ==-通解为 1212()ex y c c x -=+22121e 22xx y c c c -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭由初始条件得 11221221102c c c c c =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩ 故方程所求特解为 12(2)ex y x -=+.00(3)4290,0,15;x x y y y y y ==''''++===解：特征方程为 24290r r ++= 解得 1,225r i =-±通解为 212e (cos5sin 5)xy c x c x -=+22112e [(52)cos5(52)sin 5]x y c c x c c x -'=-+--由初始条件得 112120052153c c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 故方程所求特解为 23e sin 5xy x -=.00(4)250,2,5x x y y y y =='''+===.解：特征方程为 2250r += 解得 1,25r i =± 通解为 12cos5sin 5y c x c x =+125sin 55cos5y c x c x '=-+由初始条件得 112222551c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩故方程所求特解为 2cos5sin 5y x x =+. 3.求下列各微分方程的通解:(1)22e x y y y '''+-=;解： 2210r r +-=1211,2r r ∴=-=得相应齐次方程的通解为1212e e x xy c c -=+令特解为*e xy A =,代入原方程得2e e e 2e x x x x A A A +-=,解得1A =, 故*e xy =,故原方程通解为 212e ee x x xy c c -=++.2(2)25521y y x x '''+=--;解：2250r r +=1250,2r r ==-对应齐次方程通解为 5212ex y c c -=+令*2()y x ax bx c =++, 代入原方程得222(62)5(32)521ax b ax bx c x x ++++=--比较等式两边系数得137,,3525a b c ==-=则 *321373525y x x x =-+故方程所求通解为 532212137e3525x y c c x x x -⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭.(3)323e x y y y x -'''++=;解：2320r r ++=121,2r r =-=-,对应齐次方程通解为 212e e x xy c c --=+令*()e xy x Ax B -=+代入原方程得(22)e 3e x x Ax B A x --++=解得 3,32A B ==- 则 *23e 32xy x x -⎛⎫=-⎪⎝⎭故所求通解为 22123ee e 32xx xy c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.(4)25e sin 2x y y y x '''-+=;解：2250r r -+=1,212r i =±相应齐次方程的通解为12e (cos 2sin 2)x y c x c x =+令*e (cos 2sin 2)xy x A x B x =+，代入原方程并整理得4cos24sin 2sin 2B x A x x -=得 1,04A B =-=则 *1e cos 24x y x x =-故所求通解为 121e (cos 2sin 2)e cos 24xx y c x c x x x =+-.(5)2y y y x '''++=;解：2210r r ++=1,21r =-相应齐次方程通解为 12()e xy c c x -=+令*y Ax B =+代入原方程得2A Ax B x ++=得 1,2A B ==- 则 *2y x =-故所求通解为 12()e 2xy c c x x -=++-2(6)44e x y y y '''-+=.解：2440r r -+=1,22r =对应齐次方程通解为 212()e xy c c x =+令*22e xy Ax =代入原方程得121,2A A ==故原方程通解为 222121()ee 2xx y c c x x =++. 习题6-61.求下列微分方程的通解：（1）(4)13360''-+=y y y（2）460'''''-++=y y y y（3）(4)56480''''''-++-=y y y y y （4）(5)(4)(3)220'''+++++=y y y y y y 2.求下列微分方程的通解：（1）45223''''''-+-=+y y y y x （2）(4)223''-+=-y y y x（3）33''''''+++=x y y y y e（4）cos '''-=y y x习题6-7*求下列欧拉方程的通解:(1)20x y x y y "+'-=； (2)234x y x y y x "+'-=. （3）323220x y x y xy y ''''''+-+=；（4）246x y xy y x '''-+=. （5） 322324x y x y xy x ''''''++=；（6）()24sin ln x y xy y x x '''-+=. 解：（1）作变换e tx =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t-= 特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t ty c c c c x x-=+=+. （2）设e tx =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d t yy t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e ty A =为①的特解，代入①化简得941A A -= 15A =, *31e 5t y =故 223223121211e e e .55t t t y c c c x c x x --=++=++(3)(4)(5)(6)习题六1.填空题（1）微分方程3222(2)'=-x y y x y 满足(1)1=-y 的特解为 . （2）设()f x 为连续函数，且满足方程0()1(1)()d xf x x f t t =+-⎰，则()f x 的表达式为1()2x xe e -+ . （3）已知3222123,,x x x x xy e xe y e xe y xe =-=-=-是某二阶常系数非齐线性微分方程的3个解，则该方程的通解y = 3212x x xC e C e xe +- .（4）微分方程2ln xy y x x '+=满足1(1)9y =-的解为 . (5)二阶常系数非齐次线性微分方程21'''-+=y y y 的通解为y= 12()1xC C x e ++ .2.选择题（1）设曲线L 的方程为()=y y x ，在L 上任一点(,)P x y 处的切线与点P 到原点O 的连线垂直，若C 为任意正数，则L 的方程为（）. A. =xy C B. 22-+=x xy y C C. 22-=x y C D. 22+=x y C（2）设微分方程20'''++=y y y ，则-=xy Cxe （其中C 为任意常数）（）. A.是这个方程的通解 B.是这个方程的特解C.不是这个方程的解D.是这个方程的解，但既非它的通解也非它的特解（3）设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()'''++=y P x y Q x y f x 的解，12,C C 是任意常数则该非齐方程的通解是（）. A. 11223++C y C y y B. 1122123()+-+C y C y C C y C. 1122123(1)+---C y C y C C y D. 1122123(1)++--C y C y C C y （4）微分方程34sin 2''+=+xy y exx x 的一个特解形式是（A ）.A. []3()cos2()sin 2++++xAe x Bx C x Dx E x B. 3()cos 2()sin 2++++xAeBx C x Dx E xC. []3()cos2()sin 2++++xAxe x Bx C x Dx E xD. 3()cos 2()sin 2++++xAxeBx C x Dx E x（5）在下列微分方程中，以1123cos 2sin 2=++xy C e C x C x （123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）.A. 440''''''+--=y y y yB. 440''''''+++=y y y yC. 440''''''--+=y y y yD. 440''''''-+-=y y y y 3.求解初值问题21()2,(1)1,(1) 1.''⎧+=⎨'==-⎩y yy y y4.设()=y y x 是微分方程2(32)6'''+=x y xy 的一个特解，且当0→x 时，()y x 是与1-xe 等价的无穷小量，求此特解. 5.求下列微分方程的通解：（1）coscos 0⎛⎫-+= ⎪⎝⎭y y x y dx x dy x x；（2）(2sin 3)(24sin 3)0-++--=x y dx x y dy ；（3）cos cos sin 2sin '=-yy y y x y；（4）3(1ln )0⎡⎤-++=⎣⎦xdy x xy x dx（5）322xy y y xe '''-+= （6）234ln '''-+=+x y xy y x x x .解：（5）由方程322xy y y xe '''-+=的特征方程2320λλ-+=解得特征根120,2,λλ==所以方程322x y y y xe '''-+=的通解为12.x xy C e C e =+设322xy y y xe '''-+=的特解为()xy x ax b e *=+，则()2(2)x y axax bx b e *'=+++，()2(422)x y ax ax bx a b e *''=++++.代入原方程，解得1,2a b =-=-，故特解为(2)xy x x e *=--，所以原方程的通解为 212(2)xxx y y y C e C ex x e *=+=+-+.6.在研究某种传染病在一孤立环境条件下传播时，把人群分成未感染者（健康人）和已感染者（病人）两类.当健康人与病人有效接触后受感染变成病人；病人治愈成为健康人后，健康人可再次被感染.设该环境下人群总人数为常数N ，假设：（I ）在t 时刻健康人和病人数占总人数的比例分别为()S t 和()I t ；（II ）在单位时间内，健康人受感染成为病人的人数为()()NS t I t λ；（III ）在单位时间内，被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ.称λ为接触率，μ为治愈率，0λ>，0μ>.已知0(0)I I =.（1）试建立函数()I t 的微分方程（将()I t 视为t 的连续可微函数）；（2）当时2μλ=，求解该方程，计算lim ()t I t →+∞，并说明此极限结果的实际意义.解：（1）有题意，在t 时刻，已感染的病人数为()NI t ，未感染者（健康人）人数为()NS t ，则有()()NI t NS t N +=，即()()1I t S t +=.则，[][]()()()()()N I t t I t NS t I t t NI t t λμ+∆-=∆-∆，因此()()()()dI t S t I t I t dtλμ=- 故所求模板为下面的微分方程的初值问题0()()(1())(),(0).dI t I t I t I t dtI I λμ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ （2）当2μλ=时，方程为(1)dI I I dt λ=-+，分离变量可得111dI dt I I λ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，故解得000()(1)t I I t I e I λ=+-，并且lim ()0t I t →+∞=.7.某海监船在执行任务中，发现正南方b 海里有一艘可疑船只往正东方向行驶.为探明可疑船只的行动目的，海监船立即开始跟踪可疑船只，在跟踪过程中，海监船航行方向始终指向可疑穿船只并保持二者距离不变．．．．．．．．．，设以可疑船只初始位置为坐标原点建立坐标系. （1）试写出海监船航行轨迹的微分方程及初始条件；（2）当海监船的航行方向与正东方向夹角为6π时，海监船行驶的路程为多少海里？（3）求海监船航行轨迹方程. 解：（1）以可疑船只初始位置为坐标原点，正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴正向建立直角坐标系，则海盗船的起始位置为(0,)b .设(,)x y为海盗船运动轨迹的任意一点，由题意可知dy dx =(0)y b =. （2）当海盗船的运动方向与正东方向夹角为6π时。

6-6二阶常系数线性微分方程和Euler方程

. 例2 求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解
解特征方程为 r 2 + 2r + 5 = 0 , 解得 r1， = −1 ± 2 j , 2 故所求通解为
y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).
例3. 求程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解的通解. 方特征根: 1 解: 特征方程 r 2 − 2r − 3= 0, 特征根 r = −1, r2 = 3 , 因此原方程的通解为
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项若特征方程含 k 重复根对应项则其通解中必含
. 例1 求方程 y′′ + 4 y′ + 4 y = 0的通解
解特征方程为解得
r 2 + 4r + 4 = 0 ,
r1 = r2 = −2 ,
y = (C1 + C 2 x )e − 2 x . 故所求通解为
解
r 2 − 3 r + 2 = 0, 特征方程特征根 r1 = 1，r2 = 2，
对应齐次方程通解 Y = c1 e x + c 2 e 2 x ,
于是 y = x( x − 1)e 2 1 x 2x 2x 原方程通解为 y = C1e + C2e + x( x − 1)e .
1 A = 2 , 代入方程, 代入方程得 2 Ax + B + 2 A = x ∴ B = −1 1 2x
r1 x
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .

《微积分(应用型)》教学课件第六章

形如
dy p(x) y q(x) dx
（6-18）
的方程称为一阶非齐次线性微分方程，其中 p(x) ， q(x) 为已知函数．当 q(x) 0 时，称
dy p(x) y 0 dx
（6-19）
为一阶齐次线性微分方程，也称为式（6-18）对应的齐次方程．
6. 2. 1 一阶线性微分方程求解
下面我们来求式（6-18 ）的通解．为此，先求式（6-19 ）的通解．对式（6-19 ）分离变
y 3y 2 y (C1ex 4C2e2x ) 3(C1ex 2C2e2x) 2(C1e x C2e2x) (C1 3C1 2C1)ex (4C2 6C2 2C2)e2x 0 ．
6. 1. 1 相关定义
这表明函数 y C1ex C2e2x 满足所给微分方程，因此它是微分方程的解．又因为此解中有两个独立的任意常数，且任意常数的个数正好与微分方程的阶数相同，所以此解为微分方程的通解．
本节介绍了微分方程的一些概念，可分离变量的微分方程、一阶齐次微分方程和高阶微分方程的解法．
其中，可分离变量的微分方程的解法是：（1）将方程整理为变量分离方程，然后对方程的两边取不定积分；（2）一阶齐次微分方程的解法是令 u y ；高阶微
x
分方程的解法是对方程两边进行n 次积分．
6.2 一阶线性微分方程
1 dy sin xdx ， y
两边积分
dy y
( sin
x)dx
，
得方程的通解为
ln | y | cos x C ．
该解称为微分方程的隐式通解．
因为 eln|y| ecos xC1 ，即 y eC1ecos x ．令 C eC1 ，得 y Cecos ，此解称为原微分方程的显

6-4 二阶常系数非齐次线性微分方程

9.3 二阶线性微分方程

求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧

高等数学(A,B)(上册)期末试卷(03～11)

二阶常系数非齐次微分

第六节 线性微分方程解的结构

二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解

二阶常系数非齐次线性微分方程

6.7二阶常系数非齐次线性微分方程

《高等数学》第6章常微分方程

第六章 常微分方程

6-4二阶常系数线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程

高数-微分方程总结

二阶常系数线性微分方程

高数习题第六章习题黄立宏第4版

6-6二阶常系数线性微分方程和Euler方程

《微积分(应用型)》教学课件 第六章

第六节线性微分方程解的结构

第六章常微分方程

《微积分(应用型)》教学课件第六章