2011概率CH3-5习题课

合集下载

CH5 概率与概率分布(课后习题)

0.55783
故障的次数服从平均值为1.5的泊松分布求：
0.251021
.251021 .557825 ISSON(0,1.5,1)]^3=(0.2231)^3=0.111
HYPGEOMDIST(1,7,5,12)+HYPGEOMDIST(0,7,5,12) (X=3)]=1-(0.31061+0.4419)=1-0.75253=0.24747
（2）P(0≤Z≤1.49)=NORMSDIST(1.49)-NORMSDIST(0)=0.4319 （3）P(-0.48≤Z≤0)=NORMSDIST(0)-NORMSDIST(-0.48)=0.1844 （4）P(-1.73≤Z≤0)=NORMSDIST(0)-NORMSDIST(-1.73)=0.4147 （5）P(Z>1.33)=1-P(Z<1.33)=1-0.90824=0.0918
（2）P(X≤1)=POISSON(1,1.5,1)=0.557825 （3）P(X=0)·P(X=0)·P(X=0)=[POISSON(0,1.5,1)]^3=(
5.10假定X服从N=12，n=7，M=5的超几何分布，求：解：（1）P(X=3)=HYPGEOMDIST（3，7，5，12）=0.4419
5.6 有一男女比例为51:49的人群，一直男人中5% 随机抽中了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率？
解：A1 抽到男性，A2 抽到女性。B 抽到色盲 P(B) P(A1 )P(B A1 ) P(A2 )P(B A2 ) 0.51 0.05 0.49 0.0025 0.026725
P(A 1
DIST(2,0.2,1)=0.33 PONDIST(5,0.2,1)-EXPONDIST(3,0.2,1)=0.18

大学概率论第五题教案答案

一、教学目标1. 理解并掌握概率论中的条件概率和乘法公式；2. 学会运用条件概率和乘法公式解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

二、教学内容1. 条件概率的定义和性质；2. 条件概率与乘法公式的应用；3. 实际问题的解决。

三、教学过程（一）导入1. 复习上节课内容：概率论的基本概念、随机事件的性质等；2. 提出本节课的学习目标。

（二）新课讲解1. 条件概率的定义：在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率；2. 条件概率的性质：P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率；3. 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率；4. 应用条件概率和乘法公式解决实际问题。

（三）例题讲解1. 例题1：某城市一年内降雨的概率为0.6，若该城市降雨，则出现洪水的概率为0.2。

求该城市一年内既降雨又出现洪水的概率；2. 解答：P(降雨且洪水) = P(降雨)P(洪水|降雨) = 0.6 × 0.2 = 0.12。

（四）课堂练习1. 练习1：袋中有5个红球，3个蓝球，从中随机取出2个球，求取出的2个球都是红球的概率；2. 练习2：一个工厂生产的产品有合格和不合格两种，合格产品的概率为0.8，若产品合格，则其质量良好的概率为0.9。

求该工厂生产的产品既合格又质量良好的概率。

（五）课堂总结1. 复习本节课所学内容：条件概率的定义、性质和乘法公式；2. 强调条件概率和乘法公式在实际问题中的应用。

四、教学评价1. 课后作业：完成本节课的课后习题，巩固所学知识；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的发言、讨论和练习情况，评价学生的参与度和学习效果。

概率论第五章ch3ch4ch5习题课.ppt

均匀分布有什么性
质？
于是X，Y的相关系数为：
相关系数的公式？
这说明X，Y 确实是相关
的！
练习4：设X服从标准正态分布并且Y=X2，证明X,Y不相关也不独立。证明：
噢，不相关不是完全没
关系！
所以X，Y不相关，但X与Y之间有平方关系，故肯定不独立。
例题5：随机变量X，Y服从区域 G={(x,y)|0<x<1,|y|<x}上
3/9
(3,3)
1/9
ξ，η (1,1) 不可能不可能 (2,1),(1,2) (2,2) 不可能 (3,1),(1,3) (3,2),(3,2) (3,3)
XY
P11/9 Nhomakorabea2
0
3
0
2
2/9
4
1/9
6
0
3
2/9
6
2/9
9
1/9
要由X，Y 值决定ξη 的值，再用独立性求概
率。
可求得X与Y的概率分布：
下面各式正确的是（）。
求X＝Y的
X －1 1
Y
-1
1
概率？
p 1/2 1/2
p 1/2 1/2
例2：下面四个二元函数哪个可作为随机变量的概率密度函数？
练习2：设连续型随机变量X，Y的概率密度函数为：
则下面的二元函数哪个可作为二维随机变量的概率密度函数？
例3：设两个相互独立的随机变量ξ，η服从同一分布的离散型随机变量即
概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论概率论
例1：设随机变量X，Y相互独立并且概率分布如下，则下

概率统计ch3_4_5习题详细解答

第三、四(六、七节)、五章习题解答习题3.11．一个袋子中有3只黑球、5只白球一共8只球．现从中不放回地抽出三只球，求这三球中黑球数的数学期望．解：用X 表示所抽三球中的黑球数．则 ) 3 2, 1, ,0k ( ,}{38353=⋅==-C C C k X P kk ． 56635613561525630156100C k )(33835k 3=⨯+⨯+⨯+⨯=⋅⋅=∑=-k k C C X E ． 2．从学校乘汽车到某个公园的途中有3个交通岗，假设在每个交通岗遇到红灯的概率都是0.4，并且相互独立．用X 表示途中遇到的红灯数，求X 的分布律和E(X)．解：)4.0 ,3(B X ～， 2.14.036.04.0k )(333=⨯=⨯⨯⋅=-=∑k k k k CX E ．3．根据气象资料，设某地区的年降雨量X （单位mm ）的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<≥=- 0 x0, 0x ,)( 2x xe x f θθ，其中01.0=θ．求该地区的年平均降雨量E(X)．解：20020)()(020==⋅⋅+⋅==⎰⎰⎰+∞-∞-+∞∞-θθθdx xex dx x dx x xf X E x．4．设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1x 0, 1x ,11)(2x x f π，求E(X)．解：根据奇函数积分性质可得 01)()(112=-==⎰⎰-+∞∞-dx xxdx x xf X E π．5．设随机变量X 具有分布律：求E(X)，E(2X )，E(2X+3)．解：10951252231011510101)2(x )(1k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-==∑+∞=k k p X E ； 51151252231011510101)2(x )(2222212k2=⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⨯-==∑∞+=k k p X E ；5245175261015513101)1()3(2x )32(1k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=+=+∑+∞=k k p X E ． 6．设随机变量X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1 x0, 1x ,1)(2x x f ．证明X 的数学期望不存在．证：由于+∞===∞++∞+∞∞-⎰⎰1 12ln )(x dx x x dx x xf ，发散，故数学期望不存在． 7．设随机变量X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧≤<=其他0, 1x 0 , )(a x k x f ，且75.0)(=X E ，求正常数k 与a 的值．解：由11)(10=+==⎰⎰+∞∞-a k dx kx dx x f a， 75.02)()(101=+===⎰⎰++∞∞-a kdx kx dx x xf X E a ，得 2a ,3==k ．8．设) ,(b a U X ～，求)54(+X E ，)(2X E ．解：由 2)(ba X E +=得 5)(25)(4)54(++=+=+b a X E X E ； 3)()(22222b ab a dx a b x dx x f x X E ba ++=-==⎰⎰∞+∞-．9．设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0x 0, 0 x ,2)(2x e x f ，求)32(-X E ，)(3X e E -．解：232123)(2)32(-=-⨯=-=-X E X E ； 522)()(02333=⋅==⎰⎰+∞--+∞∞---dx e e dx x f e eE x x xX ． 10．一种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点．若规定疵点数不超过1为一等品，价格10元；疵点数大于1但不多于4为二等品，价格8元；疵点数4个以上者为废品，价格0元．求：(1) 产品的废品率； (2) 产品的平均价格．解：用X 表示每件产品上的疵点数，则 )(λP X ～，8.0)(==X E λ．(1) 废品率 00141.02224.21!8.01} 40 {1}4{8.048.0=-=⋅-=≤≤-=>=-=-∑e k e X P X P p k k ．(2) 用Y 表示一件产品的价格（元），Y 取值0 ,8 ,10．8088.0!8.0}10{}10{10 8.0=⋅=≤≤==∑=-k k k e X P Y P ； 1898.0!8.0}42{}8{428.0=⋅=≤≤==∑=-k k k e X P Y P ；00141.0}5{}0{==≥==p X P Y P ． 6064.900141.001898.088088.010)(=⨯+⨯+⨯=Y E （元）．习题 3.21．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<=1 x 1, 1x 1bx,a 1 x,0 )(x F ．试求：(1)常数a 和b ； (2) E(X)，)(X Var ．解：(1) )(x F 处处连续，0)01()1(=--=-=-F b a F ，1)01()1(=+=+=F b a F ，得 5.0==b a ．⎩⎨⎧≤≤-='=他其0, 1x 1 ,5.0)()(x F x f ．(2) 05.0)(11==⎰-xdx X E ，3105.0)]([)()(112222=-=-=⎰-dx x X E X E X Var ． 2．设随机变量X 的分布律为且 0.79Var(X) ,8.0)(2==X E ．试求常数c b a , ,．解：1=++c b a ，8.0)(2=+=c a X E ，79.0)(8.0)]([)()(222=--=-=a c X E X E X Var ．得 0.45c 0.2,b ,35.0===a ． 3. 设随机变量X 服从几何分布，分布律为 {} 3, 2, 1,k ,)1(1=-==-k p p k X P ，其中常数)1 ,0(∈p ．求)(X Var ．解：记 p q -=1，px x p x p pq p X E qx qx k k k k k k 11 k x )( 1 111k ='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=====∞+=∞+=-∞+=∑∑∑； 2 1 2112221k 1k )]([)()(px p p pqX E X E X Var qx k k k k -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-==∞+=∞+=-∑∑21 1p x x p qx k k-'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞+=∑ 22 111ppp x x x p qx -=-'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛-==． 4．设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=其他0, 2x 1 1, 1x 0 ,23)(2x x x f ．求)12(2+X E ，⎪⎭⎫ ⎝⎛X E 1，⎪⎭⎫⎝⎛X Var 1．解：记 301341314215531)1(x 2321)(2)12(21 210 422=+-+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⎰⎰dx x x dx X E X E ； 2ln 472ln 143)1(1x 231121 10 2-=-+=-+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx x x dx x X E ；2221 210 22222ln 47212ln 232ln 47)1(1x 231111⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx x x dx x X E X E X Var2)2(ln 16332ln 29--=．习题 3.31．设随机变量)1 ,0(N X ～，利用标准正态分布表（附表1）对下列各种情况求出常数c ，并且用p 分位数p u 表示c ．(1) 95.0}{=<c X P ； (2) 5.0}{=>c X P ； (3) {}8.0 =≤c X P ．解：(1)645.195.0==u c ； (2) 05.0==u c ；(3) {}8.01}{2}]{1[}{}{ =-≤=≤--≤=≤≤-=≤c X P c X P c X P c X c P c X P ，9.0}{=≤c X P ，282.19.0==u c ．2．设随机变量)(λExp X ～，常数0>λ．若X 的0.70分位数12070.0=x ，求参数λ．解：) 0 x ( ,1)( ≥-=-xex F λ，0.71)120( 120=-=-λe F ，01.01203.0ln =-=λ．复习题 31．假设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位吨），)5000 ,1000(U X ～．设该商品每售出一吨可获利3万美元；但若销售不出积压于库，则每吨每年需支付保管费1万美元．试问如何计划年出口量，能使国家期望获利最多？解：设国家计划年出口量为s 吨， ]5000 ,1000[∈s ．则利润函数为 ⎩⎨⎧≥<-=--=s X ,3sX ,4)(3)(s s X X s X X L s ，期望获利 ]102 160002[400014000 3 4000)4()]([625000 1000⨯-+-=+-=⎰⎰s s dx s dx s x X L E s ss ．令0)160004(40001)]([=+-=s X L E ds d s ，当 4000=s 吨时，)]([X L E s 取最大值，即期望获利最多． 2．设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧≤≤=他其0, 1x 0 ,)(2ax x f ，试求：(1)常数a ；(2) E(X)；(3))}({X E X P >．解：(1) 由13ax )(12===⎰⎰+∞∞-adx dx x f ，得 3=a ． (2) 433x )(21=⋅=⎰dx x X E ．(3) 64374313 43)}({21 432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>⎰dx x X P X E X P ．3．设X 是随机变量，c 是常数，证明：2][)(c X E X Var -≤．证：22]})([)]({[][)(c X E X E X E c X E X Var -+-=-≤)(])([)(}])([])()][([2)]({[222X Var c X E X Var c X E c X E X E X X E X E ≥-+=-+--+-=．4．设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0 0,0 x ,)()2(222x ex x f x σσ，其中常数0>σ．瑞利分布常用于描述随机噪音．求E(X)，)(X Var ．解：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22Y 22exp 21)(f ), ,0(σσπσy y N Y 则～，222[E(Y)]Var(Y))E(Y ,0)(σ=+==Y E ． 2)( 212exp 2212exp 1)()(2222222022πσσπσσσππσσσ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞+∞-Y E dx x x dx x x dx x xf X E2πσ=；22exp d )(22exp 1)]([)()(2220 22223222πσσπσσσ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰∞+∞+x x dx x x X E X E X Var22220 2022224222f(x)dx 2 2exp σπσπσσπσσ-=-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰∞++∞x x ． 5．由统计物理学知，一种气体分子运动的速率V 服从Maxwell 分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00, 0 v ,)(22v e Av v f b v ，其中常数kT mb 2=，k 为Boltzmann 常数，T 为绝对温度，m 为气体分子质量．试确定常数A ，并求动能221mV E =的平均值．解：设b x e b x b N X 21)(f ,2 ,0X -=⎪⎭⎫⎝⎛π则～， 0)(=X E ， 2[E(X)]Var(X) )E(X 2222b dx e b x b x =+==-∞+∞-⎰π．由122)(2v 2Av )(220222=⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰∞+∞--∞+-∞+∞-b b A X E b A dv e b b A dv edv v f b v bv ππππ，得 bb A π4=．221mV E = 的平均值 )( 4 2)(mv 21)(0 30 4222⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞∞--===b v b v e d v Abm dv e v Am dv v f E E )(8343340 20 20 2032222⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-+∞--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=bv b v b v b v e vd m Ab dv e v Abm dv e v e v AbmkT m mb Amb dx x f Amb dv e ve m Ab X b v b v 8343163)( 16383225250 0222====⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰∞+∞-∞+-∞+-ππ( kTmb 2=代入)． 6．设随机变量)(λP X ～，常数0>λ．求X 的众数．解：由于 ) N k ( ,!}{∈==-k e k X P k λλ，⎩⎨⎧><≤≤≥==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-==---λλλλλλλk 1,k 0 ,1)!1(!}1{}{1k k e k e k X P k X P k k ，所以 ][*λ=x ．习题 4.61．设随机变量)Y ,(X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤+=他其0, 1x y 0),(2),(y x y x f ．求E(X)，E(Y)，)(XY E ，)(22Y X E -．解：433)(2),()(13010==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x x dx dy y x xf dx X E x ； 12535)(2),()(10 30 10 ==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x y dx dy y x yf dx Y E x；1581532)( 2),( )(10 30 10 ==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x xy dx dy y x f xy dx XY E x ；3011611)( )y (x 2),( )y (x )(10 40 2210 2222==+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x dx dy y x f dx Y X E x ．2．设随机变量0.2) B(10,Y ),3(～～P X ． (1) 求)2(Y X E +，)2(22Y X E -； (2) 又设X 与Y 相互独立，求E(XY)．解：(1) 72.010232)(2)()2(=⨯⨯+=+=+=+np Y E X E Y X E λ；1293)]([)()(222=+=+=+=λλX E X Var X E ；6.5)2.010(8.02.010)()]([)()(2222=⨯+⨯⨯=+=+=np npq Y E Y Var Y E ； 4.186.5122)()(2)2(2222=-⨯=-=-Y E X E Y X E ；(2) 62.0103)()()(=⨯⨯=⋅==np Y E X E XY E λ．3．设随机变量)9 ,1(N X ～，随机变量Y 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=10, 1y ,3)(4y y y f Y ．(1) 求)2(Y X E -，)3(2X Y E -； (2) 又设X 与Y 相互独立，求E(XY)．解：(1) 233)(14==⎰+∞dy yy Y E ， 21232232)()(2)2(=-=-=-=-μY E X E Y X E ； 257)19(323})]([)({3)()(222-=+⨯-=+-=-X E X Var Y E X Y E ； (2) 2323123)()()(=⨯=⋅==μY E X E XY E ． 4．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求：(1) E(X)，E(Y)； (2) E(XY)； (3) 设 2)(Y X Z +=，求 E(Z)； (4) )(X Var ，)(Y Var ．解：(1) 1.03.027.0)1()(11-=⨯+⨯-==∑∑+∞=+∞=i j ji ipx X E ；9.04.021.015.00)(11=⨯+⨯+⨯==∑∑+∞=+∞=i j j i j p y Y E ；(2) 3.01.04022.003.0)2(1.0)1(3.00)(11-=⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯==∑∑+∞=+∞=i j j i jip yx XY E ；(3) 31.04032.023.011.003.0)1()()(22222112=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=+=∑∑+∞=+∞=i j j i jip y x Z E ；(4) 89.1)1.0(9.1)]([)()(222=--=-=X E X E X Var ； 89.09.07.1)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y Var ．5．掷n 颗骰子出现点数之和记为X ，求平均点数E(X)和)(X Var ．解：用i X 表示第i 颗骰子出现的点数，)n , 2, 1,i ( =． n 21X , , , X X 相互独立，具有相同分布．∑==ni i X X 1． ) 6 , 2, 1,k ( ,61}{ ===k X P i ．276)621()(61=+++==∑= k k i kp X E ； 123527)621(61)]([)()(222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=-= i i i X E X E X Var ．21276)()(61=⨯==∑=i i X E X E ； 23512356)()(61=⨯==∑=i i X Var X Var ．习题 4.71．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求E(X)，3)]([X E X E -，)(2Y E ，) ,(Y X Cov ，XY ρ．解：18531061612121)(=⨯+⨯+⨯=X E ； 1212210)(=⨯+⨯=Y E ；33333181131185061185612118521)]([-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-X E X E ； 2212210)(222=⨯+⨯=Y E ；9118561118531003161100610310)()()()Y ,(-=-=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=Y E X E XY E X Cov ；54731061612121)(2222=⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=X E ； 32417185547)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X Var ； 112)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y Var ； 1717213241791(Y)(X)) ,(-=⋅-==σσρY X Cov XY ．2．设随机变量)Y ,(X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他0, 1x ,21),(y y x f ．试验证X 与Y 是不相关的，但并非相互独立．证：⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰-+-∞+∞-1 0, 1x , 121),()( 1 1x x dy dy y x f x f x x X ； ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰-+-∞+∞-1y 0, 1y , 121),()( 1 1y dx dx y x f y f y y Y ；0)1()(11=-=⎰-dx x x X E ； 0)1()(11=-=⎰-dy y y Y E ；00022),()(10 110111=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+--+∞∞-+∞∞-x x xxdy xy dx dy xydx dy y x xyf dx XY E ；0(Y)(X))()()((Y)(X)) ,(=-==σσσσρY E X E XY E Y X Cov XY ， X 与Y 不相关．但当121,121<<<<y x 时，0y)f(x, ,0)1)(1()()(=>--=y x y f x f Y X ，所以 y)f(x, e. a. )()(y f x f Y X 不成立，X 与Y 不独立．3．设随机变量)Y ,(X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他0, 2x ,41),(y y x f ．求E(X)，4)]([X E X E -，)(3Y E ，) ,(Y X Cov ．解：⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰∞+∞-2 0, 2x ), 2(4141),()(2 x x dy dy y x f x f x X ； ⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤===⎰⎰-∞+∞-2] [0,y 0,2y 0 ,241),()(y dx dx y x f y f y yY ．0)2(4)()(22=-==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E X ； 1516)2(41)0()]([22444⎰-=-=-=-dx x x X E X E X E ； 51621)()(20 433⎰⎰===+∞∞-dy y dy y f y Y E Y ； 3421)()(20 2⎰⎰===+∞∞-dy y dy y yf Y E Y ；04),()(20===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-yydx xy dy dy y x xyf dx XY E ；03400)()()() ,(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ． 4．设随机变量)Y ,(X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他 0,10 1,x 0),(56),(2y y x y x f ．求E(X)，E(Y)，) ,(Y X Cov ，XY ρ，)(Y X Var +．解：⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤+=+==⎰⎰∞+∞-1] [0, x 0,1x 0,5256)(56),()(10 2x dy y x dy y x f x f X ；⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤+=+==⎰⎰∞+∞-1] [0,y 0,1y 0 ,5653)(56),()(210 2y dx y x dx y x f y f Y ．535256)()(10 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x xf X E X ； 535653)()(10 2⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞+∞-dy y y dy y yf Y E Y ；207)2(103)(56),()(10 210 10 2=+=+⋅==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x x dy y x xy dx dy y x xyf dx XY E ；10015353207)()()() ,(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ； 150112593013535256x )]([)()(210 222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰dx x X E X E X Var ； 2522592511535653y )]([)()(210 2222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰dy y Y E Y E Y Var ；1763252150111001(Y)(X)) ,(-=⋅-==σσρY X Cov XY ；152100225215011) ,(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y Var X Var Y X Var ． 5．设随机变量)4 ,0(N X ～，)9 ,2(N Y ～，21=XY ρ．又设 32Y X Z -=．求：(1) E(Z)，)(Z Var ；(2) XZ ρ．解：(1) 32231021)(31)(21)(-=⨯-⨯=-=Y E X E Z E ；33221(Y)(X)) ,(=⨯⨯==σσρXY Y X Cov ；)(91) ,(31)(4133Y ,222)(Y Var Y X Cov X Var Y Var X Cov X Var Z Var +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=1991331441=⨯+⨯-⨯=． (2) 1331421) ,(31) ,(21) ,(=⨯-⨯=-=Y X Cov X X Cov Z X Cov ， 21141(Y)(X)) ,(=⋅==σσρY X Cov XZ ． 6．设X 与Y 相互独立，服从相同的指数分布，X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00, 0x ,21)(2x e x f x X ．试求 Y Y X U X V βαβα-=+=与的相关系数．这里 βα ,为非零常数．解：421)Var()Var( ,21)E()E( ,21 ),Exp(X 22========λλλλY X Y X ～； )(4)() ,() ,(Var(X)) ,(2222βαβαβαβα-=-+-=Y Var Y X Cov Y X Cov V U Cov ；)(4)()()(Var(U)2222βαβα+==+=V Var Y Var X Var ； 22222222)(4)(4(V )(U )) ,(βαβαβαβασσρ+-=+-==V U C o v UV． 7．设随机向量T X )Y ,(服从二维正态分布，均值向量与协方差矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 1μ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4 339 C ．写出T X )Y ,( 的概率密度函数),(y x f 的表达式．解：21 ,3 ,4 ,9 ,1 ,121222121-=-====-=ρσρσσσμμ； ) R y x,( ,)1(41)1)(1(61)1(9132exp 361),(22∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++-=y y x x y x f π．复习题 410．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求：(1) E(X)，E(Y)； (2) E(XY)； (3) Var(Y) ),(X Var ．解：(1)7273721733611124110)(1=⨯+⨯+⨯==∑+∞=∙i i i p x X E； 3412539223613)1()(1=⨯+⨯+⨯-==∑+∞=∙j j j p y Y E ．(2) 72137819181618136131212181)1()(11=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯-==∑∑+∞=+∞=i j ij ij p x XY E ； (3) 72175721733611124110)(222122=⨯+⨯+⨯==∑+∞=∙i i i p x X E ； 512539223613)1()(222122=⨯+⨯+⨯-==∑+∞=∙j jj p y Y E ． 51847271727271727372175)]([)()(2222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X Var ； 929345)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y Var ． 11．一电梯载n 人从一楼上升，设楼高 (M+1) 层，每人在每一层楼走出电梯是等可能的，且相互独立．若某一层无人走出电梯则电梯不停．求电梯的平均停止次数．解：用Y 表示电梯的停止次数．令 ⎩⎨⎧=层不停止电梯在第层停止电梯在第i0,i,1i X ，) 1M , 3, 2,i (+= ．则 132++++=M X X X Y ．n i M M X E ⎪⎭⎫⎝⎛--=11)(， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--==∑+=n M i i M M M X E Y E 11)()(12 ． 12．设随机变量)3 ,0(U X ～，)5 ,1(U Y ～，且X 与Y 相互独立．令 ⎩⎨⎧<≥=Y X ,1YX ,0Z ．写出Z 的分布律，并求E(Z)．解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=⨯==他其0, 5y 13,x 0 ,1214131)()(),(y f x f y x f Y X ．61121),(}{}0{131===≥==⎰⎰⎰⎰≥-xy x dy dx d y x f Y X P Z P σ； 65}0{1}1{==-==Z P Z P ；65)(=Z E ．13．设)Y ,(X 是二维随机变量，证明：)Y ()()Y X ,(Var X Var Y X Cov -=-+．证：)Y X ,()Y X ,()Y X ,(-+-=-+Y Cov X Cov Y X Cov)()()Y ,()X ,()Y ,()X ,(Y Var X Var Y Cov Y Cov X Cov X Cov -=-+-=．14．设随机变量)2 ,0(πU X ～，令X Y sin =，)cos(a X Z +=，其中常数]2 ,0[π∈a ．求相关系数YZ ρ．解：02sin )(sin )(20⎰⎰==⋅=+∞∞-ππdx xdx x f x Y E X ；02)cos()()cos()(20 ⎰⎰=+=⋅+=+∞∞-ππdx a x dx x f a x Z E X ；a dx a a x dx a x x dx x f a x x YZ E X sin 21)]sin()2[sin(412)cos(sin )()cos(sin )(20 20-=-++=+⋅=⋅+⋅=⎰⎰⎰+∞∞-ππππ；21)]2cos(1[41sin 21)]([)()(20 20222⎰⎰=-==-=ππππdx x xdx Y E Y E Y Var ；21)](2cos 1[41)(cos 21)]([)()(20 20222⎰⎰=++=+=-=ππππdx a x dx a x Z E Z E Z Var ； a a Z E Y E YZ E Z Y Cov YZ sin 21sin 21(Z)(Y))()()((Z)(Y)) ,(-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==σσσσρ．15．设)Y ,(X 是二维随机变量，E(X)= 1，E(Y)= 0，)(X Var = 2，)(Y Var = 4，3.0=XY ρ．令aY X W +=2，求常数a ，使)(W Var 达到最小．解：26.0423.0(Y)(X)) ,(=⨯⨯=⋅=σσρXY Y X Cov ；8 24.24)() ,(4)(4)() ,2(2)2()(22++=++=++=a a Y Var a Y X aCov X Var aY Var aY X Cov X Var W Var ；令024.28)(=+=a W Var dad，当 23.0-=a 时，)(W Var 达到最小． 16．已知三个随机变量X 、Y 、Z 中，E(X)= 0， 1)(-=Y E ， E(Z)= 0，1)()(==Y Var X Var ，4)(=Z Var ，21-=XY ρ，0=XZ ρ，21-=YZ ρ．求 Z)Y Var(X )(++++和Z Y X E ．解：1010)()()()(-=+-=++=++Z E Y E X E Z Y X E ；Var(Z)Z),Y 2Cov(X Y)Var(X Z)Y Var(X ++++=++Var(Z) Z),2Cov(Y Z),2Cov(X Y) ,2Cov(X Var(Y)Var(X)+++++=(Z)(Y)2(Z)(X)2(Y)(X)2Var(Z)Var(Y)Var(X)Y Z X Z X Y σσρσσρσσρ+++++=321212210221112411=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+++=．17．一家大型超市在某个城市开设四个销售门店，各门店每周售出的同一种食品的重量（单位kg ）分别记为1X ，2X ，3X ，4X ．已知)350 ,600(1N X ～，)200 ,450(2N X ～，)300 ,500(3N X ～，)250 ,400(4N X ～，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，记 ∑==41i iXZ ．(1) 求这家超市一周的总销售量的均值 E(Z)和方差)(Z Var ；(2) 求这家超市一周内销售这种食品的总重量达到2000kg 的概率}2000{≥Z P ； (3) 超市每周进货一次，为了使新的供货到达之前各门店不脱销的概率大于0.99，问超市的仓库至少应储存多少公斤该食品？解：⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==41 241 ,i i i i N Z σμ～，即 )1100 ,1950(N Z ～．(1) 1100Var(Z) ,1950)(2====σμZ E ． (2) 0658.09342.01)508.1(11100195020001}2000{1}2000{=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥Z P Z P ．(3) 设仓库至少应储存该食品x 公斤，则(kg) 2027.182.327 x ,327.2),327.2(99.0}{=+>>-Φ=>⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=≤μσσμσμx x x Z P ．习题 5.11．某公司生产一种儿童使用的化妆品，经检测，每毫升产品中所含的细菌数X 的期望为200，标准差为10．试估计概率}30200{≤-X P ．解：10)(,200)(====X X E σσμ． 9830101)(1})({}30200{222=-=-≥≤-=≤-εεX Var X E X P X P ．2．设随机变量)9 ,0(N X ～． (1) 求概率{}8 ≤X P ； (2) 利用切比雪夫不等式估计{}8 ≤X P 的下界．解：0E(X) ,3,0====μσμ． (1) 9924.019962.021)667.2(2308308}8{}8{}8{=-⨯=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-<-≤=≤X P X P X P ． (2) 8594.0891)(1}8)({}8{22=-=-≥≤-=≤εX Var X E X P X P ．习题 5.21．设随机变量 ,X , ,X ,n 21 X 独立同分布，记∑==ni i X n X 11．在下列情况下，当+∞→n 时，X 依概率收敛于什么值？(1) )0.5 ,10(B X n ～， 3, 2, ,1 =n ； (2) ) ,(a a U X n -～， 3, 2, ,1 =n ，常数0>a ； (3) ) ,(2σμN X n ～， 3, 2, ,1 =n ．解：(1) 5=−→−μP X ； (2) 0)(==−→−n PX E X μ； (3) μ−→−PX ． 2．设 ,X , ,X ,n 21 X 是一个相互独立的随机变量序列，且 {})1ln(+=i X P i{}5.0)1ln(=+-==i X P i ， 3, 2, ,1 =i ．试利用切比雪夫不等式证明：+∞→−→−=∑=n ,0 11Pn i i X n X ．证：) 3, 2, 1,i ( ,0])1ln([5.0)1ln(5.0)( ==+-⨯++⨯==i i X E i i μ． 0)(1)(1==∑=ni i X E n X E ．)1ln()1ln(5.0)1ln(5.0)]([)()(22+=+⨯++⨯=-=i i i X E X E X Var i i i ，n n n n i n X Var n X Var n i n i n i i )1ln()1ln( 1)1ln( 1)( 1)(1 21 21 2+=+≤+==∑∑∑===． 0 >∀ε，据切比雪夫不等式得：) n ( ,0)1ln()(1})({022+∞→→+=≤≥-≤εεεn n X Var X E X P ．从而 1})({lim =<-+∞→εX E X P n ，即 ) n ( ,0 11+∞→−→−=∑=Pn i i X n X ．习题 5.31．设连续随机变量10021X , ,X , X 相互独立，它们服从相同的分布，概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1x 0, 1x ,)(x x f ．记∑==1001 i i X S ．利用中心极限定理计算}10{≥S P ．解：0)()(11====⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E i μ，210)]([)()(2112222=-=-==⎰-dx x x X E X E X Var i i i σ． 100=n ．据定理5.3.1，得：0787.09213.01)414.1(1100101100100101}10{1}10{=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-Φ-=<-=≥σσμσμnn S S P S P ．2．若计算机进行数值的加法时，对每个加数以四舍五入取整到个位．设所有舍入误差是相互独立的且服从(－0.5, 0.5)上的均匀分布．(1) 将1000个数相加，求误差总和的绝对值大于10的概率； (2) 最多有多少个数相加可使误差总和的绝对值20≤的概率达到99% 以上？解：(1) 用i X 表示第i 个舍入误差，则 ) 1000 , 2, 1,i ( ),0.5 ,5.0( =-U X i ～．100021X , ,X , X 独立同分布，1000n .12112)5.05.0()( ,025.05.0)(22==+===+-==i i X Var X E σμ．据定理5.3.1，得：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑∑===n n n n X nn P X P X P ni i n i i n i i σμσμσμ1010110101101112736.0]8632.01[2)]095.1(1[21211000101211000101=-=Φ-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅Φ-≈．(2) 要求n 满足 99.0201≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=n i i X P ．即 99.0120220201≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤--∑=n n n n n X nn P ni i σσμσμσμ，723.91n ,575.2n 20),575.2(995.020≤≥Φ=≥⎪⎭⎫⎝⎛Φσσn ．最大可取 723=n ． 3．假设在n 重伯努利试验中事件A 每次发生的概率为0.6，要使事件A 出现的频率在0.58～0.62之间的概率不低于0.95，问至少需要进行多少次独立试验？(1) 利用切比雪夫不等式估计； (2) 利用中心极限定理计算．解：用X 表示n 重伯努利试验中A 发生的次数，令 ⎩⎨⎧=不发生次试验中第发生次试验中第A i ,0A i ,1i Z ，)n , 2, ,1 ( =i ．则 0.4q 0.6,P(A)p ,1====∑=ni i Z X ，) ,(p n B X ～．(1) A 出现的频率npq Var(X) np,E(X) , Z Z 11 )(n1i i =====∆=∑n X n A f n ． n pq Var(Z) 0.6,E(Z)==． 95.00004.0102.0)(1}02.0)({}02.0)(02.0{}62.0158.0{2≥-=-≥≤-=≤-≤-=≤≤n pqZ Var Z E Z P Z E Z P X n P ， 05.00004.0≤n pq ， 1200005.00004.04.06.005.00004.0=⨯⨯=⨯≥pq n ．(2) 要求n 满足 95.0}62.0158.0{≥≤≤X n P ，即 95.0} 62.058.0{≥≤≤n X n P ．利用153P 公式(5.3.5)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈≤≤npq n npq n npq np n npq np n n X n P 02.002.058.062.0} 62.058.0{102.02-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅Φ=pq n 95.0≥， 2304.96n ,96.102.0 ),96.1(975.002.0≥≥Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φpq npq n ．最小取 2305=n ．4．现有一大批产品，次品率为1%．若随机地抽取5000件进行检查，求次品数在30～60件之间的概率的近似值．解：用A 表示抽到次品，0.99q ,01.0)(===A P p ．此为5000=n 重伯努利试验．用X 表示所抽n 件产品中的次品数，则 ) ,(p n B X ～．据定理5.3.2 得：)914.2()492.1(5.295.60} 5.605.29{} 6030{-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<=≤≤npq np npq np X P X P 9304.019982.09322.01)914.2()492.1(=-+=-Φ+Φ=．5．某次英语课程的考试成绩（百分制）)225 ,65(N X ～，考生有一大批，各人成绩相互独立．试求： (1) 考试的合格率}60{≥=X P p ；(2) 随机地抽取1000名考生作调查，其中成绩合格的人数在600～700之间的概率的近似值．解：(1) 用A 表示“考试合格”， 6304.0)333.0(22565601}60{)(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≥==X P A P p ；3696.01=-=p q ．(2) 此为1000=n 重伯努利试验．用Y 表示所抽n 名考生中的合格人数，则 ) ,(p n B X ～．所求概率)024.2()592.4(5.5995.700} 5.7005.599{} 700600{-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<=≤≤npq np npq np X P X P 9785.019785.011)024.2()592.4(=-+=-Φ+Φ=．复习题 51．某车间有100台车床，它们独立地工作，开工率各为0.8，开工时耗电功率各为0.5kW ．问供电所至少要供给该车间多少kW 的电力，才能以 99% 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产？解：用X 表示“任一时刻工作的车床数”，则 ) ,(p n B X ～，0.2p 1q ,8.0 ,100=-===p n ．要求x 满足 99.0}5.0{≥≤x X P ，即 99.0} 2{≥≤x X P ．利用定理5.3.2．)327.2(99.022} 2{Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤npq np x npq np x npq np X P x X P ， 327.22≥-npq npq x ， 654.44)327.2(21=+≥np npq x ．最小取(kW) 45=x2．一家保险公司承接中国民航的航空意外伤害保险业务，每张保险单售价20元．空难发生后，每位乘客的家属可获得保险公司理赔40万元．据调查，近年来中国民航的空难发生率平均为十万分之一．假设一年中保险公司售出此种保险单10万张．试求：(1) 保险公司亏本的概率；(2) 保险公司一年中从该项业务中获得利润达到100万元、150万元的概率分别是多少？解设X 表示购买保险单的十万人中遭受空难的人数，则 0.00001p 100000,n ), ,( ==p n B X ～， 0.99999npq 1,np ,99999.01===-=p q ．由定理5.3.2，)1 ,0(N npq npX A ～-． (1) 所求概率为：}5.5{1}5{1}20100000400000{}{<-=≤-=⨯>=X P X P X P P 保险公司亏本0)500.4(15.51=Φ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈npq np ． (2) 所求概率为：}5.2{}100000040000020100000{}100 {≤=≥-⨯=X P X P P 万元获利达到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=npq np npq np X P 5.29332.0)500.1(5.2=Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈npq np ． }25.1{}150000040000020100000{}150 {≤=≥-⨯=X P X P P 万元获利达到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=npq np npq np X P 25.15987.0)250.0(25.1=Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈npq np ． 3．设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，已知4 3, 2, 1,k ,)(1==k k X E μ存在，且224μμ>．证明当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Y 121 渐近地服从正态分布，并指出其分布参数．证：随机变量序列{}+∞12nX 独立同分布，)()( ,)()(21222212X Var X Var X E X E n n =====σμμ0)]([)(22422141>-=-=μμX E X E ．根据定理5.3.1，得：当n 充分大时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=n N n Y A i n 2242n 1 2i ,X 1μμμ～． 4．设随机变量)(n P Y n ～，并记nn Y Z n n -=，}{)(x Z P x F n n ≤=， 3, 2, 1,=n ．试证明：R x ),(e21)(lim 2t 2∈Φ==⎰∞--+∞→x dt x F xn n π．（提示：可将n Y 看成n 个相互独立，且都服从P(1)分布的随机变量之和）．证：设随机变量序列 ,X , ,X ,n 21X 独立同分布，)1(P X n ～．记 )(1n P X Y ni in ～∑== ( Poisson 分布具有可加性)．1)( ,1)(2====n n X V a r X E σμ，由定理5.3.1，得：当n 充分大时，)1 ,0( N n n Y nn Y Z A n n n ～σμ-=-=，即n Z 的极限分布是)1 ,0(N ．。

2011高考试题分类汇编概率解答题及答案

2011高考概率解答题及答案一．全国（1） 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

求X 的期望。

8．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；（I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+…………3分()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+=…………6分（II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=u r~(100,0.2)X B ，即X 服从二项分布，…………10分所以期望1000.220.EX =⨯=…………12分二．北京17．本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。

（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦K ，其中x 为1x ，2x ，…… nx 的平均数）（17）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为;435410988=+++=x方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。

教育统计学概率及概率分布练习题目答案

答案：86.65分
第五章概率及概率分布
练习11
○ 有100人其统计能力呈现正态分布，欲将分成ABCD四个等距等级，问各等级应该有多少人？ ○ 答案：
A等级7人 B等级43练习 5
l从男生占 2 / 5 的学校中随机抽取6个学生，问正好抽到4个男生的概率是多少？至少抽到4个女生的概率是多少？
l答案： 0 . 1 3 8 2 ， 0.5443
l练习 6
l从男生占 1 / 2 的学校中随机抽取10个学生，请问理论上抽取男生的平均数是多少？标准差呢？
6
答案： 3 0 2 . 1 5
第五章概率及概率分布
练习9 某测试成绩呈正态分布，平均分72，标准差6，问平均分上下多少分中间包括95%的
学生？答案：60.24分至83.76分之间
○ 练习10 ○ 某考试从1600人中选出200人，成绩呈正态，平均分74，标准差11，问选拔分数线多少？
0 6 答案：0.375
第五章概率及概率分布
练习3
一学生从5个试题中任意抽取一题，抽取每题的概率都是五分之一，则抽到第一题或第二题的概率是多少？
答案：0.4
练习4
一学生从5个试题中任意抽取一题（抽后放回），抽取每题的概率都是五分之一，则两个学生都抽到第一题的概率是多少？
答案：0.04
l答案： 5 ， 1.58
第五章概率及概率分布
1
练习 7
3
答案： 8 道或以上。
2
学生做 1 0 道判断题，凭猜测可以猜对一半。那么，学生必须做对多少道题目，我们才有 95%的把握认为他们掌握了相关知识呢？

ch1-3-5-习题课

P(A5)=p5≈1.096×10-3，
P(A6)=p6≈ 1.827×10-3 ，
P(A6)=p7≈30.448×10-3。故 P(A)=p1+p2+…+ p7≈0.033。
例4 某人计划双休日外出旅游，根据天气预报，双休日第一天下雨的概率为0.5，第二天下雨的概率为
0.3，两天都下雨的概率为0.2，试求
五等奖
六等奖七等奖
中5个基本号码
中4个基本号码及特殊号码
中 4个基本号码，或中 3个基本号码及特殊号码
解设A=―中奖”，Ai=―中i等将”，i=1,2,…,，则
A=A1∪A2∪…∪A7；由于各奖次不能兼得，故A1，
A2，…，A7间两两互不相容，从而由概率的可加性得
P(A)=P(A1∪A2∪…∪A7)=P(A1)+P(A2)+…+P(A7) 用古典概率的方法可算得获i等奖的概率pi如下： P(A1)=p1≈0.149×10-6， P(A2)=p2≈1.04×10-6, P(A3)=p3≈28.106×10-6， P(A4)=p4≈84.318×10-6，
k 1 k 1

n
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
( 3) 设 A, B 为两个事件, 且 A B , 则 P ( A) P ( B ), P ( B A) P ( B ) P ( A).
证明
因为 A B,
所以 B A ( B A).
故
4 2 2 1 P ( A) P ( B ) . P ( AB ) . 6 3 6 3
如果已知第一次取得黑球，即事件B已发生，则可能结果只有四个：ω12，ω13，ω21，ω23。其中属于A的只有两个：ω12，ω21！因此 2 1 P( A B) 4 2

信号与系统(奥本海默)_习题课总结

《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
3
Ch1：信号的运算
1. 时移（Time Shift） f (t) f (t t0 )
2. 反褶（Time Reflection）
f (t) f (t)
3. 倍乘（尺度变换 Time Scaling） f (t) f (at)
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
换路定则
完全解=齐次解（系数待定）+特解
0+状态
0-状态
完全解=齐次解+特解
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
冲激函数
匹配法
11
响应的分类：
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
12
第三章傅里叶变换
傅里叶级数（周期信号）
傅里叶变换（非周期信号）
傅里叶变换的性质*
因果性？ r(t) sin[e(t)]u(t)
结论：响应只和激励的现在值有关，因此是因果的。
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
7
第二章连续时间系统的时域分析
经典法求解电系统响应的基本步骤状态分解法*（rzi和rzs）冲激响应卷积积分及其性质
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
19
Ch5：无失真网络
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
20
关于1-5章总结
第一章信号的运算（时移、反褶、尺度）第二章信号的分解（全响应/零输入/零状态/稳态暂态）第三章傅里叶变换的性质（关键是理解其中含义：等效脉宽
和等效带宽）第四章 s域中的零状态和零输入分解，拉氏变换和逆变换，系

2011高考数学概率的热点题型及其解法(学生版)

2011年高考二轮专题7：高考概率的热点题型及其解法概率的解答题已成为近几年高考中的必考考内容，难度中挡，主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在今年的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。

题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。

例1：（2010天津18）.（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。

（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。

另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ理科）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。

例2：（2010北京理数17） (本小题共13分)某同学参加3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。

记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。

例2（2010湖南文数17）. （本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）（I ）求x,y ; （II ）若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率。

例3：（2010江苏理22本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。

大学概率论——第五章习题解 ppt课件

大学概率论——第五章习题解
8、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度
不小于3m，现在从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？解：利用拉普拉斯中心极限定理
从一批木柱中随机地取出100根，不放回抽样近似的看作放回抽样。对100根母猪长度测量
看成进行100次贝努里试验，设随机变量
X={6000粒种子中的良种数}
大学概率论——第五章习题解
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
10.9214 0.0786
大学概率论——第五章习题解
7、计算机在进行加法时，将每个加数舍入最靠近
它的整数，设所有舍入误差是独立的，且在(-0.5,0.5) 上服从均匀分布，1）若将1500个数相加，问误差总
和的绝对值超过15的概率是多少？2）最多可有多少个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于
大学概率论——第五章习题解
P159 3、某计算机系统有120个终端，每个终端有5％的时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。
解：设 X i 1 2 0 个终端中第 i 个终端在使用
则 Xi ~B120,0.05 EX1200.05 0 .6 D X 1 2 00 .0 50 .9 5 5 .7
n 12
Pn 10 P( n 10 )
n/12 n/12
P( 10 n 10 )

2011年考研数学《概率统计》讲义第四讲

r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
【引例1】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分，击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。
枪手每次射击的得分X是一个随机变量，其分布律为
E() N( ,
e , x 0, f ( x) 其它 0,
x
1

2)
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2

r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1,2,
1 4e , f ( x) 0,
x 4
x 0, x 0.
300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
〖解〗这是求连续型随机变量函数的数学期望。设售出一台设备的净赢利为 X 1, 100, a( X ) 200, 0 X 1.
河南理工大学精品课程概率论与数理统计
k 1

【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其
分布律分别为
X1 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 X2 pk 0 1 2 0.6 0.3 0.1
试评定甲乙成绩的优劣。〖解〗这是离散型随机变量。由数学期望定义得：
E( X1 ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分) E( X 2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分)
河南理工大学精品课程
概率论与数理统计
【例8】已知随机变量X的分布列为
X P -2 0.4 0 0.3 2 0.3

概率论第五章习题答案

数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布，试写出样本n X X X ,,,21 的联合分布律.解:()的分布律为：即X P X ,~λ ()!k e k X P k λλ-==, ,,,2,1,0n k =n X X X ,,,21 的联合分布律为：()n n x X x X x X P ===,,,2211 = ()()()n n x X P x X P x X P === 2211=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n xx x e x x x n-+++!!!2121, n i n x i ,,2,1,,,2,1,0 ==2. 设总体X 服从()1,0N 分布，试写出样本n X X X ,,,21 的联合分布密度. 解：()1,0~N X ，即X 分布密度为：()2221x e x p -=π，+∞<<-∞xn X X X ,,,21 的联合分布密度为：()∏==ni inx p x x x p 121*)(,...,=22222221212121n x x x eee--⋅-πππ=()}21exp{2122∑=--n i i x n π n i x i ,,2,1, =+∞<<∞-. 3. 设总体X 服从()2,σμN 分布,试写出样本n X X X ,,,21 的联合分布密度. 解：()2,~σμN X ，即X 分布密度为：()x p =()}2exp{2122σμσπ--x ，∞<<∞-xn X X X ,,,21 的联合分布密度为：()()∏==ni i n x p x xx p 121*,...,=()})(21exp{211222∑--⋅⋅=-ni i n n x μσσπ, n i x i ,,2,1, =+∞<<∞-.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解：频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小，可以估计X 取值的位置与集中程度，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位：kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9，试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设9.50,8.47,5.54,3.51,2.5354321=====x x x x x()7.257151=∑=i ix，()54.51251==∑=i ixx(3) ss =()2512512x n xx xi ii i-=-∑∑===13307.84－5×51.542=25.982(4)2s =()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6)s s * =ss n 11-=6.4955 (7)*s =2.5486; (8)cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数. (10)中位数为3x =51.3; (11)极差为54.5－47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2.2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设组中值依次为921,,,x x x ,频数依次为921,,,n n n ,=+++=921n n n n 100,()=∑=911i ii x n 3950;()=+=∑=919112i ii xn n n x 39.5;()()=-=-=∑∑==29129123x n xn x x n ss i ii i i i 25.39100166300⨯-=10275;()==ss s 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()42379或众数是(),50210=n ;中位数为5.3924237=+;()11极差为:62-22=40;()4775.0,83,6812621521分位数为∴=+++=+++n n n n n n .3.略.4. 设n x x x ,,,21 是一组实数，a 和b 是任意非零实数，bax y i i -=(n i ,,1 =)，x 、y 分别为i x 、i y 的均值，2xs =∑-iix xn2)(1，2ys =1n()y y i i-∑2，试证明：① b a x y -=；② 222b s s x y =. 解①：∑∑==-==ni i ni i b a x ny ny 1111= ()∑=-ni i a x bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i na x nb 11=b a x -; ②2y s =1n∑-ii y y 2)(=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---ni i b a x b a x n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n121=221x s b .1.求分位数（1）()8205.0x ，（2）()12295.0x 。

ch3ch5习题课.ppt

EX i和DX i均存在，且方差有界，即DX i C(i 1,2,...),
则对任意的ε>0，lim n
P{|
1 n
n i 1
Xi

1 n
n i 1
EX i
|

}

1
2.Th3.9（切比雪夫大数定律）
设 X1,X2, …是两两不相关的随机变量，它们的
EX i和DX i均存在，且方差有界，即DX i C(i 1,2,...),
解
设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则X ~ b(6000,
由中心极限定理,
有
X
a ~ N (1000
, 5000 6
)
1 6
),
P

X 6000

1 6

0.01

P940

X

1060

0

1060 1000 5000 6

0

940 1000 5000 6
影响生产？
解用X 表示开工的机床数，则X~b(200,0.7)
由于n=200较大，
有
X
a
~
N (140 ,140 0.3 )
Ex47. 某车间有同型号机床200部,每部开动的概率为0.7,假定各车床
开关是独立的，开动时每部都要消耗电能15个单位.问电厂最少应供
应该车间多少单位电能，才能以95％的概率保证不致因供电不足而
r.v.函数离散型r.v. 直接在表上做难点的分布连续型r.v. FZ (z) P{Z z} P{g( X ,Y ) z}

newch3-5洛必达法则共28页

若 l i m g ( x ) 0 ,l i m f ( x ) 0 ，则称 l i m f ( x ) 为 0 型未定式 . g ( x )0
若 l i m g ( x ) ,l i m f ( x ) ，则称 l i m f ( x ) 为型未定式 . g ( x )
2.型11 0 0 . 0 0 00
通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 0 或不定型。 0
例9 求lim ( 1 1). ()
x0 sinx x 解原式 lim xsin x
x 0 xsin x
lim1coxs 0. x 0sin xxcoxs
例如,
tan x lim , x0 x
0 0
limlnsin2x, x0 lnsin3x
定理1 设f ( x), F( x)满足
(1) lim f ( x) 0 , lim F( x) 0;
xa
xa
o
(2) x U(a), f ( x)及 F '( x) 都,且 F '( x) 0;
a, x 0
其中g(x)有二阶连续的导数，g且(0) 1.
1.确定a的值，使f (x)在点x 0处连续。
2.求f '(x)
解
小结
洛必达法则
型
f g1g1 f 1g1 f
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
思考与练习
x 原式 e1.
1
练习 :求 (1)x li m 0sin xxxsinx; (2)x li m 01 xtanx.
1

ch3课后习题

5.在采用组距式分组时，确定各组组限应考虑哪些方面
13、对总体进行分组时，采用等距数列还是异距数列，决定于（）。
A．次数的多少 B．变量的大小
C．组数的多少 D．现象的性质和研究的目的
14、某村企业职工最高工资为426元，最低工资为270元，据此分为六个组，形成闭口式等距数列，则组距应为（）。
A．71 B．26 C．156 D．132
15、简单分组与复合分组的区别是（）。
E. 既能编制单项式数列，又能编制组距式数列
4、统计整理的必要性在于（）。
A．原始资料分散、零碎、不系统
B．原始资料可能存在质量问题
C．原始资料难以描述总体的数量特征
D．次级资料不能满足统计分析的需要
E．具有承上起下的作用
5、正确的统计分组应做到（）。
A．组间有差异 B．各组应等距 C．组内属同质
150—180
12
18
37
13
合计
80
A．品质数列 B．变量数列 C．组距数列
D．等距数列 E．异距数列
四、简答题
1.什么是统计分组统计分组的要求有哪些
2.简述时间数列的含义及其构成要素。
3.在编制变量数列时，何时应采用组距式分组，何时采用单项式分组
4.在等距数列中，组距和组数具有什么关系如何计算组中值
A．分组对象的复杂程度不同 B．分组数目的多少不同
C．采用分组标志的多少不同 D．研究目的和对象不同
16、对某班学生进行以下分组，这是（）。
分组
人数（人）
按性别分组
男
女
按年龄分组
20岁以下
20岁以上
30
20
38
12
A．简单分组 B．平行分组体系

现代概率论习题(2011修订)-encryption

= (−∞, sup inf an ) = (−∞, lim an ) .
k≥1 n≥k n
/gu
∪∞
n=1
∞ ∩
An =
∞ ∞ ∩ ∪
k=1 n=1
(−∞, an ) =
(−∞, an ) =
1
o
n=1
lim An =
An =
Ak =
∞ ∪
An .
An .
∞ ∩
An ;
An =
∞ ∩
An . ∩∞
(3) 对于 ∀ ω ∈ A△B = A \ B + B \ A，若 ω ∈ A \ B，则 ω ∈ A ∪ N1 = B ∪ N2 ，
而 ω 不属于 B ，故 ω ∈ N2 ．同理，若 ω ∈ B \ A，则 ω ∈ N1 ．因此， ω ∈ N1 ∪ N2 ，即
因为 A△N1 = B △N2 ，所以 A△(A△N1 ) = A△(B △N2 )，即 (A△A)△N1 = (A△B )△N2 , ∅△N1 = (A△B )△N2 .
n ∞ ∪ ∞ ∩ k=1 n=k ∞ ∩ ∞ ∪ k=1 n=k n
An =
∞ ∪ ∞ ∩ k=1 n=1 ∞ ∪ k=1
An =
∞ ∪ n=1
An ;
n
故 lim An = lim An =
n n
∪∞
n=1
An ，即 lim An 存在且 lim An =
n
(2) 若 An 递减，则 lim An =
n n n n n n n n n
(
∪
n
An )△(
∪
n
Bn ) = [(
∪
n

2011级-烷烃和环烷烃

CH3CH2CH3
Br2 光，127 ℃
CH3CH2CH2-Br + CH3CHCH3 Br (3%) (97%)
CH3 CH3 + H3C C H trace 痕量 CH2Br
CH3 H3C C H CH3 + Br2 hv
CH3 H3C C Br 99% 99%
卤代反应活性：叔氢>仲氢>伯氢;
4. 烷烃自由基的稳定性与构型（1）不同类型的C—H键离解能不同，离解能越小，反应越容易进行。
叔
仲
伯
甲基
3o
2o
1o
46
自由基的稳定性次序决定着反应的取向和反应活性。反应中形成的活性中间体自由基的稳定性越大，反应越容易进行。所以，烷烃卤代反应活性：叔氢 > 仲氢 > 伯氢 > 甲烷氢
甲基、异丙基、叔丁基自由基的结构中心碳原子为sp2杂化
人体中的自由基：超氧阴离子自由基羟自由基含氧有机自由基过氧化物自由基
新己烷
新戊烷
2、系统命名法(systematic nomenclature)( 日内瓦、IUPAC命名法)
（1）对于直链烷烃，称“某”烷，（不要“正”字）。
（2）对于有支链的烷烃，看作是直链烷烃的烷基取代衍生物。烷基 • 烷烃去掉一个氢原子后的原子团。 • 常用R-，或(CnH2n+1-)表示。
5、环己烷的构象异构；椅式，船式；椅式中的竖键（a键），横键（e键），取代环己烷的构象。
烃：
仅由碳和氢两种元素组成的化合物称为碳氢化合物，简称为烃（ hydrocarbon)。
烃类化合物的分类：
饱和烃脂肪烃不饱和烃 Aliphatic 脂环烃烷烃烯烃、炔烃环己烷苯、萘

2011年高考数学理第一轮复习精品课件第11单元概率3

│要点探究
【点评】求解离散型随机变量的实质是概率计算，在基本事件等可能的情况下就是古典概型，求解古典概型的关键是找到随机事件所包含的基本事件的个数，在一些问题中要善于通过列表等方法解决问题．
│要点探究
变式题从装有 6 个白球、4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢 2 元，而每取出一个白球输 1 元，取出黄球无输赢，以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值呢？求 X 的分布列．
5
9
(2,5)，(1,5)
(6,6)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)，(5,6)，
6
11
(4,6)，(3,6)，(2,6)，(1,6)
由古典概型可知 X 的概率分布如下表所示
X1 2 3 4 5 6
1 3 5 7 9 11 P 36 36 36 36 36 36
从而 P(2<X<5)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝356＋376＝13.
有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k)＝CkM·CCnNnN－－kM，k
＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M， N∈N*，称分布列
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，
X 的值
出现的点
情况数
1 (1,1)
1
2 (2,2)，(2,1)，(1,2)
3
3 (3,3)，(3,2)，(3,1)，(2,3)，(1,3)