1.21函数的概念

1.21函数的概念
一、说教材
1、教材的地位与作用
函数的概念选自人民教育出版社出版的数学Ⅰ必修本（A版）的第一章1.2.1。

该课时主要是让学生正确地理解函数的概念，建立起变量之间依赖关系的重要数学模型。

函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿整个中学数学代数的始终。

在初中时已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。

到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。

函数是初中数学与高中数学衔接的枢纽，其实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。

因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要的位置，又有着重要的现实意义。

2、教学目标
根据上述教材结构，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：
（1）知识与技能：通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合和对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。

（2）过程与方法：从具体到抽象，从特殊到一般，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。

（3）情感态度与价值观；渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。

3、重点与难点
教学重点：理解函数的概念，主要包括对函数的定义和函数三要素的理解与认识；理解函数记号y=f(x)。

教学难点：函数的定义和函数符号的理解与应用。

二、说教法
教法分析：函数的近代定义是以映射为基础的，所以过去的教材教学都是先讲授映射，再学习函数。

而映射的概念对刚入高中的学生来说太抽象了，反而影响学生对函数的理解。

我们知道，对应是最基本的数学概念之一，接近于自然语言。

在初中的变量观函数定义中，已经使用了“对应”。

教材直接从对应的角度给出函数的定义，学生既拥有认识新知的基础，也具备认识新知的能力。

函数是特殊的映射，函数理解了，再用函数去体会映射。

这样安排更接近高一学生的实际情况，也更符合认知发展的规律。

三、说学法
学法分析：学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数来描述变量之间的依赖关系。

然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚未薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。

在本节课的教学过程中，教师应该给学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而理解问题的本质，归纳总结出结论。

注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号f(x)的学习，借助具体函数来理解符号y=f(x)的含义，由具体到抽象，克服由抽象的数学符号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力。

四、教学过程
（一）复习引入
初中的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。

初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等
问题1：1
x∈）是函数吗？
y（R
=
问题2：x y =与x
x
y 2
=是同一函数吗？
观察对应：
300450600
90212
22
3941
1-12-23-3
3-32-21-1
149
123
123456
(1)
(2)(3)(4)开平方
求正弦
求平方
乘以2
A A A A
B B
B B 1
（二）新课内容
1、函数的有关概念
设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称
B
A f →:为从集合A 到集合
B 的函数，记作
)(x f y =， x ∈A
其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域。

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。

（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →: 这里 A, B 为非空的数集
（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)(
⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B
（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f 2、已学函数的定义域和值域
（1）一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; （2）反比例函x
k x f =
)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ;
（3）二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R
值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2
3、函数的值：关于函数值 )(a f
例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11
注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数
4、函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数 （三）例题讲解
例1 求下列函数的定义域： ① 2
1)(-=
x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x
x x f -+
+=
211)(.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定如果只给出解析式
)(x f y =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意
义的实数x 的集合
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2
1-x 无意义，
而2≠x 时，分式
2
1-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .
②∵3x+2<0，即x<-
3
2时，根式23+x 无意义，
而023≥+x ，即3
2-≥x 时，根式23+x 才有意义，
∴这个函数的定义域是{x |3
2-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x
-21 同
时有意义，
∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
例2 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).
解：f(3)=3×23-5×3+2=14；
f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52； f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a 2+a. 例3下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？
⑴()
2
x y =
；⑵3
3
x y =
；⑶2
x
y =
解：⑴()
2
x y =＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是；
⑵3
3
x y =＝x （R x ∈）,R y ∈，定义域值域都相同，是同一个函数；
⑶2
x
y =
＝|x |=⎩
⎨⎧-x x ,00
<≥x x ,0≥y ；值域不同，不是同一个函数
五、布置作业，学以致用。