2012年上海市嘉定区高三数学三模试卷(文科)含答案
上海市嘉定区2012年高三第三次质量调研语文试卷
嘉定区2011学年度高三年级第三次质量调研语文试卷一阅读80分(一)阅读下文，完成第1-6题。
(16分）“中庸智慧”再思考访谈嘉宾：万俊人(清华大学哲学系教授)①问：传统认为，中庸是中国特有的哲学智慧与思维方式。
究竟怎样理解中庸？②答：按照中国儒家的理解，中庸就是执两用中，即两极之间取其中。
但执中不是半斤八两式的静态结构，而是事物发展的两种极端可能性之间的动态均衡，比如人格的文质彬彬，行事的不偏不倚。
③由此可见，中庸的实现需要一种洞见，一种独特的视角，见人所未见，发人所未发。
它是一种平凡中求不平凡的方法。
所谓“无限风光在险峰”，需要人们具有很高的眼界，很敏锐的感觉，很深厚的经验知识积累，才能确定此时此地最合度的方法。
④问：在哲学思想和社会历史演变中，中庸的效力是如何体现的？⑤答：哲学史上有两种哲学家，一种是问题型的，如：尼采、维特根斯坦、海德格尔。
他们的思想比较激进，剑走偏锋，语不惊人死不休，凭借激情、想象，把问题追至极端，无所不用其极，最终寻求问题的深刻解释或解决。
问题型哲学家对于突破既定传统和思维定势所发挥的作用是不可替代的。
然而，诚如英国哲学家以赛亚·伯林所言，人类思想的进升既需要狐狸——那些问题型的哲学家，也需要刺猬——那些综合型的哲学家，比如：近代的康德、黑格尔和当代的罗尔斯。
他们不忽略任何哲学问题和观点，善于从各种哪怕是极端的哲学观点中，发现综合、整合的可能。
他们往往热衷于体系构建，立论相对中肯，即使对于他们所批判的观点，也不完全否认。
⑥不仅在哲学理论中是如此，在社会实践中也是如此。
比如战争。
战争在革命年代是必要的，但革命只是社会进程的一个方面，是被迫的选择。
纵观人类历史，革命和暴力决不是历史的常态和目标；是为革命而革命，是为建设而革命。
历史上，秦始皇统一六国当然有其历史意义，他采取了一些极端措施，但同时也需要建立秩序，以便进行有效的国家治理。
但在和平年代，稳定和谐就成为最高的政治价值，需要循序渐进。
2012年上海市高考数学试卷(文科)教师版
2012 年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14 题，满分 56 分）1．（4 分）（2012?上海）计算：= 1﹣2i（i为虚数单位）．【剖析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案【解答】解：故答案为 1﹣2i2．（ 4 分）（2012?上海）若会集 A={ x| 2x﹣1＞0} ，B={ x|| x| ＜1} ，则 A∩B= （，1）．【剖析】由题意，可先化简两个会集A， B，再求两个会集的交集获得答案【解答】解：由题意 A={ x| 2x﹣1＞0} ={ x| x＞ } ， B={ x| ﹣1＜x＜1} ，∴A∩ B=（，1）故答案为（，1）3．（4 分）（2012?上海）函数的最小正周期是π ．【剖析】先依据二阶队列式的公式求出函数的分析式，而后利用二倍角公式进行化简，最后依据正弦函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：=sinxcosx+2= sin2x+2∴ T= π=∴函数的最小正周期是π故答案为：π4．（ 4 分）（2012?上海）若，是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角的大小为 arctan（结果用反三角函数值表示）【剖析】依据直线的方向向量的坐标一般为（1，k）可得直线的斜率，依据 tan α=k，最后利用反三角可求出倾斜角．【解答】解：∵，是直l的一个方向向量∴直 l 的斜率即tanα=l 的斜角的大小arctan故答案： arctan5．（ 4 分）（2012?上海）一个高 2 的柱，底面周2π，柱的表面6π ．【剖析】求出柱的底面半径，而后直接求出柱的表面即可．【解答】解：因一个高 2 的柱，底面周2π，所以它的底面半径： 1，所以柱的表面S=2S底 +S 侧=2× 12×π+2π×2=6π．故答案： 6π．6．（4 分）（2012?上海）方程 4x2x+13=0 的解是x=log23．【剖析】依据指数的运算性可将方程4x 2x+1 3=0 形（ 2x）2 2×2x 3=0 而后将 2x看做整体解对于 2x的一元二次方程即可．+【解答】解：∵ 4x2x 13=0x2x∴（ 2 ）2×2 3=0∴（ 2x3）（2x+1） =0∵2x＞0∴2x 3=0∴x=log2 3故答案 x=log237．（4 分）（2012?上海）有一列正方体，棱成以 1 首、公比的等比数列，体分 V1， V2，⋯，V n，⋯，（ V1+V2+⋯+V n）═．【剖析】由意可得，正方体的体=是以 1 首，以公比的等比数，由等不数列的乞降公式可求【解答】解：由意可得，正方体的棱足的通a n∴=是以1首，以公比的等比数列（V1+V2+⋯+v n） ==故答案：8．（4 分）（2012?上海）在的二式睁开式中，常数等于20．【剖析】研究常数只要研究二式的睁开式的通，使得x 的指数 0，获得相的 r ，进而可求出常数．【解答】解：睁开式的通 T +1x 6﹣ r（）r=（ 1）rx6﹣ 2rr =令 6 2r=0 可得 r=3常数（ 1）3=20故答案： 209．（4 分）（2012?上海）已知 y=f（x）是奇函数，若 g（x）=f（ x）+2 且 g（ 1）=1， g（ 1）= 3．【剖析】由意 y=f（x）是奇函数， g（x）=f（x）+2 获得 g（x）+g（ x）=f（ x）+2+f（ x）+2=4，再令 x=1 即可获得 1+g（ 1）=4，进而解出答案【解答】解：由意 y=f（x）是奇函数， g（ x） =f（x）+2∴g（ x）+g（ x）=f（ x）+2+f （ x）+2=4又 g（1）=1∴1+g（ 1）=4，解得 g（ 1）=3故答案： 310．（ 4 分）（2012?上海）足束条件 | x|+ 2| y| ≤ 2 的目函数 z=y x 的最小是2．【剖析】作出束条件的平面地区，由z=y x 可得 y=x+z， z 直在 y上的截距，解决越小， z 越小，合形可求【解答】解：作出束条件的平面地区，如所示因为 z=y x 可得 y=x+z， z 直在 y 上的截距，截距越小，z 越小合形可知，当直y=x+z C z 最小，由可得C（2，0），此Z=﹣ 2 最小故答案为：﹣ 211．（ 4 分）（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的竞赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目同样的概率是（结果用最简分数表示）【剖析】先求出三个同学选择的所求种数，而后求出有且仅有两人选择的项目完全同样的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有 3×3×3=27 种有且仅有两人选择的项目完整同样有××=18种此中表示 3 个同学中选 2个同学选择同样的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有 2 种选择故有且仅有两人选择的项目完整同样的概率是=故答案为：12．（4 分）（ 2012?上海）在矩形 ABCD中，边 AB、AD 的长分别为 2、1，若 M 、N 分别是边 BC、CD上的点，且知足，则的取值范围是[ 1，4]．【剖析】先以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，成立坐标系，写出要用的点的坐标，依据两个点的地点获得坐标之间的关系，表示出两个向量的数目积，依据动点的地点获得自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数目积的范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y 轴，成立坐标系如图，∵AB=2， AD=1，∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设 M （2，b），N（x，1），∵，∴ b=∴，，=（2，），∴=，，∴ 1，即 1≤≤4故答案为： [ 1， 4]13．（4 分）（2012?上海）已知函数 y=f（x）的图象是折线段 ABC，此中 A（0，0）、，、C（1，0），函数 y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与 x 轴围成的图形的面．【剖析】先利用一次函数的分析式的求法，求得分段函数f（x）的函数分析式，而求得函数 y=xf（ x）（0≤x≤1）的函数分析式，最后利用定分的几何意和微分基本定理算所求面即可【解答】解：依意，当0≤x≤，f（ x） =2x，当＜x≤1，f（x）=2x+2，∴f（x）=，，∴y=xf（x）=，y=xf（x）（0≤x≤1）的象与 x 成的形的面S=+ = x3+（+x2）= + =故答案：14．（4 分）（2012?上海）已知，各均正数的数列 { a n} 足 a1，=1a n+2=f（a n），若 a2010=a2012， a20+a11的是．【剖析】依据，各均正数的数列{ a n} 足 a1=1，a n+2=f（a n），可确立 a1，，， a7=，，，利用 a2010 2012，可得=1=a 2010（舍去），挨次往前推获得 a20，由此可得．a ==【解答】解：∵，各均正数的数列 { a n} 足 a1，n+2（ n），=1 a =f a∴ a1，，，a7，，=1=∵a2010=a2012，∴∴ a2010=（舍去），由a2010=得a2008=⋯挨次往前推获得a20=∴a20+a11=故答案为：二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）15．（ 5 分）（2012?上海）若i 是对于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=2，c=﹣ 1C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3【剖析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0 整理后依据得数相等的充要条件获得对于实数 a，b 的方程组，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项【解答】解：由题意 1+ i 是对于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0∴1+2 i﹣ 2+b+ bi+c=0，即∴，解得 b=﹣2，c=3应选： D．16．（ 5 分）（ 2012?上海）对于实数 m ，，“ ＞”是“方程mx2+ny2=1对应的曲n mn 0线是椭圆”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】先依据 mn＞0 看可否得出方程mx2+ny2=1 的曲线是椭圆；这里能够利用举出特值的方法来考证，再看方程mx2 +ny2=1 的曲线是椭圆，依据椭圆的方程的定义，能够得出mn＞0，即可获得结论．【解答】解：当 mn＞0 时，方程 mx2+ny2=1 的曲线不必定是椭圆，比如：当 m=n=1 时，方程 mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或许是，都是m n负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充足条件；当方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆时，应有m， n 都大于 0，且两个量不相等，得到 mn ＞ 0；由上可得： “mn ＞0”是“方程 mx 2+ny 2=1 的曲 是 ”的必需不充足条件．故 ： B ．17．（ 5 分）（ 2012?上海）在△ ABC 中，若 sin 2A+sin 2B ＜sin 2C ， △ ABC 的形状是（ ）A ． 角三角形B ．直角三角形C ． 角三角形D ．不可以确立【剖析】由 sin 2A+sin 2B ＜sin 2C ， 合正弦定理可得， a 2+b 2＜c 2，由余弦定理可得CosC=可判断 C 的取 范【解答】 解：∵ sin 2A+sin 2B ＜ sin 2C ，由正弦定理可得， a 2+b 2＜c 2由余弦定理可得 cosC=＜∴ ＜ ＜∴△ ABC 是 角三角形故 ： C ．18．（5 分）（ 2012?上海）若 S n =sin +sin+⋯+sin（n ∈N * ）， 在 S 1，S 2，⋯，S 100 中，正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100【剖析】因为 sin ＞0，sin＞0，⋯sin＞ 0， sin，sin ＜ 0，⋯sin ＜=00，sin ，可获得 1 ＞0，⋯S 13 ，而 14 ，进而可获得周期性的 律，=0S=0S =0进而获得答案．【解答】解：∵sin＞ 0，sin＞0，⋯sin＞0，sin， ＜0，⋯sin ＜=0 sin0，sin=0，∴ S 1=sin ＞0，S 2=sin +sin ＞0，⋯，S 8=sin +sin +⋯sin+sin +sin =sin +⋯+sin+sin＞0，⋯，S12＞0，而 S13=sin +sin+⋯+sin+sin+sin+sin+⋯+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又 S15=S14+sin=0+sin =S1＞0，S16=S2＞0，⋯S27=S13=0，S28=S14=0，∴S14n﹣1=0，S14n=0（n∈N*），在 1，2，⋯ 100中，能被 14 整除的共 7 ，∴在 S1， S2，⋯，S100中， 0 的共有 14 ，其他都正数．故在 S1， S2，⋯，S100中，正数的个数是 86．故： C．三、解答（本大共有 5 ，分 74 分）19．（ 12 分）（ 2012?上海）如，在三棱的中点，已知∠ BAC= ，AB=2，P ABC中， PA⊥底面，PA=2，求：ABC，D 是PC（1）三棱 P ABC的体；（2）异面直 BC与 AD 所成的角的大小（果用反三角函数表示）【剖析】（ 1）第一依据三角形面公式，算出直角三角形 ABC的面：S ABC，△而后依据 PA⊥底面 ABC，合体体公式，获得三棱 P ABC的体；（ 2）取 BP 中点 E，接 AE、 DE，在△ PBC中，依据中位定理获得DE∥BC，所以∠ ADE（或其角）是异面直 BC、AD 所成的角．而后在△ ADE中，利用余弦定理获得 cos∠ ADE= ，所以∠ ADE=arccos是角，所以，异面直BC与 AD 所成的角的大小arccos ．【解答】解：（1）∵∠ BAC=，AB=2，，∴ S△ABC=×2×=又∵ PA⊥底面 ABC，PA=2∴三棱锥 P﹣ABC的体积为：V=×S△ABC×PA=；（2）取 BP 中点 E，连结 AE、 DE，∵△ PBC中， D、E 分别为 PC、PB中点∴ DE∥BC，所以∠ ADE（或其补角）是异面直线 BC、 AD 所成的角．∵在△ ADE中， DE=2，AE= ，AD=2∴ cos∠ ADE== ，可得∠ ADE=arccos （锐角）AD 所成的角的大小arccos．所以，异面直线BC与20．（ 14 分）（ 2012?上海）已知 f（x）=lg（x+1）（1）若 0＜f （1﹣2x）﹣ f（x）＜ 1，求 x 的取值范围；（2）若 g（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0≤ x≤ 1 时， g（x）=f（ x），求函数 y=g（ x）（x∈ [ 1，2] ）的反函数．【剖析】（1）应用对数函数联合对数的运算法例进行求解即可；（ 2）联合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．【解答】解：（ 1）f（1﹣2x）﹣ f（x）=lg（1﹣ 2x+1）﹣ lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数存心义，则＞由解得：﹣ 1＜x＜1．＞由 0＜lg（2﹣2x）﹣ lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞ 0，∴x+1＜ 2﹣ 2x＜10x+10，∴＜＜．＜＜由，得：＜＜．＜＜（2）当 x∈[ 1， 2] 时， 2﹣ x∈ [ 0，1] ，∴y=g（ x） =g（x﹣2）=g（ 2﹣ x） =f（2﹣x） =lg（ 3﹣x），由单一性可知 y∈[ 0，lg2] ，又∵ x=3﹣10y，∴所求反函数是 y=3﹣10x，x∈[ 0， lg2] ．21．（ 14 分）（2012?上海）海事营救船对一艘出事船进行定位：以出事船的目前地点为原点，以正北方向为 y 轴正方向成立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则营救船恰幸亏出事船正南方向 12 海里 A 处，如图，现假定：①出事船的挪动路径可视为抛物线；②定位后营救船马上沿直线匀速前去营救；③营救船出发 t 小时后，出事船所在地点的横坐标为7t（ 1）当 t=0.5 时，写出出事船所在地点P 的纵坐标，若此时两船恰巧会集，求营救船速度的大小和方向．（ 2）问营救船的时速起码是多少海里才能追上出事船？【剖析】（1）t=0.5 ，确立 P 的横坐，代入抛物方程中，可得P 的坐，利用 | AP| =，即可确立营救船速度的大小和方向；（2）营救船的速v 海里， t 小追上出事船，此地点（ 7t，12t 2），进而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可获得．【解答】解：（1）t=0.5 ， P 的横坐x P=7t=，代入抛物方程中，得 P 的坐y P=3．⋯2分由 | AP| =，获营救船速度的大小海里/．⋯4分由 tan∠OAP= ，得∠ OAP=arctan ，故营救船速度的方向北偏 arctan 弧度．⋯6分（ 2）营救船的速v 海里， t 小追上出事船，此地点（7t ，12t 2）．由 vt=，整理得．⋯分10因，当且当 t=1 等成立，所以 v2≥ 144×2+337=252，即 v≥ 25．所以，营救船的速起码是 25 海里才能追上出事船．⋯14分22．（16 分）（2012?上海）在平面直角坐系 xOy 中，已知双曲2 y2．C：2x=1（ 1） F 是 C 的左焦点， M 是 C 右支上一点，若，求点 M 的坐；（2） C 的左焦点作 C 的两条近的平行，求两平行成的平行四形的面；（ 3）斜率 k（＜）的直l交C于P、Q两点，若l与x2+y2=1相切，求： OP⊥ OQ．【剖析】（ 1）求出双曲的左焦点2（22，求F的坐， M（ x，y），利用 | MF|）+y= x+出 x 的范，推出 M 的坐．（2）求出双曲的近方程，求出直与另一条近的交点，而后求出平行四形的面．（3）直 PQ 的方程 y=kx+b，通直 PQ 与已知相切，获得 b2=k2+1，通求解=0．明 PO⊥OQ．【解答】解：（1）双曲 C1：的左焦点F（，），M （x，y）， | MF|2=（x+） 2+y2，由 M 点是右支上的一点，可知所以| MF| ==2，得x≥x=，，所以M（，）．（2）左焦点 F（，），近方程：y=± x．F 与近 y= x 平行的直方程y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求平行四形的面S=．（3）直 PQ 的方程 y=kx+b，因直 PQ与已知相切，故，即 b2=k2+1⋯①，由，得（ 2 k2）x22bkx b21=0，P（x1，y1），Q（x2， y2），，又 y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（ 1+k2）x1x2+kb（ x1+x2） +b2==．由①式可知，故 PO⊥ OQ．23．（18 分）（2012?上海）于数 m 的有数列 { a n} ， b k=max{ a1，a2，⋯，a k} （k=1，2，⋯，m），即b k a1，a2，⋯，a k中的最大，并称数列 { b n } 是{ a n} 的控制数列，如 1，3，2，5， 5 的控制数列是 1，3，3，5，5．（ 1）若各均正整数的数列{ a n} 的控制数列2，3，4，5，5，写出全部的{ a n} ．（2） { b n } 是 { a n} 的控制数列，足 a k+b m﹣k+1=C（ C 常数， k=1，2，⋯，m），求：b k=a k（k=1，2，⋯，m）．（ 3） m=100，常数 a∈（，1），a n n2n ，n}是{ a n }的控制数=a{ b列，求（ b1a1）+（b2a2）+⋯+（b100a100）．【剖析】（1）依据意，可得数列 { a n} ： 2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；（2）依意可得 b k+1≥b k，又 a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，进而可得 a k+1 a k=b m﹣k+1b m﹣k≥0，整理即得；（ 3）依据，可，a4k﹣3=a（4k3）2+（4k 3），a4k﹣2=a（4k2）2+（4k 2），a4k﹣1=a（4k 1）2（ 4k 1），a4k=a（4k）24k，通比大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞ a4k﹣2，而 a4k+1＞a4k， a4k﹣1a4k﹣2=（a 1）（8k 3），进而可求得（ b1a1）+（ b2a2）+⋯+（ b100a100）=（a2 a3）+（a6a7）+⋯+（ a98a99）=（a4k﹣2a4k﹣1）=2525（1 a）．【解答】解：（1）数列 { a n} ： 2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；⋯4分（2）∵ b k=max{ a1，a2，⋯，a k} ，b k+1=max{ a1，a2，⋯，a k+1} ，∴ b k+1≥ b k⋯6分∵ a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴ a k+1 a k=b m﹣k+1 b m﹣k≥ 0，即 a k+1≥a k，⋯8分∴b k=a k⋯ 10分（3） k=1，2，⋯25，a4k﹣3=a（4k 3）2+（4k 3）， a4k﹣2=a（ 4k 2）2+（ 4k 2），a4k﹣1=a（4k1）2（ 4k 1），a4k=a（4k）2 4k，⋯12分比大小，可得a4k﹣2＞ a4k﹣1，∵＜ a＜ 1，∴a4k﹣1 a4k﹣2=（a 1）（ 8k 3）＜ 0，即 a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k a4k﹣2=2（2a 1）（ 4k 1）＞ 0，即 a4k＞ a4k﹣2，又 a4k+1＞a4k，进而 b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2， b4k﹣1=a4k﹣2， b4k=a4k，⋯15分∴（ b1a1） +（ b2a2） +⋯+（b100a100）=（a2a3）+（a6a7） +⋯+（a98a99）=（a4k﹣2 a4k﹣1）=（1 a）（8k3）=2525（1 a）⋯ 18分。
2012学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷(文)
2012学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（文）本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟． 一．填空题（每小题4分，满分56分）1．已知C ∈x ，且42-=x ，则=x ____________． 2．方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________．3．已知集合},082{2Z ∈<-+=x x x x A ，集合},3|2|{R ∈<-=x x x B ，则=B A _________________．4．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32cos 2πx y 的单调递减区间是__________________________．5．若函数ax x y -+=12的图像关于直线x y =对称，则实数a 的值为_____________．6．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为_________________． 7．已知α、β均为锐角，且)sin()cos(βαβα-=+，则=αtan ___________．8．已知向量)sin ,(cos θθ=a ，)1,3(-=b ，则|2|b a-的最大值是___________．9．已知正数a ，b 满足1=ab ，则ba 11+的最小值为_________．10．=++++∞→2321limn nn ___________． 11．在数列}{n a 中，若21=a ，且对任意的正整数p 和q 都有q p q p a a a +=+，则8a 的值为__________．12．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥,,12,1m y x x y y 如果y x z -=的最小值是1-，则实数=m _____．13．如图，过双曲线1422=-y x 的右焦点作直线l 与 圆422=+y x 相切于点M ，l 与双曲线交于点P则=||||PF PM ________________．14．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=,0,23,0,2)(2x x x x x f 若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．“1tan =α”是“4ππα+=k （Z ∈k ）”的………………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件16．已知集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B ，分别在集合A 和B 中各取一个数，第13题图则这两个数的和为偶数的概率是……………………………………………………（ ）A ．41 B ．21 C ．43 D ．161317．将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图为…………………………（ ）A ．B ．C ．D ．18．下列区间中，函数|)3ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是…………………………（ ）A ．)2,(-∞B ．⎪⎭⎫⎝⎛-23,1 C ．)3,1( D ．)3,2(三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，在四棱锥ABCD A -中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，⊥PA 底面ABCD ，4=PA ，M 为PA 的中点．（1）求三棱锥MCD P -的体积；（2）求异面直线PC 与MD 所成角的大小．20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，某市拟在长为8千米的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数x A y ωsin =（0>A ，0>ω），]4,0[∈x 的图像，且图像的最高点为)32,3(S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定EB E B B E B 图1 BC AD EF A D BC I H GE F 图2 PA B CD M32π=∠MNP ． （1）求A ，ω的值和线段MP 的长；（2）设θ=∠PMN ，问θ为何值时，才能使折线段赛道MNP 最长？21．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）在等比数列}{n a 中，公比1≠q ，等差数列}{n b 满足311==a b ，24a b =，313a b =．（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2）求使814011121>+++n a a a 成立的最小正整数n 的值．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于点N ．（1）当l 与m 垂直时，求证：直线l 必过圆心C ；（2）当32||=PQ 时，求直线l 的方程； （3）求证：⋅是定值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R ∈x ． （1）若函数)(x f y =是偶函数，求实数a 的值； （2）若2=a ，求)(x f 的最小值；（3）对于函数)(x m y =，在定义域内给定区间],[b a ，如果存在0x （b x a <<0），满足ab a m b m x m --=)()()(0，则称函数)(x m 是区间],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数1)(2++-=mx x x g 是区间]1,1[-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．2012学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．i 2±； 2． 5； 3。
上海市格致中学2012届高考数学下学期模拟考试(三模)试题-文-沪教版【会员独享】
格致中学 2011-2012学年度第二学期高考模拟考试高三年级 数学(文科)试卷（共4页）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）。
把答案直接填写在答题卷的相应位置上。
1、23lim 23n nnnn →∞-=+________________。
2、复数2a ii+-在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a =________。
3、在ABC ∆中，若AC =，1BC =，4B π∠=，则C ∠=________。
4、在等差数列{}n a 中，18a =，435a a a =+，则此数列前n 项和的最大值为_______。
5、已知()1,a x =，()1,b x =-，若2a b -与b 垂直，则实数a =________。
6、若实数x ，y 满足不等式组120y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为_________。
7、下图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为__________。
8、如图程序框图，若实数a 的值为5，则输出k 的值为_____。
9、若二项式2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项及第六项的二项式系数相等，则其常数项为___________。
10、甲、乙两人从四门选修课中各选两门，则两人所选课中恰有一门相同的概率为______。
11、过点()且法向量为()1,λ的直线与双曲线22184x y -=仅有一个交点，则实数λ的值为____________。
班级____________姓名________________学号____________准考证号______________第8题图12、某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20，20,40，40,60，60,80，80,100。
2012年三模试卷文参考答案
2011学年嘉定区高三年级第三次模拟考试数学试卷（文科）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．}12{<<-x x ；2．2；3．π；4．12+x （0≥x ）；5．⎩⎨⎧=+=+.723,42y x y x ； 6．1-或2；7．29π；8．0；9．),3()0,(∞+-∞ ；10．2550；11．)0,1(；12．75；13．5；14．1．二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．B ；16．C ；17．B ；18．C ．三．解答题 19．（第1小题5分，第2小题7分，满分12分） （1）32432=⋅=∆ABC S ，……（1分） 2446=⨯=侧S ． ……（3分） 所以侧S S S ABC +=∆22432+=． ……（5分） （2）取1CC 中点F ，连结EF 、F A 1．因为EF ∥BC ，所以EF A 1∠就是异面直线E A 1与BC 所成角（或其补角）．……（7分）在△EF A 1中，2=EF ，2211==F A E A ，42cos 1=∠EF A ．…………（11分） 所以异面直线E A 1与BC 所成角的大小为42arccos．…………（12分） 20．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分） （1）由题设知，2=a ，2=b ，故)0,2(-M ，)2,0(-N ，所以线段MN 中点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--22,1．………………（3分） 由于直线AB 平分线段MN ，故直线AB 过线段MN 的中点，又直线AB 过坐标原点，所以22122=--=k ．…………（6分） FE CBAA 1B 1C 1（2）当2=k 时，直线AB 的方程为x y 2=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,124,222y x x y 解得32±=x ，…（8分） 从而A 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛34,32，B 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,32，……（10分）于是C 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,32．…（11分）所以直线BC 的方程为032=--y x ．…（12分）所以点A 到直线BC 的距离为3222343432=--=d ．…………（14分）21．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分） （1）由题意，3πθ+=∠BOC ，因为点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,54， 所以53sin =θ，54cos =θ，…………（3分） 所以10334235321543cos cos -=⋅-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+=∠πθBOC ．…………（6分） （2）解法一：在△BOC 中，由余弦定理，BOC OC OB OC OB BC ∠-+=cos ||||2||||||222，……（7分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3cos 22)(πθθf ．…………（10分）因为20πθ<<，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈+65,33πππθ，……（11分）所以)32,1()(+∈θf ．…………（13分）因此，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3cos 22)(πθθf （20πθ<<），)(θf 的值域是)32,1(+．（14分）解法二：由题意，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21B ，)sin ,(cos θθC ，……（7分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6s 22)c s 3(223s 21c o||222πθθθθθBC ……………………………………（10分）因为20πθ<<，所以⎪⎭⎫⎝⎛-∈-3,66πππθ，…（11分） 所以)32,1()(+∈θf ．（13分） 所以，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin 22)(πθθf （20πθ<<），)(θf 的值域是)32,1(+．（14分）22．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分） （1）由已知，2)4()12(2)(2-++=-++=x n x x n x x y ……（2分） 而函数y 在]1,0[∈x 上是增函数，……（3分） 所以12412+=-+++-=n n a n ．……（4分）（2）因为121109-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b ，所以2121109--⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b （2≥n ），………………（6分）两式相减，得2109101-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=n n b （)2≥n ．…………（8分）所以，数列}{n b 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-.109101,1,12n n n b …………（10分）（3）因为02111<-=-=b a c ，01091012>⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=-n n n c （2≥n ），……（12分） 由题意，k c 为}{n c 的最大项，则2≥k ，要使k c 为最大值，则⎩⎨⎧≥≥+-,,11k kk k c c c c ……（13分）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+----123210910210910110910109101k k k k k k k k ……（14分）解得9=k 或8=k ． …………（15分）所以存在8=k 或9，使得k n c c ≤对所有*N n ∈成立．…………（16分） 23．（第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分，满分18分） （1）由已知，方程13+=++x b xax 有且仅有一个解2=x ， ①a=0时，b=5…………（1分）②因为0≠x ，故原方程可化为0)1(22=--+a x b x ，…………（2分）所以⎩⎨⎧=+-=--08)1(02102a b b a ，…………（4分）解得8-=a ，9=b ．……（5分）（2）当0>a ，0>x 时，)(x f 在区间),0(a 上是减函数，在),(∞+a 上是增函数．…………（7分）（每个区间1分） 证明：设),(,21∞+∈a x x ，且21x x <，112212)()(x ax x a x x f x f --+=-212112)(x x a x x x x -⋅-=， 因为),(,21∞+∈a x x ，且21x x <，所以012>-x x ，a x x >21，即a x x >21， 所以0)()(12>-x f x f ．………………（10分） 所以)(x f 在),(∞+a 上是增函数．…………（11分） （3）因为10)(≤x f ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 时有10)(max ≤x f ，……（12分） 由（2），知)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41的最大值为⎪⎭⎫⎝⎛41f 与)1(f 中的较大者．……（13分） 所以，对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式10)(≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 上恒成立，当且仅当 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛10)1(1041f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a b a b 94439对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a 成立．…………（15分） 从而得到47≤b ． …………（17分） 所以满足条件的b 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛∞-47,． …………（18分）。
上海市高考数学试卷文科答案与解析
2012 年上海市高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）1．（ 4 分）（ 2012?上海）计算：= 1﹣ 2i（i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣ i ，再由进行计算即可获取答案解答：解：故答案为1﹣ 2i评论：本题观察复数代数形式的乘除运算，解题的要点是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数观察的重要内容，要熟练掌握2．（ 4 分）（ 2012?上海）若会合 A={x|2x ﹣ 1＞ 0} ，B={x||x| ＜ 1} ，则 A ∩B=（，1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，可先化简两个会合 A ，B ，再求两个会合的交集获取答案解答：解：由题意 A={x|2x﹣ 1＞ 0}={x|x ＞ } ， B={x| ﹣ 1＜ x＜ 1} ，∴A∩B= （， 1）故答案为（， 1）评论：本题观察交的运算，是会合中的基本题型，解题的要点是熟练掌握交集的定义3．（ 4 分）（ 2012?上海）函数的最小正周期是π ．考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：先依据二阶行列式的公式求出函数的分析式，尔后利用二倍角公式进行化简，最后依据正弦函数的周期公式进行求解即可．解答：解：=sinxcosx+2= sin2x+2∴ T==π∴ 函数的最小正周期是π故答案为： π评论：本题主要观察了二阶行列式，以及三角函数的化简和周期的求解，同时观察了运算求解能力，属于基础题．4．（ 4 分）（ 2012?上海）若 是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点 ：平面向量坐标表示的应用． 专题 ：计算题．分析：依据直线的方向向量的坐标一般为（ 1，k ）可得直线的斜率，依据 tan α=k ，最后利用反三角可求出倾斜角．解答：解： ∵ 是直线 l 的一个方向向量∴ 直线 l 的斜率为即 tan α=则 l 的倾斜角的大小为arctan故答案为： arctan评论：本题主要观察了直线的方向向量， 解题的要点是直线的方向向量的坐标一般为 （ 1，k ），同时考了反三角的应用，属于基础题．5．（ 4 分）（ 2012?上海）一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π，该圆柱的表面积为6π ．考点 ：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ． 专题 ：计算题．分析：求出圆柱的底面半径，尔后直接求出圆柱的表面积即可． 解答：解：由于一个高为2 的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为： 1，所以圆柱的表面积为 S=2S 底 +S 侧 =2×12×π+2π×2=6 π．故答案为： 6π．评论：本题观察旋转体的表面积的求法，观察计算能力．6．（ 4 分）（ 2012?上海）方程 4x ﹣ 2x+1﹣ 3=0 的解是 x=log 23 ．考点 ：有理数指数幂的运算性质． 专题 ：计算题．分析：依据指数幂的运算性质可将方程4x ﹣2x+1﹣ 3=0 变形为（ 2x ） 2﹣ 2×2x ﹣ 3=0 尔后将 2xx看做整体解关于 2 的一元二次方程即可．x2x∴ （2 ） ﹣ 2×2 ﹣3=0∵2x＞ 0∴ 2x3=0∴x=log 2 3故答案x=log 23点：本主要考差了利用指数的运算性解有关指数型的方程．解的关是要将方程 4x2x+13=0 等价形（ 2x）22×2x3=0 尔后将 2x看做整体再利用因式分解解关于 2x的一元二次方程．7．（ 4 分）（ 2012?上海）有一列正方体，棱成以 1 首、公比的等比数列，体分V 1， V2，⋯，V n，⋯，（ V 1+V 2+⋯+V n）═．考点：数列的极限；棱柱、棱、棱台的体．：算．分析：由意可得，正方体的体=是以1首，以公比的等比数，由等不数列的乞降公式可求解答：解：由意可得，正方体的棱足的通a n∴=是以1首，以公比的等比数列（ V1+V 2+⋯+v n） ==故答案：点：本主要考了等比数列的乞降公式及数列极限的求解，属于基8．（ 4 分）（ 2012?上海）在的二式张开式中，常数等于20．考点：二式定理的用．：算．分析：研究常数只需研究二式的张开式的通，使得x 的指数0，获取相的 r，从而可求出常数．解答：解：张开式的通T r+16﹣ r（）rr6﹣2r令 6 2r=0 可得 r=3=x=（ 1）x常数（ 1）3= 20故答案：20点：本主要考了二式定理的用，解的关是写出张开式的通公式，同考了计算能力，属于基础题．9．（ 4 分）（ 2012?上海）已知 y=f （ x）是奇函数，若 g（ x）=f （ x） +2 且 g（ 1） =1，则 g （﹣1）= 3 ．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意 y=f （ x）是奇函数， g（ x）=f （ x） +2 获取 g（ x）+g（﹣ x）=f （ x） +2+f （﹣x） +2=4 ，再令 x=1 即可获取 1+g （﹣ 1） =4，从而解出答案解答：解：由题意 y=f （ x）是奇函数， g（ x） =f （ x） +2∴g（ x） +g（﹣ x） =f （ x） +2+f （﹣ x） +2=4又 g（ 1） =1∴1+g（﹣ 1） =4，解得 g（﹣ 1） =3故答案为： 3评论：本题观察函数奇偶性的性质，解题的要点是利用性质获取恒建立的等式，再利用所得的恒等式经过赋值求函数值10．（ 4 分）（ 2012?上海）满足拘束条件|x|+2|y|≤2 的目标函数z=y﹣ x 的最小值是﹣2．考点：简单线性规划．分析：作出拘束条件对应的平面地域，由z=y﹣ x 可得 y=x+z ，则 z 为直线在 y 轴上的截距，解决越小， z 越小，结合图形可求解答：解：作出拘束条件对应的平面地域，以下列图由于 z=y﹣ x 可得 y=x+z ，则 z 为直线在y 轴上的截距，截距越小，z 越小结合图形可知，当直线y=x+z 过 C 时 z 最小，由可得C（2，0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2评论：借助于平面地域特点，用几何方法办理代数问题，表现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，平时是利用平移直线法确立．11．（4 分）（ 2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的竞赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目同样的概率是（结果用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本领件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，尔后求出有且仅有两人选择的项目完整同样的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有 3×3×3=27 种有且仅有两人选择的项目完整同样有××=18种此中表示 3 个同学中选 2 个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有 2 种选择故有且仅有两人选择的项目完整同样的概率是=故答案为：评论：本题主要观察了古典概型及其概率计算公式，解题的要点求出有且仅有两人选择的项目完整同样的个数，属于基础题．12．（ 4 分）（ 2012?上海）在矩形ABCD 中，边 AB 、AD 的长分别为2、 1，若 M 、 N 分别是边 BC、 CD 上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．考点：平面向量数目积的运算．专题：计算题．分析：先以所在的直线为x 轴，以所在的直线为x 轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，依据两个点的地址获取坐标之间的关系，表示出两个向量的数目积，依据动点的地址获取自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数目积的范围．解答：解：以所在的直线为x 轴，以所在的直线为x 轴，建立坐标系如图，∵AB=2 ， AD=1 ，∴A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 1）， D（ 0，1），设 M （ 2，b）， N（ x， 1），∵，∴b=∴，=（ 2，），∴=，∴ 1，即 1≤≤4故答案为： [1， 4]评论：本题主要观察平面向量的基本运算，看法，平面向量的数目积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数目积的范围，本题是一此中档题目．13．（4 分）（ 2012?上海）已知函数y=f（ x）的图象是折线段ABC ，此中A（ 0，0）、、C（ 1， 0），函数 y=xf （ x）（ 0≤x≤1）的图象与x 轴围成的图形的面积为．考点：分段函数的分析式求法及其图象的作法．专题：计算题；压轴题．分析：先利用一次函数的分析式的求法，求得分段函数f（ x）的函数分析式，从而求得函数 y=xf （ x）（ 0≤x≤1）的函数分析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可解答：解：依题意，当0≤x≤时， f （ x）=2x ，当＜ x≤1 时， f（ x） =﹣ 2x+2∴f（ x） =∴y=xf （x） =y=xf（ x）（ 0≤x≤1）的象与x 成的形的面S=+= x 3+（+x2）= + =故答案：点：本主要考了分段函数分析式的求法，定分的几何意，利用微分基本定理和运算性算定分的方法，属基14．（ 4 分）（ 2012?上海）已知，各均正数的数列{a n} 足a1=1，a n+2=f（ a n），若 a2010=a2012， a20+a11的是．考点：数列与函数的合．：合；．分析：依据，各均正数的数列{a n1n+2n1，} 足 a =1， a =f （a），可确立 a =1，=，，，利用 a=a，可得 a =（，a7201020122010舍去），挨次往前推获取a20=，由此可得．解答：解：∵，各均正数的数列{a n1n+2n} 足 a =1， a=f （ a ），∴ a =1，，， a = ，，17∵a2010=a2012，∴∴ a2010=（舍去），由a2010=得a2008=⋯挨次往前推获取a20=∴a20+a11=故答案：点：本主要考数列的看法、成和性、同考函数的看法．理解条件a n+2=f（a n），是解决的关，本合性，运算量大，属于中高档．二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）15．（ 5 分）（ 2012?上海）若 i 是关于 A ．b=2， c=3 B ． b=2， c=﹣1 x 的实系数方程 x 2+bx+c=0 C ． b=﹣2， c=﹣1的一个复数根， 则（D ． b=﹣2， c=3）考点 ：复数代数形式的混杂运算；复数相等的充要条件．专题 ：计算题． 2分析：由题意，将根代入实系数方程x +bx+c=0 整理后依据得数相等的充要条件获取关于实数 a ， b 的方程组，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i 是关于x 的实系数方程 x 2+bx+c=0∴ 1+2i ﹣ 2+b+ bi+c=0 ，即∴，解得 b=﹣ 2，c=3应选 D评论：本题观察复数相等的充要条件，解题的要点是熟练掌握复数相等的充要条件，能依据它获取关于实数的方程，本题观察了转变的思想，属于基本计算题16．（ 5 分）（ 2012?上海）关于常数 m 、n ，“mn ＞ 0”是“方程 mx 2+ny 2=1 的曲线是椭圆 ”的（ ） A ．充 分不用要条件 B ． 必需不充分条件C ． 充分必需条件D ．既 不充分也不用要条件考点 ：必需条件、充分条件与充要条件的判断．专题 ：老例题型．分析：先依据 mn ＞ 0 看能否得出方程 mx 22+ny =1 的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来考据， 再看方程 mx 2+ny 2=1 的曲线是椭圆， 依据椭圆的方程的定义， 可以得出mn ＞ 0，即可获取结论．22的曲线不必定是椭圆，解答：解：当 mn ＞ 0 时，方程 mx +ny =1比方：当 m=n=1 时，方程 mx 2+ny 2=1 的曲线不是椭圆而是圆；也许是 m ， n 都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程 mx 2+ny 2=1 的曲线是椭圆时， 应有 m ，n 都大于 0，且两个量不相等， 获取 mn ＞ 0；由上可得： “mn ＞0”是 “方程 mx 2+ny 2=1 的曲线是椭圆 ”的必需不充分条件． 应选 B ．评论：本题主要观察充分必需条件，观察椭圆的方程，注意关于椭圆的方程中，系数要满足大于 0 且不相等，本题是一个基础题．17．（ 5 分）（ 2012?上海）在 △ ABC 中，若 sin 2A+sin 2 B ＜ sin 2C ，则 △ ABC 的形状是（ A ．钝 角三角形 B ． 直角三角形 C ． 锐角三角形 D ． 不可以确立）考点 ：三角形的形状判断．：三角函数的 像与性 ． 分析：利用正弦定理将sin 2A+sin 2B ＜ sin 2C ， 化 a 2+b 2＜ c 2，再 合余弦定理作出判断即可．解答：解： ∵在 △ ABC 中， sin 2A+sin 2B ＜ sin 2C ，由正弦定理===2R 得，222a +b ＜c ，又由余弦定理得： cosC=＜ 0， 0＜C ＜π，∴＜ C ＜π．故 △ ABC 角三角形． 故 A ．点 ：本 考 三角形的形状判断，侧重考 正弦定理与余弦定理的 用，属于基 ．18．（ 5 分）（ 2012?上海）若（ n ∈N *）， 在 S1， S 2， ⋯，S 中，正数的个数是（）100A ．16B ． 72C ． 86D ． 100考点 ：数列与三角函数的 合．： 算 ； 合 ； ．分析：由于 sin ＞ 0， sin＞ 0， ⋯sin＞ 0， sin=0， sin ＜ 0， ⋯sin ＜ 0，sin=0，可获取 11314，从而可获取周期性的 律，从而得S ＞0， ⋯S ＞0，而 S=0到答案．解答：解： ∵ sin ＞ 0， sin ＞ 0， ⋯sin ＞ 0， sin =0， sin ＜ 0， ⋯sin ＜0，sin=0，∴ S 1=sin ＞ 0，S 2=sin+sin ＞ 0，⋯， S 8=sin +sin+⋯sin+sin+sin=sin+⋯+sin+sin＞ 0，⋯，S 12＞ 0，而 S 13=sin +sin+⋯+sin+sin+sin+sin+⋯+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0 ，又 S15=S14+sin=0+sin=S1＞ 0， S16=S2＞0，⋯S27=S13=0， S28=S14=0，∴S14n﹣1=0， S14n=0（ n∈N* ），在 1，2，⋯100 中，能被 14 整除的共 7 ，∴在 S1， S2，⋯，S100中， 0 的共有 14 ，其他都正数．故在 S1， S2，⋯，S100中，正数的个数是86．故 C．点：本考数列与三角函数的合，通分析 sin的符号，找出 S1，S2，⋯，S100中，S14n﹣1=0，S14n=0 是关，也是点，考学生分析运算能力与沉稳持的度，属于．三、解答（本大共有 5 ，分74 分）19．（ 12 分）（ 2012?上海）如，在三棱P ABC中， PA⊥底面ABC ，D是 PC的中点，已知∠ BAC=， AB=2 ，， PA=2 ，求：（1）三棱 P ABC 的体；（2）异面直 BC 与 AD 所成的角的大小（果用反三角函数表示）考点：异面直及其所成的角；棱柱、棱、棱台的体．：常型；合．分析：（ 1）第一依据三角形面公式，算出直角三角形ABC 的面： S△ABC =，尔后依据 PA⊥底面 ABC ，合体体公式，获取三棱P ABC 的体；（ 2）取 BP 中点 E，接 AE 、DE，在△ PBC 中，依据中位定理获取DE ∥ BC，所以∠ ADE （或其角）是异面直BC 、 AD 所成的角．尔后在△ADE 中，利用余弦定理获取 cos∠ ADE=，所以∠ADE=arccos是角，所以，异面直BC与AD 所成的角的大小 arccos．解答：解：（ 1）∵ ∠ BAC=， AB=2 ，，∴S△ABC= ×2×=又∵ PA⊥底面 ABC ， PA=2∴三棱锥 P﹣ ABC 的体积为： V=×S△ABC×PA=；（2）取 BP 中点 E，连接 AE 、DE ，∵△ PBC 中， D、 E 分别为 PC、 PB 中点∴ DE∥ BC ，所以∠ ADE （或其补角）是异面直线BC、 AD所成的角．∵在△ADE 中， DE=2 ， AE=，AD=2∴ cos∠ ADE==，可得∠ ADE=arccos（锐角）所以，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．评论：本题给出一个特别的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体，观察了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点，属于基础题．20．（ 14 分）（ 2012?上海）已知 f （ x） =lg （ x+1）（1）若 0＜ f （1﹣ 2x）﹣ f（ x）＜ 1，求 x 的取值范围；（2）若 g（ x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0≤x≤1 时，g（ x）=f（ x），求函数 y=g（ x）（ x∈[1，2] ）的反函数．考点：函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（ 1）应用对数函数结合对数的运算法规进行求解即可；（ 2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（ 1） f（ 1﹣ 2x）﹣ f（ x） =lg （ 1﹣2x+1 ）﹣ lg （x+1 ） =lg （ 2﹣2x ）﹣ lg （ x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣ 1＜ x＜ 1．由 0＜ lg（ 2﹣ 2x ）﹣ lg（x+1 ） =lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞ 0，∴x+1＜ 2﹣ 2x＜ 10x+10，∴．由，得： ．（ 2）当 x ∈[1， 2]时， 2﹣x ∈[0， 1]，∴ y=g （ x ） =g （x ﹣ 2） =g （ 2﹣ x ）=f （2﹣ x ） =lg （3﹣ x ），由单调性可知 y ∈[0， lg2] ，y又 ∵ x=3﹣ 10 ，∴ 所求反函数是 y=3 ﹣ 10x，x ∈[0， lg2] ．评论：本题观察对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14 分）（ 2012?上海）海事营救船对一艘出事船进行定位： 以出事船的当前地址为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度） ，则营救船恰幸好失事船正南方向 12 海里 A 处，如图，现假设：① 出事船的挪动路径可视为抛物线；② 定位后营救船立刻沿直线匀速前去营救；③ 营救船出发 t 小时后，出事船所在地址的横坐标为 7t（ 1）当 t=0.5 时，写出出事船所在地址 P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求营救船速度的大小和方向．（ 2）问营救船的时速最少是多少海里才能追上出事船？考点 ：圆锥曲线的综合．专题 ：应用题．分析：（ 1） 时，确立 P 的横坐标，代入抛物线方程中，可得 P 的纵坐标，利用 |AP|=，即可确立营救船速度的大小和方向；（ 2）设营救船的时速为 v 海里，经过 t 小时追上出事船，此时地址为（7t ， 12t 2），从而可得 vt=，整理得，利用基本不等式，即可获取结论．解答：解：（ 1） ， P 的横坐 x P =7t= ，代入抛物 方程 中，得 P 的 坐y P=3 ． ⋯2 分由 |AP|=，获营救船速度的大小海里 / ． ⋯4 分由 tan ∠ OAP= ，得 ∠ OAP=arctan，故营救船速度的方向 北偏arctan 弧度． ⋯6分7t ， 12t 2）．（ 2） 营救船的 速 v 海里， t 小 追上出事船，此 地址 （由 vt=，整理得．⋯10 分因，当且 当 t=1 等号建立，所以v 2 ≥144×2+337=252，即 v ≥25．所以，营救船的 速最少是 25 海里才能追上出事船．⋯14 分点 ：本 主要考 函数模型的 与运用． 合适的函数模型是解决此 的关 ，属于中档 ．22．（ 16 分）（ 2012?上海）在平面直角坐 系 xOy 中，已知双曲 22C ： 2x y =1 ． （1） F 是 C 的左焦点， M 是 C 右支上一点，若 ，求点 M 的坐 ；（ 2） C 的左焦点作 C 的两条 近 的平行 ， 求 两 平行 成的平行四 形的面 ；（ 3） 斜率 k （）的直 l 交 C 于 P 、 Q 两点，若 l 与 x 2+y 2=1 相切，求 ： OP ⊥ OQ ．考点 ：直 与 曲 的 合 ；直 与 的地址关系；双曲 的 性 ． ： 算 ； 合 ； ； 化思想．分析：F 的坐 ， M （x ， y ），利用 |MF| 2=（ x+） 2+y 2，求（ 1）求出双曲 的左焦点 出 x 的范 ，推出M 的坐 ．（ 2）求出双曲 的 近 方程，求出直 与另一条 近 的交点，尔后求出平行四 形的面 ．（ 3） 直 PQ 的方程 y=kx+b ，通 直 PQ 与已知 相切，获取 22b =k +1，通求解=0． 明 PO ⊥OQ ．解答：解：（ 1）双曲C 1：的左焦点 F （），M （ x ，y ）， |MF|2=（ x+） 2+y 2，由 M 点是右支上的一点，可知x ≥，所以 |MF|==2，得 x=，所以 M （）．（ 2）左焦点F（），近方程：y=±x．F 与近y=x 平行的直方程y=（ x+），即y=，所以，解得．所以所求平行四形的面S=．（3）直 PQ 的方程 y=kx+b ，因直 PQ 与已知相切，故，即 b 2=k2+1⋯①，由，得（2k2） x22bkx b21=0 ，P（x1， y1）， Q（ x2，y2），，又 y1 y2=（ kx 1+b ）（kx 2+b）．所以=x 1x2+y 1y2=（ 1+k 2） x1x2+kb（ x1+x 2）+b2==．由① 式可知，故 PO⊥ OQ．点：本考直与曲的合，曲的合，向量的数目的用，而不求的解方法，点到直的距离的用，考分析解决的能力，考算能力．23．（ 18 分）（ 2012?上海）于数m 的有数列 {a n} ， b k=max{a 1，a2，⋯，a k}（k=1 ，2，⋯，m），即 b k a1，a2，⋯， a k中的最大，并称数列{b n} 是 {a n} 的控制数列，如1， 3，2， 5， 5 的控制数列是1， 3，3， 5， 5．（1）若各均正整数的数列{a n} 的控制数列2，3， 4， 5，5，写出全部的{a n} ．（2） {b n} 是 {a n} 的控制数列，足 a k+b m﹣k+1 =C（ C 常数， k=1，2，⋯，m），求： b k=a k （k=1 ， 2，⋯， m）．（3） m=100，常数 a∈（，1），a n=a n 2n， {b n} 是 {a n} 的控制数列，求（ b1a1） +（ b2a2） +⋯+（ b100a100）．考点：数列的用．：合；；点列、数列与数学法．分析：（ 1）依据意，可得数列{a n} ： 2， 3，4，5，1；2， 3， 4，5，2；2，3， 4，5， 3；2， 3，4， 5， 4，； 2， 3，4， 5， 5；（2）依意可得 b k+1≥b k，又 a k+b m﹣k+1=C， a k+1+b m﹣k=C，从而可得 a k+1 a k=b m﹣k+1b m﹣k≥0，整理即得；（ 3）依据，可，a4k﹣3=a（4k3）2+（ 4k 3），a4k﹣2=a（ 4k 2）2+（ 4k 2），a4k﹣1=a（ 4k 1）2（ 4k 1），a4k=a（ 4k）24k，通比大小，可得 a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞ a4k﹣2，而 a4k+1＞ a4k，a4k﹣1a4k﹣2=（ a 1）（ 8k 3），从而可求得（ b1a1）+（ b2a2）+⋯+（ b100a100）=（ a2a3）+（ a6a7）+⋯+（a 98a99）=（a4k﹣2a4k﹣1）=2525（1 a）．解答：解：（ 1）数列 {a n} ： 2，3，4， 5，1；2，3，4，5， 2；2，3， 4，5，3； 2，3，4， 5，4，； 2，3， 4， 5， 5；⋯4 分（2）∵b k=max{a 1， a2，⋯， a k} ， b k+1=max{a 1， a2，⋯， a k+1} ，∴ b k+1≥b k⋯6 分∵a k+b m﹣k+1 =C， a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1 a k=b m﹣k+1 b m﹣k≥0，即 a k+1≥a k，⋯8 分∴b k=a k⋯10 分（3） k=1 ， 2，⋯25，a4k﹣3=a（ 4k 3）2+（ 4k 3）， a4k﹣2=a（4k 2）2+（ 4k 2），a4k﹣1=a（ 4k 1）2（ 4k 1）， a4k=a（ 4k）24k，⋯12 分比大小，可得a4k﹣2＞ a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1 a4k﹣2=（a 1）（ 8k 3）＜ 0，即 a4k﹣2＞ a4k﹣1；a4k a4k﹣2=2 （2a 1）（ 4k 1）＞ 0，即 a4k＞ a4k﹣2，又 a4k+1＞a4k，从而 b4k﹣3=a4k﹣3， b4k﹣2=a4k﹣2， b4k﹣1=a4k﹣2， b4k=a4k，⋯15 分∴（ b1a1） +（ b2a2） +⋯+（ b100a100）=（ a2a3）+（ a6a7）+⋯+（ a98a99）=（ a4k﹣2 a4k﹣1）=（ 1 a）（ 8k 3）=2525 （ 1 a）⋯18 分点：本考数列的用，侧重考分析，抽象看法的理解与合用的能力，（3）察，分析找律是点，是．。
2012学年第一学期嘉定区高三数学质量调研卷(文)
2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题：（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若i ii z +=11（i 为虚数单位），则=z ___________． 2．已知集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ，},01{R ∈<+=x x x B ， 则=B A I ___________．3．函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最小正周期是___________．4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是___________． 5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数， 则公差d 的取值范围是___________．6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的 值为___________．7．小王同学有5本不同的语文书和4本不同的英语书，从中任取2本，则语文书和英语书各有1本的概率为___________（结果用分数表示）．8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是___________． 9．动点P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，则动点P 的轨迹方程为___________．开始结束输出是否（第6题图）10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足5522cos=A ，3=⋅AC AB ，则△ABC 的面积为___________．11．已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△ABC 的面积，则=∞→n n S lim ___________．12．给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心、||为半径的劣弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、R ∈y ，则22)1(-+y x 的最大值为___________．13．设a 、R ∈b ，且2-≠a ，若定义在区间),(b b -内的函数xaxx f 211lg )(-+=是奇函数，则b a 的取值范围是___________．14．在数列}{n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*N ∈n 满足n T n a a =+，则称}{n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列}{n x 满足11=x ，a x =2（1≤a ），||12n n n x x x -=++，当数列}{n x 的周期为3时，则}{n x 的前2013项的和=2013S ___________．二、选择题：（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知R ∈x ，条件p ：x x <2，条件q ：11≥x，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．以下说法错误的是（ ）A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πC ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π17．设函数)(x f 是偶函数，当0≥x 时，42)(-=xx f ，则0)2({>-x f x }等于（ ）A ．2{-<x x 或}2>x ；B ．2{-<x x 或}4>xC ．0{<x x 或}6>x ；D ．0{<x x 或}4>x ．18．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，c by ax ++=111δ，c by ax ++=222δ．有四个命题：①若021>δδ，则点M 、N 一定在直线l 的同侧；②若021<δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧； ③若021=+δδ，则点M 、N 一定在直线l 的两侧；④若2221δδ>，则点M 到直线l 的距离大于点N 到直线l 的距离．上述命题中，全部真命题的序号是（ ）A ．① ② ③；B ．① ② ④；C ．② ③ ④；D ．① ② ③ ④．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ．（1）求三棱锥ABC P -的体积V ；（2）求异面直线AB 与PC 所成角的大小．PABC21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知椭圆171622=+y x 的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ．设过点),(m t T 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点),(11y x M 、),(22y x N ，其中0>m ，01>y ，02<y ．（1）设动点P 满足3||||22=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）若31=x ，212=x ，求点T 的坐标．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）写出一个正整数m ，使得91+m a 是数列}{n b 的项；（3）设数列}{n c 的通项公式为ta a c n nn +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知R ∈a ，函数||)(a x x x f -⋅=．x O MB N yA TF·（1）当2=a 时，写出函数)(x f 的单调递增区间（不必证明）； （2）当2>a 时，求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值；（3）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最小值又有最大值，请分别求出m 、n 的取值范围（用a 表示）．2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．i -2 2．}12{-<<-x x 3．π 4．25．⎥⎦⎤ ⎝⎛710,45 6．37 7．95 8．42R π 9．y x 42= 10．2 11．2512．2 13．]2,1( 14．1342二．选择题（每小题5分，满分20分）15．A 16．C 17．D 18．B三．解答题 19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分） 所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分） 20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）（1）因为⊥PA 底面ABC ，所以三棱锥ABC P -的高PA h =，…………（3分）所以，34213131=⋅⋅⋅⋅==PA BC AC Sh V ．…………（6分） （2）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ，连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ，所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或其补角）．…………（2分）连结AG ，则522=+=CG AC AG ，……（3分）622=+=AG EA EG ， …………（4分）G P ABCFE又22==PC AB ，所以2==FG EF ．…………（5分）在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7分） 故︒=∠120EFG ．所以异面直线AB 与PC 所成角的大小为︒60．…………（8分）21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）由已知，)0,4(B ，)0,3(F ，…………（1分）设),(y x P ，……（2分） 由3||||22=-PB PF ，得3])4[(])3[(2222=+--+-y x y x ，…（5分） 化简得，5=x ．所以动点P 的轨迹是直线5=x ．……（6分）（2）将),3(1y M 和⎪⎭⎫⎝⎛2,21y N 代入171622=+y x 得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+17641171692221y y ，……（1分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6444116492221y y ，……（2分）因为01>y ，02<y ，所以471=y ，8212-=y ．…………（3分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛47,3M ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-821,21N ．…………（4分） 又因为)0,4(-A ，)0,4(B ， 所以直线MA 的方程为)4(41+=x y ，直线NB 的方程为)4(43-=x y ．……（5分） 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)4(43)4(41x y x y ，…………（6分）解得⎩⎨⎧==38y x ．…………（7分） 所以点T 的坐标为)3,8(．……（8分）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） （1）设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知，有⎩⎨⎧=+=+9333416211d a d a ，……（2分）解得11=a ，2=d ，…………（3分）所以}{n a 的通项公式为12-=n a n （*N ∈n ）．…………（4分） （2）当1=n 时，1111b T b -==，所以211=b ．……（1分） 由n n b T -=1，得111++-=n n b T ，两式相减，得11++-=n n n b b b ， 故n n b b 211=+，……（2分） 所以，}{n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以nn b ⎪⎭⎫⎝⎛=21．……（3分）)4(2182191+=+=+m m a m ，…………（4分）要使91+m a 是}{n b 中的项，只要n m 24=+即可，可取4=m ．…………（6分）（只要写出一个m 的值就给分，写出42-=n m ，*N ∈n ，3≥n 也给分） （3）由（1）知，tn n c n +--=1212，…………（1分）要使1c ，2c ，k c 成等差数列，必须k c c c +=122，即tk k t t +--++=+12121136，…………（2分） 化简得143-+=t k ．…………（3分）因为k 与t 都是正整数，所以t 只能取2，3，5．…………（4分）当2=t 时，7=k ；当3=t 时，5=k ；当5=t 时，4=k ．…………（5分）综上可知，存在符合条件的正整数t 和k ，所有符合条件的有序整数对),(k t 为：)7,2(，)5,3(，)4,5(．…………（6分）23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）（1）当2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥--=-⋅=2,1)1(2,1)1(|2|)(22x x x x x x x f ，…………（2分）所以，函数)(x f 的单调递增区间是]1,(-∞和),2[∞+．…………（4分） （2）因为2>a ，]2,1[∈x 时，42)()(222a a x ax x x a x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=-⋅=．…………（1分） 当2321≤<a ，即32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f ．…………（3分） 当232>a ，即3>a 时，1)1()(min -==a f x f ．…………（5分） 所以，⎩⎨⎧>-≤<-=3,132,42)(min a a a a x f ．…………（6分）（3）⎩⎨⎧<-≥-=a x x a x ax a x x x f ,)(,)()(．…………（1分）①当0>a 时，函数的图像如图所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 解得a x 221+=，……（1分） 所以20am <≤，a n a 221+≤<．……（4分） ②当0<a 时，函数的图像如图所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 解得a x 221+=，……（5分） 所以，a m a <≤+221，02≤<n a．……（8分） OxyOxy。
嘉定区2012届高三年级第一次质量调研数学试卷(理)
2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将学校、班级、姓名等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷上的答案一律无效．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若C z ∈，且i z i 2)1(=⋅-，则=z ____________．2．在等差数列}{n a 中，35=a ，26-=a ，则}{n a 的前10项和=10S ___________． 3．函数xx x f 11)(=（0≥x ）的反函数=-)(1x f ___________________．4．方程1)21(log 2-=-x 的解=x __________．5．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点)1,2(A ，),5(y B ，若AB OA ⊥，则=y _____．6．已知集合}3||{<=x x A ，}023{2>+-=x x x B ，则集合A x x ∈{且}B A x ∉=___________________．7．若某校老、中、青教师的人数分别为80、160、240，现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，则应抽取的中年教师的人数为_____________．8．若双曲线122=-ky x 的焦点到渐近线的距离为22， 则实数k 的值为____________．9．在一个小组中有5名男同学，4名女同学，从中任意 挑选2名同学参加交通安全志愿者活动，那么选 到的2名都是女同学的概率为_____________ （结果用分数表示）．10．如图所示的算法框图，则输出S 的值是_________．否1←S 结束开始10←k 输出S 1-←k k是k S S ⨯← 8≤k11．一个扇形的半径为3，中心角为2π，将扇形以一条半径所在直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_________________． 12．函数x x x f cos )(2-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 的值域是________________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆 222r y x =+（0>r ）内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OB b OA a OP ⋅+⋅=（a 、R b ∈），则a 、b 满足的一个等式是______________________．14．将正整数排成三角形数表：1 2，3 4，5，6 7，8，9，10……按上面三角形数表排成的规律，数表中第n 行所有数的和为______________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若集合}4,3,2,1{=P ，},50{R x x x Q ∈<<=，则“P x ∈”是“Q x ∈”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．二次函数c bx ax y ++=2中，0<ac ，则函数的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．0D ．无法确定 17．若0<ab ，且0>+b a ，则以下不等式中正确的是（ ） A ．011<+ba B ．b a -> C ．22b a < D ．||||b a > 18．直线01cos =-+y x θ（R ∈θ且πθk ≠，Z k ∈）与圆12222=+y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定A BC DOyx三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，41==AA AC ，︒=∠90ABC ． （1）求三棱柱111C B A ABC -的表面积S ；（2）求异面直线B A 1与AC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，设A 是圆122=+y x 和x 轴正半轴的交点，P 、Q 是圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，α=∠AOQ ，),0[πα∈．（1）若点Q 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛54,53，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值； （2）设函数OQ OP f ⋅=)(α，求)(αf 的值域．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． 已知曲线C 的方程为122=+ay x （R a ∈）． （1）讨论曲线C 所表示的轨迹形状；（2）若1-≠a 时，直线1-=x y 与曲线C 相交于两点M ，N ，且2||=MN ，求曲线C的方程．A B C A 1 B 1 C 1 Oy P QxA22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．定义1x ，2x ，…，n x 的“倒平均数”为nx x x n+++ 21（*N n ∈）．（1）若数列}{n a 前n 项的“倒平均数”为421+n ，求}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足：当n 为奇数时，1=n b ，当n 为偶数时，2=n b ．若n T 为}{n b 前n 项的倒平均数，求n n T ∞→lim ；（3）设函数x x x f 4)(2+-=，对（1）中的数列}{n a ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n a x f n对任意*N n ∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数)(||)(a x x x f -⋅=． （1）判断)(x f 的奇偶性；（2）设函数)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(a m ，求)(a m 的表达式； （3）若4=a ，证明：方程04)(=+xx f 有两个不同的正数解．2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题1．i +-1；2．5；3．1+x （1-≥x ）；4．1-；5．5-；6．}21{≤≤x x ；7．20；8．8；9．61；10．90；11．π18；12．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,12π；13．2122=+b a ；14．23n n +． 二．选择题15．A ；16．B ；17．A ；18．C ．三．解答题 19．（1）在△ABC 中，因为2=AB ，4=AC ，︒=∠90ABC ，所以32=BC ．…………（1分）3221=⋅⋅=∆BC AB S ABC ．………………（1分）所以侧S S S ABC +=∆21)(2AA AC BC AB S ABC ⋅+++=∆4)4322(34⋅+++=31224+=．…………（3分） （2）连结1BC ，因为AC ∥11C A ，所以11C BA ∠就是异面直线B A 1与AC 所成的角（或其补角）．…………（1分）在△11BC A 中，521=B A ，721=BC ，411=C A ，…………（1分）由余弦定理，1052cos 111212112111=⋅⋅-+=∠C A B A BC C A B A C BA ，…………（3分） 所以105arccos11=∠C BA ．…………（1分） 即异面直线B A 1与AC 所成角的大小为105arccos ．……（1分） 20．（1）由题意，点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23，点Q 的坐 标是)sin ,(cos αα，……（1分） 所以53cos =α，54sin =α，……（2分） 所以⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα6sin sin 6cos cos παπα+=1033421542353+=⨯+⨯=．……（3分） （2）由题意，αααααsin 21cos 23)sin ,(cos 21,23)(+=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin πα，……（3分）A B CA 1B 1C 1因为),0[πα∈，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+34,33πππα，…………（2分） 所以⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,233sin πα．即函数)(αf 的值域是⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,23．…………（3分）21．（1）当0<a 时，曲线C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；……（1分） 当0=a 时，曲线C 的轨迹是两条平行的直线1=x 和1-=x ；……（1分） 当10<<a 时，曲线C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆； …………（1分） 当1=a 时，曲线C 的轨迹是圆122=+y x ； …………（1分） 当1>a 时，曲线C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆． …………（1分） （2）由⎩⎨⎧=+-=1122ay x x y ，得012)1(2=-+-+a ax x a ……① …………（2分）因为1-≠a ，所以方程①为一元二次方程，△04)1)(1(442>=-+-=a a a ，所以直线l 与曲线C 必有两个交点． …………（1分）设),(11y x M ，),(22y x N ，则1x ，2x 为方程①的两根，所以1221+=+a a x x ，1121+-=a a x x ， …………（1分）所以221221221)(2)()(||x x y y x x MN -=-+-=21141224)(2221221=+-⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=-+⋅=a a a a x x x x ，……（2分） 所以0322=-+a a ，解得1=a 或3-=a ． ……（2分）因此曲线C 的方程为122=+y x 或1322=-y x ． ……（1分）22．（1）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，由题意，421+==n S n T n n ， 所以n n S n 422+=． …………（1分）所以611==S a ，当2≥n 时，241+=-=-n S S a n n n ，而1a 也满足此式．……（2分） 所以}{n a 的通项公式为24+=n a n ．…………（1分） （2）设数列}{n b 的前n 项和为n S ，则当n 为偶数时，23nS n =，……（1分） 当n 为奇数时，21312)1(3-=+-=n n S n ． …………（1分） 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为奇数当为偶数当n n n n T n ,132,32． ……（3分）所以32lim =∞→n n T ． ……（2分）（3）假设存在实数λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n a x f n对任意*N n ∈恒成立，则12442++≤+-n n x x 对任意*N n ∈恒成立，…………（1分） 令124++=n n c n ，因为0)2)(1(21>++=-+n n c c n n ，所以数列}{n c 是递增数列，…（1分）所以只要124c x x ≤+-，即0342≥+-x x ， 解得1≤x 或3≥x ．…………（2分）所以存在最大的实数1=λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n ax f n 对任意*N n ∈恒成立．（2分）23．（1）0=a 时，)(x f 是奇函数；……（2分）0≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．……（2分）（2）当]2,0[∈x 时，42)(222a a x ax x x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=，函数)(x f 图像的对称轴为直线2ax =．……（1分） 当02<a，即0<a 时，函数)(x f 在]2,0[上是增函数，所以0)0()(==f a m ；…（1分） 当220≤≤a，即40≤≤a 时，函数)(x f 在]2,0[a 上是减函数，在]2,2[a 上是增函数，所以4)2()(2a a f a m -==；……（1分）当22>a，即4>a 时，函数)(x f 在]2,0[上是减函数， 所以a f a m 24)2()(-==．……（1分）综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<=4,2440,40,0)(2a a a aa a m ．……（2分） （3）证法一：若4=a ，则0>x 时，x x x f 4)(2-=，方程可化为0442=+-xx x ， 即x x x442+-=．……（2分） 令xx g 4)(=，x x x h 4)(2+-=，在同一直角坐标系中作出函数)(x g )(x h 在0>x 时的图像．…………（2分）因为2)2(=g ，4)2(=h ，所以)2()2(g h >，即当2=x 时O xy2函数)(x h 图像上的点在函数)(x g 图像点的上方．……（3分） 所以函数)(x g 与)(x h 的图像在第一象限有两个不同交点． 即方程04)(=+xx f 有两个不同的正数解．…………（1分） 证法二：若4=a ，则0>x 时，x x x f 4)(2-=，方程可化为0442=+-xx x ， 即xx x 442-=-．…………（2分） 令xx g 4)(-=，在同一直角坐标系中作出函数)(x f ，)(x g 在0>x 时的图像．……（2分） 因为4)2(-=f ，2)2(-=g ，所以)2()2(-<-g f ， 即当2=x 时，函数)(x f 图像上的点在 函数)(x g 图像点的上方．…………（3分）所以函数)(x f 与)(x g 的图像在第四象限有两个不同交点． 所以方程04)(=+xx f 有两个不同的正数解．…………（1分）y Ox2。
2012年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分)1．(4分）(2012•上海）计算：=1﹣2i(i为虚数单位)．考点: 复数代数形式的乘除运算．专题: 计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i,再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评:本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分)（2012•上海）若集合A={x｜2x﹣1＞0}，B={x｜|x|＜1},则A∩B=（,1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析:由题意,可先化简两个集合A,B，再求两个集合的交集得到答案解答:解：由题意A={x｜2x﹣1＞0｝=｛x｜x＞｝，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1)点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．考点: 二阶矩阵;三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简,最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．解答：解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为:π点评:本题主要考查了二阶行列式,以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力,属于基础题．4．（4分)（2012•上海）若是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点: 平面向量坐标表示的应用．专题: 计算题．分析：根据直线的方向向量的坐标一般为(1，k)可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．解答:解：∵是直线l的一个方向向量∴直线l的斜率为即tanα=则l的倾斜角的大小为arctan故答案为:arctan点评:本题主要考查了直线的方向向量，解题的关键是直线的方向向量的坐标一般为（1，k），同时考了反三角的应用，属于基础题．5．(4分）（2012•上海)一个高为2的圆柱,底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．解答：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为:1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．点评:本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．考点: 有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x)2﹣2×2x﹣3=0然后将2x 看做整体解关于2x的一元二次方程即可．解答:解：∵4x﹣2x+1﹣3=0∴（2x)2﹣2×2x﹣3=0∴（2x﹣3）（2x+1)=0∵2x＞0∴2x﹣3=0∴x=log23故答案为x=log23点评：本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解题的关键是要将方程4x﹣2x+1﹣3=0等价变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．7．(4分）(2012•上海)有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…,则（V1+V2+…+V n)═．考点: 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析:由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则(V1+V2+…+v n）==故答案为:点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题8．（4分）(2012•上海）在的二项式展开式中,常数项等于﹣20．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r,从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3 常数项为（﹣1)3=﹣20故答案为：﹣20点评:本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．(4分)（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x)+2且g（1)=1，则g(﹣1）=3．考点: 函数奇偶性的性质;函数的值．专题：计算题．分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2得到g（x）+g(﹣x）=f（x）+2+f(﹣x)+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4,从而解出答案解答:解:由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2∴g（x）+g(﹣x）=f(x)+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1)=4，解得g（﹣1）=3故答案为：3点评:本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值10．(4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y｜≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．考点: 简单线性规划．分析：作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求解答：解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小,z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2,0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．11．（4分）（2012•上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）考点: 古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数,然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远;跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目,表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评:本题主要考查了古典概型及其概率计算公式,解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．考点：平面向量数量积的运算．专题: 计算题．分析：先以所在的直线为x轴,以所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系,表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围,做出函数的范围，即要求得数量积的范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系如图，∵AB=2，AD=1，∴A（0,0)，B（2，0),C（2，1），D（0，1)，设M（2，b），N（x,1），∵，∴b=∴，=(2，)，∴=，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]点评：本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目．13．（4分）（2012•上海)已知函数y=f(x）的图象是折线段ABC，其中A（0,0）、、C(1，0）,函数y=xf（x）(0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；压轴题．分析：先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf(x）（0≤x≤1)的函数解析式,最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可解答:解：依题意,当0≤x≤时，f（x）=2x,当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2∴f(x）=∴y=xf（x）=y=xf（x）(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：点评：本题主要考查了分段函数解析式的求法，定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n)，若a2010=a2012,则a20+a11的值是．考点: 数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：根据，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．解答：解：∵，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1,a n+2=f（a n）,∴a1=1,，，a7=,，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2=f（a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．（5分）（2012•上海)若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则() A．b=2,c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a,b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0,即∴,解得b=﹣2，c=3故选D点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程,本题考查了转化的思想,属于基本计算题16．(5分）（2012•上海）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出mn ＞0,即可得到结论．解答：解：当mn＞0时,方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0,且两个量不相等，得到mn ＞0;由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．点评：本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等,本题是一个基础题．17．（5分）(2012•上海)在△ABC中,若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定考点: 三角形的形状判断．专题：三角函数的图像与性质．分析:利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2,再结合余弦定理作出判断即可．解答：解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C,由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2,又由余弦定理得:cosC=＜0，0＜C＜π,∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．点评：本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．18．（5分）(2012•上海）若（n∈N＊），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16 B．72 C．86 D．100考点：数列与三角函数的综合．专题: 计算题；综合题；压轴题．分析：由于sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S1＞0,…S13＞0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．解答：解：∵sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0,∴S1=sin＞0，S2=sin+sin＞0，…，S8=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，…，S12＞0，而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0,S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，∴S14n﹣1=0,S14n=0(n∈N*)，在1，2，…100中，能被14整除的共7项，∴在S1，S2,…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．故在S1，S2,…，S100中，正数的个数是86．故选C．点评:本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin的符号，找出S1，S2,…，S100中,S14n=0,S14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度,属于难题．﹣1三、解答题（本大题共有5题,满分74分）19．(12分)（2012•上海）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点,已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：(1）三棱锥P﹣ABC的体积;（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示)考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：常规题型；综合题．分析：(1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC=，然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式,得到三棱锥P﹣ABC的体积;（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC,所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．解答：解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，∴S△ABC=×2×=又∵PA⊥底面ABC,PA=2∴三棱锥P﹣ABC的体积为:V=×S△ABC×PA=；（2）取BP中点E，连接AE、DE，∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点∴DE∥BC，所以∠ADE(或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（锐角）因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．点评：本题给出一个特殊的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体,考查了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点,属于基础题．20．（14分）（2012•上海)已知f（x）=lg（x+1）（1)若0＜f(1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f(x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性;反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可;（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1)f（1﹣2x）﹣f（x）=lg(1﹣2x+1）﹣lg(x+1）=lg(2﹣2x)﹣lg(x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg(x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．(2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈［0，1］，∴y=g（x)=g（x﹣2)=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈［0,lg2］，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2］．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分)（2012•上海)海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析:（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中,可得P的纵坐标，利用｜AP｜=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为(7t，12t2），从而可得vt=，整理得,利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时,P的横坐标x P=7t=,代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP｜=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为,当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键,属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．(1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积; （3)设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．考点: 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质．专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．分析：（1)求出双曲线的左焦点F的坐标,设M（x,y），利用｜MF｜2=(x+）2+y2，求出x 的范围,推出M的坐标．（2)求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出平行四边形的面积．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切,得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．解答:解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣)，设M（x,y）,则｜MF|2=(x+)2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF｜==2，得x=,所以M（）．（2）左焦点F（﹣），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+）,即y=，所以,解得．所以所求平行四边形的面积为S=．(3)设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由,得（2﹣k2)x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0,设P（x1，y1)，Q（x2,y2）,则，又y1y2=（kx1+b）(kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用,设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．(18分)（2012•上海）对于项数为m的有穷数列｛a n}，记b k=max｛a1，a2，…，a k｝（k=1，2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列｛b n｝是｛a n}的控制数列，如1，3，2，5,5的控制数列是1,3,3，5,5．(1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的｛a n｝．(2）设｛b n｝是｛a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…,m),求证:b k=a k （k=1，2，…,m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是｛a n}的控制数列,求（b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）．考点: 数列的应用．专题：综合题；压轴题;点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1)根据题意，可得数列｛a n｝为：2,3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2,3，4，5，4，；2,3，4，5，5;（2）依题意可得b k+1≥b k，又a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，从而可得a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，整理即证得结论；(3）根据，可发现，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k=a(4k﹣2）2+（4k﹣2）,a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k,通过比较﹣2大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞a4k﹣2，而a4k+1＞a4k，a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1)（8k﹣3），从而可求得(b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）=(a2﹣a3）+(a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1)=2525（1﹣a）．解答:解：（1)数列{a n｝为:2,3，4，5,1；2,3，4，5，2;2，3，4，5，3;2,3，4,5，4，；2,3，4，5，5;…4分（2)∵b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1,a2，…，a k+1｝，∴b k+1≥b k…6分∵a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k,…8分∴b k=a k…10分(3）对k=1，2，…25，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+(4k﹣3)，a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2),a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k，…12分比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1﹣a4k﹣2=(a﹣1)(8k﹣3）＜0，即a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k﹣a4k﹣2=2（2a﹣1)（4k﹣1）＞0，即a4k＞a4k﹣2，又a4k+1＞a4k,从而b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2,b4k﹣1=a4k﹣2，b4k=a4k，…15分∴（b1﹣a1)+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100)=（a2﹣a3)+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=(1﹣a）（8k﹣3）=2525（1﹣a)…18分点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3)观察，分析寻找规律是难点，是难题．。
上海市嘉定区、黄浦区2012届高三第二次模拟考试文科数学试题(2012嘉定黄浦二模)
图1AB DC1B图22012年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（文科）(2012年4月12日)一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数12()log (21)f x x =+的定义域是 ．2．椭圆：2212x y +=的焦距是 ． 3．已知全集U R =，集合1|0,1x A x x R x -⎧⎫=>∈⎨⎬+⎩⎭，则U C A = ． 4．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1(,9)3，则幂函数()f x = ．5．若函数22()(21)1f x x m x m =-+-+-在区间(,1]-∞上是增函数，则实数m 的取值范围是 ．6．已知数列{}n a *()n N ∈是公差为2的等差数列，则lim21nn a n →∞-= ．7．已知点(1,0)A -在圆C ：22(1)(1)5x y -++=上，过点A 作圆C 的切线l ，则切线l 的方程是 ．8．已知z C ∈，且z 为z 的共轭复数，若101100z z iz =(i 是虚数单位)，则z = ．9．已知D 是ABC ∆的边BC 上的点，且:1:2BD DC =，,AB a AC b ==，如图1所示．若用a b 、表示AD ，则AD =．10． 20的二项展开式的常数项是 ． 11．已知(0,)2παβ∈、，54cos(),sin()135α+β=α-β=-，则cos2α= ．12．已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，点C 是圆柱下底面弧AB 的中点，点1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，如图2所示，则异面直线1AC 与BC 所成的角的正切值= ．13．某高级中学举行高二英语演讲比赛，共有9人参加决赛(其中高二(2)班2人，其他班级有7人)，比赛的出场顺序按抽签方式产生，则比赛出场顺序是“高二(2)班2人比赛序号不相连”的概率是．(结果用最简分数表示) 14||x =的不同实数根的个数是 ．二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知空间三条直线a b m 、、及平面α，且a 、b ≠⊂α．条件甲：,m a m b ⊥⊥；条件乙：m ⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的…………………………………………（ ） A ．充分非必要条件． B ．必要非充分条件．C ．充要条件．D ．既非充分也非必要条件．16．若实数x y 、满足约束条件0,0,2240,360;x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+-≤⎪⎪-++≥⎩则目标函数23z x y =-的最小值是…（ ）A ．6．B ．0．C ．72-．D ．24-．17．现给出如下命题：（1）若某音叉发出的声波可用函数0.002sin800()y t t R +=π∈描述，其中t 的单位是秒，则该声波的频率是400赫兹；（2）在ABC ∆中，若222c a b ab =++，则3C π∠=； （3）从一个总体中随机抽取一个样本容量为10的样本：11，10，12，10，9，8，9，11，12，8则其中正确命题的序号是………………………………………………………………（ ） A ．(1)、(2)． B ．(1)、(3)． C ．(2)、(3)． D ．(1)、(2)、(3)．18．已知ABC ∆的三边分别是a b c 、、，且*()a b c a b c N ≤≤∈、、，当*()b n n N =∈时，记满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =………………（ ）A ．21n -．B ．(1)2n n +． C ．21n +． D ．n ．三、解答题(本大题满分74分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图3所示的几何体，是由棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去一个角后所得的几何体．（1）试画出该几何体的三视图；(主视图投影面平行平面11DCC D ，主视方向如图所示。
2012嘉定区数学一模(文)(答案)
2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题1．i +-1；2．5；3．1+x （1-≥x ）；4．1-；5．5-；6．}21{≤≤x x ；7．20；8．8；9．61；10．90；11．π18；12．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,12π；13．2122=+b a ；14．23n n +． 二．选择题15．A ；16．B ；17．A ；18．C ．三．解答题 19．（1）在△ABC 中，因为2=AB ，4=AC ，︒=∠90ABC ，所以32=BC ．…………（1分）3221=⋅⋅=∆BC AB S ABC ．………………（1分）所以侧S S S ABC +=∆21)(2AA AC BC AB S ABC ⋅+++=∆4)4322(34⋅+++=31224+=．…………（3分） （2）连结1BC ，因为AC ∥11C A ，所以11C BA ∠就是异面直线B A 1与AC 所成的角（或其补角）．…………（1分）在△11BC A 中，521=B A ，721=BC ，411=C A ，…………（1分）由余弦定理，1052cos 111212112111=⋅⋅-+=∠C A B A BC C A B A C BA ，…………（3分）所以105arccos11=∠C BA ．…………（1分） 即异面直线B A 1与AC 所成角的大小为105arccos ．……（1分） 20．（1）由题意，点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23，点Q 的坐 标是)sin ,(cos αα，……（1分）所以53cos =α，54sin =α，……（2分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα6sin sin 6cos cos παπα+=1033421542353+=⨯+⨯=．……（3分） （2）由题意，αααααsin 21cos 23)sin ,(cos 21,23)(+=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin πα，……（3分）A BCA 1B 1C 1因为),0[πα∈，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+34,33πππα，…………（2分） 所以⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,233sin πα．即函数)(αf 的值域是⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,23．…………（3分）21．（1）当0<a 时，曲线C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；……（1分） 当0=a 时，曲线C 的轨迹是两条平行的直线1=x 和1-=x ；……（1分） 当10<<a 时，曲线C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆； …………（1分） 当1=a 时，曲线C 的轨迹是圆122=+y x ； …………（1分） 当1>a 时，曲线C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆． …………（1分）（2）由⎩⎨⎧=+-=1122ay x x y ，得012)1(2=-+-+a ax x a ……① …………（2分） 因为1-≠a ，所以方程①为一元二次方程，△04)1)(1(442>=-+-=a a a ，所以直线l 与曲线C 必有两个交点． …………（1分）设),(11y x M ，),(22y x N ，则1x ，2x 为方程①的两根，所以1221+=+a a x x ，1121+-=a a x x ， …………（1分） 所以221221221)(2)()(||x x y y x x MN -=-+-=21141224)(2221221=+-⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=-+⋅=a a a a x x x x ，……（2分） 所以0322=-+a a ，解得1=a 或3-=a ． ……（2分）因此曲线C 的方程为122=+y x 或1322=-y x ． ……（1分）22．（1）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，由题意，421+==n S n T n n ， 所以n n S n 422+=． …………（1分）所以611==S a ，当2≥n 时，241+=-=-n S S a n n n ，而1a 也满足此式．……（2分） 所以}{n a 的通项公式为24+=n a n ．…………（1分） （2）设数列}{n b 的前n 项和为n S ，则当n 为偶数时，23nS n =，……（1分） 当n 为奇数时，21312)1(3-=+-=n n S n ． …………（1分） 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为奇数当为偶数当n n n n T n ,132,32． ……（3分）所以32lim =∞→n n T ． ……（2分）（3）假设存在实数λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n a x f n对任意*N n ∈恒成立，则12442++≤+-n n x x 对任意*N n ∈恒成立，…………（1分） 令124++=n n c n ，因为0)2)(1(21>++=-+n n c c n n ，所以数列}{n c 是递增数列，…（1分）所以只要124c x x ≤+-，即0342≥+-x x ， 解得1≤x 或3≥x ．…………（2分）所以存在最大的实数1=λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n ax f n 对任意*N n ∈恒成立．（2分）23．（1）0=a 时，)(x f 是奇函数；……（2分）0≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．……（2分）（2）当]2,0[∈x 时，42)(222a a x ax x x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=，函数)(x f 图像的对称轴为直线2ax =．……（1分） 当02<a，即0<a 时，函数)(x f 在]2,0[上是增函数，所以0)0()(==f a m ；…（1分）当220≤≤a ，即40≤≤a 时，函数)(x f 在]2,0[a 上是减函数，在]2,2[a上是增函数，所以4)2()(2a a f a m -==；……（1分）当22>a，即4>a 时，函数)(x f 在]2,0[上是减函数， 所以a f a m 24)2()(-==．……（1分）综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<=4,2440,40,0)(2a a a aa a m ．……（2分）（3）证法一：若4=a ，则0>x 时，x x x f 4)(2-=，方程可化为0442=+-xx x ， 即x x x442+-=．……（2分） 令xx g 4)(=，x x x h 4)(2+-=，在同一直角坐标系中作出函数)(x g )(x h 在0>x 时的图像．…………（2分）因为2)2(=g ，4)2(=h ，所以)2()2(g h >，即当2=x函数)(x h 图像上的点在函数)(x g 图像点的上方．……（3分） 所以函数)(x g 与)(x h 的图像在第一象限有两个不同交点． 即方程04)(=+xx f 有两个不同的正数解．…………（1分） 证法二：若4=a ，则0>x 时，x x x f 4)(2-=，方程可化为0442=+-xx x ， 即xx x 442-=-．…………（2分） 令xx g 4)(-=，在同一直角坐标系中作出函数)(x f ，)(x g 在0>x 时的图像．……（2分） 因为4)2(-=f ，2)2(-=g ，所以)2()2(-<-g f ， 即当2=x 时，函数)(x f 图像上的点在 函数)(x g 图像点的上方．…………（3分）所以函数)(x f 与)(x g 的图像在第四象限有两个不同交点． 所以方程04)(=+xx f 有两个不同的正数解．…………（1分）。
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高中数学学习材料唐玲出品2014学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（文）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知复数i a z +=1，i z -=12（其中R ∈a ，i 为虚数单位），若21z z ⋅为纯虚数，则a 的值为___________．2．函数)21lg(xy -=的定义域是_____________．3．已知直线l 的一个法向量为)3,1(-=n，则直线l 的倾斜角=α__________． 4．函数xxx x y cos cos cos 2sin 2-=的最大值是_________________．5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且62S S =，14=a ，则=5a __________． 6．若关于x 的不等式4632>+-x ax 的解集为1{<x x 或}b x >，则实数b 的值为______．7．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则抛物线C 的 标准方程是___________________．8．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+,2,2,02y x y x 则y x z +=2的最大值为________．9．按下图所示的程序框图运算：若输入17=x ，则输出的x 值是 ．是开始 输入x 0←k 12+←x x 1+←k k否结束115>x 输出x10．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为1S 、2S ，体积分别为1V 、2V ，若它们的侧面积相等，且9421=S S ，则=21V V___________． 11．将6个函数x x f tan )(1=，||22)(x x f =，x x f =)(3，x x f sin )(4=，25)(x x f =，)1|lg(|)(6+=x x f ，分别写在6张小卡片上，放入盒中．现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的两个函数相乘得到一个新函数，则所得函数是偶函数的概率为______（结果 用最简分数表示）． 12．已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ．若}3,2,1{,∈j i 且j i ≠，则CD a a j i ⋅+)(的所有可能取值的集合为_______．13．已知数列}{n a 是递增数列，且对*N ∈n 都有n n a n λ+=2，则实数λ的取值范围是________________．14．已知函数x x x f cos )(2-=，对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的任意1x ，2x ，有如下条件：①21x x >； ②2221x x >；③21||x x >，其中能使)()(21x f x f >恒成立的条件序号是____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若非零向量a ，b 满足||||b a =，b b a ⊥+)2(，则a 与b的夹角大小为…………（ ）A ．︒30B ．︒60C ．︒90D ．︒12016．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是1DD 的中点，Q 是AB 上的动点，若以平面ABCD 为俯视图的投影平面，则三棱锥DCQ P -的主视图与俯视图的面积比是 …………………………………………………………………………………………（ ）A ．21B ．41C ．61D ．8117．若函数)(x f 对任意实数x 都满足)2()1()(---=x f x f x f ，则………………（ ）QABCDP C 1 B 1A 1D 1A ．)(x f 是周期为2的周期函数B ．)(x f 是周期为4的周期函数C ．)(x f 是周期为6的周期函数D ．)(x f 不是周期函数18．设R ∈n m ,，直线01=-+ny mx 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若直线l 与圆322=+y x 相切，则△OAB （O 为坐标原点）面积的最小值是…………………（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数x xx xx f sin 2cos sin 2cos )(++=．（1）求)(x f 的定义域和最小正周期；（2）若22)(=θf ，且),0(πθ∈，求θcos 的值．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面A B C D ，AD AB ⊥，1=PA ，4=+AD AB ，2=CD ，︒=∠45CDA ．（1）若PB 与平面ABCD 所成的角为︒45，求异面直线PB 与CD 所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD P -体积V 的最大值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．PA B DC已知函数)3(1)(b ax f x-=的图像过点)2,1(A 和)5,2(B ． （1）求a 、b 的值及)(x f 的反函数)(1x f -的解析式；（2）当]2,1[∈x 时，求函数)(21)14(log )(19x f x x H --+=的值域．22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知抛物线Γ：py x 22=（0>p ）的焦点F 到直线l ：02=--y x 的距离为223． （1）求抛物线Γ的方程； （2）过点⎪⎭⎫⎝⎛-23,21P 作两条不与x 轴垂直的直线1l ，2l ，若1l ，2l 分别与抛物线Γ有且只有一个公共点A 、B ，求直线AB 的方程；（3）过点)2,0(M 任作一直线与抛物线Γ交于P 、Q 两点，过Q 作y 轴的平行线与直线PO 相交于点R （O 为坐标原点），证明：动点R 在定直线上，并求出定直线的方程．．23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．将矩阵的乘法运算⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy cx by ax y x d c b a 称为“直角坐标平面上的点),(y x 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 的作用下变换成点),(dy cx by ax ++．” （1）设点)1,2(-M 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110的作用下变换成点M '，求点M '的坐标；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，点),(n S A n 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110的作用下变换成的点A '在函数x x x f +=2)(的图像上，求数列}{n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设}{n b 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n a 11的前n 项的积，是否存在实数a 使得不等式a a b n n <+⋅1对一切*N ∈n 都成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．2014学年嘉定区高三年级第三次质量调研 数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（本大题有14题，满分56分）1．1- 2．)0,(-∞ 3．6π4．12+ 5．1- 6．2 7．x y 82= 8．6 9．143 10．3211．5212．}2,1{-- 13．),3∞+-（ 14．②二．选择题（本大题共有4题，满分20分）15．D 16．A 17．C 18．B三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．（1）要使得函数)(x f 有意义，只需0cos sin ≠+x x 即可，即1tan -≠x ，……（1分） 所以，函数)(x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππ．………………（3分） x x x x x x x x x x x x f cos sin sin 2cos sin sin cos sin 2cos sin 2cos )(22+=++-=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πx ，……………………（5分）所以，)(x f 的最小正周期π2=T ． ……………………………………（6分）（2）224sin 2)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πθθf ，所以214sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ， ………………（2分） 因为),0(πθ∈，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+45,44πππθ，故654ππθ=+，465ππθ-=，…（3分） 所以，462222122234sin 65sin 4cos 65cos 465cos cos -=⋅+⋅-=+=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππππθ．………………………………（6分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由题意，︒=∠45PBA ，所以1==PA AB ， …………………………（1分） 在AD 上取点E ，使得1=AE ，连结BE ，PE ，则︒=∠45BEA ， 因为︒=∠45CDA ，所以BE ∥CD ，所以PBE ∠就是异面直线PB 与CD 所成的角， ………………………………（3分）在△PBE 中，2===PE BE PB ，所以︒=∠60PBE ． 所以，异面直线PB 与CD 所成角为︒60． …………（6分）（2）在底面ABCD 内，作AD CF ⊥，F 为垂足， 因为2=CD ，︒=∠45CDA所以△CDF 是等腰直角三角形， ………………（1分） 1==FD CF ，故3=+AF AB ， ………………………………（3分） 所以，CDF ABCF ABCD S S S ∆+=21)1(2121)(21+⋅+=⋅+⋅+=AF AB FD CF AF CF AB 21)3)(1(21+-+=AB AB 25)1(212+--=AB ． …………………………………………（6分）所以，当且仅当1=AB 时，ABCD S 取最大值25． ……………………（7分）此时，四棱锥ABCD P -体积V 取最大值，且65max =V ． ……………（8分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由题意得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,)3(15,)3(122b a b a解得⎩⎨⎧-==,1,2b a ………………（2分）所以)13(21)(+=x x f ．由)13(21+=x y ，得123-=y x，故31>y ． ……（4分）)12(log 3-=y x ， ……………………………………………………（5分）所以反函数)12(log )(31-=-x x f （21>x ）． ……………………………（6分）（2）1214log )12(log 21)14(log 21)(333-+=--+=x x x x x H 1232log 3-+=x ，…………………………………………………（2分）因为123-=x t 在]2,1[∈x 上是减函数，所以]3,1[∈t ， ………………（5分） 所以]5,3[1232∈-+x ， ………………………………（6分） 所以，函数)(x H 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡5log 21,213． …………………………………（8分）PABDC F22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）抛物线C 的焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p F ，由题意，2232|22|=+p ， …………（1分） 解得2=p ． ………………………………………（3分）所以，抛物线C 的方程为y x 42=． ………………………………………（4分）（2）设直线PA 、PB 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+2123x k y ，代入抛物线方程，得023242=++-k kx x ， ………………………………………………（1分） 由△0=，得0322=--k k ，解得11-=k ，232=k ， ………………（3分）将11-=k 代入023242=++-k kx x ，得)1,2(-A ，同理得⎪⎭⎫⎝⎛49,3B ， ……（5分） 所以，直线AB 的方程为064=+-y x ． ………………………………（6分） （3）由题意，设直线PQ 的方程为2+=kx y ， …………………………（1分）代入y x 42=得0842=--kx x ，设),(p P y x P ，),(Q Q y x Q ，则8-=Q P x x ，…（2分）又直线PO 的方程为x x y y P P =，即x xy P 4=， …………………………（3分） 又直线QR 的方程为Q x x =，解得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,Q P Q x x x R ，即)2,(-Q x R ．……（5分）所以，点R 在定直线2-=y 上． …………………………………………（6分）23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）由已知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21120110， ………………………………（3分）所以点M '的坐标为)2,1(-． ………………………………（4分） （2）因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n S n n S 0110，所以),(n S n A '， …………………………（2分）因为点A '在函数x x x f +=2)(的图像上，所以n n S n +=2． ………………（3分）当1=n 时，211==S a ， ………………………………………………（4分） 当2≥n 时，n S S a n n n 21=-=-，21=a 也满足此式． …………………（5分）所以，数列}{n a 的通项公式为n a n 2=（*N ∈n ）． …………………………（6分）（3）由已知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n a a a b 11111121 ， …………………………（1分）设1)(+⋅=n n a b n F ，则21)22(32)(12(12322212123211)()1(+++=++⋅++=++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n n n n n a n F n F n148438422<++++=n n n n ， 所以)1()(+>n F n F ，即)(n F 单调递减． …………………………………（5分）所以，当1=n 时，)(n F 取得最大值23． ……………………………………（6分） 要使得不等式a a b n n <+⋅1对一切*N ∈n 都成立，只需23>a ． …………（7分）综上，a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+,23． ……………………………………（8分）。
上海市嘉定区届高考第三次质量调研数学试卷(文)
个人整理精品文档，仅供个人学习使用上海市嘉定区届咼考第三次质量调研数学试卷（文）考生注意：.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解 答一律无效. .答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚. .本试卷共有道试卷，满分分；考试时间分钟. .填空题（每小题分，满分分） 已知 x • C ,且 x 2 - -4，则 x 二. 方程 lg （ x -3） • lg x =1 的解 x =.已知集合 A=｛xx 2 +2x —8 cO, X E Z ｝，集合 B=｛x |x —2|c3,x€ R ｝，贝UA B 二.（ 兀、函数y =2cos 2x —— 啲单调递减区间是.< 3丿2x +1若函数y -竺」的图像关于直线 y = x 对称，则实数a 的值为.x —a若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为.已知二、：均为锐角，且cos （很亠卩）=sin （「--），则tan.工=.已知向量a = （COST , si nr ） , ^（ , 3 , -1），则|2a - b |的最大值是.1 1已知正数a , b 满足ab = 1,贝U — ■—的最小值为.a b123川"」川’ n lim2 ---------- 二. n —»n 2在数列｛a n ｝中，若印=2，且对任意的正整数 p 和q 都有a p a p ■ a q ，贝V的值为.2如图，过双曲线X 2-# 1的右焦点作直线I 与4圆x 2y 2 =4相切于点M , I 与双曲线交于点 P ,nt[ | PM |Y V则 ------ =.|PF |/\第题图已知函数f （X ）=3；匚2识0'若|f （x ）|Hax 在xj —1,1]上恒成立，则实数a 的 取值范围是. •选择题（每小题分，满分分）n"tana =1” 是"a =+— （ Z ）” 的 .............................. （）4.充分不必要条件.必要不充分条件已知实数x , y 满足■=yyx<2x -1,如果z=x-y 的最小值是 八m ,-1，则实数m =.个人整理精品文档，仅供个人学习使用.充分必要条件.既不充分又不必要条件3已知集合A ={1,2,3,4}和集合B .{5, 6,7,8}，分别在集合 A 和B 中各取一个数,则这两个数的和为偶数的概率是……........ ()1 13 13• 4 • 2• 4 • 16.将正三棱柱截去三个角（如图所示，A、B 、C 分别是△ GH I 三边的中点）后得到 可的几何体如图所示, 则该几何体按图中所示方向的左视图为….......... ()下列区间中，函数 f （x ） =| In （3 —x ） |在其上为增函数的是……............... ( )•(皿，2) •"I< 2丿• (1,3) • (2,3)三•解答题（本大题共有题，满分分） •（本题满分分，第小题分，第小题分）如图，在四棱锥 A-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2 的正方形，PA_底面ABCD , PA = 4, M 为PA 的中点.（）求三棱锥P-MCD 的体积；（）求异面直线 PC 与MD 所成角的大小.（本题满分分，第小题分，第小题分）如图，某市拟在长为 8千M 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 线段为函数y=As inccx （ A A O ，⑷＞0）, x [0,4]的图像，且图像的最高点为S （3,2叮3）；赛道的2兀后一部分为折线段 MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定• MNP 二左视OSM ，该曲图 图（）求A , ' ■的值和线段MP的长；()设.PMN - v，问二为何值时，才能使折线段赛道MNP最长?(本题满分分，第小题分，第小题分)在等比数列｛a.｝中，公比q=1，等差数列｛5｝满足d二玄！=3，= a?，63=^3. ()求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；11 1 40()求使成立的最小正整数n的值.a! a2a n81.(本题满分分，第小题分，第小题分，第小题分)2 2已知过点A(-1,0)的动直线I与圆C : x ，(y-3) =4相交于P、Q两点，M是PQ的中点，I与直线m : x 3y ^0相交于点N .()当I与m垂直时，求证：直线l必过圆心C ；3()当|PQ | = 2、. 3时，求直线l 的方程； ()求证：AM AN 是定值.(本题满分分，第小题分，第小题分，第小题分) 设 a 为实数，函数 f (x) = x 2 • | x - a | • 1，x • R . ()若函数y = f(x)是偶函数，求实数 a 的值； ()若a = 2，求f (x)的最小值；()对于函数y = m(x),在定义域内给定区间［a , b ］,如果存在x 0 ( a x 0 :: b ),满足 m(x o ) = m(b)一m(a)，则称函数m(x)是区间［a , b ］上的"平均值函数” ，x °是它的一个“均值点”.如 b —a函数y =x 2是［-1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数g(x H-x 2 mx 1是区间［-1,1］ 上的平均值函数，求实数m 的取值范围.。
2012高考上海文科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题共有14题，满分56分)每题填对得4分，否则一律得零分． 1．计算：311i-=+__________(i 为虚数单位)．2．若集合A ＝{x |2x －1＞0}，B ＝{x ||x |＜1}，则A ∩B ＝__________. 3．函数sin 2 () 1 cos x f x x=-的最小正周期是__________．4．若d ＝(2,1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示)．5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________．6．方程4x －2x ＋1－3＝0的解是__________．7．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim ()n n V V V →∞+++=…__________.8．在(x －1x)6的二项展开式中，常数项等于__________．9．已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝__________. 10．满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是__________．11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________(结果用最简分数表示)．12．在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM C N BC C D =，则AM AN ⋅ 的取值范围是__________．13．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，1)，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________．14．已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2012，则a 20＋a 11的值是__________．二、选择题(本大题共有4题，本大题满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．若1+是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－116．对于常数m ，n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 18．若π2ππsin sinsin777n n S =+++…(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．100三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知π2B AC ∠=，AB ＝2，AC =PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)． 20．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)．(1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围； (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的反函数．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若||M F =，求点M 的坐标； (2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |)的直线l 交C 于P ，Q 两点，若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .23．对于项数为m 的有穷数列{a n }，记b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }(k ＝1,2，…，m )，即b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n }；(2)设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k ＋b m －k ＋1＝C (C 为常数，k ＝1,2，…，m )，求证：b k ＝a k (k ＝1,2，…，m )；(3)设m ＝100，常数a ∈(12，1)，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{b n }是{a n }的控制数列，求(b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋(b100－a100)．1．答案：1－2i解析：＝23i(3i)(1i)33i i i12i 1i(1i)(1i)2-----+===-++-.2．答案：{x|12＜x＜1}解析：由A＝{x|x＞12}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∩B＝{x|12＜x＜1}．3．答案：π解析：f(x)＝sin x cos x＋2＝12sin2x＋2，所以T＝2π2＝π.4．答案：1 arctan2解析：设直线l的倾斜角为α，则1 tan2α=，所以1arctan2α=.5．答案：6π解析：由底面周长为2π可得底面半径为1. S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.6．答案：log23解析：原方程可化为(2x)2－2×2x－3＝(2x－3)(2x＋1)＝0，所以2x＝3，x＝log23.7．答案：8 7解析：棱长是以1为首项、12为公比的等比数列，则体积V1，V2，…，V n是以1为首项、18为公比的等比数列，所以V1＋V2＋…＋V n＝11[1()]818[1()]17818nn⋅-=⋅--，∴128lim()7nnV V V→∞+++=….8．答案：－20解析：展开式的通项为T r＋1＝6C r x6－r·(－1x)r，令6－r＝r，可得r＝3所以T4＝36C x3×(－1x)3＝－36C＝－20.9．答案：3解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.由f (x )为奇函数得f (－1)＝1.所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 10．答案：－2解析：约束条件可化为不等式组22,0,0,22,0,0,22,0,0,22,0,0,x y x y y x x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≤≥⎪⎨--≤≤≤⎪⎪-≤≥≤⎩求z =y －x 最小值，即为求y =x +z 在y 轴上截距的最小值．由图可知(2,0)为最优解，所以z min =0－2=－2.11．答案：23解析：若每人都选择两个项目，共有不同的选法222333C C C 27＝种，而有两人选择的项目完全相同的选法有222332C C A 18＝种，故填23.12．答案：[1,4]解析：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的坐标系．设BM 长为x ，由题意得12x C N =，则CN =2x ，所以点M 的坐标为(2，x )，点N 的坐标为(2－2x,1)．所以AM ·A N＝4－4x ＋x ＝4－3x ，x ∈[0,1]． 所以AM ·A N的取值范围为[1,4]． 13．答案：14解析：由题意知12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩则2212,0,2()122,1,2x x xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩设所求面积为S ，则S 如图中阴影部分所示．所以，11222102=2d (22)d S x x x x x +⎰⎰－＋＝3322122111()(1)[()()]3233224⨯+-+--⨯+=.14．答案：326+解析：由a n ＋2＝f (a n )＝11na +，a 1＝1，可得311112a a ==+，5311211312a a ===++，7132513a ==+，9153815a ==+，111851318a ==+.由a 2 012＝201011a +＝a 2 010，可得a 2 010＝a 2 0122则a 2＝a 4＝…＝a 20＝a 2n ＝a 2 010＝a 2 0122所以a 20＋a 11821326=.15． B 由x 1＝1，知x 2＝1则x 1＋x 2＝2＝－b ，即b ＝－2；x 1x 2＝(1－i)＝1－2i 2＝3＝c .16．B mx ＋ny 2＝1表示椭圆的充要条件为m ＞0，n ＞0，m ≠n ， 显然m ＞0，n ＞0且m ≠n mn ＞0.而mn ＞0m ＞0，n ＞0且m ≠n .所以应为必要不充分条件． 17． C 由正弦定理可知a 2＋b 2＜c 2，从而222cos 02a b cC ab+-=<，∴C 为钝角，故该三角形为钝角三角形．18． C 由π8πsin sin 77=-，2π9πsin sin 77=-，…，6π13πsin sin 77=-，7π14πsin sin 077==，所以S 13＝S 14＝0.同理S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝S 55＝S 56＝S 69＝S 70＝S 83＝S 84＝S 97＝S 98＝0， 所以在S 1，S 2，…，S 100中，其余各项均大于0.故选C 项． 19．解：(1)122A B C S ∆=⨯⨯=，三棱锥P －ABC的体积为112333ABC V S PA ∆=⋅=⨯=(2)取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角． 在△ADE 中，DE ＝2，AE =AD ＝2，222223cos 2224ADE +-∠==⨯⨯，所以3arccos 4A D E ∠＝.因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是3arccos 4.20．解：(1)由220,10x x ->⎧⎨+>⎩得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝22lg 1x x -+＜1，得1＜221x x -+＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，2133x -<<.由11,2133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得2133x -<<.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 由单调性可得y ∈[0，lg 2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x，x ∈[0，lg 2]． 21．解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程21249y x =，得P 的纵坐标y P ＝3.由||2AP =/时．由tan ∠OAP ＝730，得∠OAP ＝7arctan30，故救援船速度的方向为北偏东7arctan30弧度．(2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)．由vt =整理得v 2＝144(t 2＋21t)＋337.因为t 2＋21t≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船． 22．解： (1)双曲线C ：22112xy -=，左焦点F(2-，0)，设M (x ，y )，则|MF |2＝(x22＋y 2＝2)2+，由M点是右支上一点，知2x ≥，所以||2M F =+=，得2x =.所以M2．(2)左顶点A(2-，0)，渐近线方程：y =.过点A与渐近线y =平行的直线方程为2y x =+，即1y =+.解方程组,1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得,41.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝4.(3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b . 因直线PQ1=，即b 2＝k 2＋1.(*) 由22,21,y kx b x y =+⎧⎨-=⎩得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则12221222,21.2kb x x kb x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以 O P O Q ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝2222222222(1)(1)21222k b k bb kb k k k +---+-++=---.由(*)知，0O P O Q ⋅=，所以OP ⊥OQ .23．解：(1)数列{a n }为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5. (2)因为b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }，b k ＋1＝max{a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}，所以b k ＋1≥b k . 因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ，所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k .因此，b k ＝a k . (3)对k ＝1,2，…，25， a 4k －3＝a (4k －3)2＋(4k －3)； a 4k －2＝a (4k －2)2＋(4k －2)； a 4k －1＝a (4k －1)2－(4k －1)； a 4k ＝a (4k )2－(4k )．比较大小，可得a 4k －2＞a 4k －3. 因为12＜a ＜1，所以a 4k －1－a 4k －2＝(a －1)(8k －3)＜0， 即a 4k －2＞a 4k －1；a 4k －a 4k －2＝2(2a －1)(4k －1)＞0，即a 4k ＞a 4k －2. 又a 4k ＋1＞a 4k ，从而b 4k －3＝a 4k －3，b 4k －2＝a 4k －2，b 4k －1＝a 4k －2，b 4k ＝a 4k . 因此(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100) ＝(a 2－a 3)＋(a 6－a 7)＋…＋(a 98－a 99)＝251k =∑(a 4k －2－a 4k －1)＝(1－a )251k =∑(8k －3)＝2 525(1－a )．。
2012年上海高考数学试题(文科)
2012年上海高考数学试题（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD=，则A M A N ⋅的取值范围是13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 14.已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若2010201a a =，则2011a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 16.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 18.若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．16 B.72 C.86 D.100 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）PA BCD21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（822．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,max{21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分） （2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n )1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .2012年上海高考数学文科（参考答案）一、填空题 1． 1-2i2． 1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3．π 4．5.π66.3log 27.788.20-9.3 10.2- 11.3212.[]4,113.41 14.265133+ 二、选择题 15. D16.B17. A18.C三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．[解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分 三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分 （2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分 20．PA BCDE[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x . ……3分 因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分 由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程212x y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=tt v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．[解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x .))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k kb k --+-----+=+.由(*)知0=⋅OQ OP ，所以OP ⊥OQ . ……16分 23．[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 （2）因为},,,max{21k k a a a b =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ， 所以k k b b ≥+1. ……6分 因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分 因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ； )14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分。
2012年上海市嘉定区高考数学一模试卷(文科) 含详解
2012年上海市嘉定区高考数学一模试卷（文科）一．填空题：（本大题满分56分）1．（4分）若z∈C，且（1﹣i）•z=2i，则z=．2．（4分）在等差数列{a n}中，a5=3，a6=﹣2，则{a n}的前10项和S10=．3．（4分）函数f（x）=（x≥0）的反函数f﹣1（x）=．4．（4分）方程log2（1﹣2x）=﹣1的解x=．5．（4分）在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（2，1），B（5，y），若，则y=．6．（4分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|x2﹣3x+2＞0}，则集合{x|x∈A且X∉（A ∩B）}=．7．（4分）某校老、中、青老师的人数分别为80、160、240．现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，则应抽取的中年老师的人数为．8．（4分）若双曲线x2﹣=1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是．9．（4分）在一个小组中有5名男同学，4名女同学，从中任意挑选2名同学参加交通安全志愿者活动，那么选到的2名都是女同学的概率为（结果用分数表示）．10．（4分）如图所示的算法框图，则输出S的值是．11．（4分）一个扇形的半径为3，中心角为，将扇形以一条半径所在直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是．12．（4分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈[﹣，]的值域是．13．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=r2（r＞0）内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若=a•+b•（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．14．（4分）将正整数排成三角形数表：12，34，5，67，8，9，10…按上面三角形数表排成的规律，数表中第n行所有数的和为．二．选择题：（本大题满分20分）15．（5分）若集合P={1，2，3，4}，Q={x|0＜x＜5，x∈R}，则“x∈P”是“x ∈Q”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）二次函数y=ax2+bx+c中，a•c＜0，则函数的零点个数是（）A．1B．2C．0D．无法确定17．（5分）若ab＜0，且a+b＞0，则以下不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b| 18．（5分）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定三．解答题：（本大题满分74分）19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．20．（14分）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．21．（14分）已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；（2）若a≠﹣1时，直线y=x﹣1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=，求曲线C的方程．22．（16分）定义x1，x2，…，x n的“倒平均数”为（n∈N*）．（1）若数列{a n}前n项的“倒平均数”为，求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：当n为奇数时，b n=1，当n为偶数时，b n=2．若T n为{b n}前n项的倒平均数，求；（3）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{a n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．23．（18分）已知函数f（x）=|x|•（x﹣a）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）设函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为m（a），求m（a）的表达式；（3）若a=4，证明：方程f（x）+=0有两个不同的正数解．2012年上海市嘉定区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题：（本大题满分56分）1．（4分）若z∈C，且（1﹣i）•z=2i，则z=﹣1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由条件可得z=，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，花简求得结果．【解答】解：∵z∈C，且（1﹣i）•z=2i，∴z====﹣1+i，故答案为﹣1+i．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（4分）在等差数列{a n}中，a5=3，a6=﹣2，则{a n}的前10项和S10=5．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】利用等差数列的通项公式，由a5=3，a6=﹣2，建立方程组求出a1和d，再由等差数列的前n项和公式求出S10．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a5=3，a6=﹣2，∴，解得a1=23，d=﹣5，∴S10=10×23+=5，故答案为：5．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．（4分）函数f（x）=（x≥0）的反函数f﹣1（x）=（x≥﹣1）．【考点】4R：反函数；O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】由行列式得f（x）=x2﹣1（x≥0），知x=，x，y互换，得到函数y=x2（x＜0）的反函数是y=（x≥﹣1）．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1（x≥0），∴y≥﹣1，从中解出x=，x，y互换，得到函数f（x）的反函数是y=（x≥﹣1）．故答案为：（x≥﹣1）．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意原函数与反函数互换定义域和值域．4．（4分）方程log2（1﹣2x）=﹣1的解x=﹣1．【考点】4G：指数式与对数式的互化．【专题】11：计算题．【分析】由对数方程，转化为指数方程，解方程可求【解答】解：由log2（1﹣2x）=﹣1可得（1﹣2x）=，解方程可求可得，x=﹣1故答案为﹣1【点评】本题主要考查了对数方程的求解，解题中要善于利用对数与指数的转化，属于基础试题5．（4分）在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（2，1），B（5，y），若，则y=﹣5．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】由O为坐标原点，点A（2，1），B（5，y），先求出，，再由，能求出y．【解答】解：∵O为坐标原点，点A（2，1），B（5，y），∴，，∵，∴，解得y=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查数量积判断两个向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（4分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|x2﹣3x+2＞0}，则集合{x|x∈A且X∉（A ∩B）}={x|1≤x≤2}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先分别求出集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x ＜1或x＞2}，再求{x|x∈A且X∉（A∩B）}的值．【解答】解：∵集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＜1或x＞2}，∴{x|x∈A且X∉（A∩B）}={x|1≤x≤2}，故答案为：{x|1≤x≤2}．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，解题时要认真审题，仔细解答．7．（4分）某校老、中、青老师的人数分别为80、160、240．现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，则应抽取的中年老师的人数为20．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，160×=20，故答案为：20．【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．8．（4分）若双曲线x2﹣=1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是8．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先分别求双曲线的渐近线方程，焦点坐标，再利用焦点到渐近线的距离为，可求实数k的值【解答】解：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是．由焦点到渐近线的距离为，不妨．解得k=8．故答案为8．【点评】本题主要考查双曲线的几何形状，考查解方程，考查学生分析解决问题的能力9．（4分）在一个小组中有5名男同学，4名女同学，从中任意挑选2名同学参加交通安全志愿者活动，那么选到的2名都是女同学的概率为（结果用分数表示）．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，这个小组共有9人，由组合数可得，从9人中取出2人以及选到的2名都是女同学的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，这个小组有5名男同学、4名女同学，共9人，从中取出2人，有C92=36种情况，若选到的2名都是女同学，则其有C42=6种情况，则选到的2名都是女同学的概率为=；故答案为．【点评】本题考查等可能事件的概率计算，关键是由组合数公式，求出从9人中取出2人以及选到的2名都是女同学的情况数目．10．（4分）如图所示的算法框图，则输出S的值是90．【考点】E7：循环结构．【专题】27：图表型．【分析】由框图知，此循环结构可以执行两次，S的初值为1，每执行一次即将S变为原来的k倍，由此规律计算出转出的结果即可得出正确答案【解答】解：由题意如图，此循环结构可以执行两次，S的初值为1，每执行一次即将S变为原来的k倍，k的初值为10，每执行一次循环体，其值减小1故S=1×10×9=90．故答案为：90．【点评】本题考查循环结构，解题的关键是由框图得出此程序对应的算法，由此运算规律解出输出的结果11．（4分）一个扇形的半径为3，中心角为，将扇形以一条半径所在直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是18π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】由于扇形的中心角为直角，可得以它的一条半径为轴旋转一周，形成的几何体是一个半球，利用球体积公式结合题中数据，可得该几何体的体积．【解答】解：∵扇形的中心角为，∴以扇形的一条半径所在直线为轴旋转一周，所成的几何体是半球∵扇形的半径为3∴球半径是R=3，根据球的体积公式得半球的体积V=××R3=18π故答案为：18π【点评】本题给出中心角为直角的扇形，求由该扇形旋转一周形成几何体的体积，着重考查了旋转体的理解和球的体积公式等知识，属于基础题．12．（4分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈[﹣，]的值域是[﹣1，]．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题．【分析】确定函数为偶函数，求导函数，确定当x∈[0，]时，f′（x）＞0，函数为单调增函数，即可求得函数的值域．【解答】解：∵f（﹣x）=（﹣x）2﹣cos（﹣x）=f（x）=x2﹣cosx=f（x）∴函数为偶函数求导函数，可得f′（x）=2x+sinx当x∈[0，]时，f′（x）＞0，函数为单调增函数，∵f（0）=0﹣1=﹣1，f（）=∴函数f（x）=x2﹣cosx，x∈[0，]的值域是[﹣1，]∴函数f（x）=x2﹣cosx，x∈[﹣，]的值域是[﹣1，]故答案为：[﹣1，]【点评】本题考查函数的性质，考查导数知识的运用，确定函数为偶函数，利用单调性确定函数的值域是关键．13．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=r2（r＞0）内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若=a•+b•（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是a2+b2=．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题．【分析】将向量用坐标表示，得出坐标之间的关系，再利用x2+y2=r2，即可求得结论．【解答】解：设P（x，y），则由题意，=（r，r），=（﹣r，r），∵=a•+b•（a、b∈R），∴（x，y）=（ar，ar）+（﹣br，br）∴x=ar﹣br，y=ar+br∴x2+y2=2a2r2+2b2r2∵x2+y2=r2∴r2=2a2r2+2b2r2∴a2+b2=故答案为：a2+b2=【点评】本题考查向量知识的运用，解题的关键是将向量用坐标表示，属于中档题．14．（4分）将正整数排成三角形数表：12，34，5，67，8，9，10…按上面三角形数表排成的规律，数表中第n行所有数的和为．【考点】F1：归纳推理．【专题】29：规律型．【分析】三角形数表中前n行共有1+2+…+n=个数字，即第i行的最后一个数是，从而得出三角形数表中第n行第一个数是，共有n 个数，它们构成等差数列，利用等差数列的求和公式求其和即得．【解答】解：因为三角形数表中前n行共有1+2+…+n=个，即第i行的最后一个数是．∴三角形数表中第n行第一个数是，共有n个数，它们构成等差数列，其和为：n×+=，故答案为：．【点评】本题考查数列的性质和应用，本题解题的关键是看出所形成的数列是一个等差数列，后面的问题按照等差数列来解题．二．选择题：（本大题满分20分）15．（5分）若集合P={1，2，3，4}，Q={x|0＜x＜5，x∈R}，则“x∈P”是“x ∈Q”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】由集合P={1，2，3，4}，Q={x|0＜x＜5，x∈R}，知“x∈P”⇒“x∈Q”，反之，则不成立．【解答】解：∵集合P={1，2，3，4}，Q={x|0＜x＜5，x∈R}，∴“x∈P”⇒“x∈Q”，即充分性成立，反之，则不成立．例：0.1∈Q，但0.1∉P，即必要性不成立．故“x∈P”是“x∈Q”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．16．（5分）二次函数y=ax2+bx+c中，a•c＜0，则函数的零点个数是（）A．1B．2C．0D．无法确定【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】11：计算题．【分析】有a•c＜0，可得对应方程ax2+bx+c=0的△=b2﹣4ac＞0，可得对应方程有两个不等实根，可得结论．【解答】解：∵ac＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，∴对应方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，故所求二次函数与x轴有两个交点．故选：B．【点评】本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x 轴的交点的横坐标．17．（5分）若ab＜0，且a+b＞0，则以下不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题．【分析】把不等式a+b＞0的两边同时除以负数ab可得＜0，化简可得，从而得出结论．【解答】解：∵a+b＞0，ab＜0，∴＜0，∴，故选：A．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题．18．（5分）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】11：计算题．【分析】求出圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离等于，再由θ≠kπ，k∈Z，可得cosθ≠±1，故＞，即圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离大于半径，从而得出结论．【解答】解：圆2x2+2y2=1 即x2+y2=，圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离等于，由于θ≠kπ，k∈Z，∴cosθ≠±1，∴＞，即圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离大于半径，故直线和圆相离，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．三．解答题：（本大题满分74分）19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题．【分析】（1）利用S=2S△ABC +S侧，可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）连接BC1，确定∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求结论．【解答】解：（1）在△ABC中，因为AB=2，AC=4，∠ABC=90°，所以BC=．…（1分）S△ABC=AB×BC=2．…（1分）所以S=2S△ABC +S侧=4+（2+2+4）×4=24+12．…（3分）（2）连接BC1，因为AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）．…（1分）在△A1BC1中，A1B=2，BC1=2，A1C1=4，…（1分）由余弦定理可得cos∠BA1C1=，…（3分）所以∠BA1C1=arccos．…（1分）即异面直线A1B与AC所成角的大小为arccos．…（1分）【点评】本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．20．（14分）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GD：单位圆与周期性；GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据三角函数的定义和题意求出cosα，sinα的值，再由两角差的余弦公式展开后代入求值；（Ⅱ）根据向量的数量积坐标运算和条件代入，利用两角和正弦公式进行化简，根据α的范围和正弦函数的性质求出值域．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q的坐标是，∴．∴=．（Ⅱ）===．∵α∈[0，π），则，∴．故f（α）的值域是．【点评】本题是由关三角函数的综合题，考查了三角函数的定义，两角和差的正弦（余弦）公式，正弦函数的性质的应用，三角函数是高考的重点，必须掌握和理解公式以及三角函数的性质，并会应用．21．（14分）已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；（2）若a≠﹣1时，直线y=x﹣1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=，求曲线C的方程．【考点】J3：轨迹方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题．【分析】（1）对a进行讨论，分a＜0，a=0，0＜a＜1，a=1，a＞1时，可得曲线C所表示的轨迹形状；（2）直线与曲线联立，确定直线l与曲线C必有两个交点，利用韦达定理及|MN|=，即可求曲线C的方程．【解答】解：（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；…（1分）当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=﹣1；…（1分）当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆；…（1分）当a=1时，曲线C的轨迹是圆x2+y2=1；…（1分）当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．…（1分）（2）由，得（a+1）x2﹣2ax+a﹣1=0…①…（2分）因为a≠﹣1，所以方程①为一元二次方程，△=4a2﹣4（a+1）（a﹣1）=4＞0，所以直线l与曲线C必有两个交点．…（1分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2为方程①的两根，所以x1+x2=，x1x2=，…（1分）所以|MN|=|x1﹣x2|=×=，…（2分）所以a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3．…（2分）因此曲线C的方程为x2+y2=1或x2﹣3y2=1．…（1分）【点评】本题考查分类讨论的数学思想，考查直线与曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确分类是关键．22．（16分）定义x1，x2，…，x n的“倒平均数”为（n∈N*）．（1）若数列{a n}前n项的“倒平均数”为，求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：当n为奇数时，b n=1，当n为偶数时，b n=2．若T n为{b n}前n项的倒平均数，求；（3）设函数f（x）=﹣x2+4x，对（1）中的数列{a n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．【考点】8J：数列的极限；8K：数列与不等式的综合．【专题】15：综合题；23：新定义．【分析】（1）设数列{a n}的前n项和为S n，由题意，，所以．由此能求出{a n}的通项公式．（2）设数列{b n}的前n项和为S n，则分n为偶数和n为奇数时，分别求出S n，从而求出T n．由此能求出．（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立，则﹣x2+4x≤对任意n∈N*恒成立，令，则数列{c n}是递增数列，由此能推导出存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）对任意n ∈N*恒成立．【解答】解：（1）设数列{a n}的前n项和为S n，由题意，，所以．…（1分）所以a1=S1=6，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n+2，而a1也满足此式．…（2分）所以{a n}的通项公式为a n=4n+2．…（1分）（2）设数列{b n}的前n项和为S n，则当n为偶数时，，…（1分）当n为奇数时，．…（1分）所以．…（3分）所以．…（2分）（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立，则﹣x2+4x≤对任意n∈N*恒成立，…（1分）令，因为，所以数列{c n}是递增数列，…（1分）所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．…（2分）所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）对任意n∈N*恒成立．（2分）【点评】本题考查数列的通项公式、极限的求法，探索实数是否存在．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答．23．（18分）已知函数f（x）=|x|•（x﹣a）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）设函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为m（a），求m（a）的表达式；（3）若a=4，证明：方程f（x）+=0有两个不同的正数解．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3K：函数奇偶性的性质与判断；53：函数的零点与方程根的关系．【专题】15：综合题．【分析】（1）a=0时，f（x）是奇函数；a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，函数f（x）图象的对称轴为直线x=，利用a的不同取值进行分类讨论，能求出m（a）．（3）若a=4，则x＞0时，f（x）=，方程可化为．令，h（x）=﹣x2+4x，在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象，数形结合能证明方程f（x）+=0有两个不同的正数解．【解答】解：（1）∵f（x）=|x|•（x﹣a）．∴a=0时，f（x）=|x|x是奇函数；…（2分）a≠0时，f（x）=|x|•（x﹣a）既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，函数f（x）图象的对称轴为直线x=．…（1分）当，即a＜0时，函数f（x）在[0，2]上是增函数，所以m（a）=f（0）=0；（1分）当0，即0≤a≤4时，函数f（x）在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数，所以m（a）=f（）=﹣；…（1分）当，即a＞4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，所以m（a）=f（2）=4﹣2a．…（1分）综上，m（a）=．…（2分）（3）证明：若a=4，则x＞0时，f（x）=，方程可化为，即．…（2分）令，h（x）=﹣x2+4x，在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象．…（2分）因为g（2）=2，h（2）=4，所以h（2）＞g（2），即当x=2时，函数h（x）图象上的点在函数g（x）图象点的上方．…（3分）所以函数g（x）与h（x）的图象在第一象限有两个不同交点．即方程f（x）+=0有两个不同的正数解．…（1分）【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数最小值的求法，证明方程有两个不同的正数解．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论法和数形结合思想的灵活运用．。
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2011学年嘉定区高三年级第三次模拟考试数学试卷（文科）(2012年5月14日)考生注意：本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设集合},1{R x x x A ∈<=，},4{2R x x x B ∈<=，则=B A ___________．2．设a 、R b ∈，i 为虚数单位，若i b i i a +=+)(，则复数bi a z +=的模为______． 3．函数x x y 2sin cos 2-=的最小正周期为_____________． 4．函数1)(-=x x f （1≥x ）的反函数=-)(1x f _____________．5．系数矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2312，解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21y x 的一个线性方程组是_______________．6．已知向量)1,1(-=k a，)2,(-=k b ，若b a ⊥，则实数k 的值为_____________．7．若一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面积是_____________．8．若a ，b ，c 成等比数列，则函数c bx ax xf ++=2)(的图像与x 轴交点的个数为_______． 9．设⎩⎨⎧<+-≥--=.0,42,0,12)(2x x x x x x f 则不等式2)(>x f 的解集为______________________．10．执行如下图所示的程序框图，那么输出的S 值为_____________．11．已知动圆圆心在抛物线x y 42=上，且动圆恒与直线1-=x 相切，则此动圆必过定点________________．12．从5名男生和2名女生中选出3人参加交通安全志愿者活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是____________．13．实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥,,12,1m y x x y y 如果目标函数y x z -=的最小值为1-，则实数m 的值为_________________．14．已知函数11)(+=x x f ，点n A 为函数)(x f 图像上横坐标为n （*N n ∈）的点，O 为坐标原点，向量)0,1(=e．记n θ为向量n OA 与e 的夹角，则=+++∞→)t a n t a n (t a n lim 21n n θθθ ___________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 15．“1tan =α”是“)(42Z k k ∈+=ππα”的…………………………………………（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 16．下列命题中正确的是……………………………………………………………………（ ）A ．若bc ac >，则b a >B ．若22b a >，则b a >C ．若b a >，则b a >D ．若ba 11<，则b a > 17．如图，四棱锥ABCD P -的底面是︒=∠60BAD 的菱形，且PC PA =，BD PB =，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面PAC 平行）可能是…………………（ ）A ．B ．C ．D ．18．若对于任意实数m ，关于x 的方程0)12(log 22=-++m x ax 恒有解，则实数a 的取值范围是……………………………………………………………………………………（ ）A ．)1,(-∞B ．]1,0(C ．]1,0[D ．)1,0(C ABDP三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，41=AA ． （1）求三棱柱111C B A ABC -的表面积S ；（2）设E 为棱1BB 的中点，求异面直线E A 1与BC 所成角的 大小（结果用反三角函数值表示）． 解：（1）（2） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于A 、B 两点，其中A 在第一象限．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ．设直线AB 的斜率为k ．（1）若直线AB 平分线段MN ，求k 的值； （2）当2=k 时，求点A 到直线BC 的距离． 解：（1）EC BA A 1B 1C 1（2） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，角θ的始边OA 落在x 轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A 、C （20πθ<<），△AOB 为等边三角形．（1）若点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,54，求BOC ∠cos 的值； （2）设2||)(BC f =θ，求函数)(θf 的解析式和值域．解：（1）（2）小题满分6分．设向量)2,(x a = ，)12,(-+=x n x b （*N n ∈），函数b a y⋅=在]1,0[∈x 上的最小值与最大值的和为n a ，又数列}{n b 满足11=b ，121109-⎪⎭⎫⎝⎛=+++n n b b b ．（1）求证：1+=n a n ；（2）求数列}{n b 的通项公式； （3）设n n n b a c ⋅-=，试问数列}{n c 中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有k n c c ≤成立？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（2）（3）小题满分7分．已知函数b xax x f ++=)(（0≠x ），其中a 、b 为实常数． （1）若方程13)(+=x x f 有且仅有一个实数解2=x ，求a 、b 的值；（2）设0>a ，),0(∞+∈x ，写出)(x f 的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式10)(≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 上恒成立，求实数b 的取值范围． 解：（1）（2）（3）2011学年嘉定区高三年级第三次模拟考试数学试卷（文科）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．}12{<<-x x ；2．2；3．π；4．12+x （0≥x ）；5．⎩⎨⎧=+=+.723,42y x y x ； 6．1-或2；7．29π；8．0；9．),3()0,(∞+-∞ ；10．2550；11．)0,1(；12．75；13．5；14．1．二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．B ；16．C ；17．B ；18．C ．三．解答题 19．（第1小题5分，第2小题7分，满分12分） （1）32432=⋅=∆ABC S ，……（1分） 2446=⨯=侧S ． ……（3分） 所以侧S S S ABC +=∆22432+=． ……（5分） （2）取1CC 中点F ，连结EF 、F A 1．因为EF ∥BC ，所以EF A 1∠就是异面直线E A 1与BC 所成角（或其补角）．……（7分）在△EF A 1中，2=EF ，2211==F A E A ，42cos 1=∠EF A ．…………（11分） 所以异面直线E A 1与BC 所成角的大小为42arccos．…………（12分） 20．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分） （1）由题设知，2=a ，2=b ，故)0,2(-M ，)2,0(-N ，所以线段MN 中点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--22,1．………………（3分） 由于直线AB 平分线段MN ，故直线AB 过线段MN 的中点，又直线AB 过坐标原点，所以22122=--=k ．…………（6分） FE CBAA 1B 1C 1（2）当2=k 时，直线AB 的方程为x y 2=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,124,222y x x y 解得32±=x ，…（8分） 从而A 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛34,32，B 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,32，……（10分）于是C 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,32．…（11分）所以直线BC 的方程为032=--y x ．…（12分）所以点A 到直线BC 的距离为3222343432=--=d ．…………（14分）21．（第1小题6分，第2小题8分，满分14分） （1）由题意，3πθ+=∠BOC ，因为点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,54， 所以53sin =θ，54cos =θ，…………（3分） 所以10334235321543cos cos -=⋅-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+=∠πθBOC ．…………（6分） （2）解法一：在△BOC 中，由余弦定理，BOC OC OB OC OB BC ∠-+=cos ||||2||||||222，……（7分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3cos 22)(πθθf ．…………（10分）因为20πθ<<，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈+65,33πππθ，……（11分）所以)32,1()(+∈θf ．…………（13分）因此，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3cos 22)(πθθf （20πθ<<），)(θf 的值域是)32,1(+．（14分）解法二：由题意，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21B ，)sin ,(cos θθC ，……（7分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6s 22)c s 3(223s 21c o||222πθθθθθBC ……………………………………（10分）因为20πθ<<，所以⎪⎭⎫⎝⎛-∈-3,66πππθ，…（11分） 所以)32,1()(+∈θf ．（13分） 所以，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin 22)(πθθf （20πθ<<），)(θf 的值域是)32,1(+．（14分）22．（第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分） （1）由已知，2)4()12(2)(2-++=-++=x n x x n x x y ……（2分） 而函数y 在]1,0[∈x 上是增函数，……（3分） 所以12412+=-+++-=n n a n ．……（4分）（2）因为121109-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b ，所以2121109--⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n b b b （2≥n ），………………（6分）两式相减，得2109101-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=n n b （)2≥n ．…………（8分）所以，数列}{n b 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-.109101,1,12n n n b …………（10分）（3）因为02111<-=-=b a c ，01091012>⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=-n n n c （2≥n ），……（12分） 由题意，k c 为}{n c 的最大项，则2≥k ，要使k c 为最大值，则⎩⎨⎧≥≥+-,,11k kk k c c c c ……（13分）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+----123210910210910110910109101k k k k k k k k ……（14分）解得9=k 或8=k ． …………（15分）所以存在8=k 或9，使得k n c c ≤对所有*N n ∈成立．…………（16分） 23．（第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分，满分18分） （1）由已知，方程13+=++x b xax 有且仅有一个解2=x ， 因为0≠x ，故原方程可化为0)1(22=--+a x b x ，…………（1分）所以⎩⎨⎧=+-=--08)1(02102a b b a ，…………（3分）解得8-=a ，9=b ．……（5分）（2）当0>a ，0>x 时，)(x f 在区间),0(a 上是减函数，在),(∞+a 上是增函数．…………（7分）（每个区间1分）证明：设),(,21∞+∈a x x ，且21x x <，112212)()(x ax x a x x f x f --+=-212112)(x x a x x x x -⋅-=， 因为),(,21∞+∈a x x ，且21x x <，所以012>-x x ，a x x >21，即a x x >21， 所以0)()(12>-x f x f ．………………（10分） 所以)(x f 在),(∞+a 上是增函数．…………（11分） （3）因为10)(≤x f ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 时有10)(max ≤x f ，……（12分） 由（2），知)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41的最大值为⎪⎭⎫⎝⎛41f 与)1(f 中的较大者．……（13分） 所以，对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式10)(≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 上恒成立，当且仅当 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛10)1(1041f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤a b a b 94439对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a 成立．…………（15分）从而得到47≤b ． …………（17分） 所以满足条件的b 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛∞-47,． …………（18分）。