傅立叶变换基本概念

二、一维傅立叶变换

定义:傅里叶变换：函数f(x),满足狄利赫利条件，则:

)

(F )(µ频率域⇔x f 变换核

逆变换

变换

Fourier x j Fourier d x j F x f Fourier dx x j x f F ⇔±⇔=⇔−=∫∫

∞

∞

−∞

∞

−)2exp()2exp()()()2exp()()(πµµπµµπµµ

物理意义FT

¾F(µ)是一个密度函数的概念

¾F(µ)是一个连续谱

¾F(µ)包含了从零到无限高频的所有频率分量¾各频率分量的频率不成谐波关系

三、广义傅立叶变换

定义:函数g n (x)是一个普通函数序列:如果:

那么f(x)的广义傅立叶变换:

存在

)(lim )

(lim )(µN N N N G x g x f ∞

→∞

→=)((x)][g N µN G =F )

(G )(F N N N µµ∞

→∞

→===lim (x)][g lim [f(x)]N F F

四、两维傅立叶变换

函数f(x,y), 傅立叶变换存在,空间频率的函数:

∫∫∞

+−=dxdy

)]y x (j exp[)y ,x (f ),(F νµπνµ2∫∫∞

+−=ν

µνµπνµd d )]y x (j exp[),(F )y ,x (f 2

第四节傅立叶变换性质

一、性质：1、线性（叠加性）

2、对称性：

)

G(b )x (aF bg(x)][af(x))G([g(x)]),F([f(x)]µµµ+=+==F F F )

f(-[F(x)]),F([f(x)]µµ==F F

6、相移性质：

7、复共轭函数的傅立叶变换：

8、面积：F （0）是f （x ）曲线下面积；f （0）是F （µ）曲线下面积；

)

F(f(x)])x j exp([002µµπµ∓=±F )

(-*f )]x (-*[f ),(-*F (x)]*[f µµ==F F ∫∫

∞

∞

−∞

∞

−==µ

µd )(F )(f ,dx )x (f )(F 00

二、傅立叶变换定理：1、卷积

∫∞

∞

−−=⊗=α

ααd )x (h )(f )x (h )x (f )x (g 卷积的图解法

(1)画出f 1(τ)和f 2(τ)的波形。(2)f 2(τ)折叠⇒f 2(−τ)的波形。

(3)f 2(−τ)平移t ⇒f 2(t −τ)的波形(t >0时为右移，t <0时为左移)。

(4)信号相乘⇒f 1(τ)f 2(t −τ)的波形(注意t 在区间(−∞,∞)上取值不同时，会出现f 1(τ)f 2(t −τ)的若干种情况)。

(5)图解计算各种情况下相乘信号f 1(τ)f 2(−τ)非零的面积。

性质：1、线性性

2、交换性：

3、平移不变性

h(x)

(x)f b h(x)(x)f a h(x)(x)]bf (x)[af 2121⊗+⊗=⊗+)

x (f )x (h )x (h )x (f )x (g ⊗=⊗=)]

x x (x [g )x x (h )x x (f 2121+−=−⊗−