第12讲加权图.

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12第十二讲-Chirp-Z

（a）沿单位圆采样; (b) 沿AB弧采样第2页，共16页。
第3章快速傅里叶变换
3.6.1 算法基本原理已知x(n)（0≤n≤N-1）是有限长序列，其Z变换为
N 1
X (z) x(n)zn
n0
为适应z可以沿Z平面更一般的路径取值，故沿Z平面上的一段螺线作等分角的采样，z的这些采样点zk为
（4）计算Q(r)=G(r)H(r), 需要L次复乘。
（5）计算X(zk)=
W
k2
2 q(k)
（0≤k≤M-1），需要M次复乘。
综上所述，CZT总的复数乘法次数为
mc=L lbL+N+M+L
前面说过，直接计算X(zk)需要NM次复数乘法。可以看出，当N, M都较大时（例如N, M都大于50时），CZT的FFT算法比直接算法的运算量要小
L r0
式中，前M个值等于h(n)和g(n)的线性卷积结果［h(n)*g(n)］; n≥M的值
没有意义，不必去求。
（6）最后求X(zk)：
k2
X (zk ) W 2 q(k) 0 k M 1
第13页，共16页。
第3章快速傅里叶变换
3.6.3 运算量的估计 CZT的算法求X(zk)比直接求X(zk)的算法有效得多。CZT所需
可得
X
(zk
)
N 1
x(n) AnW
n2
2W
(k n)2
2W
k2 2
W
k2 2
N 1
[x(n) AnW
n2 2
]W
(k n)2 2
n0
n0
n2
定义: g(n) x(n) AnW 2
n2
h(n) W 2

第12讲图像法判断函数的奇偶性

()y f x=Dx D∈()()f x f x-=______________________()()f x f x-=-()f x____________x D-∈Oy．y O答案：（2）函数为非奇非偶函数；（1）函数为奇函数；（3）函数为非奇非偶函数. 小结：一次函数，当时，函数为奇函数；当时，函数为非奇非偶函数.()0y kx b k =+≠0b ≠0b=()3,4-(),-∞+∞(),-∞+∞(3)(2)(1)4-3x O y xO y y O x ()33,4,∈-()33,4-∉-答案：（2）函数为非奇非偶函数. （1）函数为奇函数；小结：反比例函数， ()0k y k x=≠(1)(2)3-3y Ox x O y 即反比例函数是奇函数. ()0k y k x =≠()(),00,-∞+∞()(]3,00,3-()(]33,00,3∈-显然 ()(]33,00,3-∉-但 0k >0k <0k <当时，图像过二、四象限，0k >当时，图像过一、三象限，图像关于原点中心对称；图像关于原点中心对称.答案：（2）函数为非奇非偶函数；（1）函数为偶函数；（3）函数为非奇非偶函数. 小结：二次函数， ()20y ax bx c a =++≠(1)(2)(3)y Ox 4-3y O x x Oy []3,4-(),-∞+∞(),-∞+∞0b ≠0b = 当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数. 2b x a=-0=0b ⇒=由于函数的图像关于原点O 中心对称，因此该函数为奇函数； xOy()(),00,-∞+∞Oy。

第数据分析加权平均数ppt

在社会研究中，加权平均数也被用来反映不同人群的平均生活水平、收入水平等指标。例如，不同地区、不同收入层次的人群的权重不同，因此需要使用加权平均数来得出全国或全地区的平均生活水平或收入水平。
02
加权平均数与数据分析
加权平均数在数据分析中的地位
01
02
03
核心指标
加权平均数在数据分析中扮演着重要角色，它能够综合多个数据集，揭示数据的整体特征和趋势。
计算完成后，需要检查计算结果是否正确。可以通过将结果与已知数据进行比较，或者使用其他方法进行验证。
分析结果
一旦确定结果正确，接下来可以进一步分析结果，例如确定结果是否符合预期，如果不符合，需要检查数据或权重是否有问题。
04
加权平均数的局限性
当权重变化时结果可能不稳定
总结词
加权平均数的结投资组合风险
加权平均数可以用来评估投资组合的整体风险水平。通过计算每项投资的权重和其对应的回报率，投资者可以了解投资
组合的总体风险。
制定货币政策
中央银行和其他金融机构使用加权平均数来制定货币政策。例如，他们可能会比较不同行业的GDP增长率来决定将资金
投入到哪些领域。
当数据存在异常值时可能影响结果
总结词
详细描述
异常值可能会对加权平均数的结果产生不准确的影响。
在数据分析中，异常值是指远离数据中心分布的值。如果未进行适当处理，异常值可能会对加权平均数的结果产生不准确的影响。为了得到准确的结果，需要采取适当的方法
来处理异常值。
05
加权平均数在现实生活中的应用
VS
详细描述
在某些情况下，权重的微小变化可能导致加权平均数的结果产生较大的变动，这使得加权平均数对于分析的稳定性受到限制。

第12~13讲-智能信息融合技术20191118

Kalman滤波：基本知识
两个随机向量之间的协方差：表示的两个变量之间的相关误差，当Y=X的时候就是方差
高斯分布：
多元高斯分布：
10/112ຫໍສະໝຸດ 二、基于Kalman滤波的信息融合
Kalman滤波：基本知识
11/112
二、基于Kalman滤波的信息融合
Kalman滤波：系统模型
优势：满足比Bayes概率理论更弱的条件，即不需要知道先验概率。具有
直接表达“不确定”和“不知道”的能力。
局限性：要求证据必须独立，这有时不易满足；证据合成规则没有坚固的理论支持，其合理性和有效性还存在较大的争议；计算上存在着潜在的组合爆炸问题。
50/68
五、基于模糊集的信息融合
42/68
四、基于D-S证据理论的信息融合
D-S证据理论：示例
3种传感器每种测量两个周期：中频雷达:
ESM:
IFF:
43/68
四、基于D-S证据理论的信息融合
D-S证据理论：示例
中频雷达两个周期融合：
44/68
四、基于D-S证据理论的信息融合
ESM两个周期融合：
45/68
四、基于D-S证据理论的信息融合
根据Bayes公式:
先验概率后验概率
23/60
三、基于Bayes的信息融合
基于Bayes估计的传感器融合
两个传感器情况：两传感器独立
24/60
三、基于Bayes的信息融合
基于Bayes估计的传感器融合
利用最大似然估计：
25/60
三、基于Bayes的信息融合
基于Bayes估计的传感器融合
Bel({1,2})=0.4 PI({1,2})=1-Bel({3})=0.9

第12讲-汽车振动与噪声控制-汽车振动分析

? 研究平顺性的目的是控制振动的传递，使汽车的振动在一定的“输入”下，产生的“输出”不超过一定的界限。
5.2 平顺性评价指标
? 12个轴向的振动：包括座椅支撑面输入点3 个方向线振动和角振动，座椅靠背和脚支撑面输入点各3个方向线振动。
? 只考虑座椅支撑面输入点3个方向线振动，评价汽车平顺性。
? 控制措施：
1）设计制动器时，增加制动鼓刚性并减少制动蹄的刚性。
2）增加制动鼓与制动蹄对振动的衰减，即增加阻尼。
3）合理匹配制动鼓与制动蹄的刚性，使鼓的固有频率比蹄高一点，两者不至于太接近。
4）改善摩擦衬片特性和衰减振动的能力。
5）盘式制动器优化结构设计
第 8 章车身及整车噪声
自学内容，知识点：车身结构噪声来源；车身结构噪声控制措施；空腔共鸣；风振；
根据不平度函数q(I)对纵向长度I的二阶导数，可得加速度功率谱密度
两者与位移功率谱密度的关系：
4. 时间功率谱密度：
空间频率与时间频率的关系：
经推导，结论：
5.4 平顺性分析：
1. 常用平顺性分析模型：四轮汽车简化模型
简化为5个质量、8个弹簧阻尼系统
根据坐标系，行驶汽车整车的6种运动： 1）纵向运动； 2）侧倾运动； 3）垂直运动； 4）横摆运动； 5）侧向运动； 7）仰俯运动；
3. 路面垂直位移功率谱密度：
①n为空间频率，是波长的倒数，表示每米长度中包含几个波长。
②n0为参考空间频率，
③ 参考频率 n0下的路面功率谱密度值，
称为路面不平度系数； ④w为频率指数，双对数坐标上斜线频率，决定了路面功率谱密度的频率结构；
根据不平度函数q(I)对纵向长度I的一阶导数，可得速度功率谱密度

2020 最新中考数学复习第12讲第1课时二次函数的图象与性质

第12讲二次函数第1课时二次函数的图象与性质知识点1 二次函数的概念1．关于x 的函数y ＝(m ＋1)x 2＋(m －1)x ＋m ，当m ＝0时，它是二次函数；当m ＝－1时，它是一次函数．知识点2 二次函数的图象与性质2．已知h 与t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为常数，t 为时间)，则函数图象为(A )3．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是(C )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞1D ．x ＜15．二次函数y ＝x 2－2x －3的最小值是－4．知识点3 二次函数图象的平移6．抛物线y ＝(x ＋2)2－3由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．7．将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)2－2．知识点4 确定二次函数的解析式8．已知二次函数的图象如图，则其解析式为(B)A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x－3D．y＝x2＋2x＋39．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3．知识点5二次函数与方程、不等式10．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(A)A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－211．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(A)A．－1＜x＜3B．x＞3C．x＜－1D．x＞3或x＜－1重难点1二次函数的图象和性质(2017·枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大【思路点拨】(1)将a＝1代入原函数解析式，令x＝－1求出y值，由此得出A选项不符合题意；(2)将a＝2代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；(3)利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；(4)利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．【变式训练1】(2016·兰州)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3【变式训练2】(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x<1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,方法指导解决二次函数图象和性质相关题，首先需明确二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等与解析式中相关字母的关系，若确定解析式，也可通过将解析式配方，得出函数的对称轴，顶点坐标，函数图象与坐标轴的交点等，从而画出函数大致图象，再利用数形结合思想解题．方法指导比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较； (2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．重难点2 同一坐标系中的函数图象共存问题(2016·毕节)一次函数y ＝ax ＋c(a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(D )【变式训练3】函数y ＝kx与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(B )方法指导解决函数图象共存问题主要有以下三种方法：(1)排除法：根据已知条件中得出的结论直接排除某选项，如：本例由已知条件可知两个函数的常数项都是c ，说明两个函数图象与y 轴交于同一个点，所以排除A 选项；(2)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确．如：本例B 选项，若一次函数图象正确，则a<0，c<0，这与抛物线开口向上相矛盾．故B 选项错误．重难点3 二次函数图象与字母系数的关系(2016·随州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a ＋b ＝0；(2)9a ＋c>3b ；(3)8a ＋7b ＋2c>0；(4)若点A(－3，y 1)，点B(－12，y 2)、点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 3<y 2；(5)若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1<x 2，则x 1<－1<5<x 2.其中正确的结论有(B )A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】(1)利用对称轴公式判别；(2)观察形式发现当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＜0，可得9a＋c＜3b；(3)根据对称轴为x＝2，得b＝－4a，则8a＋7b＋2c＝－20a＋2c，由a＜0，c>0，可得－20a＋2c>0；(4)抛物线的开口向下，距离对称轴越远，纵坐标越小；(5)方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根x1和x2为直线y＝－3与抛物线y＝a(x ＋1)(x－5)的两个交点的横坐标，这两个交点在抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴两交点的两侧，因此x1<－1<5<x2.【变式训练4】(2017·荆门)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a<0，b<0，c>0B．－b2a＝1C．a＋b＋c<0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根变式训练4图变式训练5图【变式训练5】(2017·广安)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3，其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个方法指导解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系求解．常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2a＋b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2a－b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；(2)判断a＋b＋c与0的关系，需看x＝1时的纵坐标，即比较x＝1时函数值与0的大小；判断a－b＋c与0的关系，需看x＝－1时的纵坐标，即比较x＝－1时函数值与0的大小；(3)判断4a＋2b＋c与0的关系，需看x＝2时的纵坐标，即比较x＝2时函数值与0的大小；判断4a－2b＋c与0的关系，需看x＝－2时的纵坐标，即比较x＝－2时函数值与0的大小．1．(人教九上教材P37练习的变式题)(2017·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)。

加权平均数PPT课件(华师大版)

2. 补充: 请完成练习册剩余部分习题
x 11 3 31 5 51 20 71 22 9118 11115 3 5 20 22 18 15
73(人).
知2－讲
例2 为了了解某县八年级女生的身高情况，在该县某校八年级女生中随机抽测了200名女生的身高，统计数据如下：
组别第一组第二组第三组第四组
身高x/cm 135≤x＜145 145≤x＜155 155≤x＜165 165≤x＜175
知2－练
2 下列各组数据中，组中值不是10的是( ) A．0≤x＜20 B．8≤x＜12 C．7≤x＜13 D．3≤x＜7
3 对一组数据进行了整理，结果如下表：则这组数据的平均数约是( ) A．10 B．11 C．12 D．16
知2－练
分组频数
0≤x＜10 8
10≤x＜20 12
知2－练
4 对八班的某次考试成绩进行统计后，绘制了频数散布直方图(如图，分数取正整数，满分120 分)．根据图中信息填空：该班有________名学生； 89.5～99.5这一组的频数是________；估计该班这次考试的平均成绩是________．
知3－练
3 有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取3 000个数据，统计如下：请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为 () A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97
数据x 个数平均数
70≤x≤79 800 78.1
80≤x≤89 1 300 85
90≤x≤99 900 91.9
1. 利用频数散布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组实际的数据，把各组的频数看成是相应组中值的权，从而算出平均数．

第12讲加权图

6
6
1
2
1
4
5
3
3
42
5
6
普里姆算法构造最小生成树的过程
A 60 C
50 B 65
52 45 D 42 G
40 50
30
E 70 F
(a)
A
C
B
D
G
E
F
(b)
A
C
50
B
D
G
E
F
(c)
A
C
50
B
D
G
40
E
F
(d)
A
C
50
B
D
G
40 50
E
F
(e)
A
C
50
B
D
G
40 50
30
E
F
(f)
A
C
50
B
D 42 G
Displays all edges and weights.
Returns a minimum spanning tree starting from vertex 0.
Returns a minimum spanning tree starting from vertex v.
Returns all single-source shortest paths.
New York
888
Atlanta
661 11 Miami
TestMinimumSpanningTree
TestMinimumSpanningTree
20
普里姆算法实现采用邻接矩阵方法
lowCost 0 -1 1 50 2 60 3∞ 4∞ 5∞ 6∞

加权平均数精品公开课(共20张PPT)

教学目标
1.在具体情景中理解权数与加权平均数的含义；
2.掌握加权平均数的计算公式，会求一组数据的加权平均数。
开启智慧
为满足顾客的需要，某商场将15kg奶糖、3kg酥心糖和2kg话梅糖混合成什锦糖出售。已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖为每千克20元，话梅糖为每千克15元。混合后什锦糖的售价应为每千克多少元?
显然乙的成绩比甲高,所以从成绩上看应该录取乙. 问题1：一次数学测验，三人的数学成绩如下
权的和是多少？ 1、招笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照
某同学平时练习93 算术平均数=各数据的和÷数据的个数
2、对比加权平均数与以前学过的算术平均数，日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”。
• （1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？
• （2）根据实际需要，公司将
创新、综合知识和语言三项测试得分按4：3：1的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？
小结:
1. 平均数计算:
=各数据的和算术平均数按各个数据的权来反映该组数据的总体平均大小情况.
÷数据的个数
日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”。由此可见，什锦糖的单价不仅与混合前奶糖、酥心糖和话梅糖的单价有关，也与混合后三种糖的质量在什锦糖质量中所占的比值有关。
你能说出二者有什么联系吗？在具体情景中理解权数与加权平均数的含义；
2、对比加权平均数与以前学过的算术平均数，你能说出二者有什么联系吗？由此可见，什锦糖的单价不仅与混合前奶糖、酥心糖和话梅糖的单价有关，也与混合后三种糖的质量在什锦糖质量中所占的比值有关。各个数据在该组数据中所占有的不同重要性的反映.
2、你发现这三个数据影响平均数大小的重要程度可以通过哪三个比值反映出来？

运用价值工程方法进行方案的评价选优-第12讲

【案例二】背景：某市高新技术开发区拟开发建设集科研和办公于一体的综合大楼，其设计方案主体土建工程结构型式对比如下：A方案：结构方案为大柱网框架剪力墙轻墙体系，采用预应力大跨度叠合楼板，墙体材料采用多孔砖及移动式可拆装式分室隔墙，窗户采用中空玻璃断桥铝合金窗，面积利用系数为93%，单方造价为1438元／m2；B方案：结构方案同A方案，墙体采用内浇外砌，窗户采用双玻塑钢窗，面积利用系数为87%，单方造价为1108元／m2；C方案：结构方案采用框架结构，采用全现浇楼板，墙体材料采用标准黏土砖，窗户采用双玻铝合金窗，面积利用系数为79%，单方造价为1082元／m2。

方案各功能的权重及各方案的功能得分见表2-3。

表2—3各方案功能的权重及得分表问题：1．试应用价值工程方法选择最优设计方案。

2．为控制工程造价和进一步降低费用，拟针对所选的最优设计方案的土建工程部分，以分部分项工程费用为对象开展价值工程分析。

将土建工程划分为四个功能项目，各功能项目得分值及其目前成本见表2-4。

按限额和优化设计要求，目标成本额应控制在12170万元。

表2—4各功能项目得分及目前成本表试分析各功能项目的目标成本及其可能降低的额度，并确定功能改进顺序。

3.若某承包商以表2-4中的总成本加3.98%的利润报价（不含税）中标并与业主签订了固定总价合同，而在施工过程中该承包商的实际成本为12170万元，则该承包商在该工程上的实际利润率为多少？4．若要使实际利润率达到10%，成本降低额应为多少？分析要点：问题1考核运用价值工程进行设计方案评价的方法、过程和原理。

问题2考核运用价值工程进行设计方案优化和工程造价控制的方法。

价值工程要求方案满足必要功能，清除不必要功能。

在运用价值工程对方案的功能进行分析时，各功能的价值指数有以下三种情况：(1)VI=1，说明该功能的重要性与其成本的比重大体相当，是合理的，无须再进行价值工程分析；(2)Ⅵ<1，说明该功能不太重要，而目前成本比重偏高，可能存在过剩功能，应作为重点分析对象，寻找降低成本的途径；(3)Ⅵ>1，出现这种结果的原因较多，其中较常见的是：该功能较重要，而目前成本偏低，可能未能充分实现该重要功能，应适当增加成本，以提高该功能的实现程度。

《微观经济学》第12讲市场需求

整理得：
p1 x1 x1 p1 , p2 , m m x x p , p , m m x x p2 2 2 1 2 p1 1 p2 2 1 m m x1 m m x2 m m
需求富有价格弹性时，价格上升收益会减少。需求缺乏价格弹性时，价格上升收益会增加。当单位弹性时，价格变动不会导致收益变化。
3．弹性不变的需求对于 q Ap 形式的指数需求函数，需求价格弹性为：

dq p p A p 1 dp q Ap
可以看出，指数即为需求价格弹性（绝对值）。
需求价格弹性一般为负（吉芬商品除外）。
1．线性需求曲线的弹性假设线性需求曲线为：q a bp ，则它的需求价格弹性为： bp bp

q a bp
在需求曲线上，随着价格的上升，需求曲线的弹性是增加的。
图12-1 线性需求曲线的弹性
2．弹性与厂商收益
dq p dR d pq dq q p q 1 1 p q dp dp dp dp q
假设某个消费者只消费两种商品，并总是花光他的全部收入。试证明这两种商品不可能都是奢侈品。[中央财经大学80ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ经济学2007研]
证明：奢侈品是指需求的收入弹性大于1的商品。由预算约束方程可得：
p1 x1 p1 , p2 , m m p2 x2 p1 , p2 , m m 1
4．弹性与边际收益（1）边际收益度量的是商品数量发生变动时收益如何变动的问题
MR dR d pq dp 1 pq p q 1 dq dq dq p
对上述结论的经济学直观性的理解是：如果需求富有弹性，降低价格增加产量，就会使收益增加；如果需求缺乏弹性，提高价格减少产量，就会使收益增加。利润最大化的厂商不可能在缺乏弹性的地方定价