北京海淀区2018-2019年高二下学期期中考试数学试卷及答案

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2019年北京市海淀区高二年级第二学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年北京市海淀区高二年级第二学期期中考试数学试题一、单选题1．在复平面内，复数1-i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 D【解析】根据题意，由复数的几何意义可得对应的点为，进而可得答案．【详解】根据题意，在复平面内，复数对应的点为故对应的点在第四象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题．2．函数的导数为（）A．B．C．D．【答案】 A【解析】由导数的乘法运算公式计算可得答案．【详解】根据题意：本题正确选项：【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．3．在平面直角坐标系xOy中，半径为2且过原点的圆的方程可以是（）A．B．C．D．【答案】 D【解析】利用圆的标准方程，采用排除法得出结论．【详解】在平面直角坐标系中，由于圆的半径为，故排除A、B；再把原点代入，只有满足，不满足本题正确选项：【点睛】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．4．双曲线的焦点坐标为（）A．和B．和C．和D．和【答案】 B【解析】根据双曲线的标准方程和简单几何性质，先求得半焦距，可得它的焦点坐标．【详解】双曲线的标准方程为：又双曲线交点在轴上焦点坐标为和本题正确选项：【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属于基础题．5．如图，曲线在点处的切线l过点，且，则的值为（）A．B．1 C．2 D．3【答案】 C【解析】利用已知条件求出切线方程，然后利用切点既在曲线上又在切线上，将代入切线方程可求得．【详解】由题意可得在处的切线方程为：因为切点在曲线上也在切线上，所以本题正确选项：【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法与应用，是基本知识的考查，关键是明确切点既在切线上又在曲线上．6．如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到t0时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为h0．水面高度h是时间t的函数，这个函数图象只可能是（）A．B．C．D．【答案】 C【解析】根据球的形状，结合单位时间内体积的变化情况进行判断．【详解】容器是球形，两头体积小，中间体积大，在一开始单位时间内体积的增长速度比较慢，超过球心后体积的增长率变快根据图象增长率可得对应的图象是本题正确选项：【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数图象的增长速度是解决本题的关键．7．设为复数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】由复数的运算依次验证充分条件、必要条件是否成立，从而得到结果.【详解】①当时，，又即“”是“”的充分条件②当时，设即，则且或，即或，即“”是“”的不必要条件综合①②得：“”是“”的充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题主要结合复数的运算对充分条件、必要条件的判断进行考查，属于基础题.8．已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】 D【解析】判断两条直线经过的定点，判断交点所在的位置，利用椭圆的定义判断求解即可．【详解】椭圆的焦点为：，由与方程可知直线与直线的交点为，且两条直线经过定点，它们的交点满足：，在椭圆内部且与椭圆的短轴端点相交当与原点重合时，取最小值为：当与短轴短点重合时，取最大值为：的取值范围是：本题正确选项：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，关键能够通过直线经过的定点确定交点的位置．二、填空题9．请写出一个复数z=______，使得z+2i为实数．【答案】-2i（答案不唯一）.【解析】由题意取一个复数，虚部为即可．【详解】取，则为实数本题正确结果：（答案不唯一）【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．双曲线的渐近线方程为【答案】【解析】试题分析：由双曲线方程可知，所以渐近线为【考点】双曲线方程及性质11．已知抛物线y2=2px经过点A（4，4），则准线方程为______，点A到焦点的距离为______．【答案】【解析】利用抛物线经过的点，求出抛物线方程，根据抛物线性质得到准线方程，然后求解出点到焦点的距离．【详解】抛物线经过点可得，解得抛物线方程为：则准线方程为：点到焦点的距离为：本题正确结果为：；【点睛】本题考查抛物线方程求解，抛物线的性质应用，是对基础知识的考查．12．直线l与抛物线交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线互相垂直，其中A点坐标为（2，2），则直线l的斜率等于______．【答案】.【解析】分别求出处和处切线的斜率，然后求解得的坐标，利用两点连线斜率公式求解即可．【详解】对抛物线，；又，可得：抛物线在两点处的切线互相垂直本题正确结果：【点睛】本题考查直线的斜率的求法，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．13．已知F1，F2为椭圆C：的两个焦点，过点F1作x轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点．当△F2PQ为等腰直角三角形时，椭圆C的离心率为e1，当△F2PQ 为等边三角形时，椭圆C的离心率为e2，则e1，e2的大小关系为e1______e2（用“＞”，“＜”或“=”连接）【答案】＜【解析】把代入椭圆方程可得，当为等腰直角三角形时，可得：，化简解得；当为等边三角形时，可得：，化简解得，从而得到二者的大小关系.【详解】把代入椭圆方程可得：，解得：①当为等腰直角三角形时，可得：，即化为：，解得：②当为等边三角形时，，即化为：，解得：则，的大小关系为：本题正确结果：【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰直角三角形与等边三角形的性质、一元二次方程的解法，关键是能够建立起关于的齐次方程，从而解出离心率，属于中档题．14．已知，，则下列命题中所有正确命题的序号为______．①存在，使得的单调区间完全一致；②存在，使得的零点完全相同；③存在，使得分别为奇函数，偶函数；④对任意，恒有的零点个数均为奇数．【答案】②③．【解析】考虑为二次函数，有两个单调区间；为三次函数，存在三个单调区间，可判断①；通过取特殊值可判断②和③正确；根据，时，否定零点个数均为奇数，可知不是任意均成立，可判断④．【详解】，，为二次函数，有两个单调区间；为三次函数，存在三个单调区间，故①错误；，当，时，，的零点为，，故②正确；，当，为奇函数；为偶函数，故③正确；当，时，的零点为；的零点为和，故④错误．本题正确结果：②③【点睛】本题考查函数的零点和单调性、奇偶性的判断，考查运算能力和推理能力，关键是明确对于存在时，只需找到一组结果使得成立即可；对于任意时，只需找到一组结果使得不成立即可．三、解答题15．已知圆C：x2+y2-4x+a=0，点A（1，2）在圆C上．（Ⅰ）求圆心的坐标和圆的半径；（Ⅱ）若点B也在圆C上，且，求直线AB的方程．【答案】（Ⅰ）圆心坐标为，圆的半径；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将的坐标代入圆的方程可得，再将圆的方程化成标准形式可得圆心坐标和半径；（Ⅱ）根据等于直径，可知过圆心，从而求得斜率，再利用点斜式可得直线的方程．【详解】（Ⅰ）因为点在圆上所以，解得所以圆的方程为，即所以圆心坐标为，圆的半径（Ⅱ）因为点，点都在圆上，且所以直线经过圆的圆心所以直线的斜率所以直线的方程为，即【点睛】本题考查圆的标准方程求解和几何性质、利用直线与圆的位置关系求解直线方程的问题，属于基础题．16．已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和（Ⅰ）求函数的单调递减区间和极大值点；（Ⅱ）求实数的值；（Ⅲ）若恰有两个零点，请直接写出的值．【答案】（Ⅰ）函数的单调递减区间为，极大值点为；（Ⅱ）；（Ⅲ）或【解析】（Ⅰ）根据导函数的图象，可知当时，，即可得单调递减区间；当时，，从而可得极值点；（Ⅱ）根据极值点的定义可得：，解方程组求得结果；（Ⅲ）根据恰有两个零点，可得或，从而解得结果．【详解】（Ⅰ）由导函数的图象可得：时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增函数的单调递减区间为，极大值点为本题正确结果：，（Ⅱ）由题意知：，即解得：（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：由（Ⅰ）可得：为极大值点，为极小值点恰有两个零点，或或【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知椭圆W：（a＞b＞0）的离心率，其右顶点A（2，0），直线l 过点B（1，0）且与椭圆交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）判断点A与以CD为直径的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）点在以为直径的圆上【解析】（Ⅰ）由离心率和的关系解出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设坐标为，坐标为；分别在斜率不存在和斜率存在两种情况下假设直线方程，与椭圆方程联立；只要证明出即可得出点在以为直径的圆上．【详解】（Ⅰ）由题意可知：，，椭圆的方程为（Ⅱ）点在以为直径的圆上．设坐标为，坐标为①当直线斜率不存在时，则的方程为由得不妨设，，即点在以为直径的圆上②当直线斜率存在时，设直线的方程为由，得．即点在以为直径的圆上综上，点在以为直径的圆上．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、分类讨论方法，关键是能够利用韦达定理表示出向量的数量积，从而通过整理运算求得结果，属于中档题．18．已知函数（Ⅰ）如果曲线在点处的切线的斜率是，求的值；（Ⅱ）当，时，求证：；（Ⅲ）若存在单调递增区间，请直接写出的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）由即可解出；（Ⅱ）对进行二次求导，通过二次求导所得导函数恒正，得到单调递增；根据零点存在定理可知在上，存在零点；根据导函数符号得到单调性，从而确定最大值为，则结论可证；（III）将问题转化为存在，使得，通过分离变量将问题转化为与最值的比较；在时求的最小值；时求的最大值，由于最值点无法取得，结合洛必达法则求得极限值；从而可得的取值范围.【详解】（Ⅰ）由题意知：则，即（Ⅱ）当时，令因此恒成立当时，单调递增又，存在唯一的，使得列表如下：极小值当时，当，时，（Ⅲ）由题意可知，存在，使得当时，，不合题意；当时，令，则当时，，则单调递减；时，，则单调递增可得时，函数取得极小值即最小值当时，当时，，则单调递减结合洛必达法则可知：综上可得：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法.难点在于能成立问题的求解上，解决能成立问题通常采用分离变量的方式，将问题转化为参数与函数最值之间的比较，属于较难题．。

北京市师大附中2018-2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

由图可知,当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大,z有最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是:一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
【此处有视频,请去附件查看】
5.已知数列的前项和 ,则（ )
A。 B. C。 D.
【答案】C
【解析】
∵当时，，当时
∴
∴首项，公比
故选C
6。正项等比数列中, ,则＝（）
A. －1B。1C。 2D。 0
【答案】B
【解析】
lga3＋lga4＝lg（a3a4)＝lg（a2a5）＝lg 10＝1。选B.
又∵ ，∴ ．
答：仓库底面面积时，仓库的总造价最少是元，此时正面的长应设计为． --12
考点：1．函数的实际应用；2．均值不等式求最值
分析：条件已提供了首项,故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．
解答：解:设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（—11）+8d=—6，解得d=2，
所以Sn=-11n+
×2=n2—12n=（n-6）2—36，所以当n=6时，Sn取最小值．
故选A
点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用,考查二次函数最值的求法及计算能力．
【解析】
试题分析：（1）求得长方体顶部，正面，侧面的面积,与相应的单位造价的乘积之和即可得到总造价；(2）在函数式中是定值，利用均值不等式将部分的最小值求解出来，即可得到总造价的最小值,此时等号成立的条件即为设计方案

北京市第八中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！北京市第八中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.1i -的虚部为（） A. i B. i -C. 1D. -1【答案】D 【解析】【分析】根据复数虚部定义直接求出1i -的虚部. 【详解】由复数虚部定义可知1i-的虚部为1-，故本题选D.【点睛】本题考查了复数的虚部定义，准确掌握复数的虚部定义是解题的关键.2.设函数()sin cos f x x x =-，则'()f x 等于（）A. sin cos x x -B. cos sin x x -C. sin cos x x +D. cos sin x x -- 【答案】C 【解析】【分析】根据导数减法运算法则直接求出'()f x .【详解】因为()sin cos f x x x =-，所以'()cos sin f x x x =+，故本题选C.【点睛】本题考查了导数减法运算法则，准确求出正弦函数、余弦函数的导数是解题的关键.3.在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为（） A. 60 B. -60C. 240D. -240【答案】A 【解析】【分析】写出6(12)x -的展开式的通项公式，让x 的指数为2，求出r ，最后求出2x 的系数.【详解】6(12)x -的展开式的通项公式为：61661(2)(2)r r r r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅⋅，令2r =，所以2x 的系数为：226(2)60C -⋅=，故本题选A.【点睛】本题考查了求二项式展开式中某项系数问题，应用二项式展开式的通项公式是解题的关键.4.将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（） A. 12种 B. 24种C. 36种D. 48种【答案】C 【解析】【分析】从4个人中选2个作为一个元素，再将它与其他两个元素在一起进行排列，由分步计数原理计算可得答案．【详解】将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种分组方法，即1，1，2，首先从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，共有C 42A 33＝36种结果，故选：C ．【点睛】本题考查分步计数原理的应用分组分配问题，注意此类问题一般要首先分组，再进行排列，属于基础题.5.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则(0)P X ==（）A. 0B.12C.13D.23【答案】C 【解析】【分析】设某项试验的失败率为p ，则可以求出某项试验的成功率为2p ，根据概率的性质，可以求出p 值，直接可以求出(0)P X =的值.【详解】设某项试验的失败率为p ，则可以求出某项试验的成功率为2p ，根据概率的性质可知：1213p p p +=⇒=，1(0)3P X ==，故本题选C. 【点睛】本题考查了概率的性质，考查了数学运算能力.6.在复平面内，复数65i +, 23i -+ 对应的点分别为,A B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（）A. 4i +B. 24i +C. 82i +D. 48i +【答案】B 【解析】Q 复数65,23i i +-+对应的点分别为()()6,5,2,3A B -，且C 为线段AB 的中点，根据中点坐标公式可得()2,4C ，则点C 对应的复数是24i +，故选B.7.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（） A. 96 B. 120 C. 240 D. 24【答案】A 【解析】【分析】首先确定连号的张数，然后把这二张连号捆绑在一起与其它三张全排列即可.【详解】2张参观券连号有(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)四张，捆绑在一起与其它三张全排列为1444443296C A ⋅=⨯⨯⨯=，故本题选A.【点睛】本题考查了排列与组合的应用，正确理解题意是解题的关键.8.在5()x a +（其中0a ≠）的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为（）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用5()x a +的展开式的通项公式，求出2x 的系数和3x 的系数，根据题意，列出方程，解方程结合0a ≠，求出a 的值.【详解】5()x a +的展开式的通项公式为：515r r r r T C x a -+=⋅⋅，令523r r -=⇒=，所以2x 的系数为333510C a a ⋅=，再令532r r -=⇒=，3x 的系数为222510C a a ⋅=，由题意可知：321010a a =，而0a ≠，所以1a =，故本题选C.【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用，考查了数学运算能力.9.由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有（）个. A. 14 B. 16 C. 18 D. 20【答案】D 【解析】【分析】根据三位数的各数位上的数之和能被3整除，这个三位数能被3整除，可以把0、1、2、3、4五个数字进行分类：（1）由0，1，2三个数组成三位数；（2）由0，2，4三个数组成三位数；（3）由1，2，3三个数组成三位数；（4）由2，3，4三个数字组成三位数，分别求出每类情况下能组成的三位数的个数，再用加法计算原理求解出本题.【详解】根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类：（1）由0，1，2三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数；（2）由0，2，4三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数；（3）由1，2，3三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数；（4）由2，3，4三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数，所以由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有4+4+6+6=20个数.【点睛】本题考查了排列与组合的应用、加法计数原理、乘法计数原理，掌握能被3整除的三位数的特征是解题的关键，考查了分类讨论思想.10.设ln 24a =，ln 39b =，ln 525c =，则（） A. b a c >>B. a b c <<C. b a c <<D.a b c >>【答案】D 【解析】试题分析：令2ln (2)x y x x =≥，则42ln 02x x x y x x =⇒'-==<，因此2ln xy x=在[2,)+∞上单调递，减，从而a b c >>，选D.考点：导数应用【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x <'构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x <'构造()()f x g x x=，()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.计算：132ii+=______. 【答案】3122i - 【解析】【分析】应用复数除法运算法则进行运算即可. 【详解】13(13)33122222i i i i i i i i ++⋅-===-⋅-. 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.12.已知3nx ⎫⎪⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中，常数项等于______.（用数字作答）【答案】135 【解析】【分析】令1x =，可以求出3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数的和，二项式系数之和为2n ，由题意可以得到等式，这样可以求出n ，利用二项式展开式的通项公式，可以求出常数项.【详解】令1x =，所以3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数的和为4n ，而二项式系数之和为2n，由题意可知：2464264log 6462n n n n =⇒=⇒==，所以63x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为：63621663()3rr rr r rr T C C x x --+=⋅⋅=⋅⋅，令63022r r -=⇒=，所以63x ⎫⎪⎭展开式中常数项为：2263135C ⋅=.【点睛】本题考查了求二项式展开式中常数项问题，理解掌握二项式展开式各项系数和与二项式系数之各的区别是解题的关键.13.随机变量X 的分布列如下，若1()3E X =，则()D X 的值是_______.【答案】59【解析】【分析】由离散型随机变量分布列的性质，结合1()3E X =，可以求出,a c ，最后利用方差的计算公式求出()D X 的值.【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知中：11(1)3a c ++=，因为1()3E X =，所以有11101(2)33a c -⋅+⨯+⋅=，联立（1）（2），可得：11,62a c ==，所以2221111115()(1)(0)(1)6333239D X =⨯--+⨯-+⨯-=.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、离散型随机变量的数学期望和方差的计算公式，考查了数学运算能力.14.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①-2是函数()y f x =的极值点；②1是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(-2,2)上单调递增.则正确命题的序号是_______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①④ 【解析】【分析】根据导函数的图象和极值点和单调性之间的关系，对四个命题逐一判断.【详解】命题①：通过导函数的图象可以知道，当(,2)x ∈-∞-时，'0y <，所以函数()y f x =单调递减，当(2,1)x ∈-时，'0y >，所以函数()y f x =单调递增，故-2是函数()y f x =的极值点，故本命题是真命题；命题②：通过导函数的图象可以知道，当(2,1)x ∈-时，'0y >，所以函数()y f x =单调递增，当(1,)x ∈+∞时，'0y >，所以函数()y f x =单调递增，故1不是函数()y f x =的极值点，故本命题是假命题；命题③：由图象可知'(0)0f >，所以()y f x =在0x =处切线的斜率大于零，故本命题是假命题；命题④：由图象可知当(2,2)x ∈-时，'0y >，所以函数()y f x =单调递增，故本命题是真命题，故正确命题的序号是①④.【点睛】本题考查了函数图象与导函数图象之间的关系，考查了极值的定义，考查了数形结合思想.三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15.已知函数3()3 1 f x x ax =--1x =-处取得极值.（1）求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值. 【答案】（1）1；（2）3-. 【解析】【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数a 的值；（2）求导，求出[2,1]x ∈-时的极值，比较极值和(2)(1)f f -、之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.【详解】（1）3'2()31()33f x x ax f x x a =⇒=---，函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处取得极值，所以有2'3(1()01130)a f a --==⇒-=⇒；（2）由（1）可知：3'2()31()333(1)(1 )f x x x f x x x x =--=-=+-⇒，当(2,1)x ∈--时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，故函数在1x =-处取得极大值，因此3(1)(1) =13(1)1f -=--⨯--，3(2)(2)3(2) 1 3=f -=--⨯---，3(1)131 1=3f =-⨯--，故函数()f x 的最小值为3-.【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.16.某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问. （1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率.（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数的分布列与期望. 【答案】（1）47；（2）97. 【解析】【分析】（1）直接用古典概型的概率公式求解即可；（2）设在选派的3人中既会法语又会英语的人数为ξ，可以知道ξ的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应取值时的概率，列出分布列，求出数学期望.【详解】（1）设在选派的3人中恰有2人会法语为事件A ，2152374()7C C P A C ==；（2）设在选派的3人中既会法语又会英语的人数为ξ， ξ的可能取值为0,1,2,3，21123343433433337777418121(0),(1),(2),(3)35353535C C C C C C P P P P C C C C ξξξξ============，分布列：18121459123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式、离散型随机变量分布列和数学期望，考查了数学运算能力.17.已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为23. （1）求甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；（2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止.设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X ，求X 的分布列. 【答案】（1）3281；（2）分布列见解析. 【解析】【分析】（1）由题意可知：甲同学投篮4次，投进的次数服从二项分布，根据二项分布的特点，可以求出甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；（2）根据题意可以求出X 的可能取值为2,3,4,5,6，分别求出相应取值时概率的大小，然后列出分布列.【详解】（1）由题意可知：甲同学投篮4次，投进的次数服从二项分布，所以甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率为3342132()()3381C ⋅⋅=；（2）由题意可知X 的可能取值为2,3,4,5,6，111(2)339P X ==⨯=，2112(3)33327P X ==⨯⨯=，212112(4)3333327P X ⎛⎫==+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2112116(5)13333243P X ⎡⎤⎛⎫==-⋅⋅⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 164(6)1[(2)(3)(4)(5)]243P X P X P X P X P X ==-=+=+=+==，所以X 的分布列为：【点睛】本题考查了二项分布的特点，考查了离散型随机变量分布列，考查了数学运算能力.18.已知函数()x x af x e+=.（1）若()f x 在区间(,2)-∞上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）若00,1a x =<，设直线()y g x =为函数()f x 的图象在0x x =处的切线，求证：()()f x g x ….【答案】（1）(],1-∞-；（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数()()1'xx a f x e--=-，通过()'0f x ≥对(),2x ∈-∞恒成立，推出12a -≥，即可求出a 的范围；（2）利用0a =，化简()xxf x e =，通过函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()()000'y g x f x x x f x ==-+，讨论当0x x =时，()()f x g x =；当0x x ≠时，利用分析法证明；构造函数()()()h x f x g x =-()()()()000'f x f x x x f x =---，求出()()()0011'x x x x x e x e h x e +---=，构造新函数()()()0011,xxx x e x e x R ϕ=---∈，利用公式的导数求解函数的最值，然后推出结论. 试题解析：(1)解易知f ′(x)＝－，由已知得f ′(x)≥0对x∈(－∞，2)恒成立，故x≤1－a 对x∈(－∞，2)恒成立，∴1－a≥2，∴a≤－1. 即实数a 的取值范围为(－∞，－1]. (2)证明 a ＝0，则f (x)＝.函数f (x)的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g(x)＝f′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0). 令h(x)＝f (x)－g(x)＝f (x)－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，x∈R ，则h′(x)＝f ′(x)－f ′(x 0)＝－＝.设φ(x)＝(1－x)e x 0－(1－x 0)e x ，x∈R ，则φ′(x)＝－e x 0－(1－x 0)e x ，∵x 0<1，∴φ′(x)<0， ∴φ(x)在R 上单调递减，而φ(x 0)＝0， ∴当x<x 0时，φ(x)>0，当x>x 0时，φ(x)<0，∴当x<x 0时，h′(x)>0，当x>x 0时，h′(x)<0，∴h(x)在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴x∈R 时，h(x)≤h(x 0)＝0， ∴f (x)≤g(x).19.已知函数ln ()()a xf x a x+=∈R . （1）若4a =，求曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程；（2）求()f x 的极值；（3）若函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2490x e y e +-=；（2）1a e -；（3）1a …. 【解析】【分析】（1）求导，把x e =代入导函数中，求出曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线的斜率，再求出()f e 的值，写出切线的点斜式方程，最后化为一般式；（2）对函数进行求导，让导函数为零，求出零点，然后判断函数的单调性，最后求出()f x 的极值；（3）函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，即在区间(20,e ⎤⎦上，()1f x =有解，这就要求函数()f x 在(20,e ⎤⎦上的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可，结合（2）进行分类讨论，利用导数判断出函数的单调区间，求出函数的最大值，最后求出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为4a =，所以'24ln 3ln ()()x x f x f x x x +--=⇒=，所以有'24()f e e-=，而5()f e e =，曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为： 2254()490y x e x e y e e e--=-⇒+-=；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，ln ()a x f x x +=⇒ 21(ln )()x a f x x'-+=，令'()0f x =，得1a x e -=，当()10,ax e-∈时，'()0,()f x f x >是增函数；当()1,ax e-∈+∞时，'()0,()f x f x <是减函数，所以函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11aa f ee--=，所以()f x 的极值为1a e -；（3）①当12a e e -<时，即1a >-时，由（2）可知：当()10,ax e -∈时，函数()f x 单调递增，当()1,ax ee -∈时，函数()f x 单调递减，函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11a a f e e --=，所以()f x 的最大值为1a e -，又当a x e -=时，函数()f x 的值为零，故当(0,a x e -⎤∈⎦时，()0f x ≤，当(2,a x e e -⎤∈⎦时，(1()0,a f x e -⎤∈⎦，函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，等价于11a e -…，解得1a …； ②当12a e e -…时，即1a -…时，由（2）可知函数()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，函数()f x 在(20,e ⎤⎦上的最大值为()222a f e e +=，原问题等价于221ae+…，解得22a e -…，而1a -…，所以无解，综上所述：实数a 的取值范围是1a …. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数求曲线切线问题，考查了利用导数研究两个曲线有公共点问题，考查了分类讨论思想、转化思想，利用导数求出函数的单调区间，是解题的关键.20. （本小题满分14分）已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈，2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围.【答案】解：（1）由题意可得：1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈。

北京市海淀区2017-2018学年第二学期期中高二数学(理)试题图片版含答案

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题.9.四，210. 211.333222，，12. (1,0)- 13. (1,+)∞14.2说明：9题，每个空2分，11题，第一个，第二空各1分，第三个空2分三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是函数()f x 在(0,1-+上的唯一的一个极大值，所以在23x =时，函数()f x 取得最大值4027.…………………12分 16.证明：（Ⅰ）因为32a =，所以232222a a a =+=，所以22244a a +=，解得22a =，…………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n na a + 1 ≤，…………………6分只需证 22 n n n na a a a +1≤，…………………7分只需证 21212na +≤. 只需证2n a ≥ 4 ，…………………9分只需证n a ≥ 2，…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一，请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率200'()3k f x x ==…………………2分所以直线l 的方程为320003()y x x x x -=-…………………3分化简得到230032y x x x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分所以220'()33g x x x =-，令'()0g x =，得到得10x x =，20x x =-…………………7分当00x >时，,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为0x x =-时，300()40g x x -=>，而300(3)160g x x -=-<（或者说：x →-∞时，()g x →-∞），所以()g x 在0(,)x -∞-上有一个零点而0x x =时，0()0g x =，所以()g x 在0[,)x +∞上只有一个零点又()g x 在00(,)x x -上没有零点…………………9分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 当00x <时,同理可证()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分法二：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分因为3223200000()22()(2)g x x x x x x x x x x x =--+=-+…………………8分令()0g x =，得到10x x =，202x x =-…………………9分又00x ≠，所以002x x ≠-所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分18.解：（Ⅰ）法一：…………………2分因为22'()x x a f x x--=，其中0x > 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立当'()0f x ≥对0x >成立时，220x x a x--≥，…………………3分即220x x a --≥对0x >成立所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a -≥ …………………4分当'()0f x ≤对0x >成立时，220x x a x--≤，…………………5分即220x x a --≤对0x >成立所以22x x a -≤，根据二次函数的性质这种情形不成立…………………6分综上，18a ≤-，所以实数a 的最大值为18-.法二：因为22'()x x a f x x--=，其中0x >…………………2分因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立根据二次函数的性质知道当+x →∞时，22+x x a --→∞所以只能是'()0f x ≥对0x >成立 …………………4分即22'()0x x af x x--=≥对0x >成立所以220x x a --≥对0x >成立…………………5分所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a ≤-，…………………6分所以实数a 的最大值为18-. （Ⅱ）法一：由（Ⅰ），当18a ≤-时，函数()f x 是单调递增函数，而(1)0f =，（或者说：当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞）所以函数()f x 只有一个零点…………………8分当18a >-时，令22'()0x x af x x--==，得12x x ==，当108a -<<时，120x x << 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表因为21111()ln f x x a x x =-- 而21120x x a --=，所以22111111()ln (1ln )f x x a x x a x x =--=-- 注意到121x x <<所以2111ln 0,0,0x a x -><-<，所以2111()(1ln )0f x a x x =--< 所以在2(0,)x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，(或者说：注意到121x x <<，因为(0,1)x ∈时，20,ln 0x x a x -<-<，所以()0f x <）所以函数()f x 在区间2(0,)x 上没有零点，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上有一个零点…………………10分当0a >，其中10x =<（舍）所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表当2114x ==时，即1a =时，2()0f x = 函数()f x 的唯一的一个极小值，即最小值为(1)0f =，符合题意，当21x =>时，即1a >时，则2()(1)0f x f <=，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上还有一个零点，矛盾当201x <=<，即1a <时则2()(1)0f x f <=，而此时0x →时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(0,)x 上还有一个零点，矛盾…………………12分综上，实数a 的取值范围是{|0a a <或1}a =说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

北京市第八中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

【点睛】本题考查了求二项式展开式中某项系数问题，应用二项式展开式的通项公式是解题的关键.
4.将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有（）
A. 12 种
B. 24 种
C. 36 种
D. 48 种
【答案】C
【解析】
【分析】
从 4 个人中选 2 个作为一个元素，再将它与其他两个元素在一起进行排列，由分步计数原理
1 3i
11.计算：
______.
2i
【答案】 3 1 i 22
【解析】
【分析】
应用复数除法运算法则进行运算即可.
1 3i
【详解】
(1
3i) i
i
3
3
1
i
.
2i
2i i 2 2 2
【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.
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12.已知
x
3 x
n
的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为
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命题②：通过导函数的图象可以知道，当 x (2,1) 时， y' 0 ，所以函数 y f (x) 单调递增，当 x (1, ) 时， y' 0 ，所以函数 y f (x) 单调递增，故 1 不是函数 y f (x) 的
极值点，故本命题是假命题；
命题③：由图象可知 f ' (0) 0 ，所以 y f (x) 在 x 0 处切线的斜率大于零，故本命题是
数需要构造.
构造辅助函数常根据导数法则进行：如
f (x)
f (x) 构造 g(x)
f (x)

海淀区2018-2019学年第二学期期中高二数学试题及答案

海淀区高二年级第二学期期中练习数学2019.4本试卷共4页，100分。

考试时长90分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数1i -对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）函数()ln f x x x =的导数()f x '为A. ln 1x +B. ln 1x -C. 11+xD. 11x -（3）在平面直角坐标系xOy 中，半径为2且过原点的圆的方程可以是A ．22(1)+(1)2x y --= B ．22(1)+(2)x y ++=C ．22(1)+(1)4x y -+=D ．22(2)+4x y -=（4）双曲线2224x y -=的焦点坐标为A ．(0-，和(0B ． (和C ．(0-，和(0 D ． (和（5）如图，曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线l 过点(2,0)，且(1)2f '=-，则(1)f 的值为A ．1-B ．1C ． 2D ．3（6）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到0t 时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为0h . 水面高度h 是时间t 的函数，这个函数图象只可能是（7）设z 为复数，则“i z =-”是“2i z z ⋅=”的A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（8）已知直线1l ：0mx y m -+=与直线2l ：10x my +-=的交点为Q ，椭圆2214x y +=的焦点为1F , 2F ，则12QF QF +的取值范围是 A ．[2,)+∞ B．)+∞C ．[2,4]D．4]ABC D二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

（9）请写出一个复数z = ，使得2i z +为实数.（10）双曲线2214y x -=的渐近线方程是 . （11）已知抛物线22y px =经过点(4,4)A ，则准线方程为，点A 到焦点的距离为 .（12）直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线互相垂直，其中A 点坐标为(2,2)，则直线l 的斜率等于 .（13）已知1F ,2F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，过点1F 作x 轴的垂线，交椭圆C 于,P Q 两点. 当△2F PQ 为等腰直角三角形时，椭圆C 的离心率为1e ，当△2F PQ 为等边三角形时，椭圆C 的离心率为2e ，则12,e e 的大小关系为1e ______2e （用“>”,“<”或“=”连接）（14）已知()()()f x a x b x c =++，()()g x xf x = （0a ≠），则下列命题中所有正确命题的序号为________.①存在,,a b c ∈R ，使得()f x ，()g x 的单调区间完全一致；②存在,,a b c ∈R ，使得()()f x g x +，()()f x g x -的零点完全相同； ③存在,,a b c ∈R ，使得()f x '，()g x '分别为奇函数，偶函数； ④对任意,,a b c ∈R ，恒有()f x '，()g x '的零点个数均为奇数.三、解答题共4小题，共44分。

北京市2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷【含答案及解析】

北京市2019学年高二下学期期中考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数 =A. + iB. + iC. 1-iD. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2 -2）'=3xB. （log 2 x）'=C. （cosx）'=sinxD. （）'=x3. 曲线y=x·e x 在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 14. 等于A. B. C. D.5. 函数f（x）=3+xlnx的单调递增区间为A. （0，）________B. （e，+∞）________C. （，+∞）________D. （，e）6. 在复平面内，复数（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于A. 第四象限________B. 第三象限________C. 第二象限________D. 第一象限7. 函数f（x）= 在区间[0，3]的最大值为A. 3B. 4C. 2D. 58. 已知f（x）=1+（1+x）+（1+x） 2 +（1+x）3 +…+（1+x） n ，则f'（0）=A. nB. n-1C.D.9. 函数f（x）=x 3 +ax 2 +（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. （-1，2）________B. （-3，6）C. （-∞，-3）∪（6，+∞）________D. （-∞，-1）∪（2，+∞）10. 方程x 2 =xsinx+cosx的实数解个数是A. 3B. 0C. 2D. 1二、填空题11. 复数（2+i）·i的模为 ___________ .12. 由曲线y=x 2 ,y=x 3 围成的封闭图形的面积为 __________ .13. 若曲线y=x 3 +x-2上的在点P 0 处的切线平行于直线y=4x-1，则P 0 坐标为__________ .14. 如下图，由函数f（x）=x 2 -x的图象与x轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________ .15. 已知S n = + +…+ ，n∈N*，利用数学归纳法证明不等式S n >的过程中，从n=k到n=k+l（k∈N*）时，不等式的左边S k+1 =S k + __________ .16. 对于函数y=f（x），x D，若对于任意x 1 D，存在唯一的x 2 D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M. 那么函数f（x）=x 3 -x 2 +1，在x= [1，2]上的几何平均数M= ____________ .三、解答题17. 设函数f（x）=lnx-x 2 +x.（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间[ ，e]上的最大值.18. 已知函数f（x）= ，其中a∈R.（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（II）求f（x）的极值.四、选择题19. 若f（x）=- x 2 +bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数b的取值范围是A. [-1，+∞）________B. （-1，+∞）________C. （-∞，-1]D. （-∞,-1）20. 观察（）'=- ，（x 3 ）'=3x 2 ，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义域上满足f（-x）=-f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g （-x）=A. -f（x）________B. f（x）________C. g（x）________D. -g（x）21. 若i为虚数单位，设复数z满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为A. -1B. 2-C. +1D. 2+五、填空题22. 曲线y=x n 在x=2处的导数为12，则正整数n= __________ .23. 设函数y=-x 2 +l的切线 l 与x轴，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为 __________ .24. 对于函数①f（x）=4x+ -5，②f（x）=|log 2 x|-（） x ，③f（x）=cos（x+2）-cosx，判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x 1 ，x 2 ，且x 1 x 2 <1.能使命题甲、乙均为真的函数的序号是 _____________ .六、解答题25. 已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+a 2 .（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；（II）若当a=-1时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围26. 已知函数f（x）=x 3 -3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e为自然对数的底数.（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线 l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值；（II）设函数F（x）=-x[g（x）+ x-2]，若F（x）在区间（m,m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；（III）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。

北京市海淀区2018-2019学年高二第二学期期末练习化学试题(选修5,有的答案和详细解析)

北京市海淀区2018-2019学年高二第二学期期末练习化学试题（选修5，有的答案和详细解析）一、在下列各题的四个选项中，只有一个选项符合题意。

（每小题3分，共42分）1.(2019年海淀高二期末)下列物质中，属于弱电解质的是A. H2OB. Na2CO3C. HClD. NaCl【答案】A2. .(2019年海淀高二期末)下列溶液一定呈中性的是A. FeCl3溶液B. Na2CO3溶液C. Na2SO4溶液D. CH3COOH和CH3COONa混合溶液【答案】C3. .(2019年海淀高二期末)原电池是化学电源的雏形。

若保持如图所示原电池的电池反应不变，下列说法正确的是A. Zn可以换成FeB. Cu可以换成石墨C. 稀H2SO4可以换成蔗糖溶液D. 稀H2SO4可以换成CuSO4溶液【答案】B4. .(2019年海淀高二期末)一定条件下，在2 L密闭容器中发生反应：A(g)+3B(g) === 2C(g) + 4D(g)，测得5 min内，A的物质的量减小了10 mol，则5min内该反应的化学反应速率是A. υ(A) = 1 mol/(L·min)B. υ(B) = 1 mol/(L·min)C. υ(C) = 1 mol/(L·min)D. υ(D) = 1 mol/(L·min)【答案】A5.(2019年海淀高二期末).某温度下，可逆反应mA(g) + nB(g)pC(g)的化学平衡常数为K，下列说法正确的是A. 其他条件不变，升高温度，K值一定增大B. 其他条件不变，增大B(g)的浓度，K值增大C. 其他条件不变，增大压强，K值不变D. K值不会随反应条件的改变而改变【答案】C6. .(2019年海淀高二期末)铜是人类最早发现和使用的金属之一，铜及其合金的用途广泛。

粗铜中含有少量铁、锌、银、金等杂质，工业上可用电解法精炼粗铜制得纯铜，下列说法正确的是A. 精铜做阳极，粗铜做阴极B. 可用AgNO3溶液做电解质溶液C. 电解时，阴极反应为Cu – 2e- === Cu2+D. 电解后，可用阳极泥来提炼金、银【答案】D7. .(2019年海淀高二期末)一定条件下，将NO(g)和O2(g)按物质的量之比2∶1充入反应容器，发生反应：2NO(g) + O 2(g) 2NO2(g)。

(新课标人教版)北京市海淀区2019-2020学年高二下期中考试数学理测试题(附详细答案)

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）2019.4学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数12i z =-的虚部是A. 2-B. 2C.2i -D. 2i 2.下列导数运算错误．．的是（） A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (ln )'1ln x x x =+ D. (2)'2ln 2x x = 3. 函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的极大值点的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.若函数()f x 的导函数'()(2)e x f x x x -=-，则下列关系一定成立的是（）A.(2)0f >B. (0)(1)f f >C. (2)(1)f f <D. (2)(3)f f > 5. 已知两个命题：:p “若复数12,z z 满足120z z ->，则1z >2z .”:q “存在唯一的一个实数对(,)a b 使得i i(2i)a b -=+.” 其真假情况是（）A.p 真q 假B. p 假q 假C. p 假q 真D. p 真q 真 6．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为（） A ．2vv > B ．2v v < C ．2v v = D ．不能确定7.如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y . ① k 的取值范围是1(0,)e.②1211k x x <<. ③ 当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒为负. 以上结论中所有正确结论的序号是（） A.① B.①② C.①③ D.②③8.已知函数32()f x ax bx cx d =+++，其导函数的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能是（）二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.9.计算1+2ii=_________. 10．2(3)x dx -=⎰_____________.11.已知()1xf x x =- ，则'()f x =______________． 12. 方程(1)1x x e -=的解的个数为_______________.三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.（本小题12分）已知函数cx bx ax x f ++=23)(，其导函数为)('x f 的部分值如下表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c 的值为___________；当x = ________时，()f x 取得极大值．．．（将答案填写在横线上）. （Ⅱ）求实数a ，b 的值.（Ⅲ）若()f x 在(,2)m m +上单调递减，求m 的取值范围.14.（本小题10分）-的底面ACDE满足DE //AC，AC=2DE.如图，四棱锥B ACDE（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD;（Ⅱ）求证：在平面ABE内不存在直线与DC平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容. （Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，Array只需证_______________________________，由已知AB⊥BC，只需证_________________，由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，所以平面ABE⊥平面BCD.（Ⅱ）证明：假设________________________________________，DC平面ABE.又因为DC⊄平面ABE，所以//又因为平面ACDE平面ABE=AE,所以__________________，又因为DE //AC，所以ACDE是平行四边形，=，这与_______________________________矛盾，所以AC DE所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）已知函数()ln f x x ax =+（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y 2=平行，求实数a 的值及该切线方程；（Ⅱ）若对任意的),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围.16. （本小题8分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .若数集{}14,2,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.1212n n 具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .若数集{}14,1,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.17. （本小题10分）已知函数1()(0)f x x x=>，对于正数1x ，2x ，…，n x (n ∈N +)，记12n n S x x x =+++，如图，由点(0,0)，(,0)i x ，(,())i i x f x ，(0,())i f x 构成的矩形的周长为i C (1,2,,)i n =，都满足4i i C S =(1,2,,)i n =.（Ⅰ）求1x ；（Ⅱ）猜想n x 的表达式（用n 表示），并用数学归纳法证明.海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.AABD CC C D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.9.2i - 10. 4- 11. 21(1)x -- 12. 1三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.（本小题12分）（Ⅰ）6，3. ------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）解：2'()32f x ax bx c =++，--------------------------------------------------------------5分由已知表格可得'(1)8,'(3)0,f f =⎧⎨=⎩解得2,32.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩---------------------------------------------7分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得2'()2462(3)(1)f x x x x x =-++=--+，-----------------------8分由'()0f x <可得(,1)x ∈-∞-(3,)+∞，------------------------------------------------9分因为()f x 在(,2)m m +上单调递减，所以仅需21m +≤-或者3m ≥， ------------------------------------------------------11分所以m 的取值范为3m ≥或3m ≤-.-----------------------------------------------------12分 14.（本小题10分）（Ⅰ）证明：欲证平面ABE ⊥平面BCD ，---------------------------------------------------------------2分由已知AB ⊥BC ----------------------------------------------------4分由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立，所以平面ABE ⊥平面BCD .------------------------------------6分又因为DC ⊄平面ABE ，所以//DC 平面ABE . 又因为平面ACDE平面ABE =AE ,------------------------------------------8分又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以AC DE =-----------------------------------------------10分所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）（Ⅰ）解：11'()ax f x a x x+=+=，0x >.----------------------------------------------------------2分由已知可得'(1)12f a =+=，解得1a =.---------------------------------------------------3分因为(1)1f =，所以在点))1(,1(f 处的切线方程为21y x =-.------------------------4分（Ⅱ）解1：若对任意),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，即1ln xa x-≤成立.------------6分设1ln ()xg x x-=， --------------------------------------------------------------7分 2ln 2'()x g x x-=，令'()0g x =，解得2e x =，则'(),()g x g x 的情况如下：分所以()g x 的最小值为22(e )e g -=-， ------------------------------------------10分所以，依题意只需实数a 满足2e a -≤-，---------------------------------------11分故所求a 的取值范围是2(,e ]--∞-. --------------------------------------------12分解2：当0a ≥时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞又因为11(1)ln(1)11f a a a+=+++>，所以不符题意，舍.--------------------6分当0a <时，令'()0f x =，得1x a=-.----------------------------------------------7分所以'(),()f x f x 随x 的变化如下表所示：分所以()f x 的最大值为1()f a-，------------------------------------------------------10分所以，依题意只需11()ln()11f a a-=--≤即可，解得2e a -≤-.---------------11分综上，a 的取值范围是2(,e ]--∞-.---------------------------------------------------12分16. （本小题8分）解：对于集合中最大的数4a ，因为444a a a +>，443a a +>，441a a +>-----------------2分所以44a a -,43a -,41a -,41a a -都属于该集合.--------------------------------------------4分又因为14013a a ≤<<<，所以44a a -<43a -<41a -41a a <-.-----------------------6分-- 所以1440a a a =-=,431a -=,------------------------------------------------------------------7分即140,4a a ==.-------------------------------------------------------------------------------------8分17. （本小题10分）（Ⅰ）解：由题意知，12(())2()i i i i i C x f x x x =+=+(1,2,,)i n =，所以12i i i S x x =+(1,2,,)i n =.--------------------------------------------------------------1分令i ＝1，得11112S x x =+，又11S x =，且1x ＞0，故11x =.---------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）解：令i ＝2，得22212S x x =+，又212S x x =+，11x =，且2x ＞0，故21x =；------------------------------------3分令i ＝3，得33312S x x =+，又3123S x x x =++，11x =，21x =，且3x ＞0，故3x =----------4分由此猜想，n x =n ∈N +).-------------------------------------------------------5分下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，11x =，命题成立；---------------------------------------------------------6分 ②假设n ＝k时命题成立，即k x =(k ∈N +)， -----------------------------7分则当n ＝k ＋1时，11112k k k S x x +++=+，又11k k k S S x ++=+，12k k k S x x =+，故11111()2k k k k k x x x x x +++++=+，由k x =，得21110k k x +++-=，--------------------------------------8分所以1k x +=).-------------------------------------------9分即当n ＝k ＋1时命题成立。

北京市2019海淀区高二年级第二学期期中练习数学试题

海淀区高二年级第二学期期中练习数学2019.4本试卷共4页，100分。

考试时长90分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数1i -对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）函数()ln f x x x =的导数()f x '为A. ln 1x +B. ln 1x -C. 11+xD. 11x - （3）在平面直角坐标系xOy 中，半径为2且过原点的圆的方程可以是A ．22(1)+(1)2x y --=B ．22(1)+(2)x y ++=C ．22(1)+(1)4x y -+=D ．22(2)+4x y -=（4）双曲线2224x y -=的焦点坐标为A ．(0和(0B ． (和C ．(0和(0D ．(和（5）如图，曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线l 过点(2,0)，且(1)2f '=-，则(1)f 的值为A ．1-B ．1C ． 2D ．3（6）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到0t 时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为0h . 水面高度h 是时间t 的函数，这个函数图象只可能是（7）设z 为复数，则“i z =-”是“2i z z ⋅=”的A ．充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（8）已知直线1l ：0mx y m -+=与直线2l ：10x my +-=的交点为Q ，椭圆2214x y +=的焦点为1F , 2F ，则12QF QF +的取值范围是A ．[2,)+∞B．)+∞ C ．[2,4] D．A BC D二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

（9）请写出一个复数z = ，使得2i z +为实数.（10）双曲线2214y x -=的渐近线方程是 . （11）已知抛物线22y px =经过点(4,4)A ，则准线方程为，点A 到焦点的距离为 .（12）直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线互相垂直，其中A 点坐标为(2,2)，则直线l 的斜率等于 .（13）已知1F ,2F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，过点1F 作x 轴的垂线，交椭圆C 于,P Q 两点. 当△2F PQ 为等腰直角三角形时，椭圆C 的离心率为1e ，当△2F PQ 为等边三角形时，椭圆C 的离心率为2e ，则12,e e 的大小关系为1e ______2e （用“>”,“<”或“=”连接）（14）已知()()()f x a x b x c =++，()()g x xf x = （0a ≠），则下列命题中所有正确命题的序号为________.①存在,,a b c ∈R ，使得()f x ，()g x 的单调区间完全一致；②存在,,a b c ∈R ，使得()()f x g x +，()()f x g x -的零点完全相同；③存在,,a b c ∈R ，使得()f x '，()g x '分别为奇函数，偶函数；④对任意,,a b c ∈R ，恒有()f x '，()g x '的零点个数均为奇数.三、解答题共4小题，共44分。

2018～2019学年北京市海淀区高二下学期期中考试数学试题(解析版)

绝密★启用前北京市海淀区2018～2019学年高二年级下学期期中质量检测数学试题2019年5月一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若3+4 i z =，则z =（）A. B. 5 C. 7 D. 25【答案】B【解析】【分析】直接利用复数模的公式求解即可.【详解】因为3+4i z =,所以5z ===,故选B.【点睛】本题主要考查复数模的公式,意在考查对基本公式的掌握与应用,属于基础题.2.下列四个函数：①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2x y =,其中在0x =处取得极值的是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①③ 【答案】B【解析】【分析】分别判断四个函数单调性,结合单调性,利用极值的定义可判断在0x =处是否取得极值.【详解】因为函数3y x =与函数2x y =都在R 上递增,所以函数3y x =与函数2x y =都没有极值,①④不合题意；函数21y x =+与函数y x =都在(),0-∞上递减,在()0,∞+上递增,所以函数21y x =+与函数y x =都在0x =处取得极小值,②③符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与极值,意在考查对基础知识的掌握情况,属于基础题.3.在极坐标系中,直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ= ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心与半径,利用点到直线的距离公式与勾股定理可得结果.【详解】直线sin cos 1ρθρθ-=的直角坐标方程为1y x -=,即10x y -+=,ρ=化为22ρ=,直角坐标方程为222x y +=,圆心为原点,半径为r =圆心到直线10x y -+=的距离为2d ==10x y -+=被圆222x y +=截得的弦长为==故选C. 【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法,属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-,结合韦达定理求解；二是利用半弦长,弦心距,圆半径构成直角三角形,利用勾股定理求解.4.已知函数()0()(2018ln ),2019f x x x fx '=+=,则0x =（） A. 2eB. 1C. ln 2018D. e 【答案】B【解析】【分析】求出导函数,由()02019fx '=,可得02019ln 2019x +=,从而可得结果.。

2018-2019学年北京101中学下学期高二年级期中考试数学试题(理科)Word版含解析

绝密★启用前2018-2019学年北京101中学下学期高二年级期中考试数学试题（理科）第I卷（选择题）一、单选题1．下列导数公式正确的是（）A. （x n）'=nx nB. （）'=C. （sinx） '=-cosxD. （e x） '=e x【答案】D【解析】分析：熟练记忆求导公式。

详解：根据求导公式，A选项，所以A错误。

B选项（）'=C选项（sinx） '= cosxD选项（e x） '=e x所以选D点睛：本题考查了几种常见的求导公式，要熟练掌握，属于简单题。

A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：离散型随机变量的各概率和为1，即可求出的值。

详解：根据离散型随机变量概率分布的特征，所以求得所以选A点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列及其特征，主要是各概率和为1的应用，属于简单题。

3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P（B|A）=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据条件概率的计算公式，，可先分别求出与。

详解：根据条件概率的运算所以选C点睛：本题考查了条件概率的应用，关键是掌握好条件概率的计算公式，属于简单题。

4．若dx=1-ln3，且a>1，则a的值为（）A. -3B. 1n3C.D. 3【答案】C【解析】分析：由微积分基本定理，可求出，列出方程组即可求得的值。

详解：根据微积分基本定理所以，所以所以选C点睛：本题考查了微积分基本定理的应用，主要是求出原函数，根据积分的上限下限求其值。

除了微积分基本定理，还可以用面积法求积分值。

5．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n3=，n∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式左边加上（）A. k3+1B. （k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3C. （k+1）3D.【答案】B【解析】分析：当项数从到时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

(新课标人教版)北京市海淀区2018-2019学年高二下期中考试数学理测试题(附答案)

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）2019.4学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数12i z =-的虚部是A. 2-B. 2C.2i -D. 2i 2.下列导数运算错误．．的是（） A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (ln )'1ln x x x =+ D. (2)'2ln 2x x = 3. 函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的极大值点的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.若函数()f x 的导函数'()(2)e x f x x x -=-，则下列关系一定成立的是（）A.(2)0f >B. (0)(1)f f >C. (2)(1)f f <D. (2)(3)f f > 5. 已知两个命题：:p “若复数12,z z 满足120z z ->，则1z >2z .”:q “存在唯一的一个实数对(,)a b 使得i i(2i)a b -=+.” 其真假情况是（）A.p 真q 假B. p 假q 假C. p 假q 真D. p 真q 真 6．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为（） A ．2vv > B ．2v v < C ．2v v = D ．不能确定7.如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y . ① k 的取值范围是1(0,)e. ②1211k x x <<. ③ 当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒为负. 以上结论中所有正确结论的序号是（）A.①B.①②C.①③D.②③8.已知函数32()f x ax bx cx d =+++，其导函数的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能是（）二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.9.计算1+2ii=_________. 10．2(3)x dx -=⎰_____________.11.已知()1xf x x =- ，则'()f x =______________． 12. 方程(1)1x x e -=的解的个数为_______________.三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.（本小题12分）已知函数cx bx ax x f ++=23)(，其导函数为)('x f 的部分值如下表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c 的值为___________；当x = ________时，()f x 取得极大值．．．（将答案填写在横线上）. （Ⅱ）求实数a ，b 的值.（Ⅲ）若()m m+上单调递减，求m的取值范围.f x在(,2)14.（本小题10分）-的底面ACDE满足DE //AC，AC=2DE.如图，四棱锥B ACDE（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD;（Ⅱ）求证：在平面ABE内不存在直线与DC平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容.（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，Array只需证_______________________________，由已知AB ⊥BC ，只需证_________________，由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立，所以平面ABE ⊥平面BCD .（Ⅱ）证明：假设________________________________________，又因为DC ⊄平面ABE ，所以//DC 平面ABE . 又因为平面ACDE平面ABE =AE ,所以__________________，又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以AC DE =，这与_______________________________矛盾，所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）已知函数()ln f x x ax =+（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y 2=平行，求实数a 的值及该切线方程；（Ⅱ）若对任意的),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围.16. （本小题8分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .若数集{}14,2,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.问题2：已知数集1212,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .若数集{}14,1,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.17. （本小题10分）已知函数1()(0)f x x x=>，对于正数1x ，2x ，…，n x (n ∈N +)，记12n n S x x x =+++，如图，由点(0,0)，(,0)i x ，(,())i i x f x ，(0,())i f x 构成的矩形的周长为i C (1,2,,)i n =，都满足4i i C S =(1,2,,)i n =.（Ⅰ）求1x ；（Ⅱ）猜想n x 的表达式（用n 表示），并用数学归纳法证明.海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.AABD CC C D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.9.2i - 10. 4- 11. 21(1)x -- 12. 1三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.（本小题12分）（Ⅰ）6，3. ------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）解：2'()32f x ax bx c =++，--------------------------------------------------------------5分由已知表格可得'(1)8,'(3)0,f f =⎧⎨=⎩解得2,32.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩---------------------------------------------7分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得2'()2462(3)(1)f x x x x x =-++=--+，-----------------------8分由'()0f x <可得(,1)x ∈-∞-(3,)+∞，------------------------------------------------9分因为()f x 在(,2)m m +上单调递减，所以仅需21m +≤-或者3m ≥， ------------------------------------------------------11分所以m 的取值范为3m ≥或3m ≤-.-----------------------------------------------------12分 14.（本小题10分）（Ⅰ）证明：欲证平面ABE ⊥平面BCD ，---------------------------------------------------------------2分由已知AB ⊥BC ----------------------------------------------------4分由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立，所以平面ABE ⊥平面BCD .------------------------------------6分又因为DC ⊄平面ABE ，所以//DC 平面ABE . 又因为平面ACDE平面ABE =AE ,------------------------------------------8分又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以AC DE =-----------------------------------------------10分所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）（Ⅰ）解：11'()ax f x a x x+=+=，0x >.----------------------------------------------------------2分由已知可得'(1)12f a =+=，解得1a =.---------------------------------------------------3分因为(1)1f =，所以在点))1(,1(f 处的切线方程为21y x =-.------------------------4分（Ⅱ）解1：若对任意),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，即1ln xa x-≤成立.------------6分设1ln ()xg x x-=， --------------------------------------------------------------7分 2ln 2'()x g x x-=，令'()0g x =，解得2e x =，则'(),()g x g x 的情况如下：分所以()g x 的最小值为22(e )e g -=-， ------------------------------------------10分所以，依题意只需实数a 满足2e a -≤-，---------------------------------------11分故所求a 的取值范围是2(,e ]--∞-. --------------------------------------------12分解2：当0a ≥时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞又因为11(1)ln(1)11f a a a+=+++>，所以不符题意，舍.--------------------6分当0a <时，令'()0f x =，得1x a=-.----------------------------------------------7分所以'(),()f x f x 随x 的变化如下表所示：分所以()f x 的最大值为1()f a-，------------------------------------------------------10分所以，依题意只需11()ln()11f a a-=--≤即可，解得2e a -≤-.---------------11分综上，a 的取值范围是2(,e ]--∞-.---------------------------------------------------12分16. （本小题8分）解：对于集合中最大的数4a ，因为444a a a +>，443a a +>，441a a +>-----------------2分所以44a a -,43a -,41a -,41a a -都属于该集合.--------------------------------------------4分又因为14013a a ≤<<<，所以44a a -<43a -<41a -41a a <-.-----------------------6分所以1440a a a =-=,431a -=,------------------------------------------------------------------7分即140,4a a ==.-------------------------------------------------------------------------------------8分 17. （本小题10分）（Ⅰ）解：由题意知，12(())2()i i i i iC x f x x x =+=+(1,2,,)i n =，所以12ii iS x x =+(1,2,,)i n =.--------------------------------------------------------------1分令i ＝1，得11112S x x =+，又11S x =，且1x ＞0，故11x =.---------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）解：令i ＝2，得22212S x x =+，又212S x x =+，11x =，且2x ＞0，故21x ；------------------------------------3分令i ＝3，得33312S x x =+，又3123S x x x =++，11x =，21x =，且3x ＞0，故3x =----------4分由此猜想，n x =n ∈N +).-------------------------------------------------------5分下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，11x =，命题成立；---------------------------------------------------------6分 ②假设n ＝k时命题成立，即k x k ∈N +)， -----------------------------7分则当n ＝k ＋1时，11112k k k S x x +++=+，又11k k k S S x ++=+，12k k kS x x =+，故11111()2k k k k k x x x x x +++++=+，由k x =21110k k x +++-=，--------------------------------------8分所以1k x +=).-------------------------------------------9分即当n ＝k ＋1时命题成立。

北京市第四中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

【详解】函数的定义域为， ,令，解得，故选C。
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查利用导数求函数的单调递增区间的方法，属于基础题。
5。函数在区间(－l,+ ）上是减函数,则实数b的取值范围是（）
A. (－ ,－l］B. [－1，+ ）
C。 (－，－1）D。 (－1，+ ）
【答案】A
( ，）
＋
0
－
f （x）
递增
极大值
递减
分析可知函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，即 .
试题解析：(1)由题意知，， 2分
， 5分
因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，
所以
所以， 7分
(2)记，则 , 9分
令，得， 11分
列表
x
（0，）
（， )
＋
0
－
f （x）
【点睛】本小题主要考查函数导数的求法,考查函数单调区间的求法，考查函数极值点和极值的求法，属于基础题.
13.函数在区间（1，+ ）上是增函数，则实数a的取值范围是_______。
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得：在上恒成立,所以即实数的取值范围是 .
考点:利用导数研究函数增减性
14。设复数（i为虚数单位）,若z为纯虚数，则实数a=_______。
【点睛】本小题主要考查函数的导数的求法，考查函数在某点处切线方程的求法，考查直线方程点斜式和一般式，属于基础题。
4.函数 =3+xlnx 单调递增区间为（）
A。 (0，）B。（0，e)
C. （，+ ）D。（e,+ ）

北京市海淀区高二数学下学期期中试题理北师大版

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）学校___________ 班级姓名成绩 ___本试卷共100分,考试时间90分钟.一、选择题:本大题共8小题，每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(1,,2),(2,1,)x x =-=a b ，且⊥a b ，则x 的值为（） A.1- B. 0 C. 1 D. 22.曲线1()f x x=在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为（） A.4π B. 3π C. 32π D.43π3.函数)(x f 在其定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数)('x f y =的图象可能为（）4.观察下列各等式：312555=，1562556=，7812557=，…，则20135的末四位数字是（）A. 3125B. 5625C. 8125D. 0625 5.已知下列命题： ①75102-<-；②三角形ABC 的三个内角满足sin sin sin A B C +>； ③存在等比数列{}n a 满足1322a a a +=成立.其中所有正确命题的序号是（）A. ①B. ①②C. ②③D. ①②③6.若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入右图的容器，则xyO xyOx y O Ax y Ox y O容器中水的高度h 与时间t 的函数关系图象是（）7.若函数b ax x x f ++=3)(有三个零点，分别为123,,x x x ，且满足11<x ，12=x ，13>x ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(,2)-∞-D ．(,3)-∞- 8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是截面BD A 1内（包括边界）的动点，则11C P C B ⋅u u u u r u u u u r的值不可能是( )A ．9.0B ．2.1C ．5.1D ．8.1二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.已知三个点(1,1,),(2,,1),(0,0,0)A b B a O -在同一条直线上，则_________,==b a . 10.若函数sin y ax x =-是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围_____________. 11.由曲线2y x =和直线2y x =围成的封闭区域的面积为________.12.如图所示，已知三棱柱'''A B C ABC -的侧棱垂直于底面，AC CB ⊥，且'2AC CB CC ===.若点E 为''A B 中点，则CE 与底面ABC 所成角的余弦值为____________. 13.若函数2()(3)xf x x e =-，给出下面四个结论：①(3)f -是()f x 的极大值，(1)f 是()f x 的极小值；②()0f x <的解集为{|33}x x -<<；③()f x 没有最小值，也没有最大值；④()f x 有最小值，没有最大值，其中正确结论的序号有__________________. 14.已知函数()3xf x x =+,构造如下函数序列()n f x :()()1[]n n f x f f x -=（*∈N n ，且2≥n ）,其中()1()f x f x =，()0>x ，则3()f x =_____________________，函数()n f x 的值域为__________________.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.t h O A t h O B th O C thODA BC 'B 'A 'C E15.（本小题共10分）已知函数232()2,3af x x ax bx=-+其中,a b∈R，且曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线斜率为3.（I）求b的值；（II）若函数()f x在1x=处取得极大值，求a的值.16.（本小题共10分）已知点列A n(x n,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a (a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…A n是线段A n－2A n－1的中点，….（I）写出x n与x n－1、x n－2之间的关系式(n≥3)；（II）设a n＝x n＋1－x n，计算a1，a2，a3，由此推测数列{a n}的通项公式，并加以证明．17.(本小题共12分)已知平面ADEF ⊥平面ABCD ，其中ADEF 为矩形，AB //CD ，AB AD ^，且224AB CD DE ===，22AD =，如图所示.（Ⅰ）求证：BE AC ^；（Ⅱ）求二面角B CE D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点P ，使得BP ∥平面ACE ，若存在，确定点P 的位置，若不存在，请说明理由.18.（本小题共12分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++.（I ）当2a =-时，判断函数()f x 零点的个数；（II ）求函数()f x 的单调区间.海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．D 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．2a =-，12b =10．1a ≥ 11．431213．①②④ 14．()31327xf x x =+； 2(0,)31n -（每空2分）三、解答题：本大题共4小题，共44分. 15.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）22()4f x a x ax b '=-+………………2分由题意(0)3f b '==………………4分（Ⅱ）由函数()f x 在1x =处取得极大值 2(1)430f a a '∴=-+=解得1a =或3a = ………………6分①当1a =时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--由上表知，函数()f x 在1x =处取得极大值，符合题意………………8分②当3a =时，2()91233(31)(1)f x x x x x '=-+=--由上表知，函数()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意. 综上所述，若函数()f x 在1x =处取得极大值，a 的值为1. ………………10分16.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意，当3n ≥时，121()2n n n x x x --=+ ………………2分（Ⅱ）10x =，2x a =，3211()22a x x x =+=，43213()24ax x x =+=121a x x a ∴=-=，2322a a x x =-=-，3434aa x x =-= ………………4分y推测1(2)n n aa -=- ………………6分方法一证明：对于任意*n N ∈，1n n n a x x +=-121111111()()222n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=- ……………….9分又10a a =>Q {}n a ∴是以a 为首项，以12-为公比的等比数列.故111()2(2)n n n aa a --=⋅-=-………………10分方法二下面用数学归纳法证明： ① 当11111=()2n a a a -==⋅-时，，1(2)n n a a -=-成立 ……….………………7分 ② 假设当(1,)n k k k =≥∈N 时，1(2)n n aa -=-成立，即11()2k ka a -=⋅-，则1时，n k =+11+2112k k k k k k x x a x x x +++++=-=-12k k x x +-= +11111()()22k k k x x a -+=--=⋅-，所以1时，n k =+1(2)n n aa -=-成立. …………..…….9分由①②可知，数列{}n a 的通项公式为1*1(),2n n a a n N -=⋅-∈ ……………10分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD由已知可得AF AD ⊥且AF ⊂平面ADEF∴AF ⊥平面ABCD……………2分又AB AD ⊥如图，以A为原点建立空间直角坐标系A xyz -(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，C ，E所以，有(BE =-u u u r ，AC =u u u r(0BE AC ⋅=-⋅=u u u r u u u rBE AC ∴⊥u u u r u u u r，BE AC ∴⊥………………4分（Ⅱ）由已知可得,AD CD AD DE ⊥⊥，所以平面CED 的一个法向量为1(0,1,0)=n ………………5分设平面BCE 的法向量为2(,,)x y z =n ，则有220420020BE x z BC x ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇔⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩n n u u u r u u u r ，不妨令1y =，所以平面BCE的一个法向量为2=n . ……………7分121212cos ,||⋅<>=⋅n n n n |n |n由已知可得所求二面角B CE D --的余弦值为………………………………9分（Ⅲ）设(0,0,)P z ，02z ≤≤，(4,0,)BP z =-u u u r设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有020020AE z AC x ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩n n u u u r u u u r ，不妨令1y =，则平面ACE的一个法向量为(=n , ………………11分由(4,0,)(0BP z =-⋅=n u u u rg ，解得4z =，不符合题意,即线段AF 上不存在点P ，使得BP ∥平面ACE ………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞ , ………………1分当2a =-时，214'()x f x x-=， ………………3分因为11()ln 2022f =--<，所以，此时，在定义域上()0f x <，所以函数()f x 的零点个数为0. ………………………………………………….6分（Ⅱ）1(1)(21)()2(2)ax x f x ax a x x--'=-++=, ………………8分 ①当0a ≤时,………9分②当02a <<时,……..10分③当2a =时，2(21)()0x f x x-'=≥对(0,)x ∈+∞恒成立,且仅当1=时'()0f x =所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ……………11分 ④当2a >时…12分综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2，单调递减区间是1(,)2+∞；当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2和1(,)a+∞，单调递减区间是11(,)2a；当2a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)a和1(,)2+∞，单调递减区间是11(,)2a .说明：本题第二问不列表也可以。

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