2017届天津市五区县高三上学期期末考试l理科数学试卷

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【天津市五区县】2017届高三上学期期末考试(理)数学试卷-答案

天津市五区县2017届高三上学期期末考试（理）数学试卷答案1~5．DACBD6~8．ACD9．810．24-11．32+12．4ln3-1314．(,e)-∞三、解答题:15．（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++π2sin(2)16x a =+++，……………………4分故函数()f x 的最小正周期为πT =．………………………6分（II ）由题意得πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =．……………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235．…………5分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===．………………………………9分所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=．………………………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵~AGD CGE △△，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =，故35GC AC == 同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=，ED AC ⊥．………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥……3分而PA AC A =∴ED ⊥平面PAC ．ED ⊂平面PDE ，故平面PDE ⊥平面PAC ；……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系．由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =- ∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=．……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC，ED ⊂平面PDE ，平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB △为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-．设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>=8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为000(,,)n x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则(1,1,1)n =--，………10分 ∴cos ,n DE <>==．………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --．………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2n A n =，21(1)n A n -=-，两式相减：121n n n a A A n -=-=-；当1n =时，111a A ==，也适合21n a n =-，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．………3分（II ）由题意知：2122n n n n a n c -==，12n n C c c c =+++，123135212222n n n C -=++++， 23411352122222n n C n +-=++++，两式相减可得：1231122221222222n n n C n +-=++++-，……… 4分即123-111111121()2222222n n n C n +-=+++++-， -111121(1)2222n n n C n +-=+--，2332n n n C +=-．………7分（III ）21212121n n n b n n -+=++-，显然212122121n n n n -++>=+-，即2n b >，122n n B b b b n =+++>；………9分另一方面，21212222112212121212121n n n n n n n n -++=-++=+-+-+--+，即122213b =+-，222235b =+-，…，11222121n b n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，2222222(2)(2)(2)22221335212121n B n n n n n =+-++-+++-=+-<+-++，即：222n n B n <<+．………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -，……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2y M m m x ++．且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-．……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=，……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++ 2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±．所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =．……………14分20．（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥ 所以：2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以：120c -+≥，1c ≥；……………4分（Ⅱ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（Ⅲ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点的横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '= 即：3223200000011(2)()33x x cx d x x c x x x x cx d -++=-+-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠，所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x -所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值……………14分解法二：（Ⅰ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（Ⅱ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（Ⅲ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+．设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程000()()()()f x f x x x f x '=-+的三个实数根，由000()()()()f x f x x x f x '=-+，得32200001(2)()()3x x cx d x x c x x f x -++=-+-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-=，所以1032x x =- 所以22111()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-．因此当且仅当330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分。

天津市五区县2017届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案

绝密★启用前天津市部分区2016~2017学年度第一学期期末考试高三数学(理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上;不使用答题卡的区,学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I卷1至2页,第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分)注意事项:1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件,A B互斥，那么()()()=+．P A B P A P B如果事件,A B相互独立，那么()()()=．P A B P A P B锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示锥体的底面面积,h 表示锥体的高。

柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积,h 表示柱体的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1）已知集合2{1,4},{|log,}A B y y x x A ===∈,则A B =（A ）{}1,4 (B ）{}0,1,4 （C ）{}0,2 (D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ,y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165- (B)3- （C ）0 （D ）1(3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序,则输出v 的值为（A ）4 （B)5 （C)6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形,若2,1==BC AC ，且ABC ∆3 则=AB(A 3 （B 7(C ）22 (D ）3（5）设｛na ｝是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“｛na ｝为单调递增数列”的（A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件(C ）充要条件 (D ）既不充分也不必要条件(6)已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为(A ）221164x y -=(B ）22194x y -=（C ）22149x y -=（D ）22184x y -=（7）在ABC ∆中,D 在AB 上，:1:2AD DB =，E为AC 中点，CD 、BE 相交于点P ,连结AP ．设AP xAB yAC =+,x y ∈R （），则x ,y 的值分别为 (A)11,23(B ）12,33(C)12,55(D ）11,36（8)已知2()(3)e x f x x=-（其中x ∈R ，e 是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程12[()][()]0f x t f x t --=恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（A ）(2e,0)- （B ）(]2e,0- (C ）32e,6e -⎡⎤-⎣⎦ (D ）(32e,6e-⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题,共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题,每小题5分,共30分。

天津市五区县高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案

（ 19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆
x2 C : a2
y2 b2
1 (a
b
0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2 ，上顶点为 B ，若
BF1F2 的周长为 6 ，且点 F1 到直线 BF2 的距离为 b . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 A1, A2 是椭圆 C 长轴的两个端点，点 P 是椭圆 C 上不同于 A1, A2 的任意一点，
解：（ I）函数 f ( x) 2cos 2 x 2 3 sin xcos x a cos 2x 1 3 sin 2x a
2sin(2 x ) a 1 ， 6
故函数 f (x) 的最小正周期为 T .
…………………… 4 分 ……………………… 6 分
（ II）由题意得 x 0, , 2 x
7 ,
，
4x x2 , x 1,
若方程 f ( x) kx 有且仅有一个实数解，则实数 k 的
ex ,
x 1.
取值范围为 __________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （15）（本小题满分 13 分）
已知函数 f x 2cos x(cos x 3sin x) a （ a R ） .
（ A） 1, 4
（ B） 0, 1, 4
（C） 0, 2 （ D） 0, 1, 2, 4
（2）设变量 x ， y 满足约束条件
x 2y 4≤0, 3x y 3≥0, 则目标函数 z x y 1≤0.
x 2 y的最小值为
（ A） 16 5
（ B） 3
（ C） 0
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出

2017届高三上学期期末(理科)数学试卷

天津市红桥区2017届高三上学期期末数学（理科）试卷1．设集合{}0M x x x =≥∈R ，，{}21,N x x x <=∈R ，则M N =I （） A ．[]0,1 B ．()0,1 C ．(]0,1 D ．[)0,1 2．甲、乙两人射击比赛，两人平的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为（） A ．25 B ．56 C ．16 D ．133．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A ．13 B ．12 C ．1 D ．324．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于O 、A 、B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB △，则p =（） A ．1 B ．32C ．2D ．35．若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则直线a ⊥平面α的一个充分不必要条件是（）A ．a β∥且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且b α∥D ．a β⊥且αβ∥6．已知α，()0,πβ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是（） A ．π4- B ．3π4- C ．π4- D ．3π47．已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD PC •u u u r u u u r 的最大值为（）A B ．32 C ．2 D8．设方程()1e 110x m --+=的两根分别为1x ，2x ()12x x <，方程e 10x m --=的两根分别为3x ，4x ()34x x <．若10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()4132x x x x +-+的取值范围为（）A ．(),0-∞B ．3,ln 5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3ln ,05⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．i 为虚数单位，复数2i 1i=+_________． 10．直线10ax y ++=被圆2220x y ax a -++=截得的弦长为2，则实数a 的值是_______．11．执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为3，则输出的i =__________．12．在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos c a B b A b -=，则sin sin A B =__________．13．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函2z x ay =+，仅在点()3,4取得最小值，则a 的取值范围是__________．14．设函数()241,4log ,04x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若()()f a f b c ==，()0f b '<，则a ，b ，c 的大小关系是_________．15．（13分）设函数()2πsin co sin 4f x x sx x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值． 16．（13分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=o ，11A B AB ∥，11122AB AA A B ===，直角梯形11AA C C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AAC C ⊥平面11AA B B ．点M 为线段BC 的中点，点P 是线段1BB 中点．（Ⅰ）求证：11AC AP ⊥；（Ⅱ）求二面角P AM B --的余弦值．17．（13分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2212b S +=，22S q b =（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T ． 18．（13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*2n n S a n n -=∈N ．（1）求证：数列{}1n a +成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）数列{}n a 中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知点)P 和椭圆C ：22142x y +=．（1）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F △的周长及椭圆的离心率；（2）若直线l()200y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：120k k +=．20．（14分）已知函数()()()2212e x f x ax a x a a =++⎡⎤⎣⎦+-∈R ．（1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性；（2）设()22ln bx g x x=，当1a =时，若对任意()10,2x ∈，存在()21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围．。

天津五区联考2017-2018高三上学期期末数学(理)试题及答案

13．3
14． ,
1 1 3 e
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ） f x cos x sin x 2 3 sin x cos x
2 2
cos 2 x 3 sin 2 x
由 g n 1 g n
2 n 1 7 2
n 3

2n 7 9 2n n 3 …………………………11 分 2n 2 2
得：当 9 2n 0 2 n 4 n N 时， g 2 g 3 g 4 g 5 ；当 9 2n 0 n 5 n N 时， g 5 g 6 g 7 ；所以对任意 n 2 ，且 n N 均有 g 5 g n ，故 k 5 .………………13 分
（18）（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）设数列 an 的公比为 q ，则由条件得：
2 a3 2 a2 a4 ，
……………………………1分
又 a1 2 ，则 2 2q 2 2 2q 2q 3 4 q 2 1 2q 1 q 2 ，因为 1 q 0 ，解得： q 2 ，故 an 2 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得： bn 2nan n 2 则 Sn 1 2 2 2 n 2

3 , 0 , 0 ， C 0 ,1, 0 ，

由 AC 2 DE 3 得 E 0, 0 ,
3 ， A 0 ,1, 3 …………6 分 2
依题意 AE 0 , 1,

天津市五区县2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．A、（1，2]B．[﹣1，2] C．（1，3]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．13．“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）A．0 B．1 C．9 D．184．设x∈R，则“x＜1”是“x|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC 的长为（）A．5 B．4 C．D．36．若双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x +2y +5=0，一个焦点与抛物线y 2=﹣20x的焦点重合，则双曲线的方程为（）（）A ．﹣=1 B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=17．已知定义在R 上的函数f （x ）=x 2+|x ﹣m |（m 为实数）是偶函数，记a=f （loge ），b=f （log 3π），c=f （e m ）（e 为自然对数的底数），则a ，b ，c 的大小关系（） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a8．已知定义域为R 的奇函数f （x ）的周期为4，且x ∈（0，2）时f （x ）=ln （x 2﹣x +b ），若函数f （x ）在区间[﹣2，2]上恰有5个零点，则实数b 应满足的条件是（）A ．﹣1＜b ≤1B ．﹣1＜b ＜1或b=C ．＜bD ．＜b ≤1或b=二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共30分。

2017-2018年天津市部分区高三(上)期末数学试卷和答案(理科)

程序，则输出 S 的值为（ A． B． C． D．
）
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5．（5 分）已知双曲线
（a＞0，b＞0）的一个焦点为 F（﹣2，0），且）
双曲线的两条渐近线的夹角为 60°，则双曲线的方程为（ A． B．
C．
或 x2
D．
或
6．（5 分）在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c．已知 sin C=sin 2B，且 b=2，c= A． B．，则 a 等于（ C．2 D．2 ）
（Ⅰ）求证：BD⊥平面 ACDE；
第 3 页（共 20 页）
（Ⅱ）求平面 BCD 与平面 BAE 所成角（锐角）的大小；（Ⅲ）若 F 为 AB 的中点，求直线 EF 与平面 BDE 所成角的大小．
18．（13 分）已知{an}是等比数列，满足 a1=2，且 a2，a3+2，a4 成等差数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设 bn=2nan，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，g（n）= N*），求正整数 k 的值，使得对任意 n≥2 均有 g（k）≥g（n）． 19．（14 分）设椭圆 M：x2+y2+2x﹣15=0 的圆心．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过椭圆右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，过 F2 且与 l 垂直的直线 l1 与圆 M 交于 C，D 两点，求四边形 ABCD 面积的取值范围． 20．（14 分）已知函数 f（x）=ln x+a（1﹣x）（a∈R）．（Ⅰ）讨论 f（x）的单调性；（Ⅱ）当 a=﹣ 时，令 g（x）=x2﹣1﹣2f（x），其导函数为 g′（x）．设 x1，x2 是函数 g（x）的两个零点，判断是否为 g′（x）的零点？并说明理由．（a＞b＞0）的左焦点为 F1，离心率为．F1 为圆（n≥2，n∈

天津五区县2017届高三一模理科综合试题及答案

天津市部分区2017年高三质量调查试卷（一）
理科综合化学部分参考答案
选择题共6题，每题6分，共36分
1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D
7．（14分，除注明外每空2分。

）
（1）第三周期第ⅥA族（1分）（1分）
（2）S2－＞O2－＞Na+（1分）Cl2＋H2S=2HCl＋S↓(合理即可)
（3）（1分）4AgBr+N2H4= 4Ag+N2↑+4HBr1:2
（4）氧化钠过氧化钠
（5）b
8．（18分，除注明外每空2分。

）
（1）羧基、硝基
（2）ac
（3）丙烯醇
（4）6(任写一种即可)
（5）(共4分，其中第一步1分，第二步条件和产物正确得2分，第三步条件和产物正确得1分。

若顺序颠倒不得分，条件或产物的结构简式写错不得分)
9．（18分，每空2分。

）
（1）2H+ + SnO=Sn2++H2O c Sn2++2e－= Sn
（2）①KMnO4或KClO3蒸馏烧瓶
②缺少温度计D与E之间缺少干燥装置
③Sn 4++4OH -=H 2SnO 3↓+H 2O
④92.0%
10．(14分，除标明外，每空2分)
(1) ①6a+b+2c 3
②＞(1分) 由图可知，随着温度的升高，K 1增大、K 2减小，则△H 1＞0、 △H 2＜0，所以a ＞b
(2) b (1分)
(3) ①ad ②0.04 mol·L −1·min −1
1200 ③p 1＞p 2＞p 3。

【最新经典文档】2017- 天津市南开区高三(上)期末数学试卷和答案(理科)

18．已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn 满足： Sn=2（ an﹣1），数列 { bn} 满足：对任意 n ∈ N*有 a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）?2n+1+2．（ 1）求数列 { an} 与数列 { bn} 的通项公式；
第 3 页（共 19 页）
（ 2）记 cn= ，数列 { cn} 的前 n 项和为 Tn，证明：当 n≥6 时， n| Tn﹣ 2| ＜1．
? x0∈（﹣∞， 0），
成立，所以 B 不正确；
“若 tan α≠1，则
”是真命题，正确；
{ an} 为等比数列，则 “1ａ＜ a2＜a3”是“4ａ＜a5”的充分必要条件．所以 D 不正确；故选： C．
6．（3 分）已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，准线 l：x=﹣ ，点 M 在
19．已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）过点 P（﹣ 1，﹣1），c 为椭圆的半焦距，
且 c= b．过点 P 作两条互相垂直的直线 l1，l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M，N．（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）若直线 l1 的斜率为﹣ 1，求△ PMN 的面积；（ 3）若线段 MN 的中点在 x 轴上，求直线 MN 的方程． 20．设函数 f （x）=x2﹣ 2x+alnx（a∈R）（ 1）当 a=2 时，求函数 f（x）在点（ 1，f（ 1））处的切线方程；（ 2）若函数 f（ x）存在两个极值点 x1，x2（ x1＜x2） ①求实数 a 的范围；
，
则 k 的取值范围是
．
13．（ 3 分）在直角三角形 ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC=，2 点 P 是斜边 AB 上的

天津市部分区2017届高三质量调查理科数学试题(一)含答案(1)

2017 届山西省三区（县）八校联合高考模拟
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 .
1. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 则“ a b ”是“ sin A sin B ”的
.
17. （本题满分 12 分）
已知函数 f x
3 sin 2x
cos2 x
1 ,x
R.
2
2
（ 1 ）求函数 f x 的最小值和最小正周期；（ 2 ）设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足 c 3, f C 0,sin B 2sin A ，求 a,b 的值 .
18. （本题满分 12 分）山西某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（本科学历）的
直线 y
5 上找到一点 P, 在椭圆 C 上找到一点 Q, 满足 PM
NQ ？若存在，求出直线 l 的
3
方程；若不存在，说明理由 .
21. （本题满分 12 分）
已知函数 f x ln x ax2 bx （其中 a, b 为常数，且 a 0）在 x 1 处取得极值 . （ 1 ）当 a 1时，求 f x 的单调区间；（ 2 ）若 f x 在 0,e 上的最大值为 1，求 a 的值 .
5 的概率为，求 x, y 的值 .
39
19. （本题满分 12 分）如图，已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， EA
1 且 FD EA 1.
2
（ 1 ）求多面体 EABCDF 的体积；（ 2 ）求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值；（ 3 ）记线段 BC 的中点为 K, 在平面 ABCD 内过点 K 作一条直线与平面 ECF 平行，要求保留作图的痕迹，但不要求证明 .

高三数学上学期期末考试试题理4

天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.题号一二三总分1516 17 18 19 20 得分.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{1,4},{|log ,}A B y y x x A ===∈，则AB =（A ）{}1,4（B ）{}0,1,4（C ）{}0,2（D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ，y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165-（B ）3-（C ）0（D ）1（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形，若2,1==BC AC ，且ABC ∆3，则=AB（A 3 （B 7 （C ）22 （D ）3（5）设{n a }是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“{n a }为单调递增数列”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（A ）221164x y -=（B ）22194x y -= （C ）22149x y -=（D ）22184x y -= （7）在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD 、BE 相交于点P ，连结2424 4AP ．设AP xAB yAC =+,x y ∈R （），则x ，y 的值分别为（A ）11,23 （B ）12,33 （C ）12,55 （D ）11,36（8）已知2()(3)e xf x x =-（其中x ∈R ，e 是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程12[()][()]0f x t f x t --=恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（A ）(2e,0)- （B ）(]2e,0-（C ）32e,6e -⎡⎤-⎣⎦ （D ）(32e,6e -⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知a ，∈b R ，i 是虚数单位，若(12i)(2i)2i a b -+=-，则a b +的值为__________. （10）在261(4)x x-的展开式中，3x -的系数为__________. （用数字作答）（11）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________.（12）在平面直角坐标系xOy 中，由曲线1y x=（0x >）与直线y x =和3y =所围成的封闭图形的面积为 __________.（13）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1:C 11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，曲线2:C cos sin x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，1a >)，若1C 恰好经过2C 的焦点，则a 的值为__________.（14）已知24,1,()e ,1.xx x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩ 若方程()f x kx =有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为__________.PA BECD三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数()2cos (cos )f x x x x a =+（a ∈R ）. （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为2，求a 的值.（16）（本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A 学校且1名为女棋手，另外4名来自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（I ）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（II ）设X 为选出的4名队员中A 、B 两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AD BC ，122AD BC ==，E 在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD .（I ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；（II ）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值；（ii ）求二面角A PC D --的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n A n （n *∈N ），11n n n n na ab a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B .（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2n n n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ；（III ）证明： 222<<+n n B n （n *∈N ）. （19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. （20）（本小题满分14分）已知函数321()3f x x x cx d =-++（,c d ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C . （I ）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求c 的取值范围；（II ）若函数()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（III ）设曲线C 在动点00(,())A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题:9.8 10. 24-11. 32+ 12. 4ln 3-14. (,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分（II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分解：（Ⅰ）法一：∵△AGD△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且25,AC = 故3655GC AC ==. 同理可得33555GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分而PAAC A =∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……3分， ∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则5sin cos ,5PE DE θ=<>=………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n ，2115535DE +>==⨯.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++，123135212222-=++++n nn C ， 23411352122222+-=++++n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++-n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C .………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212121212221212121-+-++>⋅=+-+-n n n n n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++>； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD 二、填空题:9.8 10. 24- 11. 3285+ 12. 4ln 3- 13.5 14. (,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I ）函数2()2cos 23sin cos cos 213sin 2f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分（II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为X24P18351635135随机变量X 的数学期望()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且25,AC = 故36555GC AC ==. 同理可得33555GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分而PAAC A =∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……3分， ∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则5sin cos ,5PE DE θ=<>=………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n ，2115535DE +>==⨯.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++，123135212222-=++++n nn C ， 23411352122222+-=++++n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++-n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212121212221212121-+-++>⋅=+-+-n n n n n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++>； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分文本仅供参考，感谢下载！。

天津市五区县高三上学期期末考试数学(理)试题(有答案)-最新推荐

天津市部分区第一学期期末考试高三数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,4,|log ,A B y y x x A ===∈，则AB =（）A ． {}14,B ． {}0,14,C ． {}0,2D ．{}0,1,24,2.设变量,x y 满足约束条件24033010x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（）A ．165-B ． 3-C ．0D ．1 3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（）A ．4B ． 5C ． 6D ． 74.已知ABC ∆是钝角三角形，若1,2AC BC ==，且ABC ∆的面积为2，则AB =（）A B C. ．35.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为单调递增数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（）A ．221164x y -= B ．22194x y -= C. 22149x y -= D ．22184x y -= 7.在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD BE 、相交于点P ，连结AP .设(),AP xAB yAC x y R =+∈，则,x y 的值分别为（） A ．1123， B ．1233， C. 1255， D ．1136，8.已知()()23xf x x e =-（其中,x R e ∈是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程()()120f x t f x t --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（）A ．()2,0e -B ． (]2,0e - C. 32,6e e -⎡⎤-⎣⎦ D ．(32,6e e -⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分.9.已知,,a b R i ∈是虚数单位，若()()1222i ai b i -+=-，则a b +的值为__________．10.在6214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x -的系数为__________.（用数字作答）11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是____________．12.在平面直角坐标系xOy 中，由曲线()10y x x=>与直线y x =和3y =所围成的封闭图形的面积为__________.13.在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线2cos :sin x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，1a >），若1C 恰好经过2C 的焦点，则a 的值为．14.已知()24,1,1xx x x f x e x ⎧-<=⎨≥⎩，若方程()f x kx =有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）已知函数()()()2cos cos f x x x x a a R =+∈. （1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2，求a 的值. 16. （本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名自A 学校且1名为女棋手，另外4名自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛. （1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X 为选出的4名队员中A B 、两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，1,//,2,2AB AD AD BC AD BC E ⊥==在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD.（1）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；（2）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值；（ii ）求二面角A PC D --的余弦值. 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和()()2**11,n n n nn na a A nn N bn N a a ++=∈=+∈，数列{}n b 的前n 项和为n B .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()*2n n na c n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和n C ；（3）证明：()*222n n B n n N <<+∈.19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b . （1）求椭圆C 的方程；（2）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. 20. （本小题满分14分）已知函数()()321,,3f x x x cx d c d R =-++∈，函数()f x 的图像记为曲线C . （1）若函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，求c 的取值范围；（2）若函数()y f x m =-有两个零点(),αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（3）设曲线C 在动点()()00,A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题9.8 10. 24-11. 32+4ln 3-(,e)-∞三、解答题15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===，()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC = 故35GC AC ==. 同理可得355GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分而PAAC A =∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ； (4)分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>=分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n，DE >==.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n n a n c ，12n n C c c c =+++，123135212222-=++++n nn C ， 23411352122222+-=++++n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-n n n C n ， ……… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++-n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212122121-++>=+-n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++>； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++n B n n n n n ，即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-= 所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ，由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. …14分。

2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）参考公式：• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ； • 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年天津，理1，5分】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I （）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,4,6 （D ）{}|15x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】{}[]{}()1,2,4,61,51,2,4A B C =-=U I I ，故选B ．（2）【2017年天津，理2，5分】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（）（A ）23（B ）1 （C ）32（D ）3【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，故选D ．（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ，7,6,2N N N ===，输出2N =，故选C ．（4）【2017年天津，理4，5分】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】10sin 121262πππθθθ-<⇔<<⇒<，0θ=，1sin 2θ<，不满足1212ππθ-<，所以是充分不必要条件，故选A ．（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的左焦点为F 2F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）（A ）22144x y -= （B ）22188x y -= （C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,22188x y a b c a b c ==-⇒===-=-，故选B ．（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a << 【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，()()5.15.122log log a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<， 5.122log 3<<，所以即0.85.1202log 3<<<，()()()0.85.122log 3g g g <<，所以b a c <<，故选C ．（7）【2017年天津，理7，5分】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π= 【答案】A 【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33kk ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）（A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616- （C ）[3,2]-（D ）39[23,]16-【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()()*2xf x a f x -≤+≤，当1x ≤时，()*式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又2214732416x x x ⎛⎫-+-=---⎪⎝⎭（14x =时取等号）， 223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+≥⎪⎝⎭（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤，当1x >，()*式为222x x a x x x--≤+≤+，322222x x x a x x --≤+≤+，又32322322x x x x ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭（当23x =时取等号），222222x x xx+≥⨯（当2x =时取等号），所以232a -≤，综上47216a -≤≤，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，理9，5分】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则a 的值为．【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-．（10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【答案】92π【解析】设正方体边长为a ，则226183aa =⇒=，外接球直径为344279233,πππ3382R a V R ===⨯=．（11）【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为．【答案】2【解析】直线为23210x y ++= ，圆为22(1)1xy +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点．（12）【2017年天津，理12，5分】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为．【答案】4【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当2,1a b ==时取等号．（13）【2017年天津，理13，5分】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为．【答案】311 【解析】32cos603AB AC ⋅=⨯⨯︒=u u u r u u u r，1233AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r ，则()1233AD AE AB AC AC ABλ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r212334934333311λλλ=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．（14）【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080A C C A +=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2017年天津，理15，13分】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值．解：（1）在ABC △中，a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =sin sin a bA B=，得sin 313sin a B A b ==．所以b 13，sin A 313．（2）由（1）及a c <，得213cos A ，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-．故πππ72sin(2)sin 2cos cos2sin 444A A A +=+．（16）【2017年天津，理16，13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=， 11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=．所以，随机变量X 的分布列为X0 1 2 3P 14 112414 124随机变量X 的数学期望1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=．所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．（17）【2017年天津，理17，13分】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D E N ，，分别为棱PA PC BC ，，的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7，求线段AH 的长．解：如图，以A 为原点，分别以AB u u u r ，AC u u u r ，APu u u r 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,4,0C ，()0,0,4P ，()0,0,2D ，()0,2,2E ，()0,0,1M ，()1,2,0N ．（1）()0,2,0DE =uu u r ，()2,0,2DB =-u u u r．设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩．不妨设1z =，可得(1,0,1)=n ．又()1,2,1MN =-u u u u r，可得MN ⋅=u u u u rn ．因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ．（2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量．设2(,,)x y z =n为平面EMN 的法向量，则220EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u ur n n ，因为(0,2,1)EM =--u u u u r ，(1,2,1)MN =-u u u u r ，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩．不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n．因此有121212cos ,|||21⋅<>==n n n n|n n 12105sin ,<>=n n．二面角C EM N--105（3）依题意，设AH h =（04h ≤≤），则()0,0,H h ，进而可得(1,2,)NH h =--u u u u r，(2,2,2)BE =-u u u r．由已知，得2||7|cos ,|||||523NH BE NH BE NH BE h ⋅<>===+⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r ，整理得2102180hh -+=，解得85h =，或12h =．所以，线段AH 的长为85或12．（18）【2017年天津，理18，13分】已知{}na 为等差数列，前n 项和为()nS n *∈N ，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和()n *∈N ．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}nb 的公比为q ．由2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2nnb =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由114=11S b ，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32na n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}nb 的通项公式为2nnb =．（2）设数列{}221n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，1214n n b --=，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(31)4n nT n +=⨯+⨯+⨯++-⨯L ，上述两式相减，得231324343434(31)4nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L 112(14)4(31)414n n n +⨯-=---⨯-1(32)48n n +=--⨯-得1328433n nn T +-=⨯+．所以，数列{}221n n a b-的前n 项和为1328433n n +-⨯+．（19）【2017年天津，理19，14分】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)ypx p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆6，求直线AP 的方程；解：（1）设F 的坐标为(),0c -．依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，22234ba c =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24yx=．（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-．将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60my my ++=，解得0y =，或2634my m -=+．由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭．由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+．所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD ∆的面积为6，故2216262||32m m m ⨯⨯=+，整理得 2326|20m m -+=，6||m ，6m =．直线AP的方程为3630x +-=，或3630x -=．（20）【2017年天津，理20，14分】设a ∈Z ，已知定义在R上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间()1,2 内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数．（1）求()g x 的单调区间；（2）设00[1,)(,2]m x x ∈U ，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q ∈U 满足041||p x q Aq-≥．解：（1）由432()2336f x xx x x a=+--+，可得32()()8966g x f x xx x '==+--，可得2()24186g x x x '=+-．令()0g x '=，解得1x =-，或14x =．当x 变化时，()(),g x g x '的变化情况如下表：x (),1-∞- 11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g x ' + - + ()g x ↗ ↘ ↗所以，()g x 的单调递增区间是(),1-∞-，1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，0()()()()h x g x m x f m =--．令函数10()()()()H x g x x x f x =--，则10()()()H x g x x x ''=-．由（1）知，当[1,2]x ∈时，()0g x '>，故当0[1,)x x ∈时，1()0H x '<，1()H x 单调递减；当0(,2]x x ∈时，1()0H x '>，1()H x 单调递增．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈U 时，1100()()()0H x H x f x >=-=，可得1()0H m >，()0h m >．令函数2()()()()H x g x x x f x =--，则2()()()H x g x g x ''=-．由（1）知，()g x 在[1,2]上单调递增，故当0[1,)x x ∈时，2()0H x '>，2()H x 单调递增；当0(,2]x x ∈时，2()0H x '<，2()H x 单调递减．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈U 时，220()()0H x H x <=，可得2()0H m <，0()0h x <．所以，0()()0h m h x <．（3）对于任意的正整数p ，q ，且00[1)(,],2p x x q ∈U ，令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--．由（2）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点；当0(,2]m x ∈时()h x 在区间0(),x m 内有零点．所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x ，则110()()()()0p ph g x f q x qx =--=．由（1）知()g x 在[1,2]上单调递增，故10()()12()g x g g <<<，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2p pf f p p p q p q pq aq q q x qg x g g q +--+-=≥=．因为当[12],x ∈时，()0g x >，故()f x 在[1,2]上单调递增，所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点，而0p x q ≠，故()0pf q≠．又因为p ，q ，a 均为整数，所以432234|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数，从而432234|2336|1p p q p q pq aq +--+≥．041|2|()p x q g q-≥．只要取()2A g =，就有041||p x q Aq-≥．。