北京海淀区2018-2019年高二下学期期中考试数学试卷及答案
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所以圆心坐标为 ，圆的半径 为 .
（Ⅱ）因为点 ，点 都在圆上，且 ,
所以直线 经过圆 的圆心.
所以直线 的斜率 .
所以直线 的方程为 ，即 .
16.解：
（Ⅰ） ，
注：每空2分，第一个空开闭均可，第二个空填 也给分，填 不给分.
（Ⅱ）因为 ，
由题意知，
即
解得
（Ⅲ） 或
17.解：
（Ⅰ）由题意可知， ，
C． D．
（6）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到 时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为 .水面高度 是时间 的函数，这个函数图象只可能是
（7）设 为复数，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件
（8）已知直线 ： 与直线 ： 的交点为 ，椭圆 的焦点为 , ，则 的取值范围是
海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案
2019.4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
综上，点 在以 为直径的圆上.
18.解：
（Ⅰ） ，
由题意知，
即 ，
所以 .
（Ⅱ）当 时， ，
所以 .
令 ，
所以 .
因为 ，所以 . 因此 恒成立.
所以当 时， 单调递增.
又因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 .
列表如下：
0
1
0
极小值
当 时， .
所以当 , 时，
（Ⅲ） .
所以 .
因为 ，
所以椭圆的方程为 .
（Ⅱ）点 在以 为直径的圆上.
设 坐标为 ， 坐标为 .
1当直线 斜率不存在时，则 的方程为 .
由 得
不妨设 ， .
所以 .
所以 .
所以 .
所以点 在以 为直径的圆上.
②当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 .
由
得
所以
所以 .
所以 .
所以 .
所以 .
所以点 在以 为直径的圆上.
海淀区高二年级第二学期期中练习
数学
2019.4
本试卷共4页，100分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数 对应的点位于
A． B． C． D．
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
（9）请写出一个复数 ，使得 为实数.
（10）双曲线 的渐近线方程是.
（11）已知抛物线 经过点 ，则准线方程为，点 到焦点的距离为.
（12）直线 与抛物线 交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线互相垂直，其中A点坐标为 ，则直线 的斜率等于.
A
D
B
C
C
A
D
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
9. （答案不唯一）10.
11. ; 12.
13. 14.②③（对一个得2分，有错误不给分）
三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.解：
（Ⅰ）因为点 在圆 上,
所以 .
解得 .
所以圆的方程为 ，即 .
存在 ，使得 ， 的单调区间完全一致；
存在 ，使得 ， 的零点完全相同；
存在 ，使得 ， 分别为奇函数，偶函数；
对任意 ，恒有 ， 的零点个数均为奇数.
三、解答题共4小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共12分）
已知圆 ，点 在圆 上.
（Ⅰ）求圆心的坐标和圆的半径；
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）函数 的导数 为
A. B. C. D.
（3）在平面直角坐标系 中，半径为 且过原点的圆的方程可以是
A． B．
C． D．
（4）双曲线 的焦点坐标为
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
（5）如图，曲线 在点 处的切线 过点 ，且 ，则 的值为
A． B．
已知椭圆 的离心率 ，其右顶点 ，直线 过点 且与椭圆交于 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）判断点 与以 为直径的圆的位置关系，并说明理由.
（18）（本小题共10分）
已知函数 ．
（Ⅰ）如果曲线 在点 处的切线的斜率是 ，求 的值；
（II）当 ， 时，求证： ；
（Ⅲ）若 存在单调递增区间，请直接写出 的取值范围.
（Ⅱ）若点B也在圆 上，且 ，求直线AB的方程.
（16）（本小题共12分）
已知函数 ，其导函数 的图象如图所示，过点 和 .
（Ⅰ）函数 的单调递减区间为_____________，极大值点为____________；
（Ⅱ）求实数 的值；
（Ⅲ）若 恰有两个零点，请直接写出 的值.
（17）（本小题共10分）
（13）已知 , 为椭圆 ： 的两个焦点，过点 作 轴的垂线，交椭圆 于 两点.当△ 为等腰直角三角形时，椭圆 的离心率为 ，当△ 为等边三角形时，椭圆 的离心率为 ，则 的大小关系为 ______ （用“>”,“<”或“=”连接）
（14）已知 ， （ ），则下列命题中所有正确命题的序号为________.
（Ⅱ）因为点 ，点 都在圆上，且 ,
所以直线 经过圆 的圆心.
所以直线 的斜率 .
所以直线 的方程为 ，即 .
16.解：
（Ⅰ） ，
注：每空2分，第一个空开闭均可，第二个空填 也给分，填 不给分.
（Ⅱ）因为 ，
由题意知，
即
解得
（Ⅲ） 或
17.解：
（Ⅰ）由题意可知， ，
C． D．
（6）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到 时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为 .水面高度 是时间 的函数，这个函数图象只可能是
（7）设 为复数，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件
（8）已知直线 ： 与直线 ： 的交点为 ，椭圆 的焦点为 , ，则 的取值范围是
海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案
2019.4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
综上，点 在以 为直径的圆上.
18.解：
（Ⅰ） ，
由题意知，
即 ，
所以 .
（Ⅱ）当 时， ，
所以 .
令 ，
所以 .
因为 ，所以 . 因此 恒成立.
所以当 时， 单调递增.
又因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 .
列表如下：
0
1
0
极小值
当 时， .
所以当 , 时，
（Ⅲ） .
所以 .
因为 ，
所以椭圆的方程为 .
（Ⅱ）点 在以 为直径的圆上.
设 坐标为 ， 坐标为 .
1当直线 斜率不存在时，则 的方程为 .
由 得
不妨设 ， .
所以 .
所以 .
所以 .
所以点 在以 为直径的圆上.
②当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 .
由
得
所以
所以 .
所以 .
所以 .
所以 .
所以点 在以 为直径的圆上.
海淀区高二年级第二学期期中练习
数学
2019.4
本试卷共4页，100分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数 对应的点位于
A． B． C． D．
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
（9）请写出一个复数 ，使得 为实数.
（10）双曲线 的渐近线方程是.
（11）已知抛物线 经过点 ，则准线方程为，点 到焦点的距离为.
（12）直线 与抛物线 交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线互相垂直，其中A点坐标为 ，则直线 的斜率等于.
A
D
B
C
C
A
D
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
9. （答案不唯一）10.
11. ; 12.
13. 14.②③（对一个得2分，有错误不给分）
三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.解：
（Ⅰ）因为点 在圆 上,
所以 .
解得 .
所以圆的方程为 ，即 .
存在 ，使得 ， 的单调区间完全一致；
存在 ，使得 ， 的零点完全相同；
存在 ，使得 ， 分别为奇函数，偶函数；
对任意 ，恒有 ， 的零点个数均为奇数.
三、解答题共4小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共12分）
已知圆 ，点 在圆 上.
（Ⅰ）求圆心的坐标和圆的半径；
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）函数 的导数 为
A. B. C. D.
（3）在平面直角坐标系 中，半径为 且过原点的圆的方程可以是
A． B．
C． D．
（4）双曲线 的焦点坐标为
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
（5）如图，曲线 在点 处的切线 过点 ，且 ，则 的值为
A． B．
已知椭圆 的离心率 ，其右顶点 ，直线 过点 且与椭圆交于 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）判断点 与以 为直径的圆的位置关系，并说明理由.
（18）（本小题共10分）
已知函数 ．
（Ⅰ）如果曲线 在点 处的切线的斜率是 ，求 的值；
（II）当 ， 时，求证： ；
（Ⅲ）若 存在单调递增区间，请直接写出 的取值范围.
（Ⅱ）若点B也在圆 上，且 ，求直线AB的方程.
（16）（本小题共12分）
已知函数 ，其导函数 的图象如图所示，过点 和 .
（Ⅰ）函数 的单调递减区间为_____________，极大值点为____________；
（Ⅱ）求实数 的值；
（Ⅲ）若 恰有两个零点，请直接写出 的值.
（17）（本小题共10分）
（13）已知 , 为椭圆 ： 的两个焦点，过点 作 轴的垂线，交椭圆 于 两点.当△ 为等腰直角三角形时，椭圆 的离心率为 ，当△ 为等边三角形时，椭圆 的离心率为 ，则 的大小关系为 ______ （用“>”,“<”或“=”连接）
（14）已知 ， （ ），则下列命题中所有正确命题的序号为________.