大学物理质点动力学
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
大学物理课件 第2章,质点动力学
本章题头§2-1 牛顿运动定律英国物理学家, 经典物理学的奠基人.创立了经典力学的 基本体系光学，牛顿致力于光的颜色和光 的本性数学，建立了二项式定理，创立 了微积分牛顿 Issac Newton （1643－1727）天文学，发现了万有引力定律， 创制反射望远镜，初步观察到了 行星运动的规律。
一、牛顿第一定律 (Newton first law)惯性定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
意义惯性以及力的概念 1、定义了物体（质点）的惯性；2、说明了力是物体运动状态改变的原因定义了惯性参考系二、牛顿第二定律 (Newton second law)质点加速度的大小与所受合力的大小成正比 , 与质点自身的质量成反比; 加速度方向与合力方向相同。
牛顿第二定律的数学形式为 Fma 原始形式：F dPd mv dmvm dvdtdtdtdt当 v c 时，m 为常量 Fm dvmadt宏观低速运动时1、瞬时性： 之间一一对应（同生、同向、同变、同灭） n 2、力的叠加性：F F1 F2 Fi Fii =13、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中： Fma maximay jmaz k Fxmaxmdv x dt Fyma ymdv y dt Fzmazmdvz dt 自然坐标系中： Fmam at anF mdv dtFnmv24、说明了质量是物体惯性的量度5、在一般情况下力， F是一个变力常见的几中变力形式：F F x kx常见的几中变力形式：F F t F F v kv弹性力 打击力 阻尼力6、适用对象:质点 7、成立的参考系：惯性系 8、成立的条件：宏观低速10＇T 三、牛顿第三定律(Newton third law)物体A 以力F AB 作用于物体B 时, 物体B 也必定同时以力F BA 作用于物体A , F AB 与F BA 大小相等, 方向相反, 并处于同一条直线上,（物体间相互作用规律）mmT P ＇P 地球F AB = F BA作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
1.2大学物理(上)——质点动力学
t2
t1
n n t 2 n n 1 n Fi外 dt f ij dt mi vi 2 mi vi1 t1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1
因为内力总成对出现即：
i 1 j 1
x n
2mv cos fn fx 20 N t
[例2.6]: 如图（见书），一辆装矿砂的车厢以v=4ms-1的 速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的砂为k=200kg/s， 如欲使车厢的速率下变，须施与车厢多大的牵引力（忽 略车厢与地面的摩擦）。
[分析]：系统的质量m在变化。设t时该已落入车厢 的砂为m，经dt后又有dm=kdt的砂落入车厢。以m 和dm为研究对象。在水平方向的动量定理为：
ra
可见万有引力是保守力。
③ 、弹力的功
F kx
1 1 2 2 AS kxdx ( kxb kxa ) xa 2 2 1 1 2 2 kxa kxb 2 2
xb
初态量
末态量
弹簧振子
可见，弹性力是保守力。
[例2.8]:在离水平面高为H岸上，有人用大小不变的 力F拉绳使船靠岸，求船从离岸x1处移到x2处的过 程中，力F对船所作的功。
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
三、第三定律（Newton third law）
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的，而且指向相反的方向。
F1 F2
作用力与反作用力：
1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。
2、功率 指力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t
10--第二章 《质点动力学》总结
∫
Fc • dr ≡ 0
非保守力Fnc的特点：做功与路径有关。 的特点：做功与路径有关。 非保守力 的特点
∫
l
Fnc • dr ≡ 0不成立
2.势能 势能 重力势能 重力势能
E p = m gh
重力功 重力功
3. 质点系的功能原理
ex in nc
m' m 引力势能 引力势能 Ep = −G r 1 2 弹性势能 弹性势能 E p = kx 2
W + W = E − E0
引力功 引力功 m'm m'm W = − (−G ) − (−G ) rb ra 弹力功 弹力功
W = −(mghb − mgha )
4. 机械能守恒定律 ex in 当 W + W nc = 0 时，有 E = E 0 作用于质点系的外力和非保守内力不做功. 即：作用于质点系的外力和非保守内力不做功.
dp d(m ) dm v dv F= v +m = = dt dt dt dt dm dv 宏观低速 = 0, F = m = ma dt dt
二、力学中常见的几种力
1. 弹力 f = −kx 2. 静摩擦力（静摩擦力、滑动摩擦力） 静摩擦力（静摩擦力、滑动摩擦力） fsmax=µsN ( µs为最大静摩擦系数) 为最大静摩擦系数
F =0 ⇒ p=C
ex
五、动能、质点系的动能定理 动能、 所有外力和内力对质点系做功的代数和， 所有外力和内力对质点系做功的代数和，等于质 点系总动能的增量。 点系总动能的增量。
1 E k = mυ 2 ⇒ W ex + W in = Ek − Ek 0 2
六、势能、机械能守恒定律 势能、
大学物理质点动力学教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解质点动力学的基本概念，包括质点、力、加速度等；2. 掌握牛顿运动定律的应用，包括牛顿第一定律、第二定律和第三定律；3. 学会分析质点的受力情况，并能运用牛顿运动定律进行求解；4. 理解动量、冲量、角动量等概念，并能运用相关定律进行计算；5. 掌握功、功率、动能、势能等能量概念，并能运用能量守恒定律进行求解。
教学重点：1. 牛顿运动定律的应用；2. 动量定理和动量守恒定律；3. 角动量定理和角动量守恒定律；4. 功和能量守恒定律。
教学难点：1. 复杂受力情况下的牛顿运动定律应用；2. 动量定理和动量守恒定律的灵活运用；3. 角动量定理和角动量守恒定律的运用；4. 能量守恒定律在复杂情况下的应用。
教学准备：1. 多媒体课件；2. 质点动力学实验器材；3. 相关教材和参考书籍。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾质点运动学的基本概念，如位置、位移、速度、加速度等；2. 引入质点动力学，强调质点动力学在物理学中的重要性。
二、讲授新课1. 质点动力学的基本概念：- 质点：质量集中在一个点上的物体；- 力：使物体发生运动状态改变的原因；- 加速度：物体速度变化率。
2. 牛顿运动定律：- 牛顿第一定律：物体在没有外力作用下，将保持静止状态或匀速直线运动状态；- 牛顿第二定律：物体所受外力与加速度成正比，与质量成反比；- 牛顿第三定律：作用力与反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量定理和动量守恒定律：- 动量定理：物体所受冲量等于物体动量的变化；- 动量守恒定律：在没有外力作用下，系统的总动量保持不变。
三、课堂练习1. 分析质点受力情况，运用牛顿运动定律求解；2. 计算动量变化和冲量。
第二课时一、复习1. 复习上一节课所学内容，强调重点和难点；2. 对课堂练习进行讲解和答疑。
二、讲授新课1. 角动量定理和角动量守恒定律：- 角动量定理：物体所受合外力矩等于物体角动量的变化率；- 角动量守恒定律：在没有外力矩作用下，系统的总角动量保持不变。
大学物理第二章-质点动力学
3）忽略绳或线质量时，绳内部各处的张力都相等
4）弹（性）力：由胡克定律 f ，kkx为决定于弹簧本身结构的常数；负
号表示弹力的方向总是指向要恢复它原长的方向
3、摩擦力 相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或有相对运动趋势时，在接触
面之间产生一对阻止相对运动的力。（静摩擦力、动摩擦力（滑动摩擦力、 滚动摩擦力等））
m m
车 u上
mv1
mv2
v1 v2
t2
Fdt
t1
mv2
mv1
地上
t
2
Fdt
t1
m(v1
m(v2
u)
u)
m (v2
m(v1
u) u) mv2
mv1
[例2]一质点受合外力作用，外力为
F 10ti 2(2 t ) j 3t 2k (SI)
求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在
I z P2z P1z mv2z mv1z
说明：
1）一维问题、力作用时间很短时，
F
常引入平均冲力
F
F
t2 Fdt
t1
p2 p1
t2 t1 t2 t1
t1 t2 t
2）I的方向一般不是
F的(t方) 向，而
I
是微分冲量 的矢F量d和t 的方向。
Fdt
3）物体的动量相对于不同的惯性系是不同的，但动量定律不 变。
物体在竖直方向运动，建立坐标系oy
y
T
ar
ar
a1 m1 a2
m2
m1
o
m1g
T
m2
m2 g
(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对
地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正， 根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：
大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题
第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法。
二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。
难点：微积分方法求解变力做功。
（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1.动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积；冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。
2.保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力，沿闭合路径运动一周保守力做功为0；非保守力是做功与具体路径有关的力。
(四)主要内容： 1．动量、冲量动量：p mv =u r r冲量：⎰⋅=21t t dt F I ϖϖ2．动量定理：质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I ϖϖϖϖϖ 质点系动量定理：dtPd F ϖϖ=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F ϖ时，或in ex F F u r u r ? 系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 1ϖϖ4．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos ϖϖ（θ为)之间夹角与r d F ϖϖ直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=（质点所受合外力做功等于质点动能增量。
）（2）质点系动能定理:∑∑==-=+ni ni E E W W1kio1ki inex（质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。
大学物理质点动力学
因此
a2
解：研究对象：m 、M
m
M
受力分析：如图 设M对地的加速度
m 对M的加速度
m 对地的加速度
aa12 a
a a1 a2
N1
N2
a1
mg
Mg
N
' 1
以地为参照系，建立坐标如图 y
y,
a2
N1
x,
N2
a1
x
mg
Mg
N
' 1
运动方程：
对m：
矢量式:
y, :
mg mg
v(m/s)
15
B(4,14.8)
程的分量式
a dv 10
mgsinθ-μmgcosθ-kv=ma
dt
所以a表示的是v～t曲线上切线的斜率5
t=0时,v0=5,a0=(14.8-5)/4=2.45 t 时,v=10,a=0. 代入上式得
k=ma0 /(v-v0)=1.96 N.s/m μ=(mgsinθ-kv)/mgcosθ=0.125
质量 单位：千克 （kg） M 时间 单位：秒 （ s ） T
2、导出量：其他由基本量表示的力学物理量都称为 导出量，表示为：
dim Q LpM qT r
量纲式
2 -- 3 几种常见的力
（1）万有引力：任何两个物体间都存在着互相作用的
吸引力称为万有引力。其数学表达式为：
F
G
m1m2
r2
地面上或地面附近的物体所受地球的引力叫重力 mg ，
dy
(dv dv dy v dv) dt dy dt dy
上式两边同乘以 2y 化简得
大学物理_第2章_质点动力学_习题答案
第二章 质点动力学2－1一物体从一倾角为30︒的斜面底部以初速v 0=10m·s -1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s -1,求该物体与斜面间的摩擦系数。
解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30︒物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得220112(1)22mv mv f s -=-⋅物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得2010sin 302mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-2(2)s ∴=把式（2）代入式（1）得，220.198u =2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。
解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得22sin (1)cos (2)t n dv F mg mdtv F T mg m Rαα=-==-=由,,1ds rd rd v dt dt dt vαα===得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有，902n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v vrv mg mg rmg αααωααα=-===+==-=-⎰⎰得则小球在点C 的角速度为＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向2－3如本题图，一倾角为θ 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两习题2－2图者间摩擦系数为μ，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。
解：如图所示()1212min max sin ,cos cos sin (1)sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=得，得，)()(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθθθθθ+=---+∴≤≤+- 2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A 和B 的加速度大小各为多少 。
大学物理B层次--第二章 质点动力学
例题2-8 质量为m的质点，经时间t、以不变的速 率越过一水平光滑轨道60º 的弯角，求轨道作用于质 点的平均冲力的大小。 解 平均冲力可视为恒力，由动量定理有 m: I=F.t=m2-m 1
m
m 平均冲力 F= (2- 1 ) t （1） 这里|1 | = |2 | =。
求解(2- 1 )的方法有两个：
m
a
N
m
a
ma mg
22
§2-3 质点动量定理
1.冲量 冲量 I
t2
t1
Fdt , 对恒力F, I F (t2 t1 )
牛顿表述的第二定律是：F dp d (m )
2.质点动量定理
dt
dt
两边同乘dt, 再对上式积分,则可得到
I F dt p2 p1
m1
m2
m1g
m2g
(m1 m2 ) g m2 a0 a1 , m1 m2 (m1 m2 ) g m1a0 a2 m1 m2 (2 g a0 )m1m2 T m1 m2
12
例题2-3 一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀速 地前进,木箱与地面的摩擦系数µ =0.6,肩上绳的支持点 距地面高度h=1.5m,问绳长L为多长时最省力? 解 先找出力与某个变量()的关系，再求极值。 水平方向：Fcos-fs=ma=0 （匀速） 竖直方向：Fsin+N-mg=0 , fs= µ N 解得： mg F cos sin L F有极小值的充要条件是： h N
19
2.加速平动参考系中的惯性力 在实际问题中常常需要在非惯性系中观察和分析 物体的运动。然而在非惯性系中牛顿定律是不成立。
如果在相对于惯性系S以加速度a作直线运动的非 惯性系S中,假定每个质量为m的物体除了受到真实的 外力F作用外,还受到一个附加的、假想的力Fi=-ma的 作用,那么我们就可以在非惯性系中形式地利用牛顿 定律来解决力学问题了。 这一假想的力: Fi=-ma 惯性力 请注意：这里的a不是物体m的加速度，而是非惯性 系S相对于惯性系S的加速度。
大学物理1,第2章 质点动力学
O
x
mg
tan a1 , arctan a1
g
g
l
m
a1
(2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运
动时，分析受力如图，建立图示坐标系。
x方向：FT2 sin(α θ) mg sin α ma2
FT 2
y方向：FT2 cos(α θ) mg cos α 0 a2
m
FT2 m 2ga22 sin α a22 g 2
• 强力（strong interaction）
在原子核内（亚微观领域）才表现出来，存在于 核子、介子和超子之间的、把原子内的一些质子和中 子紧紧束缚在一起的一种力。
其强度是电磁力的百倍，两个相邻质子之间的强 力可达104 N 。力程：<10-15 m
• 弱力（weak interaction）
亚微观领域内的另一种短程力。导致衰变放出 电子和中微子。两个相邻质子之间的弱力只有10-2 N 左右。
重力（gravity） 重力是地球表面物体所受地球引力的一个分量。
G mg
g g0 (1 0.0035cos2 φ)
地理纬度角 g0 是地球两极处的重力加速度。
重力
引力
重力与重力加速度的方向都是竖直向下。
忽略地球自转的影响物体所受的重力就等于它所受的
万有引力：
mg
G
mEm R2
弹力（elastic force）
物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合 外力的大小成正比，与物体的质量成反比；加速度的
方向与合外力F的方向相同。 F kma
比例系数k与单位制有关，在国际单位制中k＝1
瞬时性：是力F的瞬m时a 作m用d规v律 dt
F
大学物理 质点动力学
a物惯 a物A a A惯
解方程
3.列方程
大学 物理学
例2.1 一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬 有质量为m1 和 m2的物体( m1 ＜ m2 )，如图2.2所示.设滑轮和 绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以 及悬挂滑轮的绳中张力.
m2 定滑轮为研究 解 分别以 m1 ， 对象，其隔离体受力如图所示.
T1 T2 T， a1 a2 a
m2 m1 a g， m1 +m2
解①和②两式得
2m1m 2 T g. m1 +m2
由牛顿第三定律知：T1' T1 T， T2' T2 T ，又考虑到定滑轮质量不 计，所以有
容易证明
4m1m2 T 2T g m1 +m2
1 7.3 10 rad s
5
1
由于地球的自转， 地球上的物体有法向 加速度。
大学 物理学
大量的事实和实验表明：
地球不是一个严格的惯性系。
傅科摆 河岸冲刷 赤道附近的信风 强热带风暴漩涡 落体偏东
地球自转：科里奥利加速度
Rse
Rse 1.5 108 km 1Au
a自转 3 6 g , a公转 g 1000 10000
明朝1644年灭亡，康熙皇帝：1654-1722
大学 物理学
动力学：研究作用于物体上的力和
物体机械运动状态变化之间的关系。
• 本章主要内容： • §2.1 牛顿运动定律 • §2.2 动量 动量守恒定律 • §2.2 功 动能 势能 机械能守 恒定律 • §2.2 角动量 角动量守恒定律
大学 物理学
对 m1，它在绳子拉力 T1 及重力 m1 g 的作用下以加速度 a1向上运动，取 向上为正向，则有
大学物理 第二章 质点动力学
A Fs cos
A F s
（2-27）
式中为力F与位移 s之间的夹角。 根据矢量标积的定义，上式可以写成：
（2-28） 注意：如果力为变力，或质点作曲线运动，力作的功就不 能用上式来计算,而应该应用微积分的方法来计算力作的功。
设质点在变力 F 的作用下，沿曲线从A点运动到B点。将A 到B 的路径分成许多小段，任取一小段位移，用 d r 来表示。由 于 d r 非常微小，可以认为质点在这段位移元上所受的力为恒 力，则力对质点作的元功为：
A
在直角坐标系中:
A Fx dx Fy dy Fz dz Fx dx Fy dy Fz dz
二、质点的动能定理：
dr vB B 1 2 1 2 dv A m dr m dv mvdv mvB mvA A A vA dt dt 2 2 即：合力对质点所作的功等于质点始、末两状态的动能 的增量。 所以说：功是动能变化的量度。
F dv 解： 6t m dt
dx v 3t dt
2
dx 3t 2dt
A
x
0
3 36 t F 3 t d t Fdx dt 144J
2 0
t
2
0
2 P F v 12t 3t 288W
补充例题
例4 已知用力 F从竖直方向缓慢拉质量为m 的小球，且 F 保持方向不变。 求 = 0 时，F 作的功。 L θ 解： F T sin θ 0 T cosθ mg 0 T
B
课后思考及作业
阅读：P60-68 作业：习题2-25、习题2-26
2 2 2 4 2 2
由点(2，0) 到点（2，4）由于x=2为常量，dx=0，所以:
大学物理-质点动力学学
质量为10千克的物体静止于地面上，受x轴方向水平拉力F的作用 ，沿x轴方向作直线运动，力F与时间的关系如图所示，设物体与 地面的摩擦系数为0.2。在t = 4秒时的速度大小___________，在t = 7秒时的速度大小_______________。
F(N)
30
t (s) 0 4 图 2-29 7
A F dr
0
2R
F0 x d x
0
F0 y d y 2 F0 R
0
2
注意：
① 功是标量(代数量) A> 0 力对物体做正功
A<0
A=0
力对物体做负功
力作用点无位移或者力与位移相互垂直
② 当质点受几个力作用时，其合力的功为
A
b
a
F合 d r
b
例2-1. 质量为m的物体被竖直上抛，初 速度为v0 ，物体受到的空气阻力数值与 解题步骤： 其速率成正比，即f = kv，k为常数，求 (1) 确定研究对象。隔离 物体升到最高点所需的时间及上升的最 体法。 大高度。 (2) 受力分析，画示力图。 解：建立如图所示的坐标系 x (3) 建立坐标系。 物体上升过程中受力分析如下： (4) 对各隔离体建立牛顿 重力： m g 阻力： f 运动方程(矢量式——分 m g 物体所受的合外力为 量式) 。 o f F mg f mg kv (5) 解方程。进行文字运 算，然后代入数据求解。 (1) 根据牛顿第二定律可得
2、非惯性系
t t
S系 x, y , z , t
2. 伽利略速度变换 正变换：
u u x v x u u y y u u z z
a a x x a a y y a a z z
《大学物理》第二章《质点动力学》课件
相对论中的质点动力学
相对论简介
01
相对论是由爱因斯坦提出的理论，包括特殊相对论和广义相对
论，对经典力学和电动力学进行了修正和发展。
质点动力学
02
在相对论中，质点的运动遵循质点动力学规律，需要考虑相对
论效应。
实际应用
03
相对论中的质点动力学在粒子物理、宇宙学和天文学等领域具
有重要意义，如解释宇宙射线、黑洞和宇宙膨胀等现象。
牛顿运动定律的应用
通过牛顿第二定律分析质点在各种力作用下的运动规律。
弹性碰撞和非弹性碰撞
碰撞的定义
两个物体在极短时间内相互作用的过 程。
弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能没有损失，只 发生形状和速度方向的改变。
非弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能有一定损失， 不仅发生形状和速度方向的改变，还 可能有物质交换。
01
运动分析
火箭发射过程中，需要分析火箭的加速 度、速度和位移等运动参数，以确定最 佳发射时间和条件。
02
03
实际应用
火箭发射的运动分析对于航天工程、 军事和商业发射等领域具有重要意义。Fra bibliotek球自转的角动量守恒
1 2
地球自转
地球绕自身轴线旋转，具有角动量。
角动量守恒
在没有外力矩作用的情况下，地球自转的角动量 保持不变。
相对论和量子力学
随着科学技术的不断发展，相对论和量子力学逐 渐兴起，对质点动力学产生了深远的影响。相对 论提出了新的时空观念和质能关系，而量子力学 则揭示了微观世界的奇特性质。
牛顿时代
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了三大运 动定律和万有引力定律，奠定了经典力学的基础 。
现代
现代物理学在继承经典理论的基础上，不断探索 新的理论框架和实验手段，推动质点动力学的发 展和完善。
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( m1 m2 ) g m1a0 m2 ao a 2 m1 m2
m2 g
( 2 g a0 )m1 m2 T m1 m2
27
例题1.5 木箱与地面：µ =0.6，h=1.5m, 若人匀速前进，绳长L为多长时最省力? 解 水平方向：Fcos-fs=ma=0 （匀速） 竖直方向：Fsin+N-mg=0 , fs= µ N
(2)m下边缘滑到水平面时，M移动的距离；
ab 1 2 at d cos 2
M移动的距离:
2(a b) t a cos
2
a
24
1 2 s aM t 2 m(a b) Mm
b m aM M
y
o
a
d
x
(3)要m相对M静止，F=? x:Nsinθ=ma 对m: y:Ncos θ =mg 解得 a=g.tg θ (M+m):
12
3）物理学的规律，例如牛顿第二定律，都有 一定的适用限度。在限度之外，牛顿第二 定律不再成立。在不适用的范围，用它来 预言实验就不再正确，因而这时用它来作 为定义也就没有意义了。或者说，当式（1） 作为定律不再适用时，用它作为力及质量 的定义就也不适用了。上述力及质量的定 义也是有其适用限度的。
a
mg N
F f
N
3 3( N )
G
20
例题1.3 M、m，各处光滑。求: (1) M、 m的加速度及对地的压力；
y
x: N1sin =max 解: m: y: N1cos -mg=may
N1
m
x
x: -N1sin = -MaM M: y: N2-Mg-N1cos =0
b y
17
四. 牛顿定律的应用方法
基本方法： 隔离体法 +正交分解
将每个物体从系统中分离出来 , 分别加以研 究隔离体法。
而物体间的联系用力来表示。
沿相互垂直的方向(坐标轴方向)应用牛顿第 二定律, 联立求解。
18
例题1.1 要物体m不下滑， 至少a=?(斜面与 物体m间的摩擦系数为)。
Fs m m
9
我们可以取物体A的质量作为质量单位的标准，故可 以任意定其数值为mA，利用（）式作为力的定义，再 1 由实验（a）测得的a A，即可算出弹簧对A的牵动力 F mA a A 在实验(b)中，设弹簧对B的牵动力与牵动A时一样，仍 为F，则利用（）式作为质量的定义，可算出 1 B的质量 mB＝F / aB 在实验（c）中，如果假设A与B在一起的质量mAB是分别 质量之和（即质量是可加的）：mAB＝mA＋mB 再假定牵引力仍然是F，就可以用(1)式作为定律，来预 言此时的加速度a AB为： a AB＝F / mAB F / mA＋mB a A aB / (a A aB ) (2)
质点动力学
Dynamics of a particle
第 2章
亚里仕多德
伽利略
牛顿
洛仑兹
爱因斯坦
1
§2.1 力的瞬时效应牛顿定律
一. 牛顿三大定律
•
前面讲的都是质点运动学的内容，而没有涉及 到运动的原因，没有研究不同样式的运动之间的 内在联系。动力学则是在运动学的基础上，进一 步研究引起质点运动状态发生变化的原因。 牛顿运动定律时经典力学的基础。宏观低速物 体的机械运动，都可根据牛顿定律进行解算，所 以牛顿运动定律在经典力学中占有非常重要的地 位。
mg F cos sin
F有极值的必要条件是： dF tg 0 d fk L=h/sin=2.92m时,最省力。
N m mg
L F
h
28
例题1.6 钢球m由静止从A点沿光滑半圆 形槽下滑。求滑到图示位置时钢球对槽的压 力以及钢球的an、a。 解
2 法向：N-mgcos =ma =m
14
这样，我们就说明了牛顿第二定律既是 动力学基本规律，同时又可作为质量及力 的定义的全部意义。当然，这并不排斥我 们去寻求不依赖于牛顿第二定律的关于质 量及力的定义。但是，即使我们找到了更 深入的定义，那么在牛顿第二定律适用的 范围内，新的定义也必定等价于上述定义。 因此，在牛顿第二定律适用的范围中，采 用上述定义不仅是正确的，而且是“够用” 的了。
n
A N
o
d 切向：mgsin=ma=m dt
得： a=gsin
R
(1)
(2)
R
mg
d d d mgsin m m dt d dt
29
d d d d d m m m mgsin m d R d d dt dt
A N o
N m F mg M
F=(M+m)a =(M+m)g.tg θ
y x
25
例题1.4 轻滑轮，柱m2相对绳以恒定的 加速度ao下滑，求m1 、m2相对地面的加速 度及柱与绳间的摩擦力。 解 m1: m1g -T=m1a1 m2：T- m2g =m2 a2 T即为摩擦力
T T m2 ao m2g
26
8
在一个光滑的固定桌面上，我们做三个实验。 其一，物体A与一弹簧相连，把弹簧拉长到L，然后 释放物体A，在弹簧的牵动下，A作加速运动，测量 出开始时刻的加速度a A；其二，用上述弹簧与物体B 相连，仍拉长到L，测出释放时刻的加速度aB；其三， 仍是上述弹簧，拉长到L，和捆在一起的A、B相连， 测出释放时刻的加速度a AB。 上述三个实验，只用了运动学的概念，测得了一组 数据，如果没有其他知识，我们不能得到更多的东西。 现在我们看如何用动力学来得到所测量量a A，aB，a AB 之间的联系。
0
md
2
mgRsind
1 m 2 mgRcos 2 2 由 N-mgcos =m R
简言之，牛顿第一定律断定了惯性系一 定存在。
4
2) 牛顿第二定律
F ma...(1)
即，物体所获得的加速度的大小与作用 在物体上的合外力成正比，与物体的质量成 反比，加速度的方向与和外 力的方向相同。
5
• 什么是质量？
这个问题并未解决，也曾有过各种有关 质量的定义，例如：质量是物体所含“物 质的量”。然而，这种定义没有物理的价 值。因为什么叫“物质的量”？仍然是不 确定的。物理学中，一个物理量的定义， 必须提供根据其他能够度量的量来计算它 的一套规则。
a柱对地=a柱对绳+a绳对地
即：a2= -a0 + a1
m1
a1 m 1 m2 a2 m1g
m1: m1g -T=m1a1 m2：T- m2g =m2 a2 a柱对地=a柱对绳+a绳对地 即：a2=-a0 + a1 解得
T
m1 a1 m 1 m2 a2 m1g T
( m1 m2 ) g m2 a0 a1 , m1 m2
13
4）只依靠牛顿第二定律来分析运动性质， 还是不够的，必须扩充其他假定，才可能 预测运动。在上述例子中，不仅用了式 （1），而且用了两个假定：弹簧被拉长到 同样的长度时产生同样的牵动力；质量具 有可加性。这个特点与数学不相同。数学 上的已知到求证之间，只能使用定理、定 义进行逻辑推理，不外加其他东西。但物 理上没有一个是如此。必定要补充一些外 加的假设，才能从已知测量中作出预言。 外加的假设，反映了我们对客观世界的看 法，或者说用什么模型去看客观世界，这 是物理的难点，而也正是物理学工作的精 髓。
a 水平: 竖直: 解得 N=ma N=mg a=g/
N
mg
问题：若a,N ,使 N>mg, m是否会上升呢?
19
例题1.2 m=2kg以a=3m/s2下滑, 斜面不动。 求斜面与水平面间的静摩擦力(=30)。 解
N m f
m: 平行斜面：mgsin-f=ma
垂直斜面：N=mgcos 斜面: 水平方向： fcos +F= Nsin 解得 F= macos
10
我们注意到，（2）式中只含有实验直 接可测的量（与我们任意取定的 mA 值无 关），亦即牛顿第二定律给出了从一组实 验(a),(b)的数据计算另一实验(c)的规则。 如果这样计算出来的结果与观测值符合， 就为牛顿第二定律的正确性提供了一个实 验验证。
11
• 上述理论与实验直接的全面关系告诉我们： • 1）在整个分析过程中，我们的确有时将式 （1）作为定义使用，有时又作为定律，但在每个 具体环节上都是明确的，并没有同时既作定义， 又作定律的情况，因而是不“混乱”的。理论与 实验之间由一些测量联系着，由此不难理解式（1） 既是定义又是定律，“身兼两职”的实质。 • 2）式（2）中都是实验可以直接测定的量， 也就是说，由式（1）所给出的预言是明确的，具 有可验证性或可否证性。
2
•
1) 牛顿第一定律 一自由粒子永远保持静止或匀速直线运动 的状态。 （自由粒子是指不受任何相互作用的粒子）
注意：速度和加速度都是具有相对性的，对参考 系Ｓ为 匀速运动的物体,在其他参考系中可能成为 非匀速 的。那么在某参考系看来，一个不 受力的物体也会做非匀速运动。
3
然而，牛顿第一定律的意义在于断言： 对于一个不受力的物体，一定可以选择一 个参考系，相对于该参考系，该物体做匀 速运动或静止，而且，其他所有自由运动 的物体，对于该参考系来说，也都做匀速 运动或静止。即，一定存在着这样的参考 系，相对于它，所有不受外力作用的物体 都保持自己的速度。这类特殊的参考系， 称为惯性参考系，或惯性系。
( M m ) g sin a M m sin2
( M m ) g sin ay M m sin2
2
b
y
m
N1
o
x
aM