【2014-2015学年高中数学(北师大版,必修4)课时作业2.1第二章平面向量

合集下载

备课参考高一数学北师大必修四同步练习：第2章平面向量含答案

10.已知a=（3,0）,b=（k,5）,且a、b的夹角为 ,则k的值为___________.
11.已知a+b=2i－8j,a－b=－8i+16j,那么a·b=___________（其中i,j为两个互相垂直的单位向量）.
12.设点A（3,－4）,B（1,2）,P是直线上的一点,且| |=2| |,则点P坐标是___________.
∴ 与共线,又与有公共点A，
∴A、B、D三点共线.
（2）【解】ka+b与a+kb垂直,
即（ka+b）·（a+kb）=0
ka2+（k2+1）a·b+kb2=0
ka2+（k2+1）|a||b|coபைடு நூலகம்60°+kb2=0
3k2+13k+3=0,
解得k= .

∴（a2+b2－c2）2=2a2b2
∴ ,
∴
又a2+b2－c2＞0,a＞0,b＞0,
∴ ,
∴cosC= ,
∴∠C= .
17.【解】将二次函数y=px2+qx+r的图象按向量a=（3,－4）平移后得到的图象的解析式为:y+4=p（x－3）2+q（x－3）+r,
即y=px2+（q－6p）x+9p－3q+r－4,
【答案】或2
三.解答题
15.【解】设 =（x,y）,
则 = + =（x+3,y+1）
= － =（x+4,y－1）
由 ⊥ ,得－（x+3）+2（y+1）=0
即x－2y+1=0①

2014-2015学年高中数学 1.4 数学归纳法课时作业北师大版选修2-2

§4 数学归纳法课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是用来证明______________________的数学命题的一种方法． 2．数学归纳法的基本步骤：(1)________________________________；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出____________________．根据(1)(2)可以断定命题对______________都成立．一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是( )A ．2k －1项B ．2k ＋1项C ．2k项 D ．以上都不对4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N ＋)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋15．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(n ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确6．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n >2)”时的过程中，由n ＝k到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项12k ＋1B ．增加了两项12k ＋1，12k ＋1C ．增加了两项12k ＋1，12k ＋1，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12k ＋1，又减少了一项1k ＋1二、填空题7．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．8．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1 (n ∈N ＋)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________________________．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．三、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论．11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N ＋都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答案知识梳理1．某些与正整数n 有关2．(1)验证：n ＝1时，命题成立 (2)当n ＝k ＋1时，命题成立一切正整数n 作业设计1．C [当n ＝1时，a n ＋1＝a 2.∴等号左边的项是1＋a ＋a 2.]2．C [当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.]3．C [观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k)＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．]4．B [当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)．观察比较它们的变化知增乘了2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．]5．B [因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.]6．C [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.] 7．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)28．没有用到归纳假设，不是数学归纳法9．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.10．证明当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想， 2n ＋2>n 2(n ∈N ＋)成立．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0，即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋，2n ＋2>n 2.11．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝12k，那么a k ＋1＝a k 2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝12k ＋1.也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n.12．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36， ∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)． ∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N ＋，f (n )都能被36整除．又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36.13．(1)解由题意：S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N ＋)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N ＋)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1>k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2，由基本不等式2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。

北师大版高一数学必修4第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。

A、-9B、-6C、9D、62．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。

A、B、C、D、3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。

A、（2，3）B、（1，2）C、（3，4）D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。

A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。

A、B、C、D、6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。

A、B、C、D、7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。

A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2(4)(b) -(a)b与不一定垂直。

其中真命题的个数是（）。

A、1B、2C、3D、49．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则等于（）。

A、B、C、D、10．设、b不共线，则关于x的方程x2+b x+ =0的解的情况是（）。

A、至少有一个实数解B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.2，则 =_________ 11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=212．已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，则用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。

北师大版数学必修四课时作业第2章学业质量标准检测(B)

第二章学业质量标准检测(B)本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( B ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6[解析] 由向量平行的性质，有2︰4＝x ︰6，解得x ＝3，选B ． 2．如图，a －b 等于( C )A ．2e 1－4e 2B ．－4e 1－2e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] a －b ＝e 1－3e 2.3．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( D )A ．12AB →＋12AD →B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD →D ．12AB →－12AD[解析] EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( A ) A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)[解析] 因为AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，所以与向量AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝(3，－4)5＝(35，－45)，选A ． 5．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( C ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则据向量数量积公式可得cos θ＝a·b|a ||b |，则cos θ＝21×4＝12. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.6．已知向量a 、b ，那么12(2a －4b )＋2b ＝( C )A ．a －2bB ．a －4bC ．aD ．b[解析] 12(2a －4b )＋2b ＝a －2b ＋2b ＝a ，故选C ．7．设a ，b 是两个非零向量( C ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [解析] 本题考查向量共线的条件．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 与b 方向相反．则存在b ＝λa .反之则不然．8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)且A (1,1)，则D 点坐标为( C )A ．(3,5)B ．(4,6)C ．(0,0)D ．(－1，－3)[解析] AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，设D (x ，y )，∴AD →＝(x ，y )－(1,1)＝(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－1y －1＝－1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0.故D (0,0)． 9．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( D ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形[解析] 因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB →＝AB →·AB →＋CA →·CB →，所以CA →·CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D ．10．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，a 与b 的夹角为( A )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°[解析] ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，∴a ·b ＝32.设夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝32，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.11．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( D )A ．23B ．32C ．33D ． 3[解析] 本题考查了向量的运算． ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →，又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos ∠ADB ＝3|BD →|·cos ∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.12．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a ；②(a *b )*b ＝a *(b *b )； ③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b )； ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 正确命题的个数为( B ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0[解析] 代入验证知①②不成立，③④成立，故选B ．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝__a ＋c －b __.(用a ，b ，c 表示)[解析] OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b .14．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝()1，2，b ＝()2，－2，c ＝()1，λ.若c ∥()2a ＋b ，则λ＝__12__.[解析] 因为2a ＋b ＝(4,2)，c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4×λ＝2×1，解得λ＝12.15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__1__，DE →·DC →的最大值为__1__.[解析] 本题考查平面向量的数量积．建立平面直角坐标系如图：则CB →＝(0，－1)，设E (x 0,0)，则DE →＝(x 0，－1)，∴DE →·CB →＝(x 0，－1)·(0，－1)＝1，又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1， ∴DE →·DC →最大值为1.16．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是__①④⑤__.(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. [解析] ∵等边三角形ABC 的边长为2，AB →＝2a ， ∴|AB →|＝2|a |＝2⇒|a |＝1，故①正确；∵AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋BC →，∴BC →＝b ⇒|b |＝2，故②错误，④正确；由于AB →＝2a ，BC →＝b ⇒a 与b 夹角为120°，故③错误；又∵(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b|2＝4×1×2×(－12)＋4＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确，因此，正确的编号是①④⑤.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．[解析] (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求两条对角线的长分别为42，210. (2)由题设知OC →＝(－2，－1)， AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB －tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.18．(本小题满分12分)已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，即2a ·b －b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2b 2＝12.∴a 与b 的夹角为θ＝60°.19．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．[解析] (1)设n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋y 2·x 2＋y2＝cos 3π4＝－22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0， ∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)． ∴|n ＋b |＝(cos x )2＋(sin x －1)2＝2－2sin x ＝2·1－sin x .∵－1≤sin x ≤1， ∴0≤1－sin x ≤ 2.∴0≤|n ＋b |≤2，即|n ＋b |的取值范围是[0,2]．20．(本题满分12分)在△ABC 中，设BC →·CA →＝CA →·AB →. (1)求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若|BA →＋BC →|＝2，且B ∈[π3，2π3]，求BA →·BC →的取值范围．[解析] (1)证明：∵BC →·CA →＝CA →·AB →， ∴CA →·(BC →－AB →)＝0.又AB →＋BC →＋CA →＝0则CA →＝－(AB →＋BC →)， ∴－(AB →＋BC →)·(BC →－AB →)＝0. ∴AB →2－BC →2＝0， ∴|AB →|2＝|BC →|2.∴|AB →|＝|BC →|，即△ABC 为等腰三角形． (2)解：∵B ∈[π3，2π3]，∴cos B ∈[－12，12]．设|AB →|＝|BC →|＝a .∵|BA →＋BC →|＝2，∴|BA →＋BC →|2＝4，则有a 2＋a 2＋2a 2cos B ＝4. ∴a 2＝21＋cos B ，则BA →·BC →＝a 2cos B ＝2cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B .又cos B ∈[－12，12]，∴BA →·BC →∈[－2，23]．21．(本小题满分12分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．[解析] 解法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →，∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC → ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP → ＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )，且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设P 点的坐标为(x ，y )，则Q (－x ，－y )．∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )． ∴BP →·CQ →＝－x (x －c )－y (y ＋b )＝－x 2－y 2＋cx －by ， cos θ＝BC →·PQ→|BC →||PQ →|＝2cx －2by 2a 2＝cx －bya 2，即cx －by ＝a 2cos θ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1时，即θ＝0°(PQ →与BC →同向)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.22．(本题满分12分)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0，k ∈R )． (1)求a·b 关于k 的解析式f (k )． (2)若a ∥b ，求实数k 的值． (3)求向量a 与b 夹角的最大值．[解析] (1)由已知|k a ＋b |＝3|a －k b |，有|k a ＋b |2＝(3|a －k b |)2，k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3a 2－6k a·b ＋3k 2b 2. 又因为|a |＝|b |＝1，得8k a·b ＝2k 2＋2，所以a·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k (k >0)．(2)因为a ∥b ，k >0，所以a·b ＝k 2＋14k >0，则a 与b 同向．因为|a|＝|b |＝1，所以a·b ＝1，即k 2＋14k ＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0，所以k ＝2±3，所以当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝a·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )＝14[(k －1k )2＋2]．当k ＝1k，即k ＝1时， cos θ取最小值12.。

北师大版数学高一必修四作业第二章《平面向量》章末检测

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，则x＝()A．9B．6C．5 D．3解析：∵a∥b，∴4×3－2x＝0，解得x＝6.答案：B2．下列说法正确的是()A．两个单位向量的数量积为1B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝cC．AB＝OA－OBD．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b解析：A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若a⊥b，a⊥c，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为AB＝OB－OA，故C错；D中，因为b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正确．答案：D3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．1 B. 2C．2 D．4解析：因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±3.所以a＝(1，±3)．所以|a|＝1＋(±3)2＝2.答案：C4．下列等式恒成立的是()A．AB＋BA＝0B．AB－AC＝BCC．(a·b)c＝a(b·c)D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c解析： AB ＋BA ＝0， AB －AC ＝CB ，故选项A 、B 不正确；由平面向量数量积的运算性质知C 不正确，D 正确．答案：D5．已知A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32，有下列向量： ①a ＝⎝⎛⎭⎫143，3；②b ＝⎝⎛⎭⎫7，92；③c ＝⎝⎛⎭⎫－143，－3； ④d ＝(－7,9)．其中，与直线AB 平行的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②③④ 解析：AB ＝⎝⎛⎭⎫－7，－92， ∵⎝⎛⎭⎫143，3＝－23⎝⎛⎭⎫－7，－92＝－23AB ， ⎝⎛⎭⎫7，92＝－⎝⎛⎭⎫－7，－92＝－AB ，⎝⎛⎭⎫－143，－3＝23AB ，∴与直线AB 平行的向量是①②③. 答案：C6．在△ABC 中，AB ＝c ， AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析：依题意有CD ＝13CB ＝13(AB －AC )＝13(c －b )．∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋13(c －b )＝23b ＋13c .答案：A7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则向量a 在b 方向上的射影为( ) A.25 B.255 C ．－255 D ．－25解析：射影为|a |cos θ＝5×a·b |a ||b |＝5×－255＝－25.答案：D8．已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝ (2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标为( )A ．(5,4)B ．(4,5)C ．(－5，－4)D ．(5，－4) 解析：由AB ＝λa ，λ>0知AB ＝(2λ，3λ)．又由|AB |＝213，得λ＝2，所以点B 的坐标为(5,4)．答案：A9．已知向量OB ＝(2,0)， OC ＝(2,2)， CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为( ) A.π4 B.5π12 C.π3 D.π12解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)，则|OA |＝2，|OB |＝2， OA ·OB ＝2， ∴cos 〈OA ， OB 〉＝OA ·OB |OA ||OB |＝22.又0≤〈OA ， OB 〉≤π，∴〈OA ， OB 〉＝π4.答案：A10．设向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a·b ＝0，|a |＝3，|c |＝4，则|b |＝( ) A ．5 B.7 C. 5 D ．7解析：由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－(a ＋b )，又∵a·b ＝0， ∴c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2， ∴|b |2＝|c |2－|a |2＝42－32＝7，即|b |＝7. 答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－4,4)，c ＝(－3，－6)，且c ＝xa ＋yb (x ，y ∈R)，则x ＋y ＋xy＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＝－3，2x ＋4y ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0，所以x ＋y ＋xy ＝－3. 答案：－312．已知向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________．解析：∵a ·(b －a )＝2，|a |＝1， ∴a·b ＝3.又|b |＝6，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝12，∴夹角为π3.答案：π313．已知a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，c 满足a·c ＝0，且|a |＝|c |，b·c >0，则c 为________．解析：设c ＝(x ，y )．由a·c ＝0，得x ＋y ＝0.① 再由|a |＝|c |，得x 2＋y 2＝2.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.又∵b·c >0，∴x >0，∴c ＝(1，－1)．答案：(1，－1)14．在△ABC 中，已知|AB |＝|AC |＝2，且AB ·AC ＝2，则这个三角形的形状为____________．解析：∵AB ·AC ＝|AB ||AC |cos A ＝4cos A ＝2， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.又由题意，得AB ＝AC ， ∴该三角形为等边三角形．答案：等边三角形三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15． (本小题满分12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的射影的数量为－1，求：(1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·b . 解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]，∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝－1－2＝－3.16．(本小题满分12分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)． (1)若AB ·AC ＝0，求c 的值； (2)若c ＝5，求cos A 的值．解：(1) AB ＝(－3，－4)， AC ＝(c －3，－4)．由AB ·AC ＝0，可得－3(c －3)＋16＝25－3c ＝0，所以c ＝253.(2)∵AB ＝(－3，－4)，AC ＝(c －3，－4)＝(2，－4)，∴cos A ＝AB ·AC |AB ||AC |＝－6＋16520＝55.17．(本小题满分12分)已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)求|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1)∵a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)，∴|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋3b ＝(7,3)． ∵(ka －b )∥(a ＋3b )， ∴7×(－1)＝(k －2)×3.解得k ＝－13，∴ka －b ＝－13(a ＋3b )，两向量反向．18．(本小题满分14分)已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB ＝(1,1)， AD ＝(－3,3)．又∵AB ·AD ＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB ⊥AD ，即AB ⊥AD .(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝DC .设C 点坐标为(x ，y )，则DC ＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 坐标为(0,5)．从而AC ＝(－2,4)， BD ＝(－4,2)，且|AC |＝25， |BD |＝25， AC ·BD ＝8＋8＝16，设AC 与BD 的夹角为θ，则cos θ＝AC ·BD |AC ||BD |＝1620＝45.∴矩形ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.。

高中数学第二章平面向量 19 向量应用举例课时作业北师大版必修4

答案：C
解析：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的向量为(A，B)，与直线Ax＋By＋C＝0平行的向量为(－B，A)．
3．在四边形ABCD中，若＋＝0， · ＝0，则四边形的形状为()
A．正方形B．菱形
C．矩形D．平行四边形
答案：B
解析：∵ ＋＝0，＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又 · ＝0，∴ ⊥ ，∴对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝ b－a.
由于与共线，因此存在实数m，使得＝m(a＋b)．
又与共线，因此存在实数n，使得＝n ＝n .
由＝＋＝＋n ，得m(a＋b)＝a＋n ，
整理得(m＋n－1)a＋ b＝0.
由于向量a，b不共线，所以有，
解得，
所以＝ .
同理＝，
所以＝，所以AR＝RT＝TC，
所以R，T为AC的三等分点．
12．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，
解法二(坐标法)
以CA，CB所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设| |＝| |＝a，
∴C(0,0)，A(a,0)，B(0，a)，E ，D ，
∴ ＝，＝，
∴ · ＝－＋ × ＝－＋＝0，
∴ ⊥ ，即AD⊥CE.
11．如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点．

北师大版数学必修四课时作业第2章 2

第二章 §2A 级基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，AB →＝a ，CB →＝b ，则CA →等于( C ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b －aD ．－a －b[解析] CA →＝CB →＋BA →＝b －AB →＝b －a ，故选C ． 2．化简(AB →－CD →)＋(BE →－DE →)的结果是( D ) A ．0 B ．AE → C ．CA →D ．AC →[解析] 原式＝AB →－CD →＋BE →－DE →＝(AB →＋BE →)－(CD →＋DE →)＝AE →－CE →＝AE →＋EC →＝AC →. 3．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( C ) A ．AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →[解析] AB →＋BC →＝AC →≠CA →，故A 项错.AB →＋AC →≠BC →，故B 项错.AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →＝AD →，故C 项正确.AC →＋AD →≠DC →，故D 项错．4．四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( A )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c[解析] DC →＝DB →＋BC →＝AB →－AD →＋BC →＝a －b ＋c .5．如图所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( D )A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →[解析] 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，CD →＝AF →，BF →＝CE →，∴BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.故选D ．6．如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，则化简AB →＋AC →－AP →－AQ →的结果为( A )A ．0B ．BP →C ．PQ →D ．PC →[解析] AB →＋AC →－AP →－AQ →＝(AB →－AP →)＋(AC →－AQ →)＝PB →＋QC →＝0. 二、填空题7．若向量a 、b 方向相反，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝__2__.8．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝__OC →__.[解析] OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →. 三、解答题9．如图，在□ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |； (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ [解析] (1)AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b .(2)由(1)知，a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →，a ＋b 与a －b 所在直线垂直，即AC ⊥BD ，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为菱形，即a ，b 应满足|a |＝|b |. (3)|a ＋b |＝|a －b |，即|AC →|＝|BD →|. ∵矩形的对角线相等，∴当a 与b 垂直时，满足|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能．因为□ABCD 的两对角线不可能平行，因此a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．10．如图，一物体受到两个大小均为60N 的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求其合力的大小及方向．[解析] 如题图，设OA →、OB →分别表示两力，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →就是合力．由已知可得△OAC 为等腰三角形且∠COA ＝30°.过A 作AD ⊥OC 于D ，则在Rt △OAD 中，|OD →|＝|OA →|cos 30°＝60×32＝303，故|OC →|＝2|OD →|＝603，即合力的大小为603N ，方向与水平方向成30°角向上．B 级素养提升一、选择题1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( B ) A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＋OE →＝OF →C ．EF →＝FO →＋OE →D ．EF →＝FO →＋EO →[解析] 可以画出图形，然后利用三角形法则找出正确答案．如图，由图知选项A ，D 不正确；FO →＋OE →＝FE →，故选项C 不正确；EF →＋OE →＝OE →＋EF →＝OF →，故选项B 正确，故选B ．2．下列说法错误的是( D )A ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →B ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →C ．若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM → D ．若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝OM →[解析] 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知：A ，B ，C 都正确．由相反向量定量知，共OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝－OD →－OE →＝－(OD →＋OE →)＝－OM →，故D 错误．3．在平面上有A 、B 、C ，三点，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m 与n 的长度恰好相等，则有( C )A ．A ，B ，C 三点必在一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角D ．△ABC 必为等腰直角三角形[解析] 以BA →，BC →为邻边作平行四边形，则m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →，由m ，n 的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，故选C ．4．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( A )A ．AD →＋BE →＋CF →＝0 B ．BD →－CF →＋DF →＝0 C ．AD →＋CE →－CF →＝0D ．BD →－BE →－FC →＝0[解析] ∵AD →＝12AB →，BE →＝12BC →，CF →＝12CA →，∴AD →＋BE →＋CF →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝12(AC →＋CA →)＝0.故选A ．二、填空题5．如图，在□ABCD 中，(1)AB →＋__AD →或BC →__＝AC →； (2)AC →＋CD →＋__DO →或OB →__＝AO →； (3)AB →＋AD →＋CD →＝__AD →__； (4)__AC →__＋BA →＋DA →＝0. [解析] (1)∵AC →－AB →＝BC →＝AD →， ∴AB →＋BC →＝AB →＋AD →＝AC →；(2)AO →－(AC →＋CD →)＝AO →－AD →＝DO →＝OB →， ∴AC →＋CD →＋DO →＝AC →＋CD →＋OB →＝AO →； (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →； (4)∵BA →＋DA →＝CD →＋CB →＝CA →， ∴AC →＋BA →＋DA →＝0.6．长度相等的三个非零向量OA →，OB →，OC →满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则由A ，B ，C 三点构成的△ABC 是__等边__三角形．[解析] 如图所示，作OA →，OB →的和向量OD →， ∵OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴OA →＋OB →＝－OC →. ∴|OA →|＝|OD →|，∴△AOD 为等边三角形， ∴∠OAB ＝12∠OAD ＝30°.同理，∠OAC ＝∠OCA ＝∠OCB ＝∠OBC ＝∠OBA ＝30°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，即△ABC 为等边三角形．三、解答题7．如图所示，O 为△ABC 内一点，AO 交BC 于D ，BO 交CA 于E ，CO 交AB 于F ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，EO →＝e ，DO →＝d ，FO →＝f .(1)求AC →； (2)求AD →； (3)求AD →－AB →； (4)求AB →＋CF →； (5)求BF →－BD →； (6)求DF →＋FE →＋ED →.[解析] (1)AC →＝OC →－OA →＝c －a ； (2)AD →＝OD →－OA →＝－DO →－OA →＝－d －a ；(3)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝－DO →－OB →＝－d －b ； (4)AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a －f －c ； (5)BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →＝－FO →＋DO →＝d －f ； (6)DF →＋FE →＋ED →＝OF →－OD →＋OE →－OF →＋OD →－OE →＝0.8．如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、AC 、AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.[证明] 由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →. 由平面几何可知：EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0.C 级能力拔高设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( C )A ．8B ．4C ．2D ．1[解析] 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →与AC →垂直，故△ABC 为直角三角形，|AM →|即斜边BC 的中线，所以|AM →|＝2.。

高一数学必修四作业本答案：第二章

高一数学必修四作业本答案：第二章以下是小编为大家整理的关于《高一数学必修四作业本答案：第二章》的文章，供大家学习参考！第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．1．1向量的物理背景与概念2．1．2向量的几何表示（第_题）1．D.2．D.3．D.4．0.5．一个圆.6．②③.7．如：当b是零向量，而a与c不平行时，命题就不正确．8．（1）不是向量.（2）是向量，也是平行向量.（3）是向量，但不是平行向量.（4）是向量，也是平行向量．9．BE，EB，BC，CB，EC，CE，FD（共7个）._．AO，OA，AC，CA，OC，CO，DO，OD，DB，BD，OB，BO（共_个）._．（1）如图.（2）AD的大小是_m，方向是西偏北45°.2．1．3相等向量与共线向量1．D.2．D.3．D.4．①②.5．④.6．③④⑤.7．提示：由AB=DC AB=DC，AB∥DC ABCD为平行四边形AD=BC.（第8题）8．如图所示：A1B1，A2B2，A3B3.9．（1）平行四边形或梯形.（2）平行四边形.（3）菱形._．与AB相等的向量有3个（OC，FO，ED），与OA平行的向量有9个（CB，BC，DO，OD，EF，FE，DA，AD，AO）,模等于2的向量有6个（DA,AD,EB,BE,CF,FC）. _．由EH,FG分别是△ABD,△BCD的中位线，得EH∥BD，EH=_BD,且FG∥BD，FG=_BD，所以EH=FG,EH∥FG且方向相同，∴EH=FG．2．2平面向量的线性运算2．2．1向量加法运算及其几何意义1．D.2．C.3．D.4．a，b.5．①③.6．向南偏西60°走_km.7．作法：在平面内任取一点O，作OA=a,AB=b,BC=c,则OC=a+b+c，图略.8．（1）原式=（BC+CA）+(AD+DB)=BA+AB=0.（2）原式=(AF+FE)+(ED+DC)+CB=AE+EC+CB=AB.9．2≤|a+b|≤8．当a，b方向相同时，|a+b|取到值8；当a，b方向相反时，|a+b|取到最小值2._．（1）5.（2）24._．船沿与河岸成60°角且指向上游的方向前进，船实际前进的速度为33km/h． 2．2．2向量减法运算及其几何意义1．A.2．D.3．C.4．DB，DC.5．b-a.6．①②.7．（1）原式=(PM+MQ)+(NP-NQ)=PQ+QP=0.（2）原式=(BC-BD)+(CA+AD)+CD=DC+CD+CD=CD.8．CB=-b，CO=-a，OD=b-a，OB=a-b.9．由AB=DC，得OB-OA=OC-OD，则OD=a-b+c._．由AB+AC=(AD+DB)+(AE+EC)及DB+EC=0得证．_．提示：以OA,OB为邻边作OADB,则OD=OA+OB，由题设条件易知OD与OC 为相反向量，∴OA+OB+OC=OD+OC=-OC+OC=0.2．2．3向量数乘运算及其几何意义1．B.2．A.3．C.4．-_e1+_e2.5．(1-t)OA+tOB.6.③.7．AB=_a-_b，AD=_a+_b.8．由AB=AM+MB,AC=AM+MC，两式相加得出.9．由EF=EA+AB+BF与EF=ED+DC+CF两式相加得出._．AD=a+_b,AG=23a+_b,GC=_a+23b,GB=_a-_b._．ABCD是梯形．∵AD=AB+BC+CD=-_a+2b=2BC,∴AD∥BC且AD≠BC.2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3．1平面向量基本定理2．3．2平面向量的正交分解及坐标表示1．D.2．C.3．C.4．(-2,3),(23,2).5．1,-2.6．①③.7．λ=5．提示：BD=CD-CB=-3i+(3-λ)j，令BD=kAB(k∈R)，求解得出.8．_．提示：由已知得2_-3y=5，5y-3_=6，解得_=43,y=27.9．a=-__b-9_c．提示：令a=λ1b+λ2c，得到关于λ1,λ2的方程组，便可求解出λ1,λ2的值．_．∵a,b不共线，∴a-b≠0，假设a+b和a-b共线，则a+b=λ·(a-b)，λ∈R，有(1-λ)a+(1+λ)b=0.∵a,b不共线，∴1-λ=0，且1+λ=0，产生矛盾，命题得证．_．由已知AM=tAB（t∈R），则OM=OA+AM=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB，令λ=1-t，μ=t，则OM=λOA+μOB，且λ+μ=1(λ,μ∈R)．2．3．3平面向量的坐标运算2．3．4平面向量共线的坐标表示1．C.2．D.3．D.4．(_,-7)，1,_.5．(-2,6)6．(_,-28)7．a-b=(-8，5)，2a-3b=(-_,_)，-_a+2b=233,-5．8．AB+AC=(0,1),AB-AC=(6,-3),2AB+_AC=92,-1.9．提示：AB=(4,-1),EF=EA+AB+BF=83,-23=23AB._．3__,-2__或-3__,2__．_．（1）OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t)，当点P在第二象限内时，1+3t ＜0，且2+3t＞0，得-23＜t＜-_.（2）若能构成平行四边形OABP，则OP=AB，得(1+3t,2+3t)=(3,3)，即1+3t=3，且2+3t=3，但这样的实数t不存在，故点O，A，B，P不能构成平行四边形．2.4平面向量的数量积2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义1．C.2．C.3．C.4．-_2；-32.5．(1)0.(2)±24.(3)_0°.6．①.7．±5.8．-55；2_；_2.9．_0°._．-25．提示：△ABC为直角三角形，∠B=90°，∴AB·BC=0，BC与CA的夹角为_0°-∠C，CA与AB的夹角为_0°-∠A，再用数量积公式计算得出．_．-1_0．提示：由已知：（a+b）·（2a-b）=0，且（a-2b）·（2a+b）=0，得到a·b=-_b2，a2=58b2，则cosθ=a·b|a||b|=-1_0．2．4．2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．B.2．D.3．C.4．λ＞32.5．（2，3）或（-2，-3）.6．［-6,2］.7．直角三角形.提示：AB=(3,-2),AC=(4,6),则AB·AC=0,但｜AB｜≠|AC|.8．_=-_；_=-32或_=3.9.__,5_或-__,-5_._．正方形．提示：AB=DC,|AB|=|AD|,AB·AD=0._．当C=90°时，k=-23;当A=90°时，k=_3;当B=90°时，k=3±_2.2．5平面向量应用举例2．5．1平面几何中的向量方法1．C.2．B.3．A.4．3.5．a⊥b.6．②③④.7．提示：只需证明DE=_BC即可.8．(7,-8).9．由已知：CN=NA,BN=NP,∴AP=NP-NA=BN-CN=BC，同理可证：QA=BC，∴AP=QA，故P,A,Q三点共线._．连结AO,设AO=a,OB=b,则AB=a+b,OC=-b,AC=a-b,|a|=|b|=r，∴AB·AC=a2-b2=0,∴AB⊥AC._．AP=4PM．提示：设BC=a,CA=b，则可得MA=_a+b，BN=a+_b，由共线向量，令PA=mMA,BP=nBN及PA+BP=BA=a+b，解得m=45，所以AP=4PM.2．5．2向量在物理中的应用举例1．B.2．D.3．C.4．|F||s|cosθ.5．(_,-5).6．④⑤.7．示意图略,6_N.8．1_N.9．sinθ=v_-v_|v1|.（第_题）_．（1）朝与河岸成60°的角且指向上游的方向开.（2）朝与河岸垂直的方向开._．（1）由图可得：|F1|=|G|cosθ，|F2|=|G|·tanθ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|,|F2|都逐渐增大.（2）令|F1|=|G|cosθ≤2|G|，得cosθ≥_，∴0°≤θ≤60°.（第_(1)题）_．(1)能确定．提示：设v风车，v车地，v风地分别表示风对车、车对地、风对地的相对速度，则它们的关系如图所示，其中｜v车地｜＝6m/s，则求得：|v风车|＝63m/s，|v风地|＝_m/s．(2)假设它们线性相关，则k1a1+k2a2+k3a3=0（k1,k2,k3不全为零），得(k1,0)+(k2,-k2)+(2k3,2k3)=(0,0),有k1+k2+2k3=0，且-k2+2k3=0，可得适合方程组的一组不全为零的解：k1=-4,k2=2,k3=1，所以它们线性相关.(3)假设满足条件的θ存在，则由已知有：(a+b)2=3(a-b)2，化简得，|a|2-4|a||b|cosθ+|b|2=0，令t=|a||b|，则t2-4cosθ·t+1=0，由Δ≥0得，cosθ≤-_或cosθ≥_，故0≤θ≤π3或2π3≤θ≤π时，等式成立．单元练习1．C.2．A.3．C.4．A.5．C.6．C.7．D.8．D.9．C._．B._．①②③④._．-7._．λ＞1_._．0,2._.53._.2-2._.④._.(1)-_.(2)_._．（1）(4,2).（2）-4__．提示：可求得MA·MB=5(_-2)2-8；利用cos∠AMB=MA·MB|MA|·|MB|，求出cos∠AMB的值._．（1）提示：证(a-b)·c=0.（2）k＜0,或k＞2．提示：将式子两边平方化简．_．提示：证明MN=_MC即可._．D(1,-1)；|AD|=5．提示：设D(_,y)，利用AD⊥BC，BD∥BC,列出方程组求出_,y的值.高一数学必修四作业本答案：第二章.。

全新北师大版高中数学必修四课时同步测试题(全册共147页附答案)

全新北师大版高中数学必修四课时同步测试题（全册共147页附答案）目录第一章三角函数Array§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式§5正弦函数的图像与性质5.1正弦函数的图像5.2正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质§7正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质7.3正切函数的诱导公式§8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换第2课时函数y=Asin(ωx+φ)的性质第3课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质习题课§9三角函数的简单应用第一章检测第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量§2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法2.2向量的减法§3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量3.2平面向量基本定理01第一章三角函数§1周期现象课时过关·能力提升1.下列变化是周期现象的是()A.地球自转引起的昼夜交替变化B.某同学每天上学的时间C.某交通路口每次红灯亮时等待通行的车辆数D.某同学每天打电话的时间解析:某同学每天上学的时间是可以变化的,不是周期现象;某交通路口每次红灯亮时等待通行的车辆数是随意变化的,不是周期现象;某同学每天打电话的时间可长可短,也不具有规律性,不是周期现象.故选A.答案:A20..428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是()A.5B.4C.8D.7解析:由题意知,数字重复出现的周期为6,而545=6×90+5,故小数点后第545位上的数字是7.答案:D3.按照规定,奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办,则下列年份中不举办夏季奥运会的应该是()A.2012B.2016C.2019D.2020解析:2 019=2 008+4×2+3,显然,2 019不是4的倍数,故选C.答案:C4.小明今年17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是()A.26B.32C.36D.41解析:属相每12年循环一次,41=12×2+17,故选D.答案:D5.下列变量y关于变量x的散点图中,可能是周期现象的是()答案:D6.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号,2016年是猴年,则1949年是()A.牛年B.虎年C.兔年D.龙年解析:2 016-1 949=67,67÷12=5……7,从猴年往前数第7个即可,也就是牛年.答案:A7.把一批小球按2个红色、5个白色的顺序排列,则第30个小球是色.解析:小球的排列每隔7个呈周期变化,30=4×7+2,故第30个小球是红色.答案:红8.已知函数y=f(x),x∈N+,且f(1)=2,f(2)=4,f(3)=2,f(4)=4,f(5)=2,f(6)=4,f(7)=2,f(8)=4,……,试猜想f(2 018)=.解析:易知当自变量x为奇数时,f(x)=2;当自变量x为偶数时,f(x)=4.故猜想f(2 018)=4.答案:49.分析下面诗句中有哪些是周期现象.东升西落照苍穹,影短影长角不同.昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣.解太阳东升西落,昼夜循环,潮涨潮落,冬去春来(四季更替),草枯草绿都是周期现象.10.设钟摆每经过1.7 s回到原来的位置,在右图中从钟摆达到最高位置时开始计时,经过2 min后,请你估计钟摆在铅垂线的左边还是右边.解因为2×60=70×1.7+1,所以钟摆在铅垂线的右边.★11.下表是某日在泰山山顶每隔2 h测得的温度(单位:℃).(1)以时刻为x轴,以气温为y轴,画出图像;(2)若山顶的温度与时刻t具有周期现象,试估计泰山山顶一天中的最大温差.解(1)如图.(2)由图表知,泰山山顶一天中的最大温差约为28-(-2)=30(℃).§2角的概念的推广课时过关·能力提升1.下列命题中正确的是()A.终边相同的角一定相等B.{α|α是锐角}⫋{β|0°≤β<90°}C.第一象限的角都是锐角D.大于90°的角都是钝角解析:对于A,终边相同的角不一定相等,它们可能相差若干“圈”;对于B,α是锐角,即0°<α<90°,故{α|α是锐角}⫋{β|0°≤β<90°};对于C,第一象限的角是指终边在第一象限的角,如390°的终边在第一象限,而390°>90°,不是锐角;对于D,360°>90°,但不是钝角.答案:B2.-1 122°角的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为-1 122°=-4×360°+318°,而318°角的终边在第四象限,所以-1 122°角的终边所在的象限是第四象限.答案:D3.在[360°,1 440°]内,与-21°26'终边相同的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:所有与-21°26'终边相同的角,连同-21°26'在内,可表示为α=k×360°-21°26',k∈Z.当k=2时,α=698°34';当k=3时,α=1 058°34';当k=4时,α=1 418°34'.答案:C4.如图,终边落在阴影部分的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k×360°≤α≤120°+k×360°,k∈Z}D.{α|120°+k×360°≤α≤315°+k×360°,k∈Z}解析:注意角的范围不能局限于0°~360°,故在-360°~360°范围内,阴影部分表示-45°到120°范围内的角(包括-45°和120°).又终边相同的角一般相差360°的整数倍,于是所求集合为选项C中的集合.故选C.答案:C5.如果角α与角γ+45°的终边重合,角β与角γ-45°的终边重合,那么角α与角β的关系为()A.α+β=0°B.α-β=90°C.α+β=2k×180°(k∈Z)D.α-β=2k×180°+90°(k∈Z)解析:由条件知α=γ+45°+k1×360°(k1∈Z),β=γ-45°+k2×360°(k2∈Z),将两式相减得α-β=(k1-k2)×360°+90°,等价于α-β=2k×180°+90°(k∈Z).故选D.答案:D★6.设角α的终边为射线OP,射线OP1与OP关于y轴对称,射线OP2与OP1关于直线y=-x对称,则以OP2为终边的角的集合是()A.{β|β=k×360°+α,k∈Z}B.{β|β=(2k+1)×180°+α,k∈Z}C.{β|β=k×360°+90°+α,k∈Z}D.{β|β=k×360°+270°+α,k∈Z}解析:依题意,射线OP1所对应的角γ满足α+γ=k1×360°+180°,k1∈Z,①射线OP2所对应的角β满足γ+β=k2×360°-90°,k2∈Z,②②-①得β-α=(k2-k1)×360°-270°,即β=k×360°+90°+α,k∈Z.答案:C7.角α与角β的终边关于原点对称,则α与β的关系为.答案:β-α=k×360°+180°(k∈Z)8.若角α的终边与240°角的终边相同,则角α2的终边在第象限.答案:二或四9.已知角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,则角α=.解析:∵5α与α的始边和终边分别相同,∴这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°(k∈Z).∴α=k·90°(k∈Z).又180°<α<360°,令180°<k·90°<360°(k∈Z),则2<k<4(k∈Z),∴k=3,α=270°.答案:270°10.已知角α=-1 910°.(1)把角α写成β+k×360°(0°≤β<360°,k∈Z)的形式,并判断它是第几象限角;(2)求角θ,使角θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解(1)设α=-1 910°=β+k×360°(k∈Z),则β=-1 910°-k×360°(k∈Z).令0°≤-1 910°-k×360°<360°,解得-61136<k≤-51136.故k=-6,相应的β=250°.于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+k×360°(k∈Z),取k=-1,-2,得到符合-720°≤θ<0°的角θ为250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.在与1 030°角终边相同的角中,求满足下列条件的角:(1)最大负角;(2)最小正角;(3)360°~720°的角.解与1 030°角终边相同的角的集合为{α|α=k×360°+1 030°,k∈Z}.(1)令k=-3,得与1 030°终边相同的角中最大负角为-50°.(2)令k=-2,得最小正角为310°.(3)令k=-1,得α=670°.★12.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒末回到A点,并且在第2秒末均位于第二象限,求α,β的值.解根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,从而可知α=m 7×180°,β=n7×180°,m,n∈Z.∵两只蚂蚁在第2秒末均位于第二象限,∴2α,2β的终边在第二象限.又0°<α<β<180°,故90°<2α<2β<180°.于是45°<α<90°,45°<β<90°.∴45°<m7×180°<90°,45°<n 7×180°<90°,即74<m<72,74<n<72.又α<β,∴m<n.∴m=2,n=3,即α=(3607)°,β=(5407)°.§3弧度制课时过关·能力提升1.将分针拨快15分,则分针转过的弧度数是()A.−π3B.π3C.−π2D.π2解析:分针拨快15分钟相当于顺时针旋转90°,由-90°=−π2,得转过的弧度数为−π2.答案:C2.集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案:C3.若α是第四象限角,则π-α是第()象限角.A.一B.二C.三D.四解析:∵2kπ−π2<α<2kπ(k∈Z),∴-2kπ<-α<-2kπ+π2(k∈Z),∴-2kπ+π<π-α<-2kπ+3π2(k∈Z),故π-α是第三象限角.答案:C4.已知圆弧的长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C.√3D.2如图,设圆弧所在圆的半径为r,则圆的内接正三角形的边长为√3r,所以圆弧的长度为√3r.由l=|α|r得,该圆弧所对的圆心角的弧度数|α|=√3rr=√3.答案:C5.已知集合M={x|x=k·π2,k∈Z},N={x|x=kπ±π2,k∈Z},则()A.集合M是集合N的真子集B.集合N是集合M的真子集C.M=ND.集合M与集合N之间没有包含关系解析:因为kπ±π2=(2k±1)π2=(2k±1)·π2,它是π2的奇数倍,所以集合N是集合M的真子集.答案:B6.一圆内切于圆心角为π3,半径为R的扇形,则该圆的面积与该扇形的面积之比为() A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切,如图,由圆半径r=(R-r)si nπ6,得r=13R,故[π·(13R)2]∶(12·π3R2)=2∶3.答案:B7.若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则此三角形的最小内角的弧度数为.解析:设最小内角为α,则α+2α+3α=π,故α=π6.答案:π68.若角α的终边与角π6的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=.解析:设角π6的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边的角的集合为{α|α=2kπ+π3,k∈Z}.∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π3<4π.∴−136<k<116.∵k∈Z,∴k=-2或-1或0或1.∴α=−11π3或−5π3或π3或7π3.答案:−11π3或−5π3或π3或7π39.若角θ的终边与角8π5的终边相同,则在[0,2π]内终边与角θ4的终边相同的是.解析:由题意,θ=2kπ+8π5(k∈Z),∴θ4=kπ2+2π5(k∈Z).∵0≤kπ2+2π5≤2π,∴−45≤k≤165,∴k=0或1或2或3.故θ4依次为2π5或9π10或7π5或19π10.答案:2π5或9π10或7π5或19π10★10.半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,按照逆时针方向沿圆周匀速旋转,已知点P在1 s内转过的角度为θ(0<θ<π),经过2 s到达第三象限,经过14 s又回到出发点A处.求:(1)角θ的大小;(2)线段OP每秒扫过的扇形的面积.解(1)∵0<θ<π,∴0<2θ<2π.又2kπ+π<2θ<2kπ+3π2(k∈Z),∴k=0.∴π2<θ<3π4.①又14θ=2nπ(n∈Z),∴θ=nπ7(n∈Z).②由①②可得θ=4π7或θ=5π7.(2)由(1)知θ=4π7或θ=5π7,∵S扇形=12θr2=12θ,∴S扇形=2π7或S扇形=5π14.即线段OP每秒扫过的面积是2π7或5π14.11.已知两个圆心角相同的扇形,它们的面积之比为1∶2,求它们的周长比.解设两圆的半径分别为r,R,圆心角α所对的弧长分别为l1,l2,则两扇形的周长之比为2r+l12R+l2=2r+r|α|2R+R|α|=rR=√12r2|α|12R2|α|=√12=√2即它们的周长比为1∶√2.★12.设集合A={x|2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z},B={x|−4≤x≤4},求A∩B.解∵A={x|2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z},∴当k=-1时,−5π3<x<−π3;当k=0时,π3<x<5π3.∵B={x|-4≤x≤4},∴A∩B={x|-4≤x<-π3或π3<x≤4}.在数轴上表示为如图中的阴影部分.§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课时过关·能力提升1.已知角α的终边与单位圆相交于点P(-√32,12),则cos α=()A.−√32B.−12C.12D.√32答案:A2.若1 140°角的终边上有一点(4,a),则a的值是()A.4√3B.−4√3C.±4√3D.√3解析:∵x=4,y=a,r=√16+a2,∴sin 1 140°=sin(3×360°+60°)=sin 60°=√32=√16+a2解得a=4√3.答案:A3.下列函数是周期函数的有()①y=sin x;②y=cos x;③y=x2.A.①③B.②③C.①②D.①②③解析:y=sin x和y=cos x都是周期函数.函数y=x2的图像不是重复出现的,故函数y=x2不是周期函数.答案:C4.若α为象限角,则式子|sinα|sinα+|cosα|cosα有()个不同值.A.1B.2C.3D.4解析:若α为第一象限角,原式=1+1=2;若α为第二象限角,原式=1-1=0;若α为第三象限角,原式=-1-1=-2;若α为第四象限角,原式=-1+1=0.答案:C5.若sin αcos α<0,则α的终边在()A.第一或第二象限B.第一或第三象限C.第一或第四象限D.第二或第四象限解析:∵sin αcos α<0,∴sin α与cos α异号,∴α的终边在第二或第四象限.答案:D6.在△ABC中,若sin A·cos B<0,则此三角形必为三角形.解析:在△ABC中,∵0<∠A<π,∴sin A>0.又sin A·cos B<0,∴cos B<0,∴∠B为钝角.故△ABC为钝角三角形.答案:钝角7.已知角θ的终边过点P(sin2π3,cos2π3),则角θ可以是.(只填一个满足条件的即可)解析:si n2π3=√32,cos2π3=−12,即点P(√32,-12),从而点P在第四象限.因此,只需找到一个第四象限的角θ使得sin θ=−12,cos θ=√32即可,显然θ=−π6满足条件,故填−π6.答案:−π6(答案不唯一)8.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,则a的取值范围是.解析:∵sin α>0,cos α≤0,∴{a+2>0,3a-9≤0,解得-2<a≤3.答案:-2<a≤3★9.已知cos α<0,且sin α<0.(1)求角α的集合;(2)求角α2终边所在的象限;(3)试判断si nα2·co sα2的符号.解(1)由cos α<0,得角α的终边在第二或第三象限或在x轴的非正半轴上;由sin α<0,得角α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上.故满足cos α<0,且sin α<0的角α在第三象限.所以角α的集合为{α|2kπ+π<α<2kπ+32π,k ∈Z}.(2)由2k π+π<α<2k π+32π(k ∈Z ),得k π+π2<α2<kπ+34π(k ∈Z ),所以角α2的终边在第二或第四象限.(3)当角α2的终边在第二象限时,si n α2>0,cos α2<0,所以si n α2·co s α2<0;当角α2的终边在第四象限时,si n α2<0,cos α2>0, 所以si n α2·co s α2<0. 综上所述,si n α2·co s α2的符号为负. 10.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴.若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=−2√55,求y 的值. 解根据题意,sin θ=−2√55<0及P (4,y )是角θ终边上一点,可知θ为第四象限角,所以y<0.由三角函数的定义,√4+y 2=−2√55,解得y=-8.11.已知角α的终边经过点P (-3cos θ,4cos θ),其中θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z ),求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解∵θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z ),∴cos θ<0.又x=-3cos θ,y=4cos θ, ∴r =√x 2+y 2=√(-3cosθ)2+(4cosθ)2=−5cos θ.∴sin α=−45,cos α=35.★12.已知α是第三象限角,试判断sin(cos α)·cos(sin α)的符号.解∵α是第三象限角,∴-1<sin α<0,-1<cos α<0.∴sin(cos α)<0,cos(sin α)>0.∴sin(cos α)·cos(sin α)<0.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课时过关·能力提升1.已知函数y=sin x ,x ∈[π6,2π3],则y 的取值范围是( )A .[-1,1]B .[12,1]C.(12,√32)D.(√32,1)解析:由单位圆可知正弦函数y=sin x 在[π6,π2]上是增加的,在[π2,2π3]上是减少的,所以当x =π2时取得最大值1,当x =π6时取得最小值12.答案:B 2.已知函数y=sin x 的定义域为[a ,b ],值域为[-1,12],则b −a 的最大值和最小值之和等于( )A .4π3B.8π3C.2πD.4π解析:利用正弦函数的性质知(b-a )min =2π3,(b −a)max =4π3,故b-a 的最大值和最小值之和等于2π. 答案:C3.函数y =√1-12sinx 的值域是( )A .[12,1]B.[0,12]C .[1,32]D.[√22,√62]解析:∵-1≤sin x ≤1,∴12≤1−12sin x ≤32,√22≤√1-12sinx ≤√62.因此函数y =√1-12sinx 的值域是[√22,√62],故选D .答案:D4.函数y =√1+2cosx 的定义域是( )A .[-2π3,2π3]B .[2kπ-2π3,2kπ+2π3],k ∈ZC .[-π3,π3]D.[2kπ-π3,2kπ+π3],k∈Z解析:∵1+2cos x≥0,∴cos x≥−12,∴x∈[2kπ-2π3,2kπ+2π3],k∈Z,此即为所求函数的定义域,故选B.答案:B5.函数y=√1-cosx的单调增区间是.解析:∵y=cos x的递减区间是[2kπ,2kπ+π],k∈Z,它与y=-cos x的单调性相反,∴原函数的递增区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z.答案:[2kπ,2kπ+π],k∈Z6.函数y=1-x1+cosx的定义域是;函数y=√2sinx-1的定义域是.解析:∵1+cos x≠0,∴cos x≠-1,∴x∈{x|x≠2kπ+π,k∈Z}.∵2sin x-1≥0,∴sin x≥12,∴x∈{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}.答案:{x|x≠2kπ+π,k∈Z}{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}7.函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]的最大值为,最小值为.解析:当x=−π2时,函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]取得最大值1;当x=π3时,函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]取得最小值−√32.答案:1−√328.函数y=2-sin x的值域是,递增区间是,最小正周期是.答案:[1,3][2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)2π9.下列说法正确的有.(只填序号)①y=|sin x|的定义域为R;②y=3sin x+1的最小值为1;③y=sin x-1的递增区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2](k ∈Z ).解析:∵y=sin x 的定义域为R ,∴y=|sin x|的定义域为R ,故①正确;当sin x=-1时,y min =-2,故②错;y=sin x-1的递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2],k ∈Z ,故③错. 答案:①10.已知函数y=a sin x+b 的最大值为0,最小值为-4,求a ,b 的值.解由题意知,{|a |+b =0,-|a |+b =-4,解得{a =2,b =-2或{a =-2,b =-2.11.若0<α<2π,求使sin α<√32和cos α>12同时成立的α的范围. 解利用单位圆及正弦函数的性质,在(0,2π)内,由sin α<√32,得α∈(0,π3)∪(2π3,2π). 同理,由cos α>12,得α∈(0,π3)∪(5π3,2π).故所求α的范围是(0,π3)∪(5π3,2π).★12.函数f (x )=-sin 2x+sin x+a ,若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值范围. 解f (x )=−(sinx -12)2+14+a,当sin x=-1时,y min =a-2; 当sin x =12时,y max =14+a,∴f (x )的值域为[a -2,14+a].∴{a -2≥1,14+a ≤174,∴{a ≥3,a ≤4,即3≤a ≤4. ∴a 的取值范围是[3,4].4.4 单位圆的对称性与诱导公式课时过关·能力提升1.已知f (cos x )=cos 2x ,则f (sin 15°)=( )。

北师大版数学必修四作业：第2章平面向量 3.1

第二章 §3 3.1A 级基础巩固一、选择题1．13[12(2a －8b )－(4a ＋2b )]等于( B ) A ．2a －b B ．－a －2b C ．－a ＋2bD ．a －b[解析] 原式＝13(a －4b －4a －2b )＝－a －2b .2．在四边形ABCD 中，若AB →＝－13CD →，则四边形ABCD 是( B )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形[解析] ∵AB →＝－13CD →，∴AB ∥CD 且|AB →|＝13|CD →|，∴四边形ABCD 是梯形．3．在△ABC 中，已知BC →＝3BD →，则 AD →等于( A ) A ．13(AC →＋2AB →)B ．13(AB →＋2AC →)C ．14(AC →＋3AB →)D ．14(AC →＋2AB →)[解析] 如图所示，由已知得D 点在BC →上，且D 为BC 的三等分点，由加法的三角形法则可得AD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13(AC →＋2AB →)．应选A ．4．若x 为未知向量，满足方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( B ) A ．65aB ．6aC ．－6aD ．－65a[解析] 由已知得－x ＝－6a ， ∴x ＝6a .5．给出以下命题：①若两非零向量a ，b ，使得a ＝λb (λ∈R )，那么a ∥b ； ②若两非零向量a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )； ③若λ∈R ，则λa ∥a ；④若λ，μ∈R ，λ≠μ，则(λ＋μ)a 与a 共线．其中正确命题的个数是( D ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] a ∥b (b ≠0)⇔存在实数λ使得a ＝λb ， ∴①②③④正确．6．已知向量a ，b 不共线，若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ等于( C ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．±1[解析] ∵向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反， ∴(a ＋λb )∥(b ＋λa )．由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m ，使得a ＋λb ＝m (b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b . ∵a 与b 不共线，∴1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ. ∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a ＋b 与b ＋a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去． ∴λ＝－1. 二、填空题7．若a ＝e 1＋2e 2，b ＝e 1－2e 2，则2a －3b ＝__－e 1＋10e 2__. [解析] 2a －3b ＝2(e 1＋2e 2)－3(e 1－2e 2)＝－e 1＋10e 2. 8．点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →＝__－32__BC →.[解析] 因为CB →＝25AB →，所以BC →＝－25AB →.又AC →＝35AB →，故AC →＝35AB →＝35×(－52)BC →＝－32BC →.三、解答题 9．计算下列各式： (1)3(2a －b )－2(4a －3b )； (2)13(4a ＋3b )－12(3a －b )－32b ； (3)2(3a －4b ＋c )－3(2a ＋b －3c )．[解析] (1)原式＝6a －3b －8a ＋6b ＝－2a ＋3b ； (2)原式＝43a ＋b －32a ＋12b －32b＝(43－32)a ＋(1＋12－32)b ＝－16a ； (3)原式＝6a －8b ＋2c －6a －3b ＋9c ＝(6－6)a －(8＋3)b ＋(2＋9)c ＝－11b ＋11c .10．在□ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，求MN →(用a ，b 表示)． [解析] 由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )， AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b .B 级素养提升一、选择题1．已知向量e 1≠0，e 2≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若a 与b 共线，则下列关系一定成立的是( D )A ．e 1∥e 2B ．e 1＝e 2C ．λ＝0D ．e 1∥e 2或λ＝0[解析] ∵a 与b 共线， ∴存在实数μ，使a ＝μb ， ∴e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，λ＝0.∴λ＝0或e 1∥e 2. 2．已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线交点为O ，则OB →等于( C ) A ．12a ＋bB ．a ＋12bC ．12(a ＋b )D ．a ＋b[解析] DA →＋DC →＝DA →＋AB →＝DB →＝2OB →，所以OB →＝12(a ＋b )，故选C ．3．如图所示，向量OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →.设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →＝r ，则以下等式中成立的是( A )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p[解析] ∵OC →＝OB →＋BC →，AC →＝－3CB →＝3BC →， ∴BC →＝13AC →.∴OC →＝OB →＋13AC →＝OB →＋13(OC →－OA →)．∴r ＝q ＋13(r －p )．∴r ＝－12p ＋32q .4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( A ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2AB →，所以，A 、B 、D 三点共线．二、填空题5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是__梯形__.[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2BC →. ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC . ∴四边形ABCD 是梯形．6．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝λPB →(λ≠－1)，O 是平面上的任一点，则OP →＝__OA →＋λOB →1＋λ__.[解析] 由AP →＝λPB →(λ≠－1)，得OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)， ∴(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →. ∴OP →＝OA →＋λOB →1＋λ.三、解答题7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋m e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．[解析] ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与CB →共线．∴存在实数λ，使AB →＝λCB →成立，即2e 1＋m e 2＝λ(e 1＋3e 2)，即(2－λ)e 1＋(m －3λ)e 2＝0.∵e 1，e 2是两个不共线的向量，∴2－λ＝m －3λ＝0. ∴λ＝2，m ＝6，故所求的m 的值为6.8．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．[解析] (1)如图所示，延长AD 到G ，使AG →＝2AD →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)知，BE →＝23BF →，∴BE →，BF →共线．又BE →，BF →有公共点，∴B ，E ，F 三点共线．C 级能力拔高设两个不共线的向量e 1、e 2，若向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与向量c 共线？[解析] ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k 使d ＝k ·c ，即：(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 2－9k e 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．由Ruize收集整理。

数学北师大版高中必修4(北师在版必修4)第2章平面向量

第2章平面向量（数学苏教版必修4）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ，则向量等于 .2. 有下列四个关系式：①|a ·b |=|a |·|b |;②|a ·b |≤|a |·|b |;③|a ·b |≥|a |·|b |;④|a ·b |≠|a |·|b |.其中正确的关系式是 .3.在△ABC 中，AB 边上的高为CD ,若=a , =b ,a ·b =0,|a |=1,|b |=2,则= .4.已知向量a =(2,1),a · b =10,|a +b |=5,则|b |= .5.设x ，y ∈R ,向量a =(x ,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |= . 6.设a =(，tan )，b =(cos ，)，且a ∥b ，则锐角的值为 . 7.点P 为△ABC 所在平面内任一点，且++=，则点P 与△ABC 的位置关系是 .8.对于向量a 、b 、c 和实数，下列命题中的真命题是 .○1若a ·b =0，则a =0或b =0;○2若a =0，=0或a =0;○3若a 2=b 2，则a =b 或a =-b;○4若a ·b =a ·c ，则b =c. 9. 在△ABC 所在平面存在一点O 使得 + + = 0，则面积 = .10.若将向量a =（1，2）绕原点按逆时针方向旋转得到向量b ，则b 的坐标是 . 11.已知平面上三点A 、B 、C 满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于 .12.已知点A （1，-2），若向量与a =（2，3）同向，||=则点B 的坐标为 .13. 设=(3，1)，=(-1，2)， ⊥ , ∥,又+=，则的坐标是 .14.若对n 个向量a 1，a 2，…，a n 存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ，使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立，则称向量a 1,a 2,…,a n 为“线性相关”.依此规定，能说明a 1=(1,2),a 2=(1,-1)，a 3=(2,10)“线性相关”的实数k 1,k 2,k 3依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.OD CB CA AD 1332PA PB PC AB λλλOA OB OC π4AB BC CA AB BC BC CA CA AB AB AB OA OB OC OB BC OA OD OA OC OD二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.(15分)设a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d.18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|= 4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第2章平面向量（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15.16.17.18.19.第2章平面向量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a+c-b解析：如图，点O到平行四边形三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，结合图形有=+=+=+-=a+c-b.2.○2解析：|a·b|=|a||b||cos |≤|a|·|b|,其中为a与b3.a- b 解析：利用向量的三角形法则求解.如图，∵a·b=0，∴a⊥b，∴∠ACB=90°，∴AB又CD⊥AB,∴AC2=AD·AB，∴AD.∴==（a-b）=a-b.4.5 解析：｜a+b｜2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=50，即5+2×10+|b|2=50,∴|b|=5.5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解.∵a=（x,1）,b=（1,y）,c=（2,-4）,由a⊥c得a·c=0,即2x-4=0,∴x=2.由b∥c,得1×（-4）-2y=0,∴y=-2.∴a=（2,1）,b=（1,-2）.∴a+b=（3,-1）,∴|a+b=.6.解析：∵a∥b，∴×-t a n cos =0，OD OA AD OA BC OA OC OBθθ4545AD45AB454545π61332A DC即sin =，∴ =. 7. P 在AC 边上解析：∵ ++=，∴ +=+=，即=2.∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上.8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项○1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9. 解析：∵ + + = 0 ，∴ + = ，设 + =， ∴O 是A D 的中点，要求面积之比的两个三角形是同底的三角形，∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是， 10. （，）解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos =××=，即x 2+y 2=5，x+2y =，解得x =，y =（舍去x =，y =）.故b =（，）. 11.-25 解析：∵||2+||2=||2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ，cos A =，cos C =. ∴原式=3×4×0+4×5×()+5×3×()=. 12.（5，4）解析：设=（x ，y ），∵ 与a 同向，∴ =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 又||=2，∴ x 2+y 2=52. ∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.∴ 点B 的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设=(x ,y ),由⊥,得-x+2y =0.①由=-=(x +1,y-2), ∥, 12π6PA PB PC AB PA PC AB BP AP PC AP 13OA OB OC OB OC AO OB OC OD 132-32π4252252222-3223222222-322AB BC CA 354545-35-25-AB AB AB 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩AB OC OC OB BC OC OB BC OA得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x =14,y =7.故=-=(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c ,2c ,c (c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得∴ k 1=-4c ,k 2=2c ,k 3=c (c ≠0). 二、解答题15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）.设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）.16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ），则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b∴ 函数f （x17.解：（1）因为a =m b +n c , 所以（3，2）＝（-m+4n ,2m +n ）, 所以（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2),所以2（3+4k ）+5（2+k）＝0，即k =-. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4),又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以所以d =（）,或d =（）. 18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0.又x ⊥y ，∴ x ·y =0，即［a +（t-3）b ］·（-ka +tb ）=0，OD OC OA 12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩161322444(4)2(1)0,(4)(1)1,1155x x x y x y y y ⎧⎧==⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或455++455---k a2-k（t-3）a·b+t a·b+t（t-3）b2=0.将|a|=2，|b|=1代入上式得-4k+t2-3t=0，即k=f（t）=（t2-3t）.（2）由（1）知k=f（t）=（t2-3t）=（t-）2,∴当t=时，k最小=.19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v1|2=| v|+| v2|，得| v9.2（km/h）.∵cos（π-）===，∴π-≈π，即≈π=114°，时间t=≈=（h）,即约3.3 min.答：v1与v2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B处，大约行驶3.3 min14141432916-32916-21vv4102511301930dv0.59.2592。

北师大数学必修四作业：第2章平面向量含解析

第二章 §7A 级基础巩固一、选择题1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1→、F 2→，则|F 1→＋F 2→|为( C ) A ．(5,0) B ．(－5,0) C ．5D ．－ 5[解析] ∵OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)， ∴|F 1→＋F 2→|＝(1－3)2＋(1－2)2＝5，故选C ．2．在菱形ABCD 中，下列关系式不正确的是( D ) A ．AB →∥CD →B ．(AB →＋BC →)⊥(BC →＋CD →) C ．(AB →－AD →)·(BA →－BC →)＝0 D ．AB →·AD →＝BC →·CD →[解析] AB →·AD →＝|AB →||AD →|cos A ， BC →·CD →＝|BC →||CD →|cos (π－A )， ∴AB →·AD →＝－BC →·CD →.3．已知点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是( C ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[解析] AC →＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)， AB →＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，所以AC →·AB →＝1×21＋(－3)×7＝21－21＝0. 故AC →⊥AB →，且|AB →|≠|AC →|.4．在△ABC 中，若AB →·BC →＋|AB →|2＝0，则△ABC 的形状是( C ) A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形[解析] ∵AB →·BC →＋|AB →|2＝0，∴AB →·BC →＋AB →2＝0，即AB →·(BC →＋AB →)＝0. ∴AB →·AC →＝0.∴AB →⊥AC →，即AB ⊥AC . ∴∠A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．5．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成120°角，且F 1，F 2的大小分别为1和2，则有( A )A ．F 1，F 3成90°角B ．F 1，F 3成150°角C ．F 2，F 3成90°角D ．F 2，F 3成60°角[解析] 由F 1＋F 2＋F 3＝0⇒F 3＝－(F 1＋F 2)⇒F 23＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 120°＝1＋4＋4×(－12)＝3⇒|F 3|2＝3，由|F 1|＝1，|F 2|＝2，|F 3|＝3知，F 1，F 3成90°角，故选A ．6．两个大小相等的共点力F 1 ，F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( B )A ．40NB ．102NC ．202ND ．103N[解析] |F 1＋F 2|＝20.又F 1⊥F 2，所以|F 1|＝|F 2|＝102，当F 1与F 2夹角为120°时， |F 1＋F 2|＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝200＋200＋2×200×(－12)＝102(N)．二、填空题7．设点A (1,1)，B (3，y )，且AB →为直线2x －y ＋1＝0的方向向量，则y ＝__5__.[解析] AB →＝(2，y －1)，依题意得y －12＝2，所以y ＝5.8．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝__－14__.[解析] 本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算．如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝12(a ＋b )，BE →＝BC →＋CE →＝(b －a )＋⎝⎛⎭⎫－b 3＝23b －a ， ∴AD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2·⎝⎛⎭⎫23b －a ＝13a ·b －|a |22＋|b |23－12a ·b ＝|b |23－|a |22－16a ·b ＝13－12－16×12＝－14. 三、解答题9．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .[证明] 建立如图所示的直角坐标系，设A (a,0)，则B (0，a )，E (x ，y )． ∵D 是BC 的中点，∴D (0，a 2)．又∵AE ＝2EB ，即AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a .要证AD ⊥CE ，只需证AD →与CE →垂直，即AD →·CE →＝0.∵AD →＝(0，a 2)－(a,0)＝(－a ，a 2)，OE →＝CE →＝(a 3，23a )，∴AD →·CE →＝－a ×a 3＋23a ×a 2＝－13a 2＋13a 2＝0，∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .10．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线所在直线的方程． [解析] 向量AB →＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，AC →＝(－4,7)－(4,1)＝(－8,6)．又∠A 的平分线的一个方向向量为 AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝(35，45)＋(－45，35)＝(－15，75)，则∠A 的平分线所在的方程可设为75x ＋15y ＋m ＝0，将点(4,1)的坐标代入，得m ＝－295，整理得7x ＋y －29＝0，即∠A 的平分线所在直线的方程为7x ＋y －29＝0.B 级素养提升一、选择题1．已知两点A (3,2)，B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 为( B ) A ．0或－12B ．12或－6C ．－12或12D ．0或12[解析] 直线的法向量为n ＝(m,1)，其单位向量为n 0＝n|n |＝11＋m 2(m,1)，在直线上任取一点P (0，－3)，依题意有|AP →·n 0|＝|BP →·n 0|，从而|－3m －5|＝|m －7|，解得m ＝12或m ＝－6.故选B ．2．已知点O 、N 、P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O 、N 、P 依次是△ABC 的( C )A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心[解析] 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，已知点O 为△ABC 的外心，由NA →＋NB →＋NC →＝0，知点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →，得(P A →－PC →)·PB →＝0，即CA →·PB →＝0，故CA →⊥PB →.同理，AP ⊥BC ，故P 为△ABC 的垂心，选C ．3．△ABC 中，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，若c ·(c ＋a －b )<0，则△ABC 是( C ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．无法确定其形状[解析] 由已知，AB →·(AB →＋BC →－CA →)＝AB →·2AC →<0， ∴角A 为钝角，故选C ．二、填空题4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__λ>－53且λ≠0__.[解析] ∵a 与a ＋λb 均不是零向量，夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，a ＋λb ＝m a ，即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m )．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m 2＋λ＝2m，得λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，∴λ≠0. 即λ>－53且λ≠0.5．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做功的是__－11__.[解析] ∵W ＝F ·s ＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F 对质点P 做的功是－11.6．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是__[π6，56π]__.[解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为： S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥12且θ∈[0，π]，所以θ∈[π6，56π]．三、解答题7．一辆汽车在平直的公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为南偏东60°，风速为4m /s ，这时气象台报告实际风速2m /s.试求风的实际方向和汽车的速度大小．[解析] 依据物理知识，有三个相对速度，汽车对地的速度为v 1，风对车的速度为v 2，风对地的速度v 3风对地的速度可以看做车对地与风对车的速度的合速度，即v 3＝v 1＋v 2，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可知表示向量v 3的有向线段AD →是平行四边形ABCD 的对角线．因为|AC →|＝4，∠CAD ＝60°，|AD →|＝2，所以∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，|DC →|＝|AC →|·sin 60°＝23(m/s)．答：风的实际方向是正南，汽车的速度大小为23m/s.8．如图所示，已知□ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，a 与b 的夹角为θ，则|a |＝3，|b |＝1，θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC ―→2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，|DB →|＝DB ―→2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，DB ＝7.C 级能力拔高已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)．设点X 是线段OP 上的一动点(O 为坐标原点)．(1)当XA →·XB →取得最小值时，求OX →的坐标；(2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求∠AXB 的余弦值．[解析] (1)由于点X 在直线OP 上，则X (2x 0，x 0)，从而XA →＝(1－2x 0,7－x 0)，XB →＝(5－2x 0,1－x 0)，故XA →·XB →＝(1－2x 0,7－x 0)·(5－2x 0,1－x 0)＝5x 20－20x 0＋12＝5(x 0－2)2－8≥－8，∴XA →·XB →的最小值为－8，此时x 0＝2，从而OX →＝(4,2)． (2)当OX →＝(4,2)时，有 XA →＝(－3,5)，XB →＝(1，－1)， ∴XA →·XB →＝－8，且|XA →|＝34，|XB →|＝ 2. 从而cos ∠AXB ＝XA →·XB→|XA →||XB →|＝－834×2＝－41717.。

高中数学北师大版必修4学案附答案：第二章平面向量2.1向量的加法学案

高考数学北师大版必修4学案附答案2．1 向量的加法内容要求 1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量(重点).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算(难点)．知识点1 向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算． (2)三角形法则：①作图：已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ；②几何意义：从第一个向量的起点到第二个向量终点的向量． (3)平行四边形法则：①作图：已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则向量AC →叫作a 与b 的和，表示为a ＋b ＝AC →； ②几何意义：平行四边形对角线所在的向量．【预习评价】1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形答案 D2．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( ) A.BC → B.DA → C.AB →D.AC →答案 A知识点2 向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．特别地：对于零向量与任一向量a 的和有0＋a ＝a ＋0＝a . 【预习评价】1．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2AB → D.AB →＋BC →＝AC →答案 C2.AO →＋BD →＋OB →等于________．答案 AD →题型一向量加法法则的应用【例1】 (1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ； (2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .解 (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →＝a ＋b .规律方法用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．【训练1】已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .解在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .题型二向量加法及其运算律【例2】化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AD →＋DF →＋FA → ＝AF →＋FA →＝0.规律方法向量加法运算律的应用原则及注意点(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． (2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”； ②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．【训练2】如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点． (1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________；(3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________.答案 (1)AC → (2)AO → (3)AD →(4)0方向1 向量加法在平面几何中的应用【例3－1】已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形．方向2 向量加法在物理中的应用【例3－2】在长江某渡口上，江水以2 km/h 的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为23km/h ，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．解要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v 1，水流速度为v 2，船实际航行的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt △ABC 中，|BC →|＝| v 1|＝2 3. |AB →|＝|v 2|＝2， ∴|AC →|＝|v |＝|AB →|2＋|BC →|2＝22＋232＝4.tan θ＝|BC →||AB →|＝232＝ 3.∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°. 方向3 向量加法在实际问题中的应用【例3－3】如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是 1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.规律方法应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算． (3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．易错警示利用向量解决实际问题时容易出现向量关系转化错误.课堂达标1．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )A ．30 NB ．60 NC ．90 ND ．120 N答案 B2．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A.FD →＋DA →＋DE →＝0B.AD →＋BE →＋CF →＝0C.FD →＋DE →＋AD →＝AB →D.AD →＋EC →＋FD →＝BD →解析 FD →＋DA →＋DE →＝FA →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋FA →＝0， FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →. 故选D. 答案 D3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________．解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213. 答案 2134．在正六边形ABCDEF 中，AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝________.解析 AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝(AB →＋BC →)＋(BC →＋CD →)＋(CD →＋DE →)＋(DE →＋EF →)＋(EF →＋FA →)＋(FA →＋AB →) ＝(AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →)＋(BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →＋AB →)＝0＋0＝0. 答案 05.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ∵AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.基础过关1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同D ．不确定解析如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．答案 A2．下列等式错误的是( ) A ．a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →解析 AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错．答案 B3．若a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可答案 A4．根据图示填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________.解析 (1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →. 答案 (1)DB → (2)CA →5．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____．解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8. ∴|a ＋b |的最大值为8. 答案 86.如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)由题图知，四边形OABC 为平行四边形，∴OA →＋OC →＝OB →. (2)由图知BC →＝FE →＝OD →＝AO →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →. (3)∵OD →＝FE →， ∴OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝0.7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 证明 ∵PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →＋0＋0＝4PO →. ∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.能力提升8.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3解析 |AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案 B9．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的是( ) ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＝|a |－|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤D ．③④⑤解析 a ＝0，∴a ∥b ，a ＋b ＝b ，|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选C. 答案 C10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______.解析如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0. 答案 011．已知△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，则在下列结论中，正确的有________． ①|AB →＋AC →|＝|BC →|；②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB →＋CA →|＝|BC →|；④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 解析如图，以AB →、AC →为邻边作平行四边形ABCD ，由于∠BAC ＝90°，则ABCD 为矩形． |AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|，故①正确． |AB →＋BC →|＝|AC →|＝|CA →|，故②正确． |AB →＋CA →|＝|AB →－AC →|＝|CB →|＝|BC →|.故③正确．又|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，故④正确．答案 ①②③④12．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 解如图，∵|OA →|＝|OB →|＝3，11∴四边形OACB 为菱形．连接OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D .∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →|＝3.∴在Rt △BDC 中，CD ＝332. ∴|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3. 13．(选做题)如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.证明由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知：EF →＝CD →，BF →＝FA →.所以AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →)＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →)＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋FA →＝0.。

【2014-2015学年高中数学(北师大版,必修4)课时作业2.1第二章 平面向量

备课参考高一数学北师大必修四同步练习：第2章 平面向量 含答案

2014-2015学年高中数学 1.4 数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2

北师大版高一数学必修4第二章平面向量测试题及答案

北师大版数学必修四课时作业 第2章 学业质量标准检测(B)

北师大版数学高一必修四 作业 第二章《平面向量》章末检测

高中数学 第二章 平面向量 19 向量应用举例课时作业 北师大版必修4

北师大版数学必修四课时作业 第2章 2