广东省东莞市南开实验学校2013届高三上学期期初考试数学(理)试题

南开实验学校2013届高三上学期期初考试数学理试题一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是（ ）A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0B ．x ∃∈R ，2210x x -+>C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+< 2.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=( ) A.-2B.-1C.1D.23.若01x y <<<，则（ ）A ．33y x <B ．44log log x y <C ．log 3log 3x y <D ．11()()44x y <4.计算2012sin 22.5-的结果等于( )A.12D.5.如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．15- B ．15 C ．5-D ．56.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的函数为（ ）A ． )62sin(π-=x yB ．)32sin(π-=x yC ．)62sin(π+=x y D ．)62sin(π+=xy7. 的图象大致是8.已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '<，则1()22x f x <+的解集为 ( ) A.{}11x x -<< B. {}1x x > C.{}11x x x <->或 D.{}1x x <-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分 9. 10(2)________x e x dx +=⎰10. 曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________11. 已知定义在R 上的函数)(x f 满足：13)2()(=+⋅x f x f ，若2)1(=f ，则=)2011(f ________________ 12．若点P （3m ，-4m ），m ＜0在角θ的终边上，则cos θ= ______________ 13.奇函数()f x 在(0,)+∞上的解析式是()(1)f x x x =-，则在(,0)-∞上()f x =________________14.若方程x+log 4x=7的解所在区间是（n ，n+1）（n ∈N *），则n= _________三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合{}22|240,,A x x mx m x R m R =-+-≤∈∈，{}2|230.B x x x =--≤（1） 若[0,3],A B ⋂=求实数m 的值； （2） 若,R A C B ⊆求实数m 的取值范围.16.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02+2ax 0+2-a=0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．17. 已知函数()sin()(0,0,)f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是2，其图象经过点(,1)3M π．（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2παβ∈，且624(),()513f a f β==，求()f αβ-的值．18.已知()f x =x x xx x x cos sin 22sin 23sin 2cos 23cos--， （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期;(Ⅱ) 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数)(x f 的零点.19.已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,),()2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.20. 设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-，0x >.（Ⅰ）令()'()(0)g x xf x x =>，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；（Ⅱ）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （Ⅲ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【绝密★启用前 A 】东莞市南开实验学校2012-2013学年度第一学期高2013届理数 期初考试试卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是（C ）A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0B ．x ∃∈R ，2210x x -+>C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0D ．x ∀∈R ，2210x x -+< 2.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=( C ) A.-2B.-1C.1D.23.若01x y <<<，则（ B ）A ．33y x <B ．44log log x y <C ．log 3log 3x y <D ．11()()44x y <4.计算2012sin 22.5-的结果等于( D )A.12D. 25.如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ D ）A ．15- B ．15 C ． D 6.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的函数为（ A ）A ． )62sin(π-=x yB ．)32sin(π-=x yC ．)62sin(π+=x y D ．)62sin(π+=x y7. 的图象大致是（ C ）8.已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '<，则1()22x f x <+的解集为 ( B ) A.{}11x x -<< B. {}1x x > C.{}11x x x <->或 D.{}1x x <-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分 9. 10(2)________x e x dx +=⎰ e10. 曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为__y=4x-3______ 11. 已知定义在R 上的函数)(x f 满足：()(2)13f x f x ⋅+=，若2)1(=f ，则=)2011(f __132______________ 12．若点P （3m ，-4m ），m ＜0在角θ的终边上，则cos θ=______35-________13.奇函数()f x 在(0,)+∞上的解析式是()(1)f x x x =-，则在(,0)-∞上()f x =__x(1+x)_____________14.若方程x+log 4x=7的解所在区间是（n ，n+1）（n ∈N *），则n= 5_________三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合{}22|240,,A x x mx m x R m R =-+-≤∈∈，{}2|230.B x x x =--≤（3） 若[0,3],A B ⋂=求实数m 的值； 2（4） 若,R A C B ⊆求实数m 的取值范围. m>5或m<-3[2,2],A m m =-+[1,3],B =-16.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02+2ax 0+2-a=0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：由“p 且q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题． 若p 为真命题，a ≤x 2恒成立， ∵x ∈[1，2]， ∴a ≤1 ①；若q 为真命题，即x 2+2ax+2-a=0有实根， △=4a 2-4（2-a ）≥0， 即a ≥1或a ≤-2 ②，对①②求交集，可得{a|a ≤-2或a=1}， 综上所求实数a 的取值范围为a ≤-2或a=1．17. 已知函数()sin()(0,0,)f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是2，其图象经过点(,1)3M π．（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2παβ∈，且624(),()513f a f β==，求()f αβ-的值．+18.已知()f x =x x xx x x cos sin 22sin 23sin 2cos 23cos--， （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期;(Ⅱ) 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数)(x f 的零点. 解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2cos )(-==)42cos(2π+x --------4分故π=T ------------------5分（Ⅱ）令0)(=x f ，)24cos(2x +π=0，又 ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦----------------7分 592444x πππ∴≤+≤3242x ππ∴+= ------------------9分故58x π= 函数)(x f 的零点是58x π= ---------------12分19.已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,),()2x fx b x ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围. 解：（Ⅰ）xax xa x f 11)(-=-='，当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点； 当 0>a 时，()0f x '<得10x a<<，()0f x '>得1x a>，∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a+∞上递增，即)(x f 在ax 1=处有极小值．∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点（Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b xx x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， 令xxx x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22m in 11)()(e e g x g -==，即211b e≤-．3分列表如下：极小值∴在处取得极小值，即的最小值为．……5分，∵，∴，又，∴．……7分证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值是正数，∴对一切，恒有，……9分从而当时，恒有，故在上是增函数．……11分证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：在上是增函数，∴当时，， (12)分又，……13分∴，即，∴故当时，恒有． (14)。