高三数学选填专题限时训练

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高考数学复习《30分钟选填》 (理科版) 限时训练(25)答案

限时训练（二十五）答案部分二、填空题：9.{}2,3,4- 10. 92314.2,⎡⎣解析部分1. 解析解法一: ()()()()i 1i i 12i a b a b a b ++=-++=+，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选D.解法二: ()()()()12i 1i 12i 12i i 231i i 1i 1i 1i 222a b +-++-++====+++-.故选D. 2.解析若1a =，则()1f x x =-，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增；若函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数，可得1a …，不一定得出1a =.所以“1a =”是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的充分不必要条件.故选A. 3.解析 ππtan 2tan 236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据函数图像平移左加右减的规律，将tan 2y x =向右平移π6个单位长度可得πtan 26y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πtan 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.故选C.4.解析输出()440134710402862s +⨯=+++⋅⋅⋅+==.故选B.5.解析 91x ⎫-⎪⎭的通项为()92191C rr rr r T x x --+=-，令902r r --=，解得3r =，所以91x ⎫⎪⎭的常数项为()3391C 84-=-.故选C.6.解析解法一（图像法）：函数()f x 的图像如图所示，观察图像可得函数()f x 的零点个数为2. 故选B.解法二：令()()310x x +-=，解得3x =-或1x =（舍去）；令2ln 0x -+=，解得2e x =，所以函数()f x 有2个零点.故选B.7.解析由于()2y f x =-是由()y f x =向右平移2个单位长度得到的，且()2y f x =-在[]0,2上单调递减，所以()f x 在[]2,0-上单调递减.由题可得()()22b f f ==-，又因为210-<-<，所以()()()210f f f ->->，即b c a >>.故选A.8.解析由定义的新运算可得()()()()1x y x y x y x y +⊗-=+-+，所以()()11x y x y +-+<，整理得2210x x y y -+++-<.因为此不等式对任意实数x 恒成立，所以()()2214110y y ∆=-⨯-+-<.解得3122y -<<，即y 的取值范围为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选D. 9.解析解方程得{}2,3A =，{}4,2B =-，所以{}2,3,4AB =-.10.解析画出不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z x y =+过A 点时，z 有最大值，联立方程105350x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩，即()4,5A ，所以max 9z =.1=011.解析依题意，设抛物线22y bx =的焦点为A ，则,02b A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为12:5:3F A F A =，所以:5:322b b c c ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2c b =，所以c e a ====3=. 12.解析利用正弦定理将cos cos b c B C =中边的关系转化为角的关系，得sin sin cos cos B CB C=，即tan tan B C =，又因为(),0,πB C ∈，所以B C =.因为cos A =()cos πcos2B C B -+=-=⎡⎤⎣⎦()22cos 1B --，所以222cos 13B -=-，得21cos 6B =，又由题可得cos 0B >，故cos B =. 13.解析因为2AB =，60ABC ∠=， AD 为BC 边上的高，所以1BD =.又因为3CB =，所以13BD BC =.如图所示，13AD AB BD AB BC =+=+，所以111226AO AD AB BC ==+，所以11,26λμ==，则23λμ+=.14.解析设平面1AD Q 与直线BC 交于点P ，则P 为BC 的中点，连接,AP QP ，取1BB 的中点E ，11B C 的中点G ，连接11,,A G A E EG .如图所示.易证QP EG ∥，又因为QP ⊂平面1AD Q ，EG ⊄平面1AD Q ,所以//EG 平面1AD Q .同理1//A G 平面1AD Q ，又因为1AG EG G =，所以平面1A GE ∥平面1AD Q .由已知1A F ∥平面1AD Q ，所以1A F ⊂平面1A GE ，设1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111tan A B B Fθ=，当点F 与点E 或点G 重合时，1B F 最大，tan θ有最小值，此时1111tan 212A B B F θ===；当点F 为EG 中点，即1B F EG ⊥时，1B F 最小，tan θ有最大值，此时CBPGED1C1B 1A 1DCBAQ111tan4A BB Fθ===所以tanθ的取值范围是2,⎡⎣.。

高三上册数学限时练习题

高三上册数学限时练习题在高三上学期的数学学习中，进行限时练习是提高学习效率和应试能力的重要方法之一。

该练习旨在巩固学生的数学知识，增强他们的解题能力和时间管理能力。

下面是一套高三上学期数学限时练习题，共分为四个部分：选择题、填空题、计算题和解答题。

希望同学们认真完成每一道题目，并在规定的时间内完成。

选择题：从A、B、C、D四个选项中选出最佳答案，并将其标号填入题前括号内。

1. 已知函数f(x) = 2x - 3，g(x) = x^2 - 4x + 5，求f(g(2))的值是：A. 0B. -1C. 1D. 22. 若a + b = 5，a - b = 3，则a的值为：A. 4B. 2C. 3D. 13. 若a + b = 7，a - b = 1，则ab的值是：A. 6B. 3C. 4D. 24. 已知直线L上有两点A(1, 3)和B(4, y)，且AB的斜率为2，那么y的值是：A. 5B. -1C. 4D. -5填空题：根据题目要求，填入正确的答案。

5. 若三个数a、b、c成等差数列，且a + b + c = 15，那么a的值是______。

6. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合B = {3, 4, 5, 6, 7}，则A∩B的元素个数为______。

7. 已知直线L1的斜率为k，过点(1, 2)且与L1垂直的直线L2的斜率为______。

计算题：计算下列表达式（化简至最简式）。

8. （3x^2 - 2x + 5）÷（x - 1）9. 方程x^2 - 5x + 6 = 0的根为______。

解答题：根据题目要求，写出解答过程和最终答案。

10. 设Ω是一个底面的半径为3 cm，高度为4 cm的圆柱体，求Ω的体积。

11. 设函数f(x) = ax + b，已知f(1) = 4，f(2) = 7，求f(3)的值。

注意：请同学们在规定时间内尽可能完成以上所有题目，提前预估每题需要用的时间，合理安排每个题目的解答时间。

高三数学：2024届新结构“8+3+3”选填限时训练1_10(解析版)

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据1,0.3 ,2,4.7 ,3,m ,4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x -2，则m 的值为()A.3B.5C.5.2D.6【答案】A【解析】易知x =1+2+3+44=52,y =13+m4，代入y =2.4x -2得13+m 4=2.4×52-2⇒m =3.故选：A2已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m ⎳α,n ⎳α,则m ⎳nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αD.若m ⎳α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.故选：B3已知向量a ，b 满足a =3，b =23，且a ⊥a +b，则b 在a 方向上的投影向量为()A.3B.-3C.-3aD.-a【答案】D【解析】a ⊥a +b ，则a ⋅a +b =a 2+a ⋅b =9+a ⋅b =0，故a ⋅b=-9，b 在a 方向上的投影向量a ⋅b a 2⋅a =-99⋅a =-a.故选：D .4若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式3x +12xn的展开式的常数项是()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】因为n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，6×60%=3.6，所以n =8，二项式3x +12x8的通项公式为T r +1=C r 8⋅3x 8-r ⋅12x r =C r 8⋅12 r⋅x8-r 3-r，令8-r 3-r =0⇒r =2，所以常数项为C 28×12 2=8×72×14=7，故选：A5折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为()A.5023π B.9π C.7π D.1423π【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为r 1,r 2，由题意可知13×2π×3=2πr 1，解得r 1=1，13×2π×6=2πr 2，解得：r 2=2，作出圆台的轴截面，如图所示：图中OD =r 1=1,O A =r 2=2，AD =6-3=3，过点D 向AP 作垂线，垂足为T ，则AT =r 2-r 1=1，所以圆台的高h =AD 2-AT 2=32-1=22，则上底面面积S 1=π×12=π，S 2=π×22=4π，由圆台的体积计算公式可得：V =13×(S 1+S 2+S 1⋅S 2)×h =13×7π×22=142π3，故选：D .6已知函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，若x 1,x 2,-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式x -bx -c≤0的解集为()A.1,52B.1,52C.-∞,1 ∪52,+∞D.-∞,1 ∪52,+∞ 【答案】A【解析】由函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，即x 1,x 2是x 2-bx +c =0的两个实数根据，则x 1+x 2=b ,x 1x 2=c 因为b >0,c >0，可得x 1>0,x 2>0，又因为x 1,x 2,-1适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设x 1<x 2，可得x 1x 2=-1 2=1-1+x 2=2x 1 ，解得x 1=12,x 2=2，所以x 1+x 2=52,x 1x 2=1，所以b =52,c =1，则不等式x -b x -c ≤0，即为x -52x -1≤0，解得1<x ≤52，所以不等式的解集为1,52.故选：A .7已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN =2π3，则双曲线C 的离心率为()A.3B.7C.213D.13【答案】C【解析】如图，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以MN =F 1F 2 =2c (矩形的对角线相等)，所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y =bax ，由y =b a x ,x 2+y 2=c 2,解得x =a y =b ，或x =-a ,y =-b , 所以N a ,b ，M -a ,-b 或N -a ,-b ，M a ,b .不妨设N a ,b ，M -a , -b ，又A a ,0 ，所以AM =a +a 2+b 2=4a 2+b 2，AN =a -a 2+b 2=b .在△AMN 中，∠MAN =2π3，由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM AN ⋅cos 2π3，即4c 2=4a 2+b 2+b 2+4a 2+b 2×b ，则2b =4a 2+b 2，所以4b 2=4a 2+b 2，则b 2=43a 2，所以e =1+b 2a2=213.故选:C .8已知a =ln 1.2e ,b =e 0.2,c =1.2e 0.2，则有()A.a 0，则f x =e x -1x +1.当x >0时，有e x >1,1x +1<1，所以1x +1<1，所以，f (x )>0在0,+∞ 上恒成立，所以，f (x )在0,+∞ 上单调递增，所以，f (x )>f (0)=1-1=0，所以，f (0.2)>0，即e 0.2-ln1.2-1>0，所以a <b令g x =e x -x +1 ,x >0，则g x =e x -1在x >0时恒大于零，故g x 为增函数，所以x +1ex <1,x >0，而a =ln 1.2e =1+ln1.2>1，所以c <a ，所以c <a <b ，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4，则()A.函数f x -π4 为偶函数 B.曲线y =f x 对称轴为x =k π,k ∈ZC.f x 在区间π3,π2单调递增D.f x 的最小值为-2【答案】AC【解析】f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4=sin2x cos 3π4+sin 3π4cos2x +cos2x cos 3π4-sin2x sin3π4=-22sin2x +22cos2x -22cos2x -22sin2x =-2sin2x ，即f x =-2sin2x ，对于A ，f x -π4 =-2sin 2x -π2=2cos2x ，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，f x =-2sin2x 对称轴为2x =π2+k π,k ∈Z ⇒x =π4+k π2,k ∈Z ，故B 错误；对于C ，x ∈π3,π2 ,2x ∈2π3,π ，y =sin2x 单调递减，则f x =-2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，f x =-2sin2x ，则sin2x ∈-1,1 ，所以f x ∈-2,2 ，故D 错误；故选：AC10设z 为复数，则下列命题中正确的是()A.z 2=zz B.若z =(1-2i )2，则复平面内z对应的点位于第二象限C.z 2=z 2D.若z =1，则z +i 的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A ，设z =a +bi ，故z =a -bi ，则z 2=a 2+b 2，zz =(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2，故z 2=zz成立，故A 正确，对于B ，z =(1-2i )2=-4i -3，z =4i -3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知z 2=a 2+b 2，z 2=a 2+b 2+2abi ，当ab ≠0时，z 2≠z 2，故C 错误，对于D ，若z =1，则a 2+b 2=1，而z +i =a 2+(b +1)2=2b +2，易得当b =1时，z +i 最大，此时z +i =2，故D 正确.故选：ABD11已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =π3．将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC ，连结BD ．设二面角D -AC -B 的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D ABC 为正四面体，则θ=π3B.四面体D ABC 的体积最大值为1C.四面体D ABC 的表面积最大值为23+2D.当θ=2π3时，四面体D ABC 的外接球的半径为213【答案】BCD【解析】如图，取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则OB =OD ，OB ⊥AC ,OD ⊥AC ，∠BOC 为二面角D AC -B 的平面角，即∠BOC =θ．若D ABC 是正四面体，则BD =BC ≠BO ，△OBD 不是正三角形，θ≠π3，A 错；四面体D ABC 的体积最大时，BO ⊥平面ACD ，此时B 到平面ACD 的距离最大为BO =3，而S △ACD=34×22=3，所以V =13×3×3=1，B 正确；S △ABC =S △DAC =3，易得△BAD ≅△BCD ，S △BAD=S △BCD=12×22sin ∠BCD =2sin ∠BCD ，未折叠时BD =BD =23，折叠到B ,D 重合时，BD =0，中间存在一个位置，使得BD =22，则BC 2+D C 2=BD 2，∠BCD =π2，此时S △BAD=S △BCD=2sin ∠BCD 取得最大值2，所以四面体D ABC 的表面积最大值为23+2 ，C 正确；当θ=2π3时，如图，设M ,N 分别是△ACD 和△BAC 的外心，在平面AOD 内作PM ⊥OD ，作PN ⊥OB ，PM ∩PN =P ，则P 是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面OBD 与平面ABC 、平面D AC 垂直，即P ,N ,O ,M 四点共面，θ=2π3，则∠PON =π3，ON =13×32×2=33，PN =ON tan π3=33×3=1，PB =PN 2+BN 2=12+233 2=213为球半径，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12设集合M =x log 2x <1 ，N =x 2x -1<0 ，则M ∩N =．【答案】x 0<x <12【解析】因为log 2x <1=log 22，所以0<x <2，即M =x log 2x <1 =x 0<x <2 ，因为2x -1<0，解得x <12，所以N =x 2x -1<0 =x x <12，所以，M ∩N =x 0<x <12 .故答案为：x 0<x <12 13已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为.【答案】24【解析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，所以，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=a 1+a 2+a 3+a 4+q 4a 1+a 2+a 3+a 4 =S 41+q 4 ，则S 8-2S 4=S 4q 4-1 =6，则q 4>1，可得q >1，则S 4=6q 4-1，所以，a 9+a 10+a 11+a 12=q 8a 1+a 2+a 3+a 4 =S 4q 8=6q 8q 4-1=6q 4-1+1 2q 4-1=6q 4-1 2+1+2q 4-1 q 4+1=6q 4-1 +1q 4-1+2 ≥62q 4-1 ⋅1q 4-1+2 =24，当且仅当q 4-1=1q 4-1q >1 时，即当q =42时，等号成立，故a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为24.故答案为：2414已知F 为拋物线C :y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25AB的最小值为.【答案】10【解析】C :x 2=4y 的焦点为0,1 ，设直线AB 方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立直线与抛物线方程有x 2-4kx -4=0，则AB =y 1+y 2+2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4.又y =14x 2求导可得y =12x ，故直线AP 方程为y -y 1=12x 1x -x 1 .又y 1=14x 21，故AP :y =12x 1x -14x 21，同理BP :y =12x 2x -14x 22.联立y =12x 1x -14x 21y =12x 2x -14x 22可得12x 1-x 2 x =14x 21-x 22 ，解得x =x 1+x 22，代入可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，代入韦达定理可得P 2k ,-1 ，故PF =4k 2+4.故|PF |2+25AB=4k 2+4+254k 2+4≥24k 2+4 ×254k 2+4=10，当且仅当4k 2+4=254k 2+4，即k =±12时取等号.故答案为：102024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(2)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1抛物线y =12x 2的焦点坐标为()A.18,0B.12,0 C.0,18D.0,12【答案】D 【解析】由y =12x 2可得抛物线标准方程为：x 2=2y ，∴其焦点坐标为0,12 .故选：D .2二项式3x 2-1x 47的展开式中常数项为()A.-7B.-21C.7D.21【答案】A 【解析】二项式3x 2-1x47的通项公式为Tr +1=C r 7⋅3x 27-r⋅-1x4r=Cr 7⋅-1 r⋅x14-14r 3，令14-14r 3=0⇒r =1，所以常数项为C 17⋅-1 =-7，故选：A3已知集合A =x log 2x ≤1 ，B =y y =2x ,x ≤2 ，则()A.A ∪B =BB.A ∪B =AC.A ∩B =BD.A ∪(C R B )=R【答案】A【解析】由log 2x ≤1，则log 2x ≤log 22，所以0<x ≤2，所以A =x log 2x ≤1 =x 0<x ≤2 ，又B =y y =2x ,x ≤2 =y 0<y ≤4 ，所以A ⊆B ，则A ∪B =B ，A ∩B =A .故选：A ．4若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4 ，事件A =1,2 ，甲：事件B =Ω，乙：事件A ,B 相互独立，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若B =Ω，A ∩B =1,2 ，则P A ∩B =24=12，而P A =24=12，P B =1，所以P A P B =P A ∩B ，所以事件A ,B 相互独立，反过来，当B =1,3 ，A ∩B =1 ，此时P A ∩B =14，P A =P B =12，满足P A P B =P A ∩B ，事件A ,B 相互独立，所以不一定B =Ω，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5若函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，则实数m =()A.1B.-1C.12D.-12【答案】C【解析】由函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，可得f -1 =f 1 ，即ln e -1-1 +m =ln e -1 -m ，解之得m =12，则f x =ln e x -1 -12x (x ≠0)，f -x =ln e -x -1 +12x =ln e x -1 -x +12x =ln e x -1 -12x =f x故f x =ln e x -1 -12x 为偶函数，符合题意.故选：C6已知函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，若f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A.线段(不包含端点) B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分【答案】A【解析】因为函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，所以y =f (x )=b ⋅1-x 2a2(-a <x <a )，因为f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，所以有f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )，且有-a <s <a ,-a <s -t <a ,-a <s +t <a 成立，即-a <s <a ,-a <t <a 成立，由f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )⇒b ⋅1-s 2a 22=b ⋅1-(s -t )2a 2⋅b ⋅1-(s +t )2a 2，化简得：t 4=2a 2t 2+2s 2t 2⇒t 2(t 2-2a 2-2s 2)=0⇒t 2=0，或t 2-2a 2-2s 2=0，当t 2=0时，即t =0，因为-a <s <a ，所以平面上点(s ，t )的轨迹是线段(不包含端点)；当t 2-2a 2-2s 2=0时，即t 2=2a 2+2s 2，因为-a <t <a ，所以t 2<a 2，而2a 2+2s 2>a 2，所以t 2=2a 2+2s 2不成立，故选：A7若tan α+π4=-2，则sin α1-sin2α cos α-sin α=()A.65B.35C.-35D.-65【答案】C【解析】因为tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α=-2，解得tan α=3，所以，sin α1-sin2αcos α-sin α=sin αsin 2α+cos 2α-2sin αcos α cos α-sin α=sin αcos α-sin α 2cos α-sin α=sin αcos α-sin 2α=sin αcos α-sin 2αcos 2α+sin 2α=tan α-tan 2α1+tan 2α=3-91+9=-35.故选：C .8函数f x =2ln xx,x >0sin ωx +π6,-π≤x ≤0，若2f 2(x )-3f (x )+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为()A.103,4B.103,4 C.2,103D.2,103【答案】D【解析】由题知，2f 2x -3f x +1=0的实数解可转化为f (x )=12或f (x )=1的实数解，即y =f (x )与y =1或y =12的交点，当x >0时，f x =2ln xx ⇒f (x )=21-ln x x 2所以x ∈0,e 时，f (x )>0，f x 单调递增，x ∈e ,+∞ 时，f (x )<0，f x 单调递减，如图所示：所以x =e 时f x 有最大值：12<f (x )max =2e<1所以x >0时，由图可知y =f (x )与y =1无交点，即方程f (x )=1无解，y =f (x )与y =12有两个不同交点，即方程f (x )=12有2解当x <0时，因为ω>0，-π≤x ≤0，所以-ωπ+π6≤ωx +π6≤π6，令t =ωx +π6，则t ∈-ωπ+π6,π6则有y =sin t 且t ∈-ωπ+π6,π6，如图所示：因为x >0时，已有两个交点，所以只需保证y =sin t 与y =12及与y =1有四个交点即可，所以只需-19π6<-ωπ+π6≤-11π6，解得2≤ω<103．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z 1,z 2是关于x 的方程x 2+bx +1=0(-2<b <2,b ∈R )的两根，则下列说法中正确的是()A.z 1=z 2B.z 1z 2∈R C.z 1 =z 2 =1D.若b =1，则z 31=z 32=1【答案】ACD【解析】Δ=b 2-4<0，∴x =-b ±4-b 2i 2，不妨设z 1=-b 2+4-b 22i ，z 2=-b2-4-b 22i ，z 1=z 2，A 正确；z 1 =z 2 =-b 22+4-b 222=1，C 正确；z 1z 2=1，∴z 1z 2=z 21z 1z 2=z 21=b 2-22-b 4-b 22i ，b ≠0时，z 1z 2∉R ，B 错；b =1时，z 1=-12+32i ，z 2=-12-32i ，计算得z 21=-12-32i =z 2=z 1 ，z 22=z 1=z 2 ，z 31=z 1z 2=1，同理z 32=1，D 正确．故选：ACD ．10四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，P A 与底面垂直，P A =2，AB =1，动点M 在线段PC 上，则()A.不存在点M ，使得AC ⊥BMB.MB +MD 的最小值为303C.四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为5πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为255【答案】BD【解析】对于A ：连接BD ，且AC ∩BD =O ，如图所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以OM ⎳P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM ⊥AC ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BD ∩OM =O ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥BM ，所以A 错误；对于B ：将△PBC 和△PCD 所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，则MB +MD 的最小值为BD ，直角△PBC 斜边PC 上高为1×56，即306，直角△PCD 斜边PC 上高也为1×56，所以MB +MD 的最小值为303，所以B 正确；对于C ：易知四棱锥P -ABCD 的外接球直径为PC ，半径R =12PC =1222+12+12=62，表面积S =4πR 2=6π，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为AB ⎳CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ⎳平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,且P A ∩AD =A ,故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF ⊥CD ，因为PD ∩CD =D ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt △P AD 中，P A =2，AD =1，可得PD =5，所以由等面积得AF =255，即直线AB 到平面PCD 的距离等于255，所以D 正确，故选：BCD .11今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则()A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：P B 红∣A 黄 =P B 红A 黄 P A 黄=27×4727=47，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：P B 红 ∣A 红 =P A 红 B 红 P A 红 =P A 黄B 红 +P A 绿B 红 P A 红 =27×37+27×1247=1328，故B 错误；由题意可知，P A 红 =37,P A 黄 =27,P A 绿 =27,P B 红∣A 红 =37,P B 红∣A 黄 =47，P B 红∣A 绿 =12，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =P A 红 P B 红∣A 红 +P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄 +P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 =37×37+27×47+27×12=2449，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则P A 红∣B 红 =P A 红 ⋅P B 红∣A 红 P B 红=37×37×4924=38，P A 黄∣B 红 =P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄P B 红=27×47×4924=13，P A 绿∣B 红 =P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 P B 红 =27×12×4924=724，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点E 在△ABC 所在平面内，且CD =3CE -2CA ，若AC =xAB +yBE，则x +y =．【答案】11【解析】因为CD =3CE -2CA ，边BC 的中点为D ，所以12CB=3BE -BC +2AC ，因为12CB =3BE -3BC +2AC ，所以52BC =3BE +2AC ，所以52BC =52AC -AB =3BE +2AC ，所以5AC -5AB =6BE +4AC ，即5AB +6BE =AC ，因为AC =xAB +yBE ，所以x =5，y =6，故x +y =11.故答案为：1113已知圆锥母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【答案】①.63②.16327π【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线与底面所成的角为θ,θ∈0,π2 ，易知cos θ=r 2.圆锥的体积为V =13πr 2⋅4-r 2=43πcos 2θ⋅2sin θ=8π3cos 2θ⋅sin θ=8π31-sin 2θ sin θ令x =sin θ,x ∈0,1 ，则y =1-sin 2θ sin θ=-x 3+x ，y =-3x 2+1当y >0时，x ∈0,33，当y<0时，x ∈33,1 ，即函数y =-x 3+x 在0,33 上单调递增，在33,1上单调递减，即V max =8π333-33 3 =163π27，此时cos θ=1-323 =62.故答案为：62；163π2714已知双曲线C ：x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为E ，过F 2的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点(其中点A 在第一象限内)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则当F 1A ⊥AB 时，AF 1=；△ABF 1内切圆的半径为．【答案】①.7+1##1+7②.7-1##-1+7【解析】由双曲线方程知a =1,b =3,c =2，如下图所示：由F 1A ⊥AB ，则AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2=16，故AF 1 -AF 2 2+2AF 1 AF 2 =16，而AF 1 -AF 2 =2a =2，所以AF 1 AF 2 =6，故AF 2 2+2AF 2 -6=0，解得AF 2 =7-1，所以AF 1 =7+1，若G 为△ABF 1内切圆圆心且F 1A ⊥AB 可知，以直角边切点和G ,A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径r =12AF 1 +AB -BF 1 =12AF 1 +AF 2 +BF 2 -BF 1所以r =1227+BF 2 -BF 1 =1227-2 =7-1；故答案为：7+1，7-1；2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(3)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，x ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为()A.7B.7.5C.8D.6.5【答案】B【解析】依题意可得极差为10-3=7，平均数为163+5+x +8+9+10 =1635+x ，所以1635+x =7，解得x =7，所以中位线为7+82=7.5.故选：B .2已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =()A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,4【答案】A【解析】由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .故选：A .3已知向量a =(2,0)，b =sin α,32，若向量b 在向量a 上的投影向量c =12,0 ，则|a +b |=()A.3B.7C.3D.7【答案】B【解析】由已知可得，b 在a 上的投影向量为a ⋅b |a |⋅a |a |=2sin α2×2(2,0)=(sin α,0)，又b 在a 上的投影向量c =12,0 ，所以sin α=12，所以b =12,32，所以a +b =52,32 ，所以|a +b |=52 2+322=7.故选：B .4如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP ⊥AQ ，则PQ =()A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】设两圆锥的高OP =x ，OQ =y ，则AP =x 2+1，AQ =y 2+1，由AP ⊥AQ ，有AP 2+AQ 2=PQ 2，可得x 2+1+y 2+1=x +y 2，可得xy =1，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π×1×P A =2×π×1×QA ，可得P A =2QA ，则有x 2+1=2y 2+1，即x 2=4y 2+3，代入y =1x整理为x 4-3x 2-4=0，解得x =2(负值舍)，可得y =12，OP =x +y =2+12=52．故选：C ．5已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点，点P 满足QP=1,-3 ，记P 的轨迹为E ，则()A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线【答案】C【解析】设P x ,y ，由QP=1,-3 ，则Q x -1,y +3 ，由Q 在直线l :x +2y +1=0上，故x -1+2y +3 +1=0，化简得x +2y +6=0，即P 轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l 的距离d =6-112+22=5，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6已知x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 1+a 3的值为()A.-1B.1C.4D.-2【答案】C【解析】在x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，而x +1 x -1 5=x x -1 5+x -1 5，由二项式定理知x -1 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ，令5-r =2，解得r =3，令5-r =3，r =2，故a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0，同理令5-r =1，解得r =4，令5-r =0，解得r =5，故a 1=C 45(-1)4+C 55(-1)5=4，故a 1+a 3=4.故选：C7已知P 为抛物线x 2=4y 上一点，过P 作圆x 2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为()A.12B.23C.34D.78【答案】C【解析】如图所示：因为∠APB =2∠APC ，sin ∠APC =AC PC=1PC，设P t ,t 24，则PC 2=t 2+t 24-3 2=t 416-t 22+9=116t 2-4 2+8，当t 2=4时，PC 取得最小值22，此时∠APB 最大，cos ∠APB 最小，且cos ∠APB min =1-2sin 2∠APC =1-21222=34，故C 正确.故选：C8已知函数f x ,g x 的定义域为R ,g x 为g x 的导函数且f x +g x =3,f x -g 4-x =3，若g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是()A.f -1 =f -3B.f 1 +f 3 =65C.g 2 =3D.f 4 =3【答案】D【解析】对于D ，∵g x 为偶函数，则g x =g -x ，两边求导可得g x =-g -x ，则g x 为奇函数，则g 0 =0，令x =4，则f 4 -g 0 =3，f 4 =3，D 对；对于C ，令x =2，可得f 2 +g 2 =3f 2 -g 2 =3 ，则f 2 =3g 2 =0 ，C 错；对于B ，∵f x +g x =3，可得f 2+x +g 2+x =3，f x -g 4-x =3可得f 2-x -g 2+x =3，两式相加可得f 2+x +f 2-x =6，令x =1，即可得f 1 +f 3 =6，B 错；又∵f x +g x =3，则f x -4 +g x -4 =f x -4 -g 4-x =3，f x -g 4-x =3，可得f x =f x -4 ，所以f x 是以4为周期的函数，所以根据以上性质不能推出f -1 =f -3 ，A 不一定成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列结论正确的是()A.若a ab >b 2B.若x ∈R ，则x 2+2+1x 2+2的最小值为2C.若a +b =2，则a 2+b 2的最大值为2D.若x ∈(0,2)，则1x +12-x ≥2【答案】AD【解析】因为a 2-ab =a (a -b )>0，所以a 2>ab ，因为ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故A 正确；因为x 2+2+1x 2+2≥2的等号成立条件x 2+2=1x 2+2不成立，所以B 错误；因为a 2+b 22≥a +b 2 2=1，所以a 2+b 2≥2，故C 错误；因为1x +12-x =12(x +2-x )1x +12-x =122+2-x x +x 2-x ≥12(2+2)=2，当且仅当1x =12-x，即x =1时，等号成立，所以D 正确.故选：AD10若函数f x =2sin 2x ⋅log 2sin x +2cos 2x ⋅log 2cos x ，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图像关于直线x =π4对称C.f x 的最小值为-1D.f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z【答案】BCD【解析】由sin x >0,cos x >0得f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z .对于A ：当x ∈0,π2时，x +π∈π,32π 不在定义域内，故f x +π =f x 不成立，易知f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误；对于B ：又f π2-x =2cos 2x ⋅log 2cos x +2sin 2x ⋅log 2sin x =f x ，所以f x 的图像关于直线x =π4对称，所以选项B 正确；对于C ：因为f x =sin 2x ⋅log 2sin 2x +cos 2x ⋅log 2cos 2x ，设t =sin 2x ，所以函数转化为g t =t ⋅log 2t +1-t ⋅log 21-t ,t ∈0,1 ,g t =log 2t -log 21-t ，由g t >0得，12<t <1.g t <0得0<t <12.所以g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，故g (t )min =g 12=-1，即f (x )min =-1，故选项C 正确；对于D ：因为g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，由t =sin 2x ，令0<sin 2x <12得0<sin x <22，又f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，解得2k π<x <π4+2k π,k ∈Z ，因为t =sin 2x 在2k π,π4+2k π 上单调递增，所以f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z ，同理函数的递增区间为π4+2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，所以选项D 正确.故选：BCD .11已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n S n +1+S n +1=3，a 1=α0<α<1 ，则()A.当0<α<13-14时，a 2>a 1B.a 3>a 2C.数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减D.当α=34时，恒有nk =1S k -1 <54【答案】ACD【解析】由题意可得：S n +1=32S n +1，a 1=α，由S n +1=32S n +1可知：S n +1=1⇔S n =1，但S 1=α∈0,1 ，可知对任意的n ∈N *，都有S n ≠1，对于选项A ：若0<α<13-14，则a 2-a 1=S 2-2a 1=32α+1-2α=3-2α-4α22α+1=4α+1+13 13-14-α2α+1>0，即a 2>a 1，故A 正确；对于选项B ：a 3-a 2=S 3-2S 2+S 1=6α+32α+7-62α+1+α=α-1 4α2+32α+39 2α+1 2α+7<0，即a 3<a 2，故B 错误.对于选项C ：因为S n +1-1=-2S n -1 2S n +1，S n +1+32=3S n +32 2S n +1，则S n +1-1S n +1+32=-23⋅S n -1S n +32，且S 1-1S 1+32=α-1α+32<0，可知S n -1S n+32是等比数列，则S n -1S n +32=α-1α+32⋅-23n -1，设A =α-1α+32<0，t =232n -2，可得S 2n =3-3At 3+2At =3253+2At -1 ，S 2n -1=1+32At 1-At =521-At-32，因为At =A 232n -2，可知A 23 2n -2 为递增数列，所以数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为S n +1=32S n +1，S n +1-34=32S n +1-34=33-2S n 42S n +1，由S 1=α=34，可得S 2-34>0，即S 2>34，则S 2≤65，即34<S 2≤65；由34<S 2≤65，可得S 3-34>0，即S 3>34，则S 3<65，即34<S 3<65；以此类推，可得对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 1=α=34，又因为S n +1-1S n -1=22S n +1，则S n +1-1 ≤22α+1S n -1 =45S n -1 ，所以∑nk =1S k -1 ≤541-45 n <54，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在(1+ax )n (其中n ∈N *,a ≠0)的展开式中，x 的系数为-10，各项系数之和为-1，则n =.【答案】5【解析】由题意得(1+ax )n 的展开式中x 的系数为aC 1n =-10，即an =-10，令x =1，得各项系数之和为(1+a )n =-1，则n 为奇数，且1+a =-1，即得a =-2,n =5，故答案为：513已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别F 1，F 2，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P 为直线x =2b 上的任意一点，则∠F 1PF 2的最大值为.【答案】π6【解析】由题意有a =2，b =1，c =1，设直线x =2与x 轴的交点为Q ，设PQ =t ，有tan ∠PF 1Q =PQ F 1Q=t3，tan ∠PF 2Q =PQ F 2Q=t ，可得tan ∠F 1PF 2=tan ∠PF 2Q -∠PF 1Q =t -t31+t23=2t t 2+3=2t +3t ≤2t 23t =33，当且仅当t =3时取等号，可得∠F 1PF 2的最大值为π6.故答案为：π614已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，AB =23，BC =4，侧面P AB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P -ABCD 内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为.【答案】10-1【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O为四棱锥P-ABCD的内切球，底面ABCD为矩形，侧面P AB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，此圆为△PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面P AB⊥平面ABCD，交线为AB，PH⊂平面P AB，△P AB为正三角形，有PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，HN⊂平面ABCD，∴PH⊥HN，AB=23，BC=4，则有PH=3，HN=4，PN=5，则△PHN中，S△PHN=12×3×4=12r3+4+5，解得r=1.所以，四棱锥P-ABCD内切球半径为1，连接ON.∵PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PH，又CD⊥HN，PH,HN⊂平面PHN，PH∩HN=H，∴CD⊥平面PHN，∵ON⊂平面PHN，可得ON⊥CD，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又ON=OE2+EN2=10.所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为10-1.故答案为：10-12024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(4)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知双曲线的标准方程为x 2k -4+y 2k -5=1，则该双曲线的焦距是()A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】由双曲线方程可知a 2=k -4,b 2=5-k ，所以c 2=k -4+5-k =1，c =1，2c =2．故选：C2在等比数列a n 中，a 1+a x =82，a 3a x -2=81，前x 项和S x =121，则此数列的项数x 等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由已知条件可得a 1+a x =82a 3a x -2=a 1a x =81，解得a 1=1a x =81 或a 1=81a x =1 .设等比数列a n 的公比为q .①当a 1=1，a x =81时，由S x =a 1-a x q 1-q =1-81q1-q=121，解得q =3，∵a x =a 1q x -1=3x -1=81，解得x =5；②当a 1=81，a x =1时，由S x =a 1-a x q 1-q =81-q 1-q =121，解得q =13，∵a x =a 1q x -1=81×13x -1=35-x =1，解得x =5.综上所述，x =5.故选：B .3对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是()A.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的必要条件B.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件C.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的充分条件D.“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件【答案】B【解析】对于A ，若c =0，则由a >b ⇏ac 2>bc 2，∴“ac 2>bc 2”不是“a >b ”的必要条件，A 错．对于B ，a =b ⇒ac 2=bc 2，∴“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件，B 对，对于C ，若c =0，则由ac 2=bc 2，推不出a =b ，“ac 2=bc 2”不是“a =b ”的充分条件对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，即ac 2≥bc 2成立，此时不一定有a ≥b 成立，故“ac 2≥bc 2”不是“a ≥b ”的充分条件，D 错误，故选：B ．4已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【答案】D【解析】A选项：令平面ABCD为平面α，A1B1为直线m，B1C1为直线n，有：m∥α，n∥α，但m∩n=B1，A错误；B选项：令平面ABCD为平面β，令平面B1BCC1为平面α，令平面A1ABB1为平面γ，有：α⊥β，β⊥γ，而α⊥β，B错误；C选项：令平面ABCD为平面α，令平面A1ABB1为平面β，C1D1为直线m，有：m∥α，m∥β，则α∥β，而α⊥β，C错误；D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.故选：D5将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有()A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有C48C24C222!+C38C35C222!A33=2940.故选：D6若抛物线y2=4x与椭圆E:x2a2+y2a2-1=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为()A.2-12 B.3-12 C.2-1 D.3-1【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AF⊥x轴，c2=a2-a2-1=1，则c=1，则F1,0，当x=1时，y2=4×1，则y A=2，则A1,2，代入椭圆方程得12a2+22a2-1=1，结合a2-1>0，不妨令a>0；解得a=2+1，则其离心率e=ca=12+1=2-1，故选：C.7已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|P A |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是()A.-32,92B.-12,112C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【解析】如下图构建平面直角坐标系，且A -32,0 ，B 32,0 ，C 0,32，所以P (x ,y )在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为x +322+y 2=1，而PB =32-x ,-y ,PC =-x ,32-y ，故PB ⋅PC =x 2-32x +y 2-32y =x -34 2+y -34 2-34，综上，只需求出定点34,34 与圆x +322+y 2=1上点距离平方范围即可，而圆心A 与34,34 的距离d =34+32 2+34 2=32，故定点34,34与圆上点的距离范围为12,52，所以PB ⋅PC ∈-12,112.故选：B 8设a 、b 、c ∈0,1 满足a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则()A.a +c <2b ，ac b 2C.a +c >2b ，ac 2b ，ac >b 2【答案】A【解析】∵a 、b 、c ∈0,1 且a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则c =tan a =tan sin b ，先比较a +c =sin b +tan sin b 与2b 的大小关系，构造函数f x =sin x +tan sin x -2x ，其中0<x <1，则0<sin x <1，所以，cos1<cos sin x <1，则f x =cos x +cos xcos 2sin x -2=cos x -2 cos 2sin x +cos x cos 2sin x，令g x =cos x -1-12x 2 ，其中x ∈0,1 ，则g x =x -sin x ，令p x =x -sin x ，其中0<x <1，所以，p x =1-cos x >0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，故g x >g 0 =0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，则g x =cos x -1-12x 2 >0，即cos x >1-12x 2，因为x ∈0,1 ，则0<sin x <sin1，所以，cos sin x >1-12sin 2x =1-121-cos 2x =121+cos 2x ，所以，cos 2sin x >141+cos 2x 2，因为cos x -2<0，所以，cos x -2 cos 2sin x +cos x <14cos x -2 1+cos 2x 2+cos x=14cos 5x -2cos 4x +2cos 3x -4cos 2x +5cos x -2 =14cos x -1 3cos 2x +cos x +2 <0，所以，对任意的x ∈0,1 ，f x =cos x -2 cos 2sin x +cos xcos 2sin x <0，故函数f x 在0,1 上单调递减，因为b ∈0,1 ，则f b =sin b +tan sin b -2b <f 0 =0，故a +c <2b ，由基本不等式可得0<2ac ≤a +c <2b (a ≠c ，故取不了等号)，所以，ac <b 2，故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88、89、90、90、91、92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是()A.均值为90B.中位数为90C.方差为2D.第80百分位数为91【答案】ABD【解析】由题意可知，该组数据的均值为x =88+89+90+90+91+926=90，故A 正确；中位数为90+902=90，故B 正确；方差为s 2=1688-90 2+89-90 2+90-90 2×2+91-90 2+92-90 2 =53，故C 错误；因为6×80%=4.8，第80百分位数为91，故D 正确.故选：ABD .10设M ，N ，P 为函数f x =A sin ωx +φ 图象上三点，其中A >0，ω>0，ϕ <π2，已知M ，N 是函数f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2+2MN ⋅NP=0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是-12,0 ，则()A.A =2B.ω=π2C.φ=π4D.函数f x 在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ⋅QN <0【答案】BCD【解析】MP 2+2MN ⋅NP =MP 2-2NM ⋅NP =MP 2-2NM ⋅12NM =T 4 2+A 2 -T 22=A 2-3T 216=0，而S △MNP =AT 4=3，故A =3，T =4=2πω，ω=π2，A 错误、B 正确；-12⋅π2+φ=k π，φ=k π+π4(k ∈Z )，而ϕ <π2，故φ=π4，C 正确；显然，函数f x 的图象有一部分位于以MN 为直径的圆内，当Q 位于以MN 为直径的圆内时，QM⋅QN<0，D 正确，故选:BCD .11设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则()．A .f (a )=12B .f (x )=12成立C f (x +y )=2f (x )f (y )D .满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在复平面内，复数z =-12+32i 对应的向量为OA ，复数z +1对应的向量为OB ，那么向量AB 对应的复数是．。

高三数学综合复习：选择填空限时练(二)

选择填空限时练(二)(推荐时间：45分钟)一、选择题1．设两集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{y |y ＝x 2}，则用阴影部分表示A ∩B 正确的是( )答案 A解析 A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝(－∞，1)， B ＝{y |y ＝x 2}＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,1)，故选A. 2． i 为虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝i 2 014＝i 2＝－1.3．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，若a 1<a 2<a 3，则q >0，且a 1<a 1q <a 1q 2，解得a 1>0，q >1，或a 1<0,0<q <1，所以数列{a n }为递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，显然有a 1<a 2<a 3，所以a 1<a 2<a 3是数列{a n }是递增数列的充要条件．故选C. 4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |的值为( )A. 3 B ．2 3C ．4D ．12答案 B解析由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a ＋2b |＝2 3.5．已知函数f (x )＝x 2－ln|x |x，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )答案 A解析依题意，①当x >0时， f ′(x )＝2x －1－ln x x 2＝2x 3＋ln x －1x 2，记g (x )＝2x 3＋ln x －1，则函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数，注意到g (e －2)＝2e －6－3<0，g (1)＝1>0，函数g (x )在(e －2,1)上必存在唯一零点x 0， e －2<x 0<1，g (x 0)＝0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上是增函数； ②当x <0时，f (x )＝x 2－ln (－x )x，f (－1)＝1>0，结合各选项知，选A.6．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析第一次循环，i ＝1，a ＝2；第二次循环，i ＝2，a ＝5；第三次循环，i ＝3，a ＝16；第四次循环，i ＝4，a ＝65>50； ∴输出i ＝4.7．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数答案 A解析由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数．A 项，偶＋偶＝偶；B 项，偶－偶＝偶，错；C 项与D 项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．8．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB等于( )A.45B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.9．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]答案 C解析 OA →·OM →＝－x ＋y ，令z ＝－x ＋y ，做出可行域，求线性规划问题．10．已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A.65π cm 3 B ．3π cm 3 C.23π cm 3D.73π cm 3 答案 D解析由三视图可知，此几何体是一个底面半径为1 cm 、高为3 cm 的圆柱的上部去掉一个半径为1 cm 的半球所形成的几何体，所其体积为V ＝πr 2h －23πr 3＝3π－23π＝73π(cm 3)．11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示．为了得到g (x )＝－A cos ωx (A >0，ω>0)的图象，可以将f (x )的图象( ) A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度答案 B解析由图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝－cos 2x ，代入B 选项得sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x . 12．记圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域为D ，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域D 内的概率是( )A.42 B.43 C.22 D.23 答案 B解析结合图形可得，D 区域面积为2ʃπ0sin x d x＝2() |－cos x π0＝4，由几何概型可得概率为42＝43. 二、填空题13．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________．答案－142解析将sin α－cos α＝12两边平方，得2sin α·cos α＝34，(sin α＋cos α)2＝74，sin α＋cos α＝72，cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 14．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. 答案 10解析 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2m ＝0，又a m ≠0.所以a m ＝2，则S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝38，所以m ＝10.15．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析由k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2知f ′(x )＝ax ＋x ≥2，x ∈(0，＋∞)恒成立．即a ≥x (2－x )恒成立，因为x (2－x )的最大值为1.所以a ≥1.16．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝________. 答案 49解析由AP →＝2PM →知，P 为△ABC 的重心，所以PB →＋PC →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝2AP →·PM →＝2|AP →||PM →|cos 0°＝2×23×13×1＝49.。

高考数学复习《30分钟选填》 (文科版) 限时训练(20)答案

限时训练（二十）答案部分一、选择题二、填空题10. 3- 11. 1 13. 1614. []1,1-解析部分1. 解析 ()3sin 240sin 18060sin 602=+=-=-.故选D. 2. 解析由题可得216914b-=，解得23b =，所以2227c a b =+=，所以c e a ==. 故选C.3. 解析 1x =，2y =，220z =<−−→是2x =，2y =，420z =<−−→是2x =，4y =，820z =<−−→是4x =，8y =，3220z =>−−→否输出32z =.故选B.4. 解析因为x ∈R 时，20x …，所以命题p 是假命题；当tan 0α=或tan 0β=时，都有()tan tan tan αβαβ+=+，所以命题q 是真命题，所以()p q ⌝∧是真命题.故选C.5. 解析由题可得{}15B x x =-<< ，若A B ⊆，则有2125a a --⎧⎨+⎩……，解得13a剟.故选A.6. 解析因为143n n a a +=+，所以()1141n n a a ++=+.又因为114a +=，所以{}1n a +是以4为首项，4为公比的等比数列，所以1214442n n n n a -+=⨯==，所以221n n a =-．故选D.7. 解析令()0f x …，即2230x x -++…，解得13x-剟，所以当[]01,3x ∈-时，()00f x …，所以根据几何概型知成立的概率()()311442P --==--. 故选B.8. 解析由()3233f x x ax bx =++可得()2363f x x ax b '=++.因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以()0f x '=有两个根1x ，2x ，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，又因为()f x '的图像开口向上，所以有()()()()10001020f f f f '-⎧⎪'⎪⎨'⎪⎪'⎩…………，即2102144a b b a b a b -⎧⎪⎪⎨+-⎪⎪+-⎩…………，对应的可行域如图阴影部分所示，所以点(),a b 在平面aOb 上所构成区域的面积111111121121222222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.故选D.9. 解析 221i i i 1i i iz --===--，所以z =10. 解析 ()()2,11,1x y +=++=-a b ，所以2111x y +=⎧⎨+=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以3x y +=-.11. 解析由题意可得3600b a =，所以33360010800b a a =⨯=，所以这辆车的行驶速度/h x ==.12. 解析画出不等式组所表示的可行域，如图中所示的阴影部分.联立11y x y x =-⎧⎨=-+⎩，得()1,0B .由z x =+，得y =+.由图可知，当y x z =+经过点4()1,0B 时，z 取得最小值，min 1z =.13. 解析由三视图可知该几何体是底面为直角三角形，高为1的倒置的三棱锥，将其放入正方体中如图所示，所以111111326V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.14. 解析解法一：如图所示，在圆O 上任取一点N ，连接ON ，在OMN △中，由正弦定理得sin sin ON OM OMN ONM =∠∠，即sin sin ON ONM OM ONM OMN∠==∠∠.又因为3π0,4ONM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以(]sin 0,1ONM ∠∈，故(OM ∈，即2012x +…，得011x -剟，所以0x 的取值范围是[]1,1-.解法二：过点M 作圆O 的切线，切点为Q ，连接OQ ，如图所示，则)45,90OMQ ⎡∠∈⎣，111CA所以2sin sin 45OMQ ∠=….又在Rt OMQ △中，1sin OQ OMQ OM OM∠==，所以12OM…，即OM …，所以011x -剟，即0x 的取值范围是[]1,1-.评注对于存在性问题，可利用转化思想，将其转化为最值求解.。

高三数学题限时练习题

高三数学题限时练习题第一题：已知函数f(f)=ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数，且f≠0。

已知当f=2时，f(f)=3；当f=1时，f(f)=1。

请回答以下问题：1. 根据已知条件，列出函数f(f)的方程式。

2. 求函数f(f)的导函数f′(f)。

3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。

解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=ff^2+ff+f。

由已知条件可以得到如下方程组：3 = 4f+2f+f (1)1 = f+f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=1，f=-1，f=3。

因此，函数f(f)的方程式为f(f)=f^2−f+3。

2. 函数f(f)的导函数f′(f)可以通过求函数f(f)的变化率来得到。

根据导数的定义，有：f′(f) = lim(f→0) (f(f+f)−f(f))/f对函数f(f)=f^2−f+3进行求导，得到：f′(f) = 2f−1所以，函数f(f)的导函数f′(f)为2f−1。

3. 函数f(f)的极值点为f=−1，可以通过求导数为0的点来求得。

令f′(f)=0，有：2f−1 = 0解方程得到f = 1/2。

即函数f(f)在f=−1处的极值为f=1/2。

第二题：已知函数f(f)=f^3+ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数。

请回答以下问题：1. 当f=2时，f(f)=1；当f=1时，f′(f)=2。

根据已知条件，列出函数f(f)的方程式以及函数f(f)的导函数f′(f)的方程式。

2. 求函数f(f)的导函数f′(f)的导函数f′′(f)。

3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。

解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=f^3+ff^2+ff+f。

根据已知条件可以得到如下方程组：1=8+4f+2f+f (1)2=3+2f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=-2，f=3，f=-4。

选填专练9——高三二轮数学复习课时作业

数学(理)
第 14 页
解析对于 A，根据相关系数的意义可知，A 正确；对于 B，由 ξ～N(1，σ2)，知 μ＝1，即概率密度函数的图象关于直线 x＝1 对称，所以 P(ξ＜0)＝P(ξ＞2)＝0.2，则 P(1＜ξ＜2)＝1－2P2ξ＜0＝0.3，B 错误；对于 C，根据线性回归直线的性质可知， C 正确；对于 D，根据残差图的意义可知， D 正确．
a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝( D )
A．242
B．243
C．404
D．405
解析令 t＝x＋2，则原式为(t＋2)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，两边求导，可得 5(t＋2)4＝a1＋2a2t＋3a3t2＋4a4t3＋5a5t4，当 t＝1 时，有 a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5 ＝5×34＝405.故选 D.
第 29 页
数学(理)
又点 O 是△ABC 的外心，所以 BD⊥AC. 3
在 Rt△BAD 中，cos∠BAC＝AADB＝22＝34. 所以 cos∠BAC 的值为34.
第 30 页
数学(理)
第 31 页
14．(2022·西北工业大学附属中学模拟)运行如图所示的程序框图，设输出数据构
成的集合为 A，从集合 A 中任取一个元素 a，则函数 y＝xa，x∈[0，＋∞)是增函数的 3
13．已知 O 是△ABC 的外心，AB＝2，AC＝3，若A→O＝xA→B＋yA→C，且 xy≠0，x 3
＋2y＝1，则 cos∠BAC 的值为 4 .
解析如图所示，
数学(理)
因为A→O＝xA→B＋yA→C，xy≠0，x＋2y＝1，所以A→O＝(1－2y)A→B＋yA→C，即A→O－A→B＝y(A→C－A→B－A→B)，于是有B→O＝y(B→C－A→B)＝y(B→C＋B→A)，取 AC 的中点为 D，则B→C＋B→A＝2B→D，所以B→O＝2yB→D.

高考数学选择、填空题专项训练(共40套)[附答案]

三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是（）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为（）A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有（）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为（）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有（）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（）A ．4B ．5C ． 6D ． 84．从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为。

高三数学(理)二轮复习：选择填空题限时训练(二)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作选择填空题限时训练(二) (满分：80分，测试时间：50分钟)(见学生用书P 199)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．－3－4i D ．－3＋4i解析：z ＝253＋4i ＝25（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25（3－4i ）25＝3－4i. 答案：A2．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a ，4B ．1＋a ，4＋aC．1，4 D．1，4＋a 解析：由题意知y i＝x i＋a，则y－＝110(x1＋x2＋…＋x10＋10×a)＝110(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝x－＋a＝1＋a，方差s2y＝110[(x1＋a－(x－＋a))2＋(x2＋a－(x－＋a))2＋…＋(x10＋a－(x－＋a))2]＝110[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(x10－x－)2]＝s2x＝4.答案：A3．等差数列{a n}中a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·2a3·…·2a10)＝()A．10 B．20C．40 D．2＋log25解析：由等差数列的性质得a1＋a10＝a2＋a9＝…＝a5＋a6＝4，log2(2a1·2a2·2a3·…·2a10)＝log2(2a1＋a2＋a3＋…＋a10)＝log2220＝20，故答案为B.答案：B4．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30 B．20C．15 D．10解析：(1＋x)6展开式中通项T r＋1＝C r6x r，令r＝2可得，T3＝C26x2＝15x2，∴(1＋x)6展开式中x2项的系数为15，∴在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为15.答案：C5．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是()A．5 B．6C．7 D．8解析：第一次执行完循环体，S＝3，A＝2，此时判断框的条件成立，第二次执行完循环体，S＝7，A＝3，此时判断框的条件成立，第三次执行完循环体，S＝15，A＝4，此时判断框的条件成立，第四次执行完循环体，S＝31，A＝5，此时判断框的条件成立，第五次执行完循环体，S＝63，A＝6，此时判断框的条件不成立，∴A≤5，故答案为A.答案：A6．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q解析：(1)“至少有一位学员没有降落在指定范围”即甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲、乙都没有降落在指定范围．又命题p是“甲降落在指定范围”，可知命题綈p是“甲没有降落在指定范围”；同理，命题綈q是“乙没有降落在指定范围”，所以“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．答案：A7．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为()A．54 B．60C．66 D．72解析：由三视图知，几何体是直三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图所示．三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面是直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC.∵FC＝2，AD＝BE＝5，∴DF＝5，BC＝5.∴几何体的表面积S＝12×3×4＋12×3×5＋5＋22×4＋5＋22×5＋3×5＝60.答案：B8．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．1和20B ．9和10C ．9和11D ．10和11解析：设在第n 棵树旁放置所有树苗，前来领取树苗所走路程总和为f (n )．则f (n )＝[10(n －1)＋10(n －2)＋…＋10]＋[10＋10×2＋10×3＋…＋10(20－n )]＝5n (n －1)＋5(20－n )(21－n ) ＝10n 2－210n ＋2 100 ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋1 9952，∵n 为正整数，∴n ＝10或11时，f (n )有最小值．答案：D9．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f(x)dx ，则⎠⎛01f(x)dx ＝( )A ．－1B ．－13 C.13 D ．1 解析：若⎠⎛01f(x)dx ＝－1，则：f(x)＝x 2－2， ∴x 2－2＝x 2＋2⎠⎛01(x 2－2)dx＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 1＝x 2－103，显然A 不正确；若⎠⎛01f(x)dx ＝－13，则：f(x)＝x 2－23，∴x 2－23＝x 2＋2⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23d x ＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－23x 1＝x 2－23，显然B 正确；若⎠⎛01f(x)dx ＝13，则：f(x)＝x 2＋23， ∴x 2＋23＝x 2＋2⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23dx ＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋23x 1＝x 2＋2，显然C 不正确；若⎠⎛01f(x)d x ＝1，则：f(x)＝x 2＋2， ∴x 2＋2＝x 2＋2⎠⎛01(x 2＋2)dx＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x 1＝x 2＋143，显然D 不正确．答案：B10．设函数f 1(x)＝x 2，f 2(x)＝2(x －x 2)，f 3(x)＝13|sin 2πx|，a i ＝i99，i ＝0，1，2，…，99.记I k ＝|f k (a 1)－f k (a 0)|＋|f k (a 2)－f k (a 1)|＋…＋|f k (a 99)－f k (a 98)|，k ＝1，2，3，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 2<I 1<I 3C ．I 1<I 3<I 2D ．I 3<I 2<I 1解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫i 992－⎝⎛⎭⎪⎫i －1992＝199×2i －199，故I 1＝199×⎝ ⎛⎭⎪⎫199＋399＋599＋…＋2×99－199 ＝199×99299＝1；由2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪i 99－i －199－⎝ ⎛⎭⎪⎫i 992＋⎝⎛⎭⎪⎫i －1992 ＝2×199⎪⎪⎪⎪⎪⎪99－（2i －1）99，故I 2＝2×199×9899＋9699＋…＋299＋099＋299＋499＋…＋9899＝9 800992＝992－1992<1；I 3＝13⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·199－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·099＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·299⎪⎪⎪－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·199＋…＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·9999－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·9899＝13sin 2π·2499＋sin 2π·2599－sin 2π·7499－sin 2π·7599 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2π·2599－2sin 2π·7499>1. 故I 2<I 1<I 3. 答案：B11．在区间[0，2]上随机取两个数x ，y ，则xy ∈[0，2]的概率是( )A.1－ln 22B.3－2ln 24C.1＋ln 22D.1＋2ln 22解析：可设两个数为x ，y ，则所有的基本事件满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，所研究的事件满足0≤y ≤2x ，如图总的区域是一个边长为2的正方形，它的面积是4，满足0≤y ≤2x 的区域面积是4－∫21⎝⎛⎭⎪⎫2－2xd x ＝4－(2x －2ln x)21 ＝4－[(4－2ln 2)－(2－2ln 1)] ＝2＋2ln 2，则0≤xy ≤2的概率为p ＝2＋2ln 24＝1＋ln 22. 答案：C12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，A 1，A 2是实轴顶点，F 是右焦点，B(0，b)是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1，2)，使得△P i A 1A 2(i ＝1，2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 解析：由题意，F(c ，0)，B(0，b)，则直线BF 的方程为bx ＋cy－bc ＝0.∵在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1，2)，使得△P i A 1A 2(i ＝1，2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，∴bcb 2＋c2＜a ，即b 2c 2b 2＋c2＜a 2， ∴11c 2＋1b 2＜a 2，整理得e 4－3e 2＋1＜0，∵e ＞1，∴e ＜5＋12，∵a ＜b ，∴a 2＜c 2－a 2，∴e ＞2， ∴2＜e ＜5＋12，故答案为D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝x ＋2y ＋1的最大值是______．解析：可行域是由三条直线x ＋y ＝1，x －y ＝－1，2x －y ＝2的交点围成的三角形，平移直线z ＝x ＋2y ＋1可知当过直线x －y ＝－1，2x －y ＝2的交点(3，4)时目标函数z ＝x ＋2y ＋1取得最大值12.答案：1214．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝3，点M 是梯形ABCD 内(包括边界)的一个动点，点N是CD 边的中点，则AM→·AN →的最大值是______．解析：AM→·AN →＝|AM →||AN →|cos A ＝5|AM →|cos A ，|AM →|cos A 可看作AM→在向量AN →上的射影，结合图形可知当点M ，C 重合时，射影最大，此时AM →·AN →取得最大值．在△AMN 中AN ＝5，AM ＝22，CN ＝1，∴cos A ＝310.∴AM →·AN →＝5×22×310＝6. 答案：615．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝______．解析：由a 2a 3＝2a 1得a 1q 3＝2，∴a 4＝2.a 4与2a 7的等差中项为54，∴a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∵a 7＝a 4q 3，∴q ＝12，∴a 1＝16， ∴S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝31. 答案：3116．一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于______．解析：根据新定义，x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1，这与条件矛盾，那么x 4，x 5，x 6，x 7必有一个是错误的；又x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，这与条件吻合，可以排除x6，x7，即x4，x5必有一个是错误的；又x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1，这与条件矛盾，那么只能x5是错误的，故k＝5.答案：5。

高三数学试题-限时训练2-教师版

2025届高三数学选填（2）命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-≤，{},B t t =-，且B A ⊆，则实数t 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[]3,3-C ．[)(]1,00,1-D ．[)(]3,00,3- 【答案】C【分析】利用集合间的关系，建立不等式求解，注意集合元素的互异性．由B A ⊆，得1313t t t t -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪≠-⎩，解得110t t -≤≤≠且．故实数t 的取值范围是[)(]1,00,1-⋃.故选：C.2.已知椭圆()222:10x C y a a +=>，则“2a =”是“椭圆C的离心率为2”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由椭圆C 的方程()22210x y a a+=>，可得：当1a >时，可得c =c e a ==，由2e ==2a =；当01a <<时，可得c =，此时椭圆的离心率为1ce ==由e =，解得12a =，所以所以2a =是椭圆CA.3．某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为（）A ．240B ．360C ．480D ．640【答案】B【详解】每项限报一人，且每人只报一项，因此可由人选项目.第一个人有6种不同的选法，第二个人有5种不同的选法，第三个人有4种不同的选法，第四个人有3种不同的选法，由分步计数原理得报名方法共有6543360⨯⨯⨯=种.故选：B4．已知0,0x y >>，且满足341x y+=，则（）A ．xy 的最小值为48B ．xy 的最小值为148C ．xy 的最大值为48D ．xy 的最大值为148【答案】A【详解】由题意得234()xy xy x y =+，所以2291624()xy xy x y xy=++，所以9162424y x xy x y =++≥=48，当且仅当916y x x y =时取等，此时6,8x y ==，故A 正确.故选：A5．甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为23，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（）A ．3281B ．827C ．1681D ．12【答案】B【详解】因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有23C 种情况，所以甲通过4局比赛获得胜利的概率是2232128C ×=33327⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.6．设202620250.2026log 2025,log 2024,log 0.2025a b c ===，则（）A ．c<a<bB ．b a c <<C ．b a c <<D ．a b c<<【答案】B【详解】由对数函数的性质得202620262026log 1log 2025log 2026<<，所以01a <<，同理，01b <<，而0.20260.2026log 0.2025log 0.20261c =>=，所以c a >，,c b >220262025log 2025ln 2025ln 2024(ln 2025)log 2024ln 2026ln 2025ln 2024ln 2026a b ==÷=⋅，而(22ln 2024ln 2026ln 2024ln 20262+⎛⎫⋅<= ⎪⎝⎭2220242026ln (ln 2025)2+⎛⎫<= ⎝⎭，所以1>ab，即b a <，综上，.b a c <<故选：B.7．已知函数22,1()1,12x ax x f x a x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．4(0,)5B ．4(0,]5C ．(0,1)D ．(0,1]【答案】B【详解】由22,1()1,12x ax x f x a x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的增函数，得1021122a a aa ⎧⎪≤⎪⎪>⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，解得405a <≤，所以实数a 的取值范围是4(0,]5.故选：B8．已知ABC 三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且π3A =，4a =.则下列结论不正确的是（）A ．ABC面积的最大值为B．cos cos b C c B +=C ．BA BC ⋅的最大值为8+D ．cos cos B C 的取值范围为()1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【详解】对于A 选项，因为π3A =，4a =，由余弦定理和基本不等式可得22222162cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当4b c ==时，等号成立，故11πsin sin 16223ABC S bc A bc bc ==⨯=△ABC的面积的最大值为A 正确；对于B 选项，222222cos cos 422a b c a c b b C c B b c a ab ac +-+-+=⋅⋅==，故B 错误；对于C选项，由正弦定理可得sin sin c a C A ==则sin 3c C =，因为π3A =，则2π03B <<，所以ππ5π2333B <+<，由平面向量数量积的定义可得cos 4cos cos BA BC ca B c B C B ⋅=== 323π32313cos sin cos cos 33322B B B B B ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2sin cos 16cos 28cos 2133B B B B B =+=++π28cos 282883B B B ⎛⎫=++=++≤+ ⎪⎝⎭当且仅当ππ232B +=时，即当π12B =时，等号成立，故BA BC ⋅的最大值为83+，故C 正确；对于D 选项，因为π3A =，则2π03C <<，由题意可知，cos 0C ≠，所以，ππ2π0,,223C ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π1cos cos cos 1322cos cos cos 2c C CB C C C C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-,当π02C <<时，tan 0C >，则cos 11cos 22=->-B C C ；当π2π23C <<时，tan C <cos 1312cos 222=-<--=-B C C .综上所述，cos cos B C 的取值范围为()1,2,2∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若方程230x x λ++=在区间()2,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（）A ．0B ．14C ．54D ．94【答案】BCD【详解】由题意23x x λ=--在()2,0-上有解，()223992,0,30,244x x x x λ⎛⎫⎛⎤∈-∴=--=-++∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：BCD ．10．某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．a 0.0500.0100.001ax 3.8416.63510.828A ．可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多B ．用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65C ．根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关D ．根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关【答案】AC【详解】由题意可知：抽取的女生人数为12001808012001500⨯=+，抽取的男生人数为150018010012001500⨯=+，对于女生：热爱阅读的人数为800.864⨯=，不热爱阅读的人数为800.216⨯=；对于男生：热爱阅读的人数为1000.550⨯=，不热爱阅读的人数为1000.550⨯=；对于选项A ：因为6450>，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，故A 正确；对于选项B ：其热爱阅读的频率为64500.63180+≈，用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B 错误；对于选项CD ：根据题意可得列联表性别热爱阅读合计是否女生641680男生5050100合计11466180零假设0H ：学生是否热爱阅读与性别无关，则220.01180(64501650)17.225 6.6358010011466x ⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯χ，根据根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可知零假设0H 不成立，所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C 正确，D 错误；故选：AC.11．已知函数2cos π()1xf x x x =-+，则下列判断正确的是（）A ．3(4)f x <B ．|()|1||f x x ≤C ．函数()y f x =的图象存在对称轴D ．函数()y f x =的图象存在对称中心【答案】ABD【详解】对于选项A ：因为cos π1x ≤，当2π,Z x k k =∈时等号成立；221331244x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当12x =时等号成立，则两个式子中等号不会同时成立，所以由不等式性质可得2cos π4()13x f x x x =<-+；故选项A 正确；对于选项B ：显然0x ≠.因为当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，此时111x x +-≥；当0x <时，12x x +≤-，当且仅当=1x -时等号成立，此时113x x+-≤-；所以111x x +-≥，则21111x x x x x-+=+-≥.又因为cos π1x ≤，所以21cos πx x x x-+≤，即2cos π11x x x x ≤-+，故选项B 正确；对于选项C ：因为2cos π()1x f x x x =-+，()()()()()222cos π2cos π2(2)41421221a x a x f a x x a x a a a x a x ---=--+-+---+，R a ∈.显然()(2)f x f a x ≠-，所以函数()y f x =的图象不存在对称轴，故选项C 错误；对于选项D ：因为()()()22cos π1cos π()(1)01111x x f x f x x x x x -+-=+=-+---+，所以函数()y f x =的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，故选项D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知22252259x x ax ax c x x ++≤++≤++对任意x ∈R 恒成立，则a c +=．【答案】172/8.5【详解】由225259x x x x ++=++，可得2x =-，从而7c =，再由22527x x ax ax ++≤++，222259ax ax c x x ++≤++，对任意x ∈R 恒成立，利用判别式法求解，得解.令225259x x x x ++=++，解得2x =-，故7447a a c ≤-+≤，即7c =，则22527x x ax ax ++≤++，所以()()212120a x a x -+-+≥对任意x ∈R 恒成立，所以()()210,Δ21810,a a a ->⎧⎪⎨=---≤⎪⎩即()21,230,a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得32a =，同理222259ax ax c x x ++≤++对任意x ∈R 恒成立可得32a =，综上得32a =，则17.2a c +=故答案为：17213．统计学中，协方差(,)Cov x y 用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据12,,,n x x x 的平均值为x ，另一组数据12,,,n y y y 的平均值为y ，则协方差()()11(,)ni i i Cov x y x xy y n ==--∑.某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x 、物理成绩y 如下表：序号12345678910数学成绩i x 135124118107958774635344物理成绩iy 97788283776567524445已知10166840i i i x y ==∑，则(,)Cov x y =.【答案】474【详解】由已知得1(135124118107958774635344)9010x =+++++++++=，1(97788283776567524445)6910y =+++++++++=，则()()1011(,)10i i i Cov x y x x y y ==--∑()()()()()()112210101[]10x x y y x xy y x x y y =--+--+⋅⋅⋅+--()()112210101210121011010x y x y x y x x x y y y y x x y =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++⋅⎡⎤⎣⎦10101111(101010)668490694741010i i i i i i x y x y x y x y x y x y -==-⋅-⋅+⋅=-⋅=-⨯=∑∑.故答案为：474.14．已知双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .过点2F 的直线与y 轴交于点B ，与E交于点A ，且2232F B F A =-，点1F 在以AB 为直径的圆上，则E 的渐近线方程为.【答案】5y =±【详解】依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，因为点1F 在以AB 为直径的圆上，则190AF B ∠= ，在Rt 1ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-(舍去)，所以12214,2,3AF a AF a BF BF a ====，则||5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，12cos F AF ∠=222164442425a a c a a +-=⨯⨯，整理得2259c a =，则()22259a b a +=，则2254b a =，则2245b a =，故E的渐近线方程为5y =±.故答案为：5y =±.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点3,2⎛ ⎝⎭，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.【答案】(1)22163x y -=(2)是定值，定值为23【详解】（1）因为2c ，2a ，2b 成等差数列，所以2222a c b =+，又222c a b =+，所以222a b =.将点⎛ ⎝⎭的坐标代入C 的方程得2269412b b-=，解得23b =，所以26a =，所以C 的方程为22163x y -=.（2）依题意可设PQ ：3x my =+，由223163x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222630m y my -++=,设()11,P x y ，()22,Q x y ，12y y >，则1221226232m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩.1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎝⎭，122,2y y N +⎛⎫⎪⎝⎭，则1221122112121222222211PN QN y y y y y y y y k k k kx x my my -----=-=-=---++()()()121221212221y y m y y m y y m y y ⎡⎤-++⎣⎦=⎡⎤+++⎣⎦，而()()12121322S OF y y y y =⋅-=-，所以()()121221212231m y y k k S m y y m y y ++-=⎡⎤+++⎣⎦22222222624422663363122m m m m m m m m -+---===--⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭，所以12k k S -是定值，定值为23.。

高三数学填空选择专项训练(3)

高三数学填空选择专项训练(3)一、选择题：每小题5分，共60分.1．直线032=+-y x 的倾斜角所在的区间是（ B ）A ．)4,0(πB ．)2,4(ππ C ．)43,2(ππD ．),43(ππ 2．不等式0)12(|1|≥-+x x 的解集为（ C ）A ．}21|{≥x xB ．}211|{≥-≤x x x 或 C ．}211|{≥-=x x x 或 D ．}211|{≤≤-x x3．锐角ααααtan ,41cos sin 则满足=⋅的值为（ C ）A ．32-B ．3C ．32±D ．32+4．若双曲线1922=-m y x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离（ C ） A ．2B ．14C ．5D ．25 5．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于（ D ） A ．0B ．32C ．1D ．26．已知二面角βα--l 的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ C ） A ．b ∥α，c ∥βB ．b ∥α，c ⊥βC ．b ⊥α,c ⊥βD ．b ⊥α，c ∥β7．设F 1，F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且21PF ⋅=0，则 ||||21PF PF ⋅的值等于（ A ） A ．2B ．22C ．4D ．88．已知函数)(1x f y -=的图象过（1，0），则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点（ A ） A ．（1，2） B ．（2，1） C ．（0，2） D ．（2，0） 9．运算机是将信息转换成二进制进行处理的，所谓二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示=1=二进制的数，将它转换成十进制数的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数216)111(位转换成十进制数是（ B ） A.217－2 B.216－1 C.216－2 D.215－110．（理）从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ B ） A ．小 B ．大 C ．相等 D ．大小不能确定（文）已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1，3），则b 的值为（ A ） A ．3B ．－3C ．5D ．－511．(理)如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路， ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5:1:2:3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ B ） A ．P 点 B ．Q 点 C ．R 点 D ．S 点（文）一位老师让两位学生运算数,,x y z 的算术平均数，学生甲如此求：先求x 与y 的平均数，再求那个平均值与z 的平均值，学生乙的算法是：先求,,x y z 的和，再求那个和除以3的商，假如学生甲和乙求出的数据分别为S 和T ，且x y z >>，则S 和T 的大小关系是（ B ）A ．T S =B ．T S <C ．D ．不确定 12．函数)1(-=x f y 的图象如右图所示，它在R 上单调递减.现有如下结论： ①1)0(>f ； ②1)21(<f ；③0)1(1=-f；④0)21(1>-f其中正确结论的个数是（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共有4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．（理）设(1)()3,(,)i a i bi a b R +-=+∈，则a b +=_____3_______。

限时训练(42)答案高中数学(理科)《30分钟选填》复习专用卷

限时训练（四十二）答案部分一、选择题题号123456789101112答案B C D A D C C D C C D D 二、填空题13.0.8π15.332321 14.16.310分析部分1.分析A x1剟x3,B1,0,1,则A B1,0,1.应选B.2.分析命题p:xR,2x2x1,则命题p:x R,2x,2x 1.应选C.3.分析画出可行域如下图.设z3x y,得y z3x,平移直线yz3x.由图可知,当直线y z3x 经过点B时,直线y z3x的截距最大.由3x y01,3,此时z最大,z3136,因此3x y的最大值为 6. x y=4,得B应选D.y3x-y=0C(0,4)B(1,3)A(0,0)x 3x+y=z3x+y=0x+y=44.分析复数1010101013i13i,则10的共20173i i3i13i13i13i20173i i i轭复数为1 3i.应选A.5.分析由m,,能够推出m∥或m.因此充足性不建立.由m ∥ ,,推不出m.因此必需性不建立.因此“m”是“m ∥”的既不充足也不用要条件. 应选D.6.分析履行程序框图.若输入m 4,n6，进入循环.i 1 , a 4 1 4,4不可以被6 整除,知足循环条件;i 2 , a 4 28,8不可以被 6整除,知足循环条件;i 3 , a 4 3 12, 12能被 6 整除,不知足循环条件.结束循环.输出a12 .应选C.7.分析令x2,则yln2 10,清除选项A,D;令x,则lnx, 441 lnx,ylnx 10,清除选项B.应选C.x 28.分析设双曲线C 的标准方程为y 2 x 2 1.a 2b 2已知抛物线x 24y 的焦准距为 p 2, 则双曲线C 的实轴长 2a 2,得a1 .又双曲线C 的一条渐近线方程为y2x ,则b2,得b1 .故双曲线C 的标准方程为a2y 2 4x 21.应选D.9.分析由已知条件,可得PX 1p , PX21 p p ,PX3232,1pp1p1p则EXP X1 2P X2 3PX3p 2 3p 3 1.75 ,解得p5 或2p 1 .又由p0,1,因此p0,1.应选C.2210.分析f x3sin x0,π.22T 2由于B,C 是该图像上相邻的最高点和最低点，且BC 4，因此242,即3222π .由于A 1,0为fx23π42,得图像的对称中心,因此23π1kπ,k Z,又ππx3sinππ.23,因此,因此f x6 262令2kππ剟πxπ2kππ,k Z,得4k2剟x4k4,k Z,故f x的单一递加226233区间是4k 24,k Z.应选C.,4k3311.分析如下图,由P,B,C三点共线,则有x y1,x,y1,2(由于33AP AB BP AB BD DP AB 1BC DE,因此BC AC AB, 3DE 1BC,因此AP AB1BC DE AB1AC AB23AB1AC, 333322,10剟1,由此可得x,y的范围).故xyx1x x11.应选D.2494ABD P EC12.分析由已知3fx xf x ln x1,因此3x2fx x3fx x2lnx10x0.设g x x3f x,则g x x3f x0,即函数g x在0,上单一递加,由x3x2017270,且f31,因此x33 2017f2017f x20173f3,即g x2017g3,因此x20173,解得x2020,因此原不等式的解集为2020,.应选D.13.分析随机变量X听从正态散布N3,4,因此曲线对于x3对称.由于PXm0.2因此PX6mPXm1PXm10.20.8故填,.0.8.14. 分析由于ab cb , 可得 a bc abcbc,整理可得cabcb 2c 2 a 2 bc .由余弦定理b 2c 2 a 2bc 1 0,π ,因此Aπ π ,可得cosA 2bc2bc.又A.故填.23315.分析如下图,复原该几何体为四棱锥 BACED ,此中CE 底面ABC , AD 底面ABC ,且四边形ACED 为矩形,△ABC 为等腰三角形,AC AB ,EC DABC2, AC AB2.则S=S 四边形ACEDS △ABC S △DAB S△ECBS△EDB121 1 1222226 3 3 23.2222 22 2故填3 3 2 3 .E DCBA16.分析由tan2,抛物线y 22px p 0 的焦点为F sincos ,0 ,因此F 2,0 ,因此p 4l 与抛物线交于 A,B 两点，AB4 ，设.又直线l 经过点F ,55Ax 1,y 1 ,Bx 2,y 2,则x 1x 2p AB ,即x 14 4 x 1x 28 x 2,因此,则线段525AB 的中点到直线x1 的距离为 81 21 .故填 21.25 2 10 10。

高三数学填空选择专项训练(2)

高三数学填空选择专项练习〔2〕一、选择题〔每题5分,共60分〕1．集合P ={－1,0,1},Q ={y ︱y =sin x ,x ∈P },那么P ∩Q 是〔 C 〕 A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{0} D ．{1} 2．以下求导正确的选项是 BA ．211)1(xxx +='+ B ．2ln 1)(log 2x x =' C ．)3('x =3x ·log 3e D ．)cos (2'x x =－2x sin x3．给定性质〔1〕最小正周期为π；〔2〕图象关于直线3π=x 对称,那么以下四个函数中,同时具有性质〔1〕、〔2〕的是〔 D 〕A ．)62sin(π+=x y B ．)62sin(π+=x y C ．|sin |x y = D ．)62sin(π-=x y4．下表是某工厂产品的销售价格表某人有现金2900元,最多可购置该产品的件数为〔 B 〕A ．108B ．107C ．97D ．96 5．在平面上,点A (2,1),B (0,2),C (－2,1),O (0,0)．给出下面的结论：①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确．．结论的个数是B A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个6．对于抛物线0200244x y y x M x y C <=）满足条件：，（，若点：.那么称点），（00y x M 在抛物线的内部.当点），（00y x M 在抛物线C 的内部时,直线)(200x x y y l +=：与抛物线C的关系是〔D 〕A ．恰有一个公共点B ．恰有两个公共点C ．有一个或两个公共点D ．没有公共点7．如图,在棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 11的中点,那么点B 到平面AMN 的距离是〔 D 〕 A ．29 B ．3 C ．556 D ．28.在等差数列{n a }中,假设,24111073=-+a a a a 〕A ．54B ．168C ．117D ．218=1=abc9.在数列{})2()3(21.2111≥+==--n a a a a a n n n n 且中，.假设n n a ∞→lim 存在,那么n n a ∞→lim 的值等于AA ．3B ．3-C ．3±D ．6 10．假设1a >,那么不等式22112log 2log xx x aa a a x x x--+>+-的解集〔 B 〕： A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(1,2)D ．(1,)+∞11.〔理〕在.002)(12≠=++mn n m b a bx ax n m ，均为正实数，且，中，假设它的展开式中系数最大的项是常数项,那么ba的取值范围是〔 C 〕 A ．)58[∞+， B ．]490(， C ．]4958[， D ．]580(，〔文〕两点M 〔－2,0〕,N 〔2,0〕,点P 满足PN PM ⋅=12,那么点P 的轨迹方程为BA ．11622=+y x B ．1622=+y x C ．822=-x yD ．822=+y x12．假设⎩⎨⎧x ≤2y ≤2x ＋y ≥2,那么2x ＋y 的取值范围是CA .(2,6)B .(1,3)C .[2,6]D .[1,3] 二、填空题〔每题4 分,共16分〕 13．函数),1((12+∞-∈+=x xxy 〕的图象与其反函数图象交点坐标为 (0,0),(1,1) . 14．如下图的开关电路中,开关a,b,c 开或关的概率都为21,且彼此相互独立. 那么灯亮的概率是85 15．有一密码为□6□3□1□2□0□8的手提式保险箱,现在显示的号为□0□8□0□1□2□7,要翻开保险箱,至少需要旋转 14 步.(每个旋钮上显示的数字可以为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的任意一个,只要一个旋钮上转出一个新数字就算一步.逆转,顺转都可以).16．过双曲线12222=-b y a x 的右焦点F 〔c,0〕的直线交双曲线于M 、N 两点,交y 轴于P点,NFPNMF PM +.222b a 类比双曲线这一结论,在椭圆12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕中NFMF +是定值__.222b a -__ 班级_____________姓名_____________1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBDBBDDCABC(B)C。

选填专练5——高三二轮数学复习课时作业

zi＝－32＋12i，所以zi在复平面内对应的点为－32，12，位于第二象限．
数学(理)
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3．若在区间[－1,1]内随机取一个实数t，则直线y＝tx与双曲线
x2 4
－y2＝1的
左、右两支各有一个交点的概率为( B )
1 A.4
B．12
1 C.8
D．34
解析双曲线的渐近线斜率为±12，则|t|<12，即－12<t<12，故所求概率为P＝12，故
考前冲刺组合特训
选填专练5
数学(理)
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一、选择题 1．(2022·山东烟台三模)若集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x2－2x<3}，则(∁RA)∩B＝ ( B) A．{x|2≤x<3} B．{x|－1<x<2} C．{x|2<x<3} D．{x|－1<x≤2}
数学(理)
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解析由x2－2x<3，即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|x2－2x<3}＝ {x|－1<x<3}，又A＝{x|x≥2}，所以∁RA＝{x|x<2}，所以(∁RA)∩B＝{x|－1<x<2}．故选B.
数学(理)
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11．(2021·合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B
－bcos
A＝2c，则acos
acos B A＋2bcos
B的最大值为(
C
)
A. 2
B．
3 2
6 C. 4
D．2 3 3
数学(理)
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解析 ∵acos B－bcos A＝2c，∴2(sin Acos B－sin Bcos A)＝sin C＝sin(A＋B)＝ sin Acos B＋sin Bcos A，

高考数学复习《30分钟选填》 (理科版) 限时训练(20)答案

限时训练（二十）答案部分一、选择题二、填空题10. 3- 11. 1 13.1614. []1,1-解析部分1. 解析()3sin240sin18060sin60=+=-=-.故选D.2. 解析由题可得216914b-=，解得23b=，所以2227c a b=+=，所以cea==. 故选C.3. 解析1x=，2y=，220z=<→2x=，2y=，420z=<→2x=，4y=，820z=<→4x=，8y=，3220z=>→输出32z=.故选B.4. 解析因为x∈R时，20x…，所以命题p是假命题；当tan0α=或tan0β=时，都有()tan tan tanαβαβ+=+，所以命题q是真命题，所以()p q⌝∧是真命题.故选C.5. 解析由题可得{}15B x x=-<<，若A B⊆，则有2125aa--⎧⎨+⎩……，解得13a剟. 故选A.6. 解析因为143n na a+=+，所以()1141n na a++=+.又因为14na+=，所以{}1na+是以4为首项，4为公比的等比数列，所以1214442n n nna-+=⨯==，所以221nna=-．故选D.7. 解析令()0f x…，得2230x x-++…，解得1x-…或13x-剟，所以当[]1,3x∈-时，()00f x…，根据几何概型知成立的概率()()311442P--==--. 故选B.8. 解析由()3233f x x ax bx =++可得()2363f x x ax b '=++.因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以()0f x '=有两个根1x ，2x ，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈.又因为()f x '的图像开口向上，所以有()()()()10001020f f f f '-⎧⎪'⎪⎨'⎪⎪'⎩…………，即2102144a b b a b a b -⎧⎪⎪⎨+-⎪⎪+-⎩…………，对应的可行域如图阴影部分所示，所以点(),a b 在平面aOb 上所构成区域的面积111111121121222222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.故选D.9. 解析 221i i i 1i i iz --===--，所以z =10. 解析 ()()2,11,1x y +=++=-a b ，所以2111x y +=⎧⎨+=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以3x y +=-.11. 解析由题意可得3600b a =，所以33360010800b a a =⨯=，所以这辆车的行驶速度/h x ==.12. 解析曲线1C 和2C 的直角坐标系方程分别为20x y --=和28x y =，联立方程2208x y x y--=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x -+=，解得4x =，所以1C 和2C 的交点只有1个.13. 解析由三视图可知该几何体是底面为直角三角形，高为1的倒置的三棱锥，将其放入4正方体中如图所示，所以111111326V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.14. 解析解法一：如图所示，在圆O 上任取一点N ，连接ON ，在OMN △中，由正弦定理得sin sin ON OMOMN ONM =∠∠，即sin sin ON ONM OM ONM OMN∠==∠∠.又因为3π0,4ONM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以(]sin 0,1ONM ∠∈，故(OM ∈，即2012x +…，得011x -剟，所以0x 的取值范围是[]1,1-.解法二：过点M 作圆O 的切线，切点为Q ，连接OQ ，如图所示，则)45,90OMQ ⎡∠∈⎣，所以2sin sin 45OMQ ∠=….又在Rt OMQ △中，1sin OQ OMQ OM OM ∠==，所以12OM …，即OM …11x -剟，即0x 的取值范围是[]1,1-.1CA。

高考数学复习《30分钟选填》 (理科版) 限时训练(2)答案

限时训练（二）答案部分二、填空题 13. 1- 14.()1312n -15.16 16.32 解析部分1. 解析解法一：对于集合M .解不等式211x>-，得11x -<<，则有{}11M x x =-<<.所以有{}11M x x x=-R 或剠ð.对于集合N ，解不等式210x -…，得210x -…，则11x -剟，则有{}11N x x =-剟.用数轴表示可得(){}1,1NM =-Rð.故选C.解法二（特殊值检验法）：因为0M ∈，则有()0M ∉R ð. 由此排除A ，B 选项；又因为1M -∉，则()1M -∈R ð. 且1N -∈，从而有()1NM -∈Rð，排除D 选项. 故选C.2.解析解法一（用除法公式）：()()()1i i1i 1i 1i 2a a a a ++==--+. 又因为1i 1i a b =+-，所以i i 1i 222a a a ab +=+=+. 所以122a a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，则2i z =+.其共轭复数2i z =-.故选B.解法二（用乘法公式）：由1i 1iab =+-，得()()()()1i 1i 11i a b b b =+-=++-+，所以110a b b =+⎧⎨-+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，则2i z =+.其共轭复数2i z =-.故选B.3.解析解法一：因为33log log a b >，所以0a b >>. 对于A ，则有11a b<.故A 错；对于B ，0a b ->，但a b -不一定大于1，所以()3log 0a b ->不一定成立. 故B 错；对于C ，因为a b >，则有15a ⎛⎫< ⎪⎝⎭15b ⎛⎫< ⎪⎝⎭13b⎛⎫⎪⎝⎭成立.故C 对；对于D ，因为0a b ->，则31a b ->，所以D 错.故选C.解法二（特殊值法）：取2a =，1b =代入可排除A ，B ，D.故选C.4.解析因为()()22281cos π2cos212sin 121399ααα⎛⎫-=-=--=-+⨯=-+=- ⎪⎝⎭.故选A.5. 解析由几何体的三视图，画出其立体图形P ABCD -，如图所示.由题可知，顶点P 在底面上的投影是边CD 的中点，底面是边长为4AB =，2BC =的矩形. PCD △=PCD △的面积为142⨯=两个侧面PAD △，PBC △的面积相等为12332⨯⨯=. 侧面PAB △的面积为1462⨯=.所以四个侧面中的最大面积为6.故选C.6.解析由程序框图可知逐次循环结果分别为：①3S =，2n =；②9S =，3n =；③18S =，4n =；④30S =，5n =；当第④次循环后3024S P =>=，此时结束循环.从而输出30S =.故选A. 评注如果P 的值很大，则要找到S 与循环次数n 的关系即()312n n S +=. 7.解析解法一(几何法)：根据题意作图，如图所示.2OC =+a b ，2BA =-a b .因为2=a b ，所以四边形AOBC 是一个菱形，则其对角线OC BA ⊥，即()()22+⊥-a b a b .故选D. 解法二：因为()()()22222224+-=-=-a b a b a b a b ，由已知2=a b ，则22420-=a a .所以()()22+⊥-a b a b .故选D.8.解析根据题意作图，如图所示.设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，化为标准形式后得()3,0C ，设弦AB 的中点为(),M x y ，由AM BM =，得CM AB ⊥. 取OC 的中点为D ，则1322DM OC ==. 所以M 点在以3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以32为半径的圆上.D C BAP243322B此圆的方程为2230x y x +-=.联立方程组222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得53x =，y =. 故弦AB 的中点M 的轨迹方程为2230x y x +-=533x ⎛⎫⎪⎝⎭剟.故选A. 9.解析作出满足不等式组的可行域D ，如图中阴影部分所示. 则()()42126112444x y x y y z x x x -+-+--⎛⎫===+ ⎪---⎝⎭.令14y z x -'=-，问题转化为求z '的最大值. z '的几何意义为：区域D 内的点(),x y 与定点()4,1P 连线的斜率，则可得最优解为()3,4A --，得max415347z --'==--.所以264x y z x +-=-的最大值为5127+⨯=177.故选A.10.解析解法一:连接11A C ，1DC ，如图所示，则11//AC A C . 又因为11A C ⊂平面11DA C ，所以//AC 平面11DA C . 于是AC 与1DA 的距离就转化为AC 与平面11DA C 的距离. 设所求距离为d ，由等体积法知1111A DA C C DA A V V --=. 则有111111133DA C DA A S d S C D ⋅=⋅△△，所以1111111DA A DA C S C D d S ⨯⋅====△△.故选B.解法一的图解法二的图解法二：连接11A C ，1DC ，1AB ，1B C ，如图所示. 因为11//AC A C ，11//DA CB ，所以平面111//AC D B AC 平面. 于是AC 与1DA 的距离转化为平面11AC D 与平面1B AC 的距离. 而这两个平面间的距离为体对角线的13，所以3d ==. 故选B. 11.解析因为()πcos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，其最大值为2，可知2y =与()f x 两个相邻公共点之间的距离就是一个周期，C BAC 1A 1B 1DD 1C BAC 1A 1B 1DD 1于是2π2πT ω==，即1ω=.所以()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令()ππ3π2π,2π622x k k k ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ，得()π4π2π,2π33x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .故选C. 12.解析对于①，只有12y x =和3y x =在()0,+∞上是增函数.所以①错；对于②，满足题意的情况有三种.如图所示.于是②错；对于③，因为()f x 为奇函数，所以图像关于原点对称，而()1f x -的图像是()f x 的图像向右平移1个单位得到的，所以()1f x -的图像关于点()1,0A 对称，所以③对；对于④，因为22132x x -⎧⎪⎨=⎪⎩…有解312log 2x =+，且()321log 12x x >⎧⎪⎨-=⎪⎩有解1x =+所以()12f x =有两个实数根，④对. 综上可知，正确的命题有③和④两个.故选B.评注对于④的判断也可画出图像，结合函数值域和单调性来判断.画图可得()f x的图像0<n<m<11<n<m与12y =有2个交点，从而④正确. 13.解析由()()5555551061C 1C n n n n n T ax a x x ---⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令100n -=，得10n =. 所以()55556101C 252252T a a =-=-=.所以1a =-.14.解析由已知21322121a S a S =+⎧⎪⎨=+⎪⎩①②，由-②①，得()3221222a a S S a -=-=，即323a a =. 得公比323a q a ==，将3q =代入①，得11321a a =+，得11a =.所以()13131312n n n S ⨯--==-. 15.解析依题意知()1,1C ，正方形ABCD 的面积为4. 所围成区域（图中阴影部分）的面积为：()121d x x -=⎰3111210333x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以所求概率为21346P ==.16.解析依题意作图，如图所示.由双曲线的方程，可得抛物线的焦点为()4,0F ，从而得()4,0E -，8p =，则抛物线方程为216y x =.设A 在准线:4l x =-上的投影为A '，则由抛物线定义有AA AF '=.已知AE =，从而得AE '=. 于是在Rt AA E '△中，得45EAA AEO '∠==∠.所以直线EA 的方程为y =+4x .由2+416y x y x=⎧⎨=⎩，消去x 得216640y y -+=，即()280y -=，得8A y =，所以11883222AEF A S EF y =⋅=⨯⨯=△.。

高三数学试题与解析-选填限时训练9解析版

2024年武汉外国语学校高三上学期数学限时训练9命题人：一、单选题1．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A ．2,y x u v ==B ．22,()y x s t ==C ．21,11x y m n x -==+-D ．211,1y x x y x =+⋅-=-2．若复数z 满足()1i 1i z -=+，则4z =（）A ．1B ．-1C ．iD ．163．若ln 10,ln2ln5,ln 4e a b c ==⋅=，则a b c 、、的大小关系是（）A ．c a b <>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A-6．已知点P 在抛物线M ：24y x =上，过点P 作圆C ：()2221x y -+=的切线，若切线长为27，则点P 到M 的准线的距离为（）A ．5B ．29C ．6D ．307．设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*N n ∈，2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30︒方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是A ．(272)a -万元B ．5a 万元C ．(271)a +万元D ．(233)a +万元二、多选题9．函数()()3R mf x x m x=-∈的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．有一组样本数据0,1,2,3,4，添加一个数X 形成一组新的数据，且(){}()5C 0,1,2,3,4,532k P X k k ==∈，则新的样本数据（）A ．第25百分位数不变的概率是316B ．极差不变的概率是3132C ．平均值变大的概率是12D ．方差变大的概率是73211．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2），则（）A ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满B ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半C ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PD ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 三、填空题12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=.13．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOC α∠=.若1BC =，则233cos sin cos 2222ααα--的值为.14．对有(4)n n 个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,,}m m n ++ （m 是给定的正整数，且22m n - ），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P =；所有(1)ij P i j n < 的和等于.限时训练答题卡姓名：______________ 123456789101112._______________13.________________14.________________四、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD-中，AC与BD交于点O，点P在平面ABCD内的投影为点O，若BCD△为正三角形，且12AB AD AC==，PO OC=．(1)证明：AC⊥平面PBD；(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．参考答案：题号12345678910答案A ADCCCCBABDBCD题号11答案ACD1．A【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.【详解】对于A ，y x =和u =的定义域都是R ，对应关系也相同，是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，函数y =R ，函数2s =的定义域为[0,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故选项B 错误；对于C ，函数211x y x -=-的定义域为{|1}x x ≠，函数1m n=+的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数，故选项C错误；对于D ，函数y ={|1}x x ≥，函数y =(,1][1,)∞∞--⋃+，定义域不同，不是同一个函数，故选项D 错误，故选：A .2．A【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解法一：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()()()i 1i i 1i a b a b b a +-=++-=+，解得0,1a b ==，所以i z =，所以41z =，解法二：因为()1i 1i z -=+，所以()()241i (1i)2ii,11i 1i 1i 2z z ++=====--+，解法三：方程两边同时平方，有()22i 2i z ⋅-=，所以241,1z z =-=，故选:A.3．D【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较,ac 的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较,a b 的大小，可得结论.【详解】ln4e ln1022c a ==>==，而(()22222ln2ln5ln104ln2ln5244a b +⋅⎛⎫===>= ⎪⎝⎭，且0,0a b >>．所以a b >，故b a c <<．故选：D.4．C【分析】运用交集概念，结合向量的坐标运算计算即可.【详解】设()(){}(){}1113,41,2,R 342M a a λλλλ==+∈=++，，()(){}(){}22224,52,2,R 42,52N a a λλλλ==+--∈=--，令12123424252λλλλ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12012λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩.故(){}3,4.M N ⋂=故选：C.5．C【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论.【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A .故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.6．C【分析】根据点P 的位置以及切线长可解得P 点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果.【详解】设点2,4P P y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由圆的方程()2221x y -+=可知圆心()2,0C ，半径1r =；又切线长为PC =即2222294P P y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，解得220P y =，可得()5,P P y ；再由抛物线定义可得点P 到M 的准线的距离为516+=.故选：C 7．C【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若()22210n n n n n a a a a a q ++<⇔-=-<，当10a >时，由()2110a q -<得210q -<，解得10q -<<或01q <<，若10q -<<，则120a a q =<，此时()2210a q ->与已知矛盾；若01q <<，则0n a >，此时{}n a 为递减数列.当10a <时，由()2110a q -<得210q ->，解得1q <-或1q >，若1q <-，则210a a q =>，此时()2210a q ->与已知矛盾；若1q >，则0n a <，此时此时{}n a 为递减数列.反之，若{}n a 为递减数列，则2n n a a +<，所以“对于任意的*N n ∈，2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的充分必要条件.故选：C 8．B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出曲线PQ 的方程，再结合两点间距离公式求解作答.【详解】以线段AB 的中点O 为原点，射线OB 为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则(2,0),(2,0),A B C -，令点(,)E x y 为曲线PQ 上任意一点，则||||2||EA EB AB -=<，因此曲线PQ 是以点A ，B 为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支，其方程为221(0)3y x x -=>，显然点C 在曲线PQ 含焦点B 的区域内，设00(,)M x y ，01x ≥，有220033=-y x ，修建这两条公路的总费用||2||2W a MB a MC =+=+0(212a a x =-+0000(212|3|)[212(3)]5a x x a x x a ≥-+-≥-+-=，当且仅当003y x =≤≤时取等号，由0y =，且220033=-y x ，01x ≥解得0xM 时min 5W a =，所以修建这两条公路的总费用最低是5a 万元.故选：B【点睛】思路点睛：圆锥曲线上的点与一定点和焦点距离和的问题，借助两点间距离公式及点在曲线上进行化简变形即可推理求解.9．ABD【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，当0m >时，()2230mf x x x =+>'，函数()f x 在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故B 正确；当0m =时，()3f x x =，()230f x x ='>，所以在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故D 正确；当0m <时，当0x >时，()30m f x x x =->；当0x <时，()30mf x x x=-<；故A 正确；C 错误.故选：ABD.10．BCD【分析】根据题意得到X 取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数以及方差的概念与计算公式逐一判断即可.【详解】由题意得，()05C 103232P X ===，()15C 513232P X ===，()25C 1023232P X ===，()35C 1033232P X ===，()45C 543232P X ===，()55C 153232P X ===，对于B ，若极差不变，则0,1,2,3,4X =，概率为()215313P X -==，故B 正确；对于A ，由于525% 1.25,625% 1.5⨯=⨯=，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，所以1,2,3,4,5X =，第25百分位数不变的概率是()311032P X -==，故A 错误；对于C ，原样本平均值为0123425++++=，平均值变大，则3,4,5X =，概率为105113232322++=，故C 正确；对于D ，原样本的方差为()2222212101225⨯++++=，显然，当2X =时，新数据方差变小，当0,4,5X =时，新数据方差变大，当1X =时，新数据的平均数为0112341166+++++=，方差为222111111139001426666216⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-++-=<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，同理，当3X =时，新数据的方差为3902216<，所以方差变大的概率为()()()704532P X P X P X =+=+==，故D 正确.故选：BCD 11．ACD【分析】根据题意，设图1中水的高度为2h ，几何体的高为1h ，底面正方形的边长为b ，利用水的体积，得出1h 与2h 的关系，从而结合选项即可逐一判断．【详解】设图1中水的高度2h ，几何体的高为1h ，底面正方形的边长为b ；则图2中水的体积为2221212()b h b h b h h -=-，即222122()3b h b h h =-，解得1253h h =，所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B 错误．对于A ，往容器内再注入a 升水，水面将升高223h ，则22212533h h h h +==，容器恰好能装满，A 正确；对于C ，当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P 点，C 正确；对于D ，任意摆放该容器，当水面静止时，P 点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面都恰好经过点P ，D 正确．故选：ACD ．12．1e-/1e --【分析】对原函数求导，将e x =代入求(e)f '即可.【详解】由题设1()2(e)f x f x ''=+，则11(e)2(e)(e)e ef f f '''=+⇒=-.故答案为：1e-13．352sin sin 22223αααπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，由题意3AOB πα∠=-，再由三角函数的定义即可求sin AOB ∠.【详解】43,,1,55B OB ⎛⎫-∴=∴ ⎪⎝⎭ 圆O 的半径为1.又1BC =，BOC ∴为等边三角形.3AOB πα∴∠=-，且α为锐角.21cos 1sincossin 22222ααααα+-=-1sin sin sin 23AOB πααα⎛⎫=-=-=∠ ⎪⎝⎭.由三角函数的定义可得，3sin 5AOB ∠=.故答案为：35.【点睛】本题考查三角函数的定义，倍角公式和辅助角公式，公式的熟练运用是解决问题的关键.14．4()m n m -6【分析】利用组合的方法求出{1,2,,}m 中随机抽取2个元素所有抽法及从{1,2,,}m m n ++ 总随机抽取2个元素所有的抽法，结合古典概型的概率公式，即可求解.【详解】从{1,2,,}m 中随机抽取2个元素，共有2m C 种不同的抽法，从{1,2,,}m m n ++ 中随机抽取2个元素，共有2n m C -种不同的抽法，所以从每个子总体中个随机抽取2个元素组成样本所有的抽法，共有22m n m C C -⋅，从{1,2,,}m 中随机抽取2个元素，其中抽到1的抽法有1m -种方法，从{1,2,,}m m n ++ 中随机抽取2个元素，其中抽到n 的抽法有1n m --种方法，由古典概型的概率计算公式，可得1nP 22114()m n mm n m C C m n m ----=⋅=-.当,{1,2,,}i j m ∈ 时，21ij mP C =，而从{1,2,,}m 中选两个数的不同方法数为2m C ，则ij P 的和为1；当{1,2,,},i m m n j ++∈ 时，同理可得ij P 的和为1；当{1,2,,},{1,2,,}m n i j m m ∈∈++ 时，4()ij P m n m =-，而从{1,2,,}m 中选取一个数，从{1,2,,}m m n ++ 中选一个数的不同的方法数为()m n m -，则ij P 的和为4，所以1146ij P =++=.故答案为：4()m n m -；6.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及排列、组合的应用，其中对于概率的计算的关键是判断出事件所属的概率模型，选择合适的概率公式进行计算，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.15．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）分别证明AC 与,BD PO 垂直后可得证线面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【详解】（1）由题意可得ABC ADC △≌△，π6ACB ACD ∴∠=∠=，CO BD ∴⊥，即AC BD ⊥．又点P 在平面ABCD 内的投影为点O ，即⊥PO 平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，PO AC ∴⊥，又BD PO O = ，BD ，PO ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ．（2）由（1）可得OB ，OC ，OP 两两垂直，建立以O为原点如图所示的空间直角坐标系，如图所示，设3CD =，在ACD 中，由sin sin AD AC ACD ADC=∠∠得12sin 30sin ACAC ADC =︒∠，所以sin 1ADC ∠=，因此ACD 中有90ADC ∠=︒，60CAD ∠=︒，所以由2222(2)AD CD AC AD +==得AD =，cos 602OA AD =︒=，所以3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛ ⎝⎭，0,,02A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,22PB ⎛=- ⎝⎭，0,,22PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,22PD ⎛=-- ⎝⎭ ，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，则有0,30,2m PA m PD x ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩ 取1z =得(3,1)m =- ，∴直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为|||cos |||||m PB m PB m PB ⋅〈〉=⋅=4．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222210,0:x y C m n m n-=>>的左、右焦点相同，分别为1F ，2F ，1C 与2C 在第一象限内交于点M ，且21213MF F F =，1C 与2C 的离心率分别为1e ，2e ．则1211e e -=，12e e 的取值范围是．四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2235n S n n =+，数列{}n b 是等比数列，公比1330,6,24q b b a >==+.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足111,221,,2k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩，其中*k ∈N .（i ）求数列{}n c 的前2024项和；（ii ）求()*221i i ni a c n =∈∑N .参考答案：题号12345678910答案D DDBABCBACDABD题号11答案AD1．D【分析】假设函数()()2lg 1f x x ax =-+的值域为R ，借助对数的性质及二次函数的性质可得a 的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解.【详解】若()()2lg 1f x x ax =-+的值域为R ，则对21y x ax =-+有240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-，“22a -<<”是“2a ≥或2a ≤-”的既不充分也不必要条件.故选：D.2．D【分析】根据指数函数图象性质可得01a <<，再由对数函数图象性质可判断出结论.【详解】当1a >时，函数()2xf x a =-单调递增，图象经过第一象限，不合题意；当01a <<时，函数()2xf x a =-单调递减，图象不经过第一象限，合题意；显然此时11a>，则函数()()1log 2a g x x =+为单调递增，又()g x 恒过点()1,0-，因此函数()g x 的图象不过第四象限.故选：D 3．D【分析】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设s ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x =，由数量积计算分析即可得点P 坐标，从而得到点C 的坐标，然后求出AC ，利用正弦定理求解外接圆半径求解面积即可.【详解】以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，过点B 垂直于BA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()4,0A ，∵π4ABC ∠=，∴BC 所在的直线为y x =，设(),P x x ，则()4,AP x x =- ，(),BP x x = ，所以()()224212AP BP x x x x ⋅=-+=-- ，当1x =时，AP BP ⋅最小，此时点()1,1P ，又∵2BP PC = ，所以3BC BP =，∴点C 的坐标为()3,3，∴AC =，设ABC V 外接圆的半径为R，由正弦定理得2πsin 4R ==所以R =2π5πS R ==，故选：D 4．B【分析】根据条件，求出集合,A B ，再利用集合的运算，即可求解.【详解】由202x x -≤+，得到22x -<≤，即{}|22A x x =-<≤，又{}1,0,1,2,3,4,5B =-，所以{}1,0,1,2A B ⋂=-，故选：B.5．A【分析】根据奇函数的定义求出常数a ，再利用对数函数单调性解不等式.【详解】由函数2()ln()1f x a x=+-是奇函数，得该函数定义域内实数x ，恒有()()0f x f x +-=，即222222(2)ln ln 0ln 0111a ax a ax a a x x x x +-+++-+=⇔=-+-恒成立，因此2222(2)11a a x x +-=-，则22(2)11a a ⎧+=⎨=⎩，解得1a =-，1()ln 1x f x x +=-，不等式()0f x <，即1ln01xx +<-，整理得1011x x+<<-，解得10x -<<，所以x 的取值范围是(1,0)-.故选：A 6．B【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得,,A B C 的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得.【详解】因为两直线交于(1,1)，则110C ++=，即2C =-，且0A B C ++=，则2A B +=；由原点到直线2l的距离d =由()2222111A A A -+=-+≥，则d ≤，当且仅当1A=时，d 1B =.即两直线重合时，原点到直线的距离最大.故选：B.7．C【分析】设()12,0πF AF θθ∠=<<，首先证明122tan2AF F S b θ= ，结合题意算得解得π3θ=，即可得三角形2ABF 为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，21442,2333a a a AF AF a ==-=，11422333a a a BF AF =-==，即1F 是AB 的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解.【详解】我们首先来证明一个引理：若()12,0πF AF θθ∠=<<，则122tan2AF F S b θ= ，证明如下：设12,2AF m AF a m ==-，则由余弦定理有()()2224222cos c m a m m a m θ=+---，即()()()2242221cos c m a m m a m θ⎡⎤=+---+⎣⎦，所以()()222442221cos 1cos a c b m a m θθ--==++，所以()1222222sincos112222sin sin tan 221cos 22cos 2AF F bS m a m b b θθθθθθθ=-=⋅⋅==+ ，从而引理得证；根据题意可得，122222tan222AF F OAF S b S θ===，解得tan 23θ=，因为π022θ<<，所以π26θ=，解得π3θ=，由2AF AB =，2π3BAF ∠=，可得三角形2ABF 为等边三角形，所以22243a BF AF AB AF =++=，所以21442,2333a a a AF AF a ==-=，所以11422333a a a BF AF =-==，所以1F 是AB 的中点，所以12AB F F ⊥，所以()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223a c =，所以c e a ==故选：C.【点睛】关键点点睛：关键在于得出三角形2ABF 为等边三角形，进一步得出,a c 的齐次式关系即可求解.8．B【分析】设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量，看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数.【详解】设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,0,D a ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又F 是侧面11BCC B 上的动点，设()00,,F x a z ，[][]000,,0,x a z a ∈∈，则()100,,A F x a a z a =-- ，设平面1AD E 的法向量为1 =1,1,1，又()1,0,AD a a =- ，,,02a AE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11100AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1111002ax az a x ay -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，则112y =，11z =，即111,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又1//A F 平面1AD E ，则11A F n ⊥ ，即110A n F ⋅= ，则0002a x a z a -++-=，解得0032a x z =-，因此可得003,,2a F z a z ⎛⎫- ⎪⎝⎭，100,,2a A F z a z a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，设平面1FAD 的法向量为()2222,,n x y z = ，又()1,0,AD a a =- ，00,,2a AF z a z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则21200AF n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即022*******a z x ay z z ax az ⎧⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-+=⎩，令21x =，则212y =-，21z =，即211,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，又1212127cos ,9n n n n n n ⋅==⋅ 因此可得二面角1F AD E --的大小为常数，故①正确；设平面1FD E 的法向量为()3333,,n x y z = ，又1,,2a D E a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()00,0,EF a z z =- ，则31300EF n D E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即()0303333002a z x z z a x ay az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，令31x =，则3012a y z =-，301a z z =-，即30011,,12a a n z z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，因为3n 中含参数0z ，故13cos ,n n 的值不定，因此二面角1F D E A --的大小不是常数，故②不正确；设平面FAE 的法向量为()4444,,n x y z = ，又,,02a AE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，00,,2a AF z a z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则4400AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即44044040202a x ay a z x ay z z ⎧-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-++= ⎪⎪⎝⎭⎩，令42x =，则41y =，3022a z z =-，即4022,1,2a n z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，因为4n 中含参数0z ，故14cos ,n n 的值不定，因此二面角1F AE D --的大小不是常数，故③不正确；故选：B.【点睛】方法点睛：1.与平行有关的轨迹问题的解题策略（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略（1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹．9．ACD【分析】采用赋值法，利用已知条件，分析函数的有关性质即可判断.【详解】对A,令0,0x y ==，则()()()()00200f f f f +=⋅，化简可得()()()0100f f -=，又因()00f ≠，所以()01f =，故A 正确；对B,令0x y x ==，，则()()()()20f x f x f f x +-=⋅，又因()01f =化简可得−=，所以()f x 是偶函数，故B 错误；对C,令4,2x y ==，则()()()()62242f f f f +=⋅，因()20f =，所以()60f =，故C 正确；对D,令2y =，则()()()()2222f x f x f x f ++-=⋅，因()20f =，所以()()22f x f x +=--，令2x x =+，则()()4f x f x +=-①，再令4x x =+，()()84f x f x +=-+②，由①②知()()8f x f x +=，故D 正确.故选：ACD10．ABD【分析】对于A ，对式子111n n n a a n n ++⎛⎫-= ⎪⎝⎭进行变形得到11111n n a a n n n n++=+++，根据等差数列的定义可以判断A ；对于D ，由A 可以求出数列的通项，进而判断D ；对于B ，先求出数列的通项，再分别求出前5项即可计算；对于C ，根据等比数列的定义判断即可.【详解】对于A ，因为11111,n n n a a a n n ++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，两边同除以1n +得()1111n n a a n n n n +-=++，所以11111n n a a n n n n ++=+++，则1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为0，首项为1121a +=，故A 正确;对于D ，由A 知12n a n+=，所以21n a n =-，所以{}n a 为等差数列，D 正确;对于C ，由B 知()()()()12232232121n n n n n n n b a a n n +--==-+，所以12345242480224,,,,,315356399b b b b b =-====所以1234537842,B 9911b b b b b ++++==正确;对于C ，由D 知121,21,n n a n a n +=-=+所以()()()1211121n n n n a a n n n n ++÷=++-不为常数，故数列n a n ⎧⎫⎨⎩⎭不为等比数列，C 错;故选：ABD .11．AD【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM ⊥平面POM ，由此证明AM PM ⊥，再证明点C 为三棱锥M PAO -的外接球球心，判断A ，证明PA ⊥平面OHC ，由此证明PA CH ⊥，判断B ；证明OH ⊥平面PAM ，由此可得OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，解三角形求其正弦，判断C ，证明OH AH ⊥，解三角形求AH HO +，结合基本不等式求其范围，判断D.【详解】连接,,,,,OM AM AH OC CM CH ，对于A ，易知⊥PO 平面AMB ，AM ⊂平面AMB ，所以AM PO ⊥，因为点M 在以AO 为直径的圆上（不含A 、O ），所以AM OM ⊥，OM PO O = ，OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，所以AM ⊥平面POM ，又PM ⊂平面POM ，所以AM PM ⊥，又PO AO ⊥，C 为PA 的中点，2PA =，所以1CO CA CP CM ====，所以点C 为三棱锥M PAO -的外接球的球心，所以三棱锥M PAO -的外接球的半径为=1，所以三棱锥M PAO -的外接球体积为定值，A 正确；由已知，PO AO ⊥，2PA =，AO =，所以PO AO ===，所以POA 为等腰直角三角形，连接OC ，又C 为PA 的中点，故PA OC ⊥，又PA OH ⊥，OH OC O ⋂=，OH ⊂平面OHC ，OC ⊂平面OHC ，则PA ⊥平面OHC ，又CH ⊂平面OHC ，所以PA CH ⊥，故B 错误；因为AM ⊥平面POM ，又OH ⊂平面POM ，所以AM OH ⊥，又PA OH ⊥，PA AM A = ，AM ⊂平面PAM ，PA ⊂平面PAM ，则OH ⊥平面PAM ，所以OA 在平面PAM 上的射影为AH ，所以OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，设OM x =，则PM =OH PM OM PO ⋅=⋅，所以OH =所以sin OH OAH OA ∠==令60OAH ∠=2=，解得x =，即OM =OM OA <矛盾，C 错误；对于D 中，因为OH ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以OH AH ⊥，又OH =OA =，所以AH =，所以x AH HO +=0x<由基本不等式可得22222x x ⎛⎫++< ⎪⎪⎝⎭x +<，所以2AH HO+<，D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.12．9【分析】利用方差的性质直接计算求解即可.【详解】因为随机变量X 的方差()1D X =，随机变量32Y X =+，所以()()()23239D Y D X D X =+==故答案为：913．6【分析】根据球的体积公式可得内切球的半径R =根据正三棱柱结构特征可知R 即为底面正三角形内切圆半径，从而即可得解.【详解】解：设正三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径为R ，则有34π3R =，解得R =设正三棱柱的底面边长为a ，则正三棱柱的底面三角形的内切圆半径即为正三棱柱内切球半径，又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径13r ==所以6=解得6a =.故答案为：614．233,35⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用椭圆以及双曲线定义联立方程组可得()23c a m =-，因此可求得121123e e -=；求出12e e 的表达式再根据三角形三边关系可求得5,33a m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用函数单调性即可求得结果.【详解】如下图所示：根据椭圆定义以及双曲线定义可得121222MF MF a MF MF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得12MF a m MF a m ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩；显然20MF a m =->，可得a m >；又21213MF F F =且122F F c =，其中222222,c a b c m n =+=-；可得()23c a m =-，所以23a m c c =-，即121123e e -=；所以()()22221292994244a m a am m c c c a m e e a m am am am m a --+⎛⎫=⋅====+- ⎪⎝⎭．令a t m =，则129124e e t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为a m >，所以1a t m =>．又1212MF MF F F +>，所以有()223a c a m >=-，所以有3a m <；又1212MF MF F F -<，所以有()223m c a m <=-，所以有35a m >，所以可得5,33a t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭．设函数12y t t =+-，则2110y t =-'>，函数12y t t =+-在区间5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以44153y <<，所以12335e e <<．即可得12e e 的取值范围是3,35⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：23；3,35⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】易错点点睛：在求解椭圆以及双曲线离心率问题时，最容易忽略利用它们的定义来求得线段长度表达式，再进行相关问题求解.15．(1)31n a n =+，32n n b =⋅(2)（i ）8152，（ii ）11343218i i ++⋅+⋅-【分析】（1）利用,n n S a 的关系作差结合等比数列的定义计算可求和的通项公式；（2）（i ）根据题意利用等比数列求和公式结合分组求和法计算即可，（ii ）根据题意先得出229432i i i i a c =⋅+⋅，利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.【详解】（1）当1n =时，1112284S a a ==⇒=，当2n ≥时，()()22123523151n n S n n S n n -⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩，所以131n n n a S S n -=-=+，显然1a 符合上式，所以31n a n =+，由题意()23123314242b b q q =⨯++==⇒=，所以1132n n n b b q -==⋅.（2）（i ）易知101121024,220482024==>，即数列{}n c 的前2024项中有10项分别为21425129102410,,,,c b c b c b c b ==== ，其余项均为1，故数列{}n c 的前2024项和()1012106122024102014815212n G b b b ⨯-=-++++=+=- ；（ii ）由（1）知2321i i a =⋅+，而232i i i c b ==⋅，所以()22323219432i i i i i i a c =⋅⋅+=⋅+⋅，易知()11361494341214i n i i i +=⨯-⋅==⋅--∑，()116123232612i n i i i +=⨯-⋅==⋅--∑，所以12112343218i i i i ni a c +=+=⋅+⋅-∑。