高等数学微积分课件第一型曲线积分的应用

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《高等数学教学课件》第四节第一型曲面积分15页PPT

第一类(对面积)曲面积分的性质
类似于第一类曲的线性积 ,质第分一类曲面积分也有：
1 .线性 ,2 .有性限 ,3 .单质可 ,4 .调中加性值 .5 .性 d 定 S 的理 .面
6 .若的面 (x ,y ,密 z )则 ,( 1 ) 度的 . 为质 m ( 量 x ,y ,z ) d为 .S
3
3
D xy :0x 1 ,0y 1 x .d S1zx 2z2 ydx d 1 y 1 1 dx d 3 dyx ,
xyz dS3
x(y1xy)dxdy31dx 1xx(1 yxy)d y 00
4
Dxy
30 1d0 1 x x[x (1 x )yx2]y d y30 1[1 2x (1x)y21 3x3] y 1 0 xd x
二、第一(对类面积 )曲面积分的计算法
定理、设(1)函 . f数 (x,y,z)在光滑上曲连 ; 面续
(2)曲 . 面可以表 :zz示 (x,y)为 (,x,y)D ,
则 f(x,y,z)dS f[x,y,z(x,y)]1zx 2(x,y)z2 y(x,y)dx.
D
同理可得:若可以表:示 x为 x(y,z),(y,z)D
d S1zx 2z2 ydx d 1 y 1 1 dx d 3 dyx . dy
(x 2 y 2 z2 )d S 23 4 (a x y )2 dx dy
D
2 3 0 a 4 d 0 a x ( x a x y ) 2 d 2 y 3 ( 4 1 3 ) 0 a [ a ( x y ) 3 ] a 0 x d x
a2h2 rdr 2a a2h2 rdr
0 a2r2

数学分析课件第一型曲线积分

保守力场与势函数是描述物体在力场中运动的数学工具。
详细描述
保守力场是指一种特殊的力场，其中存在一个势函数，使得力场沿任意路径的积分等于势函数在该路径起点和终点的差值。这种力场的特点是，物体在其中运动时，其路径与起点无关，只与势函数有关。因此，保守力场与势函数是描述物体在力场中运动的数学工具。
流量与流速场
速度场与线积分
总ห้องสมุดไป่ตู้词
速度场与线积分在物理中有着密切的联系，它们描述了物体在空间中移动的规律。
详细描述
在物理中，速度场指的是物体在空间中移动的速度分布。线积分则用于计算在给定路径上的速度场中，物体所经过的位移量。因此，速度场与线积分共同描述了物体在空间中的运动轨迹和规律。
保守力场与势函数
总结词
积分路径的无关性
曲线积分与路径无关的条件
如果对于某个函数f(x,y)，有 ∮L[Pdx+Qdy]=0，则称曲线积分 ∫[a,b]Pdx+Qdy与路径无关。
证明方法
通过构造一个新的函数F(x,y)，并证明F(x,y) 满足偏微分方程组{∂F/∂y=Q, ∂F/∂x=-P}，
从而证明曲线积分与路径无关。
总结词
流量与流速场是描述流体运动的数学工具。
详细描述
流量是指单位时间内流过某一截面的流体量，而流速场则描述了流体在空间中的流动速度分布。在流体力学中，流速场和流量是描述流体运动的两个重要参数，它们之间存在密切的联系和相互影响。通过对流速场和流量的研究，可以深入了解流体运动的规律和特性。
05
第一型曲线积分的性质与定理
如果曲线由参数方程$x=x(t), y=y(t)$表示，其中$t$是参数，则该曲线称为参数曲线。
参数的选择

数学分析课件第一型曲线积分

定义：将曲线上的点与直角坐标系中的点一一对应，将曲线积分的计算转化为直角坐标系中的定积分计算。
适用范围：适用于曲线方程为参数方程形式的情况。
计算步骤：首先将参数方程转换为直角坐标系中的普通方程，然后利用定积分的计算方法进行计算。
注意事项：在转换过程中需要注意参数方程与直角坐标系中的普通方程之间的对应关系，以及定积分的计算方法和技巧。
第一型曲线积分第二型曲线积分方向性几何意义
物理应用：计算曲线形构件的质量、重心、惯性矩等
经济应用：计算曲线形资产的净现值、投资回报率等
添加标题
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工程应用：求解曲线形构件的静力学问题和动力学问题
计算机图形学应用：绘制光滑曲线、曲面等
参数方程的建立参数方程的消元参数方程的代入参数方程的化简
添加文档副标题
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
定义：曲线积分是函数在曲线上的积分，用于计算曲线长度、面积等
性质：曲线积分满足线性性质，即对于两个函数的和或差的积分等于它们各自积分的和或差
方向性：曲线积分具有方向性，即沿着曲线的正向或负向积分结果不同
奇偶性：对于奇函数或偶函数在曲线上的积分，结果具有奇偶性
内容1：第一型曲线积分的
性质
内容2：第一型曲线积分的
定理
内容3：第一型曲线积分与第二型曲线积
分的区别
内容4：第一型曲线积分的
应用
第一型曲线积分的性质：与路径无关第一型曲线积分的性质：对称性第一型曲线积分的性质：可加性第一型曲线积分的定理证明：通过定义和性质推导定理

高等数学课件 §9.6第一型曲线积分计算

R
xds
L
R
xR
R2x2
dx 0
R2 x2
(法二 ):L: xy R Rcsion s ,0
ds R2sin2R2co2sd
xd R s2co d sR 2 sin 0
L
0
0
例 2 L (x y )d,L s :连接 O (0 ,0 )A 三 ,( 1 ,0 )B ,( 点 0 ,1 ) 的.
§9.6 第一型曲线积分的计算
一、第一型曲线积分的概念曲线形物体的质量
设曲线形物体在 x平 o 面上占 y 有可求长曲线 L ，
其线密度为连续函数 f ( x , y ) ，求该物体的质量 m 。
y
M1 M2 A
M i1MiBiblioteka (i,i) LM n1
解
OA
:
y
0
0 x
1
ds dx
y
B
y 1 x
AB
:
0
x
1
ds
2 dx
x 0
o
OB
:
0
y 1
ds dy
Ax
1
1
1
L(xy)ds0xdx0 2dx 0ydy
1x2 1 21y2 1 1 2
20
20
例 3 计L算 (x2y2z2)d,其 s L:中 x2 xy 2 z z2 19 2.
B
o
x
（ 1 ）分割在 L 上任取点列 M 1,M 2, M n 1，把 L分n小为段
si(i 1 ,2 , ,n )，同时也以 si 表示第 i小段弧长。（ 2 ）近似

微积分：10.1 第一类 (对弧长的) 曲线积分

i 1
n
取极限
A
lim
0
i 1
h(i ,i
) si .
A
y
Mn
MnA1 i
Mi
Mi1 (i ,i )
2:非均匀平面曲线形构件的质量
均匀的质量 M s.
分割 M0 , M1,, Mn , 近似取 (i ,i ) Mi1Mi ,
Mi (i ,i ) si .
y
M0
o
(x, y) Mn
则 f ( x, y, z)ds
0,
当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z) 的奇函数
2 f ( x, y)ds, 当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z)的偶函数 1
Γ1是曲线Γ落在yz (或xz) (或x y平) 面一侧的部分.
运用对称性简化第一类曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数与积分曲线的对称性.
A⌒B
BO
yB
OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx
O
Ax
e x2 y2ds a e xdx ea 1
OA
0
A⌒B : x a cos t, y a sint, 0 t
4
A⌒B e x2 y2ds
4 ea
0
(a sint)2 (a cos t)2 dt aea
解2 选 y 为积分变量
y2 2x x y2 2
(0 y 2)
2
1
I
y
0
1 y2dy 3 (5
5 1)
例求I xyzds,其中 : x a cos , y a sin ,
z k 的一段. (0 2 )

01第一节第一类曲线积分

第十一章曲线积分与曲面积分在第十章中，我们已经把积分的积分域从数轴上的区间推广到了平面上的区域和空间中的区域.本章还将进一步把积分的积分域推广到平面和空间中的一段曲线或一片曲面的情形.相应地称为曲线积分与曲面积分，它是多元函数积分学的又一重要内容.本章将介绍曲线积分与曲面积分的概念及其计算方法.以及沟通上述几类积分内在联系的几个重要公式：格林公式、奥-高公式和斯托克斯公式.第一节第一类曲线积分分布图示★引例曲线形构件的质量★第一类曲线积分的概念★第一类曲线积分的性质★第一类曲线积分的物理意义★第一类曲线积分的计算★例1 ★例2 ★例3★例4 ★例5 ★例6★内容小结 ★课堂练习★习题11—1★返回内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量.二、第一类曲线积分的定义与性质性质1设α，β为常数，则⎰⎰⎰+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则.),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f注：若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则ds y x g ds y x f L L⎰⎰≤),(),(性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使sf ds y x f L ⋅=⎰),(),(ηξ其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(),(),(βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x xdt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=⎰⎰βα(1.10)如果曲线L 的方程为b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f ba L )(1])(,[),(2'+=⎰⎰(1.11)如果曲线L 的方程为d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f dc L )(1]),([),(2'+=⎰⎰(1.12)如果曲线L 的方程为βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβαd r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=⎰⎰ 例题选讲第一类曲线积分的计算例1（E01）计算曲线积分,)(22⎰+=L ds y x I 其中L 是中心在)0,(R 、半径为R 的上半圆周（图11-1-2）.解由于上半圆周的参数方程为 ⎩⎨⎧=+=tR y t R x sin )cos 1(),0(π≤≤t 所以I ds y x L ⎰+=)(22 ⎰++=π02222]sin )cos 1([t R t R dt t R t R 22)cos ()sin (+-⎰+=π03)cos 1(2dt t R π03]sin [2t t R +=.23R π=例2（E02）计算半径为R,中心角为α2的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度1=ρ).解取坐标系如图(图10-1-3),则.2⎰=Lds y I 为计算方便,利用L 的参数方程,cos t R x =t R y sin =).(αα≤≤-t 故⎰=L ds y I 2θααd t R t R t R ⎰-+-=2222)cos ()sin (sin⎰-=ααtdt R 23sin αα-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22sin 23t t R )2sin 2(23αα-=R ).cos sin (3ααα-=R 例3计算,⎰L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点)0,0(O 与点)1,1(B 之间的一段弧.解如图(见系统演示),L 的方程 ),10(2≤≤=x x y ds dx x 22)(1'+=.412dx x +=因此 ds y L ⎰⎰+⋅=102241dx x x ⎰+=10241dx x x).155(121)41(121102/32-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x例4计算⎰L yds ,其中积分弧段L 是由折线OAB 组成,而),0,1(A ).2,1(B 解在OA 上，,0=y ,dx ds = 所以.0=⎰OA yds在AB 上，,1=x ,dy ds =所以⎰AB yds ⎰=20ydy .2= 从而 ⎰OAB yds ⎰⎰+=AB OA yds yds 20+=.2=例5（E03）计算,||⎰L ds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(222222y x a y x -=+的弧.解双纽线的极坐标方程为.2cos 22θa r = 用隐函数求导得,2sin ,2sin 22r a r a r r θθ-='-=' .2sin 2224222θθθθd r a d r a r d r r ds =+='+= 所以.)22(2sin 4sin 4||2402402a d a d r a r ds y L -==⋅=⎰⎰⎰ππθθθθ 例6（E04）求,2⎰Γ=ds x I 其中Γ为球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 所截得的圆周.解由对称性,知⎰Γds x 2⎰Γ=ds y 2,2⎰Γ=ds z 所以 I ⎰Γ++=ds z y x )(31222⎰Γ=ds a 231 ⎰Γ=ds a 32,323a π= 其中a ds π2=⎰Γ为球面的大圆周长. 课堂练习1.计算曲线积分⎰Γ++dsz y x )(222,其中Γ为螺旋线kt z t a y t a x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到π2的一段弧. 2.有一段铁丝成半圆形,22x a y -=其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标,求其质量.。

第一型曲线积分【高等数学PPT课件】

思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 Ld s 表示什么?
(2) 定积分是否可看作第一型曲线积分的特例 ?
否! 对第一型曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
3. 性质
(1) Γ f ( x, y, z) g( x, y, z)ds
f (x, y, z) ds g(x, y, z) ds
L

lim
0 k 1
f
(k ,k )sk
(2). 若 L (或 G)是分段光滑的, (L = L + L )
1
2
f (x, y, z)ds f (x, y, z)ds f(x, y,z)ds.
L1 L2
L1
L2
(3).如果L是闭曲线 , 则记为 Ñ L f ( x, y)ds .
o 因此上述计算公式相当于“换元法”.
ds dy dx
xx
如果曲线 L 的方程为
则有
f (x, y)ds
L
b
f (x, (x) )
a
1 2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r r( ) ( ), 则
L f (x, y)ds

f (r( ) cos , r( )sin
(2)
Γ k f (x, y, z)ds
k
f (x, y, z) ds

（k 为常数)
(3)
Γ f (x, y, z)ds
f (x, y, z) ds
1
f (x, y, z) ds
2
(由
组成)
(4) Γ ds = l ( l 为曲线弧的长度)

《曲线积分》课件

换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为更容易计算的定积分的方法。
详细描述
换元法的基本思想是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为定积分。通过选择合适的换元函数，可以将曲线积分的积分路径转化为直线或简单的几何形状，从而简化计算过程。这种方法在处理复杂的曲线积分时非常有效。
经济学中的应用
在经济学中，曲线积分可以用于研究商品价格变动对需求量的影响，以及投资回报率等问题。
曲线积分的分类
第一型曲线积分
第一型曲线积分是计算函数在曲线上的定积分，用于计算曲线下的面积和长度等。
第二型曲线积分
第二型曲线积分是计算函数关于某个变量的变差，用于计算速度和加速度等物理量。
02
曲线积分背景
曲线积分是微积分学中的重要概念，它与定积分、重积分等概念有密切联系，是解决许多实际问题的重要工具。
曲线积分的应用
1 2
3
物理学中的应用
曲线积分在物理学中有广泛的应用，如计算曲线运动的轨迹长度、速度和加速度等。
工程学中的应用
在工程学中，曲线积分被广泛应用于计算各种曲线形状的物体在运动过程中的物理量，如管道流速、机械零件的振动等。
电场线的积分与电荷量
电场线的积分
电场线是描述电场分布的几何图形，电场线的积分可以用来计算电场中的电荷量。通过曲线积分的方法，可以计算出电场线上各点的电场强度，从而得到整个电场的电荷量分布。
VS
电荷量
电荷量是描述电场中电荷数量的物理量，它表示电场中电荷的多少。在物理学中，电荷量可以通过电场线的积分来计算，并用于研究电场的性质和行为。
06
曲线积分的综合应用

微积分D3 第一型曲面积分PPT共28页

h o
Dxy a y
x
Dx y : x2 y2 a2 h2
dS z
Dxy
a2
a x2
y2
d
xy
a
2
d
0
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln 2
a2 r2
a2 h2
0
2
a
ln
a h
.
机动目录上页下页返回结束
思考: 若是球面 x2 y2 z2 a2 被平行平面 z =±h 截
o
I
=
1
2
3
4
xyz
dS
4
xyz d S
1 x
1y
4 : z 1 x y ,
n0
gradF gradF
1
,
3
1, 3
1 3
;
Dx
y
:
0
0
y
x
1 1
x ;
I
Dxy
xy
1 x
y
1
cos
d xy
3
1
x dx
1x y 1 x y d y =
3.
0
0
120
机动目录上页下页返回结束
机动目录上页下页返回结束
例1.
计算曲面积分
I
dS
z
,
其中：Σ是球面
x2 y2 z2 a2
被平面 z h (0 h a) 所截的顶部曲面区域。 z
解: 曲面Σ上的单位法向量为：
n0 P
grad P grad P
x
a
,

高等数学高数课件 11.1第一类曲线积分

L
证: 根据定义
n
lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
设各分点对应参数为
点 (k ,k )对应参数为
sk
tk tk 1
2 (t ) 2 (t ) d t
2 ( k ) 2 ( k ) tk ,
则
n
lim
0
k
f
1
[
(
k
)
,
(
k
)
]
注意 2 (t) 2 (t ) 连续
n
lim
0
k
1
f
1 2
: y 2sin
0 2
则
z
1 2
2 cos
ds ( 2 sin )2
( 2 sin )2 d 2d
I
9 2
2
0
2d
18
三、利用对称性计算对弧长的曲线积分
曲线积分计算基本方法是将其转化为定积分来计算,在计算中，可以利用被积函数奇偶性和积分曲线的对称性以及积分曲线的轮换对称性来简化积分的计算。
(0 t
),
所以 I ( x2 y2 )ds L
[R2(1 cos t)2 R2 sin2 t] 0
(Rsin t)2 (Rcos t)2dt
2R3
(1
cos
t
)dt
2R3[t
sin
t]
0
0
2R3 .
例2 计算半径为 R, 中心角为 2 的圆弧 L 对于它
的对称轴的转动惯量 I (设线密度 1).
如果曲线第一类曲线积分的计算如果曲线第一类曲线积分的计算如果曲线的参数方程为中心角为的圆弧为计算方便利用cossin其中l是抛物线因此dsyds其中积分弧段是由折线oab组成dxdsoaydsdyds所以abyds从而oabydsaboaydsyds在极坐标系下它在第一象限部分为计算其中为球面曲线积分计算基本方法是将其转化为定积分来计算在计算中可以利用被积函数奇偶性和积分曲线的对称性以及积分曲线的轮换对称性来简化积分的计算

01第一节第一类曲线积分

01第一节第一类曲线积分
1 第十一章曲线积分与曲面积分
在第十章中，我们已经把积分的积分域从数轴上的区间推广到了平面上的区域和空间中的区域.本章还将进一步把积分的积分域推广到平面和空间中的一段曲线或一片曲面的情形.相应地称为曲线积分与曲面积分，它是多元函数积分学的又一重要内容.本章将介绍曲线积分与曲面积分的概念及其计算方法.以及沟通上述几类积分内在联系的几个重要公式：格林公式、奥-高公式和斯托克斯公式.
第一节第一类曲线积分
分布图示
★引例曲线形构件的质量
★第一类曲线积分的概念
★第一类曲线积分的性质
★第一类曲线积分的物理意义
★第一类曲线积分的计算
★例1 ★例2 ★例3
★例4 ★例5 ★例6
★内容小结★课堂练习
★习题11—1
★返回
内容要点
一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量.
二、第一类曲线积分的定义与性质
性质1设α，β为常数，则
+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；
性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则.),(),(),(2
121+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f
注：若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则ds y x g ds y x f L L
≤),(),(。

高等数学课件 §9.6第一型曲线积分计算-PPT文档资料

xds
L
R x R R 2 ( ds 1 y x ) dx dx 2 2 R x
R
xR
R
R2 x2
dx 0
xR cos ( 法二 ):L : , 0 yR sin ds R sinR cos d
2 2 2 2
A
B
o
x
（ 1 ）分割
L 上 M , M , M L 分为 n 小在任取点列，把段 1 2 n 1
s ( i 1 ,2 , ,n ) s ，同时也以示第 i 小段弧长。 i i 表（ 2 ）近似
( , ) s m f ( , ) s ，则第 i 小段的质量。 i i i i i i
L
0 x 1 1 x x 1 0 y 1
1 0
ds dx ds 2 dx
y
B
ds dy
1
o
A
x
x y ) ds dx ( xdx 2 ydyΒιβλιοθήκη 0 0112 x 2
1
12 2 y 0 2
1 0
1 2
2 2 2 9 x y z 2 2 2 例 3 计算 ( x y z ) ds , 其中 L : . 2 L z 1 x
n L
f ( x , y , z ) ds lim f ( , , ) s 积分： i i i i。
d 0 i 1
f ( x , y ) L 若是闭曲线，则在 L 上的第一型曲线
f ( x , y ) ds 积分记为。

§96第一型曲线积分的计算PPT课件

n
J d 2im i
i1
4
当 l 分别是 x 轴， y 轴， z 轴时，则质点组分别
对 x 轴， y 轴， z 轴的转动惯量分别为
n
n
n
J x ( y 2 i z 2 i ) m i , J y ( z 2 i x 2 i ) m i , J z ( x 2 i y 2 i ) m i 。
z
4
o 23 y
x
9
解：设 M (x,y,z)为空心柱体内任一点， dV为包含点
M 的体积微元， dF 是 dV对质量为 m 的质点的引力，
由万有引力定律得
d x k 2 F y 2 d z 2 m （ k 为 V 引力常数） z
D
D
例 4 ．求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量（设密度为 1 ）。
解：取球心为坐标原点，球半径为 R，轴 l 与 z 轴重合，则球体所占有的空间闭区域为
{x (,y,z)x2y2z2R 2},
7
所求转动惯量就是球体对 z 轴的转于动惯量
J z ( x 2 y 2 ) f ( x , y , z ) d 。 V
6
若是平面区域 D ，面密度函数为 f(x ,y )，则平面薄片对 x 轴、 y轴的转动惯量为
J x y 2 f(x ,y )d ， J y x 2 f(x ,y )d 。
∵ d F / O / ， O M x , y , z ， M4

高等数学微积分课件第一型曲线积分的应用

《高等数学教学课件》 第四节 第一型曲面积分15页PPT

数学分析课件第一型曲线积分

数学分析课件第一型曲线积分

高等数学课件 §9.6第一型曲线积分计算

微积分：10.1 第一类 (对弧长的) 曲线积分

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第一型 曲线积分【高等数学PPT课件】

《曲线积分》课件

微积分D3 第一型曲面积分PPT共28页

高等数学高数课件 11.1第一类曲线积分

01第一节第一类曲线积分

高等数学课件 §9.6第一型曲线积分计算-PPT文档资料

§96第一型曲线积分的计算PPT课件

《高等数学教学课件》第四节第一型曲面积分15页PPT

第一型曲线积分【高等数学PPT课件】