2020_2021学年新教材高中数学3.1函数的概念及其表示3.1.2第2课时分段函数学案

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2020年高中数学新教材同步必修第一册第3章 3.1.1 函数的概念

一、函数关系的判断
例1 下列对应关系式中是A到B的函数的是 A.A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1
√B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝x－1 2
D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 2x－1
反思
感悟判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断： (1)A，B必须是非空实数集； (2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应； (3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.
三、同一个函数的判定
例4 下列选项中能表示同一个函数的是 x2－1
A.y＝x＋1 与 y＝ x－1
√B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x(x≥0) D.y＝(x＋1)2与y＝x2
解析对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数.
思考定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？答案不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.
知识点三区间
1.区间概念(a，b为实数，且a<b)
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间
_[a_，__b_]_
{x|a<x<b}
开区间
_(_a_，__b_)
{x|a≤x<b} 半开半闭区间 _[_a_，__b_)
(x＋1)0
(2)y＝
；
x＋2
解由于0的零次幂无意义，
故x＋1≠0，即x≠－1.

高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示

第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。

如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。

函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。

2020学年新教材高中数学第3章函数3.1.1函数及其表示方法(第1课时)函数的概念课件新人教B版必修第一册

1．思考辨析 (1)函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．( ) (2)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与g(x)＝2x，x∈[0,2]表示的是同一个函数．( ) (3)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与h(x)＝x2，x∈(0,2)表示同一个函数．( )
选项D中，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝( x )4＝x2的定义域为[0，＋ ∞)，两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．]
(2)[解] ①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法
则f：y＝
1 x2
的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不
是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则
3．若f(x)＝1－1 x2，则f(3)＝________. －18 [f(3)＝1－1 9＝－18.]
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________．
x x＜2 2≤x≤3 x＞3
y －1 0
1
{－1,0,1} [函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．]
合作探究提素养
(1)C [选项A中，由于f(x)＝ x2 ＝|x|，g(x)＝x两函数对应法则不
同，所以它们不是同一函数；
选项B中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝
x2
的定义域为
{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；
选项C中，f(x)＝ 3 x3 ＝x，g(x)＝x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；
f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义

2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人A教版)课件：3.1.1 函数的概念

2.实数集 R 的区间表示
实数集 R 可以用区间表示为_(_－__∞__，_＋_，∞“) ∞”读作“无穷大”；
“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．
3．无穷大的几何表示
定义

符号
数轴表示
{x|x≥a} _[_a_，_＋ __∞__)
{x|x>a} _(_a_，_＋__∞__)
{x|x≤b} _(_－_∞ __，__b_]
要点三同一函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
[教材答疑]
1．教材 P60 思考根据问题 1 的条件，我们不能判断列车以 350 km/h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到 t 的变化范围． 2．教材 P63 思考反比例函数 y＝kx(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，对应关系为“倒数的 k 倍”，值域为{y|y≠0}．反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集 A＝{x|x≠0} 中的任意一个 x 值，按照对应关系 f“倒数的 k(k≠0)倍”，在集合 B＝{y|y≠0} 中都有唯一确定的数kx和它对应，那么此时 f：A→B 就是集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 f(x)＝kx(k≠0)，x∈A.
(1)求 f(2)＋f12，f(3)＋f13的值； (2)求 f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2 021)＋f2 0121的值．
解析：(1)∵f(x)＝1＋x2x2，
∴f(2)＋f12＝1＋2222＋1＋12122 2＝1，f(3)＋f13＝1＋3232＋1＋13132 2＝1. (2)由(1)知 f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1，又 f(4)＋f14＝1，…， f(2 021)＋f2 0121＝1， ∴f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2 021)＋f2 0121＝2 020.

高中数学新教材必修一第三章《函数的概念与性质》全套课件

4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示区间表示数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x) , x∈A

3.1 函数的概念及其表示(学生版)

第三章《函数概念与性质》3.1函数的概念及其表示【知识梳理】知识点一函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间概念(a ，b 为实数，且a<b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ]2．其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )知识点四函数的表示方法知识点五分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【基础自测】1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A．1B．0C．－1D．22．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x＋2B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1D．f(x)＝3x＋43．函数y＝x1＋x的大致图象是()4．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为________．5．已知f (n )－3，n ≥10，n ＋5)，n <10，则f (8)＝________.【例题详解】一、函数关系的判断例1(1)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（）①()3y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -≤⎧=⎨+≥⎩；④1,0,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)设{|04}M x x =≤≤，{|40}N y y =-≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练1下列对应中：（1）x y →，其中{}21,1,2,3,4y x x =+∈，{}10,y x x x N ∈<∈；（2）x y →，其中2y x =，[)0,x ∈+∞，R y ∈；（3）x y →，其中y 为不大于x 的最大整数，x R ∈，y Z ∈；（4）x y →，其中1y x =-，*x ∈N ，*y N ∈.其中，是函数的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（3）（4）二、求函数的定义域、函数值命题角度1求函数的定义域例2(1)函数y =）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．][(),31,-∞-⋃+∞D ．][(),13,∞∞--⋃+(2)已知函数()1f x +的定义域为[1,7]，则函数()(2)h x f x =）A ．[4,16]B ．(,1][3,)-∞⋃+∞C ．[1,3]D ．[3,4]跟踪训练2(1)函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞B ．(,3)(3,3)-∞--C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞(2)已知函数()f x ，则函数()()13y f x f x =--的定义域为（）A ．()2,11B ．()2,13C ．()2,15D ．()4,11命题角度2求函数值例3(1)已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20(2)已知2211x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则(3)f =_________．跟踪训练3(1)已知定义域为R 的函数()23f x x =-，()3g x x =，则()()1f g -=________.(2)已知函数3()3=+++cf x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．0三、同一个函数的判定例4(1)下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩B ．()f x =()g x x=C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()f x =，()g x 跟踪训练4和函数2()f x x =是同一函数的是（）A ．2()(1)f x x =+B ．()f x x =C ．3()x f x x=D ．(){,0,(0)()x x x x x x f x -≤>=四、求函数解析式命题角度1换元法例5(1)已知1111f x x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x =________________．(2)若函数11x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x =____________．跟踪训练5(1)已知21,1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求()f x =____________．(2)已知()21232f x x x +=++，求()f x 的解析式．命题角度2配凑法例6(1)若1)f x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()f x x x =-B ．2()1(0)f x x x =-≥C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()f x x x=+(2)已知3311()f x x x x+=+，则()f x =_____.(3)已知f (x －1x )＝x 2＋21x ，则f （x +1x）＝________.跟踪训练6(1)已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x .(2)已知22111(x x f x x x++=+，求()f x 的解析式.命题角度3待定系数法例7(1)已知f （x ）是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，求f （x ）.(2)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 解析式.跟踪训练7(1)已知()f x 是一次函数，且()332f x x -=-，求()f x ．(2)已知一次函数()f x 满足()()312237f x f x x =+--+，求函数()f x 的解析式．(3)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+=+，求函数()f x 的解析式．命题角度4构造方程组法例8(1)若函数()f x 满足()1221f x f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()2f =（）A ．13-B ．23C ．83D ．12(2)已知()f x 满足()()23f x f x x +-=，求()f x 的解析式.跟踪训练8(1)已知()1221f x f x x ⎛⎫⎪⎝=⎭+-+，求函数()f x 的解析式．(2)已知2()2()f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式.五、函数的图象例9作出下列函数的图象.(1)1({21012})y x x =-∈--,,,,；(2)211x y x +=-；(3)2|2|1y x x =-+．(4)已知函数()22,23,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩.(i)在所给坐标系中作出()y f x =的简图；(ii)解不等式()12f x <.跟踪训练9作出函数()|2||5|f x x x =+--的图像．六、分段函数求值例10(1)已知函数()21,0x x f x x ⎧-≤⎪=>，若()3f a =，则a 的值为（）AB ．2C ．9D ．-2或9(2)已知函数()f x 的解析式22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，(i)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(ii)若()2f a =，求a 的值；跟踪训练10(1)已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．2(2)已知函数()223,11,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+<-⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩.(i)求((2))f f -的值；(ii)若()032f x =，求0x 的值.七、解分段函数不等式例11(1)已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞ (2)设函数()22,,,.x x a f x x x a ⎧<=⎨≥⎩若()11>f ，则a 的取值范围为______．跟踪训练11(1)已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,则使得()1f x ≥的x 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞(2)已知函数242,1()23,1x x x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则满足不等式()()21f a f a <+的a 的取值范围是___________.八、分段函数的实际应用例12某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产()*Nx x ∈百台，需另投入生产成本()R x 万元．当年产量不足46百台时，()23260R x x x =+；当年产量不小于46百台时，()4900501483020R x x x =+-+．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．跟踪训练12电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x 万件该电子元件，需另投入成本()f x 万元，且2132,04,4()64938,420.x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．(1)求该电子厂这种电子元件的利润y （万元）与生产量x （万件）的函数关系式；(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．【课堂巩固】1．（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．（多选）下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（）A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数3．若函数()f x =()21f x -的定义域为（）A ．()0,2B ．[)(]2,00,2-U C ．[]22-,D ．[]0,24．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与()211x g x x -=-C ．()xfx x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()1f t t =-与()1g x x =-5．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞ D ．()(),31,3-∞- 6．（多选）下列选项中正确的有（）A ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数B ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩表示同一函数C ．函数()y f x =的图象与直线2x =的交点最多有1个D ．若()|||1|f x x x =--，则102f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7．（多选）已知函数25,1(),12x x f x x x +<-⎧=⎨-<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．()11f -=D ．若()3f x =，则x8．（多选）已知函数()35,0,1,0,x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若()()2f f a =，则实数a 的值为（）A ．2-B ．43-C ．-1D ．19．求函数()f x +=______________________10．已知函数()f x 是一次函数且(())2()2f f x f x x +=--，则函数()f x 的解析式为_________．11．若()211f x x -=+，则()0f =____________，()f x =_____________.12．已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩，则(3)f -=________.14．已知函数()(4),f x x x x R =-∈.（1）把函数()f x 写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数()f x 的图象.15．已知函数()2,0,2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩解不等式2()f x x ≤16．已知函数f (x )＝222x x x +⎧⎪⎨⎪⎩(1)(12)(2)x x x ≤--<<≥(1)求{}f f f ⎡⎤⎣⎦的值；(2)求()3f a =，求a 的值；(3)画出函数的图像．【课时作业】1．下列函数中，相同的一组是（）A．y =2y =B．y =，y =C ．21y x =+，4211x y x -=-D ．21y x =-，4211x y x -=+2．已知函数)22f x +=+，则()f x 的最小值是（）A ．1-B ．2C ．1D ．03．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+4．已知一次函数()f x 满足(2)2(21)94f x f x x +-+=--，则()f x 解折式为（）A ．()24f x x =--B ．()23f x x =-+C ．()34=+f x x D ．()32f x x =-+5．一次函数()f x 满足：()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=，则()1f =()A ．1B ．2C ．3D ．56．设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.若()3f x =，则x 的值为（）.A ．1BC．D ．327．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（）A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋38．已知函数2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>，则不等式2()f x x ≥的解集是（）A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]-9．（多选）若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()()2411f x x x =≠-D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠）10．（多选）已知函数2+2,<1()=+3,1x x f x x x -≥⎧⎨⎩，则（）A ．3f f ⎡⎤=⎣⎦B ．若()1f x =-，则=2x 或3x =-C ．()2f x <的解集为()(),01,-∞⋃+∞D ．x ∀∈R ，()a f x >，则3a ≥11．若函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则函数()()g x f x =______．12．已知集合0|A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，2|0,1x B x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，则A B = ________.13．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________14．若一次函数()f x 满足：对任意x 都有()()221221xf x f x x x ++=++，则()f x 的解析式为______________．15．已知函数24,0(),0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，若()4f m =，则m =___________．16．设1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________．17．设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x =___________.18．已知()1,11x x f xx +≤⎧⎪=>，若()()1f x f x >+，则x 的取值范围是___________.19．求下列函数的定义域(1)y ；(2)y =(3)y x x=-（0a >）.20．根据下列条件，求()f x 的解析式.(1)已知)225fx =+(2)已知()()2232f x f x x x+-=-(3)已知()f x 是二次函数，且满足()()()01,12f f x f x x=+-=21．已知函数()()211x x f x x -=-；(1)作出该函数的图象；(2)写出该函数的值域．22．已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩(1)求()()1f f 的值；(2)若()2f a =，求a 的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数()f x 的定义域和值域．。

2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：3-1-1 第2课时函数的定义域与值域

要点整合夯基础课堂达标练经典
典例讲练破题型课时作业
知识点一函数相等 [填一填]
1．条件：① 定义域相同；② 对应关系完全一致． 2．结论：两个函数相等．
[答一答] 1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？
对应关系和值域相同呢？
提示：观察下表：
函数
定义域对应关系值域
②f(x)＝
xx，g(x)＝
x； x
③f(x)＝ x＋1· 1－x，g(x)＝ 1－x2；
④f(x)＝ x＋32，g(x)＝x＋3；
⑤ 汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 f(t) ＝
80t(0≤t≤5)与一次函数 g(x)＝80x(0≤x≤5)．其中表示相等函数的是 ____③__⑤______( 填上所有正确的序
[变式训练 2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝
1－x＋x＋1 5；(2)y＝1－
3 1－x.
解：(1)由已知得x1＋－5x≠≥00，，解得 x≤1 且 x≠－5. 所求定义域为{x|x≤1 且 x≠－5}．
(2)由已知得11－－x≥1－0，x≠0，解得 x≤1 且 x≠0. 所求定义域为{x|x≤1 且 x≠0}．
f1(x)＝x f2(x)＝2x f3(x)＝x2 f4(x)＝x2
R R [0,2] [－1,2]
x→x x→2x x→x2 x→x2
R R [0,4] [0,4]
对于 f1(x)和 f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；
对于 f3(x)和 f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．

高中数学必修第一册3.1函数的概念及其表示课件

那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w
（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
对于任一个给定的天数d，都有唯一确
定的工资w与之对应；
= 350
变量w和d之间是否是函数关系?它们各自的变化范围是什么 ?
试用集合 A，B 表示?
= 350
集合A
集合B
一一对应
1
2
3
4
5
6
350
记作:y=f(x) , x∈A
注意：
（1）x 叫做自变量，x的取值范围构成的集合A叫做函
数的定义域；
（2）与x的值相对应的 y值叫做函数值；函数值组成的
集合
叫做函数的值域。
C={y|y=f(x), x∈A}
深化概念
高中和初中函数概念的区分和联系
①
定义的扩大：初中强调变量之间的关系；高中是在映射概念和集合的概念的基础上进
∈ , , , , , , , . ,
∈ . , . , . , . , . , . , . , . , . , .
集合B
集合A
（3）对于集合A中的任意一个元素 x，在集合B
中都有唯一确定的元素 y 与之对应。
不同点
分别通过解析式、图象、表格刻画变量之间的对
应关系
函
数
的
概
念
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的
对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数 x，
在集合B中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，
就称f : A→B 为从集合A到集合B的一个函数，
700
1050
1400
1750
2100
解析法
实例2：

高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2第1课时函数的表示法学案含解析第一册

3。

1。

2 函数的表示法第1课时函数的表示法学习目标核心素养1。

掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点）1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养。

(1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．（2)如图是我国人口出生率变化曲线:(3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780。

3980.1210.050。

01问题：根据初中所学知识，请判断问题（1)、(2）、（3）分别是用什么法表示函数的?提示：解析法、图象法和列表法．函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗?提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此,图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝错误!列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”)（1)任何一个函数都可以用解析法表示．(）(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．（）[答案](1)×(2)×2．已知函数f(x）由下表给出，则f（3）等于(）x1≤x<222<x≤4f(x)123A。

1B．2C．3D．不存在C[∵当2〈x≤4时，f(x)＝3，∴f（3）＝3。

]3．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其定义域是______．［－2,3］［由图象可知f（x）的定义域为[－2，3］．］4．若f(x)＝x2＋bx＋c,且f（1）＝0，f（3）＝0，则f（－1)＝________。

2020-2021学年数学人教A版必修4课件：3-1-2-2 两角和与差的正切公式

(2－ 3.
解析：tan1π2＝tan4π－π6＝1t＋anπ4ta－nπ4ttaannπ6π6＝11－＋
3 33＝2－ 3
3.
类型一公式的简单应用
[例 1] 求下列各式的值： (1)tan1112π；
tan75°－tan15° (2)1＋tan75°tan15°.
易知 tanA＋tanB＝－ 3p，tanAtanB＝1－p. 于是 1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0. 从而 tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝－ p3p＝－ 3. 所以 tanC＝－tan(A＋B)＝ 3，所以 C＝60°.
和差公式是高考的重点内容，有时高考会将公式与函数、方程、不等式等知识综合考查.
要点整合夯基础课堂达标练经典
典例讲练破题型课时作业
知识点一两角和与差的正切公式
[填一填] 两角和与差的正切公式
[答一答] 1．你能总结出公式 T(α±β)的结构特征和符号规律吗？
提示：(1)公式 T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为 tanα 与 tanβ 的和或差，分母为 1 与 tanαtanβ 的差或和．
第三章
三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第2课时两角和与差的正切公式
[目标] 1.理解两角和与差的正切公式及其推导过程． 2.能够灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用．
[重点] 记住并会应用两角和与差的正切公式． [难点] 灵活运用公式进行求值、化简、证明．
[解] (1)∵tan(23°＋37°)＝1t－an2ta3n°2＋3°ttaann3377°°， ∴ 3＝1t－an2ta3n°2＋3°ttaann3377°°. ∴ 3－ 3tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°. ∴tan23°＋tan37°＋ 3tan23°tan37°＝ 3. (2)∵(1＋ 3tanα)(1＋ 3tanβ) ＝1＋ 3(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4， ∴tanα＋tanβ＝ 3(1－tanαtanβ)． ∴tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝ 3. 又∵α，β 均为锐角，∴0<α＋β<180°.∴α＋β＝60°.

3.1 函数的概念及其表示第二课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示第2课时函数的表示方法【课程标准】1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.会用解析法及图象法表示分段函数．4．给出分段函数，能研究有关性质．【知识要点归纳】1.函数的三种表示方法注意：2.分段函数（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的函数．（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的；各段函数的定义域的交集是．注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．3.求函数解析式的方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，常用的有两种方法：①换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.②配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可.(3)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【经典例题】（一）注意：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主．例1 已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出(1)f (g (3))＝__________； (2)若g (f (x ))＝2，则x ＝__________. （二）图象法作函数图象的步骤及注意点(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等. 例2 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2] （3）y ＝x ＋1(x ≤0) （三）分段函数注意：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．（2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．（3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课件新人教A版必修第一册

答案
例 2 已知函数 f(x)的定义域是[－1,4]，求函数 f(2x＋1)的定义域．
[解] 已知函数 f(x)的定义域是[－1,4]，即－1≤x≤4. 故对于 f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4. ∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤23， ∴函数 f(2x＋1)的定义域是－1，32.
答案 (1)23，4 (2)见解析 (3)见解析
答案
解析 (1)由题意知，－21≤x≤2，则21≤x＋1≤3，
即 f(x)的定义域为21，3，∴12≤x－1≤3，
解得32≤x≤4.∴f(x－1)的定义域为32，4.
(2) ① 要使函数有意义，自变量
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)下列给出的对应关系 f，不能确定从集合 A 到集合 B 的函数关系的是 ________． ①A＝{1,4}，B＝{－1,1，－2,2}，对应关系：开平方； ②A＝{0,1,2}，B＝{1,2}，对应关系：
③A＝[0,2]，B＝[0,1]，对应关系：
(2)下列函数中，与函数 y＝x 是同一个函数的是________． ①y＝ x2；②y＝3 x3；③y＝( x)2；④s＝t. 答案 (1)①③ (2)②④
答案
例 3 如图所示，用长为 1 m 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为 x(单位：m)，求此框架围成的面积 y(单位：m2)与 x 的函数关系式．
[解] 由题意可得，AB＝2x，C︵D的长为 πx，于是 AD＝1－22x－πx， ∴y＝2x·1－22x－πx＋π2x2，即 y＝－π＋2 4x2＋x.
x 的值相对应的 y 值叫做___□0_5_函__数__值____，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的___□0_6_值__域__．____显然，___□0_7__值_域______是集合 B 的子集．

2020-2021学年高一上数学第三章《函数的概念与性质》3.1.2函数的表示法(一)

跟踪训练3作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解(1)因为x∈Z，
所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
当x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．
函数图象的应用
典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
跟踪训练2(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________．
答案f(x)＝x2－4(x≥2)
解析因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1<m≤3.
[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0))2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴ 解得 ∴f(x)＝x2－x＋1.
反思感悟求函数解析式的常用方法
解观察图象可知：

2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课件：3.1函数的概念及其表示

(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
[解] (解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，
①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，
②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝2x＋1－3 2－x.
故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－3 2－x，x∈R.
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域． (3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的 x的集合即为定义域.
2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)对于函数 f：A→B，其值域是集合 B.
(× )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．
(×)
(3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( √ )
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．
( ×)
二、选填题
(B )
A．y＝( x＋1)2
B．y＝3 x3＋1
C．y＝xx2＋1 解析：对于A，函数y＝(
D．y＝ x2＋1 x＋1 )2的定义域为{x|x≥－1}，与函
数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对
应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝
x2 x
＋1的定义域
为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对
1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N
＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是

3.1.1函数的概念(第二课时)

例题巩固
题型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域：
(1)y＝ x－1； (2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y＝2xx－＋31； (4)y＝2x－ x－1.
例题巩固
解 (1)(直接法)∵ x≥0，∴ x－1≥－1，∴y＝ x－1 的值域为[－1，＋∞). (2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3， 2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}. (3)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2（x－x－3） 3 ＋7＝2＋x－7 3，显然x－7 3≠0，所以 y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
结பைடு நூலகம்图象可得函数的值域为(－∞，4].
课堂小结
1．构成函数的三要素：定义域，对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函
数是同一个函数．
2．求函数定义域的依据 1）分式中分母不为零； 2）偶次根式内的式子不小于零； 3）0的0次方无意义；若某函数是由多个函数通过加、减、乘运算构成的新函数，则该函数
例题巩固
题型一同一函数的判断
【例1】 (1)下列各组函数：
①f(x)＝x2－x x，g(x)＝x－1；②f(x)＝
xx，g(x)＝
x； x
③f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3；④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数 g(x)＝
与初中的函数概念相比，要特别注意定义域必须符合题目要求．
定义辨析
一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域. 因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。例如，前面的问题1和问题2中，尽管两个函数的对应关系都是y=350x，但它们的定义城不相同，因此它们不是同一个函数;同时，它们的定义域都不是R，而是R的真子集,因此它们与正比例函数y=350x(x∈R)也不是同一个函数. 函数u=t2，t∈(-∞，+∞),x=y2，y∈(-∞，+∞)与y=x2，y∈(-∞，+∞)，虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数.

2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.1.1函数的概念同步刷题课件新人教A版

解析
由题可知f(3)＝1，f(4)＝2，则f(f(4))＝f(2)＝0.
3.1.1 函数的概念
刷易错
易错点1 不能正确理解函数的定义而致错
24．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1，2}，那么A∩B一定是( B )
A. ∅
B．∅或{1}
C. {1}
D．无法确定
解析
由题意可知，当x2＝1时，x＝1或x＝－1；当x2＝2时，x＝ 2或x＝－ 2.所以集合A可分为含有一个、二个、三个或四个元素的集合，则A∩B＝∅或{1}．故选B.
3.1.1 函数的概念
14．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( B )
A．y＝ x
C．y＝
16 x
B．y＝
100 x＋2
D．y＝x2＋x＋1
刷基础
解析
A选项中，y的值可以取0；C选项中，y的值可以取负值；对于D选项，
x2＋x＋1＝ x＋122＋34 ，故其值域为 34，＋∞；B选项的值域是(0，＋∞)．故选B.
解得
x≤3， x≠12且x≠4，
即x< 1 或 1 <x≤3.故选C.
22
求函数定义域时应注意：
(1)函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围，一般根据使函数解析式有意义的
条件列出不等式(组)，该不等式(组)的解集就是函数的定义域．
(2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简；求出定义域后，一定要将其写成集合或区
解析
在选项D中，x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图像．
3.1.1 函数的概念
刷基础
5．(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有( AD ) A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍

2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2.2分段函数课件新人教A版必修第一册

解得 x＝2 或 x＝－2(舍去)．
综上可得，所求 x 的值为－4 或 2.
[答案] －4 或 2
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
题型二分段函数的图象
【典例 2】 (1)作出下列分段函数的图象：
①y＝1x，0<x<1， x，x≥1；
②y＝|x＋1|.
(2)如图所示，在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点 P，
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[解] 若 x≤－1，则 x－3<0，x＋1≤0， f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；若－1<x≤3，则 x－3≤0，x＋1>0， f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；若 x>3，则 x－3>0，x＋1>0， f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
题型四分段函数在实际问题中的应用【典例 4】某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为 15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度 y(℃)随时间 x(h)变化的函数图象，其中 AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线 y＝xk的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
课标A版·数学·必修第一册
第
三
函数的概念与性质
章
第三章函数的概念与性质
课标A版·数学·必修第一册
函数的概念及其表示
3.1
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
3.1.2
课标A版·数学·必修第一册
函数的表示法
第三章 3.1 3.1.2 第2课时

2020-2021高中数学第一册学案：第3章 3.1 3.1.2 第2课时函数的平均变化率含解析

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：第3章3.1 3.1.2 第2课时函数的平均变化率含解析第2课时函数的平均变化率学习目标核心素养1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．（重点）2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)通过利用函数f（x）的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养．科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题:问题（1）在区间［6,17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1），B(x2,y2）,ΔyΔx＝y2－y1x2－x1一定大于零吗？(2）如果在区间［2，10]对应的曲线上任取不同两点C（x3，y3）,D（x4，y4)，错误!＝错误!一定大于零吗?1．直线的斜率（1)定义:给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1）,B(x2，y2）,当x1≠x2时，称错误!为直线AB的斜率;(若记Δx＝x2－x1,相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时,斜率记为ΔyΔx)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．（2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．2．平均变化率与函数单调性若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1），y2＝f（x2)，错误!＝错误!错误!，则：（1）y＝f（x）在I上是增函数的充要条件是错误!＞0在I上恒成立；(2）y＝f(x）在I上是减函数的充要条件是错误!＜0在I上恒成立．当x1≠x2时，称ΔfΔx＝错误!为函数y＝f（x）在区间［x1，x2]（x1＜x2时)或[x2，x1]（x1＞x2时）上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．[拓展]（1）注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx ＝x2－x1，则Δy＝f(x2）－f(x1）;若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1）－f （x2）。