2019年最新考研高数模拟试题(含参考答案)

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2019最新版考研高等数学模拟测试题目(含答案解析)

即
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是 .
(4)要使函数有意义,必须
即
即或 ,(k为整数).
也即 (k为整数).
所以函数的定义域是 ,k为整数.
5．没 ,求
解: ,
6．对下列数列求 ,并对给定的确定正整数 ,使对所有 ,有 :
解: , ,要使 ,只须 .取 ,则当时,必有 .
;
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
.
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
3．下列函数是否相等,为什么?
解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
综上所述，在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在处间断.
图形如下：
图1-5
9．若在上连续， ,证明:在中必有，使
.
证:由题设知在上连续，则在上有最大值M和最小值m，于是
,
由介值定理知，必有，使
.
习题二
10．求下列函数在给定点处的导数：
⑴ 求；
解：
⑵ 求和；
由初等函数的连续性知在内连续，
又由
知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在处间断.图形如下：

2019新考研高数模拟训练题目(含参考答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和b a 为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和b a为端点的闭区间上, 而 22(0)0,b b y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 故当a >0时，函数的最大值为22b b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0y =; 当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22b b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2．计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)()222222,,y z z x x y =+++A ；解：()0,2,,y z z x x y ---(2)()222,,x yz x y z x yz =A ；解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x ---(3),,y x z yz z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．求下列函数的高阶导数：⑴ e sin ,x y x =⋅求(4)y； ⑵ 22e ,x y x =⋅求(6)y ； ⑶ 2sin ,y x x =⋅求(80)y .解：⑴e sin e cos e (sin cos )x x xy x x x x '=⋅+⋅=+(4)e (sin cos )e (cos sin )2cos e 2e (cos sin )2e (cos sin )2e (sin cos )=4e sin x x x x x x x y x x x x x y x x y x x x x x ''=++-=⋅'''=-=-+---⑵ 6(6)2(6)260(e )()i x i i i y C x -==∑22(6)22(5)22(4)622524222(e )6()(e )15()(e )2e 622e 1522e 32e (21215)x x x x x xx x x x x x x x '''=++=+⋅⋅+⋅⋅=++⑶ 80(80)2()(80)800()(sin )i i i i y C x x -==∑2(80)(79)(78)22(sin )802(sin )31602(sin )πππsin(80)+160sin (79)6320sin (78)222sin 160cos 6320sin .x x x x x x x x x x x x x x x =+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅++⋅=--4．已知()f x ''存在，求22d d y x： ⑴ 2()y f x =； ⑵ ln ()y f x =.解：⑴ 22()y xf x ''= 222222()22()2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+ ⑵ ()()f x y f x ''= 22()()[()]()f x f x f x y f x '''-''=5．在括号内填入适当的函数，使等式成立：⑴ d( )cos d t t =； ⑵ d( )sin d x x ω=;⑶ 1d( )d 1x x =+； ⑷ 2d( )e d x x -=; ⑸d( )x =; ⑹ 2d( )sec 3d x x =； ⑺ 1d( )ln d x x x =; ⑻d( )x =. 解：⑴ (sint)cos t '=。

2019新考研高数模拟测试考题(含参考答案)

(1) ；
(2)
(3) ；(4) ；
(5) ；(6) ．
解：(1)∵
而收敛，由比较审敛法知收敛．
(2)∵
而发散，由比较审敛法知，原级数发散．
(3)∵
而收敛，故也收敛．
(4)∵
而收敛，故收敛．
(5)当a>1时，，而收敛，故也收敛．
当a=1时，，级数发散．
当0<a<1时，，级数发散．
当t>1或t<－1时，，曲线是凹的，
当0<t<1或－1<t<0时，，曲线是凸的，
故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).
(2)x=2acotθ，y=2asin2θ.
解：
令，得或，
不妨设a>0，不失一般性，当时，即时，，
当或时，即或时， ,
故当参数或时，都是y的拐点，且拐点为及 .
2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
总分
得分
一、解答题
1．已知 ,求 .
解：原式=
2．求下各微分方程的通解：
;
解：
得相应齐次方程的通解为
令特解为 ,代入原方程得
,
解得 ,故 ,
故原方程通解为 .
10．问a，b为何值时，点(1，3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？
解：y′=3ax2+2bx,y″=6ax+2b
依题意有
解得 .
11．设具有二阶连续导数，且，试证：
可导，且导函数连续.

2019新考研高等数学模拟训练试题(含参考答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．确定下列函数的单调区间：(1) 3226187y x x x =---；解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少.(2) 82 (0)y x x x=+>；解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x '=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =；解: 函数定义域为(,)-∞+∞，0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加. (4) 3(1)(1)y x x =-+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1[,)2+∞内， 0y '>，函数单调增加. (5) e (0,0)n x y x n x -=>≥；解: 函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n x n x x n y nx x x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.(6) sin 2y x x =+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z 1) 当π[π,π]2x n n ∈+时， 12cos 2y x '=+，则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+； πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++. 2) 当π[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则 1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈-- 1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-. 综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈，函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈. (7) 54(2)(21)y x x =-+.解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+-- 函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加，在111[,]218-上， 0y '<,函数单调减少，在11[,2]18上， 0y '>,函数单调增加，在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11[,)18+∞.2．求下列函数在所示点的导数：(1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在点π4t =；。

2019年新考研高数模拟训练考题(含答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上.解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ；(2)双纽线r 2 = a 2cos2θ；(3)圆x 2+y 2 = 2ax ．解：(1)()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得cos x a =sin y a =从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22L A x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰ (3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩ 故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin LA x y y x a a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰3．设212s gt =，求2d d t s t =. 解：d d s gt t =，故2d 2d t s g t ==.4．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x == 解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x ---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x +++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin 0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x →→-'===-,。

2019年新版考研高数模拟题目(含答案解析)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a 为正常数）(1) sin d;||aa x x x -⎰ 解：因sin ||x x 为[－a , a ]上的奇函数，故 sin d 0.||a a x x x -=⎰(2)ln(aa x x -+⎰;解：因为ln(ln(x x -=-即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰; 解：因为2sin tan 3cos3x x x+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1x x x x x x x ---++-=--⎰⎰ ()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+- π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰. 解：因为3ln3x x +-是奇函数，故原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0LP x y x =⎰其中P (x , y )在L 上连续．证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x a b t b y t=⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰3．求由下列方程确定的隐函数()y y x =的微分d y ：⑴ 1e yy x =+； ⑵ 22221x y a b +=； ⑶ 1sin 2y x y =+； ⑷ 2arccos y x y -=. 解：⑴ 对等式两端微分，得d e d d(e )y y y x x =+即d e d e d y yy x x y =+ 于是e d d .1e yyy x x =- ⑵ 对等式两端微分，得22112d 2d 0x x y y a b⋅+⋅= 得22d d .b x y x a y=- ⑶ 对等式两端微分，得1d d cos d 2y x y y =+ 解得2d d .2cos y x y=- ⑷ 对等式两端微分，得2d d y y x y -=解得d .y x =4．利用麦克劳林公式，按x 乘幂展开函数23()(31)f x x x =-+.解：因为()f x 是x 的6次多项式，所以 (4)(5)(6)23456(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0).2!3!4!5!6!f f f f f f x f f x x x x x x ''''''=++++++ 计算出：(0)1,(0)9,(0)60,(0)270f f f f ''''''==-==-，。

2019新考研高数模拟考试试题(含参考答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？解：所需电线为()(03)()L x x L x =<<'=13题图在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短.2．求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：ππ(1)sin 20,1,1x x y y x y y =='''++===;解：特征方程为 210r +=得 1,2r i =±对应齐次方程通解为 12cos sin y c x c x =+令*cos 2sin 2y A x B x =+代入原方程并整理得 3cos23sin 2sin 2A x B x x --=-得 10,3A B == 故通解为 121cos sin sin 23y c x c x x =++. 将初始条件代入上式得 11221121133c c c c -==-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩故所求特解为 11cos sin sin 233y x x x =--+. 200633(2)109e ,,77x x x y y y y y ==''''-+===. 解： 21090r r -+=121,9r r ==对应齐次方程通解为 912e e x x y c c =+令*2e x y A =,代入原方程求得 17A =-则原方程通解为 29121e e e 7x x x y c c =-++ 由初始条件可求得 1211,22c c == 故所求特解为 9211(e e )e 27x x x y =+-.3．证明:11(1)arcsin h ln( (2)arctan h ln ,1121x x x x x x+==-<<- 证: (1)由e e sinh 2x xy x --==得2e 2e 10x x y --=解方程2e 2e 10x x y --=得e x y =因为e 0x >,所以e x y =ln(x y =所以sinh y x =的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==+-∞<<+∞(2)由e e tanh e e x x x x y x ---==+得21e 1x y y +=-,得1112ln ,ln 121y y x x y y++==--; 又由101y y+>-得11y -<<, 所以函数tanh y x =的反函数为11arctan h ln (11).21x y x x x+==-<<-4．怎样选取a , b 的值，使f (x )在(－∞,+∞)上连续？。

2019最新版考研高等数学模拟考试题目(含答案)

故原方程通解为 .
3．求下列函数在给定点处的导数：
⑴ 求；
解：
⑵ 求和；
解：
⑶ 求 .
解：
故
4．求函数的反函数的导数.
解：
故反函数的导数为：
.
5．设函数在上连续，在内可导，且试证： .
证明： .
6．求函数在处的阶泰勒公式.
解：
7．证明恒等式：
证明：令 ,
故，又因 ,所以 ,即
( ，+∞)
y′
+
0
－
－
－
y″
0
－
－
－
0
+
y
0
极大
拐点
当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线.
函数有极大值，极小值，有3个拐点，分别为 (0，0)，
，作图如上所示.
(2)f(x)=x－2arctanx
解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,
令y′=0，可得x=±1，
令y″=0，可得x=0.
13．利用基本积分公式及性质求下列积分：
;
解：原式 .
；
解：原式=
解：原式=3
解：原式=
;
解：原式=
解：原式=
解：原式= .
解：原式= .
解：原式= .
解：原式=
解：原式=
;
解：原式=
解：原式=
解：原式= .
；
解：原式= .
;
解：原式= .
;
解：原式=
.
解：原式=
14．研究下列函数的连续性，并画出图形：
又，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.

2019最新考研高数模拟测试题目(含答案解析)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．求下列函数在[－a ，a ]上的平均值：(1)()f x =解：200111π1.arcsin 2422aa a a x y x x a a a a -⎡====+⎢⎣⎰⎰ (2) 2().f x x = 解：2223001111d d .233a a a a a y x x x x x a a a -⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰2．计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)()222222,,y z z x x y =+++A ；解：()0,2,,y z z x x y ---(2)()222,,x yz x y z x yz =A ；解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x ---(3),,y x z yz z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t tϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=4．求曲线x =a cos 3t ，y = a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解： 22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy a t t t t x x a t tt===--， 22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x t a t t a t tt--=-=⋅==-，故 423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t==+- 且当t =t 0时， 023sin 2k a t =.5．函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),ξξξξ∈--∈-∈∈使得1234()()()()0f f f f ξξξξ''''====.因此，()f x '至少有4个零点，且分别位于(2,1),(1,0),(0,1),(1,2)---内.6．已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使得()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.证明：令()()e ,xF x f x =⋅()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，即()e ()e f f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈7．确定下列函数的单调区间：(1) 3226187y x x x =---；解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少. (2) 82 (0)y x x x=+>；解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x '=-，则函数。

2019最新版考研高数模拟考试考题(含答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．利用定义计算下列定积分：（1） d ();ba x x ab <⎰解：将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n -=+=-记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b a x n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ== 则得和式 211()2(1)()[()]()2n n i i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得 220122()(1) d lim ()lim[()]21 ().2n bi i a n i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰ (2) 10e d .x x ⎰ 解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n ==-记每个小区间长度1,i x n ∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==则和式111()in n n i i i i f x e nξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)lim lim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i n n xn n n n n n i n n n n n n n n n x n n n n n n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰2．设在半平面x >0中有力()3k F xi yj r=-+构成力场，其中k为常数，r ，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关．证：场力沿路径L 所作的功为．33d d L k k W x x y y r r =--⎰ 其中3kx P r =-，3ky Q r =-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且53(0)P kxy Q x y r x∂∂==>∂∂ 因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．3．求下列参数方程所确定的函数的导数d d y x ： ⑴ cos sin ,sin cos ,x a bt b at y a bt b at =+⎧⎨=-⎩(a ,b 为常数) 解：d d cos sin d d d sin cos d cos sin cos sin yy ab bt ab at t x x ab bt ab at tbt at at bt+==-++=- ⑵ (1sin ),cos .x y θθθθ=-⎧⎨=⎩解： d d cos sin cos sin d d d 1sin (cos )1sin cos d yy x x θθθθθθθθθθθθθθ--===-+---4．在括号内填入适当的函数，使等式成立：⑴ d( )cos d t t =； ⑵ d( )sin d x x ω=;⑶ 1d( )d 1x x =+； ⑷ 2d( )e d x x -=; ⑸d( )x =; ⑹ 2d( )sec 3d x x =； ⑺ 1d( )ln d x x x =; ⑻d( )x =. 解：。