泛函分析9.3
泛函分析
绪论泛函分析是20世纪30年代形成的现代数学分支,泛函分析起源于“变分法”与“积分方程”的发展 .变分法的诞生起源于约翰·伯努利(瑞士)提出的“速降线”问题(1696).求路径使得小球下落最快伯努利方程伯努利（约翰次子）：注：丹尼尔老师伯努利（弟）：洛比达约翰律伯努利（哥）：大数定雅各布洛比达物理几何微积分创始人牛顿莱布尼兹⋅⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⎭⎬⎫ 泛函分析是起源于古典分析的一个数学分支,其研究对象是定义在无穷维空间上的映射(算子).教材:应用泛函分析,薛小平,哈尔滨工业大学出版社. 简明泛函分析,罗跃生,哈尔滨工程大学出版社. 参考书:张恭庆《泛函分析讲义》北京大学出版社郑维行、王声望《实变函数与泛函分析概要》高教 预备知识一 集合论(Cantor) 1 集合及其运算(包含,相等,并,交,差,余(补))集族:I 是以非空集(可有限或无限), I i i A ∈}{(足(指)标集)是一组集合族, }:{I i A i ∈[对每个I i ∈,都存在一个集合i A 与之对应]并: },:{00i i Ii A x I ix A ∈∈∃=∈使交:},:{ii Ii A x I i x A ∈∈∀=∈使对当N =I 时,∞=1}{n n A ----集(合)列.DeMorgan 公式:1) ci I i ci I i A A ∈∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2) ci Ii ci I i A A ∈∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛乘积集合:},:),{(B y A x y x B A ∈∈=⨯ ----Descarte 乘积,直积. 2 映射函数:数−→−f数:R Y X X x x f y Y X ⊂∈∀=→,,),(:. 映射:集合−→−f集合: .),(:A a a f b B A f∈∀=−→−函数−−→−一般化映射.定义:B A ,是两集合,若对A a ∈∀,在规则f 下都有B 中唯一元素b 与a 对应,则称f 是从A到B 的映射.记为)(,:a f b B A f =→.定义域:A ,值域:}:)({)()(A a a f f R A f ∈==.称b 是a 的象, a 是b 的一个原象,但原象可能不唯一.b b f :)(1-的原象的全体.}:)({})(:{)(01001B b b f B x f A x B f ∈=∈∈=--,)(0A f B ⊂,B A f →:.满射:若对A a B b ∈∃∈∀,,使)(a f b =,即B A f =)(.(B 中元素都有原象)单射(一对一):若由a a A a a '≠∈',,,必有)()(a f a f '≠[或由)()(a f a f '=必有a a '=](原象唯一)双射(一一映射):既单且满.复合映射:C B g B A f →→:,:,称C A h →:是f 与g 的复合映射,若A a a f g a h ∈∀=)],([)(.延拓与限制: B A f →:,且A D ⊂,称B D g →:为f 在D 上的限制.若对D x ∈∀,)()(x f x g =.反之,称f 为g 在A 上的延拓.记为Dfg =.对等:B A ,是两集合,若A 与B 之间存在一个双射(一一映射),则称A 与B 是对等的,记作B A ~.3 可列集可列集(可数):凡事与N 对等的集合,},,{21 x x ,如,},6,4,2{},,4,3,2{ 性质:1 可列集的任何自己是有限集或可列集.2 任何无限集一定含有一个可列的子集.证:设A 是无限集,φ≠A ,取φ≠∈}{\,111a A A a ,取}{\12a A a ∈,φ≠},{\21a a A ,…故可取出A 中一列元素 ,,21a a .令},,{210 a a A =,故0A 是A 的一个可列集. 3 21,A A 是可列集,则21A A ⋃也是可列集. 推论:任何有限个可列集的并仍是可列集. 4 21,A A 均是可列集,则n n A ∞=⋃1也是可列集.证: },,,{1312111 a a a A = },,,{2322212 a a a A =},,,{3332313a a a A =},,,,,,{3122132112111a a a a a a A n n =⋃∞=. 例 有理数集Q 是可列集.⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋃=⋃⋃=∞=+-+,3,2,1},0{1m m m Q Q Q Q Q Q m m m . 5 A 是一无限集,则存在A 的一个真子集0A 使得A 与0A 对等.证:因A 是无限集,取0B 为A 的一个可列子集, },,{},,,,{43213210 b b b B b b b B ==,100)\(B B A A ⋃=,00)\(B B A A ⋃=,0A 是A 的真子集,令⎩⎨⎧==∈=→+,2,1,,\,)(::100i b x b B A x x x f A A f i i 故A 与0A 对等.(可举例}1{\~R R ) 6 可列集与可列集的直积集是可列的. 定理 }10:{)1,0(<<=x x 是不可列集. 证 反证法:若)1,0(是可列集,则,.0,.0,.0},,,{)1,0(333231323222121312111321ααααααααα====x x x x x x )1,0(中每个数都可以表成这种形式且表法唯一. i j α是9,0 的数构造⎪⎩⎪⎨⎧≠===1,11,2,.0321ii ii i b b b b ααξ若若 因此）（1,0∈ξ,但 ,3,2,1,=≠n x n ξ,从而）（1,0∉ξ,矛盾. 基数(势)的定义:A 的势记为A :1)若两集合对等,则他们有相同的基数 2)若A 与B 的某子集对等,则B A ≤.记χχ===,0.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π21tan ,~)1,0(x y R .思考题: ]1,0[)1,0(=.Cantor 连续统假设:是否存在R '的不可数子集A ,使得χχ<<A 0.R =势Cantor 猜测这样的基数不存在,它表明实数集R '的任意不可数子集A 必与R '对等.注: 康托:集合论创立人,(德).犹太人,“无穷”概念. 基数、势、序数、超越数. 二 实数集的基本构造 1 序关系实数集中两个数x 与y 的大小关系“≤”有如下性质:1)R x x x ∈∀≤,. (自反性)2)y x ≤,且z y ≤,则z x ≤. (传递性) 3)y x ≤,且x y ≤,则y x =. (反对称性) 称“≤”为R 上的一个序关系.定义:设A 为非空集合,若A 中某些元素x 与y 的关系“≤”满足:1)A x x x ∈∀≤,. 2)y x ≤,z y ≤,则z x ≤. 3)y x ≤,x y ≤,则y x =.则称A 为半序集(偏序集).又若A 中任意两个元素x 与y 都可由关系“≤”联系,则称A 为全序集.例 ”“的所有子集⊂=},{R A ,半序集,非全序.定义 A 是半序集,A a ∈,若对A x ∈∀,有a x ≤,则称a 为A 中的最大元素. A a ∈,若A x ∈∀,有x a ≤,必有a x =,则称a 为A 中的极大元素. 区别:最大元:A 中任意元素x 与a 都有序关系:a x ≤.极大元:A 中与a 有序关系的元素x 都a ≤. 不唯一最大元是极大元,反之不必.定义:设B 为A 的子集, A a ∈,若对B b ∈∀,都有a b ≤(b a ≤),则称a 为B 的一个上(下)界.引理(Zorn):若半序集A 的每个全序子集都有上界,则在A 中必存在极大元素. 注:应用广泛:泛函:Hahn-Banach 定理,任一向量空间必有基. 拓扑:抽象代数. 2 实数中的开集、闭集定义R A ⊂,称A x ∈0为A 的内点,若0>∃δ,使A x x ⊂+-),(00δδ.A 的所有内点的全体组成的集合记为。
泛函分析
拓扑线性空间
巴拿赫空间
希尔伯特空 间
这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函 数空间。或者对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格 可测函数”所构成的空间。
在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。 对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单 同态。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多 维空间的映像。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种 可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。
20世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后， 希尔伯特和海令哲开创了“希尔伯特空间”的研究。
历史
背景
研究现状
十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几 何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。 这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。这时候，函数概念被赋予了更 为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立 两个任意集合之间的某种对应关系。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如， 代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分 方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着 类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。
泛函分析简介
泛函分析简介什么是泛函分析泛函分析是数学的一个分支，主要研究无限维空间的线性算子及其性质。
它源于传统的分析学，特别是微分方程、积分方程和最优化理论等领域的发展。
通过研究空间中的点和函数，以及这些点和函数之间的映射关系，泛函分析提供了一种强大的工具用于解决各种实际问题。
在物理学、工程学、经济学和其他科学领域中，泛函分析有着广泛的应用。
泛函分析的基本概念线性空间线性空间（或称向量空间）是泛函分析的基础。
它由一组元素组成，这些元素可以通过向量加法和标量乘法进行组合。
形式上，若 (V) 是一个集合，满足以下条件，则 (V) 是一个线性空间：对于任意 (u, v V)，则 (u + v V)（封闭性）。
对于任意 (u V) 和标量 (c)，则 (c u V)（封闭性）。
存在零向量 (0 V)，使得对于任意 (u V)，有 (u + 0 = u)。
对于每个向量 (u V)，存在一个对应的负向量 (-u V)，使得 (u + (-u) = 0)。
向量加法满足交换律和结合律。
标量乘法满足分配律以及结合律。
拓扑空间拓扑空间是讨论连续性和极限的重要工具。
在泛函分析中，通常会结合线性空间与拓扑结构。
例如，一个拓扑向量空间需要具备以下性质：每个点都有邻域；任意多个开集的并集仍为开集；有限多个开集的交集仍为开集。
此时，可以引入收敛、限制、开集、闭集等概念，从而更深入地研究函数的性质。
巴拿赫空间与希尔伯特空间巴拿赫空间（Banach Space）是一类重要的完备线性空间，其定义为一个带有范数的线性空间，使得它是完备的。
也就是说，在这个空间中，每个柯西序列都收敛于某个元素。
范数是一个度量，用来描述向量之间的“距离”。
希尔伯特空间（Hilbert Space）则是一个完备的内积空间，是巴拿赫空间的一种特殊情况。
内积允许我们定义角度、正交性等概念，对于研究四维空间中的物理现象尤为重要。
主要定理与结果超平面定理与 Hahn-Banach 定理超平面定理指出，在有限维欧几里德空间中，任何非空闭子集至少可以由一个超平面相切。
泛函分析第一讲
线性算子和线性泛函
第二章 泛函分析
绪论
2.1 距离空间
第二章 泛函分析
一、距离空间的定义
lim
n
xn
x
0, N, 当 n 时N,有
dx, y x y
x y 0, x y 0当且仅当 x y
xy yx
xy xz zy
xn x
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.2 设 X ,d 是距离空间，对任意 x, y X ，源自定义x,y
d
1+d
x,xy, y ，则
X
,
也是距离空间.
证明 三角不等式 d(x, y) d(x, z) d(z, y)，
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.3 空间l p p 1.
x0 X. 如果d (xn , x0 ) 0, n , 则称该点列 xn
收敛于 x0 , 并记为
lim
n
xn
x0
或
xn x0 n
定理1 距离空间 X ,d 中,收敛点列的极限是唯一的.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、距离空间中的收敛
例2.1.5 在Rn 中，点列的收敛为按坐标收敛.
♣ 泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算 数学、控制论、最优化理论、连续介质力学、量 子物理等以及一些工程技术学科都有重要作用.
第二章 泛函分析
绪论
二、泛函分析课程内容 1.空间 集合 + 一定的结构
距离空间 赋范线性空间 内积空间 Banach空间 Hilbert空间
泛函分析9.3
教学单元教案格式课程教案第页课程教案 ,n x222212nnx x x x +=+++）正交系M 是X 中线性无关子集。
类似于有限维空间 中任一向量可由标准正交基线性表出，在内积空间中引入规范正交系是要把内积空间中的,2,是X ,2,是一列数，作形式级数()*1i i x α∑为级数项部分和。
若存在()n→∞则称级数∞,2,，故x能被可数规范正交系{}ne表示，,i ix e e,n e ，那么有21ni x ==-∑21,ni x =-∑,,n α为任意1 (Bessel 不等式范正交系，那么对每个1 设{}n ecos ,sin ,nx nx ⎫⎬⎭)cos sin k k a kx b kx +201()22,f x dxπ⎰},是内积空间 X 中规范正交系}，使对任何正整数}{}12,,span ,,,.n n e x x x =每个非零Hilbert 空间必有完全规范正交系。
维数）如果 M 和 M *同为Hilbert 完全规范正交系，那么M 和 M *具有相同的基数，X 两个内积空间，X 上的线性映，使对任何,x y X ∈及数Tx Ty αβ+X 同构，并称X 上的同构映射。
两个Hilbert X 构的充要条件是X 具有相同的Hilbert 推论 任何空间必[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
泛函分析习题答案第九章习题答案
|q
1/ q
i1
(i ) l p
( 3)
此 外 ， 因 为(i ) l q， 故( i |i |q1 ) l p (其 中 i signi )
记x0 ( i | i |q1 )， 则 f ( x0 ) i |i |q1 i | i |q (4)
n
n
n
f ( x0 ) ici | ci | f x0 f ， 故 | ci | f
( 2)
i 1
i 1
i 1
n
结 合(1)、(2)得 f | ci | (3) i 1
由 此 可 知 ， 对 每 个RMn 上 的 有 界 线 性 泛 函 ， 存在 唯 一 的(c1 ,, cn ) Rn，
n
上 的 一 个 有 界 线 性 泛 函， 记ci f (ei )， 则(ci ) Rn， 且 f ( x) ici i 1
n
n
x
(1 ,,n )，f
( x)
max
1 i n
|
i
|
| ci
i 1
|，
故
f | ci | i 1
(1)
又 当 f 0时 ， 记 i signci , x0 (1 ,, n )， 则 x0 1， 且
令 x
x
f (x) f ( x )
x，
则
f
(
x
)
0， 故x
N，
从
而
x
x
(x, N )
所以 f (x) f ( x )
f (x) f ( x ) x
(53页幻灯片)泛函分析PPT课件
泛函分析的产生
十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段
对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何 对于代数方程求解的研究，建立并发展了群论 对数学分析的研究又建立了集合论
二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势
瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作 希尔伯特空间的提出
分析学中许多新理论的形成，揭示出分析、几何、代数的许多概念和方 法常常存在相似的地方
泛函分析导 引
泛函分析概览
形成于20世纪30年代的数学分支 从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发 展而来 综合运用了函数论，几何学，代数学的观点
➢ 可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分 析
研究内容
无限维向量空间上的函数，算子和极限理论 研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各 种拓扑和代数条件的映射
设 f (x) 是定义在[a, b]上的有界函数
并任在意[a取, bξ]上i 任∈意[x取i-1一,xi]组(i分=1点,2,a…=x,n0<)，x1…作<和xn式-1<xn=b,
n
S f (i )xi
i1
若其极限存在则称Riemann可积
nHale Waihona Puke b(R) a f (x)dx lxim0 i1 f
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算 子
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生 了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
泛函分析的特点
把古典分析的基本概念和方法
一般化 几何化
从有限维到无穷维
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具
从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系 统 过渡到无穷自由度系统 现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统
泛函分析的应用
现代数学基础学习报告泛函分析应用院系：专业：导师：姓名：学号：摘要信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。
这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。
本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。
本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。
然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。
1.泛函分析介绍1.1泛函分特点和内容[1]泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。
比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。
一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。
现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。
泛函分析
泛函分析泛函分析作为数学领域中的一个重要分支，研究了无限维度的向量空间和函数空间上的问题。
其广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，为解决现实生活中的问题提供了有效的数学工具和方法。
泛函分析的起源可以追溯到19世纪，其发展得益于函数论和拓扑学的进展。
在20世纪初，泛函分析的理论框架和方法逐渐形成，并为很多数学家和科学家所接受和应用。
泛函分析的基本概念包括向量空间、线性算子、泛函以及拓扑结构等，这些概念构成了泛函分析的基础。
在泛函分析中，向量空间是一个非常重要的概念。
它是一种由向量组成的集合，具有加法和数乘运算，并满足一定的性质。
向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
无限维空间是泛函分析的研究对象之一，其特点是空间中的向量可以是无限维的。
线性算子是泛函分析中另一个重要的概念。
它是将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数，保持线性性质。
线性算子可以描述很多实际问题，例如变换、积分和微分等。
泛函是对向量空间中的向量进行映射的函数。
它可以将向量映射到实数域或复数域，并满足一定的性质。
泛函的概念是泛函分析的核心之一，使得我们可以研究函数的性质和行为。
拓扑结构是泛函分析中的一个重要概念，它描述了向量空间中元素之间的接近程度。
通过引入拓扑结构，可以定义连续性和收敛性等概念，为研究函数空间中的极限和连续性提供了数学基础。
泛函分析的应用广泛而且多样化。
在物理学中，泛函分析被用于描述量子力学和经典力学中的问题，例如量子力学算子、哈密顿力学和波动方程等。
在工程学中，泛函分析可以应用于控制论、信号处理和图像处理等领域。
在计算机科学中，泛函分析被用于定义距离度量和相似性度量，提供了计算机视觉和模式识别等方面的基本工具。
泛函分析的发展离不开众多优秀的数学家和科学家的努力。
知名的数学家如Hilbert、Banach和Frechet等对泛函分析的发展做出了重要贡献。
他们提出了许多重要的定理和概念，奠定了泛函分析的基础。
泛函分析复习与总结
《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。
以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。
距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。
（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。
赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。
（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。
neerven 泛函
neerven 泛函一、泛函简介泛函分析（Functional Analysis）是一门数学分支，起源于19世纪末，主要研究无限维向量空间上的函数或算子。
它以德国数学家David Hilbert提出的泛函概念为核心，通过对函数或算子的性质进行研究，解决了许多当时被认为是困难的数学问题。
二、泛函应用领域泛函分析在数学、物理、工程等多个领域具有广泛的应用。
在数学领域，泛函分析为概率论、微分方程、最优化等问题提供了有力的理论工具；在物理领域，泛函方法在量子力学、相对论、凝聚态物理等方面发挥着重要作用；在工程领域，泛函分析在控制论、信号处理、图像识别等方面取得了显著成果。
三、泛函分析的基本概念泛函分析的核心概念包括无限维向量空间、函数或算子、泛函等。
无限维向量空间是指具有无限多个元素的向量空间，例如函数空间；函数或算子是指从无限维向量空间到另一个无限维向量空间的映射；泛函则是一种对函数或算子进行评价的量，它体现了函数或算子在不同性质上的表现。
四、泛函的优缺点泛函分析的优点在于它提供了一种统一的研究方法，可以解决许多传统数学方法难以解决的问题。
然而，泛函分析的理论较为复杂，对初学者来说具有一定的门槛。
五、我国在泛函研究方面的进展我国在泛函研究方面取得了举世瞩目的成果，如华罗庚、陈省身等著名数学家对泛函分析的发展做出了巨大贡献。
近年来，我国学者在泛函分析及其应用领域继续取得突破，为数学和实际问题的解决提供了有力支持。
六、泛函在实际问题中的应用案例泛函分析在许多实际问题中发挥着重要作用，如在电磁学中研究Maxwell 方程的解，通过泛函方法可以得到更加一般且精确的结果；在经济学中，泛函分析为效用函数的优化问题提供了有力工具。
七、总结与展望泛函分析作为一门重要的数学分支，在理论研究和实际应用中具有广泛的应用。
随着科学技术的不断发展，泛函分析在未来将继续发挥重要作用，为数学、物理、工程等领域的创新发展提供有力支持。
泛函分析ppt课件
∈X都有ρ(Tx, Ty)<aρ(x, y)，则称T是压缩映照
定理：完备距离空间 X 上的压缩映照T，必 存 唯一的不动点x*,使得Tx*=x*. （Banach压 缩映 照定理）
距离空间：不动点原理
应用：微分方程，代数方程，积分方程解的唯一存在 性
n
S f (i )xi
i 1
若其极限存在则称Riemann可积
b
n
(R) a f (x)dx lxim0 i1 f (i )xi
从Riemann积分到Lebesgue积分
Riemann积分的思想是，将曲边梯形分成若干个小 曲 边梯形，并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形 来代 替，小矩形的面积之和就是积分值的近似。剖 分越精 细，近似程度越好。
距离空间：定义
设 X 是非空集合，对于X中的任意两元素x与y，按某一法则都
对 应唯一的实数ρ(x, y)，并满足以下三条公理（距离公理）
：
1. 非负性： ρ(x, y) ≥0， ρ(x, y) =0当且仅当x=y； 2. 对称性： ρ(x, y) =ρ(y, x)；
3. 三角不等式；对任意的x, y, z
例子：Fredholm第二类积分方程
b
x(s) f (s) a K (s,t)x(t)dt
对充分小的| λ |，可证
当f ∈ C[a, b]， K(s, t)∈ C[a, b; a, b]时有唯一连续解 当f ∈ L2[a, b]， K(s, t)∈ L2 [a, b; a, b]时有唯一平方可积解
(x, y) (a b )2 1/ 2 i i i
则 Rn是距离空 间
距离空间： Lp[a,b]
泛函分析ppt课件
傅里叶变换与小波变换的应用
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理、语音处理等领域 有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过傅 里叶变换将信号从时域转换到频域，从而方便地进行 信号的分析和合成。在图像处理中，可以通过傅里叶 变换对图像进行频域滤波，从而实现图像的降噪和增 强。在语音处理中，可以通过傅里叶变换对语音信号 进行分析和处理，从而实现语音的识别、压缩和加密 等任务。
REPORTING
在物理学中的应用：量子力学与相对论
量子力学
泛函分析在量子力学中有着广泛的应用，如波函数的形式化 描述、薛定谔方程的推导等。
相对论
泛函分析也被用于相对论中的时空变换和场方程的构造，以 及在广义相对论中研究黑洞的性质等。
在工程学中的应用：控制理论、电气工程等
控制理论
泛函分析在控制理论中有着重要的应用 ，如研究系统的稳定性、时域响应等。
PART 05
泛函分析在信号处理中的 应用
REPORTING
信号处理的基本概念
信号的定义与分类
信号是传递或表达某些信息的数据或数据流。它可以分为 离散信号和连续信号，离散信号是离散时间点的数据，而 连续信号是连续时间点的数据。
信号处理的定义与目的
信号处理是对信号进行变换、分析和解释的过程，目的是 从原始信号中提取有用的信息，或者将原始信号变换为另 一种形式，使其更易于分析和理解。
其他应用
泛函分析还可以应用于滤波器设计、压缩感知等领域。例如，基于小波变换的压缩感知方 法可以在保持信号质量的同时，实现信号的压缩和存储。
实例分析：信号的傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基本原理
傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的方法。它将一个时域信号表示为一系列不同频率的正弦和 余弦函数的线性组合。通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而可以更好地分析信 号的频率特性。
泛函分析
数学夏令营1：泛函分析Syan Mukherjee ＋ Alessandro Verri关于该初级读本目标简要的复习在整个课程中将要用到的泛函分析的概念*。
主要介绍了下面的一些概念1.函数空间2.度量空间3.收敛4.测度5.稠子集*定义和概念主要源于Kolmogorov和Fomin的“Introductory Real Analysis”（强烈推荐）6.可分离空间7.完备度量空间8.紧致度量空间9.线性空间10.线性泛函11.线性空间的范数和半范数12.收敛性回顾13.Euclidean空间14.正交性和基15.Hilbert空间16.Delta函数17.傅立叶变换18.泛函导数19.期望20.大数定律函数空间函数空间是一个由函数构成的空间。
在该空间中的每一个函数可以被看作是一个点。
例如： 1.[,]C a b ，在区间[,]a b 中的所有实值连续函数的集合。
2.1[,]L a b ，在区间[,]a b 绝对值可积的所有实值函数的集合。
3.2[,]L a b ，在区间[,]a b 平方可积的所有实值函数的集合。
注意在2和3中的函数并不一定是连续的！度量空间度量空间意味着包含一个空间X 和一个距离ρ的对(,)X ρ，对于所有的,x y X ∈所定义的单值、非负的实函数具有如下的三个特性： 1.(,)0x y ρ=当且仅当x y =； 2.(,)(,)x y y x ρρ=；3.三角不等式：(,)(,)(,)x z x y y z ρρρ≤+例子1.距离为的所有实数的集合是度量空间。
2.距离为的所有有序实数n元组是度量空间。
3.满足准则且距离为的所有函数的集合是度量空间。
4.具有Kullback-Leibler散度的所有概率密度集合并不是一个度量空间。
散度不是对称的收敛度量空间S 中的一个开/闭球是满足如下条件的的点x ∈ 的集合半径为ε，且中心是0x 的开球将被称为0x 的一个ε邻域。
表示为0()O x ε。
《泛函分析》课程教学大纲
《泛函分析》课程教学大纲《泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：泛函分析英文名称：Functional analysis课程类别：选修课学时：54学分：3适用对象: 数学类本科生考核方式：考察先修课程：数学分析，高等代数，实变函数二、课程简介《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，是高等师范院校数学专业的一门重要专业课，它是在学生掌握了数学分析、高等代数的理论知识的基础上，继实变函数之后开设的。
本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等。
通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，工程技术等领域有很大帮助。
三、课程性质与教学目的1、本课程是数学基础之一，授课对象为数学专业学生。
在讲授和学习时，应注重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的逻辑思维习惯，让学生掌握全面考虑问题的思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他现代专业数学理论课。
2、本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等内容。
3、本大纲的教学总时数为54学时（含习题课），各章节教学时数的具体分配，请参考附表。
4、本课程以课堂讲授为主，讨论辅导为辅，课堂练习与课外作业相结合。
5、在制定本教学大纲时，为了明确对教学大纲中所列具体内容的要求程度，将本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分，对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。
四、理论教学内容与教学基本要求1、第一章度量空间和赋范线性空间（14学时）(1) 度量空间的进一步例子(2) 度量空间中的极限，稠密集，可分空间（几类特殊的点集，稠密性与可分性）(3) 连续映射（度量空间上的连续映射）(4) 柯西(Cauchy)点列和完备度量空间(5) 度量空间的完备化（完备的距离空间，第一第二类型集，距离空间的完备化）(6) 压缩映射原理及其应用(7) 线性空间(8) 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间教学目的及要求：要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
泛函分析知识总结讲解
泛函分析知识总结讲解泛函分析是数学的一个分支，研究无限维空间中的函数与函数序列的性质以及它们之间的关系。
它是实数分析和复数分析的推广与深化，是现代数学的基石之一，对于几乎所有分支的数学都具有极高的重要性。
以下是对泛函分析的知识总结和讲解。
1.范数空间与内积空间：泛函分析的基础概念是线性空间，进一步的，我们将线性空间中的向量赋予一定的范数或内积，得到范数空间和内积空间。
范数空间是指一个线性空间中存在一个范数，满足向量加法、标量乘法和范数运算的线性性质。
常见的范数空间有欧几里得空间、无穷范数空间和Lp空间等。
内积空间是指一个线性空间中存在一个内积，满足线性性质、对称性和正定性。
内积定义了向量之间的夹角和长度，并且可以衡量向量的相似度和正交性。
常见的内积空间有欧几里得空间和希尔伯特空间等。
2.完备性与紧性：完备性是指一个度量空间中的柯西序列在该空间中有一个极限点。
具有完备性的空间被称为“完备度量空间”或“巴拿赫空间”。
典型的完备度量空间包括实数集和复数集。
紧性是指一个度量空间中存在一个有限的覆盖，可以从中选取有限个开球覆盖整个空间。
紧性是度量空间的一个重要性质，表明空间的元素具有收敛性质。
3.可分性与连续性：可分性是指一个度量空间中存在一个可数的稠密子集。
可分性是度量空间的一个重要性质，表明空间的元素可以用可数个元素逼近。
连续性是指线性空间和范数空间中的映射保持了基本的运算和距离的一致性。
连续性是一个重要的概念，它描述了元素的连续变化和收敛性质。
4.泛函与算子：泛函是指一个线性空间到实数或复数的映射。
泛函可以是线性的，也可以是非线性的，常见的泛函有线性泛函和连续泛函等。
算子是指一个线性空间到另一个线性空间的映射。
算子可以是线性的，也可以是非线性的。
常见的算子有线性算子和连续算子等。
5.特征空间与对偶空间：特征空间是指一个线性算子的定义域，它是算子的作用空间的一种表达形式。
特征空间可以是有限维空间，也可以是无限维空间。
泛函分析
泛函分析1.范数&线性泛函的定义定义 设X 是线性空间，若对∀x ∈X ,有唯一实数∥x ∥与之应对，且使得(1) ∥x ∥≥0，且x =0⟺∥x ∥=0(2) ∥x +y ∥≤∥x ∥+∥y ∥, x,y ∈X(3) ∥αx ∥=|α|⋅∥x ∥,α∈R or C,x ∈X则称∥x ∥为X 的范数，此时的线性空间X 称为赋范线性空间.2.设x,y 为线性赋范空间，T:x →y 为线性算子.若T 在x 0处连续，则T 在x 上一致连续，且T 连续当且仅当存在M >0，使得∥Tx ∥≤M ∙∥x ∥,x ∈X证明 (1) 因为T 在x 0处连续，则有∀ε>0,∃δ>0,使得当∥x −x 0∥<δ时，有∥Tx −Tx 0∥<ε对∀y,z ∈X ，∥z −y ∥<δ.令x =z −y +x 0,则x −x 0=z −y.∥Tz −Ty ∥=∥T (z −y )∥=∥T (x −x 0)∥=∥Tx −Tx 0∥<ε若T 在x 0处连续，则T 在x 上一致连续(2) 必要性 设T 在x 上一致连续，则在0处也连续。
令ε=1,∃δ>0,当∥u ∥<δ时，∥Tu ∥<1对∀x ∈X,x =∥x∥δ(δ∥x∥⋅x).令c =∥x∥δ,u =δ∥x∥⋅x ，则∥u ∥=δ,x =cu ∥Tx ∥=∥T (cu )∥=c ∥Tu ∥≤c =∥x ∥δ 令δ−1=M ，则∥Tx ∥≤M ∙∥x ∥充分性 若∥Tx ∥≤M ∙∥x ∥,x ∈X ，当x 0=0时，对于∀ε>0,∃δ=εM ,当∥x −0∥<δ时，有 ∥Tx ∥≤M ∙∥x ∥<M ∙δ=M ∙εM=ε 则对x =0,T 是连续的.3.算子范数∥T ∥=sup ∥x∥<1∥Tx ∥，设T:x →y 为连续线性算子，定义∥T ∥为T 的范数，证明： ∥T ∥=sup ∥x∥<1∥Tx ∥=sup ∥x∥=1∥Tx ∥=sup ∥x∥≠0∥Tx ∥∥x ∥证明 sup ∥x∥≠0∥Tx∥∥x∥=sup ∥x∥≠0∥1∥x∥Tx ∥=sup ∥x∥≠0∥T(1∥x∥x)∥≤sup ∥x∥=1∥Tx ∥≤sup ∥x∥≤1∥Tx ∥=∥T ∥ sup∥x∥≠0∥Tx ∥∥x ∥≥sup ∥x∥≤1∥Tx ∥∥x ∥≥sup ∥x∥≤1∥Tx ∥=∥T ∥ 则∥T ∥=sup ∥x∥≠0∥Tx∥∥x∥=sup ∥x∥≤1∥Tx ∥ 4.完备性的证明 什么是柯西列，收敛列，收敛列为什么是柯西列答 度量空间X 中的任意柯西列收敛与X 中的一点，则称X 是完备的柯西列：设空间X 为线性空间，{x n }⊂X ，若∀ε>0,∃N ,当n,m >N 时，有∥x n −x m ∥<ε,则{x n }称为柯西列收敛列：设空间X 有{x n },lim x n =x ，由极限的性质，对∀ε>0,∃N ,当n >N 时，有∥x n −x ∥<ε, 当m >N 时，有∥x −x m ∥<ε. 则当n,m >N 时，有∥x n −x m ∥=∥x n −x +x −x m ∥=∥(x n −x )−(x m −x )∥≤∥x n −x ∥+∥x −x m ∥<2ε 则称{x n }为一个收敛列由定义可知，收敛列必定是柯西列，但柯西列不一定是收敛列.比如：有理数集Q ，级数展开式中e =∑1n!∞n=0=1+1+12+⋯ S n =1n!这个数列是柯西列，但是在Q 上不收敛5.内积空间与赋范线性空间的关系内积空间→赋范线性空间（定义∥x ∥=√(x,x)）赋范线性空间→内积空间（满足平行四边形法则）6. 证明：内积空间和线性赋范空间，当∥x ∥=√(x,x)证:(1) ∥x +y ∥2=(x +y,x +y )=(x,x +y )+(y,x +y )=(x,x )+(x,y )+(y,x )+(y,y) 由Cauchy-Schwarz 不等式，可知(x,y )≤√(x,x)√(y,y),则上式有∥x +y ∥2≤(x,x )+√(x,x )√(y,y )+√(y,y )√(x,x )+(y,y )=∥x ∥2+∥y ∥2+2∥x ∥∥y ∥=(∥x ∥+∥y ∥)2即∥x +y ∥≤∥x ∥+∥y ∥(2) ∥αx ∥2=(αx,αx )=αα̅(x,x)，因为αα̅=|α|2,则等式=|α|2(x,x)则∥αx ∥=|α|√(x,x )=|α|∥x ∥(3) ∥x ∥=√(x,x ),因为(x,x )≥0，所以∥x ∥≥0(4) 当∥x ∥=√(x,x )=0时，(x,x )=0，即x =07.正交系（集）性质，勾股，三角不等式，线性相关的证明答： 向量集S 称为正交的，是指对于每一对x,y 都有x ⊥y ,其中x ∈S,y ∈S 且x ≠y.若对于每一个x ∈S 还有∥x ∥=1，则称这个集为标准正交集平行四边形法则：∥x +y ∥2+∥x −y ∥2=2∥x ∥2+2∥y ∥2证明： ∥x +y ∥2+∥x −y ∥2=(x +y,x +y )+(x −y,x −y )=(x,x )+(x,y )+(y,x )+(y,y )+(x,x )−(x,y )−((y,x )−(y,y ))=(x,x )+(x,y )+(y,x )+(y,y )+(x,x )−(x,y )−(y,x )+(y,y )=2(x,x )+2(y,y )=2∥x ∥2+2∥y ∥2ε1,ε2,…,εn 为正交向量组，且k 1ε1+k 2ε2+⋯k n εn =0,则0=(0,εi )=(k 1ε1+k 2ε2+⋯k n εn )=k i (εi ,εi )=k i ,即k i =0(i =1,2,…,n),所以ε1,ε2,…,εn 线性无关.8. X 是一个线性空间，S ⊂X,S ⊥={x ′:x ′∈X f |(x,x ′)=0,x ∈S}⊂X f ,证明S ⊥是X f 一个子空间证明 X 是线性空间，则X f 也是线性空间.因为S ⊥⊂X f ，则对任意x ′,y ′∈S ⊥,有x ′,y ′∈X f 而(x ′+y ′)(x )=x ′(x )+y ′(x )=0,故x ′+y ′∈S ⊥.∀α∈R,x ′(αx )=αx ′(x )=0.故αx ′∈S ⊥，则S ⊥是X f 一个子空间。
泛函分析简介
泛函分析简介泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的对象是函数的空间，而不仅仅是函数本身。
泛函分析在数学理论研究和实际问题求解中都有着广泛的应用。
本文将简要介绍泛函分析的基本概念、重要定理以及其在现代数学和物理学中的应用。
泛函分析的基本概念包括向量空间、内积空间、赋范空间和希尔伯特空间等。
在泛函分析中，向量空间是最基本的概念之一。
向量空间是指一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的运算规则，比如加法和数乘。
内积空间是在向量空间的基础上引入了内积的概念，内积可以衡量向量之间的夹角和长度。
赋范空间是在向量空间的基础上引入了范数的概念，范数可以衡量向量的大小。
希尔伯特空间是一个完备的内积空间，其中的每一个柯西序列都收敛于空间中的一个元素。
泛函分析中的重要定理包括巴拿赫空间定理、霍尔德不等式、开映射定理、闭图像定理等。
巴拿赫空间定理是泛函分析中的一个基本定理，它指出了完备赋范空间的闭单位球是紧的。
霍尔德不等式是用来估计函数的导数和函数本身之间的关系的一个重要不等式。
开映射定理和闭图像定理则是关于线性算子的性质和映射的性质的重要定理。
泛函分析在现代数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，泛函分析被广泛运用于偏微分方程、概率论、调和分析等领域。
在物理学中，泛函分析被广泛运用于量子力学、热力学、电磁学等领域。
泛函分析的理论不仅为这些领域提供了重要的数学工具，而且深刻影响了这些领域的发展。
总之，泛函分析作为数学中的一个重要分支，其基本概念和重要定理为研究者提供了丰富的数学工具和理论支持。
泛函分析在数学和物理学中有着广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
希望本文的简要介绍能够帮助读者更好地理解泛函分析的基本概念和重要定理，以及其在现代数学和物理学中的应用。
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(1)级数 是收敛的。
(2)级数 是收敛的。
(3) 。
(三)完全规范正交系下的表示
1完全规范正交系的定义设M是内积空间X中的规范正交系，如果 ，则称M是X中的完全规范正交系.
2完全规范正交系的判别：
定理1设M是Hilbert空间X中的规范正交系，那么M完全的充要条件是
推论设M是Hilbert空间X中规范正交系，若Parseval等式在X的某个稠密子集A上成立，则M完全。
(四)完全规范正交系的例子
三完全规范正交系的构造及其存在性
1引理设 是内积空间X中有限或可数个线性无关向量，那么必有X中规范正交系 ，使对任何正整数n，有
2定理每个非零Hilbert空间必有完全规范正交系。
教学单元教案格式
课程教案
授课题目：9.3 Hilbert空间中的规范正交系
教学时数：
授课类型：
□理论课□实践课
教学目的、要求：
注：指教学中要体现“课程的总体目标”和“章、节或实践教学单元的目标”、预期达到的效果等。
注：指该章、节的重点和难点部分，学生必须掌握的知识点和技能。实践教学还包括实践操作训练的主要指导要点；关键环节、关键技术指导方法等。
3定义（Hilbert维数）如果M和M*同为Hilbert空间X的完全规范正交系，那么M和M *具有相同的基数，称这个基数为X的Hilbert维数。
若 ，则定义X的Hilbert维数为0.
当X是有限维空间时，由Gram-Schmidt正交化过程知，Hilbert维数和线性维数一致。
四Hilbert空间之间的同构
二Hilbert空间中向量关于规范正交系的表示：
(一)向量级数
定义设X是赋范线性空间， 是X中一列向量，
是一列数，作形式级数
称 为级数(*)的n项部分和。若存在 ，使
则称级数(*)收敛，并称x为这个级数的和，记为
(二)可数规范正交系下的表示
引理1设是Hilbert空间X中可数规范正交系，那么
（1）级数 收敛的充要条件为级数 收敛
1内积空间的同构：
设X和是 两个内积空间，若存在X到 上的线性映射T，使对任何 及数 ，满足
则称X和 同构，并称T为X到 上的同构映射。
定理两个Hilbert空间 与同 构的充要条件是 和 具有相同的Hilbert维数。
推论任何可分Hilbert空间必和某个 或 同构。
2例子：
(1)
(2)
定义设M为内积空间X中的规范正交系， ，称数集
教学重点：
教学难点：
教学方法和手段：
注：是根据教学目的进行教学方式（讲授、演示、实验、实作、讨论、案例分析、仿真或真实现场实作指导等）、教学辅助手段（教具、模型、图表、实物、现代教学设施设备，以及特殊教学或实践环境等）、师生互动、板书等的设计。要能有效地调动学生的学习积极性，促进学生的积极思考，激发学生的潜能。
定理2M是Hilbert空间X中的完全规范正交系的充要条件是对所有的 ，成立Parseval等式。即 有
注：问题级数 是否有意义？更一般地，设 是X中规范正交系，其中 为一指标集， ，向量“形式级数” 是否有意义？
推论1：M是Hilbert空间X中的完全规范正交系，则X中每个向量x都可以展开成级数
上式称为向量x关于规范正交系M的傅里叶展开式。其中 称为向量x关于M的傅里叶系数集，称 为x关于e的傅里叶系数。
注：以下内容按实际需要进行取舍
教学分组；注：指导教师及学生分组情况说明
安全事项；注：教学实践过程中的人身、设备、仪器及产品等安全；操作安全规范说明；或安全隐患防范措施等。
教学条件；注：教学场地、设施、设备、软件等要求说明；
参考资料；注：是提供给学生课后参考，辅助其掌握课程教学内容，扩大知识面的资料
其它；注：指另行增加的要素项目，由各系、教研室根据不同专业不同课程的教学需要自行规定其名称和要求。
为向量x关于规范正交系M的傅里叶系数集，而称 为x关于e的傅里叶系数。
教学目标：掌握Bessel不等式和Parseval公式
教学重点：规范正交系定义，存在性及元的表示
教学难点：Fourier级数的重新认识
教学方法：讲授
教学类型：新授课
作业布置：
注：作业、思考题、讨论题、实验实训报告、实作实训练习等
课后小结：
注：教师完成本教学单元教学后对教学设计、教学重难点把握、教学方法应用、教学效果等课堂教学过程情况的总结与分析，为以后教学提供经验和素材
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课程教案
教学内容及过程
旁批
注：是指通过对教学大纲、教材和主要参考资料的研析，确定本教学单元的课程教学知识信息的总和。实践课还应注重其对实践环节的指导性，必要时应包含实践步骤及其说明。
教学引入（可选）：
教学内容与教学设计：
注：此部分详略取决于教师教学经验多少、教学内容的熟悉程度；经验少、内容较生疏的教师此部分应更详细。
一规范正交系：
1定义：
设M是内积空间X的一个不含零的子集，若M中向量两两正交，则称M为X中的正交系，又若M中向量的范数都为1，则称M为X中规范正交系。
2性质：
（1）正交系M中任意有限个向量
有
（2）正交系M是X中线性无关子集。
3目的：类似于有限维空间中任一向量可由标准正交基线性表出，在内积空间中引入规范正交系是要把内积空间中的向量表示为规范正交系的“线性组合”。但对于无限维空间来说，规范正交系中的向量可能有无穷多个，表示成无穷多个向量的“线性组合”，实际上是向量级数的形式。
（2）若 ，则 ，故
注(2)表明如果x能被可数规范正交系 表示，则 前的系数一定是 。且x具有形式
现在的问题是，在什么情形下，级数 一定是收敛的。
引理2：设X是内积空间，M是X中规范正交系，任取M中有限个向量 ，那么有
(1)
注：由(1)式可得 ，即来自(2)其中 为任意n个数。
定理1 (Bessel不等式)设是内积空间X中的有限或可数规范正交系，那么对每个 ，成立不等式