2019-2020学年福建省厦门市数学高二(下)期末调研试题含解析
2019-2020学年 福建省厦门市第六中学 高一上学期10月考数学试题(解析版)
2019-2020学年福建省厦门市第六中学高一上学期10月考数学试题一、单选题1．已知全集U={1，2，3，4，5}，且A={2，3，4}，B={4，5}，则()U A C B ⋂等于（ ） A ．{4} B ．{4，5} C ．{1，2，3，4} D ．{2，3}【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题U C B ={1，2，3}，所以()U A C B ⋂={2，3}，故选D ． 【考点】集合的运算2．下列四组中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =，()g x =B ．()f x x =，()2g x =C ．()2f x x =，()3xg x x=D ．()f x x =，()()(),0,0x x g x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩ 【答案】D【解析】A 项对应关系不同；B 项定义域不同；C 项定义域不同，初步判定选D 【详解】对A ，()g x x =，与()f x x =对应关系不同，故A 错对B ，()2g x =中，定义域[)0,x ∈+∞，与()f x x =定义域不同，故B 错对C ，()3x g x x=中，定义域0x ≠，与()f x x =定义域不同，故C 错对D ，()f x x =，当0x ≥时，()f x x =，当0x <时，()f x x =-，故()()(),0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，D 正确 故选：D 【点睛】本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表达式一样）3．设函数()221,12,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A 【解析】【详解】因为1x >时，2()2,f x x x =+- 所以211(2)2224,(2)4f f =+-==； 又1x ≤时，2()1f x x =-， 所以211115(()1().(2)4416f f f ==-=故选A. 本题考查分段函数的意义,函数值的运算.4．函数1()2(01)x f x a a a +=->≠且的图象恒过定点（ ） A ．()0,2 B ．()1,2 C ．()1,1- D ．()1,2-【答案】C【解析】由10x +=得1x =-代入解析式后，再利用01a =求出()1f -的值，即可求得答案。
江苏省无锡市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
江苏省无锡市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞2．已知双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，它的一条渐近线与圆()2222x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．223．已知空间向量(3,a =1，0)，(),3,1b x =-，且a b ⊥，则(x = )A ．3-B ．1-C ．1D ．24．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆则满足条件的集合A 的个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．95．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ）A ．1712π+B ．2012π+C ．1212π+D ．1612π+6．曲线4sin y x x =+在43x π=处的切线的斜率为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1 7．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（ ）A ．1B ．C ．2D ．38．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞内单调递增的函数是（ ）A ．3y x =-B ．cos y x =C ．1y x x =+D ．||y x x =9．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种10．2018年平昌冬奥会期间，5名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（ ）A ．21B ．36C ．42D ．8411．已知某次数学考试的成绩服从正态分布2(102,4)N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（ ） （附()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤）A ．0.3%B ．0.23%C ．0.13%D ．1.3%12．已知一袋中有标有号码1、2、3的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取5次卡片时停止的概率为（ ）A ．585B ．1481C ．2281D ．2581二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若1x =是函数()()25x x a e f x x =+-的极值点，则()f x 在[]22-,上的最小值为______. 14．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1p -，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是__________．15．在直角坐标系中，已知1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．16．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面直角坐标系中，射线:(0)l y kx x =≥ 的倾斜角为α ，且斜率k ∈.曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩ 为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ= .(1)分别求出曲线1C 和射线l 的极坐标方程；(2)若l 与曲线1C ，2C 交点(不同于原点)分别为A,B ，求|OA||OB|的取值范围.18．已知函数32()2f x x ax =-+（1）讨论()f x 的极值；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[0,2]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -．19．（6分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3423x t y t =+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ+-=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点p 是直线l 的一点，过点p 作曲线C 的切线，切点为Q ，求PQ 的最小值.20．（6分）某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取n 株作为样本进行研究．株高在35cm 及以下为不良，株高在35cm 到75cm 之间为正常，株高在75cm 及以上为优等．下面是这n 个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁．请根据可见部分，解答下面的问题：（1）求n 的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；（2）通过频率分布直方图估计这n 株株高的中位数（结果保留整数）；（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记X 表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X 的分布列（用最简分数表示）．21．（6分）已知等比数列的前项和，满足，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，记数列的前项和，求的最大值.22．（8分）设命题:p 函数2()16a f x ax x =-+的值域为R ；命题:39x x q a -<对一切实数x 恒成立，若命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】 分析：先构造函数()()xf xg x e =，再根据函数单调性解不等式. 详解：令()()x f x g x e =，因为()()()0x f x f x g x e '-'=<，(0)2g = 所以()2()(0)0x f x e g x g x >⇒>⇒<因此解集为(),0-∞ ，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 2．A【解析】 方法一：双曲线的渐近线方程为bx y a=±，则0bx ay ±=，圆的方程()2222x y -+=，圆心为()2,0,r ==a b =，则离心率e =方法二：因为焦点()2,0F c -到渐近线的0bx ay ±=距离为b ，2c =，即,c =则离心率为e =选A.3．C【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x 的方程，即可求解x 的值．【详解】由题意知，空间向量a (3,=1，0)，()b x,3,1=-，且a b ⊥，所以a b 0⋅=，所以31(3)010x +⨯-+⨯=，即3x 30-=，解得x 1=.故选C ．【点睛】 本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据题意A 中必须有1，2这两个元素，因此A 的个数应为集合{3,4，5}的子集的个数．【详解】解：{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，∴集合A 中必须含有1，2两个元素，因此满足条件的集合A 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共8个．故选C ．【点睛】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键.有n 个元素的集合其子集共有2n 个.5．B【解析】【分析】根据三视图可确定几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱∴几何体表面积：()221112312332132231220222S ππππ=⨯-+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+ 本题正确选项：B【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况. 6．B【解析】【分析】【详解】因为'14cos y x =+，所以434|14cos14133x y cos πππ=='=+-=-. 故选B.7．C【解析】试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a 3=6，S 3=11，联立可求公差d ．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3=6，S 3=11，得：解得：a 1=1，d=1．故选C ．考点：等差数列的前n 项和．8．D【解析】【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性，对A 、B 、C 、D 各项分别加以验证，不难得到正确答案．【详解】解：对于A ，因为幂函数y ＝x 3是R 上的增函数，所以y ＝﹣x 3是（0，+∞）上的减函数，故A 不正确； 对于B ，cos y x =为偶函数，且在(0,)+∞上没有单调性，所以B 不正确；对于C ，1y x x=+在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，故C 不正确； 对于D ，若f （x ）＝x|x|，则f （﹣x ）＝﹣x|x|＝﹣f （x ），说明函数是奇函数，而当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝x 2，显然是（0，+∞）上的增函数，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的判断与证明，属于基础题．9．A【解析】试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法． 三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法．三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．考点：本题主要考查分类计数原理的应用．点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和．用列举法也可以，形象、直观易懂．10．C【解析】分析：根据题意，分两种情况讨论：①最左边排甲；②最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算即可得到答案.详解：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有4424A =种安排方法；②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，再将剩下的3人全排列，有336A =种情况，此时有1863=⨯种安排方法，则不同的排法种数为241842+=种.故选：C.点睛：解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排问题直排法处理．(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．11．C【解析】分析：先求出u,σ,再根据(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=和正态分布曲线求114分以上的成绩所占的百分比.详解：由题得u=102,4,σ=3114.u σ∴+=因为(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=， 所以10.9974(114=0.00130.13%2P X ->==）. 故答案为：C. 点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线和概率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)利用正态分布曲线求概率时，要画图数形结合分析，不要死记硬背公式.12．B【解析】分析：由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有53种；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有两种编号，所以总的可能有()24322C -种；所以恰好第5次停止取卡片的概率为()24352214381C p -==. 本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．3e -【解析】【分析】先对f(x)求导，根据()'10f =可解得a 的值，再根据函数的单调性求出区间[]22-,上的最小值． 【详解】()()()25'2x x x a e e f x x x a =+++-2(2)5x e x a x a ⎡⎤=+++-⎣⎦，则()()'1220f e a =-=，解得1a =，所以()()25x f x x x e =+-， 则()()2'34x e x f x x =+-()()41x e x x =+-.令()'0f x >，得4x <-或1x >；令()'0f x <，得41x -<<.所以()f x 在[)2,1-上单调递减；在(]1,2上单调递增.所以()()min 13f x f e ==-.【点睛】本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由()'10f =求出未知量a ．14．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C 43p 3（1﹣p ）+p 4，2引擎飞机可以正常工作的概率是p 2，根据题意列出不等式，解出p 的值． 详解：每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p ，不出现故障的概率是p ，且各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；4引擎飞机可以正常工作的概率是C 43p 3（1﹣p ）+p 4，2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，2引擎飞机可以正常工作的概率是p 2要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，依题意得到C 43p 3（1﹣p ）+p 4＞p 2，化简得3p 2﹣4p+1＜0， 解得13＜p ＜1． 故选：B ．点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用．15．(),-∞⋃+∞【解析】【分析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件2PA PB =求出动点P 的轨迹方程，可得知动点P 的轨迹为圆，然后将问题转化为直线10x my +-=与动点P 的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m 的不等式，即可求出实数m 的值.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，2PA PB == 化简得()2254x y -+=，则动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径为2的圆，由题意可知，直线10x my +-=与圆()2254x y -+=有公共点，2≤，解得m ≤m ≥.因此，实数m 的取值范围是(),-∞⋃+∞.故答案为：(),-∞⋃+∞.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.16．3【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()a y f x x ==，由于图象过点(,12,2a a ==， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）1:2cos ;:,(,]43C l ππρθθαα==∈ （2）2,23]（ 【解析】试题分析：(1)结合题中所给的方程的形式整理可得曲线1C 和射线l 的极坐标方程分别是：1:2cos ;:,,43C l ππρθθαα⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦. (2)联立12,C C 的方程，结合题意可求得|OA||OB|的取值范围是(2,23]. 试题解析：(1)的极坐标方程为， 的极坐标方程为， (2)联立2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得联立2cos sin ρθθθα⎧=⎨=⎩， 得 ∴2tan 22,3]k α==∈（18．（1）答案不唯一，具体见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）求导函数'()f x ，由导函数确定函数的单调性后可确定极值；（2）由（1）可知()f x 在区间(0,2]上的单调性，从而可求得极值和最值．【详解】（1）2()32(32)f x x ax x x a '=-=-当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在(-,)∞+∞上单增，无极值当0a >时，2()03a f x x '>⇒>， ()f x ∴单减区间是2-,3a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，单增区间是2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 所以324()2327a a f x f ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭极小，无极大值．（2）203,023a a <<∴<< 由（1）知()f x 在20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，2,23a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单增 3min 24()2327a a f x f m ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭max ()max{(0),(2)}max{2,104}f x f f a ==-当02a <≤时，34104,104227a M a M m a =--=--+348427a a =-- 当23a <<时，33442,222727a a M M m =-=-+= 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值与最值．解题时可求出导函数后确定出函数的单调性，然后可确定极值、最值．19．（1）34170x y --=，22(1)9x y ++=；（2）见解析【解析】【分析】（1）消去t,得直线l 的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线C 的直角坐标方程；（2）判断l 与圆A 相离，连接,AQ AP ，在Rt APQ ∆中，22222||||437PQ PA AQ =-≥-=，即可求解【详解】 （1）将l 的参数方程3423x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）消去参数，得34170x y --=. 因为x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，22cos 80ρρθ+-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为()2219x y ++=.（2）由（1）知曲线C 是以()1,0-为圆心，3为半径的圆，设圆心为A ，则圆心A 到直线l 的距离317435d --==>，所以l 与圆A 相离，且4PA ≥.连接,AQ AP ，在Rt APQ ∆中，22222||||437PQ PA AQ =-≥-=，所以，PQ ≥PQ .【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题20．（1）20n =，补图见解析（2）估计这n 株株高的中位数为82（3）见解析【解析】【分析】根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列．【详解】解：（1）由第一组知10.002520n=，得20n =， 补全后的频率分布直方图如图（2）设中位数为0x ，前三组的频率之和为0.050.10.20.350.5++=<，前四组的频率之和为0.050.10.20.450.80.5+++=>，∴[)075,95x ∈， ∴()0750.02250.15x -⨯=，得0245823x =≈， ∴估计这n 株株高的中位数为82. （3）由题设知132,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()22749020400P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ ()127139112020200P X C ==⋅⋅= ()22213169220400P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭X的分布列为X0 1 2P 4940091200169400【点睛】本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题.21．（1）（2）166【解析】【分析】（1）将题目中的条件转化为首项和公比的式子，于是可得到通项公式；（2）通过条件先求出数列的通项，要想的值最大，只需找出即可.【详解】解：（1）所以（2）当时，当时，将代入成立，所以，当时，，当时，所以【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，数列的最值问题，意在考查学生的基础知识，计算能力和分析能力，难度不大.22．1(,](2,)4a∈-∞+∞【解析】试题分析：分别求出命题p ，q 成立的等价条件，利用p 且q 为假．确定实数a 的取值范围．试题解析：p 真时，0a =合题意.0a >时，210024a a ∆=-≥⇒<≤． 02a ⇒≤≤时，P 为真命题.q 真时：令3(0,)x t =∈+∞，故2a t t >-在(0,)+∞恒成立14a ⇒>时，q 为真命题. p q ⇒∧为真时，124a <≤. p q ∴∧为假命题时，1(,](2,)4a ∈-∞+∞.考点：复合命题的真假.。
2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1219)
南靖县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即()2~100,X N a（0a>），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（）（A）400 （B ）500 （C）600 （D）8002．已知函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x（m∈R）存在两个极值点x1，x2，直线l经过点A（x1，x12），B（x2，x22），记圆（x+1）2+y2=上的点到直线l的最短距离为g（m），则g（m）的取值范围是（）A．[0，2] B．[0，3] C．[0，）D．[0，）3．设集合（）A．B． C．D．4．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣85．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=sin（3x+）B．f（x）=sin（2x+）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（2x+）6． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（ ）A ．＜，乙比甲成绩稳定B ．＜，甲比乙成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定D ．＞，乙比甲成绩稳定7． 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OPQ ∆的面积等于（ ）A ．B ．C ．2 D ．48． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则异面直线EF 和BC 1所成的角是（ ） A ．60° B ．45° C ．90° D ．120°9． 有以下四个命题：①若=，则x=y ． ②若lgx 有意义，则x ＞0．③若x=y ，则=．④若x ＞y ，则 x 2＜y 2． 则是真命题的序号为（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④10．已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}，则A ∩（∁R B ）=（ ） A ．{x|x ≤0} B ．{x|2≤x ≤4} C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}11．函数的定义域为（ ）A ．{x|1＜x ≤4}B ．{x|1＜x ≤4，且x ≠2}C ．{x|1≤x ≤4，且x ≠2}D ．{x|x ≥4}12．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．或D ．或二、填空题13．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是．14．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且•=5，则△ABC的形状是直角三角形．15．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）．16．已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．17．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是．18．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是．（用区间表示）三、解答题19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．20．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x af x b+-+=+.（1）当1a b ==时，求满足()3xf x =的x 的取值；（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数①存在t R ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围； ②若函数()g x 满足()()()12333xxf xg x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.21．如图，A 地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题一、 单选题1． 已知集合{}2{0,1,2,3,4},|560A B x x x ==-+>，则A B =I （ ）A ．{0,1}B ．{4}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4}【答案】 C【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()256320x x x x -+=-->，解得2x <，或3x >，故{}0,1,4A B =I .故选C. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．计算52752C 3A +的值是（ ） A ．72 B ．102 C ．5070 D ．5100【答案】B【解析】根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值. 【详解】依题意，原式227576232354426010221C A ⨯=+=⨯+⨯⨯=+=⨯，故选B. 【点睛】本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题.3．设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A. 【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.4．5(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．30【答案】D【解析】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得3x 的系数. 【详解】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有3x 的为()3322335512102030C x x C x x x ⋅+⋅=+=，故展开式中3x 的系数为30，故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题.5．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X 服从正态分布2(0.98)N σ,，且(0.97)0.005P X <=，则(0.970.99)P X <<=（ ）A ．0.96B ．0.97C ．0.98D ．0.99【答案】D【解析】根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率. 【详解】由于0.98μ=，故(0.970.99)12(0.97)0.99P X P X <<=-⨯<=，故选D. 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.6．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是( ) A ．()f x 有最大值53，无最小值B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值 D ．()f x 有最大值2，最小值75【答案】A【解析】试题分析：()2132()11x f x f x x x +==+⇒--在[)8,4--上是减函数()f x 有最大值5(8)3f -=，无最小值，故选A.【考点】函数的单调性.8．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()22()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞UD ．(,2)(1,)-∞-+∞U【答案】A【解析】代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项. 【详解】若0a =，()()()20212,00,120f f f -===>符合题意，由此排除C,D 两个选项.若1a =，则()()2211f f -=不符合题意，排除B 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.9．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．115B ．215 C ．15D ．415【答案】B【解析】先求得二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后利用列举法求得在05:一共6个数字中任选两个，和为4的概率，由此得出正确选项. 【详解】令1x =代入5(31)x -得5232=，即二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：01,02,03,04,05,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共15种，其中和为36324-=的有04,13共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为215，故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题.10．函数()21()ln 2x f x x e -=+-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
广西省玉林市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
广西省玉林市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量8X ξ+=，若()~10,0.6X B ，则()E ξ，()D ξ分别为（ ） A ．6和2.4 B ．6和5.6C ．2和2.4D ．2和5.6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望和方差公式求出()E X 和()D X ，然后利用期望和方差的性质可求出()E ξ和()D ξ的值.【详解】()~10,0.6X B ，()100.66E X ∴=⨯=，()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=.8X ξ+=，8X ξ∴=-，由期望和方差的性质可得()()()882E E X E X ξ=-=-=，()()()8 2.4D D X D X ξ=-==.故选：C. 【点睛】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用． 2．在三棱柱1111,ABC A B C AA -⊥面ABC ，23BAC π∠=，14AA =，AB AC ==，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理可求得BC ，再根据正弦定理可求得ABC ∆外接圆半径r；由三棱柱特点可知外接球半径R =R 后代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】AB AC ==23BAC π∠=22222cos363BC AB AC AB AC π∴=+-⋅= 6BC ∴=由正弦定理可得ABC ∆外接圆半径：622sin 2sin 3BC r BAC π===∠∴三棱柱111ABC A B C -的外接球半径：221112442R r AA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ ∴外接球表面积：2464S R ππ==本题正确选项：C 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，从而利用底面三角形外接圆半径和三棱柱的高，通过勾股定理求得外接球半径.3．已知非空集合,A B ，全集U A B =⋃，集合M A B =⋂, 集合()()UU N B A =⋃则（ ）A ．MN M = B ．M N ⋂=∅ C ．M ND ．M N ⊆【答案】B 【解析】分析：根据题意画出图形，找出M 与 N 的并集，交集，判断M 与 N 的关系即可 详解：全集U A B =⋃，集合M A B =⋂, 集合()()UU N B A =⋃M N U ∴⋃=，M N ⋂=∅，M N ≠故选B点睛：本题主要考查的是交集，并集，补集的混合运算，根据题目画出图形是解题的关键，属于基础题。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020学年天津市第七中学高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年天津市第七中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零，则b 的值为（ ） A ．2 B ．23C ．23-D ．2-【答案】A【解析】由复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零，得20b -=，求解即可得答案． 【详解】由复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零， 得20b -=，即2b =． 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．i 为虚数单位，若复数()()11mi i ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．0或1【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简()()1i 1i m ++，再利用纯虚数的定义求解即可． 【详解】()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，10 10m m -=⎧∴⎨+≠⎩，即1m =，故选C ． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．下列式子错误的是（ ）A ．(sin )cos x x '=B ．(cos )sin x x '=C ．2(2ln )x x'=D ．()x x e e --'=-【答案】B【解析】根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A ，(sin )cos x x '=，正确； 对于B ，(cos )sin x x '=-，错误； 对于C ，2(2)lnx x'=，正确； 对于D ，()xxe e --'=-，正确；故选：B ． 【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．4．设()ln(21)f x x =-，若()f x 在0x 处的导数0()1f x '=，则0x 的值为（ ）A ．12e + B ．32C ．1D ．34【答案】B【解析】直接求出原函数的导函数，由0()1f x '=列式求解0x 的值． 【详解】由()ln(21)f x x =-，得(212)f x x =-'． 由002()121f x x '==-，解得：032x =． 故选：B ． 【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题． 5．若复数z 满足z （i-1）=2i （i 为虚数单位），则z 为（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【详解】z （i-1）=2i （i 为虚数单位），∴-z （1-i ）（1+i ）=2i （1+i ），∴-2z=2（i-1），解得z=1-i ．则z =1+i ． 故选A ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 6．复数43iz i+=，则(z = ) A ．5 B ．4C ．5D ．25【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可． 【详解】 解：z ()24343i ii i i++===-（﹣3+4i ）＝3﹣4i ， ∴|z |223(4)=+-=5， 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '< ，符合条件的只有D 选项，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题. 8．已知函数π()()sin cos 6f x f x x '=+，则π()6f 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2- D ．1-【答案】D【解析】求函数的导数，即可得到结论． 【详解】()()sin cos 6f x f x x π='+，()()cos sin 6f x f x x π∴'='-，令6x π=，则1()()cos sin ()666662f f f πππππ'='-='-，则()2)6f π'==-，则()2)sin cos f x x x =-+，则1()2)sin cos 2)16662f πππ=-++=-⨯=-，故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用导数求出()6f π'的值是解决本题的关键．9．设()f x 是定义在［－1，1］上的可导函数，()00f =，且()22f x x '=+，则不等式()()120f a f a +->的解集为 A ．[]0,1 B ．[)1,1- C ．(]1,1- D ．[)0,1 【答案】D【解析】由导函数可得原函数，再根据函数单调性与奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】因为()22f x x '=+，所以()()32,?003x f x x m f =++=又，因此()323xf x x =+，为[]11-，上的奇函数和增函数，()()()()()1201221f a f a f a f a f a +->⇒>--=-，则1111210121a a a a a -≤≤⎧⎪-≤-≤⇒≤<⎨⎪>-⎩，，，故选D ． 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.二、填空题10．已知i 为虚数单位，则复数2021i =_______. 【答案】i ．【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案. 【详解】20214505()i i i i ==； 故答案为：i ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i 的性质，是基础题．11．设1262,618z i z i =--=-，其中i 为虚数单位.若12z z z =+，则z 在复平面上对应点的坐标为_______. 【答案】(0,20)-．【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】126261820z z z i i i =+=--+-=-，则z 在复平面上对应点的坐标为(0,20)-． 故答案为：(0,20)-．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．已知函数sin y x =在区间π[0,]6，ππ[,]32上的平均变化率分别为1k ，2k ，那么1k ，2k 的大小关系为_______.【答案】12k k >.【解析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小． 【详解】当[0x ∈，]6π时，平均变化率1sinsin 0366k πππ-==，当[3x π∈，]2π时，平均变化率2sinsin 2323k ππππ-==-，12k k >，故答案为：12k k >. 【点睛】应熟练掌握函数在某点附近的平均变化率()()y f x x f x x x+-=，属于基础题． 13．已知函数2()xf x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2(0,)e.【解析】求出函数的导数，问题转化为y a =和2()xxg x e =在R 上有2个交点，根据函数的单调性求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可． 【详解】()2x f x ae x '=-，若函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则y a =和2()x xg x e=在R 上有2个交点， 22()xxg x e -'=，(,1)x ∈-∞时，即()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，故()max g x g =（1）2e=， 而20x xe >恒成立，所以20a e<<， 故答案为：2(0,)e． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．14．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】320x y --=【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方程写法求出即可. 详解：由题可得：1'()2f x x x=+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y-1=3（x-1）即320x y --=，故答案为：320x y --=点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题.15．若函数()()2f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a =__________． 【答案】2【解析】求导函数可得22()34f x x ax a '=-+，所以2(2)1280f a a =-+='，解得2a = 或6a =，当2a =时，2()384(2)(32)f x x x x x ==-'-+-，函数在2x =处取得极小值，符合题意；当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x =-=--'+，函数在2x =处取得极大值，不符合题意，不符合题意，所以2a =.三、解答题 16．已知复数(12az i i i=++为虚数单位）． （1）若z R ∈，求z ；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围．【答案】（1）12z =；（2）502a <<． 【解析】（1）利用复数的四则运算，先进行化简，结合若z R ∈，即可求z ； （2）结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求a 的取值范围． 【详解】 （1）(12)25212(12)(12)555a a i a ai a a z i i i i i i i ---=+=+=+=++-+， 若z R ∈，则5205a-=，得52a =，此时12z =； （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限， 则05a>且5205a ->， 得052a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即502a <<， 即a 的取值范围是502a <<． 【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数几何意义的应用，对复数进行化简是解决本题的关键．17．求下列函数的导数：（1）22log (3);y x x =（2）cos(21).x y x+=【答案】（1）22log (3).ln 2x y x x '=+ （2）()22sin 21cos(21).x x x y x-+-+'=【解析】(1)求积的导数，[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+.(2)求商的导数，[]2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，由复合函数的导数得[]cos(21)sin(21)(21)2sin(21)x x x x ''+=-++=-+.【详解】(1)[]2222()log (3)log (3)y x x x x '''=+2232log (3)3ln 2x x x x =+22log (3)ln 2x x x =+. (2)[]2cos(21)cos(21)x x x x y x ''+-+'=()22sin 21cos(21)x x x x-+-+=. 【点睛】本题考查导数的运算，考查积和商的导数、复合函数的导数，按照基本导数公式和导数运算法则进行计算即可.18．函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，求,a b 的值.【答案】21a b =⎧⎨=⎩【解析】当2x =时，代入切线方程，62ln 2242ln 2y =-++=-+， 即()242ln 2f =-+，并且()223af bx x'=-=-，联立方程求,a b 的值. 【详解】P 在32ln 22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-，()2ln242ln24f a b ∴=-=-，又因为P 处的切线斜率为3-，()'2afx bx x=-， ()'2432af b ∴=-=-， ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩.【点睛】本题考查已知函数在某点处的切线方程，求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.19．已知函数2()1xf x e x =--. （1）若函数()()f x g x x=，(0,)x ∈+∞，求函数()g x 的单调区间；（2）若不等式()21()32202f x x x k +--≤有解，求k 的取值范围. 【答案】（1）()g x 的单调减区间为：()0,1，单调增区间为：()1,+∞；（2）k>-1【解析】（1）由题可得21()x e x g x x--=求导得()22(1)1()()()(0)xx e x xf x f x g x x x x''----==>， 令()1xt x e x =--，由()1xt x e x =--的单调性得()g x 的单调性．（2）不等式()21()32202f x x x k +--≤有解，则2min 112x k e x x ⎛⎫≥+-- ⎪⎝⎭设21()12xh x e x x =+--，求()h x 的最小值，从而求k 的取值范围． 【详解】（1）因为2()1()x f x e x g x x x--==. 所以()22(1)1()()()(0)x x e x xf x f x g x x x x''----==>. 设()1x t x e x =--，则()10xt x e '=->，即()t x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0t x t >=所以，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增. （2）因为x R ∃∈，()21()32202f x x x k +--≤. 所以2min112xk e x x ⎛⎫≥+-- ⎪⎝⎭. 设21()12xh x e x x =+--，则()1x h x e x '=+-. 由于()h x '在R 上单调递增，且(0)0h '=.所以当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，则()h x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增. 所以min ()(0)0h x h ==.综上，k 的取值范围是[0,)+∞.11第 11 页 共 12 页 【点睛】本题考查利用导函数解不等式（1）恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题，属于偏难题目．20．已知函数f （x ）＝lnx ()12a x x --+．（1）若a ＝4，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（0，1]内单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若x 1、x 2∈R +，且x 1≤x 2，求证：（lnx 1﹣lnx 2）（x 1+2x 2）≤3（x 1﹣x 2）．【答案】（1）见解析；（2）3a ≤；（3）见解析【解析】(1)将a =4代入f (x )求出f (x )的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间;(2)根据条件将问题转化为434ax x ++在(0,1]上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出a 的范围;(3)根据条件将问题转化为1122123()2x x x ln x x x -+成立问题,令12(0,1)x t x =∈,即3(1)02t lnt t --+成立,再利用函数的单调性证明即可. 【详解】解:(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,22213(43)4()(2)(2)a x a x f x x x x x +-+'=-=++, 所以4a =时,2284()(2)x x f x x x -+'=+, 由()0f x '>,解得04x <<-4x >+由()0f x '<,解得44x -<+故()f x 在(0,4-和(4+,)+∞上单调递增,在(4-4+上单调递减.(2)由(1)得22(43)4()(2)x a x f x x x +-+'=+, 若函数()f x 在区间(0,1]递增,则有2(43)40x a x +-+在(0,1]上恒成立,即434ax x ++在(0,1]上恒成立成立,所以只需min434a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 因为函数44y x x =++在1x =时取得最小值9,所以min 4349a x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 所以a 的取值范围为](,3-∞.12第 12 页 共 12 页 (3)当12x x =时,不等式显然成立,当12x x ≠时,因为1x ,2x R +∈,所以要原不等式成立, 只需11122121223(1)3()22x x x x x ln x x x x x --=++成立即可, 令12(0,1)x t x =∈,则3(1)02t lnt t --+, 由(2)可知函数()f x 在(0,1]递增,所以()(1)0f x f ≤=,所以3(1)02t lnt t --+成立, 所以(lnx 1﹣lnx 2)(x 1+2x 2)≤3(x 1﹣x 2).【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题和不等式的证明,考查了转化思想和分类讨论思想,属难题.。
2018_2019学年高二化学下学期期末调研考试试题(含解析)
2018-2019学年高二下学期期末调研考试理科综合化学试题1.化学与人类的生产、生活、科技、航天等方面密切相关。
下列说法正确的是A. 汝窑瓷器的天青色来自氧化铁B. “傍檐红女绩丝麻”所描述的丝、麻主要成分是蛋白质C. 中国歼—20上用到的氮化镓材料是作为金属合金材料使用D. 诗句“煮豆燃豆萁”中涉及的能量变化主要是化学能转化为热能和光能【答案】D【解析】【详解】A.氧化铁是红棕色的，所以汝窑瓷器的天青色来自氧化铁说法是错误的，故A错误；B.丝指蛋白质，麻指纤维素，故B错误；C.氮化镓是化合物，不属于合金，故C错误；D.煮豆燃豆萁，豆萁燃烧发光放热，由化学能转化为热能和光能，故D选项正确；所以本题答案：D。
2.设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A. 1LpH=6的纯水中含有OH－的数目为10－8N AB. 当氢氧酸性燃料电池中转移2mol电子时被氧化的分子数为N AC. 0.5mol雄黄(As4S4，结构如图)，含有N A个S—S键D. 一定条件下向密闭容器中充入1molH2和2molH2(g)充分反应，生成HI分子数最多等于2N A 【答案】B【解析】【详解】A．纯水中氢离子和氢氧根离子浓度相等，所以pH=6的纯水中，氢氧根离子浓度为l×10-6mol/L，1L纯水中含有的OH-数目为l×10-6N A，故A错误；B. 氢氧燃料电池在酸性条件下,负极的电极反应式为：H2-2e-=2H+，正极的电极反应式为：4H++O2+4e-=2H2O，当转移2mol电子时，被氧化的分子数为N A，故B正确；C. 由雄黄的结构简式：可知，结构中不存在S—S ，所以C错误；D. 因为H2+I22HI为可逆反应，所以一定条件下向密闭容器中充入1molH2和2molI2(g)充分反应，生成HI分子数小于2N A，故D错误；所以本题答案：B。
3.某课外小组在实验室模拟工业上从浓缩海水中提取溴的工艺流程，设计以下装置进行实验(所有橡胶制品均已被保护，夹持装置已略去)。
福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
2024—2025学年柘荣一中第一学期第一次月考（高二数学）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，已知，，则（ ）A.9B.12C.15D.182.已知数列为等比数列，，且，则的值为（ ）A.1或 B.1C.2或D.23.已知数列的前项和，，则（ ）A.20B.17C.18D.194.在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（ ）A.60B.55C.50D.115.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺A.B.C.D.6.各项不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）A.2B.4C.8D.167.在数列中，若，，则（ ）A. B.1C.D.2.8.高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）A.2023B.4046C.2022D.4044二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.{}n a 53a =96a =13a ={}n a 12a =53a a =10a 1-2-{}n a 221n S n =+*n ∈N 5a ={}n a n S n 65a =11S 47162981545{}n a 23711220a a a -+={}n b 77b a =68b b ={}n a 11a =-()*112,N 1n n a n n a -=≥∈-10a =1-12123100++++ 1100101+=299101+=5051101+=501015050⨯=n {}n a 120231a a =24()1f x x=+()()()122023f a f a f a +++=9.（5分）已知等差数列满足，前3项和，等比数列满足，，的前项和为.则下列命题错误的是（）A.的通项公式为B.等差数列的前项和为C.等比数列的公比为D.10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ）图（1）图（2）A. B. C. D.11.已知数列满足，，则（ ）A. B.数列是等差数列C. D.数列的前99项和小于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列中，，则___________.13.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则___________.14.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则___________.四、解答题：（本题共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知等差数列公差，且，，成等比数列，（1）求的通项公式；{}n a 32a =392S ={}n b 11b a =415b a ={}n b n n T {}n a 24n a n =-{}n a n 234n n nS +={}n b 1221n n T =-⋯{}n a {}n b 515a =520b =101045b a =+(1)2n n n a +={}n a 12a =1(1)(1)(2)2n n n na n a n n n +-+=++216a =n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭10102400a =2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2516{}n a 1359a a a ++=24a a +={}n a 4780a a -=1a 21a +3a 5a ={}n a 211n n n na a k a a ++++=k {}n a k {}n a 11a =22a =2202a ={}n a 2d =5a 6a 9a {}n a（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.16.（本题15分）设是公比为正数的等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.17.（本题15分）设是等差数列的前项和，已知，.（I ）求；（II ）若数列，求数列的前项和.18.（本题17分）已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最大正整数.19.（本题17分）已知数列的前项和为，，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.{}n a n n S n S n {}n a 12a =324a a =+{}n a {}n b {}n n a b +n n S n S {}n a n 132a a +=-()*1575N S n =∈9S ()()1144n n n b a a +=++{}n b n n T {}n a 127a =()*1231n n n a a n a +=∈+N 13n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1231111100na a a a +++⋯+<n {}n a n n S ()*12N 2n n S a n =-∈{}n b 11b =120n n b b +-+={}n a {}n b n n n c a b =⋅{}n c n n T 0λ>n 222nnb k a λλ-+>k柘荣一中20242025学年第一学期第一次月考（高二数学）参考答案1. A在等差数列中，，，所以，所以，2.C设等比数列的公比为，因为，且，所以，解得，所以.故选：C.3.C因为数列的前项和，，所以.4.B因为在等差数列中，若为其前项和，，所以.故选：B.5.D设该妇子织布每天增加尺，由题意知，解得.故该女子织布每天增加尺.故选：D 6.D等差数列中，，故原式等价于解得或，各项不为0的等差数列，故得到，数列是等比数列，故.故选：D.7.A解：因为，，所以，，{}n a 53a =96a =95132a a a =+139522639a a a =-=⨯-={}n a q 12a =53a a =21q =1q =±91012a a q ==±{}n a 221n S n =+*N n ∈()()2255425124118a S S =-=⨯+-⨯+={}n a n S n 65a =()1111161111552a a S a +===d 2020192042322S d ⨯=⨯+=45d =45{}n a 31172a a a +=27740a a -=70a =74a ={}n a 774a b =={}n b 268716b b b ==11a =-()*112,N 1n n a n n a -=≥∈-2111111(1)2a a ===---321121112a a ===--，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以.8.B解：选B 根据等比数列的下标性质由，函数，，令，则，，.9.AC【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，，解得，，所以，故A 错误；，故B 正确；设等比数列的公比为，由，，可得，解得，故C 错误；，故D 正确.故选：AC.10.ACD【详解】依题意，，，AD 正确；，，B 错误；，，C 正确.故选：ACD 11.ACD解：A 选项，中得，，故，A 正确；413111112a a a ===-=--52411111(1)2a a a ====---{}n a 1033111a a a ⨯+===-12023202411n n a a a a -⋅=⇒⋅= 24()1f x x =+222214444()41111x f x f x x x x+⎛⎫∴+=+== ⎪++⎝⎭+()()()122023T f a f a f a =+++ ()()()202320231T f a f a f a =+++ ()()()()()()120232202220231242023T f a f a f a f a f a f a ∴=++++++=⨯ 4046T ∴={}n a d 32a =392S =122a d +=9332a d +=11a =12d =1n 11(1)22n a n +=+-=211n 3n(1)224n S n n n +=+-⨯={}n b q 111b a ==4158b a ==38q =2q =n122112n n T -==--(1)12342n n n a n +=+++++=55(51)152a +==2[1(21)]1357(21)2n n n b n n +-=+++++-== 525b =1010(101)552a +==1010100554545b a ==+=+1(1)(1)(2)2n n n na n a n n n +-+=++1n =21223212a a -=⨯⨯=216a =B 选项，变形得到，故数列不是等差数列，B 错误；C 选项，，……，，上面个式子相加得，设①，则②，式子①－②得，则，故，所以，故，C 正确；D 选项，由C 选项知，，则，所以为公比为2的等比数列，的前99项和为，D 正确.12.【详解】在等差数列中，，解得，所以.13.【解答】解：设等比数列的公比为，由，可得，解得，由，，成等差数列，可得，即为，解得，所以，故答案为：32.11(1)2(2)2(1)(2)1n n n n n n na n a a an n n n n n++-+=⇒-=+⋅+++n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2321232,422132a a a a -=⨯-=⨯11(1)21n n n a a n n n ---=+⋅-(1)n -2113242(1)21n n a a n n --=⨯+⨯+++⋅ 213242(1)2n n T n -=⨯+⨯+++⋅ 2323242(1)2n n T n =⨯+⨯+++⋅ 231426222(1)26(1)22212nn nn n n T n n n ---=++++-+⋅=+-+⋅=-⋅- 22n n T n =⋅-222n na n n-=⋅-22n n a n =⋅210101021001024102400a =⋅=⨯=22nn a n =122(1)2n n a n a n ++=2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()1002512991001004252222222221612-+++==-<==- {}n a 313539a a a a =++=33a =24326a a a +=={}n a q 4780a a -=3748a q a ==2q =1a 21a +3a ()21321a a a +=+()1122141aa a a +=+12a =5232as ==14.【分析】令，先利用等比和数列的定义得到①，又②，两式相减得，然后由求得，求出，再利用累乘法求出.【解答】解：令，则①，又②，由②－①得，即，，，，故答案为：.【点评】本题主要考查数列新定义、数列通项公式的求法及累乘法在求数列通项公式中的应用，属于中档题.15.【答案】（1）（2）最小值为，.【小问1详解】由知为等差数列，设的公差为，则，，，成等比数列，所以，即，解得，又，所以的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，所以当时，取得最小值，最小值为.16.【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知可得关于的一元二次方程，求解可得值，则数列的通项可求；（2）由已知可得，然后分组，再由等差数列与等比数列的前项和公式求解.【解答】解：（1）设为等比数列的公比，则由，得，1n n na b a +=13n n b b ++=123n n b b +++=2n n b b +=1b 2b n b 2020a n 1nn a b a +=13n n b b ++=123n n b b +++=20n n b b +-=2n n b b +=2112a b a == 2131b b ∴=-=*1*1,2,N 2,21,Nn n n a n k k b a n k k +⎧=∈∴==⎨=-∈⎩101032019202022020112201820191212122a a a a a a a a a a ∴=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=1010229n a n =-16-4n =12n n a a +-={}n a {}n a d 2d =5a 6a 9a 2659a a a =()()()211110816a a a +=++17a =-2d ={}n a 29n a n =-22(729)8(4)162n n n S n n n -+-==-=--4n =n S 16-q {}n a q q {}n a 12(1)21n b n n =+-=-n q {}n a 12a =324a a =+2224q q =+即，解得或（舍去），因此，的通项为；（2）由已知可得，，，【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题.17.【解答】解：（I ）设等差数列的公差为，则由，，得，解得.；（II ）由（I ）知，，，.【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题.18.（1）由已知递推公式得，由此可得证；（2）由（1）得，根据等比数列的求和公式可求得，再令，得函数的单调性和，可得答案.（1）解：，，，，又，，220q q --=2q =1q =-2q ={}n a ∴n 1n 222n a -=⨯=12(1)21n b n n =+-=-2(21)n n n a b n ∴+=+-()12212(1)222122n n n n n S n n +-+∴=+⨯-=+--n {}n a d 132a a +=-1575S =112221510575a d a d +=-⎧⎨+=⎩121a d =-⎧⎨=⎩9989(2)1182S ⨯∴=⨯-+⨯=21(1)3n a n n =-+⨯-=-()()1111144(1)(2)12n n n b a a n n n n +∴===-++++++123111111112334122224n n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯+=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111332n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1231111na a a a +++⋯+1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x (33)0f <(34)0f >1231n n n a a a +=+ 13112n n na a a ++∴=111322n n a a +∴=+1111332n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭127a =1171322a ∴=-=数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知，，，，若，则，，令，所以在上单调递增，且，，所以满足条件的最大正整数.19.【解答】解：（1）数列的前项和为①，当时，解得.当时，②，①－②得，整理得，所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；所以.数列满足，点在直线上.所以（常数），所以.（2），所以①，②，①－②得，整理得.∴13n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1212111113222n n n a -⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132nn a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭2123111111113132222nnn n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231111100n a a a a ++++< 1131002nn ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭13992nn ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x R 331(33)999902f ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭341(34)1029902f ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭33n ={}n a n ()*1,22n n n S S a n =-∈N 1n =112a =2n ≥11122n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=12n n a a -={}n a 1222n n a -={}n b 11b =()1,n n P b b +20x y -+=12n n b b +-=21n b n =-2(21)2n n n n c a b n -==-⋅21113252(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅- 1211232(21)n n T n -=⨯+⨯++⋅- ()2211212222(21)2n n n T n ---=+++++-- 13(23)22n n T n -=+-⋅（3）由（1）得，所以，所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1，对所有的正整数都有都成立，故，可得，所以恒成立，只需满足，故，故的取值范围为.【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，数列的单调性，恒成立问题，基本不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题.2222(21)n nnb n a -=⋅-222212(1)22(21)2(21)2(56)0n n n n nn nb b n n n a a ---++=⋅+-⋅-=-<2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1221n n b b a a ≤=2n n b a n 222nnb k a λλ-+>221k λλ-+>21k λλ<+1k λλ<+min12k λλ⎛⎫<+= ⎪⎝⎭2k <k (,2)-∞。
2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.1.3.1圆柱、圆锥、圆台练习(含解析)新人教B版必修2
第1课时圆柱、圆锥、圆台A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的答案 D解析两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆以直径所在直线为轴旋转才形成球体，故B错误；C不符合棱台的定义．所以应选D．2．下列命题正确的是( )A．梯形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆台B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱C．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台答案 D解析绕梯形的一边所在直线旋转得到的旋转体也可能是组合体．当夹在圆柱的两个平行截面不与圆柱的底面平行时，不是圆柱．用与棱锥的底面不平行的平面截去一个小棱锥后，剩余部分不是棱台．圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而成的，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．A．10 B．20C．30 D．40答案 B解析如图轴截面为矩形，所以面积为(2＋2)×5＝20．4．下列说法中，不正确的是 ( ) A ．圆桂的侧面展开图是一个矩形 B ．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C ．等腰直角三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台中平行于底面的截面是圆面 答案 C解析 等腰直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周才能形成圆锥，此处必须说明是绕它的一条直角边所在的直线．若换成直角三角形的斜边，则旋转后产生的几何体不是圆锥，而是两个圆锥的组合体，且这两个圆锥同底．5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm 2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．解 圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，即A′O′＝x cm ，AO ＝3x cm(O′，O 分别为上、下底面圆心)，过A′作AB 的垂线，垂足为点D ．在Rt△AA′D 中，∠AA′D＝45°，AD ＝AO －A′O′＝2x cm ， 所以A′D＝AD ＝2x cm ，又S 轴截面＝12(A′B′＋AB)·A′D＝12×(2x＋6x)×2x＝392 (cm 2)，所以x ＝7．综上，圆台的高OO′＝14 cm ，母线长AA′＝2OO′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别为7 cm 和21 cm ．一、选择题1．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③矩形的任意一条边所在直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱；④矩形绕任何一条直线旋转，都可以围成圆柱．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 根据圆柱的定义可知命题①③正确，命题②④错误．2．一个圆锥的母线长为2，圆锥的轴截面的面积为3，则母线与轴的夹角为( ) A ．30° B．60°C ．30°或60° D．60°或75° 答案 C解析 设圆锥的高为h ，则底面圆的半径为4－h 2，由题意，得S ＝12h×24－h 2＝3，平方整理得h 4－4h 2＋3＝0，解得h 2＝1或h 2＝3，∴h＝1或h ＝3．母线与轴的夹角为30°或60°．3．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( ) A ．4 B ．3 2 C ．2 3 D ．2 6 答案 D解析 设圆台的母线为l ，高为h ，上、下两底面圆的半径分别为r ，R ，则满足关系式l 2＝h 2＋(R －r)2，根据题意可得h ＝26，即两底面之间的距离为26．4．“两底面直径之差等于母线长”的圆台( ) A ．是不存在的B ．其母线与高线必成60°角C ．其母线与高线必成30°角D ．其母线与高线所成的角不是定值 答案 C解析 设圆台上、下底面半径分别为r 1，r 2，母线长为l ，则由题意可得2r 2－2r 1＝l ，∴r 2－r 1l ＝12， 再设母线与高线所成的角为θ，∴sinθ＝12，θ＝30°．5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比为1∶3，则截面把圆锥的母线分为上下两段的比是( )A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶ 3D ．(1＋3)∶2 答案 D解析 圆锥的上底面半径与下底面半径之比为1∶3，故截去小圆锥的母线与大圆锥的母线之比为1∶3，截面把圆锥的母线分为上下两段的比是1∶(3－1)＝(1＋3)∶2．二、填空题6．圆锥轴截面的顶角为120°，过顶点的截面三角形的最大面积为2，则圆锥的母线长为________．答案 2解析 对于该圆锥，过顶点的截面三角形中面积最大的三角形为等腰直角三角形，其腰为母线，所以母线长为2．7．用一张(6×10) cm 2的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积等于________，轴截面的周长等于________．答案60π cm 212＋20π cm 或20＋12πcm 解析 若圆柱的母线长为6，则底面直径为10π，轴截面的面积为60π cm 2，周长为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋20πcm ；若圆柱的母线长为10，则底面直径为6π，轴截面的面积为60π cm 2，周长为⎝⎛⎭⎪⎫20＋12π cm ．8．给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是________．答案②④解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．三、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．解如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r．由题意可得轴截面的面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16，解得r＝2．所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4(cm)．10．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．求：(1)绳子的最短长度的平方f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值．解将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L 就是圆O的周长，∴L＝2πr＝2π．∴∠ASM＝L2πl×360°＝2π2π×4×360°＝90°．(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x2＋16(0≤x≤4)．∴f(x)＝AM 2＝x 2＋16(0≤x≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA·SM＝12AM·SR，∴SR＝SA·SM AM ＝4xx 2＋16(0≤x≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4xx 2＋16(0≤x≤4)． (3)∵f(x)＝x 2＋16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)＝32．。
福建省厦门市2018-2019学年第一学期九年级(上)期末数学测试卷(含答案)
2018-2019学年九(上)厦门市期末教学质量检测数学卷(满分150分；考试时间120分钟)一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分) 1.计算－5+6，结果正确的是( ).A.1B.－1C.11D.－112.如图1，在△ABC 中，∠C =90°，则下列结论正确的是( ).A. AB=AC +BCB.AB=AC·BCC. AB 2=AC 2+ BC 2D. AC 2=AB 2+BC 2 3.抛物线y=2(x －1)2－6的对称轴是( ).A.x =－6B.x =－1C. x =21D. x =14.要使分式11x 有意义，x 的取值范围是( ).A.x ≠0B. x ≠1C. x >－1D. x >1 5.下列事件是随机事件的是( ). A.画一个三角形，其内角和是360°B.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7C.射击运动员射击一次，命中靶心D.在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球6.图2，图3分别是某厂六台机床十月份第一天和第二天生产 零件数的统计图，与第一天相比，第二天六台机床生产零件数的平均数与方差的变化情况是( ).A.平均数变大，方差不变B.平均数变小，方差不变C.平均数不变，方差变小D.平均数不变，方差变大7.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离要s 与时间t 的函 数关系如图4中的部分抛物线所示(其中P 是该抛物线的顶点) 则下列说法正确的是( ). A.小球滑行6秒停止 B.小球滑行12秒停止 C.小球滑行6秒回到起点 D.小球滑行12秒回到起点(图1)(图2)(图4)m m 生产的零件数(图3)8.在平面直角坐标系xOy 中，已知A (2,0)，B (1,－1)，将线段OA 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<135°).记点A 的对应点为A 1，若点A 1与点B 的距离为6，则α为( ). A. 30° B.45° C.60° D.90°9.点C 、D 在线段AB 上，若点C 是线段AD 的中点,2BD >AD ，则下列结论正确的是( ).A. CD <AD － BDB. AB >2BDC. BD >ADD. BC >AD10.已知二次函数y=ax 2+bx +c (a >0)的图象经过(0,1)，(4,0)，当该二次函数的自变量分别取x 1、x 2 (0< x 1<x 2 <4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1=y 2,设该函数图象的对称轴是x =m ,则m 的取值范国是( ).A. 0<m <1B.1<m ≤2C.2<m <4D.0<m <4 二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11.投掷一枚质地均匀的正六面体酸子，投掷一次，朝上一面的点数为奇数的概率是______.12.已知x =2是方程x 2+ax －2=0的根，则a =______.13.如图5，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 、D 是圆周上的点，且 ∠CDB =30°，则BC 的长为______.14.我们把三边长的比为3:4:5的三角形称为完全三角形，记命题A ： “完全三角形是直角三角形”.若命题B 是命题A 的逆命题，请写出命题B ：____________________;并写出一个例子(该例子能判断命题B 是错误的) 15.已知AB 是⊙O 的弦，P 为AB 的中点，连接OA 、OP ，将△OPA 绕点O 旋转到△OQB . 设⊙O 的半径为1，∠AOQ =135°，则AQ 的长为______. 16.若抛物线y=x 2+bx (b >2)上存在关于直线y=x 成轴对称的两个点，则b 的取值范围 是______.三、解答题(本大题有9小题，共86分) 17.(本题满分8分) 解方程x 2－3x +1=018.(本题满分8分) 化简并求值：(1－12+x )÷2212+-x x ，其中x =2－1(图5)已知二次函数y=(x －1)2+n ，当x =2时，y =2.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象.20. (本题满分8分)如图，已知四边形ABCD 是矩形.(1)请用直尺和圆规在边AD 上作点E ，使得EB=EC . (保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若AB =4，AD =6，求EB 的长.21.(本题满分8分)如图7，在△ABC 中，∠C =60°，AB =4.以AB 为直径画⊙O ，交边AC于点D . AD 的长为34，求证：BC 是⊙O 的切线.已知动点P 在边长为1的正方形ABCD 的内部，点P 到边AD 、AB 的距离分别为m 、n .(1)以A 为原点，以边AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图①所示，当点P 在对角线AC 上，且m =41时，求点P 的坐标；(2)如图②，当m 、n 满足什么条件时，点P 在△DAB 的内部?请说明理由.23.(本题满分10分)小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录.(1)请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；(直接写出答案) (2)按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由； ②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼)，且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.(图②)已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图10，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；(2)如图11，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.(图①) (图②)在平面直角坐标系xO y中，点A(0,2)，B(p,q)在直线上, 抛物线m经过点B、C(p+4,q)，且它的顶点N在直线l上.(1)若B(－2,1)，①请在图12的平面直角坐标系中画出直线l与抛物线m的示意图；②设抛物线m上的点Q的模坐标为e(－2≤e≤0)过点Q作x轴的垂线，与直线l交于点H . 若QH=d,当d随e的增大面增大时，求e的取值范围(2)抛物线m与y轴交于点F，当抛物线m与x轴有唯一交点时，判断△NOF的形状并说明理由. yx –4–3–2–11234–4–3–2–11234O。
2023-2024学年江苏省泰州市兴化市高二下册期初考试数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省泰州市兴化市高二下册期初考试数学模拟试题一、单选题1．已知两条平行直线12:210,:4220l x y l x y +-=++=,则1l 与2l 的距离为（）AB ．5C D ．【正确答案】B【分析】先将直线进行化简,再利用平行线间的距离公式即可得出结果.【详解】解:由题知2422:0l x y ++=,即2:210l x y ++=,由1:210l x y +-=,根据平行线间的距离公式可得:d ==故选:B2．已知{}n a 为等差数列，1233a a a ++=-，55a =，则10a =（）A ．5B ．10C ．13D ．15【正确答案】D【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由等差中项得12322331a a a a a -=+=⇒=-+，所以5253a a d ==+，故2d =，所以105551015a a d =+=+=，故选：D3．抛物线24y x =的焦点坐标是（）A ．()0,1B ．()1,0C ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得抛物线的焦点坐标．【详解】将抛物线24y x =的化为标准方程为214x y =，18p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，所以焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭．故选：C ．4．已知定义在(]0,3上的函数()f x 的图象如图，则不等式()0f x '<的解集为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()()0,12,3【正确答案】B【分析】根据函数图象得到单调性，从而确定不等式()0f x '<的解集.【详解】由图象可知：()f x 在()0,1，()2,3上单调递增，在()1,2上单调递减，故等式()0f x '<的解集为()1,2.故选：B5．双曲线E 与椭圆22162x y C +=：焦点相同且离心率是椭圆CE 的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122x y -=D ．2213x y -=【正确答案】C【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标与离心率，设双曲线E 的标准方程为()222210,0x ya b a b -=>>，可得222224a b c a c a b ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩.【详解】椭圆22162x y C +=：的焦点坐标为()2,0±,3=.设双曲线E 的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由题意可得2222243a b ca c ab ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩a b ==所以双曲线E 的标准方程为22122x y -=.故选:C.6．设函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,5B ．()5,+∞C ．[)4,+∞D ．[)5,+∞【正确答案】D【分析】由函数单调递增，可得()2220af x x x'=+-≤在()1,2上恒成立，孤立参数22a x x ≥+，再设()22h x x x=+，确定()h x 的单调性求最值，即可得实数a 的取值范围.【详解】解：函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则()2220af x x x '=+-≤在()1,2上恒成立，所以22a x x ≥+，在()1,2上恒成立，设函数()22h x x x=+，则()()()22222112222x x x h x x x x +--='=-=，所以()0h x '>在()1,2x ∈上恒成立，所以()h x 在()1,2上单调递增，所以()()25h x h <=，所以5a ≥，则实数a 的取值范围是[)5,+∞.故选：D.7．在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，则a 5＝（）A ．2-或2B ．2-C ．2D．【正确答案】C【分析】根据题意可知：37,a a 是方程()0f x '=的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即【详解】因为321()4413f x x x x =-+-，所以2()84f x x x '=-+.又因为37,a a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，即37,a a 是方程2()840f x x x '=-+=的两根，则有374a a =，由{}n a 为等比数列可知：25374a a a ==，因为3780a a +=>，且374a a =，所以370,0a a >>，则有50a >，所以52a =，故选.C8．已知数列{}n a 满足()()111N n n n a na n *+-+=∈，且前n 项和为n S ，若N n *∀∈，6n S S ≥，则6S 的取值范围为（）A ．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,3【正确答案】A【分析】利用递推关系可得122n n n na na na ++-=，即数列{}n a 是等差数列，结合条件得67150160a d a d =+≥⎧⎨=+≤⎩，再利用等差数列求和公式即得.【详解】∵()()111N n n n a na n *+-+=∈，当1n =时，11a =，又()111n n n a na +-+=①，∴()2111n n na n a +++=+②，由①－②，得122n n n na na na ++-=，即122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 是等差数列.由6n S S ≥，设d 为公差，则67150160a d a d =+≥⎧⎨=+≤⎩，解得1156d -≤≤-，则6736152S d ≤=+≤.二、多选题9．若函数()f x 导函数的部分图像如图所示，则（）A ．1x 是()f x 的一个极大值点B ．2x 是()f x 的一个极小值点C ．3x 是()f x 的一个极大值点D ．4x 是()f x 的一个极小值点【正确答案】AB【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A 选项，由图可知，在1x 左右两侧，函数()f x 左增右减，1x 是()f x 的一个极大值点，A 正确.对于B 选项，由图可知，在2x 左右两侧，函数()f x 左减右增，2x 是()f x 的一个极小值点，B 正确.对于C 选项，由图可知，在3x 左右两侧，函数()f x 单调递增，3x 不是()f x 的一个极值点，C 错误.对于D 选项，由图可知，在4x 左右两侧，函数()f x 左增右减，4x 是()f x 的一个极大值点，D 错误.故选：AB.10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大；B ．在数列{}n a 中，2019a 最大C ．20200a >D ．当2020n ≥时，0n a <【正确答案】AD【分析】由题得201920200,0a a ><，即可解决.【详解】由题知，无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，所以201920200,0a a ><，所以等差数列{}n a 为递减数列，所以在数列{}n a 中，1a 最大；当2020n ≥时，0n a <；故选：AD11．已知圆M ：223330x y x y +--+=与圆N ：22220x y x y +--=的交点为A ，B ，则（）A ．直线AB 的方程为30x y +-=B ．线段AB 的中垂线方程为10x y +-=C ．在过A ，B 的所有圆中，圆M 的半径最小D ．线段AB【正确答案】AC【分析】求得直线AB 的方程判断选项A ；求得线段AB 的中垂线方程判断选项B ；求得以线段AB 为直径的圆判断选项C ；求得线段AB 的长度判断选项D.【详解】圆M 的方程为：223330x y x y +--+=，圆心M 3322⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径62圆N 的方程为：22220x y x y +--=圆心N ()11，∵两圆相交于A ，B ，联立上述两方程得30x y +-=，圆心3322⎛⎫⎪⎝⎭，在直线30x y +-=上，则直线30x y +-=与圆M 相交则直线AB 的方程为：30x y +-=，选项A 判断正确；∵线段AB 的中垂线过N 点，又()1,1N ，与直线AB 垂直的直线斜率为1∴AB 的中垂线方程为()111y x -=´-，即y x =，则选项B 判断错误；∵33,22M ⎛⎫⎪⎝⎭满足30x y +-=，∴M 在公共弦AB 上，∴AB 的长为圆M 的直径，即AB =D 不对，选项C 对.故选：AC.12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，将数列{}n a 和{}n b 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{}n c ，则下列结论正确的是（）A ．1216c =B ．数列{}n c 中n b 与1n b +之间共有12n -项C ．22nn b a =D ．121n n n b c -+-=【正确答案】AB【分析】根据题意可得：数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则21n a n =-，2n n b =，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；经检验，当1n =时也满足，所以21n a n =-；又因为数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，所以2nn b =.则数列{}n c 为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,，所以1216c =，故选项A 正确；数列{}n a 是由连续奇数组成的数列，1,n n b b +都是偶数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为112222n nn +--=，故选项B 正确；因为2n n b =，则222nn b =为偶数，但1222121n n n a +=⨯-=-为奇数，所以22n n b a ≠，故选项C错误；因为2n n b =，前邻的一个奇数为21n -，令2121nk a k =-=-，解得：12n k -=，所以数列{}n c 从1到2n 共有12n n -+，也即122n nn n c b -+==，故选项D 错误，故选：AB三、填空题13．在由正数组成的等比数列{}n a 中213424a a a a +=+=，，则56a a +=___________.【正确答案】8【分析】根据等比数列的通项公式求解.【详解】设公比为q ，因为213424a a a a +=+=，，所以11311224a a a a q q q =++=，，所以13221112a a qa a q q q ++==，所以45225611133412a q a a a a a a a q q q q+===+++，则()563428a a a a =++=，故答案为:8.14．已知双曲线C 过点()1,2，且与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，则双曲线C 的方程为______.【正确答案】2212y x -=【分析】由题意设双曲线C 方程为222y x λ-=，()0λ≠，再由双曲线C 过点()1,2求解.【详解】解：因为与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，所以设双曲线C 方程为：222y x λ-=，()0λ≠，又因为双曲线C 过点()1,2，所以将()1,2代入上式中得1λ=-，∴所求双曲线C 的方程为：2212y x -=，故2212y x -=15．已知x a =是函数32()(3)5f x x a x x =-++的极小值点，则=a _____．【正确答案】5【分析】求导()()23235f x x a x '=-++，根据x a =是函数()f x 的极小值点，由()0f a ¢=求解，并检验即可.【详解】解：因为函数()()3235f x x a x x =-++，所以()()23235f x x a x '=-++，因为x a =是函数()()3235f x x a x x =-++的极小值点，所以()()232350f a a a a '=-++=，即2650a a -+=，解得1a =或5a =，当1a =时，()2385f x x x '=-+，当1x <或53x >时，()0f x ¢>，当513x <<时，()0f x '<，所以，()f x 在区间()5,1,,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在51,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意；当5a =时，()23165f x x x '=-+，当13x <或5x >时，()0f x ¢>，当153x <<时，()0f x '<，所以，()f x 在区间()1,,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在1,53⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以，当5x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意；所以5a =，故516．“牛顿迭代法”是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 初始近似值，过点()()00,x f x 作()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点横坐标为()()()()010000f x x x f x f x ''=-≠，称1x 是r 的一次近似值；过点()()11,x f x 作()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为()()()()121110f x x x f x f x '=-≠'，称2x 是r 的二次近似值；重复以上过程，得到r 的近似值序列{}n x 为“牛顿数列”，即()()1n n n n f x x x f x +=-'.已知函数()228f x x =-，数列{}n x 为“牛顿数列”，设2ln2n n n x a x +=-，且11,2n a x =>.数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【正确答案】21n -##12n-+【分析】求出()f x '代入1n x +计算，再计算1122n n x x +++-得21122()22n n n n x x x x ++++=--，左右两边同时取对数得到12n n a a +=，即{}n a 是等比数列，进而求得{}n a 的前n 项和n S .【详解】∵2()28f x x =-，∴()4f x x '=，∴221()284()42n n n n n n n n nf x x x x x x f x x x +-+=-=-='，∴222212221422244(2)2()4244(2)222n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x +++++++++====+--+---又∵2n x >∴211222lnln()2ln 222n n nn n n x x x x x x +++++==---又∵2ln2n n n x a x +=-，∴12n n a a +=，又∵11a =，∴{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，∴{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为.21n -四、解答题17．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长AB 的值．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；（2）由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则6111d -==，由垂径定理得：AB ==．18．已知数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，且1411,381a a ==.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设31212111()log ,()()(),n n n nf x x b f a f a f a T b b b ==+++=+++，求2017T .【正确答案】(1)1()3n n a =(2)20171009-【分析】(1)根据等比数列的定义求解通项公式；(2)利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，所以112n n nn a a a a +++=，所以数列{}n a 是等比数列，首项为13，设公比为q ，由1411,381a a ==，可得：311813q =⨯，解得13q =.1111()()333n n n a -∴=⨯=.（2）31()log ()3n n f a n ==-，12(1)()()()122n n n n b f a f a f a n +∴=+++=----=-，1112()1n b n n ∴=--+，1211111111122(1)()()2(1)234111n n n T b b b n n n n -⎡⎤=+++=--+-++-=--=⎢⎥+++⎣⎦，201720171009T -∴=.19．已知函数()3233f x x x bx c =-++在=0x 处取得极大值1.(1)求函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程；(2)求过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线方程.【正确答案】(1)960x y -+=(2)320x y +-=【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求,b c ，再根据导数的几何意义求切线方程；（2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解0x ，进而可得结果.【详解】（1）()3233f x x x bx c =-++，则()2363f x x x b '=-+，由题意可得()()03001f b f c ⎧'==⎪⎨==⎪⎩，解得01b c =⎧⎨=⎩，即()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，令()0f x ¢>，解得2x >或0x <，故()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，则()f x 在=0x 处取得极大值1，即0,1b c ==符合题意.∵()()13,19f f '-=--=，则切点坐标为()1,3--，切线斜率9k =，∴函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程为()391y x +=+，即960x y -+=.（2）由（1）可得：()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，设切点坐标为()32000,31x x x -+，切线斜率20036k x x =-，则切线方程为()()()322000003136y x x x x x x --+=--，∵切线过点()1,1-，则()()()32200000131361x x x x x ---+=--，整理得()3010x -=，即01x =，∴切线方程为()131y x +=--，即320x y +-=.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22114426,4n n n n a S a a a S ++++===.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列13n n a +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【正确答案】(1)132n -⨯(2)2n n T n =⨯【分析】(1)根据n a 与n S 的关系可得120n n a a +-=，从而确定数列{}n a 为等比数列，即可求通项公式；(2)根据错位相减法求和.【详解】（1）由21444n n n n a S a S ++++=得21444n n n n a a S S +++-=即2144n n n a a a +++=，所以()211222n n n n a a a a +++-=-，因为2126a a ==，所以322120,20,a a a a -=-=，即120n n a a +-=，所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是以13a =为首项，2为公比的等比数列，所以11132n n n a a q --==⨯.（2）由（1）得()11132n n n n a -++⋅=，前n 项和0121223242(1)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯，1232223242(1)2n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，两式相减得11212(12)2222(1)22(1)212n n nn n T n n ----=++++-+⨯=+-+⨯-，即222(1)22n n n n T n n -=+--+⨯=-⨯，所以2n n T n =⨯.21．已知函数()()212ln 22f x x a x x a =+-∈R ．(1)若函数()f x 在区间()1,2上不单调，求a 的取值范围；(2)令()()F x f x ax =-，当0a >时，求()F x 在区间[]1,2上的最大值．【正确答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）利用导函数讨论()f x 单调性，求a 的范围即可；（2）利用导函数求解()F x 在[]1,2上的单调性，按照a 的不同取值分类讨论，即可求得最大值.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+()22222a x x a f x x x x-+=+='-令()222g x x x a =-+，其对称轴为1x =，因为函数()f x 在区间()1,2上不单调，所以(1)0(2)0g g <⎧⎨>⎩即12020a a -+<⎧⎨>⎩，解得102a <<，所以a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）()212ln 22F x x a x x ax =+--，函数()F x 的定义域为()0,∞+()()()222222x x a a x x ax a F x x a x x x----+='=+--=①01a <≤时，令()0F x '>得0x a <<或2x >，令()0F x '<得2a x <<，所以函数()F x 在[]1,2上单调递减，所以()max 3()12F x F a ==--②12a <<时，由①知()F x 在()1,a 上单调递增，在(),2a 上单调递减，所以()2max 1()2ln 22F x F a a a a a ==--③2a =时，()0F x '≥，所以()F x 在[]1,2上单调递增，所以()max ()22ln222F x F a a ==--④2a >时，令()0F x '>得02x <<或x a >，令()0F x '<得2x a <<，所以函数()F x 在[]1,2上单调递增，所以()max ()22ln222F x F a a ==--综上：01a <≤时，()max 3()12F x F a ==--12a <<时，()2max 1()2ln 22F x F a a a a a ==--2a ≥时，()max ()22ln222F x F a a ==--22．已知()16,0F -，()26,0F ，点P 满足218PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线C .斜率为k 的直线l 过点2F ，且与曲线C 相交于A ，B 两点.(1)求斜率k 的取值范围；(2)在x 轴上是否存在定点M ，使得无论直线l 绕点2F 怎样转动，总有22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅ △△成立？如果存在，求点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.【正确答案】(1),⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭(2)存在，8,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的右支，从而可得曲线C 的方程，则可求得其渐近线方程，从而可求出斜率k 的取值范围；（2）将直线l 的方程代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，设(),0M t ，由22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅ △△，得0AM BM k k +=，即()()()()12211212120y x t y x t y y x t x t x t x t -+-+==----，化简结合前面的式子可求出t 的值，从而可得答案.【详解】（1）依题意12128PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的右支.则6c =，28a =，4a =，b ==所以曲线C 的方程为()22141620x y x -=≥.曲线C 的方程()22141620x y x -=≥为对应的渐近线方程为y =，根据渐近线的性质可知，要使直线():6l y k x =-与曲线C 有2个交点，则k的取值范围是,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭（2）由题意得直线l 为(6)y k x =-，由22(6)11620y k x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简得()22225448144800k x k x k -+--=，其中4x ≥，,22k ⎛⎫⎛∈+∞-∞- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.设()11,A x y ，()22,B x y ，则21224845k x x k +=-，21221448045k x x k +⋅=-，设(),0M t ，因为22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅ △△，即0AM BM k k +=，则()()()()12211212120y x t y x t y y x t x t x t x t -+-+==----，()()12210y x t y x t -+-=，()()()()1221660k x x t k x x t --+--=，0k ≠，()()()()1221660x x t x x t --+--=，所以()()121226120x x t x x t -+++=，所以()22221448048261204545k k t t k k +⋅-+⋅+=--，()()()22222144804861245045k t k t k k ⋅+-++-=-，()()222 144802466450k t k t k+-++-=，80300t-=，83 t=，所以存在8,03M⎛⎫⎪⎝⎭，使22MBF MAFMA S MB S⋅=⋅△△成立。
精品解析：福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
故函数在 上单调递减，在 上单调递增， 错误；
，根据单调性知 ， 正确；
， ，故方程 有实数解， 正确；
，易知当 时成立，当 时， ，设 ，
则 ，故函数在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，且 .
画出函数图象，如图所示：当 时有ห้องสมุดไป่ตู้个交点.
综上所述：存在实数 ，使得方程 有 个实数解， 正确；
16.设过原点的直线与双曲线 ： 交于 两个不同点， 为 的一个焦点，若 ， ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形，计算得到
，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形.
，则 ， ，
， ，故 .
【详解】 ， ，取 得到 .
故函数在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增.
对比图象知： 满足条件.
故选： .
【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
7.若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设函数 ，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到 ，得到答案.
C.当 ， 时，方程不成立，错误；
D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；
故选： .
【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.
10.（多选题）如图，在长方体 中， ， ， ，以直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，则（）
2019-2020学年福建省厦门市大同中学高二数学文月考试题含解析
2019-2020学年福建省厦门市大同中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点。
如果延长到，使得=，那么动点的轨迹是（）A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线参考答案：A2. 在长为10 cm的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36πcm2到64πcm2的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：几何概型试题解析：圆的面积介于36πcm2到64πcm2所以圆的半径介于6到8之间，所以故答案为：A3. 定义在上的函数满足，当时单调递增，如果，且则的值为（）A.横小于0 B．横大于0 C．可能为0 D．可正可负参考答案：A4. 在△ABC中，b=，c=3，B=300，则a等于（）A． B．12 C．或2 D．2参考答案：A5. 已知目标函数z=2x+y且变量x，y满足下列条件，则（）A．z max = 12，z min = 3 B．z max = 12，无最小值C．无最大值，z min = 3 D．无最小值也无最大值参考答案：C6. △ABC中，a＝10，b＝14，c＝16，则△ABC中的最大角与最小角之和为（）A．90° B．120° C．135°D．150°参考答案：B7. 实验测得五组（x，y）的值是（1，2）（2，4）（3，4）（4，7）（5，8），若线性回归方程为=0.7x+，则的值是（）A．1.4 B．1.9 C．2.2 D．2.9参考答案：D【考点】线性回归方程．【分析】根据五组（x，y）的值计算、，利用线性回归方程过样本中心点求出的值．【解答】解：根据五组（x，y）的值，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（2+4+4+7+8）=5，且线性回归方程=0.7x+过样本中心点，则=﹣0.7=5﹣0.7×3=2.9．故选：D．【点评】本题考查了平均数与线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．8. 抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（）A． B． C． D．参考答案：A解析：，且在直线上，即9. 已知实数p＞0，曲线为参数，）上的点A（2，m），圆为参数）的圆心为点B，若A、B两点间的距离等于圆C2的半径，则p=（）A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：C【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QH：参数方程化成普通方程．【分析】由曲线为参数，）消去参数化为普通方程即可得到m与p的关系．由圆为参数）消去参数θ化为普通方程即可得到圆心B及半径r．由题意|AB|=r，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：由曲线为参数，）化为y2=2px，∴m2=4p．由圆为参数）消去参数θ化为，得到圆心B．半径r=6由题意|AB|=r，可得=6，即，化为p2+8p﹣128=0，又P＞0，解得P=8．故选C．【点评】本题考查了把抛物线的参数方程与圆的参数方程化为普通方程、两点间的距离公式、一元二次方程的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．10. 已知是虚数单位，则所对应的点位于复平面内的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）已知直线y=k（x+4）与圆C：x2+y2+2x﹣3=0相交于两个不同点A、B，则k的取值范围是_________ ．参考答案：12. 已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．参考答案：13. 如果，，那么是的▲ . (在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空)参考答案：充分不必要略14. 已知等比数列,若,则=．参考答案：2略15. 已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前项和，则使得S n达到最大值的是．参考答案：20【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得a1和d，进而求得a20＞0，a21＜0，判断数列的前20项为正，故可知数列的前20项的和最大．【解答】解：设等差数列公差为d，则有解得a1=39，d=﹣2∴a20=39﹣2×19=1＞0，a21=39﹣2×20=﹣1＜0∴数列的前20项为正，∴使得S n达到最大值的是20故答案为20【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负．16. 过点A（3，2）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程是．参考答案：2x﹣y﹣4=0【考点】直线的点斜式方程．【分析】设过点A（3，2）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程是2x﹣y+m=0，把A（3，2）代入方程求出m，即得所求的直线方程．【解答】解：设过点A（3，2）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程是2x﹣y+m=0，把A （3，2）代入方程得6﹣2+m=0，∴m=﹣4，故所求的直线方程为 2x﹣y﹣4=0，故答案为：2x﹣y﹣4=0．17. tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒=_参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年福建省漳州市八年级下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年福建省漳州市八年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列各式中，属于分式的为（）A．B．C．D．2．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，关于该图形的对称性，下列说法正确的是（）A．是中心对称图形但不是轴对称图形B．是轴对称图形但不是中心对称图形C．既是中心对称图形也是轴对称图形D．既不是中心对称图形也不是轴对称图形3．若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（）A．2 B．3 C．4 D．2或44．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A．a（m+n）＝am+anB．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）C．6a2b3＝2a2b•3b2D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x5．若a＞b，则下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞06．若分式的值等于0，则x的值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．7．若P是△ABC所在平面内的点，且PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条角平分线的交点C．点P是△ABC三边上高的交点D．点P是△ABC三边中线的交点8．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（1，0），平移线段AB，使点A落在点A1（2，3）处，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（4，1）C．（4，0）D．（﹣2，1）9．下列计算正确的是（）A．1+＝B．C．a÷b•＝a D．10．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣1）C．（0，0）D．（﹣1，﹣1）二、填空题（共6小题）.11．因式分解：a2﹣4＝．12．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是．13．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2），则不等式kx+b＜2的解集为．15．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠BAC ＝120°，∠C＝40°，则∠BAD的大小为度．16．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若BD＝，则CD的长为．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答．17．因式分解：（1）mx+my；（2）2x2+4xy+2xy2．18．如图，已知AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是点E，F，AE＝CF．求证：AB∥CD．19．解不等式组：．20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+2．21．证明：等腰三角形的两腰上的中线相等．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）在CB上找一点E，使EB＝EA；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AC＝4，BC＝8，求CE的长．23．已知一次函数y1＝kx+2k﹣4的图象过一、三、四象限．（1）求k的取值范围；（2）对于一次函数y2＝ax﹣a+1（a≠0），若对任意实数x，y1＜y2都成立，求k的取值范围．24．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．（1）求∠ADC的大小；（2）若∠BDC＝7°，BD＝3，CD＝5，求AD的长．25．某药店销售A，B两种口罩，每个A种口罩比B种进价多0.5元，用240元购进A种口罩与用180元购进B种口罩的数量相同．（1）求A，B两种口罩每个的进价；（2）药店计划购进A，B两种口罩共10000个，其中A种口罩的进货量不多于3000个，且B种口罩进货量不超过A种口罩进货量的3倍．设购进A种口罩m个．①求m的取值范围；②若A种口罩每个售价3元，B种口罩每个售价2元，药店决定从销售A种口罩的利润中按每个捐款a（0.4＜a＜0.6）元给红十字会，做为慈善基金．设药店售完10000个口罩并捐款后获得的利润为W元，求药店获得利润W最大时的进货方案．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂．1．下列各式中，属于分式的为（）A．B．C．D．解：A、的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；B、的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；C、分母中含有未知数，所以它是分式；D、的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；故选：C．2．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，关于该图形的对称性，下列说法正确的是（）A．是中心对称图形但不是轴对称图形B．是轴对称图形但不是中心对称图形C．既是中心对称图形也是轴对称图形D．既不是中心对称图形也不是轴对称图形解：该图形是中心对称图形但不是轴对称图形．故选：A．3．若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（）A．2 B．3 C．4 D．2或4解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，能组成三角形，所以，第三边为4；②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，综上所述，第三边为4．故选：C．4．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A．a（m+n）＝am+anB．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）C．6a2b3＝2a2b•3b2D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x解：A、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、符合因式分解的概念，故本选项符合题意；C、该变形不是多项式分解因式，故本选项不符合题意；D、该变形没有分解成几个整式的积的形式，故本选项不符合题意．故选：B．5．若a＞b，则下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0 解：A、若a＞b，则a﹣5＞b﹣5，原变形成立，故本选项不符合题意；B、若a＞b，则6a＞6b，原变形成立，故本选项不符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，原变形不成立，故本选项符合题意；D、若a＞b，则a+2＞b+2，原变形成立，故本选项不符合题意；故选：C．6．若分式的值等于0，则x的值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．解：∵分式的值等于0，∴2x﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝．故选：D．7．若P是△ABC所在平面内的点，且PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条角平分线的交点C．点P是△ABC三边上高的交点D．点P是△ABC三边中线的交点解：∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∵PB＝PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上，∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点，故选：A．8．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（1，0），平移线段AB，使点A落在点A1（2，3）处，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（4，1）C．（4，0）D．（﹣2，1）解：由点A（﹣1，2）平移后A1（2，3）可得坐标的变化规律是：横坐标+3，纵坐标+1，∴点B的对应点B1的坐标（4，1）．故选：B．9．下列计算正确的是（）A．1+＝B．C．a÷b•＝a D．解：（A）原式＝，故A错误．（B）原式＝+＝，故B错误．（C）原式＝aו＝，故C错误．故选：D．10．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣1）C．（0，0）D．（﹣1，﹣1）解：如图，点M的坐标是（1，﹣1），故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置．11．因式分解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．故答案为：（a+2）（a﹣2）．12．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5）．解：点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5），故答案为：（﹣3，5）．13．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠2 ．解：∵分式在实数范围内有意义，∴x的取值范围是：x≠2．故答案为：x≠2．14．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2），则不等式kx+b＜2的解集为x ＞﹣1 ．解：∵次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴y随x的增大而减小，∵点A（﹣1，2）在直线y＝kx+b上，∴当x＝﹣1时，y＝kx+b＝2，∴当x＞﹣1时，kx+b＜2，即不等式kx+b＜2的解集为x＞﹣1．故答案为x＞﹣1．15．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠BAC ＝120°，∠C＝40°，则∠BAD的大小为80 度．解：∵∠BAC＝120°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝20°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝80°，故答案为：80．16．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若BD＝，则CD的长为 2 ．解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，在Rt△BED中，∠B＝45°，∴2DE2＝BD2＝（）2＝2，∴DE2＝1，∴DF＝DE＝1，在Rt△CDF中，∠C＝30°，∴CD＝2DF＝2，故答案为：2．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答．17．因式分解：（1）mx+my；（2）2x2+4xy+2xy2．解：（1）mx+my＝m（x+y）；（2）2x2+4xy+2xy2＝2（x2+2xy+xy2）＝2（x+y）2．18．如图，已知AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是点E，F，AE＝CF．求证：AB∥CD．解：如图，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°．又∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在Rt△AFB与Rt△CED中，，∴△AFB≌△CED（HL）．∴∠A＝∠C．∴AB∥CD．19．解不等式组：．解：，由①得：x＜4，由②得；x≥﹣，则原不等式组的解集为﹣≤x＜4．20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝+2．解：（1﹣）÷＝＝＝，当a＝+2时，原式＝＝．21．证明：等腰三角形的两腰上的中线相等．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，求证：BD＝CE．证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB（SAS）．∴BD＝CE．即等腰三角形的两腰上的中线相等．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）在CB上找一点E，使EB＝EA；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AC＝4，BC＝8，求CE的长．解：（1）如图，点E为所作；（2）设CE＝x，则EB＝AE＝8﹣x，在Rt△ACE中，∵AC2+BC2＝AE2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，即CE的长为3．23．已知一次函数y1＝kx+2k﹣4的图象过一、三、四象限．（1）求k的取值范围；（2）对于一次函数y2＝ax﹣a+1（a≠0），若对任意实数x，y1＜y2都成立，求k的取值范围．解：（1）由题意得，解得0＜k＜2，∴k的取值范围是0＜k＜2；（2）依题意，得k＝a，∴y2＝kx﹣k+1，∵对任意实数x，y1＜y2都成立，∴2k﹣4＜﹣k+1，解得k＜，∵0＜k＜2，∴k的取值范围是0＜k．24．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．（1）求∠ADC的大小；（2）若∠BDC＝7°，BD＝3，CD＝5，求AD的长．解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，∵∠BFD＝97°＝∠AFE，∴∠E＝180°﹣97°﹣60°＝23°，∴∠ADC＝∠E＝23°；（2）如图，连接DE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE＝60°，AD＝DE，∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，∴△ACD≌△ABE，∴CD＝BE＝5，∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝90°，∴DE＝＝＝4，∴AD＝DE＝4．25．某药店销售A，B两种口罩，每个A种口罩比B种进价多0.5元，用240元购进A种口罩与用180元购进B种口罩的数量相同．（1）求A，B两种口罩每个的进价；（2）药店计划购进A，B两种口罩共10000个，其中A种口罩的进货量不多于3000个，且B种口罩进货量不超过A种口罩进货量的3倍．设购进A种口罩m个．①求m的取值范围；②若A种口罩每个售价3元，B种口罩每个售价2元，药店决定从销售A种口罩的利润中按每个捐款a（0.4＜a＜0.6）元给红十字会，做为慈善基金．设药店售完10000个口罩并捐款后获得的利润为W元，求药店获得利润W最大时的进货方案．解：（1）设A口罩每个的进价x元，则B口罩每个的进价（x﹣0.5）元，根据题意，得，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解并且符合题意．∴B口罩每个的进价2﹣0.5＝1.5（元），答：A口罩每个的进价2元，则B口罩每个的进价1.5元．（2）①依题意得，10000﹣m≤3m，解得m≥2500，∵m≤3000，∴m的取值范围为2500≤x≤3000；②由①，得2500≤x≤3000；依题意，得W＝（3﹣2﹣a）m+（2﹣1.5）（10000﹣m）＝（0.5﹣a）m+5000．（Ⅰ）当0.4＜a＜0.5时，∵0.5﹣a＞0，∴W随m的增大而增大，∴当m＝3000时，W取最大值；（Ⅱ）当a＝0.5时，W的值为5000；（Ⅲ）当0.5＜a＜0.6时，∵0.5﹣a＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝2500时，W取最大值；综上所述，当0.4＜a＜0.5时，药店购A种口罩3000个，B种口罩7000个；当a＝0.5时，药店进A种口罩和B种口罩在符合题意的购买范围内的整数均可；当0.5＜a＜0.6时，药店购A种口罩2500个，B种口罩7500个．。
哈尔滨师范大学附属中学2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题理含解析
【详解】解：（Ⅰ)设 , 两条生产线的产品质量指标值的平均数分别为 ， ,由直方图可得 ，
同理 ， ,因此 生产线的质量指标值更好．
(Ⅱ) 生产线的产品质量指标值的众数为80
由 生产线的产品质量指标值频率分布直方图,前两组频率为
前三组频率为
,
所以 在 上递增,在 上递减,
所以 的极大值为 ,极小值为
注意到当 时， ，
所以由 有 个极值点，可得 。
所以实数 的取值范围是 。
故答案为: ；
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，属于中档题.
三、解答题
17。在直角坐标系 中，圆C的参数方程 （ 为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
A. ， B。 ，
C ， D。 ，
【答案】D
【解析】
试题分析：均值为 ;
方差为
,故选D。
考点：数据样本的均值与方差。
10.已知函数 ，则 ( )
A。 B。eC。 D。 1
【答案】C
【解析】
【分析】
先求导,再计算出 ，再求 .
【详解】由题得 ,
所以 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题。
【详解】涉及函数定义域为 ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ 在 上单调递增,
不等式 可化为 ,即 ，所以 ， ，又 ,得 ，
∴原不等式的解为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查用导数解不等式,解题关键是构造新函数,利用新函数的单调性解不等式，新函数需根据已知条件和需要解的不等式确定，简单的有 ， ， ， ,等等,复杂点的如 ，或 ，象本题 难度更大．注意平时的积累．
重庆市垫江中学校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试卷含答案
重庆市垫江中学校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试卷含答案数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题。
(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．(改编）若21i z i =+（其中i 是虚数单位),则z =( ） A ．4 B ．2 C ．1 D 22．为对某组数据进行分析,建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0。
97，0。
86，0。
65，0.55,则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（）A．0。
55 B．0。
86 C．0。
65D．0.973．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N（100，σ2)（σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8,则ξ在(0，80)内的概率为（）A．0.05B．0。
1 C．0。
15D．0。
24．（改编）曲线y＝x2＋ln x在点（1,1)处的切线方程为( )A．3x－y－2＝0 B．x－3y＋2＝0 C．3x＋y－4＝0 D．x＋3y－4＝05．(改编）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复）,有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）A．180种B．360种C．720种D．960种6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X）＝3，则D（X）＝（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!7．（改编)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元） 4 2 3 5销售额y （万元) 49 26 39 54根据上表可得回归方程+=a x b y 中的∧b 为9。
考点04 二次函数的图象和性质(原卷版)
考点04 二次函数的图象和性质1．（四川省阿坝州汶川县2019-2020学年九年级上学期期末考试数学试题）下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．21y x =-+B ．2y ax bx c =++C ．23y x =+D ．22y x =2．（四川省阿坝州汶川县2019-2020学年九年级上学期期末考试数学试题）抛物线()21515y x =-++，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标()5,1 B ．开口向上，顶点坐标()5,1 C ．开口向下，顶点坐标()5,1-D ．开口向上，顶点坐标()5,1-3．（湖北省巴东县2019-2020学年九年级下学期6月检测数学试题）已知抛物线的图象经过点(﹣1，10)、(2，3)、(5，10)，则这个抛物线的对称轴是（ ） A ．x ＝6B ．x ＝2C ．x ＝4D ．x ＝84．（河南省焦作市2019-2020学年九年级第一次质量抽测数学试题）在抛物线()221y x =-经过（m ，n ）和（m +3，n ）两点，则n 的值为（ ） A ．92B ．92-C ．1D ．12-5．（湖北省武汉市外国语学校美加分校2019-2020学年九年级下学期期中数学试题）已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(2－a )x ＋5，当1≤x ≤3时，y 在x ＝1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥2B ．a ≤－2C ．a ≥6D ．a ＜06．（辽宁省丹东市第七中学2019-2020学年九年级下学期复学摸底数学试题）对于抛物线21(1)32y x =---的说法错误的是 （ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的顶点坐标是（1，-3）C ．抛物线的对称轴是直线1?x =D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大7．（河南省驻马店市汝南县2019--2020学年九年级下学期期中数学试题）将抛物线2y ax bx c =++向左平移2个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线22y x =，则原抛物线是( )A ．2285y x x =--B ．22810y x x =-+C ．2283y x x =++D ．2247y x x =-+8．（2020年湖北省应城市、安陆市、云梦县、孝昌县四县市九年级联合调研考试数学试题）抛物线2813y x x =-+-上有两点()1, A m y 和()22, B m y +， 若12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．4m >B ．4m <C ．3m >D ．5m <9．（黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2019-2020学年九年级6月阶段测试数学试题）将抛物线()2313y x =-++向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为（ ）A ．()2334y x =-++ B ．()2312y x =--+C ．()2322y x =-++D ．()2314y x =--+10．（山西省太原市2019-2020学年九年级初中毕业班综合测试（三）数学试题）在平面直角坐标系内，将抛物线()223y x =+-经过两次平移后，得到的新抛物线的顶点坐标为(1,4)-．下列对这一平移过程描述正确的是（ ）A ．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度11．（陕西省安康市旬阳县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）已知二次函数22y x x m =-+（m 为常数），当12x -≤≤时，函数值y 的最小值为3-，则m 的值为（ ） A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-12．（陕西省西北工业大学附属中学2019-2020学年九年级下学期第三次适应性训练数学试题）已知二次函数22(22)23y x m x m m =++++-，当31m -<<时，则下列结论正确的是（ ） A ．二次函数的图象与x 轴无交点B ．二次函数的图象与x 轴的交点都在y 轴左侧C ．二次函数的图象与x 轴的交点都在y 轴右侧D ．二次函数的图象与x 轴的交点都在y 轴两侧13．（2020年湖北省黄石市九年级中考5月调研数学试题）二次函数2()10y ax bx a =++≠的图象的顶点在第一象限，且过点（-1,0），设1t a b =++，则t 的取值范围为（ ） A ．02t << B ．10t -<< C ．1t <-D ．2t <14．（浙江省杭州拱墅区拱宸中学2019-2020学年九年级下期中考试数学试题）已知二次函数212y x x =+-图像与反比例函数2ky x=的图像有一个交点()12，--，则下列选项正确的是( ) A ．32x >时12y y > B ．2x <时12 y y >C ．1x >时12 y y >D ．312x <<时，12y y >15．（福建省厦门市海沧区2019-2020学年九年级初中毕业班教学质量检测数学试题）已知点A ( b －m ，y 1 )，B ( b －n ，y 2 )，C ( b+2m n+，y 3 )都在二次函数y=－x 2+2bx +c 的图象上，若0<m <n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1< y 2< y 3B ．y 2< y 3< y 1C ．y 3< y 1< y 2D ．y 1 < y 3< y 216．（辽宁省铁岭市、鞍山市2019-2020学年九年级线上与线下教学衔接质量检测数学试题）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，其对称轴为直线1x =，下面结论中正确的是（ ）A ．0abc ＞B ．20a b -=C ．420a b c ++＜D ．930a b c ++=17．（2020年福建省福州市闽侯县中考数学4月模拟试题）抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝ax +c （a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．18．（广东省广外附中实验学校2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）已知：如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，对角线AC =8cm ，直线l 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向右运动，直到过点C 为止在运动过程中，直线l 始终垂直于AC ，若平移过程中直线l 扫过的面积为S （cm 2），直线l 的运动时间为t （s ），则下列最能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．19．（2020年江苏省常州市九年级6月二模数学试题）二次函数221y x x =-+在3≤x ≤5范围内的最小值为________．20．（浙江省湖州市南浔区2019-2020学年九年级下学期6月月考数学试题）已知二次函数22(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)，当-a b 为整数时，2a b +的值为__________．21．（江苏省扬中市2019-2020学年九年级5月诊断数学试题）已知点(0,2)A 与点(2,4)B 的坐标，抛物线2691y ax ax a =-++与线段AB 有交点，则a 的取值范围是_________．22．（2020年福建省泉州晋江市九年级学业质量检查（二）数学试题）已知()13,A y -，()21,B y 两点均在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上点()3,C m y 是该抛物线的顶点，若123y y y >>，则m 的取值范围为___________．23．（2020年江苏省泰州市姜堰区中考数学一模试题）已知二次函数2241y ax ax a =-+-，当x a ≥时，y随x 的增大而增大．若点A （1，c ）在该二次函数的图像上，则c 的最小值为_________．24．（浙江省杭州拱墅区拱宸中学2019-2020学年九年级下期中考试数学试题）已知两个不重合的二次函数21y ax bx c =++和22y mx nx P =++的图象关于y 轴对称，则函数12y y +的图象的顶点坐标为_______．（用a ，b ，c 的式子表示）25．（北京市十一学校2019-2020学年九年级下学期3月月考数学试题）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙、丁四名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象不经过第三、四象限；乙：当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；丙：函数有最小值；丁：当x ≠1时，y ＞0．已知这四位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_____．26．（广东省潮州市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，二次函数2(2)y x m =-+的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点 (1,0)A 及点(,3)B n（1）求二次函数的解析式及B 的坐标（2）根据图象，直按写出满足2(2)kx b x m +≥-+的x 的取值范围27．（云南省2019-2020学年九年级模拟）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于()1,0A -，()4,B m 两点，且抛物线经过点()5,0C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 、点B 重合），过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，交直线AB 于点E ．当2PE ED =时，求点P 坐标．28．（北京市大兴区亦庄实验学校2019-2020学年九年级第二次月考数学试题）在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +1 （1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A (-1，6)，求二次函数的表达式；（3）将点A (-1，6)沿x 轴向右平移4个单位得到点B ，若抛物线与线段AB 始终有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．29．（2020年浙江温州新希望联盟校九年级第三次联考数学试题）已知二次函数223y ax ax a =+-（a 是常数，0a ≠）．（1）若二次函数图像经过(1,1)A ，(1,4)B -，(3,12)C -三点中的一个点，求该函数表达式；（2）当30x -<<时，y 有最小值4-，若将该二次函数图像向右平移(1)k k >个单位，平移后的图像的函数'y 在30x -<<的范围内有最小值3-，求,a k 的值．30．（黑龙江省龙东地区2019-2020学年九年级中考调研测试数学试题）如图，抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -，()3,0B ，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点()2,E m 在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 的中点，连接FH ，求线段FH 的长．。
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2019-2020学年福建省厦门市数学高二(下)期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】 试题分析：模拟运算：成立成立成立成立成立成立成立成立 不成立，输出，故选D ．考点：程序框图．2．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( )A ．(,3)-∞B ．(3,)-+∞C ．(,3]-∞-D ．(,3)-∞-【答案】C【解析】【分析】 利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围，再根据无实数解得出a 的范围。
【详解】解：由绝对值不等式的性质可得，||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=„， 即|1||2|3x x +---….因为|1||2|x x a +--<无实数解所以3a ≤-，故选C 。
【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。
3．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．12【答案】C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++L中的“…”代表无限次重复，设121211x =++L，则可以利用方程121x x =+求得x ，333L =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B【解析】【分析】 先阅读理解题意，再结合题意类比推理可得：设3x x =3x =，得解．【详解】 解：依题意可设3x x =，解得3x =，故选：B ．【点睛】本题考查类比推理，属于基础题．5．若复数(6)z i i =+，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】把复数为标准形式，写出对应点的坐标．【详解】2(6)616z i i i i i =+=+=-+，对应点(1,6)-，在第二象限．故选B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题．6．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0x x x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.7．2018年5月1日，某电视台的节目主持人手里提着一个不透明的袋子，若袋中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（ ）A ．521B ．715C ．1115D ．221【答案】B【解析】【分析】由组合数公式求出从10个球中任取2个球的取法个数，再求出有1个红球1个白球的取法个数，即可求出结论.【详解】从10个球中任取2个球共有210C 种取法，其中“有1个红球1个白球”的情况有1137C C （种）， 所以所求概率11132077C 15p C C ==. 故选:B.【点睛】本题考查利用组合数公式求古典概型的概率，属于基础题.8．设函数()f x =，则函数4x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的定义域为（ ） A ．(,1]-∞B ．(,4]-∞C ．01]（，D ．04]（， 【答案】B【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得f （x ）的定义域，再由4x 在f （x ）的定义域内求解x 的范围得答案． 【详解】由2﹣2x ≥0，可得x≤1． 由14x ≤，得x≤2． ∴函数f （4x ）的定义域为（﹣∞，2]． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．9．已知直线10ax y +-=是圆221214600x y x y +--+=的对称轴，则实数a =( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】由于直线是圆的对称轴，可知此直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程中可求出a 的值【详解】解：圆221214600x y x y +--+=的圆心为(6,7)，因为直线10ax y +-=是圆221214600x y x y +--+=的对称轴，所以直线10ax y +-=过圆心(6,7)，所以6710a +-=，解得1a =-，故选：B【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解，属于基础题10．若函数()y f x =图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则对称点(,)A B 为函数()y f x =的“孪生点对”，且点(,)A B 对(,)B A 与可看作同一个“孪生点对”.若函数322,0()692,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+-≥⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6【答案】A【解析】分析：由题可知当0x >时，()f x 与2y =-恰有两个交点.根据函数的导数确定()f x 的图象，即可求得实数a 的值.详解：由题可知，当0x >时，()f x 与2y =-恰有两个交点.函数求导()()()'313f x x x =---（0x >）易得1x =时取得极小值()12f a =--；3x =时取得极大值()32f a =-另可知()02f a =-，所得函数图象如图所示. ∴当()122f a =--=-，即0a =时()f x 与2y =-恰有两个交点.∴当0a =时，()f x 恰好有两个“孪生点对”，故选A.点睛：本题主要考查新定义，通过审题，读懂题意，选择解题方向，将问题转化为当0x >时，()f x 与2y =-恰有两个交点是解题关键.11．复数2)(1z i i =+(i 为虚数单位)等于（）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【答案】B【解析】【分析】由复数的乘法运算法则求解.【详解】()212 2.z i i i i =+==-g 故选B ．【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.12．若一圆柱的侧面积等于其表面积的23，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（ ） A ．1：1B ．2：1C ．3：1D ．4：1 【答案】B【解析】【分析】设这个圆柱的母线长为l ，底面半径为r ，根据已知条件列等式，化简可得答案.【详解】设这个圆柱的母线长为l ，底面半径为r ， 则222(22)3r l r l r πππ⋅=⋅+， 化简得2l r =，即21l r =， 故选：B【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式，考查了圆柱的表面积公式，属于基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若双曲线的焦点在x 轴上，焦距为4，且过点()2,3P ，则双曲线的标准方程为______． 【答案】2213y x -= 【解析】【分析】 设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，利用双曲线的定义求出a 的值，结合焦距求出b 的值，从而可得出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>， 由题意知，该双曲线的左、右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，由双曲线的定义可得1222a PF PF =-==，1a \=，则b =2213y x -=. 故答案为：2213y x -=. 【点睛】本题考查过点求双曲线的方程，在双曲线的焦点已知的前提下，可以利用定义来求双曲线的标准方程，也可以利用待定系数法求解，考查运算求解能力，属于中等题.14．设121(3sin )m x x dx -=+⎰，则6()m x x-的展开式中的常数项为__________． 【答案】-160.【解析】由12313311(3sin )(cos )|(1cos1)((1)cos(1))2m x x dx x x --=+=-=-----=⎰，所以二项式62()x x -展开式的常数项为333333662()(2)160T C x C x=-=-⋅=-. 15．若11a bi i=--，其中,a b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=__________．【解析】【分析】 首先进行复数的乘法运算，得到a ，b 的值，然后代入求解即可得到结果【详解】()()()1111122a i a a a i bi i i i +==-=---+ 解得2a =，1b =-a bi +=【点睛】本题是一道关于考查复数概念的题目，熟练掌握复数的四则运算是解题的关键，属于基础题．16．已知2tan()3αβ+=，πtan 14β⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________． 【答案】5【解析】【分析】 利用πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭πtan ()4αββ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭πtan ()4αββ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ πtan()tan 4π1tan()tan 4αββαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭ 213521(1)3+==+⨯-． 故答案为：5【点睛】本题主要考查差角的正切公式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数3()31f x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）求曲线在点(0,(0))f 处的切线方程．【答案】（1）极大值为(1)3f -=，极小值为(1)1f =-（2）310x y +-=【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x ），求出方程f′（x ）=0的根，根据二次函数的图象求出 f′（x ）＜0、f′（x ）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）：切线的斜率，由解析式求出f （0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f （0））处的切线方程，再化为一般式方程试题解析：（1）3()31f x x x =-+Q ，/2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=-+，/()011f x x x ===-设，可得，或．①当/()0f x >时，11x x ><-，或；②当/()0f x <时，11x -<<．当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -=当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-（2）2033|3x k x ==-=-Q ，(0)1f =13(0)310y x x y ∴-=--⇒+-=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值18．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=o ，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30o ．（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（2）求二面角A CE B --的余弦值．【答案】 (Ⅰ)见证明； (Ⅱ)13． 【解析】【分析】 （Ⅰ）先证得EF FC ⊥，再证得EF BD ⊥，于是可得EF ⊥平面BCD ，根据面面垂直的判定定理可得平面EFC ⊥平面BCD ．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求．【详解】（Ⅰ）在t R BCD ∆中，F 是斜边BD 的中点，所以112FC BD ==. 因为,E F 是,AD BD 的中点，所以112EF AB ==，且2EC =， 所以222EF FC EC +=， 所以EF FC ⊥.又因为,//AB BD EF AB ⊥， 所以EF BD ⊥， 又BD FC F ⋂=， 所以EF ⊥平面BCD ， 因为EF ⊂平面EFC ， 所以平面EFC ⊥平面BCD ．（Ⅱ）方法一：取AC 中点M ，连ME ，则//ME CD ，因为122CE AD == 所以CD AC ⊥.又因为CD BC ⊥，AC BC C ⋂=， 所以CD ⊥平面ABC ， 所以ME ⊥平面ABC ．因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角． 故22cos306AC MC EC ==⋅=o所以2CD BC ==过点B 作BN AC ⊥于N ，则BN ⊥平面ACD ， 且23AB BC BN AC ⋅==． 过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ， 则BHN ∠为二面角A CE B --的平面角． 因为2BE BC EC ===，所以22366,226BH BE HN BH BN ===-=， 所以1cos 3HN BHN BH ∠==， 因此二面角A CE B --的余弦值为13． 方法二：如图所示，在平面BCD 中，作x 轴⊥BD，以B 为坐标原点，BD ，BA 所在直线为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ． 因为2CD BC ==(同方法一,过程略)则()1,1,0C ，()0,0,2A ,()0,1,1E ．所以()=1,0,1CE -u u u v ,()0,1,1BE =u u u v ,()0,1,1AE =-u u u v，设平面ACE 的法向量()111,,m x y z =v，则·0C ?0AE m E m ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即111100y z x z -=⎧⎨-+=⎩，取11x =,得()1,1,1m =v ．设平面BCE 的法向量()222,,n x y z =v则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩u u u v vu u u v v ，即222200y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取21x =,得()1,1,1n v =-． 所以·1cos ,333m n m n m n ==⨯v vv vv v ，由图形得二面角A CE B --为锐角， 因此二面角A CE B --的余弦值为13． 【点睛】利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系．19．随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元. 该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？ 【答案】（1）144625（2）①平均值可估计为15元. ②公司不应将前台工作人员裁员1人. 【解析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估计样本中包裹件数在101300~之间的概率为35，X 服从二项分布3~5,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可得结果；（2）①整理所给数据，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁员，求出公司每日利润的数学期望，若裁员一人，求出公司每日利润的数学期望，比较裁员前后公司每日利润的数学期望即可得结果.详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率363605f ==， 故可估计概率为35， 显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数X 服从二项分布，即3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为32252314455625C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位：kg ） 1 2 3 4 5 快递费（单位：元） 10 15 20 25 30 包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为10431530201525830415100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为26015310010003⨯⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为2351521009753⨯⨯-⨯=（元） 因9751000<，故公司不应将前台工作人员裁员1人. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； ③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度20．若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈且1A ∈；（2）若x ，y A Î，则x y A -∈，且当0x ≠时，1A x∈，则称集合A 为“闭集”.（1）试判断集合{}1,0,1B =-是否为“闭集”，请说明理由； （2）设集合A 是“闭集”，求证：若x ，y A Î，则x y A +∈；（3）若集合M 是一个“闭集”，试判断命题“若x ，y M ∈，则xy M ∈”的真假，并说明理由. 【答案】（1）否，理由见详解；（2）证明见详解；（3）真命题，理由见详解 【解析】 【分析】（1）利用闭集的定义判断； （2）利用闭集的定义证明；（3）利用闭集的定义，先说明,x y 中均不含0，1时，11,1M x x∈-，再说明(1)x x M -∈，进而得出2x M ∈，2y M ∈，从而有2()x y M +∈，可得到2xy M ∈，12M xy∈，即得出xy M ∈. 【详解】解：（1）112B --=-∉Q ， ∴集合{}1,0,1B =-不是“闭集”， （2）证明：∵集合A 是“闭集”，0y y A ∴-=-∈，故()x y x y A --=+∈；（3）若集合M 是一个“闭集”，任取,x y M ∈， 若,x y 中有0或1时，显然xy M ∈； 若,x y 中均不含0，1，由定义可知：111,,1x M x x-∈-， ()11111M x x x x ∴-=∈--， (1)x x M ∴-∈由（2）知，(1)x x x M -+∈，即2x M ∈．同理可得2y M ∈，若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y M +∈，若0x y +≠且1x y +≠，则2()x y M +∈，2222()xy x y x y M ∴=+--∈，1111,222M M xy xy xy xy∴∈=+∈， xy M ∴∈，故命题为真命题． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算的定义及学生对新定义的接受能力，属于中档题． 21．已知复数212121(10),(25)(0),z a i z a i a z z R =+-=->+?． （1）求实数a 的值； （2）若2,||2z zz C ?=，求||z 的取值范围．【答案】（1）3a =；（2）[1,3]． 【解析】 【分析】（1）根据题意，先计算出12z z +，再由12z z R +∈即可求出结果； （2）先由（1）知2z i =，再由复数的几何意义即可求出结果. 【详解】（1）因为()21110z a i =+-，()225(0)z a i a =->，所以()()()2212=110251215z z ai a i aa i +--+-=++-，因为12z z R +∈，所以2215=0a a +-， 解得5a =-或3a =， 因为0a >，所以3a =． （2）由（1）知2z i =，因为22z z -=，所以z 在复平面内对应点的轨迹为以（0,1）为圆心，以2为半径的圆． 故||z 在复平面内表示z 对应的点到坐标原点的距离，所以||z 的取值范围即：以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上的点到坐标原点的距离， 所以21||21z -≤≤+，即1||3z ≤≤． 故||z 的取值范围为[]1,3． 【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记概念和几何意义即可求解，属于基础题型. 22．已知函数()|1||2|f x x x a =-+-． （1）当a ＝3时，解不等式()2f x ≤；（2）若不等式|1|()3x f x -+<的解集非空，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2[,2]3；（2）(1,5)-． 【解析】 【分析】（1）由a ＝3可得|1||23|2x x -+-≤，去绝对值，分类讨论解不等式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得|22||2|3x x a -+-<有解，运用绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，解a 的不等式可得所求范围． 【详解】（1）当a ＝3时，()2f x ≤即为|1||23|2x x -+-≤，等价于321232x x x ⎧≥⎪⎨⎪-+-≤⎩或3121322x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或11322x x x ≤⎧⎨-+-≤⎩， 解得322x ≤≤或312x <<或213x ≤≤， 则原不等式的解集为2[,2]3；（2）不等式|1|()3x f x -+<的解集非空等价于|22||2|3x x a -+-<有解． 由|22||2||222||2|x x a x a x a -+-≥-+-=-， （当且仅当(22)(2)0x x a --≤时取得等号），所以|2|3a -<，解得15a -<<，故a 的取值范围是(1,5)-． 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式以及不等式能成立求参数的问题，考查学生分类讨论的思想，是一道容易题.。